Spektri zaporedja pravokotnih impulzov. Spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov Spekter periodičnega zaporedja impulzov je
Običajno se imenujejo periodični in neperiodični signali, katerih oblika se razlikuje od sinusne pulzni signali. Procesi generiranja, pretvorbe in vprašanja praktične uporabe impulznih signalov se danes nanašajo na številna področja elektronike.
Na primer, noben sodoben napajalnik ne more brez pravokotnega impulznega generatorja, ki se nahaja na njegovem tiskanem vezju, na primer na čipu TL494, ki proizvaja impulzne sekvence s parametri, primernimi za trenutno obremenitev.
Ker so lahko impulzni signali različnih oblik, so različni impulzi poimenovani glede na njihovo podobno obliko geometrijski lik: kvadratni impulzi, trapezni impulzi, trikotni impulzi, žagasti impulzi, stopničasti impulzi in razne druge oblike impulzov. Medtem pa so v praksi najpogosteje uporabljeni ravno kvadratni impulzi. O njihovih parametrih bomo razpravljali v tem članku.
Seveda je izraz "pravokotni impulz" nekoliko poljuben. Zaradi dejstva, da v naravi ni nič idealnega, tako kot ni popolnoma pravokotnih impulzov. Pravzaprav ima lahko pravi impulz, ki se običajno imenuje pravokotni, tudi nihajne valove (na sliki prikazani kot b1 in b2), ki jih povzročajo zelo resnični kapacitivni in induktivni faktorji.
Teh emisij seveda ni, vendar obstajajo električni in časovni parametri impulzov, ki med drugim odražajo "nepopolnost njihove pravokotnosti."
Pravokotni impulz ima določeno polarnost in raven delovanja. Najpogosteje je polarnost impulza pozitivna, saj se velika večina digitalnih mikrovezij napaja s pozitivno napetostjo glede na skupno žico, zato trenutna vrednost Napetost v impulzu je vedno večja od nič.
Obstajajo pa na primer primerjalniki, ki jih napaja bipolarna napetost; v takih vezjih lahko najdete večpolarne impulze. Na splošno se mikrovezja, ki jih napaja negativna napetost, ne uporabljajo tako pogosto kot mikrovezja s konvencionalno pozitivno močjo.
V zaporedju impulzov lahko delovna napetost impulza prevzame nizko ali visoko raven, pri čemer ena raven sčasoma zamenja drugo. Nizka napetost je označena z U0, visoka napetost z U1. Imenuje se najvišja trenutna vrednost napetosti v impulzu Ua ali Um glede na začetni nivo amplituda impulza.
Razvijalci impulznih naprav pogosto delujejo z aktivnimi impulzi visoka stopnja, kot je prikazano na sliki na levi. Toda včasih je praktično uporabiti impulze nizke ravni kot aktivne, pri katerih je začetno stanje visoka napetostna raven. Nizek utrip je prikazan na sliki na desni. Imenovati impulz nizke ravni "negativni impulz" je nevedno.
Padec napetosti v pravokotnem impulzu imenujemo fronta, ki predstavlja hitro (časovno sorazmerno s časom prehodnega procesa v vezju) spremembo električnega stanja.
Padec z nizke ravni na visoko raven, to je pozitiven padec, imenujemo vodilni rob ali preprosto rob impulza. Sprememba z visoke ravni na nizko raven ali negativni rob se imenuje prekinitev, upad ali preprosto zadnji rob impulza.
Prednji rob je v besedilu označen z 0,1 ali shematsko _|, zadnji rob pa z 1,0 ali shematsko |_.
Odvisno od inercialnih karakteristik aktivnih elementov prehodni proces (padec) v realni napravi vedno traja nekaj končnega časa. Zato skupno trajanje impulza ne vključuje samo časa obstoja visokega in nizkega nivoja, temveč tudi čase trajanja front (front in rez), ki jih označujemo s Tf in Tsr. V skoraj vsakem danem tokokrogu lahko čase vzpona in padca vidite z uporabo.
