Priprave na šolo

Enciklopedija matematike. Enciklopedija matematike Aksiomi in dokazne metode

Prenesite knjigo Enciklopedija matematike v 5 zvezkih popolnoma brezplačno.

Če želite brezplačno prenesti knjigo z gostitelja datotek, kliknite na povezave takoj za opisom brezplačne knjige.

Dragi bralci, če vam ni uspelo

prenesite Matematično enciklopedijo v 5 zvezkih

pišite o tem v komentarjih in zagotovo vam bomo pomagali.

Upamo, da vam je bila knjiga všeč in ste jo z veseljem brali. V zahvalo lahko pustite povezavo do naše strani na forumu ali blogu :) Elektronska knjiga Matematična enciklopedija v 5 zvezkih je namenjena zgolj informiranju pred nakupom papirnate knjige in ni konkurenca tiskanim publikacijam.

Vsebina članka

MATEMATIKA. Matematika je običajno opredeljena z naštevanjem naslovov nekaterih njenih tradicionalnih oddelkov. Najprej je to aritmetika, ki se ukvarja s preučevanjem števil, odnosov med njimi in pravil delovanja na številke. Dejstva aritmetike dopuščajo različne konkretne interpretacije; na primer, razmerje 2 + 3 = 4 + 1 ustreza trditvi, da dve in tri knjige sestavljajo enako število knjig kot štiri in ena. Vsaka relacija tipa 2 + 3 = 4 + 1, tj. razmerje med čisto matematičnimi predmeti brez sklicevanja na kakršno koli interpretacijo iz fizičnega sveta se imenuje abstraktno. Abstraktna narava matematike omogoča, da jo največ uporabimo pri reševanju različne težave... Na primer, algebra, ki se ukvarja z operacijami s številkami, vam omogoča reševanje problemov, ki presegajo aritmetiko. Bolj specifična veja matematike je geometrija, katere glavna naloga je preučevanje velikosti in oblik predmetov. Kombinacija algebraičnih in geometrijskih metod vodi na eni strani do trigonometrije (prvotno posvečene proučevanju geometrijskih trikotnikov, zdaj pa pokriva veliko širši obseg vprašanj), po drugi strani pa do analitične geometrije, v kateri je geometrijska telesa in figure raziskujemo z algebrskimi metodami. Obstaja več vej višje algebre in geometrije, ki imajo višjo stopnjo abstrakcije in se ne ukvarjajo s preučevanjem navadnih števil in navadnih geometrijskih likov; najbolj abstraktna geometrijska disciplina se imenuje topologija.

Matematična analiza se ukvarja s preučevanjem veličin, ki se spreminjajo v prostoru ali času, in temelji na dveh osnovnih pojmih – funkciji in meji, ki ju v osnovnih vejah matematike ni. Sprva je bila matematična analiza sestavljena iz diferencialnega in integralnega računa, zdaj pa vključuje druge dele.

Obstajata dve glavni področji matematike - čista matematika, ki poudarja deduktivno sklepanje, in uporabna matematika. Izraz "uporabna matematika" se včasih nanaša na tiste veje matematike, ki so ustvarjene posebej za izpolnjevanje potreb in zahtev znanosti, včasih pa na tiste veje različnih znanosti (fizika, ekonomija itd.), ki uporabljajo matematiko kot sredstvo reševanje svojih nalog. Številne pogoste napačne predstave o matematiki izhajajo iz mešanja teh dveh interpretacij "uporabne matematike". Aritmetika je primer uporabne matematike v prvem smislu in računovodstva v drugem.

V nasprotju s splošnim prepričanjem matematika še naprej hitro napreduje. Revija Mathematical Review objavlja pribl. 8000 povzetkov prispevkov, ki vsebujejo najnovejše rezultate - nova matematična dejstva, nove dokaze starih dejstev in celo informacije o povsem novih področjih matematike. Trenutni trend v izobraževanju matematike je seznanjanje študentov s sodobnimi, bolj abstraktnimi matematičnimi idejami že v zgodnejši fazi poučevanja matematike. Poglej tudi ZGODOVINA MATEMATIKA. Matematika je eden od temeljnih kamnov civilizacije, vendar le malo ljudi ima predstavo o trenutnem stanju v tej znanosti.

V zadnjih sto letih je matematika doživela ogromne spremembe tako glede vsebine kot tudi metod raziskovanja. V tem članku bomo poskušali dati splošno predstavo o glavnih fazah razvoja sodobne matematike, katerih glavne rezultate je mogoče šteti, po eni strani, povečanje vrzeli med čisto in uporabno matematiko, na drugi strani pa popoln premislek o tradicionalnih področjih matematike.

RAZVOJ MATEMATIČNE METODE

Rojstvo matematike.

Okoli leta 2000 pr je bilo opaženo, da je v trikotniku s stranicami 3, 4 in 5 enot dolžine eden od kotov 90 ° (to opazovanje je olajšalo izgradnjo pravega kota za praktične potrebe). Ste takrat opazili razmerje 5 2 = 3 2 + 4 2? O tem nimamo informacij. Nekaj stoletij pozneje je bilo odkrito splošno pravilo: v katerem koli trikotniku ABC s pravim kotom na vrhu A in zabave b = AS in c = AB, med katerim je zaprt ta kot, in nasprotna stran a = pr razmerje je res a 2 = b 2 + c 2. Lahko rečemo, da se znanost začne, ko je množica posameznih opazovanj razložena z enim splošnim zakonom; zato lahko odkritje "pitagorejskega izreka" štejemo za enega prvih znanih primerov resničnega znanstvenega dosežka.

Še pomembneje pa je za znanost nasploh in za matematiko zlasti to, skupaj s formulacijo splošno pravo obstajajo poskusi dokazovanja, tj. kažejo, da nujno izhaja iz drugih geometrijskih lastnosti. Eden od vzhodnih "dokazov" je še posebej presenetljiv v svoji preprostosti: štirje trikotniki, enaki temu, so vpisani v kvadrat BCDE kot je prikazano na risbi. Kvadratno območje a 2 se izkaže za razdeljeno na štiri enake trikotnike s skupno površino 2 pr in kvadratni AFGH območje ( b – c) 2. V to smer, a 2 = (b – c) 2 + 2pr = (b 2 + c 2 – 2pr) + 2pr = b 2 + c 2. Poučno je narediti še en korak in natančneje ugotoviti, katere »prejšnje« lastnosti naj bi bile znane. Najbolj očitno dejstvo je, da od trikotnikov BAC in BEF natančno, brez vrzeli in prekrivanj, "prigrajenih" ob straneh BA in Bf, to pomeni, da sta dva vogala na ogliščih B in Z v trikotniku ABC skupaj tvorita kot 90 °, zato je vsota vseh treh njegovih kotov 90 ° + 90 ° = 180 °. Zgornji "dokaz" uporablja tudi formulo ( pr/ 2) za območje trikotnika ABC kot vrha 90 ° A... Pravzaprav so bile uporabljene tudi druge predpostavke, toda povedano je dovolj, da lahko jasno vidimo bistveni mehanizem matematičnega dokaza – deduktivno sklepanje, ki nam omogoča sklepanje iz znani rezultati nove lastnosti običajno ne izhajajo neposredno iz razpoložljivih podatkov.

Aksiomi in dokazne metode.

Ena od temeljnih značilnosti matematične metode je proces ustvarjanja verige stavkov, v kateri je vsaka naslednja povezava povezana s prejšnjimi, z uporabo skrbno zgrajenih povsem logičnih argumentov. Prvi dokaj očiten premislek je, da mora obstajati prvi člen v kateri koli verigi. Ta okoliščina je postala očitna Grkom, ko so v 7. stoletju začeli sistematizirati nabor matematičnih argumentov. pr. Za izvedbo tega načrta so Grki potrebovali pribl. 200 let, ohranjeni dokumenti pa dajejo le grobo predstavo o tem, kako natančno so delovali. Natančne informacije imamo le o končnem rezultatu raziskave – slavnem Začetki Evklid (ok. 300 pr.n.št.). Evklid začne z naštevanjem izhodišč, iz katerih se vse ostalo razbere s povsem logičnimi sredstvi. Te določbe imenujemo aksiomi ali postulati (izrazi so praktično zamenljivi); izražajo bodisi zelo splošne in nekoliko nejasne lastnosti predmetov katere koli vrste, na primer "celota je večja od dela", ali nekatere posebne matematične lastnosti, na primer, da za kateri koli dve točki obstaja ena sama črta, ki ju povezuje. Prav tako nimamo podatkov o tem, ali so Grki »resnici« aksiomov pripisovali kakšen globlji pomen ali pomen, čeprav obstaja nekaj namigov, da so Grki, preden so sprejeli določene aksiome, o njih nekaj časa razpravljali. Pri Evklidu in njegovih privržencih so aksiomi predstavljeni le kot izhodišča za gradnjo matematike brez pripomb na njihovo naravo.

Kar zadeva dokazne metode, so se praviloma zmanjšale na neposredno uporabo predhodno dokazanih izrekov. Včasih pa se je logika sklepanja izkazala za bolj zapleteno. Tu bomo omenili najljubšo Evklidovo metodo, ki je vstopila v vsakodnevno prakso matematike – posredni dokaz ali dokaz s protislovjem. Kot elementarni primer protislovnega dokazovanja pokažemo, da šahovnice, iz katere sta izrezani dve kotni polji, ki se nahajata na nasprotnih koncih diagonale, ni mogoče prekriti z dominami, od katerih je vsaka enaka dvema poljema. (Predvideva se, da mora biti vsako polje na šahovnici pokrito samo enkrat.) Recimo, da je nasprotna ("nasprotna") trditev resnična, tj. da lahko desko prekrijete z domino kostmi. Vsaka ploščica pokriva en črni in en beli kvadrat, tako da ne glede na to, kje se nahajajo domine, pokrivajo enako število črnih in belih kvadratov. Ker pa sta dva vogalna polja odstranjena, ima šahovnica (ki je prvotno imela toliko črnih kvadratov kot belih kvadratov) dva več polja ene barve kot kvadratov druge barve. To pomeni, da naša začetna predpostavka ne more biti resnična, saj vodi v protislovje. In ker nasprotujoče si sodbe ne morejo biti hkrati napačne (če je ena od njih napačna, potem je res nasprotno), mora biti naša začetna predpostavka resnična, saj je nasprotujoča si predpostavka napačna; zato šahovnice z dvema diagonalno odrezanima vogalnima poljema ni mogoče prekriti z dominami. Torej, da bi dokazali neko trditev, lahko domnevamo, da je napačna, in iz te predpostavke izpeljemo protislovje z neko drugo trditvijo, katere resnica je znana.

