Kompleksna števila

Namišljeno in kompleksna števila. Abscisa in ordinata

kompleksno število. Konjugirana kompleksna števila.

Operacije s kompleksnimi števili. Geometrijski

predstavitev kompleksnih števil. Kompleksno letalo.

Modul in argument kompleksnega števila. Trigonometrična

kompleksna številska oblika. Operacije s kompleksom

števila v trigonometrični obliki. Moivrejeva formula.

Osnovne informacije o namišljeno in kompleksna števila so podani v poglavju “Imaginarna in kompleksna števila”. Potreba po teh številkah novega tipa se je pojavila pri reševanju kvadratnih enačb za primerD< 0 (здесь D– diskriminator kvadratna enačba). Te številke dolgo časa niso našle fizične uporabe, zato so jih imenovali "imaginarne" številke. Vendar pa se zdaj zelo pogosto uporabljajo na različnih področjih fizike.

in tehnika: elektrotehnika, hidro- in aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksna števila so zapisane v obliki:a+bi. Tukaj a in b – realna števila , A jaz – imaginarna enota, tj. e. jaz 2 = –1. številka a klical abscisa, a b – ordinatakompleksno številoa + bi.Dve kompleksni številia+bi in a–bi se imenujejo konjugat kompleksna števila.

Glavni dogovori:

1. Realno številoAlahko zapišemo tudi v oblikikompleksno število:a + 0 jaz oz a – 0 jaz. Na primer zapisi 5 + 0jaz in 5 – 0 jazpomeni isto število 5 .

2. Kompleksno število 0 + biklical čisto namišljeno število. Zapisbipomeni enako kot 0 + bi.

3. Dve kompleksni številia+bi inc + diveljajo za enake, čea = c in b = d. V nasprotnem primeru kompleksna števila niso enaka.

Dodatek. Vsota kompleksnih števila+bi in c + dise imenuje kompleksno število (a+c ) + (b+d ) jaz.torej pri dodajanju kompleksna števila, njihove abscise in ordinate seštevajo ločeno.

Ta definicija ustreza pravilom za operacije z navadnimi polinomi.

Odštevanje. Razlika dveh kompleksnih števila+bi(zmanjšano) in c + di(odštevanec) se imenuje kompleksno število (a–c ) + (b–d ) jaz.

torej Pri odštevanju dveh kompleksnih števil se ločeno odštejeta njuni abscisi in ordinati.

Množenje. Produkt kompleksnih števila+bi in c + di imenujemo kompleksno število:

(ac–bd ) + (ad+bc ) jaz.Ta opredelitev izhaja iz dveh zahtev:

1) številke a+bi in c + dije treba pomnožiti kot algebraično binomi,

2) številka jazima glavno lastnost:jaz 2 = – 1.

PRIMER ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . torej delo

dveh konjugiranih kompleksnih števil je enako realnemu

pozitivno število.

Delitev. Deli kompleksno številoa+bi (deljivo) z drugimc + di(delilnik) - pomeni najti tretjo številkoe + f i(klepet), ki pri množenju z deliteljemc + di, ima za posledico dividendoa + bi.

Če delitelj ni nič, je deljenje vedno možno.

PRIMER Najdi (8 +jaz ) : (2 – 3 jaz) .

Rešitev. Zapišimo to razmerje kot ulomek:

Množenje njegovega števca in imenovalca z 2 + 3jaz

IN Po izvedbi vseh transformacij dobimo:

Geometrijska predstavitev kompleksnih števil. Realna števila so predstavljena s točkami na številski premici:

Tukaj je bistvo Apomeni številko –3, pikaB– številka 2, in O- nič. V nasprotju s tem so kompleksna števila predstavljena s točkami na koordinatni ravnini. V ta namen izberemo pravokotne (kartezične) koordinate z enakimi merili na obeh oseh. Nato kompleksno številoa+bi bo predstavljen s piko P z absciso a in ordinato b (glej sliko). Ta koordinatni sistem se imenuje kompleksna ravnina .

