Dva sta enaka. Dva enaka nasprotnika igrata šah. Ekvivalentne transformacije. Poenostavitev formul
Opredelitev. Dve enačbi f 1 (x) = g 1 (x) in f 2 (x) = g 2 (x) se imenujeta enakovredni, če sta množici njunih korenin enaki.
Na primer enačbe x 2 - 9 = 0 in (2 X + 6)(X- 3) = 0 sta enakovredni, saj imata za koreni obeh številki 3 in -3. Enačbe (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 in x 2+ 1 = 0, saj oba nimata korenin, tj. nizi njihovih korenin so enaki.
Opredelitev. Zamenjava enačbe z enakovredno enačbo se imenuje ekvivalentna transformacija.
Ugotovimo zdaj, katere transformacije omogočajo pridobitev enakovrednih enačb.
Izrek 1. Pustite enačbo f(x) in g(x) dano na snemanju in h(x) je izraz, definiran na istem nizu. Nato enačbe f(x) = g(x)(1)in f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) so enakovredni.
Dokaz. Označi z T 1 - niz rešitev enačbe (1) in skozi T 2 - niz rešitev enačbe (2). Potem bosta enačbi (1) in (2) enakovredni, če T 1 \u003d T 2. Da bi to preverili, je treba pokazati, da je kateri koli koren T 1 je koren enačbe (2) in, nasprotno, kateri koli koren od T 2 je koren enačbe (1).
Pustite številko ampak je koren enačbe (1). Potem a? T 1 in pri substituciji v enačbo (1) jo spremeni v pravo numerično enakost f(a) = g(a), in izraz h (x) pretvori v številski izraz h(a), kar je smiselno na snemanju x Dodajte obema stranema resnične enakosti f(a) = g(a)številčni izraz h(a). Glede na lastnosti resničnih številčnih enakosti dobimo pravo številčno enakost f(a) + h(a) =g(a) + h(a), kar kaže, da je ampak je koren enačbe (2).
Torej je bilo dokazano, da je vsak koren enačbe (1) tudi koren enačbe (2), tj. T 1 od T2.
Naj zdaj ampak - koren enačbe (2). Potem ampak? T2 in pri substituciji v enačbo (2) jo spremeni v pravo numerično enakost f(a) + h(a) =g(a) + h(a). Dodajmo obema deloma te enakosti številčni izraz - h(a), dobimo pravo številčno enakost f(x) = g(x), kar pomeni, da je številka ampak - koren enačbe (1).
Torej je bilo dokazano, da je vsak koren enačbe (2) tudi koren enačbe (1), tj. T2 od T 1 .
Ker T 1 od T 2 in T 2 od T 1 potem po definiciji enakih množic T 1= T 2, kar pomeni, da sta enačbi (1) in (2) enakovredni.
Ta izrek je mogoče oblikovati drugače: če sta obe strani enačbe z domeno definicije X dodamo isti izraz s spremenljivko, definirano na istem nizu, potem dobimo novo enačbo, enakovredno dani.
Iz tega izreka izhajajo posledice, ki se uporabljajo pri reševanju enačb:
1. Če obema stranema enačbe dodamo enako število, dobimo enačbo, ki je enaka dani.
2. Če katerikoli izraz (številski izraz ali izraz s spremenljivko) prenesemo iz enega dela enačbe v drugega in spremenimo predznak izraza v nasprotni, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.
2. izrek. Pustite enačbo f(x) = g(x) nastavljen na setu X in h (x) - izraz, ki je definiran na istem nizu in ne izgine za nobeno vrednost X od mnogih x Nato enačbe f(x) = g(x) in f(x) h(x) =g(x) h(x) so enakovredni.
Dokaz tega izreka je podoben dokazu izreka 1.
Izrek 2 je mogoče oblikovati drugače: če sta obe strani enačbe z domeno X pomnožimo z istim izrazom, ki je definiran na isti množici in na njej ne izgine, dobimo novo enačbo, enakovredno dani.
Posledica izhaja iz tega izreka: če oba dela enačbe pomnožimo (ali delimo) z istim številom, ki ni nič, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.
Reševanje enačb z eno spremenljivko
Reši enačbo 1- x/3 = x/6, x ? R in utemeljiti vse transformacije, ki jih bomo izvedli v procesu reševanja.
| Transformacije | Utemeljitev konverzije |
| 1. Izraze na levi in desni strani enačbe pripeljemo do skupnega imenovalca: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Izvedla identično transformacijo izraza na levi strani enačbe. |
| 2. Izpusti skupni imenovalec: 6-2 X = X | Oba dela enačbe smo pomnožili s 6 (2. izrek), dobili smo enačbo, ki je enakovredna podani. |
| 3. Izraz -2x prenesemo na desno stran enačbe z nasprotnim predznakom: 6 = X+2X. | Uporabili smo posledico iz izreka 1 in dobili enačbo, ki je enakovredna prejšnji in s tem podani. |
| 4. Podobne člene predstavljamo na desni strani enačbe: 6 = 3 X. | Izvedel identično transformacijo izraza. |
| 5. Obe strani enačbe delite s 3: X = 2. | Uporabili smo posledico iz izreka 2, dobili enačbo, ki je enakovredna prejšnji in s tem tej |
Ker so bile vse transformacije, ki smo jih izvedli pri reševanju te enačbe, enakovredne, lahko trdimo, da je 2 koren te enačbe.