Odličen primer dokaza s protislovjem, ki je postal eden od mejnikov v razvoju starogrške matematike, je dokaz, ki ni racionalno število, t.j. ni mogoče predstaviti kot ulomek str/q, kje str in q- cela števila. Če, potem 2 = str 2 /q 2, od koder str 2 = 2q 2. Recimo, da obstajata dve celi števili str in q za katero str 2 = 2q 2. Z drugimi besedami, domnevamo, da obstaja celo število, katerega kvadrat je dvakrat večji od kvadrata drugega celega števila. Če katera koli cela števila izpolnjujejo ta pogoj, mora biti eno od njih manjše od vseh ostalih. Osredotočimo se na najmanjšo od teh številk. Naj bo številka str... Od 2 q 2 je sodo število in str 2 = 2q 2, nato številka str 2 mora biti sodo. Ker so kvadrati vseh lihih številk lihi, in kvadrat str 2 je sodo, pomeni samo število str mora biti enakomeren. Z drugimi besedami, številka str dvakrat neko celo število r... Ker str = 2r in str 2 = 2q 2, imamo: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 in q 2 = 2r 2. Zadnja enakost ima enako obliko kot enakost str 2 = 2q 2, in lahko s ponavljanjem istega sklepanja pokažemo, da je število q je sodo in da obstaja tako celo število s, kaj q = 2s... Potem pa q 2 = (2s) 2 = 4s 2 in od takrat q 2 = 2r 2, sklepamo, da 4 s 2 = 2r 2 oz r 2 = 2s 2. Tako dobimo drugo celo število, ki izpolnjuje pogoj, da je njegov kvadrat dvakrat večji od kvadrata drugega celega števila. Potem pa str ne more biti najmanjše tako število (od r = str/ 2), čeprav smo sprva domnevali, da je najmanjša od takšnih številk. Zato je naša prvotna predpostavka napačna, saj vodi v protislovje, zato teh celih števil ni str in q za katero str 2 = 2q 2 (tj. takšna). To pomeni, da število ne more biti racionalno.

Od Evklida do začetka 19. stoletja

V tem obdobju je matematika doživela pomembne spremembe zaradi treh novosti.

(1) Med razvojem algebre je bila izumljena metoda simbolnega zapisa, ki je omogočila skrajšano predstavitev vedno bolj zapletenih razmerij med količinami. Kot primer nevšečnosti, ki bi nastale, če ne bi bilo takšne "kurzivne pisave", poskusimo z besedami prenesti razmerje ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: "Površina kvadrata s stranico, ki je enaka vsoti stranic dveh danih kvadratov, je enaka vsoti njunih površin skupaj z dvakratno površino pravokotnika, katerega stranice so enake stranicam ti kvadratki."

(2) Nastajanje v prvi polovici 17. stoletja. analitična geometrija, ki je omogočila, da se vsak problem klasične geometrije reducira na nek algebraični problem.

(3) Ustvarjanje in razvoj v obdobju od 1600 do 1800 računa infinitezimal, ki je omogočil enostavno in sistematično reševanje na stotine problemov, povezanih s pojmoma meje in kontinuitete, od katerih je bilo le zelo nekaj rešenih z veliko težave starogrških matematikov. Te veje matematike so podrobneje obravnavane v člankih ALGEBRA; ANALITIČNA GEOMETRIJA ; MATEMATIČNA ANALIZA ; PREGLED GEOMETRIJE.

Od 17. stoletja. postopoma postaja jasno vprašanje, ki je do zdaj ostalo nerešljivo. Kaj je matematika? Do leta 1800 je bil odgovor dovolj preprost. Takrat še ni bilo jasnih meja med različnimi znanostmi, matematika je bila del » naravna filozofija"- sistematično preučevanje narave po metodah, ki so jih predlagali veliki reformatorji renesanse in začetka 17. - Galileo (1564-1642), F. Bacon (1561-1626) in R. Descartes (1596-1650). Veljalo je, da imajo matematiki svoje področje študija – števila in geometrijske objekte, in da matematiki niso uporabljali eksperimentalne metode. Vendar pa so Newton in njegovi privrženci preučevali mehaniko in astronomijo z uporabo aksiomatske metode, podobno kot je bila geometrija predstavljena v Evklidu. Na splošno je bilo priznano, da vsaka znanost, v kateri so rezultati eksperimenta predstavljeni v smislu številk ali sistemov številk, postane področje uporabe matematike (v fiziki se je ta koncept uveljavil šele v 19. stoletju).

Področja eksperimentalne znanosti, ki so bila matematično obdelana, se pogosto imenujejo "uporabna matematika"; to je zelo ponesrečeno ime, saj niti po klasičnih niti po sodobnih standardih v teh aplikacijah ni (v ožjem pomenu) resnično matematičnih argumentov, saj so predmet raziskovanja v njih nematematični objekti. Ko so eksperimentalni podatki prevedeni v jezik številk ali enačb (takšen »prevod« pogosto zahteva veliko iznajdljivost od »uporabnega« matematika), postane možna široka uporaba matematičnih izrekov; rezultat se nato prevede nazaj in primerja z opazovanji. Dejstvo, da se za tovrstne procese uporablja izraz "matematika", je eden od virov neskončnega nesporazuma. V »klasičnih« časih, o katerih govorimo zdaj, tovrstnega nesporazuma ni bilo, saj so bili isti ljudje tako »uporabni« kot »čisti« matematiki, ki so se hkrati ukvarjali s problemi matematične analize ali teorije števil in problemi dinamiko ali optiko. Vendar sta povečana specializacija in težnja po izolaciji "čistega" in "uporabnega" matematika bistveno oslabili prej obstoječo tradicijo univerzalnosti in znanstveniki, ki so tako kot J. von Neumann (1903-1957) lahko vodili aktivno znanstvena dejavnost tako v uporabni kot v čisti matematiki, so postale prej izjema kot pravilo.

Kakšna je narava matematičnih predmetov – številk, točk, črt, kotov, površin itd. – za katere smo vzeli za samoumevno, da obstajajo? Kaj pomeni pojem "resnica" v zvezi s takšnimi predmeti? Na ta vprašanja so bili v klasičnem obdobju dani dokaj natančni odgovori. Seveda so znanstveniki tiste dobe jasno razumeli, da v svetu naših občutkov ni stvari, kot so "neskončno podaljšana ravna črta" ali "brezrazmerna točka" Evklida, saj ni "čistih kovin", "enokromatske svetlobe". ", "toplotno izolirani sistemi" itd. .d., ki jih eksperimentatorji uporabljajo v svojih sklepih. Vsi ti koncepti so »platonske ideje«, tj. nekakšen generativni model empiričnih konceptov, čeprav radikalno drugačne narave. Kljub temu se je tiho domnevalo, da so fizične »podobe« idej lahko tako blizu idejam samim, kot je želeno. Kolikor je mogoče na splošno karkoli trditi o bližini objektov idejam, se pravi, da so »ideje« tako rekoč »omejeni primeri« fizičnih objektov. S tega vidika Evklidovi aksiomi in iz njih izpeljani izreki izražajo lastnosti »idealnih« predmetov, ki morajo ustrezati predvidljivim eksperimentalnim dejstev. Na primer, merjenje kotov trikotnika, ki ga tvorijo tri točke v prostoru z optičnimi metodami, bi moralo v "idealnem primeru" dati vsoto, ki je enaka 180 °. Z drugimi besedami, aksiomi so postavljeni na isto raven s fizikalnimi zakoni, zato je njihova »resnica« zaznana na enak način kot resnica fizikalnih zakonov; tiste. logične posledice iz aksiomov so predmet preverjanja s primerjavo z eksperimentalnimi podatki. Seveda je soglasje mogoče doseči le v okviru napake, povezane z "nepopolno" naravo merilne naprave in "nepopolno naravo" merjenega predmeta. Vedno pa se domneva, da če so zakoni "resnični", potem izboljšave v merilnih procesih načeloma omogočajo, da je merilna napaka poljubno majhna.

Skozi celotno 18. stoletje. vse več je bilo dokazov, da so vse posledice, pridobljene iz osnovnih aksiomov, zlasti v astronomiji in mehaniki, skladne z eksperimentalnimi podatki. In ker so bile te posledice pridobljene z uporabo takrat obstoječega matematičnega aparata, so doseženi uspehi prispevali k utrjevanju mnenja o resničnosti Evklidovih aksiomov, ki je, kot je rekel Platon, "jasen vsem" in ni podvržen diskusija.

Dvomi in nova upanja.

Neevklidska geometrija.

