Izrek mejne točke. Bolzano-Weierstrassov izrek. Razširitev na primer prostora poljubne dimenzije

Definicija v.7. Točko x € R na številski premici imenujemo mejna točka zaporedja (xn), če je za katero koli okolico U (x) in poljubno naravno število N mogoče najti element xn, ki pripada tej okolici s številom, večjim od LG, tj. x 6 R - mejna točka če. Z drugimi besedami, točka x bo mejna točka za (xn), če katera koli njena soseska vsebuje elemente tega zaporedja s poljubno velikimi številkami, čeprav morda ne vsi elementi s številkami n > N. Zato je naslednja izjava povsem očitna . Izjava b.b. Če je lim(xn) = 6 6 R, potem je b edina mejna točka zaporedja (xn). Dejansko na podlagi definicije 6.3 limite zaporedja vsi njegovi elementi, začenši z določenim številom, spadajo v poljubno majhno okolico točke 6, zato elementi s poljubno velikimi številkami ne morejo pasti v okolico nobene druge točke . Posledično je pogoj definicije 6.7 izpolnjen samo za eno točko 6. Vendar ni vsaka mejna točka (včasih imenovana tanka zgoščena točka) zaporedja njegova meja. Tako zaporedje (b.b) nima meje (glej primer 6.5), ima pa dve mejni točki x = 1 in x = - 1. Zaporedje ((-1)pp) ima dve neskončni točki +oo in kot mejni točki - z razširjeno številsko premico, katere unija je označena z enim simbolom oo. Zato lahko predpostavimo, da neskončne mejne točke sovpadajo, neskončna točka oo pa je po (6.29) meja tega zaporedja. Mejne točke zaporedne številske premice. Dokaz Weierstrassovega testa in Cauchyjevega kriterija. Naj je podano zaporedje (jn) in naj števila k tvorijo naraščajoče zaporedje pozitivnih celih števil. Potem se zaporedje (Vnb, kjer je yn = xkn> imenuje podzaporedje prvotnega zaporedja. Očitno je, da ima (i„) številko 6 kot mejo, potem ima katero koli njegovo podzaporedje enako mejo, saj se začne z določeno številko vsi elementi tako prvotnega zaporedja kot katerega koli njegovega podzaporedja spadajo v katero koli izbrano okolico točke 6. Hkrati je katera koli mejna točka podzaporedja tudi mejna točka za izrek 9. Iz katerega koli zaporedja, ki ima a mejno točko, lahko izberemo podzaporedje, ki ima to mejno točko kot mejno točko. Potem je po definiciji 6. 7 mejne točke, za vsak n obstaja element, ki pripada okolici U (6, 1/n) točke b s polmerom 1/n. Podzaporedje, sestavljeno iz točk ijtj, ...1 ..., kjer je zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, ima limito v točki 6. Dejansko lahko za poljuben e > 0 izberemo N tako da. Potem bodo vsi elementi podzaporedja, začenši s številom km, padli v ^-sosesko U(6, e) točke 6, kar ustreza pogoju 6.3 definicije limite zaporedja. Velja tudi obratni izrek. Mejne točke zaporedne številske premice. Dokaz Weierstrassovega testa in Cauchyjevega kriterija. Izrek 8.10. Če ima neko zaporedje podzaporedje z mejo 6, potem je b mejna točka tega zaporedja. Iz definicije 6.3 limite zaporedja sledi, da od določenega števila vsi elementi podzaporedja z limitom b spadajo v sosesko U(b, ​​​​e) poljubnega polmera e. Ker elementi podzaporedja so hkrati elementi zaporedja (xn)> elementi xn spadajo v to soseščino s toliko poljubno velikimi števili, kar na podlagi definicije 6.7 pomeni, da je b mejna točka zaporedja (n). Opomba 0.2. Izreka 6.9 in 6.10 veljata tudi v primeru, ko je mejna točka neskončna, če pri dokazovanju merto soseščine U(6, 1 /n) upoštevamo sosesko (ali soseščine), pod katerimi je konvergentno podzaporedje lahko izoliramo iz zaporedja, ugotavlja naslednji izrek (Bolzano - Weierstrass). tj. xn € [a, b] Vn € N. Odsek [a], b] razdelimo na pol, potem bo vsaj ena njegova polovica vsebovala neskončno število elementov zaporedja [a, b] bi jih vsebovalo končno število, kar je nemogoče. Naj bo ena od polovic segmenta [a, 6], ki vsebuje neskončno množico elementov zaporedja (zn). če sta obe polovici takšni, potem katera koli od njih). Z nadaljevanjem tega procesa bomo zgradili sistem