Če v procesu reševanja enačbe niso izpolnjeni pogoji iz izrekov 1 in 2, lahko pride do izgube korenin ali pa se pojavijo tuje korenine. Zato je pomembno, da pri izvajanju transformacij enačbe, da bi dobili enostavnejšo, zagotovimo, da vodijo do enačbe, ki je enakovredna dani.
Razmislite na primer enačbo x(x - 1) = 2x, x? R. Razdelimo oba dela na X, dobimo enačbo X - 1 = 2, od koder X= 3, torej ta enačba ima en sam koren - število 3. Toda ali je to res? Zlahka je videti, da če v tej enačbi namesto spremenljivke X nadomestilo 0, se bo spremenilo v pravo numerično enakost 0 (0 - 1) = 2 0. In to pomeni, da je 0 koren te enačbe, ki smo jo izgubili pri izvajanju transformacij. Analizirajmo jih. Prva stvar, ki smo jo naredili, je bila, da smo razdelili obe strani enačbe X, tiste. pomnoženo z izrazom1/ x, ampak pri X= Oh, nima smisla. Posledično nismo izpolnili pogoja iz izreka 2, kar je privedlo do izgube korena.
Da se prepričamo, da je niz korenin te enačbe sestavljen iz dveh številk 0 in 3, predstavljamo drugo rešitev. Premaknimo izraz 2 X od desne proti levi: x(x- 1) - 2x \u003d 0. Vzamemo oklepaje na levi strani enačbe X in daj podobne pogoje: x(x - 3) = 0. Zmnožek dveh faktorjev je enak nič, če in samo če je vsaj eden od njiju enak nič, torej x= 0 oz X- 3 = 0. Od tu dobimo, da sta koreni te enačbe 0 in 3.
Pri osnovni matematiki teoretično podlago reševanje enačb je razmerje med komponentami in rezultati dejanj. Na primer, reševanje enačbe ( X 9):24 = 3 je upravičeno, kot sledi. Ker je neznanka v dividendi, morate za iskanje dividende pomnožiti delilec s količnikom: X 9 = 24 3 oz X 9 = 72.
Če želite najti neznani faktor, morate izdelek deliti z znanim faktorjem: x = 72:9 oz x = 8, zato je koren te enačbe število 8.
vaje
1 . Ugotovite, kateri od naslednjih vnosov so enačbe z eno spremenljivko:
ampak) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; e) ( X-3) y =12X;
v) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. 2. enačba X 4 + 4X 2 -6 = 0 je podano na nizu naravna števila. Pojasni, zakaj je število 1 koren te enačbe, 2 in -1 pa nista njeni koreni.
3. V enačbi ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 ena številka se izbriše in nadomesti s pikami. Poiščite izbrisano številko, če veste, da je koren te enačbe število 2.
4. Formulirajte pogoje, pod katerimi:
a) število 5 je koren enačbe f(x) = g(x);
b) število 7 ni koren enačbe f(x) = g(x).
5. Ugotovite, kateri od naslednjih parov enačb so enakovredni na množici realnih števil:
a) 3 + 7 X\u003d -4 in 2 (3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 in 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 in l X + 2 = 0.
6. Formulirajte lastnosti ekvivalenčne relacije enačbe. Katere od njih uporabimo pri reševanju enačbe?
7. Rešite enačbe (vse so podane na množici realnih števil) in utemeljite vse transformacije, izvedene v procesu njihove poenostavitve:
a) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
v 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Študent je rešil enačbo 5 X + 15 = 3 X+ 9, kot sledi: vstavite številko 5 iz oklepajev na levo stran, številko 3 pa na desno stran, dobili smo enačbo 5 (x+ 3) = 3(X+ 3) in nato oba dela razdelite v izraz X+ 3. Dobil sem enakost 5 = 3 in ugotovil, da ta enačba nima korenin. Ali ima študent prav?
9. Reši enačbo 2/(2- x) – ½ = 4/((2- x)x); X? R. Ali je številka 2 koren te enačbe?
10. Rešite enačbe z uporabo razmerja med komponentami in rezultati dejanj:
ampak) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Rešite probleme na aritmetične in algebraične načine:
a) Na prvi polici je 16 knjig več kot na drugi. Če z vsake police odstranite 3 knjige, bo na prvi polici pol in pol več knjig kot na drugi. Koliko knjig je na vsaki polici?
b) Kolesar je prevozil vso pot od kampa do postaje, enako 26 km, v 1 uri in 10 minutah. Prvih 40 minut tega časa je vozil z enako hitrostjo, preostali čas pa s hitrostjo 3 km/h manj. Poiščite hitrost kolesarja na prvi etapi poti.
Odprta lekcija matematike "Bernoullijeva shema. Reševanje problemov z uporabo Bernoullijeve in Laplaceove sheme"
Didaktika: pridobivanje spretnosti in sposobnosti za delo z Bernoullijevo shemo za izračun verjetnosti.
Razvijanje: razvijanje veščin uporabe znanja v praksi, oblikovanje in razvoj funkcionalnega mišljenja učencev, razvijanje veščin primerjave, analize in sinteze, spretnosti dela v paru, širitev strokovnega besednjaka.
Kako igrati to igro:
Vzgojno: spodbujanje zanimanja za predmet preko praktična uporaba teorija, doseganje zavestne asimilacije učnega gradiva učencev, oblikovanje sposobnosti za timsko delo, pravilna uporaba računalniških izrazov, zanimanje za znanost, spoštovanje bodočega poklica.