Modul kompleksno število je dolžina vektorjaOP, ki predstavlja kompleksno število na koordinati ( celovito) letalo. Modul kompleksnega številaa+bi označeno | a+bi| ali pismo r

Razmislite o kvadratni enačbi.

Določimo njegove korenine.

Ni realnega števila, katerega kvadrat je -1. Če pa operator definiramo s formulo jaz kot namišljena enota, potem lahko rešitev te enačbe zapišemo kot . pri čemer in - kompleksna števila, pri katerih je -1 realni del, 2 ali v drugem primeru -2 imaginarni del. Imaginarni del je tudi realno število. Imaginarni del, pomnožen z imaginarno enoto, že pomeni namišljeno število.

Na splošno ima kompleksno število obliko

z = x + iy ,

Kje x, y– realna števila, – imaginarna enota. V številnih uporabnih vedah, na primer v elektrotehniki, elektroniki, teoriji signalov, je imaginarna enota označena z j. Realne številke x = Re(z) in y=Sem(z) se imenujejo realni in imaginarni delištevilke z. Izraz se imenuje algebrska oblika pisanje kompleksnega števila.

Vsako realno število je poseben primer kompleksno število v obliki . Imaginarno število je tudi poseben primer kompleksnega števila .

Definicija množice kompleksnih števil C

Ta izraz se glasi takole: set Z, ki je sestavljen iz takih elementov, da x in l pripadajo množici realnih števil R in je namišljena enota. Upoštevajte, da itd.

Dve kompleksni števili in sta enaka, če in samo če sta njun realni in imaginarni del enaka, tj. in .

Kompleksna števila in funkcije se pogosto uporabljajo v znanosti in tehnologiji, zlasti v mehaniki, analizi vezij in oblikovanju. izmenični tok, analogna elektronika, teorija in obdelava signalov, teorija avtomatskega krmiljenja in druge uporabne vede.

1. Aritmetika kompleksnih števil

Seštevanje dveh kompleksnih števil je sestavljeno iz seštevanja njihovih realnih in imaginarnih delov, tj.

Skladno s tem razlika dveh kompleksnih števil

Kompleksno število klical celovito konjugatštevilo z =x+iy.

Kompleksno konjugirani števili z in z * se razlikujeta po predznakih imaginarnega dela. To je očitno

.

Vsaka enakost med kompleksnimi izrazi ostane veljavna, če povsod v tej enakosti jaz zamenjan z - jaz, tj. pojdite na enakost konjugiranih števil. Številke jaz in – jaz so algebraično nerazločljivi, saj .

Produkt (množenje) dveh kompleksnih števil je mogoče izračunati na naslednji način:

Deljenje dveh kompleksnih števil:

Primer:

1. Kompleksno letalo

Kompleksno število lahko grafično predstavimo v pravokotnem koordinatnem sistemu. Določimo pravokotni koordinatni sistem v ravnini (x, y).

Na osi Ox postavili bomo prave dele x, se imenuje prava (realna) os, na osi Oj– imaginarni deli l kompleksna števila. To se imenuje imaginarna os. V tem primeru vsako kompleksno število ustreza določeni točki na ravnini in taka ravnina se imenuje kompleksna ravnina. Točka A kompleksna ravnina bo ustrezala vektorju OA.

številka x klical abscisa kompleksno število, število l – ordinata.

Par kompleksnih konjugiranih števil je predstavljen s točkami, ki se nahajajo simetrično glede na realno os.

Če na letalu, ki ga postavimo polarni koordinatni sistem, nato vsako kompleksno število z odločen polarne koordinate. pri čemer modulštevilke je polarni polmer točke in kot - njegov polarni kot ali argument kompleksnega števila z.

Modul kompleksnega števila vedno nenegativno. Argument kompleksnega števila ni enolično določen. Glavna vrednost argumenta mora izpolnjevati pogoj . Vsaka točka kompleksne ravnine ustreza tudi splošni vrednosti argumenta. Argumenti, ki se razlikujejo za večkratnik 2π, se štejejo za enake. Argument številka nič je nedefiniran.

Glavna vrednost argumenta je določena z izrazi:

To je očitno

pri čemer
, .

Predstavitev kompleksnih števil z kot

klical trigonometrična oblika kompleksno število.

Primer.

1. Demonstrativna oblika kompleksna števila

Razgradnja v serija Maclaurin za prave argumentske funkcije ima obliko:

Za eksponentno funkcijo s kompleksnim argumentom z razgradnja je podobna

.

Razširitev Maclaurinove vrste za eksponentno funkcijo imaginarnega argumenta je mogoče predstaviti kot

Nastala identiteta se imenuje Eulerjeva formula.

Za negativni argument ima obliko

Če združite te izraze, lahko definirate naslednje izraze za sinus in kosinus

.

Z uporabo Eulerjeve formule iz trigonometrične oblike predstavljanja kompleksnih števil

na voljo okvirno(eksponentna, polarna) oblika kompleksnega števila, tj. njeno predstavitev v obliki

,

Kje - polarne koordinate točke z pravokotne koordinate (x,l).

Konjugat kompleksnega števila zapišemo v eksponentni obliki, kot sledi.

Za eksponentno obliko je enostavno določiti naslednje formule za množenje in deljenje kompleksnih števil

To pomeni, da sta v eksponentni obliki zmnožek in deljenje kompleksnih števil preprostejša kot v algebraični obliki. Pri množenju se moduli faktorjev množijo, argumenti pa seštevajo. To pravilo velja za poljubno število dejavnikov. Še posebej pri množenju kompleksnega števila z na jaz vektor z vrti v nasprotni smeri urnega kazalca 90

Pri deljenju se modul števca deli z modulom imenovalca, argument imenovalca pa se odšteje od argumenta števca.

Z uporabo eksponentne oblike kompleksnih števil lahko dobimo izraze za znane trigonometrične identitete. Na primer iz identitete

z uporabo Eulerjeve formule lahko zapišemo

Z enačenjem realnega in imaginarnega dela v tem izrazu dobimo izraze za kosinus in sinus vsote kotov

1. Potence, koreni in logaritmi kompleksnih števil

Dvig kompleksnega števila na naravno potenco n proizvedeno po formuli

Primer. Izračunajmo .

Predstavljajmo si številko v trigonometrični obliki

’

Z uporabo formule za potenciranje dobimo

Z vnosom vrednosti v izraz r= 1, dobimo t.i Moivrejeva formula, s katerim lahko določite izraze za sinuse in kosinuse več kotov.

Root n-ta potenca kompleksnega števila z Ima n različne vrednosti, določene z izrazom

Primer. Poiščimo ga.

Da bi to naredili, izrazimo kompleksno število () v trigonometrični obliki

.

Z uporabo formule za izračun korena kompleksnega števila dobimo

Logaritem kompleksnega števila z- to je številka w, za katerega . Naravni logaritem kompleksno število ima neskončno število vrednosti in se izračuna po formuli

Sestavljen je iz realnega (kosinus) in imaginarnega (sinus) dela. To napetost lahko predstavimo kot vektor dolžine Hm, začetna faza (kot), ki se vrti s kotno hitrostjo ω .

Poleg tega, če se dodajo kompleksne funkcije, se dodajo njihovi realni in imaginarni deli. Če kompleksno funkcijo pomnožimo s konstantno ali realno funkcijo, potem njen realni in imaginarni del pomnožimo z istim faktorjem. Diferenciacija/integracija tako kompleksne funkcije se zmanjša na diferenciacijo/integracijo realnega in imaginarnega dela.