ugnezdenih segmentov z bn - an = (6- a)/2P. Po principu ugnezdenih segmentov obstaja točka x, ki pripada vsem tem segmentom. Ta točka bo mejna točka za zaporedje (xn) - Pravzaprav za vsako e-sosesko U(x, e) = (xx + e) ​​točka x obstaja segment C U(x, e) (to dovolj je samo izbrati n iz neenačbe (, ki vsebuje neskončno število elementov zaporedja (sn). Po definiciji 6.7 je x mejna točka tega zaporedja. Potem po izreku 6.9 obstaja podzaporedje, ki konvergira k točki x. Metoda sklepanja, uporabljena pri dokazu tega izreka (včasih se imenuje Bolzano-Weyer-Strassova lema) in povezana z zaporednim razpolovljenjem obravnavanih segmentov, je znana kot Bolzanova metoda. Ta izrek močno poenostavi dokaz številnih kompleksnih izrekov. Omogoča vam dokazovanje številnih ključnih izrekov na drugačen (včasih enostavnejši) način. Dodatek 6.2. Dokaz Weierstrassovega testa in Cauchyjevega kriterija Najprej dokažemo trditev 6.1 (Weierstrassov test za konvergenco omejenega monotonega zaporedja). Predpostavimo, da je zaporedje (jn) nepadajoče. Potem je množica njegovih vrednosti omejena zgoraj in ima po izreku 2.1 supremum, ki ga označimo s sup(xn) je R. Zaradi lastnosti supremuma (glej 2.7) so mejne točke zaporedja število Dokaz Weierstrassovega testa in Cauchyjevega kriterija. Po definiciji 6.1 za nepadajoče zaporedje velja ali Then > Ny in ob upoštevanju (6.34) dobimo, da ustreza definiciji 6.3 limite zaporedja, tj. 31im(sn) in lim(xn) = 66R. Če je zaporedje (xn) nenaraščujoče, potem je potek dokaza podoben. Zdaj pa preidimo na dokazovanje zadostnosti Kochiinega kriterija za konvergenco zaporedja (glej trditev 6.3), saj nujnost kriterijskega pogoja izhaja iz izreka 6.7. Naj bo zaporedje (jn) temeljno. V skladu z definicijo 6.4 lahko za poljubno € > 0 najdemo število N(s), tako da velja m^N in n^N. Potem, če vzamemo m - N, za Vn > N dobimo € £ Ker ima obravnavano zaporedje končno število elementov s številkami, ki ne presegajo N, iz (6.35) sledi, da je temeljno zaporedje omejeno (za primerjavo glej dokaz izreka 6.2 o omejenosti konvergentnega zaporedja ). Za množico vrednosti omejenega zaporedja obstajata infimum in supremum meje (glej izrek 2.1). Za množico vrednosti elementov za n > N te ploskve označimo z an = inf xn oziroma bjy = sup xn. Ko se N poveča, se eksaktni infimum ne zmanjša in eksaktni supremum ne poveča, tj. . Ali dobim klimatsko napravo? segmenti Po principu ugnezdenih segmentov obstaja skupna točka, ki pripada vsem segmentom. Označimo ga z b. Tako s primerjavo iz (6. 36) in (6.37) kot rezultat dobimo, ki ustreza definiciji 6.3 limite zaporedja, tj. 31im(x„) in lim(sn) = 6 6 R. Bolzano je začel preučevati temeljna zaporedja. Vendar ni imel stroge teorije realnih števil, zato ni mogel dokazati konvergence temeljnega zaporedja. Cauchy je to storil, pri čemer je za samoumevnega vzel načelo ugnezdenih segmentov, ki ga je Cantor pozneje utemeljil. Ne samo, da je merilo za konvergenco zaporedja dobilo ime Cauchy, ampak se tudi temeljno zaporedje pogosto imenuje Cauchyjevo zaporedje, princip ugnezdenih segmentov pa je poimenovan po Cantorju. Vprašanja in naloge 8.1. Dokaži, da: 6.2. Navedite primere nekonvergentnih zaporedij z elementi, ki pripadajo množicam Q in R\Q. 0,3. Pod kakšnimi pogoji tvorijo členi aritmetične in geometrijske progresije padajoče in naraščajoče zaporedje? 6.4. Dokažite razmerja, ki sledijo iz tabele. 6.1. 6.5. Konstruirajte primere zaporedij, ki težijo k neskončnim točkam +oo, -oo, oo, in primer zaporedij, ki konvergirajo k točki 6 € R. c.v. Ali lahko neomejeno zaporedje ni b.b.? Če da, potem navedite primer. ob 7. Konstruirajte primer divergentnega zaporedja, sestavljenega iz pozitivnih elementov, ki nima niti končne niti neskončne meje. 6.8. Dokažite konvergenco zaporedja (jn), ki ga podaja rekurentna formula sn+i = sin(xn/2) pod pogojem “1 = 1. 6.9. Dokažite, da je lim(xn)=09, če je sn+i/xn-»g€ .

