obrti

Kako rešiti sistem diferencialnih enačb z operacijsko metodo? Operativna metoda za reševanje linearnih diferencialnih enačb in njihovih sistemov. Reševanje sistemov diferencialnih enačb po Laplaceovi metodi.

Oglejmo si operativno metodo za reševanje diferencialnih enačb na primeru enačbe tretjega reda.

Recimo, da moramo najti določeno rešitev linearne diferencialne enačbe tretjega reda s konstantnimi koeficienti

ki izpolnjuje začetne pogoje:

c 0, c 1, c 2 - dane številke.

Z uporabo lastnosti diferenciacije izvirnika zapišemo:

V enačbi (6.4.1) pojdimo od izvirnikov k slikam

Nastala enačba se imenuje operater ali enačba v slikah. Razrešite glede na Y.

Algebraični polinomi v spremenljivki R.

Enačbo imenujemo operatorska rešitev diferencialne enačbe (6.4.1).

Iskanje izvirnika y(t), ki ustreza najdeni sliki, dobimo partikularno rešitev diferencialne enačbe.

Primer: z uporabo metode operacijskega računa poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje dane začetne pogoje

Preidimo od izvirnikov k slikam

Zapišimo prvotno enačbo v slike in jo rešimo Y

Da bi našli izvirnik dobljene slike, faktoriziramo imenovalec ulomka in dobljeni ulomek zapišemo kot vsoto enostavnih ulomkov.

Poiščimo koeficiente A, B, in Z.

S tabelo posnamemo izvirnik nastale slike

Posebna rešitev izvirne enačbe.

Operacijska metoda se podobno uporablja za reševanje sistemov linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti

Neznane funkcije.

Pojdimo k slikam

Dobimo sistem predstavitvenih enačb

Sistem rešujemo po Cramerjevi metodi. Najdemo determinante:

Iskanje rešitve za slikovni sistem X(p), Y(p), Z(p).

Dobili smo zahtevano rešitev sistema

Z operacijskim računom lahko najdete rešitve linearnih diferencialnih enačb s spremenljivimi koeficienti in parcialnih diferencialnih enačb; izračunaj integrale. Hkrati je reševanje problemov močno poenostavljeno. Uporablja se pri reševanju problemov enačb matematične fizike.

Vprašanja za samokontrolo.

1. Katera funkcija se imenuje izvirna?

2. Katero funkcijo imenujemo slika izvirnika?

3. Heavisideova funkcija in njena podoba.

4. Pridobite sliko za funkcije izvirnikov z definicijo slike: f(t) =t , .

5. Pridobite slike za funkcije z uporabo lastnosti Laplaceovih transformacij.

6. Poiščite funkcije originalov s pomočjo tabele slik: ;

7. Poiščite posebno rešitev linearne diferencialne enačbe z uporabo metod operacijskega računa.

Literatura: str. 411-439, str. 572-594.

Primeri: str. 305-316.

LITERATURA

1. Danko P.E. Višja matematika v vajah in nalogah. V 2 delih I. del: Učbenik. priročnik za višje šole/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Y. Kozhevnikova - M.: Višje. šola, 1997.– 304 str.

2. Danko P.E. Višja matematika v vajah in nalogah. V 2 delih II del: Učbenik. priročnik za višje šole./ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Y. Kozhevnikova - M.: Višje. šola, 1997.– 416 str.

3. Kaplan I.A. Praktične vaje iz višje matematike. 4. del./ I.A. Kaplan - Založba Harkovske državne univerze, 1966, 236 str.

4. Piskunov N.S. Diferencialni in integralni račun. V 2 zvezkih, 1. zvezek: učbenik. priročnik za višje šole./ N.S. Piskunov - M.: ur. "Znanost", 1972. - 456 str.

5. Piskunov N.S. Diferencialni in integralni račun za fakultete. V 2 zvezkih, 2. zvezek: učbenik. Priročnik za visoke šole../ N.S. Piskunov – M.: ur. "Znanost", 1972. - 456 str.

6. Napisano D.T. Zapiski predavanj o višji matematiki: celoten tečaj.–4. izd./ D.T. Napisano – M.: Iris-press, 2006.–608 str. - (Višja izobrazba).

7. Slobodskaya V.A. Kratek tečaj višje matematike. Ed. 2., predelano in dodatno Učbenik priročnik za visoke šole./ V.A. Slobodskaya - M.: Višje. šola, 1969.– 544 str.

Zapiski predavanj Višja matematika

za študente smeri 6.070104 “Pomorski in rečni promet”

specialnost "Delovanje ladijskih elektrarn"

redni in izredni študij 2. letnik

Naklada______ izvodov Podpisano za objavo ______________

Številka naročila.__________. Prostornina__2,78__p.l.