Znanstveno znanje: B
Vrsta lekcije: kombinirana lekcija:
- utrjevanje gradiva, obravnavanega v prejšnjih razredih;
- tematska, informacijsko-problematska tehnologija;
- posploševanje in utrjevanje gradiva, ki smo ga preučevali v tej lekciji.
Učna metoda: razlagalno - ilustrativna, problematična.
Kontrola znanja: frontalna anketa, reševanje problemov, predstavitev.
Materialna in tehnična opremljenost pouka. računalnik, multimedijski projektor.
Metodična podpora: referenčna gradiva, predstavitev na temo pouka, križanka.
Med poukom
1. Organizacijski trenutek: 5 min.
(pozdrav, pripravljenost skupine na pouk).
2. Preverjanje znanja:
Vprašanja preveri frontalno na diapozitivih: 10 min.
- definicije razdelka »Teorija verjetnosti«
- glavni koncept razdelka "Teorija verjetnosti"
- katere dogodke preučuje "teorija verjetnosti"
- značilnost naključnega dogodka
- klasična definicija verjetnosti
Povzetek. 5 minut.
3. Reševanje nalog v vrsticah: 5 min.
Naloga 1. Vrže se kocka. Kakšna je verjetnost, da dobimo sodo število manjše od 5?
Naloga 2. V škatli je devet enakih radijskih cevi, od katerih so bile tri v uporabi. Med delovnim dnevom je moral mojster vzeti dve radijski cevi za popravilo opreme. Kakšna je verjetnost, da sta bili uporabljeni obe svetilki?
3. naloga. V treh kinodvoranah so trije različni filmi. Verjetnost, da so vstopnice za določeno uro na blagajni 1. dvorane je 0,3, na blagajni 2. dvorane - 0,2 in na blagajni 3. dvorane - 0,4. Kolikšna je verjetnost, da je ob določeni uri mogoče kupiti vstopnico za vsaj en film?
4. Preverjanje na tabli, kako rešiti probleme. Nanos 1. 5 min.
5. sklep o reševanju problemov:
Verjetnost nastanka dogodka je za vsako nalogo enaka: m in n - konst
6. Postavljanje ciljev skozi nalogo: 5 min.
Naloga. Dva enaka šahista igrata šah. Kakšna je verjetnost zmage v dveh igrah od štirih?
Kakšna je verjetnost zmage v treh igrah od šestih (remi se ne upoštevajo)?
vprašanje. Pomislite in poimenujte razliko med vprašanji tega problema in vprašanji prejšnjih problemov?
Z sklepanjem s primerjavo dosežete odgovor: pri vprašanjih sta m in n različni.
7. Tema lekcije:
Izračun verjetnosti, da se dogodek zgodi k-krat od n poskusov s p-const.
Če se izvajajo poskusi, pri katerih verjetnost pojava dogodka A v vsakem preskušanju ni odvisna od izidov drugih preskušanj, se takšni poskusi imenujejo neodvisni glede na dogodek A. Preizkusi, pri katerih je verjetnost pojava dogodek je enak.
Bernoullijeva formula. Verjetnost, da je v n neodvisnih poskusih, v vsakem od katerih je verjetnost pojava dogodka enaka p (0 ali Dodatek 2 Bernoullijeva formula, kjer je k,n-majhna števila, kjer je q = 1-p Rešitev: igrajo enaki šahisti, zato je verjetnost zmage p=1/2; zato je verjetnost izgube q tudi 1/2. Ker je verjetnost zmage v vseh igrah konstantna in ni pomembno, v kakšnem vrstnem redu so igre zmagovane, je uporabna Bernoullijeva formula. 5 minut Poiščite verjetnost, da bosta zmagali dve igri od štirih: Poiščite verjetnost, da bodo zmagale tri od šestih iger: Ker je P4 (2) > P6 (3), je večja verjetnost, da bo zmagal v dveh igrah od štirih kot v treh od šestih. Poiščite verjetnost, da se dogodek A zgodi natanko 70-krat v 243 poskusih, če je verjetnost, da se ta dogodek zgodi v vsakem poskusu, 0,25. k=70, n=243 To pomeni, da sta k in n veliki števili. To pomeni, da je težko izračunati po Bernoullijevi formuli. Za takšne primere se uporablja lokalna Laplaceova formula: Dodatek 3 za pozitivne vrednosti x je podan v Dodatku 4; za negativne vrednosti x uporabite isto tabelo in = . 1. Dva enaka igralca igrata igro, pri kateri so izključeni remi. Kolikšna je verjetnost, da zmaga prvi igralec: a) ena igra od dveh? b) dva od štirih? c) tri od šestih? odgovor: ampak) ; b) ; v) 3. Izrežite AB ločeno s piko IZ v razmerju 2:1. Na tem segmentu se naključno vržejo štiri točke. Poiščite verjetnost, da sta dva od njih levo od točke C, dva pa desno. odgovor: 4. Poiščite verjetnost, da se dogodek A zgodi natanko 70-krat v 243 poskusih, če je verjetnost, da se ta dogodek zgodi v vsakem poskusu, 0,25. odgovor: . 