Ker v resnici trenutki začetka in konca prehodnih procesov v kapljicah niso zelo natančno ločeni, je običajno, da trajanje padca štejemo za časovno obdobje, v katerem se napetost spremeni od 0,1 Ua do 0,9 Ua (spredaj ) ali od 0,9 Ua do 0,1 Ua (rez). Prav tako strmina fronte Kf in strmina useka Ks.r. so nastavljene v skladu s temi mejnimi stanji in se merijo v voltih na mikrosekundo (v/μs). Samo trajanje impulza je časovni interval, štet od nivoja 0,5Ua.
Ko se na splošno obravnavajo procesi nastajanja in generiranja impulzov, se sprednji in zadnji del štejeta za nič v trajanju, saj za grobe izračune ti kratki časovni intervali niso kritični.
To so impulzi, ki si sledijo v določenem vrstnem redu. Če so premori med impulzi in trajanje impulzov v zaporedju enaki, je to periodično zaporedje. Perioda ponavljanja impulza T je vsota trajanja impulza in premora med impulzi v zaporedju. Frekvenca ponavljanja impulza f je recipročna vrednost obdobja.
Periodična zaporedja pravokotnih impulzov so poleg obdobja T in frekvence f označena z nekaj dodatnimi parametri: delovni cikel DC in delovni cikel Q. Delovni cikel je razmerje med časom trajanja impulza in njegovo periodo.
Delovni cikel je razmerje med obdobjem impulza in časom njegovega trajanja. Periodično zaporedje delovnega cikla Q = 2, to je tisto, v katerem je trajanje impulza enako času premora med impulzi ali v katerem je delovni cikel DC = 0,5, se imenuje meander.
Oglejmo si periodično zaporedje pravokotnih impulzov s periodo T, trajanjem impulza t u in največjo vrednostjo. Poiščimo serijsko razširitev takega signala z izbiro izhodišča koordinat, kot je prikazano na sl. 15. V tem primeru je funkcija simetrična glede na ordinatno os, tj. vsi koeficienti sinusnih komponent = 0, izračunati je treba samo koeficiente.
konstantna komponenta
(2.28)
Konstantna komponenta je povprečna vrednost v obdobju, tj. je območje impulza, deljeno s celotno periodo, tj. 
, tj. enako se je zgodilo s strogim formalnim izračunom (2,28).
Spomnimo se, da je frekvenca prvega harmonika ¦ 1 = , kjer je T perioda pravokotnega signala. Razdalja med harmoniki D¦=¦ 1. Če se harmonično število n izkaže za takšno, da je argument sinusa , potem gre amplituda tega harmonika prvič na nič. Ta pogoj je izpolnjen pri . Harmonično število, pri katerem njegova amplituda prvič izgine, se imenuje "prva ničla" in ga označimo s črko N, s čimer poudarimo posebne lastnosti tega harmonika:
Po drugi strani pa je delovni cikel S impulzov razmerje med obdobjem T in trajanjem impulza t u , tj. . Zato je "prva ničla" številčno enaka delovnemu ciklu impulza N=S. Ker gre sinus na nič za vse vrednosti argumenta, ki so večkratniki p, gredo tudi amplitude vseh harmonikov s številkami, ki so večkratniki števila "prve ničle", na nič. To je pri , kjer k– poljubno celo število. Tako na primer iz (2.22) in (2.23) sledi, da je spekter pravokotnih impulzov z delovnim ciklom 2 sestavljen samo iz lihih harmonikov. Zaradi S=2, potem N=2, tj. amplituda drugega harmonika gre prvič na nič - to je "prva ničla". Toda potem amplitude vseh drugih harmonikov s številkami, deljivimi z 2, tj. vse sode enote morajo prav tako iti na nič. Pri delovnem ciklu S=3 bodo ničelne amplitude pri 3, 6, 9, 12, ... harmonikih.
Z naraščajočim delovnim ciklom se "prva ničla" premakne v območje harmonikov z višjimi številkami in posledično se stopnja padanja harmoničnih amplitud zmanjša. Preprost izračun amplitude prvega harmonika pri Hm=100 V za delovni cikel S=2, um 1=63,7 V, pri S=5, um 1=37,4V in pri S=10, um 1=19,7 V, tj. Ko se delovni cikel poveča, se amplituda prvega harmonika močno zmanjša. Če najdemo razmerje amplitud npr. 5. harmonika um 5 na amplitudo prvega harmonika um 1, potem za S=2, um 5/um 1=0,2, in za S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, tj. stopnja slabljenja višjih harmonikov se zmanjšuje z naraščajočim delovnim ciklom.