Založba "Kerch State Marine Technological University"

98309 Kerč, Ordžonikidze, 82

Zunaj je soparno, topolovi puhovi letijo in to vreme je ugodno za sprostitev. Med šolskim letom se je utrujenost nabrala pri vseh, a pričakovanje poletnih počitnic/počitnic naj bo navdih za uspešno opravljanje izpitov in testov. Mimogrede, tudi učitelji so med sezono dolgočasni, tako da si bom kmalu tudi jaz vzel čas za razbremenitev možganov. In zdaj je tu kava, ritmično brnenje sistemske enote, nekaj mrtvih komarjev na okenski polici in popolnoma delujoče stanje ... ... oh, prekleto, ... prekleti pesnik.

Do točke. Koga briga, ampak danes je zame 1. junij in pogledali bomo še en tipičen problem kompleksne analize - iskanje določene rešitve sistema diferencialnih enačb z uporabo metode operacijskega računa. Kaj morate znati in znati, da se ga naučite reševati? Najprej, zelo priporočam sklicevati se na lekcijo. Preberite uvodni del, razumejte splošno navedbo teme, terminologijo, zapis in vsaj dva ali tri primere. Dejstvo je, da bo z difuzorskimi sistemi vse skoraj enako in še bolj preprosto!

Seveda morate razumeti, kaj je to sistem diferencialnih enačb, kar pomeni iskanje splošne rešitve sistema in partikularne rešitve sistema.

Naj vas spomnim, da je sistem diferencialnih enačb mogoče rešiti na "tradicionalen" način: z izločanjem oz z uporabo karakteristične enačbe. Metoda operacijskega računa, o kateri bomo razpravljali, je uporabna za sistem daljinskega vodenja, ko je naloga formulirana na naslednji način:

Poiščite posebno rešitev homogenega sistema diferencialnih enačb , ki ustreza začetnim pogojem .

Druga možnost je, da je sistem heterogen - z "dodatnimi utežmi" v obliki funkcij in na desni strani:

Toda v obeh primerih morate biti pozorni na dve temeljni točki stanja:

1) Gre za le o zasebni odločitvi.
2) V oklepajih začetnih pogojev so strogo ničle, in nič drugega.

Splošni potek in algoritem bosta zelo podobna reševanje diferencialne enačbe z operacijsko metodo. Od referenčnih materialov boste potrebovali enako tabela originalov in slik.

Primer 1

, ,

rešitev: Začetek je trivialen: uporaba Laplaceove transformacijske tabele Pojdimo od izvirnikov k ustreznim slikam. Pri težavah s sistemi za daljinsko upravljanje je ta prehod običajno preprost:

Z uporabo tabelarnih formul št. 1, 2 ob upoštevanju začetnega pogoja dobimo:

Kaj storiti z "igrami"? Mentalno spremenite "X" v tabeli v "I". Z uporabo istih transformacij št. 1, 2, ob upoštevanju začetnega pogoja, najdemo:

Zamenjajmo najdene slike v prvotno enačbo :

zdaj v levih delih enačbe je treba zbrati Vse izrazi, v katerih ali je prisoten. Na prave dele enačbe je treba "formalizirati" drugo pogoji:

Nato na levi strani vsake enačbe naredimo oklepaje:

V tem primeru je treba na prva mesta postaviti naslednje, na druge pa:

Nastali sistem enačb z dvema neznankama se običajno reši po Cramerjevih formulah. Izračunajmo glavno determinanto sistema:

Kot rezultat izračuna determinante smo dobili polinom.

Pomembna tehnika! Ta polinom je boljši Naenkrat poskusi faktorizirati. Za te namene je treba poskusiti rešiti kvadratno enačbo , a mnogi bralci z izurjenim očesom v drugem letniku bodo to opazili .

Tako je naša glavna determinanta sistema:

Nadaljnja demontaža sistema, hvala Kramerju, je standardna:

Kot rezultat dobimo operaterska rešitev sistema:

Prednost obravnavane naloge je v tem, da se ulomki običajno izkažejo za enostavne in se z njimi veliko lažje soočiti kot z ulomki v nalogah. iskanje določene rešitve za DE z uporabo operativne metode. Slutnja te ni varala – dobra stara metoda nedoločenih koeficientov, s pomočjo katerega vsak ulomek razgradimo na elementarne ulomke:

1) Ukvarjajmo se s prvim ulomkom:

Tako:

2) Drugi ulomek razdelimo po podobni shemi, vendar je pravilneje uporabiti druge konstante (nedefinirani koeficienti):

Tako:

Tebanom svetujem, da zapišejo razčlenjeno operatorsko rešitev v naslednji obliki:
- tako bo jasnejša zadnja stopnja - inverzna Laplaceova transformacija.

Z uporabo desnega stolpca tabele se pomaknimo od slik do ustreznih izvirnikov:

V skladu s pravili dobre matematike bomo rezultat malce priredili:

odgovor:

Odgovor se preverja po standardni shemi, ki je podrobno obravnavana v lekciji. Kako rešiti sistem diferencialnih enačb? Vedno jo poskusite dokončati, da boste pri nalogi dosegli velik plus.