Med postulati, ki jih je navedel Evklid, je bil eden tako nejasen, da so ga celo prvi učenci velikega matematika smatrali za šibko točko sistema. Začelo... Zadevni aksiom pravi, da je skozi točko, ki leži zunaj dane premice, mogoče potegniti samo eno premo črto, vzporedno z dano premo črto. Večina geometrov je verjela, da je vzporedni aksiom mogoče dokazati z drugimi aksiomi in da je Evklid formuliral vzporedno trditev kot postulat preprosto zato, ker ni mogel priti do takšnega dokaza. Ampak vendarle najboljši matematiki poskušal rešiti vzporedni problem, nobenemu od njih ni uspelo preseči Evklida. Končno v drugi polovici 18. st. Poskušali so dokazati Evklidov postulat o vzporednosti in protislovju. Domnevalo se je, da je vzporedni aksiom napačen. A priori bi se Evklidov postulat lahko izkazal za napačnega v dveh primerih: če ni mogoče potegniti ene same vzporednice skozi točko zunaj dane premice; ali če je mogoče skozi njo potegniti več vzporednih. Izkazalo se je, da prvo a priori možnost izključujejo drugi aksiomi. Potem ko so namesto tradicionalnega vzporednega aksioma sprejeli nov aksiom (da je skozi točko zunaj dane premice mogoče potegniti več ravnih črt, ki so vzporedne z dano), so matematiki poskušali iz njega izpeljati trditev, ki je v nasprotju z drugimi aksiomi, vendar jim ni uspelo: ne glede na to, koliko so se trudili izvleči posledice iz novega »antievklidskega« ali »neevklidskega« aksioma, protislovja ni prišlo. Končno sta neodvisno drug od drugega NI Lobačevski (1793–1856) in J. Boyai (1802–1860) spoznala, da je Evklidov postulat o vzporednicah nedokazljiv oziroma, z drugimi besedami, v »neevklidski geometriji« se ne pojavi protislovje. .

S pojavom neevklidske geometrije se je takoj pojavilo več filozofskih problemov. Ker je trditev o a priori nujnosti aksiomov izginila, je ostal edini način za preverjanje njihove "resnice" - eksperimentalni. Toda, kot je pozneje opazil Poincaré (1854–1912), je v opisu katerega koli pojava skritih toliko fizičnih predpostavk, da noben eksperiment ne more zagotoviti prepričljivega dokaza o resnici ali napačnosti matematičnega aksioma. Poleg tega, tudi če domnevamo, da je naš svet »neevklidski«, ali iz tega sledi, da je vsa evklidska geometrija napačna? Kolikor je znano, še noben matematik takšne hipoteze ni jemal resno. Intuicija je narekovala, da sta tako evklidska kot neevklidska geometrija primera polnopravne matematike.

Matematične "pošasti".

Nenadoma so prišli do istih zaključkov s povsem druge strani - odkriti so bili predmeti, ki so pahnili matematike 19. stoletja. šokirani in imenovani "matematične pošasti". To odkritje je neposredno povezano z zelo občutljivimi vprašanji matematične analize, ki so se pojavila šele sredi 19. stoletja. Težave so se pojavile pri poskusu iskanja natančnega matematičnega analoga eksperimentalnemu konceptu krivulje. Kaj je bilo bistvo koncepta "neprekinjenega gibanja" (na primer konica risalnega peresa, ki se premika po listu papirja), je bilo predmet natančne matematične opredelitve in ta cilj je bil dosežen, ko je koncept kontinuitete pridobil strogo matematično pomen ( cm. tudi KRIVLJA). Intuitivno se je zdelo, da ima "krivulja" na vsaki svoji točki nekakšno smer, tj. v splošnem primeru se v bližini vsake svoje točke krivulja obnaša skoraj enako kot ravna črta. (Po drugi strani pa si je enostavno predstavljati, da ima krivulja končno število vogalnih točk, "kink", kot poligon.) To zahtevo bi lahko formulirali matematično, in sicer je bil predpostavljen obstoj tangente na krivuljo. , in vse do sredine 19. stoletja. veljalo je, da ima "krivulja" tangento na skoraj vseh svojih točkah, morda z izjemo nekaterih "singularnih" točk. Zato je odkritje "krivulj", ki na nobeni točki niso imele tangente, povzročilo pravi škandal ( cm. tudi TEORIJA FUNKCIJ). (Bralec, ki pozna trigonometrijo in analitično geometrijo, lahko zlahka preveri, ali je krivulja, ki jo daje enačba y = x greh (1/ x), nima tangente v izhodišču, vendar je veliko težje definirati krivuljo, ki nima tangente na nobeni od svojih točk.)

Malo kasneje je bil pridobljen veliko bolj "patološki" rezultat: uspeli smo zgraditi primer krivulje, ki v celoti zapolni kvadrat. Od takrat je bilo v nasprotju z "zdravo pametjo" izumljenih na stotine takšnih "pošasti". Poudariti je treba, da obstoj tako nenavadnih matematičnih objektov izhaja iz osnovnih aksiomov tako strogo in logično brezhibno kot obstoj trikotnika ali elipse. Ker matematične "pošasti" ne morejo ustrezati nobenemu eksperimentalnemu objektu in je edini možni sklep, da je svet matematičnih "idej" veliko bogatejši in bolj nenavaden, kot bi lahko pričakovali, in zelo malo jih ima korespondence v svetu naših občutkov . Če pa matematične "pošasti" logično izhajajo iz aksiomov, se potem aksiomi še vedno lahko štejejo za resnične?

Novi predmeti.

Zgornji rezultati so se potrdili še na eni strani: v matematiki, predvsem v algebri, so se začeli pojavljati drug za drugim novi matematični objekti, ki so bili posplošitve pojma števila. Navadna cela števila so precej "intuitivna" in sploh ni težko priti do eksperimentalnega koncepta ulomka (čeprav je treba priznati, da sta operacija delitve enote na več enakih delov in izbira večih od njih sama po sebi drugačen od postopka štetja). Potem ko je postalo jasno, da števila ni mogoče predstaviti v obliki ulomka, so bili Grki prisiljeni upoštevati iracionalna števila, katerih pravilna definicija z uporabo neskončnega zaporedja približkov z racionalnimi števili spada med najvišje dosežke človeškega uma, vendar skoraj ne ustreza ničemur resničnemu v našem fizičnem svetu (kjer je vsako merjenje vedno nagnjeno k napakam). Kljub temu je uvedba iracionalnih številk potekala bolj ali manj v duhu »idealiziranja« fizikalnih konceptov. Kaj pa negativna števila, ki so počasi, ob velikem odporu, začela vstopati v znanstveno rabo v povezavi z razvojem algebre? Z vso gotovostjo lahko trdimo, da ni bilo že pripravljenih fizičnih objektov, iz katerih bi lahko s postopkom neposredne abstrakcije razvili koncept negativnega števila, pri poučevanju osnovnega predmeta algebre pa moramo uvesti številne pomožni in precej zapleteni primeri (usmerjeni segmenti, temperature, dolgovi itd.) za razjasnitev, kaj so negativna števila. Takšna situacija je zelo daleč od koncepta "jasen vsem", kot je Platon zahteval od idej, na katerih temelji matematika, in ni nenavadno srečati diplomantov, za katere velja pravilo znakov (- a)(–b) = ab. Poglej tudiŠTEVILKA .

Še slabše je stanje z "namišljenimi" ali "kompleksnimi" številkami, saj vključujejo "število" jaz, tako da jaz 2 = –1, kar je očitna kršitev pravila predznaka. Kljub temu so matematiki s poznega 16. stoletja. ne oklevajte izvajati izračunov s kompleksnimi števili, kot da bi bili "smiselni", čeprav pred 200 leti teh "predmetov" niso mogli definirati ali interpretirati s katero koli pomožno konstrukcijo, saj so jih na primer interpretirali z negativnimi usmerjenimi segmenti številke. (Od leta 1800 je bilo predlaganih več interpretacij kompleksna števila, najbolj znana je uporaba vektorjev v ravnini.)

Sodobna aksiomatika.

Prevrat se je zgodil v drugi polovici 19. stoletja. In čeprav tega ni spremljalo sprejemanje uradnih izjav, je v resnici šlo le za razglasitev nekakšne »razglasitve neodvisnosti«. Natančneje, o de facto razglasitvi neodvisnosti matematike od zunanjega sveta.

S tega vidika so matematični »objekti«, če je sploh smiselno govoriti o njihovem »obstoju«, čisti produkt razuma in ali imajo kakšne »korespondence« in ali dopuščajo kakršno koli »interpretacijo« v fizičnem svetu, saj je matematika nepomembna (čeprav je to vprašanje samo po sebi zanimivo).

"Resnične" izjave o takšnih "objektih" so vse iste logične posledice iz aksiomov. Toda zdaj je treba aksiome obravnavati kot popolnoma poljubne in zato ni potrebe po njihovi "očitnosti" ali dedukciji iz vsakdanjega izkustva s pomočjo "idealizacije". V praksi je popolna svoboda omejena z različnimi premisleki. Seveda "klasični" predmeti in njihovi aksiomi ostajajo nespremenjeni, vendar jih zdaj ni mogoče šteti za edine predmete in aksiome matematike, v vsakodnevno prakso pa je prišla navada zavračanja ali spreminjanja aksiomov, tako da jih je mogoče uporabiti v na različne načine, kot je bilo storjeno pri prehodu iz evklidske geometrije v neevklidsko. (Na ta način so bile pridobljene številne različice "neevklidskih" geometrij, ki se razlikujejo od evklidske geometrije in od geometrije Lobačevskega-Boyaija; na primer obstajajo neevklidske geometrije, v katerih ni vzporednih črt.)

Posebej bi rad poudaril eno okoliščino, ki izhaja iz novega pristopa k matematičnim »objektom«: vsi dokazi morajo temeljiti izključno na aksiomih. Če pomislimo na definicijo matematičnega dokaza, se lahko takšna izjava zdi kot ponavljanje. Vendar pa je bilo to pravilo redko opaženo v klasični matematiki zaradi "intuitivne" narave njenih predmetov ali aksiomov. Celo v Začetki Evklid, kljub vsej njihovi navidezni "strogosti", mnogi aksiomi niso eksplicitno formulirani in številne lastnosti so bodisi tiho domnevane ali uvedene brez zadostne utemeljitve. Da bi evklidsko geometrijo postavili na trdne temelje, je bila potrebna kritična revizija njenih samih začetkov. Komaj je vredno reči, da je pedantni nadzor nad najmanjšimi podrobnostmi dokaza posledica pojava "pošasti", ki so sodobne matematike naučile, da so previdni pri svojih sklepih. Najbolj neškodljiva in "samoumevna" izjava o klasičnih predmetih, na primer izjava, da krivulja, ki povezuje točke na nasprotnih straneh premice, zagotovo seka to ravno črto, v sodobni matematiki zahteva strog formalni dokaz.