Na primer razlikovanje izraza kompleksnega stresa

je pomnožiti s iω je realni del funkcije f(z) in – imaginarni del funkcije. Primeri: .

Pomen z je predstavljen s točko v kompleksni ravnini z in ustrezno vrednostjo w- točka v kompleksni ravnini w. Ko se prikaže w = f(z) ravninske črte z spremenijo v ravninske črte w, figure ene ravnine v figure druge, vendar se lahko oblike črt ali likov bistveno spreminjajo.

		Algebrska oblika zapisa kompleksnega števila................................................. ......... ...................
		Ravnina kompleksnih števil................................................. ...................... ............................ ............................ ...
		Kompleksna konjugirana števila..................................................... .................... .............................. ..........................
	Operacije s kompleksnimi števili v algebraični obliki.................................................. ......... ....
		Seštevanje kompleksnih števil.................................................. ......................................................... .................
		Odštevanje kompleksnih števil................................................. .................... .............................. ...................
		Množenje kompleksnih števil.................................................. ................................................... ..................
		Deljenje kompleksnih števil................................................. .................... .............................. .......................... ...
	Trigonometrična oblika zapisa kompleksnega števila.................................. ......... ..........
	Operacije s kompleksnimi števili v trigonometrični obliki.................................................. .........
		Množenje kompleksnih števil v trigonometrični obliki..................................... ........
		Deljenje kompleksnih števil v trigonometrični obliki..................................... ........ ...
		Dvig kompleksnega števila na pozitivno celo potenco..................................... ...........
		Ekstrakcija korena stopnje pozitivnega celega števila iz kompleksnega števila..................................
		Dvig kompleksnega števila na racionalno potenco..................................... .......... .....
		Kompleksna serija..................................................... ... ................................................ ......... ....................
		Kompleksne številske serije..................................... .................... .............................. ..........................
		Potenčne vrste v kompleksni ravnini ............................................. ........ ............................
		Dvostranski potenčne vrste v kompleksni ravnini..................................................... .....
		Funkcije kompleksne spremenljivke............................................. ....... ............................................
		Osnovne elementarne funkcije..................................................... .......... ............................................ .
		Eulerjeve formule..................................................... ... ................................................ ......... .................
		Eksponentna oblika predstavitve kompleksnega števila............................................. ...................... .
		Razmerje med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami.....................................
		Logaritemska funkcija..................................................... ... ................................................ ......... ...
		Splošne eksponentne in splošne potenčne funkcije............................................. ........ ...............
	Diferenciacija funkcij kompleksne spremenljivke............................................. ......... ...
		Cauchy-Riemannovi pogoji ............................................. ..................................................... ........... ............
		Formule za izračun odvoda............................................. ....... ...................................
		Lastnosti operacije diferenciacije............................................. ...................... ........................
		Lastnosti realnega in imaginarnega dela analitične funkcije..................................................

	Rekonstrukcija funkcije kompleksne spremenljivke iz njene realne ali imaginarne
		Metoda št. 1. Uporaba krivuljnega integrala............................................. ...... .......
		Metoda št. 2. Neposredna uporaba Cauchy-Riemannovih pogojev.....................................
		Metoda št. 3. Skozi odvod želene funkcije.................................................. ......... .........
	Integracija funkcij kompleksne spremenljivke............................................. ......... ..........
	Cauchyjeva integralna formula..................................................... ..................................................... ........... ...
	Razširitev funkcij v serijah Taylor in Laurent.................................................. .......... ........................
	Ničle in singularne točke funkcije kompleksne spremenljivke.................................................. ............. .....
		Ničle funkcije kompleksne spremenljivke..................................... .......... .......................
		Izolirane singularne točke funkcije kompleksne spremenljivke..................................

14.3 Točka v neskončnosti kot singularna točka funkcije kompleksne spremenljivke

	Odbitki ................................................. ......................................................... ............. ..................................... ...
		Odbitek na končni točki ............................................. ...... ............................................ ............ ......
		Ostanek funkcije v neskončni točki..................................... ........... ...............
	Izračun integralov z uporabo ostankov ............................................. ....... ............................
	Vprašanja za samotestiranje.................................................. ................................................... ........................... ........
	Literatura..................................................... ................................................. ...... ...................................
	Predmetno kazalo................................................. ................................................. ...... ..............

Predgovor

Pravilno razporediti čas in trud pri pripravi na teoretični in praktični del izpita ali certificiranja modula je precej težko, še posebej, ker je med sejo vedno premalo časa. In kot kaže praksa, se vsi ne morejo spopasti s tem. Posledica tega je, da nekateri študenti med izpitom pravilno rešujejo naloge, a težko odgovorijo na najpreprostejša teoretična vprašanja, drugi znajo oblikovati izrek, a ga ne morejo uporabiti.

S temi navodili za pripravo na izpit pri predmetu Teorija funkcij kompleksne spremenljivke (TFCP) poskušamo razrešiti to protislovje in zagotoviti hkratno ponavljanje teoretičnega in praktičnega gradiva predmeta. Vodeni po načelu »Teorija brez prakse je mrtva, praksa brez teorije je slepa«, vsebujejo tako teoretične določbe predmeta na ravni definicij in formulacij kot tudi primere, ki ilustrirajo uporabo posameznega danega teoretičnega stališča in s tem olajšajo njegovo pomnjenje in razumevanje.

Namen predlaganega metodološka priporočila– pomaga študentu pri pripravi na izpit osnovna raven. Z drugimi besedami, sestavljen je bil razširjen delovni priročnik, ki vsebuje glavne točke, ki se uporabljajo pri pouku tečaja TFKP in so potrebne pri izvajanju Domača naloga in priprava na kontrolne dogodke. Poleg tega samostojno delo Dijaki lahko to elektronsko izobraževalno publikacijo uporabljajo pri izvajanju pouka v interaktivni obliki z uporabo elektronske table ali za umestitev v sistem učenja na daljavo.

Upoštevajte, da to delo ne nadomešča niti učbenikov niti zapiskov predavanj. Za poglobljeno študijo gradiva je priporočljivo, da se sklicujete na ustrezne razdelke, ki jih je objavil MSTU. N.E. Osnovni učbenik Bauman.

Na koncu priročnika sta seznam priporočene literature in predmetno kazalo, ki zajema vse, kar je v besedilu izpostavljeno krepko poševno pogoji. Indeks je sestavljen iz hiperpovezav do razdelkov, v katerih so ti izrazi natančno opredeljeni ali opisani in kjer so podani primeri, ki ponazarjajo njihovo uporabo.

Priročnik je namenjen študentom 2. letnika vseh fakultet MSTU. N.E. Bauman.

1. Algebraična oblika zapisa kompleksnega števila

Zapis v obliki z = x + iy, kjer sta x, y realna števila, i je imaginarna enota (tj. i 2 = − 1)

imenujemo algebraična oblika zapisa kompleksnega števila z. V tem primeru x imenujemo realni del kompleksnega števila in ga označimo z Re z (x = Re z), y imenujemo imaginarni del kompleksnega števila in ga označimo z Im z (y = Im z).

Primer. Kompleksno število z = 4 − 3i ima realni del Re z = 4 in imaginarni del Im z = − 3 .

2. Kompleksna številska ravnina

IN obravnavane so teorije funkcij kompleksne spremenljivkekompleksna številska ravnina, ki je označen s črkami ali z uporabo črk, ki označujejo kompleksna števila z, w itd.

Horizontalna os kompleksne ravnine se imenuje prava os, so na njej postavljena realna števila z = x + 0 i = x.

Navpična os kompleksne ravnine se imenuje namišljena os;

3. Kompleksna konjugirana števila

Števili z = x + iy in z = x − iy imenujemo kompleksen konjugat. Na kompleksni ravnini ustrezajo točkam, ki so simetrične glede na realno os.

4. Operacije s kompleksnimi števili v algebraični obliki

4.1 Seštevanje kompleksnih števil

Vsota dveh kompleksnih števil

z 1 = x 1 + iy 1

in z 2 = x 2 + iy 2 imenujemo kompleksno število

z 1 + z 2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

delovanje

dodatek

kompleksnih števil je podobna operaciji seštevanja algebraičnih binomov.

Primer. Vsota dveh kompleksnih števil z 1 = 3 + 7i in z 2

= −1 +2 i

bo kompleksno število

z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

očitno,

povzetek na celovit način

konjugat

je

resnično

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Re z.

4.2 Odštevanje kompleksnih števil

Razlika dveh kompleksnih števil z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

klical

celovito

število z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

Primer. Razlika dveh kompleksnih števil

z 1 = 3 −4 i

in z 2

= −1 +2 i

bo celovita

število z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

Z razliko

kompleksen konjugat

je

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Množenje kompleksnih števil

Produkt dveh kompleksnih števil

z 1 = x 1 + iy 1

in z 2 = x 2 + iy 2

imenovan kompleks

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

Tako je operacija množenja kompleksnih števil podobna operaciji množenja algebrskih binomov, ob upoštevanju dejstva, da je i 2 = − 1.

OPREDELITEV

Algebraična oblika kompleksnega števila je zapis kompleksnega števila \(\z\) v obliki \(\z=x+i y\), kjer sta \(\x\) in \(\y\) realni števili , \(\i\ ) - imaginarna enota, ki ustreza razmerju \(\i^(2)=-1\)

Število \(\ x \) imenujemo realni del kompleksnega števila \(\ z \) in ga označujemo z \(\ x=\imeoperatorja(Re) z \)

Število \(\y\) imenujemo imaginarni del kompleksnega števila \(\z\) in ga označujemo z \(\y=\imeoperatorja(Im) z\)

Na primer:

Kompleksno število \(\ z=3-2 i \) in njegovo pridruženo število \(\ \overline(z)=3+2 i \) sta zapisana v algebraični obliki.

Imaginarna količina \(\ z=5 i \) je zapisana v algebraični obliki.

Poleg tega lahko glede na problem, ki ga rešujete, pretvorite kompleksno število v trigonometrično ali eksponentno število.

Naloga

Zapiši število \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) v algebraični obliki, poišči njegov realni in imaginarni del ter njegovo konjugirano število.

rešitev.

Če uporabimo izraz deljenje ulomkov in pravilo seštevanja ulomkov, dobimo:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Zato je realni del kompleksnega števila \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) število \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginarni del je število \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugirano število: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Odgovori

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Delovanja kompleksnih števil v primerjavi algebrskih oblik

Za dve kompleksni števili \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) pravimo, da sta enaki, če \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) tj. Njihov realni in imaginarni del sta enaka.

Naloga

Ugotovite, za kateri x in y sta dve kompleksni števili \(\ z_(1)=13+y i \) in \(\ z_(2)=x+5 i \) enaki.

rešitev

Po definiciji sta dve kompleksni števili enaki, če sta njun realni in imaginarni del enaka, tj. \(\x=13\), \(\y=5\).

Odgovor \(\x=13\), \(\y=5\)

dodatek

Seštevanje kompleksnih števil \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) se izvede z neposrednim seštevanjem realnega in imaginarnega dela:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\levo(x_(1)+x_(2)\desno) +i\levo(y_(1)+y_(2)\desno) \)

Naloga

Poiščite vsoto kompleksnih števil \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

rešitev.

Realni del kompleksnega števila \(\ z_(1)=-7+5 i \) je število \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) , imaginarni del je število \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Realni in imaginarni del kompleksnega števila \(\ z_(2)=13-4 i \) sta enaka \(\ x_(2)=\imeoperatorja(Re) z_(2)=13 \) in \( \ y_(2) oziroma )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .

Zato je vsota kompleksnih števil:

\(\ z_(1)+z_(2)=\levo(x_(1)+x_(2)\desno)+i\levo(y_(1)+y_(2)\desno)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Odgovori

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Preberite več o seštevanju kompleksnih števil v ločenem članku: Seštevanje kompleksnih števil.

Odštevanje

Odštevanje kompleksnih števil \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) in \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) se izvede z neposrednim odštevanjem resnični in namišljeni deli:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\levo(x_(2)+i y_(2)\desno)=x_(1)-x_(2) +\levo(i y_(1)-i y_(2)\desno)=\levo(x_(1)-x_(2)\desno)+i\levo(y_(1)-y_(2)\desno ) \)

Naloga

poiščite razliko kompleksnih števil \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

rešitev.

Poiščite realne in imaginarne dele kompleksnih števil \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\imeoperatorja(Re) z_(1)=17, x_(2)=\imeoperatorja(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\imeoperatorja(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\imeoperatorja(Im) z_(2)=5 \)

Zato je razlika kompleksnih števil:

\(\z_(1)-z_(2)=\levo(x_(1)-x_(2)\desno)+i\levo(y_(1)-y_(2)\desno)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Odgovori

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) množenje

Množenje kompleksnih števil \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) in \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) se izvede z neposrednim ustvarjanjem števila v algebraični obliki ob upoštevanju lastnosti imaginarne enote \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\levo(x_(1)+i y_(1)\desno) \cdot\levo(x_(2)+i y_(2)\desno)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\levo(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\desno)=\)

\(\ =\levo(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\desno)+i\levo(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\desno) \)

Naloga

Poiščite produkt kompleksnih števil \(\ z_(1)=1-5 i \)

rešitev.

Kompleks kompleksnih števil:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\levo(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\desno)+i\levo(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\desno)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

Odgovori

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) deljenje

Faktor kompleksnih števil \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) in \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) se določi z množenjem števec in imenovalec konjugiranemu številu z imenovalcem:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\levo (x_(1)+i y_(1)\desno)\levo(x_(2)-i y_(2)\desno))(\levo(x_(2)+i y_(2)\desno)\levo (x_(2)-i y_(2)\desno))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

Naloga

Če želite število 1 deliti s kompleksnim številom \(\z=1+2 i\).

rešitev.

Ker je imaginarni del realnega števila 1 enak nič, je faktor:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Odgovori

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Učni načrt.

1. Organizacijski trenutek.

2. Predstavitev gradiva.

3. Domača naloga.

4. Povzetek lekcije.

Med poukom

I. Organizacijski trenutek.

II. Predstavitev gradiva.

Motivacija.

Razširitev množice realnih števil je sestavljena iz dodajanja novih števil (imaginarnih) realnim številom. Uvedba teh števil je posledica nezmožnosti ekstrakcije korena negativnega števila v nizu realnih števil.

Uvod v koncept kompleksnega števila.

Imaginarna števila, s katerimi dopolnjujemo realna števila, so zapisana v obrazcu bi, Kje jaz je namišljena enota in i 2 = - 1.

Na podlagi tega dobimo naslednjo definicijo kompleksnega števila.

Opredelitev. Kompleksno število je izraz oblike a+bi, Kje a in b- realna števila. V tem primeru so izpolnjeni naslednji pogoji:

a) Dve kompleksni števili a 1 + b 1 i in a 2 + b 2 i enako, če in samo če a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Seštevanje kompleksnih števil določa pravilo:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Množenje kompleksnih števil določa pravilo:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraična oblika kompleksnega števila.

Zapis kompleksnega števila v obrazec a+bi se imenuje algebraična oblika kompleksnega števila, kjer A– realni del, bi je imaginarni del in b– realno število.

Kompleksno število a+bi velja za enako nič, če sta njen realni in imaginarni del enaka nič: a = b = 0

Kompleksno število a+bi pri b = 0 se šteje, da sovpada z realno število a: a + 0i = a.

Kompleksno število a+bi pri a = 0 se imenuje čisto imaginaren in je označen bi: 0 + bi = bi.

Dve kompleksni števili z = a + bi in = a – bi, ki se razlikujejo le po predznaku imaginarnega dela, se imenujejo konjugirani.

Operacije s kompleksnimi števili v algebraični obliki.

Naslednje operacije lahko izvedete s kompleksnimi števili v algebraični obliki.

1) Seštevanje.

Opredelitev. Vsota kompleksnih števil z 1 = a 1 + b 1 i in z 2 = a 2 + b 2 i imenujemo kompleksno število z, katere realni del je enak vsoti realnih delov z 1 in z 2, imaginarni del pa je vsota imaginarnih delov števil z 1 in z 2, to je z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Številke z 1 in z 2 se imenujejo termini.

Seštevanje kompleksnih števil ima naslednje lastnosti:

1º. Komutativnost: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativnost: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleksno število –a –bi imenujemo nasprotje kompleksnega števila z = a + bi. Kompleksno število, nasprotje kompleksnega števila z, označeno -z. Vsota kompleksnih števil z in -z enako nič: z + (-z) = 0

Primer 1: Izvedite seštevanje (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odštevanje.

Opredelitev. Odštejte od kompleksnega števila z 1 kompleksno število z 2 z, Kaj z + z 2 = z 1.

Izrek. Razlika med kompleksnimi števili obstaja in je edinstvena.

Primer 2: Izvedite odštevanje (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Množenje.

Opredelitev. Produkt kompleksnih števil z 1 =a 1 +b 1 i in z 2 =a 2 +b 2 i imenujemo kompleksno število z, definirano z enakostjo: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Številke z 1 in z 2 se imenujejo faktorji.

Množenje kompleksnih števil ima naslednje lastnosti:

1º. Komutativnost: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativnost: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivnost množenja glede na seštevanje:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- realno število.

V praksi se množenje kompleksnih števil izvaja po pravilu množenja vsote z vsoto in ločevanja realnega in imaginarnega dela.

V naslednjem primeru bomo obravnavali množenje kompleksnih števil na dva načina: po pravilu in z množenjem vsote z vsoto.

Primer 3: Izvedite množenje (2 + 3i) (5 – 7i).

1 način. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2. metoda. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Delitev.

Opredelitev. Deli kompleksno število z 1 na kompleksno število z 2, pomeni najti tako kompleksno število z, Kaj z · z 2 = z 1.

Izrek. Kvocient kompleksnih števil obstaja in je edinstven, če z 2 ≠ 0 + 0i.

V praksi količnik kompleksnih števil najdemo tako, da pomnožimo števec in imenovalec s konjugatom imenovalca.

Pustiti z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Potem

.

V naslednjem primeru bomo izvedli deljenje z uporabo formule in pravila množenja s številom, konjugiranim z imenovalcem.

Primer 4. Poiščite količnik .

5) Dvig na pozitivno celotno potenco.

a) Potence imaginarne enote.

Izkoriščanje enakosti i 2 = -1, je enostavno definirati katero koli pozitivno celo potenco imaginarne enote. Imamo:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 itd.

To kaže, da so vrednosti stopnje jaz n, Kje n– cela pozitivno število, se občasno ponavlja, ko se indikator poveča za 4 .

Zato za dvig števila jaz na pozitivno celo potenco, moramo eksponent deliti s 4 in zgraditi jaz na potenco, katere eksponent je enak ostanku pri deljenju.

Primer 5: Izračunajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Dvig kompleksnega števila na pozitivno celo potenco izvedemo po pravilu za dvig binoma na ustrezno potenco, saj gre za poseben primer množenja enakih kompleksnih faktorjev.

Primer 6: Izračunaj: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.