Primer 2

Z uporabo operacijskega računa poiščite določeno rešitev sistema diferencialnih enačb, ki ustreza danim začetnim pogojem.
, ,

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Približen vzorec končne oblike naloge in odgovor na koncu lekcije.

Reševanje nehomogenega sistema diferencialnih enačb ni algoritemsko nič drugačno, le da bo tehnično nekoliko bolj zapleteno:

Primer 3

Z uporabo operacijskega računa poiščite določeno rešitev sistema diferencialnih enačb, ki ustreza danim začetnim pogojem.
, ,

rešitev: Uporaba Laplaceove transformacijske tabele ob upoštevanju začetnih pogojev , pojdimo od izvirnikov k ustreznim slikam:

Toda to še ni vse, na desni strani enačb so osamljene konstante. Kaj storiti v primerih, ko je stalnica popolnoma sama? O tem smo že razpravljali v razredu. Kako rešiti DE z operativno metodo. Naj ponovimo: posamezne konstante je treba mentalno pomnožiti z ena, za enote pa uporabiti naslednjo Laplaceovo transformacijo:

Zamenjajmo najdene slike v izvirni sistem:

Premaknimo izraze, ki vsebujejo , v levo, preostale izraze pa postavimo na desno stran:

V levih straneh bomo izvedli oklepaje, poleg tega pa bomo desno stran druge enačbe spravili na skupni imenovalec:

Izračunajmo glavno determinanto sistema, ne da bi pozabili, da je priporočljivo takoj poskusiti faktorizirati rezultat:
, kar pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev.

Gremo naprej:

Tako je operaterska rešitev sistema:

Včasih je mogoče enega ali celo oba ulomka zmanjšati, včasih pa tako uspešno, da vam sploh ni treba ničesar razširiti! In v nekaterih primerih takoj dobite brezplačno, mimogrede, naslednji primer lekcije bo okvirni primer.

Z metodo nedoločenih koeficientov dobimo vsote elementarnih ulomkov.

Razčlenimo prvi ulomek:

In dosežemo drugo:

Posledično ima rešitev operaterja obliko, ki jo potrebujemo:

Uporaba desnega stolpca tabele originalov in slik izvedemo inverzno Laplaceovo transformacijo:

Zamenjajmo nastale slike v operatersko rešitev sistema:

odgovor: zasebna rešitev:

Kot lahko vidite, je v heterogenem sistemu potrebno izvesti bolj delovno intenzivne izračune v primerjavi s homogenim sistemom. Oglejmo si še nekaj primerov s sinusi in kosinusi in to je dovolj, saj bodo upoštevane skoraj vse vrste problema in večina odtenkov rešitve.

Primer 4

Z uporabo metode operacijskega računa poiščite določeno rešitev sistema diferencialnih enačb z danimi začetnimi pogoji,

rešitev: Tudi sam bom analiziral ta primer, vendar bodo komentarji zadevali le posebne trenutke. Predvidevam, da že dobro poznate algoritem rešitve.

Pojdimo od izvirnikov k ustreznim slikam:

Nadomestimo najdene slike v izvirni sistem za daljinsko upravljanje:

Rešimo sistem s Cramerjevimi formulami:
, kar pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev.

Dobljenega polinoma ni mogoče faktorizirati. Kaj storiti v takih primerih? Popolnoma nič. Tudi ta bo zadostoval.

Posledično je operaterska rešitev sistema:

Tukaj je srečna vstopnica! Metode nedoločenih koeficientov sploh ni treba uporabljati! Edina stvar je, da za uporabo transformacij tabele prepišemo rešitev v naslednji obliki:

Pojdimo od slik k ustreznim izvirnikom:

Zamenjajmo nastale slike v operatersko rešitev sistema:

Heaviside ekspanzijska formula

Naj bo slika funkcije ulomljena racionalna funkcija.

Izrek. Naj, kjer in sta diferenciabilni funkciji. Predstavimo oba pola funkcije, tj. korenov (ničl) svojega imenovalca. Potem, če dobimo Heavisideovo formulo:

Dokaz izvedemo za primer, ko in sta polinoma stopinj T in p v skladu s tem, medtem ko T p. Potem je to pravi racionalni ulomek. Predstavimo ga kot vsoto preprostih ulomkov:

Od tu najdemo koeficiente iz identitete (17.2) in jih prepišemo v obliki

Pomnožimo obe strani zadnje enakosti z in pojdimo do meje pri. Glede na to in dobimo

od koder sledi (17.1). Izrek je dokazan.