Morda se zdi paradoksalno reči, da je sodobna matematika prav zaradi svoje zavezanosti aksiomom jasen primer tega, kakšna bi morala biti vsaka znanost. Kljub temu ta pristop ponazarja značilnost enega najbolj temeljnih procesov znanstvenega mišljenja – pridobivanje točnih informacij v situaciji nepopolnega znanja. Znanstvena raziskava določenega razreda predmetov predpostavlja, da so lastnosti, ki omogočajo razlikovanje nekaterih predmetov od drugih, namerno predane v pozabo, ohranijo pa se le splošne značilnosti obravnavanih predmetov. Tisto, kar loči matematiko od splošnega spektra znanosti, je strogo upoštevanje tega programa v vseh njegovih točkah. Menijo, da so matematični objekti v celoti opredeljeni z aksiomi, ki se uporabljajo v teoriji teh objektov; ali, po Poincaréju, aksiomi služijo kot "prikrite definicije" predmetov, na katere se nanašajo.

SODOBNA MATEMATIKA

Čeprav je teoretično možen obstoj kakršnih koli aksiomov, je bilo doslej predlaganih in raziskanih le majhno število aksiomov. Običajno se pri razvoju ene ali več teorij opazi, da se nekatere sheme dokazovanja ponavljajo v bolj ali manj podobnih pogojih. Ko so lastnosti, uporabljene v splošnih dokaznih shemah, odkrite, se oblikujejo v obliki aksiomov, posledice pa so vgrajene v splošno teorijo, ki nima neposredne povezave s specifičnimi konteksti, iz katerih so bili aksiomi abstrahirani. Splošni izreki, dobljeni v tem primeru, so uporabni za vsako matematično situacijo, v kateri obstajajo sistemi predmetov, ki izpolnjujejo ustrezne aksiome. Ponavljanje istih dokaznih shem v različnih matematičnih situacijah kaže, da imamo opravka z različnimi konkretizacijami iste splošne teorije. To pomeni, da po ustrezni interpretaciji aksiomi te teorije v vsaki situaciji postanejo teoremi. Vsaka lastnost, izpeljana iz aksiomov, bo veljavna v vseh teh situacijah, vendar za vsak primer ni potrebe po ločenem dokazu. V takih primerih naj bi imele matematične situacije enako matematično "strukturo".

Koncept strukture uporabljamo na vsakem koraku Vsakdanje življenje... Če termometer kaže 10 °C in napoveduje prognostični urad za dvig temperature za 5 °C, brez izračunov pričakujemo temperaturo 15 °C Če je knjiga odprta na strani 10 in nas prosijo, da pogledamo 5 strani naprej, brez obotavljanja ga odpremo na strani 15 brez štetja vmesnih strani. V obeh primerih menimo, da seštevanje številk daje pravilen rezultat, ne glede na to, ali jih razlagamo kot temperature ali številke strani. Ni se nam treba učiti ene aritmetike za termometre in druge za številke strani (čeprav pri uresničevanju ur uporabljamo posebno aritmetiko, v kateri je 8 + 5 = 1, saj imajo ure drugačno strukturo kot strani knjige). Strukture, ki zanimajo matematike, so nekoliko bolj zapletene, kar je zlahka razvidno iz primerov, katerih analiza je namenjena naslednjima dvema razdelkoma tega članka. Eden od njih obravnava teorijo skupin in matematične koncepte struktur in izomorfizmov.

Teorija skupin.

Za boljše razumevanje zgoraj opisanega postopka splošni oris, si bomo vzeli svobodo in pogledali v laboratorij sodobnega matematika in si podrobneje ogledali eno njegovih glavnih orodij - teorijo skupin ( cm. tudi ALGEBRA IZVLEČEK). Skupina je niz (ali "skupina") predmetov G, na katerem je definirana operacija, ki preslika poljubna dva predmeta ali elementa a, b od G, vzeto v določenem vrstnem redu (prvi je element a, drugi - element b), tretji element c od G po strogo določenem pravilu. Zaradi kratkosti označujemo ta element a*b; zvezdica (*) označuje operacijo sestave dveh elementov. Ta operacija, ki jo bomo imenovali skupinsko množenje, mora izpolnjevati naslednje pogoje:

(1) za katere koli tri elemente a, b, c od G lastnost asociativnosti je izpolnjena: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) v G obstaja tak element e to za kateri koli element a od G razmerje drži e*a = a*e = a; ta predmet e imenujemo en sam ali nevtralen element skupine;

(3) za kateri koli element a od G obstaja tak element aў, imenovano inverzno ali simetrično na element a, kaj a*aў = aў* a = e.

Če te lastnosti vzamemo kot aksiome, potem njihove logične posledice (neodvisne od drugih aksiomov ali izrekov) skupaj tvorijo tisto, kar običajno imenujemo teorija skupin. Izkazalo se je, da je te posledice enkrat za vselej izpeljati zelo koristno, saj se skupine pogosto uporabljajo v vseh vejah matematike. Izmed tisoč možnih primerov skupin bomo izbrali le nekaj najpreprostejših.

(a) Ulomki str/q, kje str in q- poljubna cela števila і1 (za q= 1 dobimo navadna cela števila). Ulomki str/q sestavite skupino glede na množenje skupine ( str/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Lastnosti (1), (2), (3) izhajajo iz aksiomov aritmetike. Resnično, [( str/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (str/q)*[(r/s)*(t/u)]. Enota je število 1 = 1/1, saj (1/1) * ( str/q) = (1H str) / (1H q) = str/q... Končno, obrat od ulomka str/q, je ulomek q/str, Ker ( str/q)*(q/str) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Upoštevajte kot G niz štirih celih števil 0, 1, 2, 3 in as a*b- preostanek oddelka a + b po 4. Rezultati tako uvedene operacije so predstavljeni v tabeli. 1 (element a*b stoji na presečišču črte a in stolpec b). Preprosto je preveriti, da so lastnosti (1) - (3) izpolnjene, število 0 pa je element enote.

(c) Izberimo kot G niz številk 1, 2, 3, 4 in kot a*b- preostanek oddelka ab(običajni izdelek) za 5. Kot rezultat dobimo tabelo. 2. Preprosto je preveriti, ali so lastnosti (1) - (3) izpolnjene, 1 pa je element enote.

(d) Štiri predmete, kot so štiri številke 1, 2, 3, 4, je mogoče razporediti v vrsto na 24 načinov. Vsako lokacijo lahko vizualiziramo kot transformacijo, ki prevede "naravno" lokacijo v dano; na primer lokacijo 4, 1, 2, 3 dobimo s preoblikovanjem

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

ki jih je mogoče napisati v bolj priročni obliki

Za kateri koli dve takšni transformaciji S, T bomo opredelili S*T kot preobrazba, ki bo rezultat zaporednega izvajanja T, in potem S... Na primer, če, potem. S to definicijo vseh 24 možnih transformacij tvori skupino; njegov enotni element je, element pa je inverzen S, ki ga dobimo z zamenjavo puščic v definiciji S nasprotno; na primer, če, potem.

To je enostavno videti v prvih treh primerih a*b = b*a; v takih primerih pravimo, da je skupinsko ali skupinsko množenje komutativno. Po drugi strani pa v zadnjem primeru in zato T*S razlikuje od S*T.

Skupina iz primera (d) je poseben primer ti. simetrična skupina, katere obseg med drugim zajema metode za reševanje algebraičnih enačb in obnašanje črt v spektrih atomov. Skupine iz primerov (b) in (c) igrajo pomembno vlogo v teoriji števil; v primeru (b) lahko število 4 nadomestimo s katerim koli celim številom n, številke od 0 do 3 pa so številke od 0 do n- 1 (pri n= 12 dobimo sistem številk, ki stojijo na številčnicah ure, kot smo že omenili); v primeru (c) lahko število 5 nadomestimo s katerim koli praštevilom R, številke od 1 do 4 pa so številke od 1 do str – 1.

Strukture in izomorfizem.

Prejšnji primeri kažejo, kako raznolika je lahko narava predmetov, ki sestavljajo skupino. Toda v resnici se v vsakem primeru vse vrti po istem scenariju: od lastnosti niza predmetov upoštevamo le tiste, ki ta niz spremenijo v skupino (tukaj je primer nepopolnega znanja!). V takih primerih pravimo, da upoštevamo strukturo skupine, ki jo daje izbrano množenje skupine.

Drug primer strukture je t.i. struktura naročila. Kup E obdarjen s strukturo reda ali urejen med elementi a è b lasti E, podana je neka relacija, ki jo bomo označili R (a,b). (Ta odnos bi moral biti smiseln za kateri koli par elementov iz E, vendar je na splošno za nekatere pare napačno in za druge drži, na primer razmerje 7

(1) R (a,a) velja za vse a lasti E;

(2) od R (a,b) in R (b,a) temu sledi a = b;

(3) od R (a,b) in R (b,c) sledi R (a,c).

Tukaj je nekaj primerov iz ogromnega števila različnih urejenih sklopov.

(a) E sestavljen iz vseh celih števil, R (a,b) Ali je relacija » a manj ali enako b».

(b) E sestavljen iz vseh celih številk> 1, R (a,b) Ali je relacija » a deli b ali enako b».

Kot zadnji primer strukture omenimo strukturo metričnega prostora; takšna struktura je podana na setu Eče vsak par elementov a in b ki pripadajo E, lahko vpišete številko d (a,b) і 0, ki izpolnjuje naslednje lastnosti:

(1) d (a,b) = 0 če in samo če a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) za katere koli tri dane elemente a, b, c od E.

Tukaj je nekaj primerov metričnih prostorov:

(a) navaden "tridimenzionalni" prostor, kjer d (a,b) - običajna (ali "evklidska") razdalja;

(b) površina krogle, kjer d (a,b) - dolžina najmanjšega loka kroga, ki povezuje dve točki a in b na krogli;

Natančna opredelitev koncepta strukture je precej težka. Ne da bi se spuščali v podrobnosti, lahko to rečemo na snemanju E podana je struktura določenega tipa, če med elementi množice E(in včasih z drugimi predmeti, na primer številkami, ki igrajo pomožno vlogo) so podane relacije, ki izpolnjujejo določen fiksni niz aksiomov, ki označujejo strukturo obravnavanega tipa. Zgoraj smo podali aksiome treh vrst struktur. Seveda obstajajo številne druge vrste struktur, katerih teorije so v celoti razvite.