Razdeli segment [ a 0 ,b 0 ] na pol na dva enaka segmenta. Vsaj eden od nastalih segmentov vsebuje neskončno število členov zaporedja. Označimo ga [ a 1 ,b 1 ] .

V naslednjem koraku ponovimo postopek z segmentom [ a 1 ,b 1 ]: razdelimo ga na dva enaka segmenta in izmed njiju izberemo tistega, na katerem leži neskončno število členov zaporedja. Označimo ga [ a 2 ,b 2 ] .

Z nadaljevanjem postopka dobimo zaporedje ugnezdenih segmentov

v katerem je vsak naslednji polovica prejšnjega in vsebuje neskončno število členov zaporedja ( x k } .

Dolžine segmentov se nagibajo k nič:

Na podlagi Cauchy-Cantorjevega načela ugnezdenih segmentov obstaja ena sama točka ξ, ki pripada vsem segmentom:

Po konstrukciji na vsakem segmentu [a m ,b m ] obstaja neskončno število členov zaporedja. Izbirajmo zaporedno

ob upoštevanju pogoja naraščajočega števila:

Nato podzaporedje konvergira v točko ξ. To izhaja iz dejstva, da razdalja od do ξ ne presega dolžine segmenta, ki jih vsebuje [a m ,b m ] , kje

Razširitev na primer prostora poljubne dimenzije

Bolzano-Weierstrassov izrek zlahka posplošimo na primer prostora poljubne dimenzije.

Naj bo podano zaporedje točk v prostoru:

(spodnji indeks je številka člana zaporedja, zgornji indeks je koordinatna številka). Če je zaporedje točk v prostoru omejeno, potem je vsako od številčnih zaporedij koordinat:

tudi omejeno ( - koordinatno številko).

Na podlagi enodimenzionalne različice Bolzano-Weirstrassovega izreka iz zaporedja ( x k) lahko izberemo podzaporedje točk, katerih prve koordinate tvorijo konvergentno zaporedje. Iz nastalega podzaporedja ponovno izberemo podzaporedje, ki konvergira po drugi koordinati. V tem primeru bo konvergenca po prvi koordinati ohranjena zaradi dejstva, da vsako podzaporedje konvergentnega zaporedja tudi konvergira. In tako naprej.

Po n dobimo določeno zaporedje korakov

ki je podzaporedje , in konvergira vzdolž vsake od koordinat. Iz tega sledi, da to podzaporedje konvergira.

Zgodba

Bolzano-Weierstrassov izrek (za primer n= 1) je prvi dokazal češki matematik Bolzano leta 1817. V Bolzanovem delu je deloval kot lema v dokazu izreka o vmesnih vrednostih zvezne funkcije, ki je zdaj znan kot Bolzano-Cauchyjev izrek. Vendar so ti in drugi rezultati, ki jih je Bolzano dokazal veliko pred Cauchyjem in Weierstrassom, ostali neopaženi.

Šele pol stoletja pozneje je Weierstrass neodvisno od Bolzana ponovno odkril in dokazal ta izrek. Prvotno imenovan Weierstrassov izrek, preden je Bolzanovo delo postalo znano in sprejeto.

Danes ta izrek nosi ime Bolzano in Weierstrass. Ta izrek se pogosto imenuje Bolzano-Weierstrassova lema, in včasih lema mejne točke.

Bolzano-Weierstrassov izrek in koncept kompaktnosti

Bolzano-Weierstrassov izrek vzpostavlja naslednjo zanimivo lastnost omejene množice: vsako zaporedje točk M vsebuje konvergentno podzaporedje.

Pri dokazovanju različnih trditev v analizi se pogosto zatečejo k naslednji tehniki: določijo zaporedje točk, ki ima neko želeno lastnost, nato pa iz njega izberejo podzaporedje, ki jo prav tako ima, a je že konvergentno. Na primer, tako je dokazan Weierstrassov izrek, da je funkcija, zvezna na intervalu, omejena in ima največjo in najmanjšo vrednost.