Tako z naraščajočim delovnim ciklom postane spekter zaporedja pravokotnih impulzov bolj enoten.
SIGNALI
Oglejmo si nekaj primerov periodičnih nihanj, ki se pogosto uporabljajo v različnih radijskih napravah.
1. PRAVOKOTNE VIBRACIJE (SL. 2.3)
Takšno nihanje, pogosto imenovano meander, najde posebno široko uporabo v merilni tehniki.
Pri izbiri začetka časa v skladu s sl. 2.3, funkcija pa je liha in sl. 2.3, b - celo. Z uporabo formul (2.24) najdemo za liho funkcijo (slika 2.3, a) s s(t)=e(t):
riž. 2.3. Periodično nihanje pravokotne oblike (meander)
riž. 2.4. Koeficienti kompleksne (a) in trigonometrične (b) Fourierjeve vrste nihanja, prikazane na sl. 2.3
Glede na to dobimo
Začetne faze v skladu z (2.27) so enake za vse harmonike.
Zapišimo Fourierjev niz v trigonometrični obliki
Spekter kvot kompleksne serije Fourier je prikazan na sl. 2.4, a, in trigonometrična serija - na sl. 2.4, b (na).
Pri štetju časa od sredine impulza (sl. 2.3, b) je funkcija enakomerna glede na t in za to
Grafi 1. harmonikov in njihove vsote so prikazani na sl. 2.5, a. Na sl. 2.5, b je ta vsota dopolnjena s 5. harmonikom, na sl. 2.5, v - 7.
Z večanjem števila seštetih harmonikov se vsota niza približuje funkciji povsod, razen v točkah, kjer se funkcija prekine, kjer nastane prelet. Ko je vrednost tega izstopa enaka , tj. se vsota serije razlikuje od podane funkcije za 18 %. To konvergenčno napako v matematiki imenujemo Gibbsov fenomen.
riž. 2.5. Seštevek 1. in 3. harmonika (a), 1., 3. in 5. harmonika (b), 1., 3., 5. in 7. harmonika (c) nihanja, prikazanega na sl. 2.3
riž. 2.6 Periodično nihanje žaginega zoba
riž. 2.7. Vsota prvih petih harmonikov nihanja, prikazanega na sl. 2.6
Kljub dejstvu, da v obravnavanem primeru Fourierjeva vrsta ne konvergira k razširjeni funkciji v točkah svoje diskontinuitete, vrsta v povprečju konvergira, saj so na izstopih neskončno ozki in nimajo nobenega prispevka k integralu (2.13 ).
2. NIHANJE ŽAGE (SL. 2.6)
Podobne funkcije se pogosto pojavljajo v slikovnih skenerjih v osciloskopih. Ker je ta funkcija liha, njen Fourierov niz vsebuje samo sinusne člene. Z uporabo formul (2.24)-(2.31) je enostavno določiti koeficiente Fourierove vrste. Če izpustimo te izračune, zapišemo končni izraz za vrsto
Kot lahko vidimo, se amplitude harmonikov zmanjšujejo po zakonu, kjer je . Na sl. Slika 2.7 prikazuje graf vsote prvih petih harmonikov (v povečanem merilu).
3. ZAPOREDJE UNIPOLARNIH TRIKOTNIH IMPULZOV (SL. 2.8)
Fourierjeva vrsta za to funkcijo ima naslednjo obliko:
riž. 2.8. Vsota prvih treh harmonikov periodične funkcije
riž. 2.9. Periodično zaporedje pravokotnih impulzov z visokim delovnim ciklom
Na sl. Slika 2.8 prikazuje vsoto prvih treh členov tega niza. V tem primeru opazimo hitrejše zmanjšanje harmoničnih amplitud kot v prejšnjih primerih. To je razloženo z odsotnostjo prekinitev (skokov) v funkciji.