5. Verjetnost, da boste imeli fanta, je 0,515. Poišči verjetnost, da bodo med 100 novorojenčki enakomerno razdeljeni dečki in dekleta. odgovor: 0,0782 6. Trgovina je prejela 500 steklenic v steklenih posodah. Verjetnost, da se bo katera od plastenk med transportom razbila, je 0,003. Poišči verjetnost, da bo trgovina prejela polomljene steklenice: a) natanko dve; b) manj kot dva; c) najmanj dva; d) vsaj eno. odgovor: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95 7. Avtomobilski obrat proizvede 80 % avtomobilov brez bistvenih napak. Kakšna je verjetnost, da bo med 600 avtomobili, ki so prišli iz tovarne na avtomobilsko borzo, vsaj 500 avtomobilov brez bistvenih napak? odgovor: 0,02. 8. Kolikokrat morate vreči kovanec, da lahko z verjetnostjo 0,95 pričakujete, da bo relativna frekvenca grba odstopala od verjetnosti R\u003d 0,5 videza grba v enem metu kovanca za največ 0,02? Odgovor: n ≥ 2401. 9. Verjetnost, da se dogodek zgodi v vsakem od 100 neodvisnih dogodkov, je konstantna in enaka str=0,8. Poišči verjetnost, da se bo dogodek zgodil: a) najmanj 75-krat in največ 90-krat; b) najmanj 75-krat; c) največ 74-krat. odgovor: a B C). 10. Verjetnost, da se dogodek zgodi v vsakem od neodvisnih poskusov, je 0,2. Ugotovite, kakšno odstopanje relativne pogostosti pojava dogodka od njegove verjetnosti lahko pričakujete z verjetnostjo 0,9128 v 5000 poskusih. odgovor: 11. Kolikokrat je treba vreči kovanec, da bi z verjetnostjo 0,6 pričakovali, da bo odstopanje relativne pogostosti videza grba od verjetnosti str=0,5 ne bo več kot 0,01 v absolutni vrednosti. Odgovor: n = 1764. 12. Verjetnost, da se dogodek zgodi v vsakem od 10.000 neodvisnih poskusov, je 0,75. Poiščite verjetnost, da relativna pogostost pojava dogodka odstopa od njegove verjetnosti v absolutni vrednosti za največ 0,01. odgovor: . 13. Verjetnost, da se dogodek zgodi v vsakem od neodvisnih poskusov, je 0,5. Poiščite število poskusov n, pri katerem je z verjetnostjo 0,7698 mogoče pričakovati, da relativna pogostost nastopa dogodka odstopa od njegove verjetnosti v absolutni vrednosti za največ 0,02. Opredelitev. Dve formuli algebre logike A in B poklical enakovrednoče vzamejo enake logične vrednosti na katerem koli nizu vrednosti osnovnih stavkov, vključenih v formule. Enakovrednost formul bo označena z znakom in zapisom A IN pomeni, da formule A in B so enakovredni. Na primer, naslednje formule so enakovredne: Formula A se imenuje identično res (ali tavtologija), če vzame vrednost 1 za vse vrednosti spremenljivk, ki so vanjo vključene. Na primer, tudi formule so resnične ,
. Formula AMPAK poklical enako napačno,če vzame vrednost 0 za vse vrednosti spremenljivk, ki so vanjo vključene. Na primer, formula je identično napačna. Jasno je, da je ekvivalenčna relacija refleksivna, simetrična in tranzitivna. Med pojmoma enakovrednosti in enakovrednosti obstaja naslednja povezava: če so formule AMPAK in IN so enakovredni, potem formula AMPAK IN- tavtologija in obratno, če je formula AMPAK IN- tavtologija, nato formule AMPAK in IN so enakovredni. Najpomembnejše ekvivalence algebre logike lahko razdelimo v tri skupine. 1. Osnovne enakovrednosti: Dokažimo enega od absorpcijskih zakonov. Razmislite o formuli .
Če ta formula ampak= 1 potem, očitno, in medtem ko je konjunkcija dveh resničnih propozicij. Pustite zdaj v formuli A x = 0. Toda potem bo po definiciji operacije veznika veznik napačen in veznik .
Torej v vseh primerih vrednosti formule AMPAK ujemajo vrednosti ampak, in zato AMPAK x. 2. Ekvivalence, ki izražajo nekatere logične operacije v smislu drugih: Jasno je, da enakovrednosti 5 in 6 dobimo iz ekvivalenc 3 oziroma 4, če vzamemo negacije iz obeh delov slednjega in uporabimo zakon o odstranitvi dvojnih negacij. Tako prve štiri enakovrednosti potrebujejo dokaz. Dokažimo dve izmed njih: prvega in tretjega. Ker za iste logične vrednosti X in pri so prave formule , , , potem bo resnična tudi veznica Naj zdaj X in pri imajo različne logične vrednosti. Potem bo enakovrednost in ena od dveh implikacij ali napačna. Ob istem času bo napačna in veznik Razmislite o enakovrednosti 3. Če X in pri hkrati prevzame prave vrednosti, potem bo konjunkcija resnična x&y in lažna negacija konjunkcije. Hkrati bosta oboje in in napačna, zato bo tudi disjunkcija napačna .
Naj zdaj vsaj ena od spremenljivk X oz pri prevzame vrednost false. Potem bo prišlo do napačne zveze x&y in njegovo resnično zanikanje. Hkrati bo negacija vsaj ene od spremenljivk resnična, zato bo resnična tudi disjunkcija .