Opomba 1.Če so koeficienti polinomov realni, potem so kompleksne korenine polinoma parno konjugirane. Posledično bodo v formuli (17.1) kompleksne konjugirane količine členi, ki ustrezajo kompleksnim konjugiranim koreninam polinoma, Heavisideova formula pa bo imela obliko

kjer je prva vsota razširjena na vse realne korenine polinoma, druga - na vse njegove kompleksne korenine s pozitivnimi namišljenimi deli.

Opomba 2. Vsak člen formule (17.1) predstavlja nihanje, zapisano v kompleksni obliki, kjer. Tako realne korenine () ustrezajo aperiodičnemu nihanju, kompleksne korenine z negativnimi realnimi deli ustrezajo dušenim nihanjem, čisto namišljene korenine pa nedušenim harmoničnim nihanjem.

Če imenovalec nima korenin s pozitivnimi realnimi deli, potem za dovolj velike vrednosti dobimo stabilno stanje:

Čisto namišljene korenine polinoma s pozitivnimi namišljenimi deli.

Nihanja, ki ustrezajo koreninam z negativnimi realnimi deli, upadajo eksponentno pri in zato ne preidejo v stabilno stanje.

Primer 1. Poiščite izvirno sliko

rešitev. Imamo. Zapišimo korenine polinoma: .

Po formuli (17.1)

Tukaj, saj so števila korenine enačbe. torej

Primer 2. Poiščite izvirno sliko

Kje A 0; .

rešitev. Tu ima funkcija poleg očitnega korena neskončno veliko korenin, ki so ničle funkcije. Če rešimo enačbo, pridemo kje

Tako imajo koreni imenovalca obliko in, kje

S formulo (17.3) najdemo original

Operatorska metoda za reševanje diferencialnih enačb

Diferencialne enačbe. Razmislite o Cauchyjevem problemu za linearno diferencialno enačbo

(tukaj) z začetnimi pogoji

Če preidemo na slike v (18.1), bomo zaradi linearnosti Laplaceove transformacije imeli

Z uporabo izreka 3 iz § 16 in začetnih pogojev (18.2) zapišemo slike odvodov v obliki

Če nadomestimo (18.4) v (18.3), po preprostih transformacijah dobimo operatorsko enačbo

kjer je (karakteristični polinom); .

Iz enačbe (18.5) najdemo operatorsko rešitev

Rešitev Cauchyjevega problema (18.1), (18.2) je izvirna operatorska rešitev (18.6):

Za Cauchyjev problem lahko v sprejetem zapisu zapišemo

Operatorska enačba ima obliko

Razčlenimo operatorsko rešitev na preproste ulomke:

Z uporabo formul, pridobljenih v § 15, dobimo izvirnike:

Tako bo rešitev Cauchyjevega problema imela obliko

Primer 1. Rešite Cauchyjev problem za diferencialno enačbo z začetnimi pogoji, kjer je.

rešitev.

Njegova rešitev ima obliko

Z uporabo izreka 2 § 16 dosledno ugotovimo:

Primer 2. Rešite Cauchyjev problem za diferencialno enačbo z ničelnimi začetnimi pogoji, kjer je stopenjska impulzna funkcija.

rešitev. Zapišimo operatorsko enačbo

in njegova odločitev

Iz 2. izreka § 16 sledi

v skladu z izrekom o zamudi (§ 15)

končno,

Primer 3. Na maso točke T, pritrjen na vzmet s togostjo z in se nahaja na gladki vodoravni ravnini, deluje periodično spreminjajoča se sila. V trenutku je bila točka izpostavljena udarcu z impulzom. Če zanemarimo upor, poiščite zakon gibanja točke, če je v začetnem trenutku mirovala v izhodišču.

rešitev. Enačbo gibanja zapišemo v obliki

kjer je elastična sila; - Dirac funkcija. Rešimo operatorsko enačbo

Če (primer resonance), potem

Po izreku zamude

končno,

Duhamelov integral (formula). Oglejmo si Cauchyjev problem za enačbo (18.1) pri začetnih pogojih. Rešitev operatorja ima v tem primeru obliko

Naj bo funkcija teže izvirna za. potem dobimo s 1. izrekom § 16

Relacija (18.7) se imenuje Duhamelov integral (formula).

Komentiraj. Za začetne pogoje, ki niso nič, Duhamelova formula ni neposredno uporabna. V tem primeru je treba prvotni problem najprej transformirati v problem s homogenimi (ničelnimi) začetnimi pogoji. Da bi to naredili, uvedemo novo funkcijo ob predpostavki

kjer so začetne vrednosti želene rešitve.

Kako enostavno je videti in zato .

Tako je funkcija rešitev enačbe (18.1) z desno stranjo, dobljeno s substitucijo (18.8) v (18.1), z nič začetnimi podatki.

Z uporabo (18.7) najdemo in.