Številni abstraktni koncepti so tesno povezani s konceptom strukture; poimenovali bomo le enega najpomembnejših – koncept izomorfizma. Spomnite se primera skupin (b) in (c), podanega v prejšnjem razdelku. To je enostavno preveriti iz tabele. 1 na mizo. 2 je mogoče krmariti z ujemanjem

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

V tem primeru pravimo, da so te skupine izomorfne. Na splošno dve skupini G in Gў so izomorfni, če sta med elementi skupine G in skupinskih elementov Gв lahko vzpostavite tako dopisovanje ena proti ena a « aв kaj če c = a*b, potem cў = aў* bў za ujemajoče se predmete Gў... Vsaka izjava iz teorije skupin, ki velja za skupino G, ostaja veljaven za skupino Gў, in obratno. Algebraično skupine G in Gў se ne razlikujejo.

Bralec bo zlahka ugotovil, da lahko na enak način definiramo dve izomorfno urejeni množici ali dva izomorfna metrična prostora. Lahko se pokaže, da se koncept izomorfizma razširi na strukture katere koli vrste.

KLASIFIKACIJA

Stare in nove klasifikacije matematike.

Koncept strukture in z njim povezani drugi koncepti so zavzeli osrednje mesto v sodobni matematiki, tako s povsem »tehničnega« kot s filozofskega in metodološkega vidika. Splošni izreki osnovnih tipov struktur so izjemno močna orodja matematične "tehnike". Kadarkoli matematiku uspe pokazati, da predmeti, ki jih preučuje, izpolnjujejo aksiome določene vrste strukture, s tem dokaže, da so vsi teoremi teorije struktur te vrste uporabni za posebne predmete, ki jih preučuje (brez teh splošnih izrekov, zelo verjetno bi zgrešeni imeli na vidiku njihove specifične možnosti ali bi bili prisiljeni obremeniti svoje sklepanje z nepotrebnimi predpostavkami). Podobno, če se dokaže, da sta dve strukturi izomorfni, se število izrekov takoj podvoji: vsak dokazan izrek za eno od struktur takoj daje ustrezen izrek za drugo. Zato ni presenetljivo, da obstajajo zelo zapletene in težke teorije, na primer "teorija razrednega polja" v teoriji števil, katere glavni namen je dokazati izomorfizem struktur.

S filozofskega vidika široka uporaba struktur in izomorfizmov dokazuje glavno značilnost sodobne matematike - dejstvo, da "narava" matematičnih "objektov" nima posebnega pomena, pomembni so le odnosi med predmeti (a neke vrste načelo nepopolnosti znanja).

Na koncu ne moremo mimo omeniti, da je koncept strukture omogočil razvrstitev vej matematike na nov način. Vse do sredine 19. stoletja. spreminjali so se glede na predmet študije. Aritmetika (ali teorija števil) se je ukvarjala s celimi števili, geometrijo z ravnimi črtami, koti, mnogokotniki, krogi, območji itd. Algebra se je ukvarjala skoraj izključno z metodami reševanja numeričnih enačb ali sistemov enačb, analitična geometrija je razvila metode za preoblikovanje geometrijskih problemov v enakovredne algebraične probleme. Krog zanimanja druge pomembne veje matematike, imenovane "matematična analiza", je vključeval predvsem diferencialni in integralni račun ter njihove različne aplikacije v geometriji, algebri in celo teoriji števil. Število teh aplikacij se je povečalo, povečal pa se je tudi njihov pomen, kar je privedlo do delitve matematične analize na pododdelke: teorija funkcij, diferencialne enačbe (navadne in delne izpeljanke), diferencialna geometrija, variacijski račun itd.

Za mnoge sodobne matematike je ta pristop podoben zgodovini prvih naravoslovnih razvrstitev živali: nekoč sta tako morska želva kot tuna veljali za ribe, ker sta živeli v vodi in imeli podobne lastnosti. Sodobni pristop nas je naučil videti ne le tisto, kar leži na površini, ampak tudi pogledati globlje in poskušati prepoznati temeljne strukture za zavajajočim videzom matematičnih predmetov. S tega vidika je pomembno preučiti najpomembnejše vrste struktur. Malo verjetno je, da imamo na voljo popoln in dokončen seznam teh vrst; nekaj jih je bilo odkritih v zadnjih 20 letih in v prihodnosti je vse razloge pričakovati nova odkritja. Vendar pa že razumemo številne osnovne "abstraktne" vrste struktur. (So »abstraktni« v primerjavi s »klasičnimi« predmeti matematike, čeprav jih težko imenujemo »konkretni«; gre bolj za stopnjo abstrakcije.)

Znane strukture lahko razvrstimo glede na njihova sestavna razmerja ali njihovo kompleksnost. Na eni strani obstaja obsežen blok "algebraičnih" struktur, katerega poseben primer je na primer skupinska struktura; Med drugimi algebrskimi strukturami mislimo na obroče in polja ( cm. tudi ALGEBRA IZVLEČEK). Veja matematike, ki se ukvarja s preučevanjem algebraičnih struktur, se imenuje "moderna algebra" ali "abstraktna algebra", v nasprotju z običajno ali klasično algebro. Pomemben del evklidske geometrije, neevklidske geometrije in analitične geometrije je prav tako postal del nove algebre.

Na isti ravni splošnosti obstajata še dva bloka struktur. Ena od njih, imenovana splošna topologija, vključuje teorije tipov struktur, katerih poseben primer je struktura metričnega prostora ( cm... TOPOLOGIJA; ABSTRAKTNI PROSTORI). Tretji blok sestavljajo teorije vrstnih struktur in njihove razširitve. "Razširitev" strukture je v dodajanju novih aksiomov obstoječim. Na primer, če aksiomom skupine dodamo kot četrti aksiom lastnost komutativnosti a*b = b*a, potem dobimo strukturo komutativne (ali abelove) skupine.

Od teh treh blokov sta bila zadnja dva do nedavnega v razmeroma stabilnem stanju, blok "moderne algebre" pa je hitro rasel, včasih v nepričakovanih smereh (razvila se je na primer cela veja, imenovana "homološka algebra"). Zunaj t.i. Obstaja še ena stopnja "čistih" vrst struktur - "mešane" strukture, na primer algebraične in topološke, skupaj z novimi aksiomi, ki jih povezujejo. Proučenih je bilo veliko takšnih kombinacij, od katerih večina spada v dva široka bloka - "topološka algebra" in "algebraična topologija".

Ti bloki skupaj sestavljajo zelo trdno "abstraktno" področje znanosti. Mnogi matematiki upajo, da bodo z novimi sredstvi bolje razumeli klasične teorije in rešili težke probleme. Dejansko se lahko z ustrezno stopnjo abstrakcije in posploševanja naloge starodavnih pokažejo v novi luči, kar bo omogočilo iskanje njihovih rešitev. Ogromni kosi klasičnega gradiva so prišli v primež nove matematike in so se preoblikovali ali združili z drugimi teorijami. Ostajajo ogromna področja, kamor sodobne metode niso prodrle tako globoko. Primeri vključujejo teorijo diferencialne enačbe in veliko teorije števil. Zelo verjetno je, da bo na teh področjih dosežen pomemben napredek, ko bodo odkrite in temeljito preučene nove vrste struktur.

FILOZOFSKI IZZIVI

Tudi stari Grki so jasno razumeli, da mora biti matematična teorija brez protislovij. To pomeni, da je iz aksiomov trditve nemogoče razbrati kot logično posledico R in njegovo zanikanje ni P... Ker pa je veljalo, da imajo matematični predmeti korespondence v resničnem svetu, aksiomi pa so "idealizacije" zakonov narave, nihče ni dvomil o doslednosti matematike. Na prehodu iz klasične matematike v sodobno je problem doslednosti dobil drugačen pomen. Svoboda izbire aksiomov katere koli matematične teorije bi morala biti namerno omejena s pogojem doslednosti, vendar smo lahko prepričani, da bo ta pogoj izpolnjen?

Omenili smo že koncept kompleta. Ta koncept je bil vedno bolj ali manj eksplicitno uporabljen v matematiki in logiki. V drugi polovici 19. stoletja. osnovna pravila za obravnavo pojma množice so bila delno sistematizirana, poleg tega pa je bilo pridobljenih nekaj pomembnih rezultatov, ki so sestavljali vsebino t.i. teorija množic ( cm. tudi TEORIJA MNOŽ), ki je tako rekoč postala substrat za vse druge matematične teorije. Od antike do 19. stoletja. obstajal je strah pred neskončnimi množicami, na primer, ki se odraža v znamenitih paradoksih Zenona iz Eleje (5. stoletje pr.n.št.). Ti strahovi so bili deloma metafizične narave, deloma pa zaradi težav, povezanih s konceptom merjenja količin (na primer dolžine ali časa). Te težave je bilo mogoče odpraviti šele v 19. stoletju. temeljni koncepti matematične analize so bili strogo opredeljeni. Do leta 1895 so bili vsi strahovi razblinjeni in zdelo se je, da matematika temelji na neomajnih temeljih teorije množic. Toda v naslednjem desetletju so se pojavili novi argumenti, ki so kazali na inherentno nedoslednost teorije množic (in vse ostale matematike).

Novi paradoksi so bili zelo preprosti. Prvi od teh, Russellov paradoks, je mogoče videti v preprosti različici, znani kot brivski paradoks. V nekem mestu brivec obrije vse prebivalce, ki se ne brijejo sami. Kdo sam brije brivca? Če se brivec brije sam, potem brije ne samo tiste prebivalce, ki se ne brijejo sami, ampak tudi enega prebivalca, ki se brije sam; če se ne brije sam, potem ne brije vseh prebivalcev mesta, ki se ne brijejo sami. Paradoks te vrste se pojavi, ko se upošteva koncept "množice vseh množic". Čeprav se zdi ta matematični predmet zelo naraven, razmišljanje o njem hitro pripelje do protislovij.