Zato imata v vseh primerih oba dela enakovrednosti 3 enake logične vrednosti. Enakovrednosti 2 in 4 se dokažeta podobno. Iz enakovrednosti te skupine sledi, da lahko katero koli formulo algebre logike nadomestimo z enakovredno formulo, ki vsebuje samo dve logični operaciji: konjunkcija in negacija ali disjunkcija in negacija. Nadaljnja izključitev logičnih operacij ni možna. Torej, če uporabljamo samo veznik, potem že takšno formulo kot negacija X ni mogoče izraziti z operatorjem veznika. Vendar pa obstajajo operacije, s katerimi je mogoče izraziti katero koli od petih logičnih operacij, ki jih uporabljamo. Takšna operacija je na primer operacija »Schaefferjeva možganska kap«. Ta operacija je simbolizirana x|y in je določena z naslednjo tabelo resnice: Očitno obstajajo enakovrednosti: 2) x&y (x|y)|(x|y). Iz teh dveh enakovrednosti sledi, da lahko katero koli formulo algebre logike nadomestimo z enakovredno formulo, ki vsebuje samo operacijo "Schaefferjeva poteza". Upoštevajte to . Podobno je mogoče uvesti operacijo 3. Ekvivalence, ki izražajo osnovne zakone algebre logike: 1. x&y y&x - komutativnost konjunkcije. 2. x pri y X- komutativnost disjunkcije. 3. x& (y& z) (x & y) in z- Asociativnost veznika. 4. X(yz )
(X y) z je asociativnost disjunkcije. 5. x& (y z) (x&y) (x&z)- distributivnost konjunkcije glede na disjunkcijo. 6. X (y&z) (X y)& (x z )
- distributivnost disjunkcije glede na konjunkcijo. Dokažimo zadnji od naštetih zakonov. Če X= 1, potem bodo formule resnične X (y& z), X y, x z .
Toda takrat bo tudi veznik resničen (X y)& (x z ).
Tako pri X= 1 oba dela enakovrednosti 6 imata enake logične vrednosti (true). Naj zdaj x = 0. Potem X (y&z) y&z, x pri pri in x z z ,
in zato veznik X (y&z) y&z. Zato sta tukaj oba dela enakovrednosti 6 enakovredna isti formuli y&z, in zato vzamejo enake logične vrednosti. § 5. Ekvivalentne transformacije formul Z uporabo enakovrednosti skupin I, II in III je mogoče del formule ali formule zamenjati z enakovredno formulo. Takšne transformacije formul se imenujejo enakovredno. Ekvivalentne transformacije se uporabljajo za dokazovanje enakovrednosti, za pripravo formul v dano obliko, za poenostavitev formul. Formula AMPAK velja za enostavnejšo od enakovredne formule IN,če vsebuje manj črk, manj logičnih operacij. V tem primeru se operacije ekvivalence in implikacije običajno nadomestijo z operacijami disjunkcije in konjunkcije, negacija pa se imenuje elementarne propozicije. Oglejmo si nekaj primerov. 1. Dokaži enakovrednost Z uporabo ekvivalenc skupin I, II in III 2.
Poenostavite formulo Napišimo verigo enakovrednih formul: 3. Dokaži enako resnico formule Napišimo verigo enakovrednih formul: Boolova algebra Ekvivalence skupine III pravijo, da ima algebra logike komutativne in asociativne zakone glede na operacije konjunkcije in disjunkcije ter distributivni zakon konjunkcije glede na disjunkcijo; ti isti zakoni se izvajajo v algebri števil. Zato lahko nad formulami algebre logike izvedete enake transformacije, ki se izvajajo v algebri števil (odprte oklepaje, oklepaje, oklepaje skupnega faktorja). Toda v algebri logike so možne tudi druge transformacije, ki temeljijo na uporabi ekvivalenc: Ta lastnost nam omogoča, da pridemo do daljnosežnih posplošitev. Razmislite o nepraznem nizu M elementi katere koli narave ( x,y,z,...} ,
ki definira razmerje "=" (enako) in tri operacije: "+" (seštevanje), "" (množenje) in "-" (negacija), ob upoštevanju naslednjih aksiomov: Komutativni zakoni: 1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X Zakoni o združenju: 2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (pri z) = (x y) z. Zakoni o distribuciji: 3a. (x + y) z = (x z ) + (l G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z). Zakoni idempotence: 4a. x + x = x, 4b. X x = x. Zakon dvojne negacije: De Morganovi zakoni: 6a. ,
6b .
