Če je določeno pravilo, po katerem je določeno število u povezano z vsako točko M ravnine (ali nekega dela ravnine), potem pravijo, da je na ravnini (ali delu ravnine) »točkovna funkcija določen"; specifikacija funkcije je simbolično izražena z enakostjo oblike u=f(M). Število u, povezano s točko M, se imenuje vrednost te funkcije v točki M. Na primer, če je A fiksna točka na ravnini, M je poljubna točka, potem je razdalja od A do M funkcija točke M V tem primeru je f(m)=AM.

Naj bo dana neka funkcija u=f(M) in hkrati uveden koordinatni sistem. Potem je poljubna točka M določena s koordinatama x, y. V skladu s tem je vrednost te funkcije v točki M določena s koordinatami x, y ali, kot tudi pravijo, u=f(M) je funkcija dveh spremenljivk x in y. Funkcijo dveh spremenljivk x in y označimo s simbolom f(x; y): če je f(M)=f(x;y), se formula u=f(x; y) imenuje izraz tega funkcijo v izbranem koordinatnem sistemu. Torej, v prejšnjem primeru f(M)=AM; če uvedemo kartezični pravokotni koordinatni sistem z izhodiščem v točki A, dobimo izraz za to funkcijo:

u=sqrt(x^2 + y^2)

NALOGA 3688 Dana je funkcija f (x, y)=x^2–y^2–16.

Dana je funkcija f (x, y)=x^2–y^2–16. Določite izraz te funkcije v novem koordinatnem sistemu, če so koordinatne osi zasukane za kot –45 stopinj.

Parametrične enačbe premic

Označimo koordinate določene točke M s črkama x in y; Oglejmo si dve funkciji argumenta t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Ko se t spremeni, se vrednosti x in y na splošno spremenita, zato se bo točka M premaknila. Enačbe (1) imenujemo enačbe parametričnih premic, ki je trajektorija točke M; argument t imenujemo parameter. Če lahko parameter t izključimo iz enačb (1), dobimo enačbo trajektorije točke M v obliki

Enakost oblike F (x, y) = 0 imenujemo enačba v dveh spremenljivkah x, y,če ne velja za vse pare števil x, y. Pravijo dve številki x = x 0 , y=y 0, zadoščajo neki enačbi oblike F(x, y)=0,če pri zamenjavi teh števil namesto spremenljivk X in pri v enačbi njena leva stran izgine.

Enačba dane premice (v določenem koordinatnem sistemu) je enačba z dvema spremenljivkama, ki jo izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki leži na tej premici, in ne izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki na njej ne leži.

V nadaljevanju je namesto izraza »podana enačba premice F(x, y) = 0" bomo pogosto na kratko rekli: dana črta F (x, y) = 0.

Če sta podani enačbi dveh premic F(x, y) = 0 in Ф(x, y) = Q, nato skupno rešitev sistema

poda vse njihove presečišča. Natančneje, vsak par števil, ki je skupna rešitev tega sistema, določa eno od presečišč.

*) V primerih, ko koordinatni sistem ni imenovan, se predpostavlja, da je kartezični pravokotnik.

157. Točke so podane *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Ugotovite, katere objavljene točke ležijo na premici, določeni z enačbo X+ y = 0, in kateri ne ležijo na njej. Katero premico definira ta enačba? (Nariši na risbo.)

158. Na premici, ki jo določa enačba X 2 +y 2 =25, poiščite točke, katerih abscise so enake naslednjim številom: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; na isti premici poišči točke, katerih ordinate so enake naslednjim številom: e) 3, f) - 5, g) - 8. Katero premico določa ta enačba? (Nariši na risbo.)

159. Ugotovite, katere premice določajo naslednje enačbe (sestavite jih na risbi):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) l+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) l = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; enajst) x 2 - l 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y- 7xy + 10l = 0; 17) y =|x|; 18) x =|pri|; 19)l + |x|=0;

20) x +|pri|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) l = |x+ 2|; 23) X 2 + pri 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(l-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(l- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + l 2 = 4; 27) x 2 +(l + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + l 2 = 0;

29) X 2 + 2l 2 = 0; 30) 2X 2 + 3l 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (l + 3) 2 + 1=0.

160.Dane vrstice:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + l 2 - 36 = 0;

4) x 2 +l 2 -2x==0; 5) x 2 +l 2 + 4x-6l-1 =0.

Ugotovite, kateri od njih poteka skozi izvor.

161. Podane vrstice:

1) x 2 + l 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (l+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +l 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +l 2 - 2x + 8pri+ 7 = 0;

7) x 2 +l 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Poiščite njuni presečišče: a) z osjo Oh; b) z osjo OU.

