Igre

Odvod kompleksne funkcije je enak. Odvod kompleksne funkcije. Odvod potenčne eksponentne funkcije

Reševanje fizikalnih problemov ali primerov v matematiki je popolnoma nemogoče brez poznavanja odvoda in metod za njegov izračun. Odvod je eden najpomembnejših pojmov v matematični analizi. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je odvod, kakšen je njegov fizikalni in geometrijski pomen, kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrijski in fizikalni pomen odvoda

Naj bo funkcija f(x) , določene v določenem intervalu (a, b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Spreminjanje argumenta - razlika v njegovih vrednostih x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Opredelitev derivata:

Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer se lahko zapiše takole:

Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? Evo, kaj je:

odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.

Fizični pomen derivata: odvod poti po času je enak hitrosti premokotnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost posebna pot x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju:

Ugotoviti hitrost gibanja v določenem trenutku t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: nastavite konstanto

Konstanto lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke. Poleg tega je to treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - Če lahko izraz poenostavite, ga obvezno poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: odvod vsote funkcij

Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.

Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite odvod funkcije:

Tretje pravilo: odvod produkta funkcij

Odvod zmnožka dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite odvod funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno govoriti o izračunu odvodov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej izračunamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z odvodom samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: odvod kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:

Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako preprosta, kot se zdi, zato bodite pozorni: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

Z morebitnimi vprašanji o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. V kratkem času vam bomo pomagali rešiti najtežji test in razumeti naloge, tudi če še nikoli niste računali z izpeljankami.

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, takoj razmislimo o inverzni funkciji. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

Poiščite odvod funkcije.
Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Eksponentni in naravni logaritem sta edinstveno preprosti funkciji z vidika izpeljave. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo pregledali pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov termin, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo to. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

na točki;
na točki;
na točki;
na točki.

rešitve:

(odvod je v vseh točkah enak, saj je linearna funkcija, se spomnite?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

Poiščite odvode funkcij in;
Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo prenesti našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je brez kalkulatorja ni mogoče izračunati, torej je ni mogoče zapisati v enostavnejši obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Zato, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega napisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo na Enotnem državnem izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolada), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Enake korake lahko preprosto izvedemo v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadriraš, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
In prvotna funkcija je njihova sestava: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Podani so primeri izračuna odvodov z uporabo formule za odvod kompleksne funkcije.

Vsebina

Poglej tudi: Dokaz formule za odvod kompleksne funkcije

Osnovne formule

Tukaj podajamo primere izračuna odvodov naslednjih funkcij:
; ; ; ; .

Če je funkcija lahko predstavljena kot kompleksna funkcija v naslednji obliki:
,
potem je njegov derivat določen s formulo:
.
V spodnjih primerih bomo to formulo zapisali na naslednji način:
.
Kje .
Tukaj indeksi ali , ki se nahajajo pod znakom izpeljanke, označujejo spremenljivke, po katerih se izvaja diferenciacija.

Običajno so v tabelah odvodov podani odvodi funkcij iz spremenljivke x. Vendar je x formalni parameter. Spremenljivko x lahko nadomestimo s katero koli drugo spremenljivko. Zato pri razlikovanju funkcije od spremenljivke preprosto spremenimo v tabeli odvodov spremenljivko x v spremenljivko u.

Preprosti primeri

Primer 1

Poiščite odvod kompleksne funkcije
.

Zapišimo dano funkcijo v enakovredni obliki:
.
V tabeli izpeljank najdemo:
;
.

Po formuli za odvod kompleksne funkcije imamo:
.
Tukaj.

Primer 2

Poiščite izpeljanko
.

Konstanto 5 vzamemo iz predznaka za odvod in iz tabele odvodov ugotovimo:
.

.
Tukaj.

Primer 3

Poiščite izpeljanko
.

Izvzamemo konstanto -1 za predznak izpeljanke in iz tabele izpeljank najdemo:
;
Iz tabele derivatov najdemo:
.

Uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije:
.
Tukaj.

Bolj zapleteni primeri

V kompleksnejših primerih pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije uporabimo večkrat. V tem primeru izračunamo izpeljanko s konca. To pomeni, da funkcijo razdelimo na sestavne dele in z uporabo poiščemo izpeljanke najpreprostejših delov tabela izpeljank. Uporabljamo tudi pravila za razlikovanje vsot, produkti in ulomki. Nato naredimo zamenjave in uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije.

Primer 4

Poiščite izpeljanko
.

Izberimo najenostavnejši del formule in poiščimo njegovo izpeljanko. .

.
Tukaj smo uporabili zapis
.

Z dobljenimi rezultati najdemo odvod naslednjega dela prvotne funkcije. Uporabimo pravilo za razlikovanje vsote:
.

Še enkrat uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij.

.
Tukaj.

Primer 5

Poiščite odvod funkcije
.

Izberimo najenostavnejši del formule in iz tabele izpeljank poiščimo njen odvod. .

Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij.
.
Tukaj
.

Na podlagi dobljenih rezultatov ločimo naslednji del.
.
Tukaj
.

Razlikujmo naslednji del.

.
Tukaj
.

Zdaj poiščemo odvod želene funkcije.

.
Tukaj
.

Poglej tudi:

Ta lekcija je posvečena temi "Diferenciacija kompleksnih funkcij. Težava iz prakse priprave na enotni državni izpit iz matematike." Ta lekcija raziskuje razlikovanje kompleksnih funkcij. Sestavi se tabela odvodov kompleksne funkcije. Poleg tega je obravnavan primer reševanja problema iz prakse priprave na enotni državni izpit iz matematike.

Tema: Izpeljanka

Lekcija: Razlikovanje kompleksne funkcije. Vadba za pripravo na enotni državni izpit iz matematike

Kompleksnofunkcijo smo že diferencirali, vendar je bil argument linearna funkcija, in sicer znamo diferencirati funkcijo . Na primer,. Zdaj bomo na enak način našli odvode kompleksne funkcije, kjer je lahko namesto linearne funkcije drugačna.

Začnimo s funkcijo

Tako smo našli odvod sinusa iz kompleksne funkcije, kjer je bil argument sinusa kvadratna funkcija.

Če morate najti vrednost izpeljanke na določeni točki, je treba to točko nadomestiti z najdeno izpeljanko.

Tako smo v dveh primerih videli, kako pravilo deluje diferenciacija kompleksen funkcije.

3. . Naj vas spomnimo, da.

8. .

Tako bomo na tej stopnji zaključili tabelo diferenciacije kompleksnih funkcij. V nadaljevanju bo seveda še bolj posplošeno, zdaj pa preidimo na specifične probleme na izpeljanki.

V praksi priprave na enotni državni izpit so predlagane naslednje naloge.

Poiščite minimum funkcije .

ODZ: .

Poiščimo izpeljanko. Naj spomnimo, .

Izenačimo odvod na nič. Pika je vključena v ODZ.

Poiščimo intervale konstantnega predznaka odvoda (intervale monotonosti funkcije) (glej sliko 1).

riž. 1. Intervali monotonosti za funkcijo .

Poglejmo točko in ugotovimo, ali je točka ekstrema. Zadosten znak ekstrema je, da odvod spremeni predznak, ko gre skozi točko. V tem primeru odvod spremeni predznak, kar pomeni, da je točka ekstrema. Ker izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+", je to najmanjša točka. Poiščimo vrednost funkcije v točki minimuma: . Narišimo diagram (glej sliko 2).

Slika 2. Ekstrem funkcije .

Na intervalu - funkcija pada, na - funkcija narašča, ekstremna točka je edinstvena. Funkcija dobi najmanjšo vrednost samo v točki .

Med lekcijo smo si ogledali diferenciacijo kompleksnih funkcij, sestavili tabelo in si ogledali pravila za razlikovanje kompleksne funkcije ter podali primer uporabe izpeljanke iz prakse priprave na enotni državni izpit.

1. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Učbenik za splošne izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Problemska knjiga za izobraževalne ustanove (raven profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10. razred (učbenik za učence šol in razredov s poglobljenim študijem matematike). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljena študija algebre in matematične analize.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka problemov iz matematike za kandidate za visokošolske ustanove (urednik M.I. Skanavi - M.: Višja šola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraični simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavič L.I., Shlyapochnik L.Ya., Činkina algebra in začetki analize. 8-11 razredi: Priročnik za šole in razrede s poglobljenim študijem matematike (didaktična gradiva). - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Težave o algebri in načelih analize (priročnik za učence 10-11 razredov splošnoizobraževalnih ustanov - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Zbirka nalog o algebri in načelih analize: učbenik. dodatek za 10-11 razrede. z globino študiral Matematika.-M .: Izobraževanje, 2006.

10. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. Razredi 9-10 (priročnik za učitelje).-M .: Izobraževanje, 1983

Dodatni spletni viri

2. Portal naravoslovja ().

Pripravite ga doma

Št. 42.2, 42.3 (Algebra in začetki analize, 10. razred (v dveh delih). Knjiga problemov za splošne izobraževalne ustanove (raven profila), ki jo je uredil A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ l na prirastek argumenta Δ x:

Zdi se, da je vse jasno. Toda poskusite uporabiti to formulo za izračun, recimo, odvoda funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x greh x. Če naredite vse po definiciji, potem boste po nekaj straneh izračunov preprosto zaspali. Zato obstajajo enostavnejši in učinkovitejši načini.

Za začetek omenimo, da lahko iz celotne raznolikosti funkcij ločimo tako imenovane elementarne funkcije. To so razmeroma preprosti izrazi, katerih izpeljanke so že dolgo izračunane in tabelarizirane. Takšne funkcije si je precej enostavno zapomniti - skupaj z njihovimi izpeljankami.

Odvodi elementarnih funkcij

Osnovne funkcije so vse tiste, ki so navedene spodaj. Izpeljanke teh funkcij moramo poznati na pamet. Poleg tega si jih sploh ni težko zapomniti - zato so osnovni.

Torej, derivati elementarnih funkcij:

Ime	funkcija	Izpeljanka
Konstanta	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nič!)
Potenca z racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = greh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− greh x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/greh 2 x
Naravni logaritem	f(x) = dnevnik x	1/x
Poljubni logaritem	f(x) = dnevnik a x	1/(x ln a)
Eksponentna funkcija	f(x) = e x	e x(nič spremenjeno)

Če elementarno funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto, potem zlahka izračunamo tudi odvod nove funkcije:

(C · f)’ = C · f ’.

Na splošno lahko konstante vzamemo iz predznaka odvoda. Na primer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očitno je mogoče elementarne funkcije med seboj dodajati, množiti, deliti - in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ne več posebej elementarne, temveč tudi diferencirane po določenih pravilih. Ta pravila so obravnavana spodaj.

Odvod vsote in razlike

Naj bodo funkcije podane f(x) In g(x), katerih izpeljanke so nam znane. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki smo jih obravnavali zgoraj. Nato lahko najdete odvod vsote in razlike teh funkcij:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Torej je odvod vsote (razlike) dveh funkcij enak vsoti (razliki) odvodov. Lahko je več terminov. Na primer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo gledano, v algebri ni pojma "odštevanje". Obstaja koncept "negativnega elementa". Zato razlika f − g lahko prepišemo kot vsoto f+ (−1) · g, nato pa ostane samo ena formula - odvod vsote.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

funkcija f(x) je vsota dveh osnovnih funkcij, torej:

f ’(x) = (x 2 + greh x)’ = (x 2)’ + (greh x)’ = 2x+ cos x;

Podobno sklepamo za funkcijo g(x). Samo že obstajajo trije izrazi (z vidika algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Izpeljanka izdelka