. Absorpcijski zakoni: 7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x. Takšna množica M poklical boolova algebra. Če pod glavnimi elementi x, y, z, ... pomeniti izjave pod operacijami "+", "", "-" disjunkcija, konjunkcija, negacija, in obravnavati znak enakosti kot znak enakovrednosti, potem, kot sledi iz ekvivalenc skupin I, II in III , so izpolnjeni vsi aksiomi Booleove algebre. V primerih, ko je za določen sistem aksiomov mogoče izbrati določene predmete in specifične odnose med njimi, tako da so vsi aksiomi izpolnjeni, pravimo, da razlaga(oz model) ta sistem aksiomov. Torej je algebra logike interpretacija Booleove algebre. Booleova algebra ima tudi druge interpretacije. Na primer, če pod glavnimi elementi x, y, z, ... kompleti M srednjih množic, pod operacijami "+", "", "-" združitev, presečišče, komplement, in pod znakom enakosti - znak enakosti množic, potem pridemo do algebre množic. Preprosto je preveriti, da so v algebri množic izpolnjeni vsi aksiomi Booleove algebre. Med različnimi interpretacijami Booleove algebre so razlage tehnične narave. Eden od njih bo obravnavan v nadaljevanju. Kot bo prikazano, igra pomembno vlogo v sodobni avtomatizaciji. Funkcije algebre logike Kot smo že omenili, je pomen formule algebre logike popolnoma odvisen od pomenov izjav, vključenih v to formulo. Zato je formula algebre logike funkcija elementarnih stavkov, ki so vanjo vključeni. Na primer, formula je funkcija tri spremenljivke f(x,y,z). Značilnost te funkcije je dejstvo, da njeni argumenti zavzamejo eno od dveh vrednosti: nič ali ena, medtem ko funkcija prevzame tudi eno od dveh vrednosti: nič ali ena. Opredelitev. Logična funkcija algebre ha spremenljivke (oz Boolean funkcija) Pokliče se funkcija n spremenljivk, kjer ima vsaka spremenljivka dve vrednosti: 0 in 1, hkrati pa lahko funkcija zavzame samo eno od dveh vrednosti: 0 ali 1. Jasno je, da sta identično resnični in identično napačni formuli algebre logike konstantni funkciji, dve enakovredni formuli pa izražata isto funkcijo. Ugotovimo, koliko je število funkcij n spremenljivk. Očitno je mogoče vsako funkcijo algebre logike (kot tudi formulo algebre logike) definirati s pomočjo tabele resnic, ki bo vsebovala 2 n vrstic. Zato ima vsaka funkcija n spremenljivk 2n vrednosti, sestavljene iz ničel in enic. Tako je funkcija n spremenljivk v celoti določena z nizom vrednosti ničel in enic dolžine 2 n. (Skupno število nizov ničel in enic dolžine 2 n je enako . Zato je število različnih funkcije logične algebre P spremenljivke je enako . Zlasti obstajajo štiri različne funkcije ene spremenljivke in šestnajst različnih funkcij dveh spremenljivk. Zapišimo vse funkcije algebre logike ena in dve spremenljivki. Razmislite o tabeli resnice za različne funkcije ene spremenljivke. Očitno izgleda takole: Iz te tabele sledi, da bosta dve funkciji ene spremenljivke konstantni: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0 in f 2 (x) X, in f 3 (x) .
Tabela resnice za vse možne funkcije dveh spremenljivk je: f i = f i (x, y) Jasno je, da lahko analitične izraze za te funkcije zapišemo na naslednji način. Razdelek 2. Logična enakovrednost formul. Normalne oblike za formule propozicijske algebre Ekvivalentna relacija S pomočjo tabel resnic je mogoče določiti, pri katerih nizih resničnih vrednosti vhodnih spremenljivk bo formula vzela resnično ali napačno vrednost (kot tudi stavek, ki ima ustrezno logično strukturo), katere formule bodo tavtologije ali protislovja, in tudi ugotoviti, ali dve dani formuli enakovredno. V logiki se reče, da sta dva stavka enakovredna, če sta oba resnična ali oba napačna. Beseda "hkrati" v tej besedni zvezi je dvoumna. Torej, za stavka "Jutri bo torek" in "Včeraj je bila nedelja" ima ta beseda dobesedni pomen: v ponedeljek sta oba resnična, v preostalem tednu pa sta oba napačna. Za enačbe " x = 2"in" 2x = 4»»hkrati« pomeni »z enakimi vrednostmi spremenljivke«. Napovedi »Jutri bo deževalo« in »Ni res, da jutri ne bo deževalo« bosta hkrati potrjeni (izkazali se bodo za resnične) ali nepotrjeni (izkazali se za napačne). V bistvu je to ista napoved, izražena v dveh različnih oblikah, ki ju lahko predstavimo s formulami X in . Te formule hkrati vzamejo vrednost "true" ali vrednost "false". Za preverjanje je dovolj, da naredite tabelo resnice: Vidimo, da so vrednosti resnice v prvem in zadnjem stolpcu enake. Takšne formule, kot tudi stavki, ki jim ustrezajo, se seveda štejejo za enakovredne. Formuli F 1 in F 2 se imenujeta ekvivalentni, če je njuna ekvivalenta tavtologija. Enakovrednost dveh formul je zapisana takole: (beri: formula F1 je enakovredna formuli F2). Obstajajo trije načini za preverjanje, ali so formule enakovredne: 1) naredite njihov ekvivalent in uporabite tabelo resnic, da preverite, ali je tavtologija; 2) za vsako formulo naredite tabelo resnice in primerjajte končne rezultate; če v skupnih stolpcih za iste nabore vrednosti spremenljivk