Primer 4. Z uporabo Duhamelovega integrala poiščite rešitev Cauchyjevega problema

z začetnimi pogoji.

rešitev. Začetni podatek je različen od nič. Predpostavimo, v skladu z (18.8), . Nato za definicijo dobimo enačbo s homogenimi začetnimi pogoji.

Za obravnavani problem značilen polinom, utežna funkcija. Po Duhamelovi formuli

končno,

Sistemi linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti. Cauchyjev problem za sistem linearnih diferencialnih enačb v matričnem zapisu ima obliko

kjer je vektor zahtevanih funkcij; - vektor desnih strani; - matriko koeficientov; - vektor začetnih podatkov.

Seveda morate razumeti, kaj je to sistem diferencialnih enačb, kar pomeni iskanje splošne rešitve sistema in partikularne rešitve sistema.

Poiščite posebno rešitev homogenega sistema diferencialnih enačb , ki ustreza začetnim pogojem .

Druga možnost je, da je sistem heterogen - z "dodatnimi utežmi" v obliki funkcij in na desni strani:

Toda v obeh primerih morate biti pozorni na dve temeljni točki stanja:

1) Gre za le o zasebni odločitvi.
2) V oklepajih začetnih pogojev so strogo ničle, in nič drugega.

Splošni potek in algoritem bosta zelo podobna reševanje diferencialne enačbe z operacijsko metodo. Od referenčnih materialov boste potrebovali enako tabela originalov in slik.

Primer 1

, ,

Z uporabo tabelarnih formul št. 1, 2 ob upoštevanju začetnega pogoja dobimo:

Kaj storiti z "igrami"? Mentalno spremenite "X" v tabeli v "I". Z uporabo istih transformacij št. 1, 2, ob upoštevanju začetnega pogoja, najdemo:

Zamenjajmo najdene slike v prvotno enačbo :

zdaj v levih delih enačbe je treba zbrati Vse izrazi, v katerih ali je prisoten. Na prave dele enačbe je treba "formalizirati" drugo pogoji:

Nato na levi strani vsake enačbe naredimo oklepaje:

V tem primeru je treba na prva mesta postaviti naslednje, na druge pa:

Nastali sistem enačb z dvema neznankama se običajno reši po Cramerjevih formulah. Izračunajmo glavno determinanto sistema:

Kot rezultat izračuna determinante smo dobili polinom.

Tako je naša glavna determinanta sistema:

Nadaljnja demontaža sistema, hvala Kramerju, je standardna:

Kot rezultat dobimo operaterska rešitev sistema:

1) Ukvarjajmo se s prvim ulomkom:

Tako:

2) Drugi ulomek razdelimo po podobni shemi, vendar je pravilneje uporabiti druge konstante (nedefinirani koeficienti):

Tako:

Tebanom svetujem, da zapišejo razčlenjeno operatorsko rešitev v naslednji obliki:
- tako bo jasnejša zadnja stopnja - inverzna Laplaceova transformacija.

Z uporabo desnega stolpca tabele se pomaknimo od slik do ustreznih izvirnikov:

V skladu s pravili dobre matematike bomo rezultat malce priredili:

odgovor:

Odgovor se preverja po standardni shemi, ki je podrobno obravnavana v lekciji. Kako rešiti sistem diferencialnih enačb? Vedno jo poskusite dokončati, da boste pri nalogi dosegli velik plus.

Primer 2

Z uporabo operacijskega računa poiščite določeno rešitev sistema diferencialnih enačb, ki ustreza danim začetnim pogojem.
, ,

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Približen vzorec končne oblike naloge in odgovor na koncu lekcije.

Reševanje nehomogenega sistema diferencialnih enačb ni algoritemsko nič drugačno, le da bo tehnično nekoliko bolj zapleteno:

Primer 3

Z uporabo operacijskega računa poiščite določeno rešitev sistema diferencialnih enačb, ki ustreza danim začetnim pogojem.
, ,

rešitev: Uporaba Laplaceove transformacijske tabele ob upoštevanju začetnih pogojev , pojdimo od izvirnikov k ustreznim slikam:

Zamenjajmo najdene slike v izvirni sistem:

Premaknimo izraze, ki vsebujejo , v levo, preostale izraze pa postavimo na desno stran:

V levih straneh bomo izvedli oklepaje, poleg tega pa bomo desno stran druge enačbe spravili na skupni imenovalec:

Izračunajmo glavno determinanto sistema, ne da bi pozabili, da je priporočljivo takoj poskusiti faktorizirati rezultat:
, kar pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev.

Gremo naprej:

Tako je operaterska rešitev sistema:

Z metodo nedoločenih koeficientov dobimo vsote elementarnih ulomkov.

Razčlenimo prvi ulomek:

In dosežemo drugo:

Posledično ima rešitev operaterja obliko, ki jo potrebujemo:

Uporaba desnega stolpca tabele originalov in slik izvedemo inverzno Laplaceovo transformacijo:

Zamenjajmo nastale slike v operatersko rešitev sistema:

odgovor: zasebna rešitev:

Primer 4

Z uporabo metode operacijskega računa poiščite določeno rešitev sistema diferencialnih enačb z danimi začetnimi pogoji,

rešitev: Tudi sam bom analiziral ta primer, vendar bodo komentarji zadevali le posebne trenutke. Predvidevam, da že dobro poznate algoritem rešitve.

Pojdimo od izvirnikov k ustreznim slikam:

Nadomestimo najdene slike v izvirni sistem za daljinsko upravljanje:

Rešimo sistem s Cramerjevimi formulami:
, kar pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev.

Dobljenega polinoma ni mogoče faktorizirati. Kaj storiti v takih primerih? Popolnoma nič. Tudi ta bo zadostoval.

Posledično je operaterska rešitev sistema:

Tukaj je srečna vstopnica! Metode nedoločenih koeficientov sploh ni treba uporabljati! Edina stvar je, da za uporabo transformacij tabele prepišemo rešitev v naslednji obliki:

Pojdimo od slik k ustreznim izvirnikom:

Zamenjajmo nastale slike v operatersko rešitev sistema:

Kako rešiti diferencialno enačbo
metoda operativnega računa?

V tej lekciji bomo podrobno obravnavali tipično in razširjeno nalogo kompleksne analize - iskanje določene rešitve za DE 2. reda s konstantnimi koeficienti z uporabo metode operacijskega računa. Vedno znova vas znebim predsodka, da je snov nepredstavljivo kompleksna in nedostopna. Smešno je, toda če želite obvladati primere, morda ne boste mogli razlikovati, integrirati in celo ne boste vedeli, kaj to je kompleksna števila. Zahtevana spretnost uporabe metoda nedoločenih koeficientov, ki je podrobno obravnavan v članku Integracija ulomkov-racionalnih funkcij. Pravzaprav so temelj naloge preproste algebraične operacije in prepričan sem, da je snov dostopna tudi srednješolcem.

Najprej jedrnate teoretične informacije o obravnavanem delu matematične analize. Glavna točka operacijski račun je sledeča: funkcija veljaven spremenljivko z uporabo ti Laplaceova transformacija prikazano v funkcijo celovito spremenljivka :

Terminologija in oznake:
funkcija se imenuje original;
funkcija se imenuje slika;
velika začetnica označuje Laplaceova transformacija.

Preprosto povedano, pravo funkcijo (original) je treba po določenih pravilih pretvoriti v kompleksno funkcijo (sliko). Puščica označuje natanko to preobrazbo. In sama "določena pravila" so Laplaceova transformacija, ki ga bomo obravnavali le formalno, kar bo povsem zadostovalo za reševanje problemov.

Izvedljiva je tudi inverzna Laplaceova transformacija, ko se slika pretvori v original:

Zakaj je vse to potrebno? Pri številnih problemih višje matematike je lahko zelo koristen prehod z originalov na slike, saj je v tem primeru rešitev problema bistveno poenostavljena (heca se). In obravnavali bomo samo eno od teh težav. Če ste dočakali operacijski račun, potem bi vam morala biti formulacija dobro znana:

Poiščite posebno rešitev nehomogene enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti za dane začetne pogoje.

Opomba: včasih je diferencialna enačba lahko homogena: , zanjo v zgornji formulaciji velja tudi metoda operacijskega računa. Vendar v praktičnih primerih homogeni DE 2. reda je izjemno redka, v nadaljevanju pa bomo govorili o nehomogenih enačbah.

In zdaj bomo obravnavali tretjo metodo - reševanje diferencialnih enačb z uporabo operacijskega računa. Še enkrat poudarjam dejstvo, da govorimo o iskanju določene rešitve, poleg tega začetni pogoji imajo strogo obliko(»X-ji« so enaki ničlam).

Mimogrede, o "X-ih". Enačbo lahko prepišemo na naslednji način:
, kjer je "x" neodvisna spremenljivka in "y" je funkcija. Ni naključje, da govorim o tem, saj se v obravnavanem problemu najpogosteje uporabljajo druge črke:

To pomeni, da vlogo neodvisne spremenljivke igra spremenljivka "te" (namesto "x"), vlogo funkcije pa spremenljivka "x" (namesto "y")

Razumem, da je to seveda neprijetno, vendar je bolje, da se držite zapisa, ki ga najdete v večini problemskih knjig in priročnikov za usposabljanje.

Torej je naša težava z drugimi črkami zapisana takole:

Poiščite določeno rešitev nehomogene enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti za dane začetne pogoje .

Pomen naloge se ni prav nič spremenil, spremenile so se le črke.

Kako rešiti ta problem z metodo operacijskega računa?