4. ZAPOREDJE UNIPOLARNIH PRAVOKOTNIH IMPULZOV (SLIKA 2.9)
Z uporabo formule (2.32) najdemo povprečno vrednost (konstantna komponenta)
in harmonični koeficient
V tem razdelku bomo obravnavali spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov, kot enega najpomembnejših signalov, ki se uporabljajo v praktičnih aplikacijah.
Spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov
Naj bo vhodni signal periodično zaporedje pravokotnih impulzov z amplitudo , trajanje sekund, ki mu sledi obdobje sekund, kot je prikazano na sliki 1
Slika 1. Periodično zaporedje pravokotnih impulzov
Merska enota za amplitudo signala je odvisna od fizičnega procesa, ki ga signal opisuje. Lahko je napetost, tok ali karkoli drugega fizikalna količina s svojo mersko enoto, ki se s časom spreminja kot . V tem primeru bodo merske enote amplitud spektra , , sovpadale z merskimi enotami amplitude izvirnega signala.
Potem lahko spekter , , tega signala predstavimo kot:
Spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov je niz harmonikov z ovojnico oblike 
.
Lastnosti spektra periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov
Razmislimo o nekaterih lastnostih ovojnice spektra periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov.
Konstantno komponento ovojnice lahko dobimo kot mejo:
Za razkrivanje negotovosti uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:
Kjer se imenuje delovni cikel impulzov in določa razmerje med obdobjem ponavljanja impulza in trajanjem posameznega impulza.
Tako je vrednost ovojnice pri ničelni frekvenci enaka amplitudi impulza, deljeni z delovnim ciklom. Ko se delovni cikel poveča (tj. ko se trajanje impulza zmanjša pri fiksnem obdobju ponavljanja), se vrednost ovojnice pri ničelni frekvenci zmanjša.
Z uporabo delovnega cikla impulzov lahko izraz (1) prepišemo kot:
Ničle ovojnice spektra zaporedja pravokotnih impulzov je mogoče dobiti iz enačbe:
Imenovalec gre na nič le, če , Vendar, kot smo ugotovili zgoraj 
, potem bo rešitev enačbe
Potem ovojnica izgine, če
Slika 2 prikazuje ovojnico spektra periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov (črtkana črta) in frekvenčna razmerja med ovojnico in diskretnim spektrom.
Slika 2. Spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov
Prikazani so tudi amplitudna ovojnica, amplitudni spekter ter fazna ovojnica in fazni spekter.Na sliki 2 lahko vidite, da fazni spekter prevzame vrednosti, ko ima ovojnica negativne vrednosti. Upoštevajte, da in ustrezata isti točki kompleksne ravnine, ki je enaka .
Primer spektra periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov
Naj bo vhodni signal periodično zaporedje pravokotnih impulzov amplitude, ki mu sledi obdobje drugega in drugačnega delovnega cikla. Slika 3a prikazuje časovne oscilograme teh signalov, njihove amplitudne spektre (slika 3b) ter zvezne ovojnice spektrov (črtkana črta).
Slika 3. Spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov pri različnih vrednostih delovnega cikla
a - časovni oscilogrami; b - amplitudni spekter
Kot je razvidno iz slike 3, ko se delovni cikel signala poveča, se trajanje impulza zmanjša, ovojnica spektra se razširi in zmanjša amplituda (črtkana črta). Posledično se poveča število harmonikov spektra znotraj glavnega režnja.
Spekter časovno zamaknjenega periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov
Zgoraj smo podrobno preučili spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov za primer, ko je bil prvotni signal simetričen glede na . Posledično je spekter takega signala realen in je podan z izrazom (1). Zdaj bomo pogledali, kaj se zgodi s spektrom signala, če signal premaknemo v času, kot je prikazano na sliki 4.
Slika 4. Časovno zamaknjeno periodično zaporedje pravokotnih impulzov
Odmaknjeni signal si lahko predstavljamo kot signal z zakasnitvijo polovice trajanja impulza 
. Spekter premaknjenega signala je mogoče predstaviti glede na lastnost cikličnega časovnega zamika kot:
Tako spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov, premaknjen glede na nič, ni čisto realna funkcija, ampak pridobi dodaten fazni faktor 
. Amplitudni in fazni spekter sta prikazana na sliki 5.
Slika 5. Amplitudni in fazni spekter časovno zamaknjenega periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov
Iz slike 5 sledi, da premik periodičnega signala v času ne spremeni amplitudnega spektra signala, temveč faznemu spektru signala doda linearno komponento.
zaključki
V tem razdelku imamo analitično izražanje za spekter periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov.
Preučili smo lastnosti ovojnice spektra periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov in podali primere spektrov pri različnih vrednostih delovnega cikla.
Upoštevali smo tudi spekter, ko je bilo zaporedje pravokotnih impulzov časovno zamaknjeno in pokazalo se je, da časovni zamik spremeni fazni spekter in ne vpliva na amplitudni spekter signala.
Moskva, Sovjetski radio, 1977, 608 str.Dötsch, G. Vodnik praktična uporaba Laplaceove transformacije. Moskva, Nauka, 1965, 288 str.
Laboratorijsko delo št. 1.
Predstavitev periodičnih impulzov
Signali blizu Fourierja.
Cilj dela – Študij spektralne sestave periodičnega zaporedja pravokotnih impulzov pri različnih stopnjah ponavljanja in trajanju impulza.
Uvod
Za prenos, shranjevanje in obdelavo informacij se uporabljajo periodični impulzni signali, ki jih lahko matematično predstavimo s Fourierjevimi vrstami. Na sliki 1 je časovna predstavitev, na sliki 2 pa frekvenčna predstavitev električnih signalov.
Slika 1. Začasna oblika predstavitve periodike
zaporedja pravokotnih impulzov.
Predstavitev signala v časovni domeni omogoča določitev njegovih parametrov, energije, moči in trajanja. Fourierjeve transformacije se uporabljajo za predstavitev signalov v frekvenčni domeni kot spektra. Poznavanje frekvenčnih lastnosti omogoča reševanje problemov prepoznavanja značilnosti signala (določanje njegovih najbolj informativnih parametrov), filtriranja (izbira uporabnega signala iz ozadja šuma) in izbire frekvence vzorčenja neprekinjenega signala. Eden najpomembnejših parametrov signala je širina frekvenčnega spektra, saj se prav ta parameter izkaže za odločilnega pri usklajevanju signala z opremo za obdelavo in prenos informacij.
Osnovne formule in definicije.
Periodična funkcija u(t) s periodo T lahko predstavimo s Fourierjevo vrsto
(1)
Oklevanje 
s frekvenco se imenuje prvi harmonik; (n =1) nihanje 
s frekvenco - drugi harmonik (n = 2), 
s frekvenco - n-ti harmonik.
Izraz (1) z uporabo identitete
se lahko prepiše kot
, (2)
Koeficienti in so določeni s formulami
Količina izraža povprečno vrednost funkcije v obdobju, imenujemo jo tudi konstantna komponenta in se izračuna po formuli
Formule (3) rešujejo problem analizo : glede na periodično funkcijo morate najti Fourierjeva koeficienta in . Formuli (1) in (2) rešujeta problem harmonike sinteza : z uporabo danih koeficientov morate najti periodično funkcijo.
Analiza spektra zaporedja pravokotnih impulzov
Množica amplitud in frekvenc harmoničnih komponent se imenuje amplitudno-frekvenčni odziv(frekvenčni odziv) in odvisnost od harmonskih frekvenc fazno-frekvenčni odziv (PFC). Amplitudno-frekvenčni spekter pravokotnih impulzov lahko grafično predstavimo na sliki 2. 
Slika 2. Frekvenčni odziv in fazni odziv periodičnega zaporedja
pravokotne impulze.
Naj bo , ki predstavlja zaporedje pravokotnih impulzov na sliki 1 z amplitudo, trajanjem in periodo, opisano z enačbo
Nato so amplitude in faze za harmonične komponente določene z enačbo:
(4)
Vrednost se imenuje delovni cikel in je označena s črko. Nato dobijo enačbe (4) obliko
kjer je n =1, 2, …. (5)
Za izračun moči signalov, ki jih v teoriji informacij predstavlja Fourierjev niz, se uporabljajo formule, v katerih je vrednost upora R = 1 Ohm. V tem primeru sta napetosti u in tokovi i enaki, saj je i = u/R.