resnične vrednosti obeh formul bodo enake, potem sta formule enakovredni; 3) s pomočjo enakovrednih transformacij. Primer 2.1: Ugotovite, ali so formule enakovredne: 1) , ; 2) , . 1) Uporabimo prvo metodo za določitev enakovrednosti, torej ugotovimo, ali je enakovrednost formul tavtologija. Naredimo enakovrednost formul: . Nastala formula vsebuje dve različni spremenljivki ( AMPAK in IN) in 6 operacij: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; pet); 6). To pomeni, da bo ustrezna tabela resnice imela 5 vrstic in 8 stolpcev: Iz zadnjega stolpca tabele resnice je razvidno, da je sestavljena enakovrednost tavtologija in zato . 2) Da bi ugotovili, ali sta formule in enakovredni, uporabimo drugo metodo, to pomeni, da za vsako od formul sestavimo tabelo resnic in primerjamo končne stolpce. ( Komentar. Za učinkovito uporabo druge metode je potrebno, da se vse sestavljene tabele resnic začnejo na enak način, tj. nizi vrednosti spremenljivk so bili enaki v ustreznih vrsticah
.) Formula ima dve različni spremenljivki in 2 operaciji, kar pomeni, da ima ustrezna tabela resnice 5 vrstic in 4 stolpce: Formula ima dve različni spremenljivki in 3 operacije, kar pomeni, da ima ustrezna tabela resnice 5 vrstic in 5 stolpcev: Če primerjamo končne stolpce prevedenih tabel resnice (ker se tabele začnejo enako, lahko prezremo nize vrednosti spremenljivk), vidimo, da se ne ujemajo in zato formule niso enakovredne (). Izraz ni formula (ker se simbol " " ne nanaša na nobeno logično operacijo). Izraža odnos med formulami (pa tudi enakost med števili, vzporednost med vrsticami itd.). Velja izrek o lastnostih ekvivalenčne relacije: Izrek 2.1. Ekvivalentna relacija med formulami propozicijske algebre: 1) refleksno: ; 2) simetrično: če , potem ; 3) prehodno: če in , Potem . Zakoni logike Pogosto se imenujejo enakovrednosti propozicijskih logičnih formul zakoni logike. Naštejemo najpomembnejše med njimi: 1. - zakon identitete. 2. - zakon izključene sredine 3. - zakon protislovja 4. - disjunkcija z ničlo 5. - zveza z ničlo 6. - disjunkcija z enoto 7. - v povezavi z enoto 8. - zakon dvojne negacije 9. - komutativnost veznika 10. – komutativnost disjunkcije 11. - asociativnost veznika 12. - asociativnost disjunkcije 13. – distributivnost veznika 14. – distribucijska disjunkcija 15. - zakoni idempotence 16. 17. 18. 19. 20. - zakoni, ki izražajo enakovrednost z drugimi logičnimi operacijami Zakoni logike se uporabljajo za poenostavitev kompleksnih formul in za dokazovanje, da so formule enako resnične ali napačne. Ekvivalentne transformacije. Poenostavitev formul Če v enakovrednih formulah povsod nadomestimo isto formulo namesto neke spremenljivke, se bodo tudi na novo pridobljene formule izkazale za enakovredne v skladu s pravilom zamenjave. Na ta način je mogoče iz vsake enakovrednosti pridobiti poljubno število novih ekvivalenc. Primer 1:Če v De Morganovem zakonu namesto X nadomestek, namesto Y nadomestek , potem dobimo novo enakovrednost . Veljavnost dobljene enakovrednosti je enostavno preveriti s pomočjo tabele resnic. Če je katera koli formula, ki je del formule F, se nadomesti s formulo, enakovredno formuli , potem bo nastala formula enakovredna formuli F. Nato lahko za formulo iz primera 2 naredimo naslednje zamenjave: - zakon dvojne negacije; - De Morganov zakon; - zakon dvojne negacije; – zakon asociativnosti; Z lastnostjo tranzitivnosti ekvivalenčne relacije lahko trdimo, da Imenuje se zamenjava ene formule z drugo, ki ji ustreza enakovredna transformacija
formule. Spodaj poenostavitev
formule, ki ne vsebujejo implikacij in ekvivalentnih znakov, razumejo enakovredno transformacijo, ki vodi do formule, ki ne vsebuje negacij neelementarnih formul (zlasti dvojnih negacij) ali vsebuje skupno manjše število konjunkcijskih in disjunkcijskih znakov kot izvirnik eno. Primer 2.2: Poenostavimo formulo V prvem koraku smo uporabili zakon, ki implikacijo preoblikuje v disjunkcijo. V drugem koraku je bil uporabljen komutativni zakon. V tretjem koraku je bil uporabljen zakon idempotence. Na četrtem - De Morganov zakon. In na peti - zakon dvojne negacije. Opomba 1. Če je določena formula tavtologija, je tavtologija tudi vsaka formula, ki ji ustreza. Tako se lahko enakovredne transformacije uporabijo tudi za dokazovanje enake resnice nekaterih formul. Če želite to narediti, je treba to formulo zmanjšati z enakovrednimi transformacijami na eno od formul, ki so tavtologije. Opomba 2. Nekatere tavtologije in ekvivalence so parne (zakon protislovja in zakon alternativnih, komutativnih, asociativnih zakonov itd.). V teh korespondencah je t.i načelo dvojnosti
. Imenujeta se dve formuli, ki ne vsebujeta znakov implikacije in enakovrednosti dvojno
, če je vsako od njih mogoče dobiti od drugega tako, da znake zamenjamo z , oz. Načelo dvojnosti pravi naslednje: Izrek 2.2:Če sta dve formuli, ki ne vsebujeta znakov implikacije in enakovrednosti, enakovredni, sta enakovredni tudi njuni dvojni formuli. normalne oblike normalna oblika je sintaktično nedvoumen način pisanja formule, ki izvaja dano funkcijo. Z uporabo znanih zakonov logike lahko katero koli formulo pretvorimo v enakovredno formulo oblike Primer 2.3: V velikih formulah ali pri več transformacijah je običajno izpustiti znak veznika (po analogiji z znakom množenja): . Vidimo, da je po izvedenih transformacijah formula disjunkcija treh konjunkcij. Ta oblika se imenuje disjunktivna normalna oblika