Matematika je logična veda, zato mnogi verjamejo, da če je odvod vsote enak vsoti odvodov, potem odvod produkta stavka">enako zmnožku izpeljank. Ampak jebi se! Izpeljanka zmnožka se izračuna po popolnoma drugi formuli. In sicer:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je preprosta, a se nanjo pogosto pozablja. Pa ne samo šolarji, tudi študenti. Rezultat so nepravilno rešeni problemi.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

funkcija f(x) je produkt dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-greh x) = x 2 (3 cos x − x greh x)

funkcija g(x) prvi množitelj je nekoliko bolj zapleten, vendar se splošna shema ne spremeni. Očitno prvi faktor funkcije g(x) je polinom in njegov odvod je odvod vsote. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x greh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Upoštevajte, da je v zadnjem koraku izpeljanka faktorizirana. Formalno tega ni treba storiti, vendar se večina izpeljank ne izračuna sama, temveč za pregled funkcije. To pomeni, da bo nadalje odvod izenačen z nič, določeni bodo njegovi predznaki itd. Za tak primer je bolje imeti izraz faktoriziran.

Če obstajata dve funkciji f(x) In g(x), in g(x) ≠ 0 na množici, ki nas zanima, lahko definiramo novo funkcijo h(x) = f(x)/g(x). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izpeljanko:

Ni slabo, kajne? Od kod minus? zakaj g 2? In takole! To je ena najbolj zapletenih formul - ne morete je ugotoviti brez steklenice. Zato ga je bolje preučiti s posebnimi primeri.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij:

Števec in imenovalec vsakega ulomka vsebujeta elementarne funkcije, zato potrebujemo le formulo za odvod količnika:

Po tradiciji števec faktoriziramo - to bo zelo poenostavilo odgovor:

Kompleksna funkcija ni nujno pol kilometra dolga formula. Na primer, dovolj je, da prevzamete funkcijo f(x) = greh x in zamenjajte spremenljivko x, recimo, na x 2 + ln x. Se bo izšlo f(x) = greh ( x 2 + ln x) - to je kompleksna funkcija. Ima tudi izpeljanko, vendar je ne bo mogoče najti z zgoraj obravnavanimi pravili.

Kaj naj naredim? V takih primerih pomaga zamenjava spremenljivke in formule za odvod kompleksne funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', če x se nadomesti z t(x).

Praviloma je situacija z razumevanjem te formule še bolj žalostna kot z izpeljanko količnika. Zato ga je tudi bolje razložiti na konkretnih primerih s podrobnim opisom vsakega koraka.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = greh ( x 2 + ln x)

Upoštevajte, da če je v funkciji f(x) namesto izraza 2 x+ 3 bo enostavno x, potem dobimo elementarno funkcijo f(x) = e x. Zato naredimo zamenjavo: naj 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Odvod kompleksne funkcije iščemo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

In zdaj - pozor! Izvedemo obratno zamenjavo: t = 2x+ 3. Dobimo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Zdaj pa poglejmo funkcijo g(x). Očitno ga je treba zamenjati x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (greh t)’ · t' = cos t · t ’

Povratna zamenjava: t = x 2 + ln x. Nato:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je vse! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se je celoten problem zmanjšal na izračun vsote odvoda.

odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) ker ( x 2 + ln x).

Zelo pogosto v svojih učnih urah namesto izraza "izpeljanka" uporabljam besedo "prime". Na primer, udarec vsote je enak vsoti udarcev. Je to bolj jasno? No, to je dobro.

Tako se izračun derivata zmanjša na to, da se znebimo teh istih udarcev v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili. Kot zadnji primer se vrnimo k odpeljani moči z racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi ve, da v vlogi n je lahko delno število. Na primer, koren je x 0,5. Kaj pa, če je pod korenino kaj elegantnega? Spet bo rezultat kompleksna funkcija - takšne konstrukcije radi dajejo na testih in izpitih.