Berryjev paradoks je še bolj razkrivajoč. Razmislite o naboru vseh ruskih besednih zvez, ki ne vsebujejo več kot sedemnajst besed; število besed v ruskem jeziku je končno, zato je tudi število takšnih besednih zvez končno. Izberimo med njimi tiste, ki nedvoumno postavljajo neko celo število, na primer: "Največje liho število manjše od deset." Število takšnih besednih zvez je tudi končno; zato je množica celih števil, ki jih definirajo, končna. Končno množico teh številk označimo z D... Iz aksiomov aritmetike izhaja, da obstajajo cela števila, ki jim ne pripadajo D, in da je med temi številkami najmanjše število n... Ta številka n je nedvoumno opredeljen s frazo: "Najmanjše celo število, ki ga ni mogoče opredeliti s frazo, ki vsebuje največ sedemnajst ruskih besed." Toda ta stavek vsebuje natanko sedemnajst besed. Zato določa število n ki bi moral pripadati D in pridemo do paradoksnega protislovja.

Intuicionisti in formalisti.

Šok, ki ga povzročajo paradoksi teorije množic, je sprožil najrazličnejše reakcije. Nekateri matematiki so bili zelo odločni in so izrazili mnenje, da se je matematika že od samega začetka razvijala v napačno smer in bi morala temeljiti na povsem drugačnih temeljih. Stališča takšnih »intuicionistov« (kot so se sami začeli imenovati) ni mogoče z gotovostjo opisati, saj so svoje poglede zavrnili zreducirati na čisto logično shemo. Z vidika intuicionistov je napačno uporabljati logične procese za intuitivno nepredstavljive predmete. Edini intuitivno jasni objekti so naravna števila 1, 2, 3, ... in končna množica naravnih števil, "konstruirana" po natančno določenih pravilih. Toda tudi za takšne predmete intuicionisti niso dovolili, da bi se uporabili vsi sklepi klasične logike. Tega na primer niso priznali za nobeno izjavo R je tudi res R ali ne R... S tako omejenimi sredstvi so se zlahka izognili "paradoksom", hkrati pa so vrgli čez mejo ne le vso sodobno matematiko, ampak tudi pomemben del rezultatov klasične matematike, za tiste, ki so še ostali, pa je bilo treba najti nove, bolj zapletene dokaze.

Velika večina sodobnih matematikov se ni strinjala z argumenti intuicionistov. Neintuitivni matematiki so opazili, da se argumenti, uporabljeni v paradoksih, bistveno razlikujejo od tistih, ki se uporabljajo pri običajnem matematičnem delu s teorijo množic, zato je treba takšne argumente izključiti kot nezakonite, ne da bi ogrozili obstoječe matematične teorije. Drugo opažanje je bilo, da v "naivni" teoriji množic, ki je obstajala pred pojavom "paradoksov", pomen izrazov "skupina", "lastnost", "razmerje" ni bil vprašljiv - tako kot v klasični geometriji "intuitivni" narava običajnih geometrijskih konceptov. Posledično lahko ravnamo na enak način, kot je bilo v geometriji, in sicer opustimo vse poskuse apeliranja na "intuicijo" in za izhodišče teorije množic vzamemo sistem natančno oblikovanih aksiomov. Vendar ni jasno, kako je mogoče besedam, kot sta "lastnina" ali "razmerje", odvzeti njihov običajni pomen; vendar je to treba storiti, če želimo izključiti sklepanje, kot je Berryjev paradoks. Metoda je v tem, da se pri oblikovanju aksiomov ali izrekov vzdržimo uporabe običajnega jezika; samo stavki, zgrajeni v skladu z eksplicitnim sistemom togih pravil, so dovoljeni kot "lastnosti" ali "relacije" v matematiki in so vključeni v formulacijo aksiomov. Ta proces se imenuje "formalizacija" matematični jezik(da bi se izognili nesporazumom zaradi nejasnosti navadnega jezika, priporočamo, da naredite še en korak in same besede zamenjate s posebnimi znaki v formaliziranih stavkih, na primer povezavo "in" zamenjate s simbolom &, povezava "ali" s simbolom b, "obstaja" s simbolom $ itd.). Matematike, ki so zavračali metode, ki so jih predlagali intuicionisti, so imenovali "formalisti".

Vendar na prvotno vprašanje nikoli ni bilo odgovora. Ali je "aksiomatska teorija množic" brez protislovij? Nove poskuse dokazovanja konsistentnosti »formaliziranih« teorij sta v dvajsetih letih prejšnjega stoletja izvedla D. Hilbert (1862–1943) in njegova šola in so jih poimenovali »metamatematika«. V bistvu je metamatematika del "uporabne matematike", kjer so predmeti, za katere se uporablja matematično sklepanje, stavki formalizirane teorije in njihova lokacija znotraj dokazov. Te stavke je treba obravnavati le kot materialne kombinacije simbolov, izdelane v skladu z nekaterimi uveljavljenimi pravili, brez sklicevanja na možni "pomen" teh simbolov (če obstaja). Dobra analogija je igra šaha: simboli ustrezajo figuram, stavki ustrezajo različnim položajem na plošči, sklepi pa ustrezajo pravilom gibanja figur. Za vzpostavitev konsistentnosti formalizirane teorije je dovolj pokazati, da se v tej teoriji noben dokaz ne konča s trditvijo 0 # 0. Lahko pa ugovarjamo uporabi matematičnih argumentov v "metamatematičnem" dokazu o doslednosti matematičnega teorija; če bi bila matematika protislovna, bi matematični argumenti izgubili vso moč in znašli bi se v začaranem krogu. Da bi odgovoril na te ugovore, je Hilbert dovolil zelo omejeno matematično sklepanje, ki bi ga intuicionisti menili, da je sprejemljivo za uporabo v metamatematiki. Kmalu pa je K. Gödel pokazal (1931), da doslednosti aritmetike ni mogoče dokazati s tako omejenimi sredstvi, če je res konsistentna (obseg tega članka nam ne dovoljuje, da bi predstavili genialno metodo, s katero je bil dosežen ta izjemen rezultat, in nadaljnja zgodovina metamatematike).

Če povzamemo trenutno problematično situacijo s formalističnega vidika, moramo priznati, da še zdaleč ni konec. Uporaba koncepta množice je bila omejena na zadržke, ki so bili posebej uvedeni, da bi se izognili dobro znanim paradoksom, in ni nobenega zagotovila, da se v aksiomatizirani teoriji množic ne bodo pojavili novi paradoksi. Kljub temu omejitve aksiomatske teorije množic niso preprečile rojstva novih izvedljivih teorij.

MATEMATIKA IN RESNIČNI SVET

Kljub trditvam o neodvisnosti matematike nihče ne bo zanikal, da sta matematika in fizični svet med seboj povezana. Seveda ostaja v veljavi matematični pristop k reševanju problemov klasične fizike. Res je tudi, da je na zelo pomembnem področju matematike, in sicer v teoriji diferencialnih enačb, navadnih in v delnih izpeljankah, proces medsebojnega bogatenja fizike in matematike precej ploden.

Matematika je uporabna pri razlagi pojavov mikrosveta. Vendar se nove "aplikacije" matematike bistveno razlikujejo od klasičnih. Eno najpomembnejših orodij fizike je postala teorija verjetnosti, ki se je prej uporabljala predvsem v teoriji iger na srečo in zavarovanju. Matematični predmeti, ki jih fiziki povezujejo z "atomskimi stanji" ali "prehodi", so zelo abstraktni in so jih matematiki uvedli in raziskali že dolgo pred pojavom kvantne mehanike. Treba je dodati, da so se po prvih uspehih pojavile resne težave. To se je zgodilo v času, ko so fiziki poskušali uporabiti matematične ideje na bolj subtilnih vidikih. kvantna teorija; kljub temu pa mnogi fiziki še vedno z upanjem gledajo na nove matematične teorije, saj verjamejo, da jim bodo pomagale pri reševanju novih problemov.

Matematika - znanost ali umetnost?

Tudi če v "čisto" matematiko vključimo teorijo verjetnosti ali matematično logiko, se izkaže, da trenutno druge znanosti uporabljajo manj kot 50 % znanih matematičnih rezultatov. Kaj naj si mislimo o preostali polovici? Z drugimi besedami, kakšni motivi so za tistimi področji matematike, ki niso povezana z reševanjem fizičnih problemov?

Omenili smo že iracionalnost števila kot tipičnega predstavnika tovrstnega izreka. Drug primer je izrek, ki ga je dokazal J.-L. Lagrange (1736–1813). Skoraj ni matematika, ki ji ne bi rekel "pomembna" ali "lepa". Lagrangeov izrek pravi, da lahko vsako celo število, večje ali enako eni, predstavimo kot vsoto kvadratov največ štirih števil; na primer 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Glede na trenutno stanje je nepredstavljivo, da bi bil ta rezultat uporaben pri reševanju kakšnega eksperimentalnega problema. Res je, da se fiziki danes veliko pogosteje ukvarjajo s celimi števili kot v preteklosti, vendar so cele številke, s katerimi operirajo, vedno omejene (redko presežejo nekaj sto); zato je izrek, kot je Lagrangeov izrek, lahko "koristen" le, če ga uporabimo za cela števila, ki ne prečkajo neke meje. Toda takoj, ko omejimo formulacijo Lagrangeovega izreka, ta za matematika takoj preneha biti zanimiv, saj je vsa privlačna moč tega izreka v njegovi uporabnosti za vsa cela števila. (Obstaja veliko izjav o celih številih, ki jih lahko računalniki preverijo za zelo velika števila; a ker ni mogoče najti splošnega dokaza, ostajajo hipotetične in niso zanimive za profesionalne matematike.)