Najprej boste potrebovali tabela originalov in slik. To je ključno orodje za rešitev in brez njega ne morete. Zato, če je mogoče, poskusite natisniti priloženi referenčni material. Naj takoj pojasnim, kaj pomeni črka "pe": kompleksna spremenljivka (namesto običajnega "z"). Čeprav to dejstvo ni posebno pomembno za reševanje problemov, je "pe" "pe".

S pomočjo tabele je treba izvirnike spremeniti v nekaj slik. Sledi niz tipičnih dejanj in uporabljena je inverzna Laplaceova transformacija (tudi v tabeli). Tako bo najdena želena konkretna rešitev.

Vse težave, kar je lepo, se rešujejo po dokaj strogem algoritmu.

Primer 1

, ,

rešitev: V prvem koraku se bomo premaknili od izvirnikov do ustreznih slik. Uporabljamo levo stran.

Najprej poglejmo levo stran prvotne enačbe. Za Laplaceovo transformacijo imamo pravila linearnosti, zato zanemarimo vse konstante in delamo ločeno s funkcijo in njenimi izpeljankami.

Z uporabo tabelarične formule št. 1 pretvorimo funkcijo:

Po formuli št. 2 , ob upoštevanju začetnega pogoja transformiramo izpeljanko:

Z uporabo formule št. 3, ob upoštevanju začetnih pogojev, pretvorimo drugi derivat:

Naj vas znaki ne zmedejo!

Priznam, pravilneje je reči ne "formule", ampak "transformacije", toda zaradi enostavnosti bom vsebino tabele občasno imenoval formule.

Zdaj pa poglejmo desno stran, ki vsebuje polinom. Zaradi istega pravila linearnosti Laplaceova transformacija, delamo z vsakim členom posebej.

Poglejmo prvi izraz: - to je neodvisna spremenljivka “te”, pomnožena s konstanto. Ignoriramo konstanto in s točko št. 4 tabele izvedemo transformacijo:

Poglejmo drugi izraz: –5. Ko je konstanta najdena sama, je ni več mogoče preskočiti. Z eno samo konstanto naredijo to: zaradi jasnosti jo lahko predstavijo kot produkt: , transformacijo pa lahko uporabijo za enoto:

Tako smo za vse elemente (izvirnike) diferencialne enačbe našli ustrezne slike s pomočjo tabele:

Zamenjajmo najdene slike v izvirno enačbo:

Naslednja naloga je izražanje operaterska rešitev skozi vse ostalo, in sicer skozi eno frakcijo. V tem primeru je priporočljivo upoštevati naslednji postopek:

Najprej odprite oklepaje na levi strani:

Podobne termine prikazujemo na levi strani (če obstajajo). V tem primeru seštejemo števili –2 in –3. Toplo priporočam, da čajniki ne preskočijo tega koraka:

Izraze, v katerih je prisoten, pustimo na levi, preostale izraze pa premaknemo v desno s spremembo predznaka:

Na levi strani damo operatorsko rešitev iz oklepaja, na desni strani pa reduciramo izraz na skupni imenovalec:

Polinom na levi je treba faktorizirati (če je mogoče). Reševanje kvadratne enačbe:

Tako:

Ponastavimo na imenovalec desne strani:

Cilj je bil dosežen - operatorska rešitev je izražena z enim ulomkom.

Drugo dejanje. Uporaba metoda nedoločenih koeficientov, je treba operatorsko rešitev enačbe razširiti v vsoto elementarnih ulomkov:

Izenačimo koeficiente pri pripadajočih potencah in rešimo sistem:

Če imate kakršne koli težave z Prosim, spremljajte članke Integracija frakcijsko-racionalne funkcije in Kako rešiti sistem enačb? To je zelo pomembno, ker so ulomki v bistvu najpomembnejši del problema.

Tako so najdeni koeficienti: , rešitev operaterja pa se pojavi pred nami v razstavljeni obliki:

Upoštevajte, da konstante niso zapisane v števcih ulomkov. Ta oblika zapisa je bolj donosna kot . In to je bolj donosno, saj bo končno dejanje potekalo brez zmede in napak:

Zadnja stopnja problema je uporaba inverzne Laplaceove transformacije za premik s slik na ustrezne izvirnike. Uporaba desnega stolpca tabele originalov in slik.

Morda vsi ne razumejo spreobrnitve. Tukaj se uporablja formula točke št. 5 tabele: . Podrobneje: . Pravzaprav je za podobne primere formulo mogoče spremeniti: . In vse tabelarične formule točke št. 5 je zelo enostavno prepisati na podoben način.

Po obratnem prehodu dobimo želeno delno raztopino DE na srebrnem krožniku:

je bilo:

Postati:

odgovor: zasebna rešitev:

Če imate čas, je vedno priporočljivo opraviti pregled. Preverjanje poteka po standardni shemi, ki je bila že obravnavana v razredu. Nehomogene diferencialne enačbe 2. reda. Ponovimo:

Preverimo izpolnjevanje začetnega pogoja:
- Končano.