Učinkovitost takšne tehnike na splošno, kot tudi želja po razširitvi Weierstrassovega izreka na poljubne metrične prostore, sta spodbudila francoskega matematika Mauricea Frécheta, da je leta 1906 uvedel koncept kompaktnost. Lastnost omejenih množic v , določena z Bolzano-Weierstrassovim izrekom, je, figurativno rečeno, da so točke množice nameščene precej "tesno" ali "kompaktno": ko smo naredili neskončno število korakov vzdolž te množice, bomo gotovo približati, kolikor želimo, neki točki v vesolju.

Frechet uvede naslednjo definicijo: niz M klical kompakten, oz kompakten, če vsako zaporedje njegovih točk vsebuje podzaporedje, ki konvergira v neko točko te množice. Predvideva se, da na snemanju M metrika je definirana, torej je

Definicija 1. Točko x neskončne premice imenujemo mejna točka zaporedja (x n), če je v kateri koli e-soseski te točke neskončno veliko elementov zaporedja (x n).

Lema 1.Če je x mejna točka zaporedja (x k), potem lahko iz tega zaporedja izberemo podzaporedje (x n k), ki konvergira k številu x.

Komentiraj. Prav tako velja nasprotna trditev. Če je iz zaporedja (x k) mogoče izbrati podzaporedje, ki konvergira k številu x, potem je število x mejna točka zaporedja (x k). Dejansko je v kateri koli e-soseščini točke x neskončno veliko elementov podzaporedja in s tem tudi samega zaporedja (x k ).

Iz leme 1 sledi, da lahko podamo še eno definicijo mejne točke zaporedja, enakovredno definiciji 1.

Definicija 2. Točko x neskončne premice imenujemo mejna točka zaporedja (x k), če je iz tega zaporedja mogoče izbrati podzaporedje, ki konvergira k x.

Lema 2. Vsako konvergentno zaporedje ima samo eno mejno točko, ki sovpada z limitom tega zaporedja.

Komentiraj.Če zaporedje konvergira, ima po lemi 2 le eno mejno točko. Če pa (xn) ni konvergentna, potem ima lahko več mejnih točk (in na splošno neskončno veliko mejnih točk). Pokažimo na primer, da ima (1+(-1) n ) dve mejni točki.

Dejansko ima (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... dve mejni točki 0 in 2, ker podzaporedja (0)=0,0,0,... in (2)=2,2,2,... tega zaporedja imajo meje števila 0 oziroma 2. To zaporedje nima drugih mejnih točk. Naj bo x res katera koli točka na številski osi, razen točk 0 in 2. Vzemimo e > 0, torej

majhna, tako da se e - soseščine točk 0, x in 2 ne sekajo. E-soseska točk 0 in 2 vsebuje vse elemente zaporedja in zato e-soseska točke x ne more vsebovati neskončno veliko elementov (1+(-1) n ) in zato ni mejna točka tega zaporedja.

Izrek. Vsako omejeno zaporedje ima vsaj eno mejno točko.

Komentiraj. Nobeno število x, ki presega , ni mejna točka zaporedja (x n), tj. - največja mejna točka zaporedja (x n).

Naj bo x poljubno število, večje od . Izberimo e>0 tako majhno, da

in x 1 О(x), desno od x 1 je končno število elementov zaporedja (x n) ali pa jih sploh ni, tj. x ni mejna točka zaporedja (x n).

Opredelitev. Največjo mejno točko zaporedja (x n) imenujemo zgornja meja zaporedja in jo označujemo s simbolom . Iz opombe sledi, da ima vsako omejeno zaporedje zgornjo mejo.

Podobno je uveden koncept spodnje meje (kot najmanjše mejne točke zaporedja (x n )).

Torej, dokazali smo naslednjo trditev. Vsako omejeno zaporedje ima zgornjo in spodnjo mejo.

Formulirajmo naslednji izrek brez dokaza.

Izrek. Da je zaporedje (x n) konvergentno, je nujno in dovolj, da je omejeno ter da njegova zgornja in spodnja meja sovpadata.

Rezultati tega razdelka vodijo do naslednjega glavnega izreka Bolzano-Weierstrassa.

Bolzano-Weierstrassov izrek. Iz katerega koli omejenega zaporedja lahko izberemo konvergentno podzaporedje.

Dokaz. Ker je zaporedje (x n ) omejeno, ima vsaj eno mejno točko x. Nato lahko iz tega zaporedja izberemo podzaporedje, ki konvergira k točki x (izhaja iz definicije 2 mejne točke).

Komentiraj. Iz katerega koli omejenega zaporedja lahko izoliramo monotono konvergentno zaporedje.