Osredotočenost na teme, ki so daleč od takojšnje uporabe, ni nič nenavadnega za znanstvenike, ki delajo na katerem koli področju, pa naj bo to astronomija ali biologija. Čeprav je eksperimentalni rezultat mogoče izboljšati in izboljšati, je matematični dokaz vedno dokončen. Zato se je težko upreti skušnjavi, da bi matematiko ali vsaj tisti njen del, ki nima nobene zveze z »realnostjo«, gledal kot umetnost. Matematični problemi niso vsiljeni od zunaj in, če sprejmemo sodobno stališče, smo pri izbiri gradiva popolnoma svobodni. Pri ocenjevanju nekaterih matematičnih del matematiki nimajo »objektivnih« meril in se morajo zanašati na svoj »okus«. Okusi se zelo razlikujejo glede na čas, državo, tradicije in posameznike. V sodobni matematiki obstajata moda in "šole". Trenutno obstajajo tri takšne "šole", ki jih bomo zaradi priročnosti imenovali "klasicizem", "modernizem" in "abstrakcionizem". Da bi bolje razumeli razlike med njimi, analizirajmo različna merila, ki jih matematiki uporabljajo pri ocenjevanju izreka ali skupine izrekov.

(1) Po splošnem mnenju bi moral biti »lep« matematični rezultat netrivialen, t.j. ne sme biti očitna posledica aksiomov ali predhodno dokazanih izrekov; dokaz mora nekaj uporabiti nova ideja ali pa se stare ideje genialno uporabljajo. Z drugimi besedami, za matematika ni pomemben sam rezultat, temveč proces premagovanja težav, s katerimi se je soočal pri njegovem pridobivanju.

(2) Vsak matematični problem ima svojo zgodovino, tako rekoč »rodoslovje«, ki sledi isti splošni shemi, po kateri se razvija zgodovina katere koli znanosti: po prvih uspehih lahko mine določen čas, preden se odgovori na vprašanje. pozira se najde. Ko je rešitev dosežena, se zgodba tu ne konča, saj se začnejo znani procesi širjenja in posploševanja. Na primer, zgoraj omenjeni Lagrangeov izrek vodi do vprašanja predstavitve katerega koli celega števila kot vsote kock, četrte, pete stopnje itd. Tako nastane "problem Waring", ki še ni dobil dokončne rešitve. Poleg tega, če bomo imeli srečo, bo problem, ki smo ga rešili, povezan z eno ali več temeljnimi strukturami, kar bo posledično povzročilo nove težave, povezane s temi strukturami. Tudi če izvirna teorija sčasoma "umre", za seboj pusti številne žive poganjke. Sodobni matematiki se soočajo s tako ogromnim razpršenostjo problemov, da bi njihovo reševanje, tudi če bi bila prekinjena vsa povezava z eksperimentalno znanostjo, trajalo še nekaj stoletij.

(3) Vsak matematik se bo strinjal, da je, ko se pred njim pojavi nov problem, njegova dolžnost, da ga reši na kakršen koli način. Ko se problem nanaša na klasične matematične objekte (klasicisti se redko ukvarjajo z drugimi vrstami predmetov), ga klasicisti poskušajo rešiti samo s klasičnimi sredstvi, medtem ko drugi matematiki uvajajo bolj "abstraktne" strukture, da bi uporabili splošne izreke, povezane z nalogo. Ta razlika v pristopu ni nova. Od 19. stoletja. matematiki se delijo na »taktike«, ki si prizadevajo najti povsem nasilno rešitev problema, in »stratege«, ki so nagnjeni k krožnim manevrom, ki omogočajo zatiranje sovražnika z majhnimi silami.

(4) Bistven element "lepote" izreka je njegova preprostost. Seveda je iskanje preprostosti neločljivo v vseh znanstvenih mislih. Toda eksperimentatorji so se pripravljeni sprijazniti z "grdimi rešitvami", če bi le bil problem rešen. Podobno v matematiki klasicisti in abstrakcionisti niso preveč zaskrbljeni zaradi pojava "patoloških" rezultatov. Po drugi strani gredo modernisti tako daleč, da vidijo pojav »patologij« teorije kot simptom, ki priča o nepopolnosti temeljnih konceptov.

Enciklopedija matematike

Enciklopedija matematike- Sovjetska enciklopedična izdaja v petih zvezkih, posvečena matematičnim temam. Izdano leta 1985 pri založbi "Sovjetska enciklopedija". Glavni urednik: akademik I. M. Vinogradov.

Je temeljna ilustrirana publikacija, ki pokriva vsa glavna področja matematike. Knjiga vsebuje obsežno gradivo na to temo, biografije znanih matematikov, risbe, grafe, diagrame in diagrame.

Skupni obseg: približno 3000 strani. Porazdelitev artiklov po obsegu:

Zvezek 1: Abacus - Huygensov princip, 576 str.
Zvezek 2: Operater D'Alembert - Co-op igra, 552 str.
Zvezek 3: Koordinate - monom, 592 str.
Zvezek 4: Oko izreka - Kompleksna funkcija, 608 str.
Zvezek 5: Naključna spremenljivka - Celica, 623 str.
Dodatek k 5. zvezku: predmetno kazalo, seznam opaženih tipkarskih napak.

Povezave

Splošne in posebne referenčne knjige in enciklopedije o matematiki na portalu "Svet matematičnih enačb", kjer lahko prenesete enciklopedijo v elektronski obliki.

kategorije:

Knjige po abecedi
Matematična literatura
Enciklopedije
Knjige založbe "Sovjetska enciklopedija"
Enciklopedije ZSSR

Fundacija Wikimedia. 2010.

Matematična kemija
Matematični temelji kvantne mehanike

Poglejte, kaj je "Enciklopedija matematike" v drugih slovarjih:

Matematična logika- (teoretična logika, simbolna logika) veja matematike, ki proučuje dokaze in vprašanja o temeljih matematike. "Predmet sodobne matematične logike je raznolik." Po definiciji PS Poretskyja "matematična ... ... Wikipedia

Enciklopedija- (Enciklopedija Novolat (ne prej kot XVI. stoletje) iz druge grščine.

ENCIKLOPEDIJA- (iz grš. enkyklios payeia usposabljanje v celotnem obsegu znanja), znanstveni. ali znanstveno. priljubljena referenčna publikacija, ki vsebuje taksonomijo. telo znanja. Gradivo v E. je razvrščeno po abecedi ali sistematično. načelo (po vejah znanja). ... ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

MATEMATIČNA LOGIKA- eno od imen sodobne logike, ki je prišlo do drugega. tla. 19 zgodaj. 20. stoletje zamenjati tradicionalno logiko. Izraz simbolna logika se uporablja tudi kot drugo ime za sodobno stopnjo v razvoju znanosti o logiki. Definicija … … Filozofska enciklopedija

MATEMATIČNA NESKOČNOST- splošno ime razč. realizacije ideje neskončnosti v matematiki. Čeprav med pomeni koncepta M. b. in drugih pomenov, v katerih se uporablja izraz neskončnost, ni toge meje (saj vsi ti koncepti na koncu odražajo zelo ... ... Filozofska enciklopedija

MATEMATIČNA INDUKCIJA- popolna matematična indukcija (v matematiki se pogosto imenuje samo popolna indukcija; v tem primeru je treba ta koncept razlikovati od koncepta popolne indukcije, ki se obravnava v nematematični formalni logiki), - metoda dokazovanja splošnih stavkov v ... .. . Filozofska enciklopedija

MATEMATIČNA HIPOTEZA- domnevna sprememba oblike, vrste, narave enačbe, ki izraža zakon preučevanega področja pojavov, z namenom, da se razširi na novo, še neraziskano področje kot svoj inherentni zakon. M. se v sodobnem času pogosto uporablja. teoretično ...... Filozofska enciklopedija

MATEMATIČNA ŠOLA POLITIČNE EKONOMIJE- Angleščina. matematična šola politične ekonomije; nemški mathematische Schule in der politischen Okonomie. Smer v zalivanju, gospodarstvu, ki je nastala v drugi polovici 19. stoletja, so predstavniki rogo (L. Valras, V. Pareto, O. Jevons itd.) dali ... ... Enciklopedija sociologije

MATEMATIČNA ŠOLA SOCIOLOGIJE- Angleščina. matematična šola v sociologiji; nemški mathematische Schule in der Soziologie. Trend v sociologiji, ki je nastal v prvi polovici 20. stoletja, katerega ustanovitelji (A. Zipf, E. Dodd itd.) so verjeli, da sociolog, teorije dosežejo raven ... ... Enciklopedija sociologije

Matematični model zgradb in objektov- Matematični (računalniški) model zgradb in objektov - predstavitev zgradb in objektov v obliki diagrama končnih elementov za izvajanje številčnih izračunov pri reševanju niza problemov, ki nastanejo pri projektiranju, gradnji in ... ... Enciklopedija izrazov, definicij in razlag gradbenih materialov

knjige

Enciklopedija matematike (komplet 5 knjig). Matematična enciklopedija je priročen priročnik za vsa področja matematike. Osnovo Enciklopedije sestavljajo članki o najpomembnejših področjih matematike. Načelo lokacije ...

Matematična enciklopedija je referenčna knjiga o vseh vejah matematike. Enciklopedija temelji na preglednih člankih o najpomembnejših področjih matematike. Glavna zahteva za tovrstne članke je možna popolnost pregleda trenutnega stanja teorije z maksimalno dostopnostjo predstavitve; ti članki so praviloma dostopni višjim matematikom, podiplomskim študentom in specialistom s sorodnih področij matematike, v določenih primerih pa tudi specialistom drugih področij znanja, ki pri svojem delu uporabljajo matematične metode, inženirjem in učiteljem matematike. Zagotovljeni, nadalje, srednje veliki članki o posameznih specifičnih problemih in metodah matematike; ti članki so namenjeni ožjemu krogu bralcev, zato je predstavitev v njih morda manj dostopna. Končno je še ena vrsta člankov - hitre reference-definicije. Na koncu zadnjega zvezka Enciklopedije bo umeščeno predmetno kazalo, ki ne bo vključevalo le naslovov vseh člankov, temveč tudi številne pojme, katerih definicije bodo podane v okviru člankov prvih dveh vrst, kot tudi najpomembnejši rezultati, omenjeni v člankih. Večini člankov Enciklopedije je priložen seznam referenc z zaporednimi številkami za vsak naslov, kar omogoča citiranje v besedilih člankov. Na koncu člankov (praviloma) je naveden avtor oziroma vir, če je bil članek že objavljen (predvsem so to članki Velike sovjetske enciklopedije). Imena tujih (razen starodavnih) znanstvenikov, ki so navedena v člankih, so opremljena z latinskim črkovanjem (če ni sklicevanja na bibliografijo).