Poiščimo prvo izpeljanko:

Preverimo izpolnjevanje drugega začetnega pogoja:
- Končano.

Poiščimo drugo izpeljanko:

Zamenjajmo , in na levo stran prvotne enačbe:

Dobljena je desna stran prvotne enačbe.

Zaključek: naloga je bila pravilno opravljena.

Majhen primer za lastno rešitev:

Primer 2

S pomočjo operacijskega računa poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe pod danimi začetnimi pogoji.

Približen vzorec končne naloge na koncu lekcije.

Najpogostejši gost v diferencialnih enačbah, kot so mnogi že dolgo opazili, so eksponenti, zato si oglejmo nekaj primerov z njimi, njihovimi sorodniki:

Primer 3

, ,

rešitev: S pomočjo Laplaceove transformacijske tabele (leva stran tabele) preidemo od originalov k pripadajočim slikam.

Poglejmo najprej levo stran enačbe. Tam ni prve izpeljanke. Pa kaj? Super. Manj dela. Ob upoštevanju začetnih pogojev z uporabo tabelarnih formul št. 1, 3 najdemo slike:

Poglejte zdaj desno stran: – produkt dveh funkcij. Da bi izkoristili lastnosti linearnosti Laplaceova transformacija, morate odpreti oklepaje: . Ker so konstante v izdelkih, pozabimo nanje in s pomočjo skupine št. 5 tabelarnih formul poiščemo slike:

Zamenjajmo najdene slike v izvirno enačbo:

Naj vas spomnim, da je naslednja naloga izraziti operatorsko rešitev z enim ulomkom.

Na levi strani pustimo izraze, ki vsebujejo , preostale člene pa premaknemo na desno stran. Istočasno začnemo na desni strani ulomke počasi zreducirati na skupni imenovalec:

Na levi ga vzamemo iz oklepaja, na desni izraz spravimo na skupni imenovalec:

Na levi strani dobimo polinom, ki ga ni mogoče faktorizirati. Če polinoma ni mogoče faktorizirati, je treba revčka takoj vreči na dno desne strani, z nogami zabetoniranimi v bazenu. In v števcu odpremo oklepaje in predstavimo podobne izraze:

Prišla je najbolj naporna faza: metoda nedoločenih koeficientov Razširimo operatorsko rešitev enačbe v vsoto elementarnih ulomkov:

Tako:

Opazite, kako je ulomek razčlenjen: , bom kmalu pojasnil, zakaj je tako.

Zaključek: pojdimo od slik k ustreznim izvirnikom, uporabimo desni stolpec tabele:

V obeh spodnjih transformacijah sta bili uporabljeni formuli št. 6 in 7 iz tabele, ulomek pa je bil vnaprej razširjen samo zato, da bi se »prilegal« transformacijam tabele.

Kot rezultat, posebna rešitev:

odgovor: zahtevana posebna rešitev:

Podoben primer za rešitev "naredi sam":

Primer 4

Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe z uporabo metode operacijskega računa.

Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije.

V primeru 4 je eden od začetnih pogojev nič. To zagotovo poenostavi rešitev in najbolj idealna možnost je, ko sta oba začetna pogoja enaka nič: . V tem primeru se izpeljanke pretvorijo v slike brez repov:

Kot smo že omenili, je najtežji tehnični vidik problema razširitev frakcije metoda nedoločenih koeficientov, in imam na voljo precej delovno intenzivne primere. Vendar pa ne bom nikogar ustrahoval s pošastmi, razmislimo o še nekaj tipičnih različicah enačbe:

Primer 5

Z uporabo metode operacijskega računa poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje dane začetne pogoje.
, ,

rešitev: Z Laplaceovo transformacijsko tabelo se premaknemo od originalov do ustreznih slik. Upoštevajoč začetne pogoje :

Tudi z desno stranjo ni težav:

(Ne pozabite, da so konstante množitelja prezrte)

Zamenjajmo dobljene slike v izvirno enačbo in izvedite standardna dejanja, za katera upam, da ste že dobro delali:

Konstanto v imenovalcu vzamemo izven ulomka, glavna stvar je, da na to ne pozabimo pozneje:

Razmišljal sem, ali bi iz števca odstranil še dodatno dvojko, vendar sem po pregledu prišel do zaključka, da ta korak praktično ne bo poenostavil nadaljnje odločitve.

Posebnost naloge je dobljeni ulomek. Zdi se, da bo njegova razgradnja dolga in težka, a videz je varljiv. Seveda so težke stvari, a v vsakem primeru - naprej, brez strahu in dvomov:

Dejstvo, da so se nekatere kvote izkazale za delne, ne bi smelo biti zmedeno; ta situacija ni neobičajna. Če le ne bi zatajila računalniška tehnologija. Poleg tega vedno obstaja možnost preveriti odgovor.

Posledično je rešitev operaterja: