Se vam zdi, da je do izpita še veliko časa? Je mesec? dva? leto? Praksa kaže, da se študent najbolje spopade z izpitom, če se nanj začne pripravljati vnaprej. Na Enotnem državnem izpitu je veliko težkih nalog, ki študentu in bodočemu kandidatu ovirajo doseganje najvišjih točk. Te ovire se je treba naučiti premagati, poleg tega pa to ni težko storiti. Razumeti morate načelo dela z različnimi nalogami iz vstopnic. Potem z novimi ne bo težav.

Logaritmi se na prvi pogled zdijo neverjetno zapleteni, vendar ob podrobnejši analizi postane situacija veliko enostavnejša. Če želite opraviti izpit z najvišjo oceno, morate razumeti zadevni koncept, ki ga predlagamo v tem članku.

Najprej ločimo te definicije. Kaj je logaritem (log)? To je indikator moči, na katero je treba dvigniti podstavek, da dobimo določeno število. Če ni jasno, bomo analizirali elementarni primer.

V tem primeru je treba spodnjo osnovo dvigniti na drugo potenco, da dobimo število 4.

Zdaj pa se posvetimo drugemu konceptu. Odvod funkcije v kakršni koli obliki se imenuje koncept, ki označuje spremembo funkcije v dani točki. Vendar je to šolski kurikulum in če imate težave s temi koncepti ločeno, je vredno ponoviti temo.

Izpeljava logaritma

V nalogah USE na to temo je mogoče kot primer navesti več nalog. Začnimo z najpreprostejšim logaritemskim odvodom. Najti moramo odvod naslednje funkcije.

Najti moramo naslednjo izpeljanko

Obstaja posebna formula.

V tem primeru x=u, log3x=v. Nadomestite vrednosti iz naše funkcije v formulo.

Odvod x bo enak ena. Logaritem je malo težji. Toda načelo boste razumeli, če samo zamenjate vrednosti. Spomnimo se, da je odvod lg x odvod decimalnega logaritma, odvod ln x pa odvod naravnega logaritma (temelji na e).

Zdaj le nadomestite dobljene vrednosti v formulo. Poskusite sami, nato preverite odgovor.

Kaj bi lahko bil tukaj za nekatere problem? Predstavili smo pojem naravnega logaritma. Pogovorimo se o tem in hkrati ugotovimo, kako rešiti težave z njim. Ne boste videli nič zapletenega, še posebej, če razumete načelo njegovega delovanja. Morali bi se ga navaditi, saj se pogosto uporablja v matematiki (predvsem v visokošolskih ustanovah).

Izpeljanka naravnega logaritma

V svojem bistvu je to odvod logaritma na osnovo e (to je iracionalno število, ki je približno 2,7). Pravzaprav je ln zelo preprost, zato se pogosto uporablja v matematiki na splošno. Pravzaprav tudi reševanje problema z njim ne bo problem. Vredno si je zapomniti, da bo odvod naravnega logaritma na osnovo e enak ena deljeno z x. Rešitev naslednjega primera bo najbolj indikativna.

Predstavljajte si ga kot kompleksno funkcijo, sestavljeno iz dveh preprostih.

dovolj za preobrazbo

Iščemo odvod u glede na x

Nadaljujmo z drugim

Uporabljamo metodo reševanja odvoda kompleksne funkcije z zamenjavo u=nx.

Kaj se je zgodilo na koncu?

Zdaj pa se spomnimo, kaj je n pomenil v tem primeru? To je katero koli število, ki se lahko pojavi v naravnem logaritmu pred x. Pomembno je, da razumete, da odgovor ni odvisen od tega. Če zamenjate karkoli, bo odgovor še vedno 1/x.

Kot lahko vidite, tukaj ni nič zapletenega, dovolj je le razumeti načelo, da hitro in učinkovito rešite težave na to temo. Zdaj poznate teorijo, ostalo je, da se utrdite v praksi. Vadite reševanje problemov, da si zapomnite načelo njihovega reševanja za dolgo časa. Morda tega znanja po diplomi ne boste potrebovali, na izpitu pa bo bolj pomembno kot kadarkoli. Srečno!

Podani so primeri računanja odvodov z uporabo logaritemskega odvoda.

Vsebina

Poglej tudi: Lastnosti naravnega logaritma

Metoda rešitve

Pustiti
(1)
je diferenciabilna funkcija od x. Najprej ga bomo obravnavali na množici vrednosti x, za katere ima y pozitivne vrednosti: . V nadaljevanju bomo pokazali, da so vsi dobljeni rezultati uporabni tudi za negativne vrednosti .

V nekaterih primerih je za iskanje odvoda funkcije (1) priročno predhodno vzeti logaritem
,
in nato izračunaj izpeljanko. Nato po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije
.
Od tod
(2) .

Odvod logaritma funkcije se imenuje logaritemski odvod:
.

Logaritemski odvod funkcije y = f(x) je odvod naravnega logaritma te funkcije: (log f(x))'.

Primer negativnih vrednosti y

Zdaj razmislite o primeru, ko lahko spremenljivka sprejme pozitivne in negativne vrednosti. V tem primeru vzemite logaritem modula in poiščite njegov derivat:
.
Od tod
(3) .
To pomeni, da morate v splošnem primeru najti izpeljanko logaritma modula funkcije.

Če primerjamo (2) in (3), dobimo:
.
To pomeni, da formalni rezultat izračuna logaritemskega odvoda ni odvisen od tega, ali smo vzeli modulo ali ne. Zato nam pri izračunu logaritemskega odvoda ni treba skrbeti, kakšen predznak ima funkcija.

To situacijo je mogoče razjasniti s pomočjo kompleksnih števil. Naj bo za nekatere vrednosti x negativno: . Če upoštevamo samo realna števila, potem funkcija ni definirana. Če pa v obravnavo uvedemo kompleksna števila, dobimo naslednje:
.
To pomeni, da se funkcije in razlikujejo po kompleksni konstanti:
.
Ker je odvod konstante nič, potem
.

Lastnost logaritemskega odvoda

Iz takega premisleka izhaja, da logaritemski odvod se ne spremeni, če funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto :
.
Dejansko prijava lastnosti logaritmov, formule izvedena vsota in derivat konstante, imamo:

.

Uporaba logaritemskega odvoda

Logaritemski odvod je priročno uporabiti v primerih, ko je izvirna funkcija sestavljena iz produkta potenčnih ali eksponentnih funkcij. V tem primeru operacija logaritma pretvori produkt funkcij v njihovo vsoto. To poenostavi izračun derivata.

Primer 1

Poiščite odvod funkcije:
.

Vzamemo logaritem prvotne funkcije:
.

Diferenciraj glede na x.
V tabeli izpeljank najdemo:
.
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije.
;
;
;
;
(P1.1) .
Pomnožimo z:

.

Torej smo našli logaritemski odvod:
.
Od tu najdemo izpeljanko izvirne funkcije:
.

Opomba

Če želimo uporabiti samo realna števila, potem moramo vzeti logaritem modula prvotne funkcije:
.
Potem
;
.
In dobili smo formulo (A1.1). Zato se rezultat ni spremenil.

Primer 2

Z logaritemskim odvodom poiščite odvod funkcije
.

Logaritem:
(P2.1) .
Razlikuj glede na x:
;
;

;
;
;
.

Pomnožimo z:
.
Od tu dobimo logaritemski odvod:
.

Izpeljanka izvirne funkcije:
.

Opomba

Tu je izvirna funkcija nenegativna: . Definiran je na. Če ne predpostavimo, da je logaritem mogoče določiti za negativne vrednosti argumenta, je treba formulo (A2.1) zapisati na naslednji način:
.
Zaradi

in
,
to ne bo vplivalo na končni rezultat.

Primer 3

Poiščite izpeljanko
.

Diferenciranje izvedemo z uporabo logaritemskega odvoda. Logaritem glede na to:
(P3.1) .

Z diferenciranjem dobimo logaritemski odvod.
;
;
;
(P3.2) .

Od takrat

.

Opomba

Naredimo izračune brez predpostavke, da je logaritem mogoče definirati za negativne vrednosti argumenta. Če želite to narediti, vzemite logaritem modula prvotne funkcije:
.
Potem imamo namesto (A3.1):
;

.
Če primerjamo z (A3.2), vidimo, da se rezultat ni spremenil.

Poglej tudi:

kompleksne izpeljanke. Logaritemski odvod.
Odvod eksponentne funkcije

Še naprej izboljšujemo našo tehniko razlikovanja. V tej lekciji bomo utrdili prejeto snov, obravnavali bolj zapletene odvode, seznanili pa se bomo tudi z novimi triki in triki za iskanje odvoda, predvsem z logaritemskim odvodom.

Tisti bralci, ki imajo nizko stopnjo pripravljenosti, naj se obrnejo na članek Kako najti izpeljanko? Primeri rešitev kar vam bo omogočilo dvigniti svoje sposobnosti skoraj iz nič. Nato morate skrbno preučiti stran Odvod kompleksne funkcije, razumeti in rešiti Vse primere, ki sem jih dal. Ta lekcija je logično tretja po vrsti in ko jo boste obvladali, boste samozavestno razlikovali dokaj zapletene funkcije. Nezaželeno je, da se držimo položaja "Kje drugje? Da, in to je dovolj! «, ​​Ker so vsi primeri in rešitve vzeti iz resničnih testov in jih pogosto najdemo v praksi.

Začnimo s ponavljanjem. Pri lekciji Odvod kompleksne funkcije obravnavali smo številne primere s podrobnimi komentarji. Med študijem diferencialnega računa in drugih delov matematične analize boste morali zelo pogosto razlikovati in ni vedno priročno (in ni vedno potrebno) zelo podrobno slikati primere. Zato se bomo vadili v ustnem iskanju izpeljank. Najprimernejši "kandidati" za to so izpeljanke najpreprostejših kompleksnih funkcij, na primer:

Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije :

Pri študiju drugih matan tem v prihodnosti tako podroben zapis najpogosteje ni potreben, predpostavlja se, da je študent sposoben najti podobne izpeljanke na avtopilotu. Predstavljajmo si, da je ob 3. uri zjutraj zazvonil telefon in prijeten glas je vprašal: "Kolikšen je odvod tangente dveh x?". Temu bi moral slediti skoraj takojšen in vljuden odgovor: .

Prvi primer bo takoj namenjen samostojni rešitvi.

Primer 1

Ustno v enem koraku poišči naslednje izpeljanke, npr. Za dokončanje naloge morate le uporabiti tabela odvodov elementarnih funkcij(če se še ni spomnila). Če imate kakršne koli težave, priporočam, da lekcijo ponovno preberete Odvod kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na koncu lekcije

Kompleksni derivati

Po predhodni artilerijski pripravi bodo primeri s 3-4-5 priključki funkcij manj strašljivi. Morda se bosta naslednja primera komu zdela zapletena, a če ju razumemo (bo nekdo trpel), potem se bo skoraj vse ostalo v diferencialnem računu zdelo kot otroška šala.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Kot smo že omenili, je pri iskanju derivata kompleksne funkcije najprej potrebno Prav RAZUMITE NALOŽBE. V primerih, ko obstajajo dvomi, vas spomnim na uporaben trik: vzamemo na primer eksperimentalno vrednost "x" in poskušamo (miselno ali na osnutku) to vrednost nadomestiti v "grozen izraz".

1) Najprej moramo izračunati izraz, tako da je vsota najgloblje gnezdenje.

2) Nato morate izračunati logaritem:

4) Nato kubiramo kosinus:

5) V petem koraku razlika:

6) In končno, najbolj oddaljena funkcija je kvadratni koren:

Formula diferenciacije sestavljene funkcije se uporabljajo v obratnem vrstnem redu, od najbolj zunanje funkcije do najbolj notranje. Odločamo se:

Zdi se, da ni napake ...

(1) Izvlečemo kvadratni koren.

(2) Odvod razlike vzamemo z uporabo pravila

(3) Odvod trojke je enak nič. Pri drugem členu vzamemo odvod stopnje (kocke).

(4) Vzamemo odvod kosinusa.

(5) Vzamemo odvod logaritma.

(6) Na koncu vzamemo izpeljanko najglobljega gnezdenja.

Morda se zdi pretežko, vendar to ni najbolj brutalen primer. Vzemite za primer zbirko Kuznetsova in cenili boste ves čar in preprostost analizirane izpeljanke. Opazil sem, da podobno stvar radi dajo na izpitu, da preverijo, ali študent razume, kako najti odvod kompleksne funkcije, ali ne razume.

Naslednji primer je za samostojno rešitev.

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Namig: Najprej uporabimo pravila linearnosti in pravilo diferenciacije produkta

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Čas je, da preidemo na nekaj bolj kompaktnega in lepšega.
Ni neobičajna situacija, ko je produkt ne dveh, ampak treh funkcij podan na primeru. Kako najti odvod produkta treh faktorjev?

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

Najprej pogledamo, ali je mogoče produkt treh funkcij spremeniti v produkt dveh funkcij? Na primer, če bi imeli v produktu dva polinoma, bi lahko odprli oklepaje. Toda v tem primeru so vse funkcije različne: stopnja, eksponent in logaritem.

V takih primerih je nujno zaporedno uporabite pravilo razlikovanja izdelkov dvakrat

Trik je v tem, da za "y" označimo produkt dveh funkcij: in za "ve" - ​​​​logaritem:. Zakaj je to mogoče? Ali je - to ni produkt dveh faktorjev in pravilo ne deluje?! Nič ni zapleteno:

Zdaj je treba pravilo uporabiti drugič v oklepaj:

Še vedno lahko sprevržete in vzamete nekaj iz oklepajev, vendar je v tem primeru bolje pustiti odgovor v tej obliki - lažje ga boste preverili.

Zgornji primer je mogoče rešiti na drugi način:

Obe rešitvi sta popolnoma enakovredni.

Primer 5

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno rešitev, v vzorcu je rešen na prvi način.

Razmislite o podobnih primerih z ulomki.

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko greste na več načinov:

ali takole:

Toda rešitev lahko zapišemo bolj strnjeno, če najprej uporabimo pravilo diferenciacije količnika , za cel števec:

Načeloma je primer rešen in če ga pustimo v tej obliki, ne bo napake. Če imate čas, je vedno priporočljivo preveriti osnutek, vendar je mogoče odgovor poenostaviti? Izraz števca spravimo na skupni imenovalec in znebite se trinadstropne frakcije:

Pomanjkljivost dodatnih poenostavitev je, da obstaja nevarnost napake ne pri iskanju izpeljanke, ampak pri banalnih šolskih preobrazbah. Po drugi strani pa učitelji pogosto zavračajo nalogo in zahtevajo, da se »spomni« na izpeljanko.

Enostavnejši primer za rešitev "naredi sam":

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

Še naprej obvladujemo tehnike iskanja derivata, zdaj pa bomo obravnavali tipičen primer, ko je za diferenciacijo predlagan "grozen" logaritem

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko greste daleč z uporabo pravila diferenciacije kompleksne funkcije:

Toda že prvi korak vas takoj pahne v malodušje - vzeti morate neprijetno izpeljanko delne stopnje, nato pa tudi iz frakcije.

Zato prej kako vzeti izpeljanko "fancy" logaritma, je predhodno poenostavljeno z uporabo znanih šolskih lastnosti:

! Če imate pri roki vadbeni zvezek, prepišite te formule tja. Če nimate zvezka, jih narišite na list papirja, saj se bodo preostali primeri lekcije vrteli okoli teh formul.

Sama rešitev se lahko oblikuje takole:

Preoblikujemo funkcijo:

Najdemo izpeljanko:

Preliminarna transformacija same funkcije je močno poenostavila rešitev. Kadar je torej za diferenciacijo predlagan podoben logaritem, je vedno priporočljivo, da ga "razčlenimo".

In zdaj nekaj preprostih primerov za neodvisno rešitev:

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Vse transformacije in odgovori na koncu lekcije.

logaritemski odvod

Če je izpeljanka logaritmov tako sladka glasba, potem se postavlja vprašanje, ali je v nekaterih primerih mogoče umetno organizirati logaritem? Lahko! In celo potrebno.

Primer 11

Poiščite odvod funkcije

Podobne primere smo nedavno obravnavali. Kaj storiti? Zaporedoma lahko uporabimo pravilo diferenciacije količnika in nato pravilo diferenciacije produkta. Pomanjkljivost te metode je, da dobite ogromen trinadstropni del, s katerim se sploh ne želite ukvarjati.

Toda v teoriji in praksi obstaja tako čudovita stvar, kot je logaritemski derivat. Logaritme je mogoče organizirati umetno tako, da jih "obesite" na obeh straneh:

Opomba : Ker funkcija lahko sprejme negativne vrednosti, potem morate na splošno uporabiti module: , ki izginejo zaradi diferenciacije. Sprejemljiva je tudi trenutna zasnova, kjer je privzeto kompleksen vrednote. Ampak, če z vso strogostjo, potem je v obeh primerih treba narediti pridržek.

Zdaj morate čim bolj "razčleniti" logaritem desne strani (formule pred vašimi očmi?). Ta postopek bom zelo podrobno opisal:

Začnimo z razlikovanjem.
Oba dela zaključimo s potezo:

Izpeljanka desne strani je dokaj enostavna, ne bom je komentiral, ker če berete to besedilo, bi jo morali zanesljivo obvladati.

Kaj pa leva stran?

Na levi strani imamo kompleksna funkcija. Predvidevam vprašanje: "Zakaj, ali je pod logaritmom ena črka "y"?".

Dejstvo je, da ta "ena črka y" - JE SAM po sebi FUNKCIJA(če ni zelo jasno, glejte članek Izpeljava implicitno navedene funkcije). Zato je logaritem zunanja funkcija, "y" pa notranja funkcija. In uporabljamo pravilo diferenciacije sestavljene funkcije :

Na levi strani imamo kot zakleto izpeljanko. Nadalje, v skladu s pravilom sorazmerja, vržemo "y" od imenovalca leve strani do vrha desne strani:

In zdaj se spomnimo, o kakšni "igri"-funkciji smo govorili pri razlikovanju? Poglejmo stanje:

Končni odgovor:

Primer 12

Poiščite odvod funkcije

To je primer "naredi sam". Vzorčna zasnova primera te vrste na koncu lekcije.

S pomočjo logaritemskega odvoda je bilo mogoče rešiti kateri koli od primerov št. 4-7, druga stvar je, da so tam funkcije enostavnejše in morda uporaba logaritemskega odvoda ni zelo upravičena.

Odvod eksponentne funkcije

Te funkcije še nismo upoštevali. Eksponentna funkcija je funkcija, ki ima in stopnja in osnova sta odvisni od "x". Klasičen primer, ki vam bo naveden v katerem koli učbeniku ali na katerem koli predavanju:

Kako najti odvod eksponentne funkcije?

Treba je uporabiti pravkar obravnavano tehniko - logaritemski derivat. Na obeh straneh obesimo logaritme:

Praviloma je stopnja vzeta izpod logaritma na desni strani:

Posledično imamo na desni strani produkt dveh funkcij, ki ju bomo razlikovali po standardni formuli .

Poiščemo izpeljanko, za to oba dela priložimo pod poteze:

Naslednji koraki so enostavni:

Končno:

Če katera transformacija ni povsem jasna, prosimo, da ponovno natančno preberete razlage 11. primera.

Pri praktičnih nalogah bo eksponentna funkcija vedno bolj zapletena kot obravnavani primer predavanja.

Primer 13

Poiščite odvod funkcije

Uporabljamo logaritemski odvod.

Na desni strani imamo konstanto in produkt dveh faktorjev - "x" in "logaritem logaritma od x" (še en logaritem je ugnezden pod logaritem). Ko diferenciramo konstanto, kot se spomnimo, jo je bolje takoj odstraniti iz predznaka izpeljanke, da ne bo v napoto; in seveda uporabite znano pravilo :

Pri diferenciranju eksponentne potenčne funkcije ali okornih frakcijskih izrazov je priročno uporabiti logaritemski odvod. V tem članku si bomo ogledali primere njegove uporabe s podrobnimi rešitvami.

Nadaljnja predstavitev pomeni sposobnost uporabe tabele odvodov, pravil diferenciacije in poznavanje formule za odvod kompleksne funkcije.

Izpeljava formule za logaritemski odvod.

