Oglaševanje na portalu

Razdalja od točke do ravnine. Metoda podrobne teorije s primeri (2020). Vektorska metoda

NALOGE C2 ENOTNEGA DRŽAVNEGA IZPITA IZ MATEMATIKE IŠTANJE RAZDALJE OD TOČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Študentka 5. letnika Oddelka za matematiko. analiza, algebra in geometrija EI KFU, Ruska federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

znanstveni mentor dr. ped. znanosti, izredni profesor EI KFU, Ruska federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

V zadnjih letih so se v nalogah enotnega državnega izpita iz matematike pojavile naloge za izračun razdalje od točke do ravnine. V tem članku so na primeru ene težave obravnavane različne metode za iskanje razdalje od točke do ravnine. Najprimernejši način je mogoče uporabiti za reševanje različnih težav. Ko ste težavo rešili z eno metodo, lahko preverite pravilnost rezultata z drugo metodo.

Opredelitev. Razdalja od točke do ravnine, ki te točke ne vsebuje, je dolžina pravokotnice, narisane iz te točke na dano ravnino.

Naloga. Podan je pravokoten paralelepiped ABZD.A. 1 B 1 C 1 D 1 s stranicami AB=2, B.C.=4, A.A. 1 =6. Poiščite razdaljo od točke D letati ACD 1 .

1 način. Uporaba definicija. Poiščite razdaljo r( D, ACD 1) od točke D letati ACD 1 (slika 1).

Slika 1. Prva metoda

Izvajajmo D.H.⊥AC, torej po izreku treh navpičnic D 1 H⊥AC in (DD 1 H)⊥AC. Izvajajmo neposredno D.T. pravokotno D 1 H. Naravnost D.T. leži v ravnini DD 1 H, torej D.T.⊥A.C.. torej D.T.⊥ACD 1.

ADC poiščimo hipotenuzo AC in višina D.H.

Iz pravokotnega trikotnika D 1 D.H. poiščimo hipotenuzo D 1 H in višina D.T.

Odgovor: .

Metoda 2.Volumenska metoda (uporaba pomožne piramide). Tovrsten problem lahko skrčimo na problem izračuna višine piramide, kjer je višina piramide zahtevana razdalja od točke do ravnine. Dokaži, da je ta višina zahtevana razdalja; poiščite prostornino te piramide na dva načina in izrazite to višino.

Upoštevajte, da pri tej metodi ni treba zgraditi pravokotnice iz dane točke na dano ravnino.

Kvader je paralelepiped, katerega vse ploskve so pravokotniki.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Zahtevana razdalja bo višina h piramide ACD 1 D, spuščeno z vrha D na podlagi ACD 1 (slika 2).

Izračunajmo prostornino piramide ACD 1 D dva načina.

Pri izračunu pri prvem načinu za osnovo vzamemo ∆ ACD 1 potem

Pri izračunu na drugi način vzamemo za osnovo ∆ ACD, Potem

Izenačimo desni strani zadnjih dveh enakosti in dobimo

Slika 2. Druga metoda

Iz pravokotnih trikotnikov ACD, DODAJ 1 , CDD 1 poiščite hipotenuzo s pomočjo Pitagorovega izreka

ACD

Izračunajte ploščino trikotnika ACD 1 z uporabo Heronove formule

Odgovor: .

3 način. Koordinatna metoda.

Naj bo podana točka M(x 0 ,l 0 ,z 0) in letalo α , podana z enačbo sekira+avtor+cz+d=0 v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu. Oddaljenost od točke M na ravnino α lahko izračunamo po formuli:

Predstavimo koordinatni sistem (slika 3). Izhodišče koordinat v točki IN;

Naravnost AB- os X, naravnost sonce- os l, naravnost BB 1 - os z.

Slika 3. Tretja metoda

B(0,0,0), A(2,0,0), Z(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Pustiti ax+avtor+ cz+ d=0 – enačba ravnine ACD 1. Zamenjava koordinat točk vanj A, C, D 1 dobimo:

Enačba ravnine ACD 1 bo prevzel obrazec

Odgovor: .

4 način. Vektorska metoda.

Predstavimo osnovo (slika 4) , .

Slika 4. Četrta metoda

, Natečaj "Predstavitev za lekcijo"

Razred: 11

Predstavitev za lekcijo
















Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Cilji:

  • posploševanje in sistematizacija učenčevega znanja in spretnosti;
  • razvoj veščin za analizo, primerjavo, sklepanje.

Oprema:

  • multimedijski projektor;
  • računalnik;
  • listi s problemskimi besedili

NAPREDOVANJE RAZREDA

I. Organizacijski trenutek

II. Faza obnavljanja znanja(diapozitiv 2)

Ponovimo, kako določimo razdaljo od točke do ravnine

III. Predavanje(prosojnice 3-15)

V tej lekciji si bomo ogledali različne načine za iskanje razdalje od točke do ravnine.

Prva metoda: računanje po korakih

Razdalja od točke M do ravnine α:
– enaka razdalji do ravnine α od poljubne točke P, ki leži na premici a, ki poteka skozi točko M in je vzporedna z ravnino α;
– je enaka razdalji do ravnine α od poljubne točke P, ki leži na ravnini β, ki poteka skozi točko M in je vzporedna z ravnino α.

Rešili bomo naslednje težave:

№1. V kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke C 1 do ravnine AB 1 C.

Ostaja še izračunati vrednost dolžine segmenta O 1 N.

№2. V pravilni šesterokotni prizmi A...F 1, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od točke A do ravnine DEA 1.

Naslednja metoda: volumenska metoda.

Če je prostornina piramide ABCM enaka V, se razdalja od točke M do ravnine α, ki vsebuje ∆ABC, izračuna po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri reševanju nalog uporabljamo enakost prostornin ene figure, izraženo na dva različna načina.

Rešimo naslednjo težavo:

№3. Rob AD piramide DABC je pravokoten na osnovno ravnino ABC. Poiščite razdaljo od A do ravnine, ki poteka skozi razpolovišča robov AB, AC in AD, če.

Pri reševanju problemov koordinatna metoda razdaljo od točke M do ravnine α lahko izračunamo z uporabo formule ρ(M; α) = , kjer je M(x 0; y 0; z 0), ravnina pa je podana z enačbo ax + by + cz + d = 0

Rešimo naslednjo težavo:

№4. V enotski kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Predstavimo koordinatni sistem z izhodiščem v točki A, os y bo potekala vzdolž roba AB, os x vzdolž roba AD in os z vzdolž roba AA 1. Nato koordinate točk B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Ustvarimo enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke B, D, C 1.

Potem – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Zato je ρ =

Naslednja metoda, ki jo je mogoče uporabiti za reševanje tovrstnih težav, je način podpornih težav.

Uporaba te metode je sestavljena iz uporabe znanih referenčnih problemov, ki so formulirani kot izreki.

Rešimo naslednjo težavo:

№5. V enotski kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke D 1 do ravnine AB 1 C.

Razmislimo o aplikaciji vektorska metoda.

№6. V enotski kocki A...D 1 poiščite razdaljo od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Tako smo si ogledali različne metode, ki jih je mogoče uporabiti za rešitev te vrste težav. Izbira ene ali druge metode je odvisna od specifične naloge in vaših želja.

IV. Skupinsko delo

Poskusite rešiti težavo na različne načine.

№1. Rob kocke A...D 1 je enak . Poiščite razdaljo od oglišča C do ravnine BDC 1.

№2. V pravilnem tetraedru ABCD z robom poiščite razdaljo od točke A do ravnine BDC

№3. V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od A do ravnine BCA 1.

№4. V pravilni štirikotni piramidi SABCD, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od A do ravnine SCD.

V. Povzetek lekcije, domača naloga, refleksija

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

  • Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

  • Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
  • Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
  • Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
  • Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

  • Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
  • V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.

Oglejmo si določeno ravnino π in poljubno točko M 0 v prostoru. Izberimo za letalo enotski normalni vektor n z začetek v neki točki M 1 ∈ π in naj bo p(M 0 ,π) razdalja od točke M 0 do ravnine π. Nato (slika 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)

od |n| = 1.

Če je podana ravnina π pravokotni koordinatni sistem s svojo splošno enačbo Ax + By + Cz + D = 0, potem je njegov normalni vektor vektor s koordinatami (A; B; C) in lahko izbiramo

Naj sta (x 0 ; y 0 ; z 0) in (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate točk M 0 in M ​​1 . Potem velja enakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, saj točka M 1 pripada ravnini, koordinate vektorja M 1 M 0 pa lahko najdemo: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Snemanje skalarni produkt nM 1 M 0 v koordinatni obliki in transformacijo (5.8), dobimo


ker je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Če želite torej izračunati razdaljo od točke do ravnine, morate koordinate točke nadomestiti s splošno enačbo ravnine in nato razdeliti absolutno vrednost rezultat z normalizacijskim faktorjem, ki je enak dolžini ustreznega normalnega vektorja.