(DNF). Imenuje se en sam element DNF elementarni veznik
ali sestavna enota. Podobno lahko vsako formulo reduciramo na enakovredno formulo, ki bo konjunkcija elementov, od katerih bo vsaka disjunkcija logičnih spremenljivk z ali brez znaka negacije. To pomeni, da je vsako formulo mogoče reducirati na enakovredno formulo obrazca Primer 2.4: Imenuje se en sam element CNF elementarna disjunkcija
ali sestavina nič. Očitno ima vsaka formula neskončno veliko DNF in CNF. Primer 2.5: Poiščimo več DNF za formulo Popolne normalne oblike SDNF (perfect DNF) je takšen DNF, v katerem vsak elementarni veznik vsebuje vse elementarne izjave ali njihove negacije enkrat, elementarne veznice se ne ponavljajo. SKNF (perfect CNF) je takšna CNF, v kateri vsaka elementarna disjunkcija vsebuje vse elementarne propozicije ali njihove negacije enkrat, elementarne disjunkcije se ne ponavljajo. Primer 2.6: 1) - SDNF 2) 1 - SKNF Formulirajmo značilnosti SDNF (SKNF). 1) Vsi člani disjunkcije (veznika) so različni; 2) Vsi člani vsakega veznika (dijunkcije) so različni; 3) Nobena konjunkcija (disjunkcija) ne vsebuje tako spremenljivke kot njene negacije; 4) Vsaka konjunkcija (disjunkcija) vsebuje vse spremenljivke, vključene v izvirno formulo. Kot lahko vidimo, značilnosti (ne pa oblike!) izpolnjujejo definicijo dvojnosti, zato je dovolj, da razumemo eno obliko, da se naučimo dobiti obe. SDNF (SKNF) je enostavno pridobiti iz DNF (CNF) s pomočjo enakovrednih transformacij. Ker so tudi pravila za pridobivanje popolnih normalnih oblik dvojna, bomo podrobno analizirali pravilo za pridobitev SMNF in samostojno formulirali pravilo za pridobitev SKNF z uporabo definicije dvojnosti. Splošno pravilo za redukcijo formule na SDNF z uporabo enakovrednih transformacij je:
Da bi dali formulo F, kar ni identično napačno, za SDNF zadostuje: 1) prinesi ga nekemu DNF; 2) odstraniti člane disjunkcije, ki vsebuje spremenljivko skupaj z njeno negacijo (če obstaja); 3) iz istih članov disjunkcije (če obstajajo) odstrani vse razen enega; 4) odstrani vse enake člane vsakega veznika razen enega (če obstaja); 5) če katera koli veznica ne vsebuje spremenljivke med spremenljivkami, ki so vključene v prvotno formulo, tej veznici dodamo izraz in uporabimo ustrezen distribucijski zakon; 6) če nastala disjunkcija vsebuje iste izraze, uporabite recept 3. Nastala formula je SDNF te formule. Primer 2.7: Za formulo poiščimo SDNF in SKNF Ker je bil DNF za to formulo že najden (glej primer 2.5), bomo začeli s pridobivanjem SDNF: 2) v nastali disjunkciji ni spremenljivk skupaj z njihovimi negacijami; 3) v ločitvi ni enakih članov; 4) v nobeni konjunkciji ni enakih spremenljivk; 5) prvi elementarni veznik vsebuje vse spremenljivke, vključene v izvirno formulo, drugi elementarni veznik pa nima spremenljivke z, zato mu dodajmo izraz in uporabimo distribucijski zakon: ; 6) enostavno je videti, da so se v disjunkciji pojavili isti izrazi, zato enega odstranimo (recept 3); 3) odstranite eno od identičnih disjunkcij: 4) v preostalih disjunkcijah ni enakih izrazov; 5) nobena od osnovnih disjunkcij ne vsebuje vseh spremenljivk, ki so vključene v izvirno formulo, zato vsako od njih dopolnimo s konjunkcijo : ; 6) v nastali veznici ni enakih disjunkcij, zato je najdena vezniška oblika popolna. Ker v agregatu SKNF in SDNF formule F 8 članov, potem so najverjetneje najdeni pravilno. Vsaka zadovoljiva (ovrgljiva) formula ima en sam SDNF in en sam SKNF. Tavtologija nima SKNF, protislovje pa nima SDNF.8. Naloga.
9. Sestavi algoritem za reševanje problema: 5 min.
10. Reševanje naloge z analizo pri tabli. Priloga 5. 10 min.
11. Povzemanje informacij o lekciji s predstavitvami
.
Zato imata v tem primeru oba dela enakovrednosti enake prave vrednosti.. Tako imata v tem primeru oba dela enakovrednosti enake logične vrednosti.x y x|y
.
.
.
x f 1 (x)
f 2 (x)
f 3 (x)
f 3 (x)
1
x
y
f1
f2
f 3
f4
f5
f6
f7
f 8
f9
f 10
f 11
f 12
f 13
f 14
f 15
f 16
X
1
0
1
0
1
0
AMPAK
IN
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
AMPAK
IN
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
AMPAK
IN
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
; 
- absorpcijski zakoni
; 
- De Morganovi zakoni
je zakon, ki izraža implikacijo prek disjunkcije
- zakon protipozicije
je zakon idempotence.
.
.
, kjer in je vsak bodisi spremenljivka, bodisi negacija spremenljivke, bodisi konjunkcija spremenljivk ali njihove negacije. Z drugimi besedami, vsako formulo je mogoče reducirati na enakovredno formulo preproste standardne oblike, ki bo disjunkcija elementov, od katerih je vsaka konjunkcija ločenih različnih logičnih spremenljivk, bodisi z ali brez znaka negacije.
, kjer in je vsak bodisi spremenljivka, bodisi negacija spremenljivke, bodisi disjunkcija spremenljivk ali njihove negacije. Ta oblika se imenuje konjunktivna normalna oblika
(KNF).
.
.
;