162. Poišči presečišče dveh premic;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4pri+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4pri -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Točke so podane v polarnem koordinatnem sistemu

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) In M 5 (1; )

Ugotovi, katere od teh točk ležijo na premici, ki jo določa enačba v polarnih koordinatah  = 2 cos , in katere ne ležijo na njej. Katera premica je določena s to enačbo? (Nariši na risbo :)

164. Na premici, ki jo določa enačba  = , poiščite točke, katerih polarni koti so enaki naslednjim številom: a) ,b) - , c) 0, d) . Katero premico definira ta enačba?

(Sestavite ga na risbi.)

165.Na premici, ki jo določa enačba  = , poiščite točke, katerih polarni polmeri so enaki naslednjim številom: a) 1, b) 2, c)
. Katero premico definira ta enačba? (Sestavite ga na risbi.)

166. Ugotovite, katere premice so določene v polarnih koordinatah z naslednjimi enačbami (sestavite jih na risbi):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) greh  = 9) greh  =

167. Na risbi sestavi naslednje Arhimedove spirale:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Na risbi sestavi naslednje hiperbolične spirale:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Na risbi sestavi naslednje logaritemske spirale:

,
.

170. Določite dolžine segmentov, na katere seka Arhimedova spirala

žarek, ki izhaja iz pola in je pod kotom nagnjen proti polarni osi
. Narišite risbo.

171. Na Arhimedovi spirali
sprejeta točka Z, katerega polarni radij je 47. Ugotovite, na koliko delov ta spirala seka polarni radij konice Z, Narišite risbo.

172. Na hiperbolični spirali
najti točko R, katerega polarni radij je 12. Nariši.

173. Na logaritemski spirali
poišči točko Q, katere polarni radij je 81. Nariši.

Naj sta na ravnini  podana kartezični pravokotni koordinatni sistem Oxy in neka premica L.

Opredelitev. Enačba F(x;y)=0 (1) klical enačba črteL(glede na dani koordinatni sistem), če tej enačbi ustrezajo koordinate x in y katere koli točke, ki leži na premici L, in ne koordinate x in y katere koli točke, ki ne leži na premici L.

to. linija na ravnini je geometrijsko mesto točk (M(x;y)), katerih koordinate zadoščajo enačbi (1).

Enačba (1) določa črto L.

Primer. Enačba kroga.

Krog– niz točk, enako oddaljenih od dane točke M 0 (x 0,y 0).

Točka M 0 (x 0,y 0) – središče kroga.

Za katero koli točko M(x;y), ki leži na krogu, je razdalja MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(ooo 0 ) 2 =R 2 –(2) – enačba kroga s polmerom R s središčem v točki M 0 (x 0,y 0).

Parametrična enačba premice.

Naj bosta koordinati x in y točk na premici L izraženi s parametrom t:

(3) – parametrična enačba premice v DSC

kjer sta funkciji (t) in (t) zvezni glede na parameter t (v določenem območju variacije tega parametra).

Če iz enačbe (3) izvzamemo parameter t, dobimo enačbo (1).

Vzemimo premico L kot pot, ki jo prehodi snovna točka, ki se neprekinjeno giblje po določenem zakonu. Naj spremenljivka t predstavlja čas, štet od nekega začetnega trenutka. Takrat specifikacija zakona gibanja predstavlja specifikacijo koordinat x in y gibljive točke kot nekaterih zveznih funkcij x=(t) in y=(t) časa t.

Primer. Izpeljimo parametrično enačbo za krog s polmerom r>0 s središčem v izhodišču. Naj bo M(x,y) poljubna točka tega kroga in t bo kot med vektorjem radija in osjo Ox, šteto v nasprotni smeri urnega kazalca.

Potem je x=r cos x y=r sin t. (4)

Enačbe (4) so ​​parametrične enačbe obravnavanega kroga. Parameter t ima lahko poljubno vrednost, a da točka M(x,y) enkrat obkroži krog, je obseg spremembe parametra omejen na polsegment 0t2.

S kvadriranjem in seštevanjem enačb (4) dobimo splošno enačbo kroga (2).

2. Polarni koordinatni sistem (psc).

Izberimo os L ( polarna os) in določi točko te osi O ( palica). Vsaka točka na ravnini je enolično definirana s polarnima koordinatama ρ in φ, kjer

ρ – polarni radij, enako razdalji od točke M do pola O (ρ≥0);

φ – kotiček med vektorsko smerjo OM in L os ( polarni kot). M(ρ ; φ )

Enačba črte v UCS se lahko napiše:

ρ=f(φ) (5) eksplicitna enačba premice v UCS

F=(ρ; φ) (6) implicitna enačba premice v UCS

Razmerje med kartezičnimi in polarnimi koordinatami točke.

(x;y) (ρ ; φ ) Iz trikotnika OMA:

tan φ=(obnovitev kotaφ po znanemnastane tangentaob upoštevanju, v katerem kvadrantu se nahaja točka M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Primer . Poiščite polarni koordinati točk M(3;4) in P(1;-1).

Za M:=5, φ=arctg (4/3). Za P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Razvrstitev ravnih črt.

Definicija 1. Vrstica se imenuje algebrski,če v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu, če je definiran z enačbo F(x;y)=0 (1), v kateri je funkcija F(x;y) algebraični polinom.

Definicija 2. Vsaka nealgebraična premica se imenuje transcendentalno.

Definicija 3. Algebraična črta se imenuje vrstica redan, če je v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu ta premica določena z enačbo (1), v kateri je funkcija F(x;y) algebraični polinom n-te stopnje.

Tako je premica n-tega reda premica, ki jo v nekem kartezičnem pravokotnem sistemu definira algebraična enačba stopnje n z dvema neznankama.

Naslednji izrek prispeva k ugotavljanju pravilnosti definicij 1,2,3.

Izrek(dokument na str. 107). Če je premica v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu določena z algebrsko enačbo stopnje n, potem je ta premica v katerem koli drugem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu določena z algebrsko enačbo iste stopnje n.

Cilj: Razmislite o konceptu črte na ravnini, navedite primere. Na podlagi definicije premice uvedite pojem enačbe premice na ravnini. Razmislite o vrstah ravnih črt, navedite primere in metode definiranja ravne črte. Okrepiti sposobnost prevajanja enačbe ravne črte iz splošne oblike v enačbo ravne črte "v segmentih", s kotnim koeficientom.

1. Enačba premice na ravnini.
2. Enačba premice na ravnini. Vrste enačb.
3. Metode za določanje ravne črte.

1. Naj sta x in y dve poljubni spremenljivki.

Opredelitev: Pokličemo relacijo oblike F(x,y)=0 enačba , če ne velja za noben par števil x in y.

Primer: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Če za vsak x, y velja enakost F(x,y)=0, potem je torej F(x,y) = 0 identiteta.

Primer: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Pravijo, da sta števili x 0 in y 0 zadovoljiti enačbo , če se pri zamenjavi v to enačbo spremeni v pravo enakost.

Najpomembnejši koncept analitične geometrije je koncept enačbe premice.

Opredelitev: Enačba dane premice je enačba F(x,y)=0, ki jo izpolnjujejo koordinate vseh točk, ki ležijo na tej premici, in je ne izpolnjujejo koordinate nobene točke, ki ne leži na tej premici.

Premica, definirana z enačbo y = f(x), se imenuje graf za f(x). Spremenljivki x in y pravimo trenutni koordinati, ker sta koordinati spremenljive točke.

nekaj primeri definicije vrstic.

1) x – y = 0 => x = y. Ta enačba določa ravno črto:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => točke morajo zadostiti enačbi x - y = 0 ali enačbi x + y = 0, ki na ravnini ustreza par sekajočih se ravnih črt, ki sta simetrali koordinatnih kotov:

3) x 2 + y 2 = 0. Tej enačbi zadostuje samo ena točka O(0,0).

2. definicija: Vsako premico na ravnini je mogoče določiti z enačbo prvega reda

Ax + Wu + C = 0,

Poleg tega konstanti A in B nista enaki nič hkrati, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. Ta enačba prvega reda se imenuje splošna enačba premice.

Glede na vrednosti konstant A, B in C so možni naslednji posebni primeri:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – premica poteka skozi izhodišče

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - ravna črta, vzporedna z osjo Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – premica, vzporedna z osjo Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – premica sovpada z osjo Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – premica sovpada z osjo Ox

Enačbo premice je mogoče predstaviti v različnih oblikah, odvisno od danih začetnih pogojev.

Enačba premice s kotnim koeficientom.

Če se splošna enačba premice Ax + By + C = 0 zmanjša na obliko:

in označujemo , potem se imenuje nastala enačba enačba premice z naklonom k.

Enačba ravne črte v segmentih.

Če je v splošni enačbi ravne črte Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, potem z deljenjem z –С dobimo: ali , kjer

Geometrični pomen koeficientov je, da koeficient A je koordinata presečišča premice z osjo Ox in b– koordinata presečišča premice z osjo Oy.

Normalna enačba premice.

Če obe strani enačbe Ax + By + C = 0 delimo s številom, imenovanim normalizacijski faktor, potem dobimo

xcosj + ysinj - p = 0 – normalna enačba premice.

Predznak ± normalizacijskega faktorja je treba izbrati tako, da je m×С< 0.

p je dolžina navpičnice, spuščene iz izhodišča na premico, j pa kot, ki ga tvori ta navpičnica s pozitivno smerjo osi Ox.

3. Enačba ravne črte z uporabo točke in naklona.

Naj bo kotni koeficient premice enak k, premica poteka skozi točko M(x 0, y 0). Nato dobimo enačbo premice po formuli: y – y 0 = k(x – x 0)

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki.

Naj sta v prostoru podani dve točki M 1 (x 1, y 1, z 1) in M ​​2 (x 2, y 2, z 2), potem je enačba premice, ki poteka skozi ti točki:

Če je kateri od imenovalcev enak nič, mora biti ustrezni števec enak nič.

Na ravnini je zgoraj zapisana enačba premice poenostavljena:

če je x 1 ¹ x 2 in x = x 1, če je x 1 = x 2.

Ulomek = k se imenuje naklon naravnost.

Enakost oblike F(x, y) = 0 imenujemo enačba z dvema spremenljivkama x, y, če ne velja za vse pare števil x, y. Pravijo, da dve števili x = x 0, y = y 0 zadoščata neki enačbi oblike F(x, y) = 0, če pri zamenjavi teh števil namesto spremenljivk x in y v enačbo njena leva stran postane nič .

Enačba dane premice (v določenem koordinatnem sistemu) je enačba z dvema spremenljivkama, ki jo izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki leži na tej premici, in ne izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki na njej ne leži.

V nadaljevanju bomo namesto izraza »podana enačba premice F(x, y) = 0« pogosto rekli bolj na kratko: podana premica F(x, y) = 0.

Če sta podani enačbi dveh premic: F(x, y) = 0 in Ф(x, y) = 0, potem je skupna rešitev sistema

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

poda vse njihove presečišča. Natančneje, vsak par števil, ki je skupna rešitev tega sistema, določa eno od presečišč,

157. Dane točke *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Ugotovi, katere od danih točk ležijo na premici, ki jo določa enačba x + y = 0, in katere ne ležijo na njej. Katero premico definira ta enačba? (Nariši na risbo.)

158. Na premici, ki jo določa enačba x 2 + y 2 = 25, poišči točke, katerih abscise so enake naslednjim številom: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na isti premici poišči točke, katerih ordinate so enake naslednjim številom: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Katero premico definira ta enačba? (Nariši na risbo.)

159. Ugotovite, katere premice določajo naslednje enačbe (sestavite jih na risbi): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + s + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Dane premice: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Ugotovi, kateri od njih poteka skozi izhodišče.

161. Dane premice: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Poiščite njihove presečišča: a) z osjo Ox; b) z osjo Oy.

162. Poiščite presečišče dveh premic:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. V polarnem koordinatnem sistemu so točke M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) in M 5 (1; 2/3π). Ugotovite, katere od teh točk ležijo na premici, določeni v polarnih koordinatah z enačbo p = 2cosΘ, in katere ne ležijo na njej. Katera premica je določena s to enačbo? (Nariši na risbo.)

164. Na premici, ki jo določa enačba p = 3/cosΘ, poiščite točke, katerih polarni koti so enaki naslednjim številom: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Katero premico definira ta enačba? (Sestavite ga na risbi.)

165. Na premici, ki jo določa enačba p = 1/sinΘ, poiščite točke, katerih polarni polmeri so enaki naslednjim številom: a) 1 6) 2, c) √2. Katero premico definira ta enačba? (Sestavite ga na risbi.)

166. Ugotovite, katere premice v polarnih koordinatah določajo naslednje enačbe (sestavite jih na risbi): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Na risbi sestavi naslednje Arhimedove spirale: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Na risbi sestavi naslednje hiperbolične spirale: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Na risbi sestavi naslednje logaritemske spirale: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Določite dolžine segmentov, na katere Arhimedovo spiralo p = 3Θ razreže žarek, ki izhaja iz pola in je nagnjen proti polarni osi pod kotom Θ = π/6. Narišite risbo.

171. Na Arhimedovi spirali p = 5/πΘ je vzeta točka C, katere polarni polmer je 47. Ugotovi, na koliko delov ta spirala seka polarni radij točke C. Nariši.

172. Na hiperbolični spirali P = 6/Θ poišči točko P, katere polarni radij je 12. Nariši.

173. Na logaritemski spirali p = 3 Θ poiščite točko P, katere polarni polmer je 81. Narišite.