Moč konstantne komponente P 0 bo
in moč spremenljive komponente Р n za n-ti harmonik
(6)
Formula za nastalo moč bo imela obliko
VADBA
1. Izvedite periodično analizo niza pravokotnih impulzov
1.1 Na podlagi števila možnosti N, prejetih od učitelja, iz tabele 1 določite vrednost delovnega cikla in krožne frekvence. .
Tabela 1
| št., var | q | , rad/s | št., var | q | , rad/s |
| 3,24 | 47,25 | 8,50 | 69,22 | ||
| 6,52 | 97,50 | 6,72 | 78,59 | ||
| 5,93 | 14,45 | 2,30 | 19,44 | ||
| 7,44 | 15,12 | 3,59 | 37,96 | ||
| 1,87 | 70,93 | 4,48 | 78,27 | ||
| 5,46 | 91,65 | 2,99 | 42,48 | ||
| 6,40 | 86,40 | 6,18 | 75,45 | ||
| 1,27 | 48,98 | 1,81 | 57,64 | ||
| 2,97 | 40,13 | 3,22 | 15,46 | ||
| 1,09 | 85,95 | 3,66 | 55,25 | ||
| 2,13 | 57,30 | 3,27 | 27,58 | ||
| 7,99 | 66,90 | 4,64 | 3,68 | ||
| 4,61 | 31,55 | 3,71 | 43,73 | ||
| 1,95 | 25,24 | 4,33 | 70,44 | ||
| 2,66 | 6,61 | 3,38 | 52,07 | ||
| 1,10 | 18,37 | 6,92 | 26,17 | ||
| 4,06 | 70,24 | 4,95 | 55,52 | ||
| 2,40 | 35,10 | 6,51 | 82,64 | ||
| 9,42 | 33,96 | 3,32 | 68,07 | ||
| 6,13 | 43,25 | 7,75 | 32,49 | ||
| 7,36 | 52,37 | 5,71 | 26,68 | ||
| 2,33 | 24,84 | 2,42 | 96,02 | ||
| 2,18 | 25,34 | 16,99 | 88,59 | ||
| 5,80 | 12,99 | 62,23 | 50,21 | ||
| 1,68 | 41,16 | 37,54 | 20,70 |
1.2 a) Določite prvih 11 vrednosti koeficientov u n (n=0, 1, 2, ... , 10), pri čemer štejete E=1 V, z uporabo preglednic Excel (ali kalkulatorja ali drugega programskega izdelka) v skladu z na formule (5 ) in jih vnesite v ustrezno vrstico u n tabele 2.
1.3 b) Izračunajte potence p n in jih zapišite v tabelo 2.
tabela 2
| w | w 1 | 2w 1 | … | 10w 1 | |
| u n | u 0 | u 1 | u 2 | … | u 10 |
| jn | j 1 | j 2 | j 3 | … | j 10 |
| p n | p 0 | str 1 | p2 | str 10 |
in graf amplitudno-frekvenčnega odziva (AFC) sl. 3, a).
1.4 Konstruirajte fazno-frekvenčno karakteristiko (PFC) periodičnega zaporedja impulzov, podobnih sliki 2), v kateri je sprememba predznaka u n enakovredna faznemu zamiku za p.
1.5 Izračunajte specifično (pri upornosti 1 Ohm) moč spektra prvih 10 harmonikov z uporabo formule
.
2. Sintetična naloga.
2.1. Z uporabo enačbe (1) predstavite vsoto prvih 10 harmonikov tako, da zamenjate enačbo
glede na vrednosti u n, izračunane v tabeli za , , , …. in narišite časovno odvisnost od obdobja T, na primer.
iz tabele 3
v obliki grafa 4 v časovnem obsegu ene periode T= z uporabo trenutnega časa t = nD t - t/2, s korakom kje n=0,1,2, … ,10, prikazano na sl. 3.
riž. 3. Časovni interval za sintezo signala