Prenesite in preberite enciklopedijo matematike, zvezek 3, Vinogradov I.M., 1982

Prenesite in preberite Enciklopedijo matematike, 2. zvezek, Vinogradov I.M., 1979

Prenesite in preberite Enciklopedijo matematike, 1. zvezek, Vinogradov I.M., 1977

Algebra je bila prvotno veja matematike, ki se je ukvarjala z reševanjem enačb. Za razliko od geometrije aksiomatska konstrukcija algebre ni obstajala do sredine 19. stoletja, ko se je pojavil bistveno nov pogled na predmet in naravo algebre. Raziskave so se začele vse bolj osredotočati na preučevanje tako imenovanih algebraičnih struktur. To je imelo dve prednosti. Po eni strani so bila pojasnjena področja, za katera veljajo ločeni izreki, po drugi strani pa je postala možna uporaba istih dokazov na popolnoma različnih področjih. Ta delitev algebre je obstajala do sredine 20. stoletja in se je izrazila v tem, da sta se pojavili dve imeni: "klasična algebra" in "moderna algebra". Za slednjo je bolj značilno drugo ime: "abstraktna algebra". Dejstvo je, da je ta odsek - prvič v matematiki - zaznamovala popolna abstrakcija.

Prenesite in preberite Malo matematično enciklopedijo, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Verjetnost in matematična statistika" je referenčna knjiga o teoriji verjetnosti, matematični statistiki in njihovi uporabi na različnih področjih znanosti in tehnologije. Enciklopedija ima dva dela: glavni vsebuje anketne članke, članke, posvečene posameznim specifičnim problemom in metodam, kratke reference, ki dajejo definicije osnovnih pojmov, najpomembnejše izreke in formule. Precej prostora je namenjeno uporabnim temam - teoriji informacij, teoriji čakalnih vrst, teoriji zanesljivosti, načrtovanju eksperimentov in sorodnim področjem - fiziki, geofiziki, genetiki, demografiji in posameznim odsekom tehnike. Večini člankov je priložena bibliografija najpomembnejših del o tej problematiki. Naslovi člankov so navedeni tudi v angleškem prevodu. Drugi del - "Bralec o teoriji verjetnosti in matematični statistiki" vsebuje članke, napisane za ruske enciklopedije preteklosti, pa tudi enciklopedična gradiva, ki so bila prej objavljena v drugih delih. Enciklopediji je priložen obsežen seznam revij, periodičnih publikacij in stalnih publikacij, ki pokrivajo probleme teorije verjetnosti in matematične statistike.
Gradivo, vključeno v Enciklopedijo, je potrebno študentom, podiplomskim študentom in raziskovalcem s področja matematike in drugih znanosti, ki pri svojem raziskovalnem in praktičnem delu uporabljajo verjetnostne metode.

Matematična enciklopedija je referenčna knjiga o vseh vejah matematike. Enciklopedija temelji na preglednih člankih o najpomembnejših področjih matematike. Glavna zahteva za tovrstne članke je možna popolnost pregleda trenutnega stanja teorije z maksimalno dostopnostjo predstavitve; ti članki so praviloma dostopni višjim matematikom, podiplomskim študentom in specialistom s sorodnih področij matematike, v določenih primerih pa tudi specialistom drugih področij znanja, ki pri svojem delu uporabljajo matematične metode, inženirjem in učiteljem matematike. Zagotovljeni, nadalje, srednje veliki članki o posameznih specifičnih problemih in metodah matematike; ti članki so namenjeni ožjemu krogu bralcev, zato je predstavitev v njih morda manj dostopna. Končno je še ena vrsta člankov - hitre reference-definicije. Nekatere definicije so podane znotraj prvih dveh vrst členov. Večini člankov Enciklopedije je priložen seznam referenc z zaporednimi številkami za vsak naslov, kar omogoča citiranje v besedilih člankov. Na koncu člankov (praviloma) je naveden avtor oziroma vir, če je bil članek že objavljen (predvsem so to članki Velike sovjetske enciklopedije). Imena tujih (razen starodavnih) znanstvenikov, ki so navedena v člankih, so opremljena z latinskim črkovanjem (če ni sklicevanja na bibliografijo).

Načelo razporeditve člankov v Enciklopediji je abecedno. Če je naslov članka izraz, ki ima sopomenko, potem je slednji podan za glavnim. V mnogih primerih so naslovi člankov sestavljeni iz dveh ali več besed. V teh primerih so izrazi podani bodisi v najpogostejši obliki ali pa je na prvo mesto postavljena pomensko najpomembnejša beseda. Če naslov članka vsebuje lastno ime, ga postavimo na prvo mesto (na seznamu sklicevanja na take članke je praviloma primarni vir, ki pojasnjuje ime izraza). Naslovi člankov so podani predvsem v ednini.

Enciklopedija pogosto uporablja sistem povezav do drugih člankov, kjer bo bralec našel dodatne informacije o obravnavani temi. Opredelitev ne vsebuje sklicevanja na izraz, ki se pojavlja v naslovu članka.

Da bi prihranili prostor v člankih, so uporabljene okrajšave nekaterih besed, ki so običajne za enciklopedije.

Delal na 1. zvezku

Uredništvo za matematiko založbe "Sovjetska enciklopedija" - V. I. BITYUTSKOV (vodja uredništva), M. I. VOYTSEKHOVSKY (znanstveni urednik), Yu. A. GORBKOV (znanstveni urednik), A. B. IVANOV (višji znanstveni urednik), A. . IVANOVA (višja znanstveni urednica), T. Yu. POPOVA (znanstveni urednik), SA RUKOVA (višja znanstveni urednica), EG SOBOLEVSKAYA (urednik), LV Sokolova (mlajša urednica), L. R. KHABIB (mlajša urednica).

Založniki: E. P. RYABOVA (literarna izdaja). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografija). A. F. DALKOVSKA (transkripcija). N. A. FEDOROVA (oddelek za zaposlovanje). 3. A. SUKHOVA (izdaja ilustracij). E. I. ALEKSEEVA, N. Yu. Kružalova (izdaja glosarja). M. V. AKIMOVA, A. F. PROŠKO (lektorica). G. V. SMIRNOVA (tehnična izdaja).

Naslovnica umetnika R. I. MALANICHEV.

Dodatne informacije o zvezku 1

Založba "Sovjetska enciklopedija"

Enciklopedije, slovarji, referenčne knjige

Znanstveni in uredniški odbor založbe

A. M. PROKHOROV (predsednik), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, MP Bazhan, Barn Barn, Yu. , BE Bykhovsky, V. Kh. Vasilenko, L. M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHKOV, G. M. GLUSHKOV, G. D. G. GLUŠKOV, G. D. G. GOL. ), VP YELUTIN, VS EMELYANOV, EM ZHUKOV, AA IMSHENETSKY, NN INOZEMTSEV, M. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. KARATAEV, B. M. V. KEDROVANJ. KOVALEV (prvi namestnik predsednika), FV KONSTANTINOV, VN KUDRYAVTSEV, MI KUZNETSOV (namestnik predsednika), BV KUKARKIN, VG KULIKOV, I. A. KUTUZOV, PP LOBANOV, GM LOZA, Yu. E. MAKSAREV, PA MARKOVVICH, PA MARKOVVICH Yu. Yu. MATULIS, GI NAAN, GD OBIČKIN, B. E. PATON, V. M. POLEVO Y, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROKHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M. I. SLADKOVSKY, V. I. SMIRNOV, DN SOLOVYEV (Namestnik predsednika, SOLODNOV SV. SA TOKAREV, VA TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. ČAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, J. E. SHMUSHKIS, S. I. YUTKEVICH. L. V. KIRILLOVA, sekretarka sveta.

Moskva 1977

Enciklopedija matematike. Zvezek 1 (A - D)

Glavni urednik I. M. VINOGRADOV

Uredniška ekipa

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (namestnik glavnega urednika), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, VA ILYATHAN, VA ILYAT, MARBADŽEV, KAVKAV, BAJKAV, BAJKAV, BALJŠEV, MARJKAV, K. MISHCHENKO, SP NOVIKOV, EG POZNYAK, Yu.V. PROKHOROV (namestnik glavnega urednika), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Matematična enciklopedija. Ed. kolegij: I. M. Vinogradov (pogl. ur.) [in drugi] T. 1 - M., " Sovjetska enciklopedija«, 1977

(Enciklopedije. Slovarji. Referenčne knjige), letnik 1. A - G. 1977. 1152 stb. iz sl.

Izposojena v kompletu 9. 06. 1976. Podpisano v tisk 18. 02. 1977. Tisk besedila iz matrik izdelanih v Prvi modelni tiskarni. A. A. Ždanova. Red delovnega rdečega transparenta založba "Sovjetska enciklopedija". 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovski bulevar, 8. T - 02616 Naklada 150.000 izvodov. Naročniška št. 418. Tipografski papir št. 1. Velikost papirja 84xl08 1/14. Letnik 36 fizični. n. l. ; 60, 48 konv. n. l. besedilo. 101, 82 str. - ur. l. Cena knjige je 7 rubljev. 10 r.

Red delovnega rdečega transparenta Moskovska tiskarna št. 1 "Soyuzpoligrafprom" pri Državnem odboru Sveta ministrov ZSSR za založništvo, tiskanje in trgovino s knjigami, Moskva, I - 85, Prospect Mira, 105. Odredba št. 865.