Najprej vzamemo logaritem na osnovo e, poenostavimo obliko funkcije z uporabo lastnosti logaritma in nato poiščemo odvod implicitno dane funkcije:

Na primer, poiščimo odvod eksponentne potenčne funkcije x na potenco x.

Logaritem daje . Glede na lastnosti logaritma. Razlikovanje obeh delov enakosti vodi do rezultata:

odgovor: .

Isti primer je mogoče rešiti brez uporabe logaritemskega odvoda. Izvedete lahko nekaj transformacij in greste od diferenciacije eksponentne potenčne funkcije do iskanja odvoda kompleksne funkcije:

Primer.

Poiščite odvod funkcije .

rešitev.

V tem primeru je funkcija je ulomek in njegov derivat je mogoče najti s pravili diferenciacije. Toda zaradi okornega izraza bo to zahtevalo veliko preobrazb. V takih primerih je bolj smiselno uporabiti formulo za logaritemski odvod . Zakaj? Zdaj boste razumeli.

Najprej ga poiščimo. Pri transformacijah bomo uporabili lastnosti logaritma (logaritem ulomka je enak razliki logaritmov, logaritem produkta pa je enak vsoti logaritmov, stopnja izraza pod znak logaritma lahko izvzamemo tudi kot koeficient pred logaritmom):

Te transformacije so nas pripeljale do dokaj preprostega izraza, katerega izpeljanko je enostavno najti:

Dobljeni rezultat nadomestimo s formulo za logaritemski odvod in dobimo odgovor:

Za utrjevanje gradiva podajamo še nekaj primerov brez podrobnih pojasnil.

Primer.

Poiščite odvod eksponentne potenčne funkcije

Dokaz in izpeljava formul za odvod naravnega logaritma in logaritma v osnovi a. Primeri izračunavanja odvodov ln 2x, ln 3x in ln nx. Dokaz formule za odvod logaritma n-tega reda z metodo matematične indukcije.

Vsebina

Poglej tudi: Logaritem - lastnosti, formule, graf
Naravni logaritem - lastnosti, formule, graf

Izpeljava formul za odvode naravnega logaritma in logaritma po osnovi a

Odvod naravnega logaritma x je enak ena deljeno z x:
(1) (lnx)′ =.

Odvod logaritma na osnovo a je enak ena, deljeno s spremenljivko x, pomnoženo z naravnim logaritmom a:
(2) (log x)′ =.

Dokaz

Naj obstaja neko pozitivno število, ki ni enako ena. Razmislite o funkciji, ki je odvisna od spremenljivke x, ki je osnovni logaritem:
.
Ta funkcija je definirana z . Poiščimo njen odvod glede na x. Po definiciji je izpeljanka naslednja meja:
(3) .

Transformirajmo ta izraz, da ga zmanjšamo na znane matematične lastnosti in pravila. Za to moramo poznati naslednja dejstva:
A) Lastnosti logaritma. Potrebujemo naslednje formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Zveznost logaritma in lastnost limitov za zvezno funkcijo:
(7) .
Tukaj je neka funkcija, ki ima limit in ta limit je pozitiven.
IN) Pomen druge čudovite meje:
(8) .

Ta dejstva uporabljamo do svoje meje. Najprej transformiramo algebraični izraz
.
Za to uporabimo lastnosti (4) in (5).

.

Uporabimo lastnost (7) in drugo izjemno mejo (8):
.

In končno, uporabite lastnost (6):
.
osnovni logaritem e klical naravni logaritem. Označeno je takole:
.
Potem ;
.

Tako smo dobili formulo (2) za odvod logaritma.

Izpeljanka naravnega logaritma

Še enkrat zapišemo formulo za odvod logaritma v osnovi a:
.
Ta formula ima najpreprostejšo obliko za naravni logaritem, za katerega je , . Potem
(1) .

Zaradi te preprostosti se naravni logaritem zelo pogosto uporablja v računstvu in na drugih področjih matematike, povezanih z diferencialnim računom. Logaritemske funkcije z drugimi bazami lahko izrazimo z naravnim logaritmom z uporabo lastnosti (6):
.

Osnovni odvod logaritma je mogoče najti iz formule (1), če konstanto vzamemo iz diferenciacijskega znaka:
.

Drugi načini dokazovanja odvoda logaritma

Tukaj predpostavljamo, da poznamo formulo za odvod eksponenta:
(9) .
Nato lahko izpeljemo formulo za odvod naravnega logaritma, če upoštevamo, da je logaritem inverzna eksponentu.

Dokažimo formulo za odvod naravnega logaritma, uporaba formule za odvod inverzne funkcije:
.
V našem primeru. Obratna vrednost naravnega logaritma je eksponent:
.
Njegov derivat je določen s formulo (9). Spremenljivke lahko označimo s poljubno črko. V formuli (9) zamenjamo spremenljivko x z y:
.
Od takrat
.
Potem
.
Formula je dokazana.

Sedaj dokažimo formulo za odvod naravnega logaritma z uporabo pravila za razlikovanje sestavljene funkcije. Ker sta funkciji in inverzni druga drugi, potem
.
Diferencirajte to enačbo glede na spremenljivko x:
(10) .
Odvod x je enak ena:
.
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:
.
Tukaj. Nadomestite v (10):
.
Od tod
.

Primer

Poiščite izpeljanke V 2x, V 3x in v nx.

Izvirne funkcije imajo podobno obliko. Zato bomo našli odvod funkcije y = log nx. Nato zamenjamo n = 2 in n = 3 . In tako dobimo formule za derivate V 2x in V 3x .

Torej, iščemo odvod funkcije
y = log nx .
Predstavimo to funkcijo kot kompleksno funkcijo, sestavljeno iz dveh funkcij:
1) Spremenljivke odvisne funkcije : ;
2) Spremenljivke odvisne funkcije : .
Nato je izvirna funkcija sestavljena iz funkcij in :
.

Poiščimo odvod funkcije glede na spremenljivko x:
.
Poiščimo odvod funkcije glede na spremenljivko:
.
Uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije.
.
Tukaj smo zamenjali.

Tako smo ugotovili:
(11) .
Vidimo, da odvod ni odvisen od n. Ta rezultat je povsem naraven, če pretvorimo izvirno funkcijo z uporabo formule logaritma produkta:
.
- je stalnica. Njegov derivat je nič. Potem imamo po pravilu diferenciacije vsote:
.

; ; .

Odvod logaritma po modulu x

Poiščimo odvod še ene zelo pomembne funkcije – naravnega logaritma modula x:
(12) .

Poglejmo primer. Potem je funkcija videti takole:
.
Njegov derivat je določen s formulo (1):
.

Zdaj razmislite o primeru. Potem je funkcija videti takole:
,
Kje .
Našli pa smo tudi izpeljanko te funkcije v zgornjem primeru. Ni odvisna od n in je enaka
.
Potem
.

Ta dva primera združimo v eno formulo:
.

V skladu s tem imamo za logaritem na osnovi a:
.

Odvodi naravnega logaritma višjega reda

Upoštevajte funkcijo
.
Našli smo njegovo izpeljanko prvega reda:
(13) .

Poiščimo odvod drugega reda:
.
Poiščimo odvod tretjega reda:
.
Poiščimo odvod četrtega reda:
.

Vidimo lahko, da ima odvod n-tega reda obliko:
(14) .
Dokažimo to z matematično indukcijo.

Dokaz

V formulo (14) nadomestimo vrednost n = 1:
.
Ker je , potem za n = 1 , velja formula (14).

Predpostavimo, da je formula (14) izpolnjena za n = k. Dokažimo, da iz tega sledi, da formula velja za n = k + 1 .

Dejansko imamo za n = k:
.
Razlikuj glede na x:

.
Torej smo dobili:
.
Ta formula sovpada s formulo (14) za n = k + 1 . Tako iz predpostavke, da formula (14) velja za n = k, sledi, da formula (14) velja za n = k + 1 .

Zato je formula (14) za odvod n-tega reda veljavna za vsak n.

Odvodi višjega reda logaritma na osnovo a

Če želite najti n-ti odvod osnovnega logaritma a, ga morate izraziti z naravnim logaritmom:
.
Z uporabo formule (14) najdemo n-ti odvod:
.

Poglej tudi: