Serije s kompleksnimi števili. Serije s kompleksnimi izrazi. Kompleksna serija moči

463. Kakšen je geometrijski pomen neenakosti: 1) Re z > 0; 2) sem z< 0 ?

2. Serije s kompleksnimi izrazi. Razmislite o zaporedju kompleksnih števil z 1, z 2 , z 3 , ..., kje z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Stalna številka c = a + bi klical omejitev zaporedja z 1, z 2 , z 3 , ..., če je za poljubno majhno število δ>0 obstaja taka številka N, kaj je pomen z str s številkami n > N zadovoljiti neenakost \z str-z\< δ . V tem primeru pišejo .

Nujen in zadosten pogoj za obstoj limite zaporedja kompleksnih števil je naslednji: število c=a+bi je limita zaporedja kompleksnih števil x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, …če in samo če,.

(1)

katerega člani so kompleksna števila se imenuje konvergenten,če nth delna vsota serije S n at p → ∞ teži k določeni končni meji. V nasprotnem primeru se imenuje serija (1). divergenten.

Vrsta (1) konvergira, če in samo če konvergira vrsta z realnimi členi

(2) Raziščite konvergenco vrste. Ta vrsta, katere členi tvorijo neskončno padajočo geometrijsko progresijo, konvergira. zato podana vrsta s kompleksnimi členi absolutno konvergira. ^

474. Poiščite območje konvergence serije

19.4.1. Številske serije s kompleksnimi členi. Vse osnovne definicije konvergence, lastnosti konvergentnih vrst in znaki konvergence za kompleksne vrste se ne razlikujejo od dejanskega primera.

19.4.1.1. Osnovne definicije. Naj nam je dano neskončno zaporedje kompleksnih števil z 1 , z 2 , z 3 , …, z n , ….Pravi del števila z n bomo označili a n , namišljeno - b n

(tisti. z n = a n + jaz b n , n = 1, 2, 3, …).

Serije številk- zapis obrazca .

Delnozneskivrstica: S 1 = z 1 , S 2 = z 1 + z 2 , S 3 = z 1 + z 2 + z 3 , S 4 = z 1 + z 2 + z 3 + z 4 , …,

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n , …

Opredelitev.Če obstaja omejitev S zaporedja delnih vsot vrste za
, ki je pravilno kompleksno število, potem pravimo, da serija konvergira; število S imenujemo vsoto serije in zapišemo S = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n + ... oz
.

Poiščimo realne in imaginarne dele delnih vsot:

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n = (a 1 + jaz b 1) + (a 2 + jaz b 2) + (a 3 + jaz b 3) + … + (a n + jaz b n ) = (a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n ) +

Kje so simboli in označena sta realni in imaginarni del delne vsote. Številsko zaporedje konvergira, če in samo če konvergirajo zaporedja, sestavljena iz njegovih realnih in imaginarnih delov. Tako niz s kompleksnimi členi konvergira, če in samo če konvergirata niz, ki ga tvorita njegov realni in imaginarni del. Na tej trditvi temelji ena od metod za proučevanje konvergence vrst s kompleksnimi členi.

Primer. Preglejte serijo glede konvergence .

Zapišimo več pomenov izraza : potem se vrednosti periodično ponavljajo. Niz realnih delov: ; serija namišljenih delov; oba niza konvergirata (pogojno), zato izvirni niz konvergira.

19.4.1.2. Absolutna konvergenca.

Opredelitev. Vrsti klical absolutno konvergentno, če serija konvergira
, ki ga sestavljajo absolutne vrednosti njegovih članov.

Tako kot za numerično realno vrsto s poljubnimi členi je enostavno dokazati, da če serija konvergira
, potem serija nujno konvergira (
, torej niz, ki ga sestavljajo realni in namišljeni deli niza , se popolnoma strinjam). Če vrstica konvergira in serija
razhaja, nato serija imenujemo pogojno konvergentna.

Vrsti
- niz z nenegativnimi členi, zato lahko za preučevanje njegove konvergence uporabite vse znane teste (od primerjalnih izrekov do integralnega Cauchyjevega testa).

Primer. Preglejte serijo glede konvergence
.

Naredimo vrsto modulov ():
. Ta vrsta konvergira (Cauchyjev test
), tako da izvirna serija absolutno konvergira.

19.4. 1 . 3 . Lastnosti konvergentnih vrst. Za konvergentne vrste s kompleksnimi členi veljajo vse lastnosti vrst z realnimi členi:

Nujni znak konvergence vrste. Splošni člen konvergentne vrste teži k ničli kot
.

Če serija konvergira , potem kateri koli ostanek niza konvergira. Nasprotno, če kateri koli ostanek niza konvergira, konvergira sam niz.

Če niz konvergira, potem je vsota njegovega ostanka pon -izraz teži k ničli kot
.

Če vse člene konvergentne vrste pomnožimo z istim številomz , potem bo konvergenca vrste ohranjena, vsota pa bo pomnožena zz .

Konvergentne vrste (A ) In (IN ) lahko seštevamo in odštevamo člen za členom; nastala vrsta bo tudi konvergirala, njena vsota pa je enaka
.

Če člene konvergentne vrste združimo na poljuben način in iz vsot členov v vsakem paru oklepajev sestavimo novo vrsto, potem bo tudi ta nova vrsta konvergirala, njena vsota pa bo enaka vsoti originalna serija.

Če niz absolutno konvergira, potem ne glede na to, kako so njegovi členi preurejeni, se konvergenca ohrani in vsota se ne spremeni.

Če vrstice (A ) In (IN ) absolutno konvergirajo k njihovim vsotam
in
, potem tudi njihov produkt s poljubnim vrstnim redom členov absolutno konvergira, njegova vsota pa je enaka
.

Ogled simbola W 1 + W 2 +…+ W n +…= (1), Kje W n = u n + jaz· v n (n = 1, 2, …) imenujemo kompleksna števila (zaporedja kompleksnih števil). niz kompleksnih števil.

Številke W n (n = 1, 2, …) se imenujejo člani št, članica W n klical skupni član serije.

Številke obrazca S n = W 1 + W 2 +…+ W n (2) (n = 1, 2, …) , se imenujejo delne vsote vrste (1).

Končna ali neskončna meja S zaporedja S n klical vsoto te serije.

Če je meja S je končna, potem se vrsta imenuje konvergenten, če je meja neskončna ali sploh ne obstaja, potem serija divergenten.

če S vsota serije (1), nato zapišite
.

Pustiti
, A
. Očitno σ n = u 1 + u 2 +…+ u n , τ n = v 1 + v 2 +…+ v n. Kako poznamo enakost
(S seveda) je enakovredna dvema enakostima
in
. Posledično je konvergenca vrste (1) enakovredna konvergenci dveh realnih vrst: in . Zato veljajo osnovne lastnosti konvergentnih številskih nizov za konvergentne kompleksne nize.

Na primer, za kompleksne serije velja Cauchyjev kriterij: vrsta (1) konvergira, če in samo, če za katero koli

da vsem na očehn > nin katerikolistr= 1, 2, … neenakost velja.

Ta kriterij neposredno implicira potreben kriterij za konvergenco vrste: da vrsta (1) konvergira, je potrebno in zadostno, da je njen skupni členW n → 0 .

Veljajo naslednje lastnosti konvergentnih vrst: če vrstice in konvergirajo k njihovim vsotamSind, nato pa vrstice
in
konvergirajo k vsotamS ± din λS .

Absolutno konvergentna vrsta kompleksnih števil.

Niz kompleksnih števil (1) se imenuje absolutno konvergentno, če serija konvergira
(2).

Izrek.

Vsaka absolutno konvergentna vrsta (1) kompleksnih števil konvergira.

Dokaz.

Očitno je dovolj, da ugotovimo, da so za vrsto (1) izpolnjeni pogoji Cauchyjevega kriterija za konvergenco vrste. Vzemimo katerokoli
. Zaradi absolutne konvergence vrste (1) serija (2) konvergira. Zato za izbrane

, da za katero koli n > n in p=1,2,… neenakost bo izpolnjena
, Ampak

, še bolj pa bo neenakost izpolnjena
pri katerikoli n > n in str=1,2,… Posledično so za niz (1) izpolnjeni pogoji Cauchyjevega kriterija za konvergenco kompleksnega niza. Zato vrsta (1) konvergira. Izrek drži.

Izrek.

Za vrsto kompleksnih števil (1) je bilo absolutno konvergentno, potrebno in zadostno je, da realni nizi absolutno konvergirajo (3) in (4) , kjerW n = u n + jaz· v n (n = 1, 2,…).

Dokaz,

temelji na naslednjih očitnih neenakostih

(5)

Nujnost. Naj vrsta (1) absolutno konvergira, pokažimo, da vrsti (3) in (4) absolutno konvergirata, tj. vrsti konvergirata
in
(6). Iz absolutne konvergence vrste (1) sledi, da je vrsta (2)
konvergira, potem bo na podlagi leve strani neenakosti (5) vrsta (6) konvergirala, tj. vrsti (3) in (4) absolutno konvergirata.

Ustreznost. Naj vrsti (3) in (4) absolutno konvergirata, pokažimo, da tudi vrsta (1) absolutno konvergira, tj. da vrsta (2) konvergira. Iz absolutne konvergence vrst (3) in (4) sledi, da vrste (6) konvergirajo, zato konvergira tudi vrsta
. Posledično zaradi desne strani neenakosti (5) vrsta (2) konvergira, tj. vrsta (1) je absolutno konvergentna.

Torej je absolutna konvergenca kompleksnega niza (1) enakovredna absolutni konvergenci niza realnih števil (3) in (4). Zato vse osnovne lastnosti realnih absolutno konvergentnih številskih vrst veljajo za absolutno konvergentne kompleksne vrste. Zlasti za absolutno konvergentno kompleksno vrsto velja izrek o permutaciji njenih členov, tj. preurejanje členov v absolutno konvergentnem nizu ne vpliva na vsoto niza. Za določitev absolutne konvergence kompleksnega niza lahko uporabimo kateri koli kriterij za konvergenco pozitivnega niza.

Cauchyjev znak.

Naj ima niz (1) limit
, potem čeq < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, potem niz (1) divergira.

D'Alembertov znak.

Če za vrsto (1) kompleksnih števil obstaja meja
, kdaj potemq < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q> 1, potem se serija razhaja.

Primer.

Preglejte niz za absolutno konvergenco
, Tukaj
.

Bomo našli
. Očitno
=
=
. Zato je vrsta absolutno konvergentna.

Absolutno konvergentne vrste je mogoče množiti. Produkt absolutno konvergentne vrste in konvergentne vrste konvergira. Produkt dveh konvergentov se lahko razlikuje.

Velikost: px

Začnite prikazovati s strani:

Prepis

1 8 Kompleksna številska vrsta Upoštevajte številsko vrsto s kompleksnimi števili oblike k a, (46) kjer je (a k) podana številčno zaporedje s kompleksnimi členi k Niz (46) imenujemo konvergenten, če zaporedje (S) njegovih delnih vsot S a k k konvergira. V tem primeru limito S zaporedja (S) imenujemo vsota niza (46) The serija a k se imenuje th ostanek vrste (46) Za konvergentno k vrsto S S r in lm r veljajo tisti ε > N, N: r< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >, N, N: a< ε p k k Nujen pogoj konvergenca niza (46) je zahteva lm a Dejansko iz konvergence niza (46) po Cauchyjevem kriteriju sledi ε >, N >, kar za p sledi S S< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 Funkcionalne vrste in njihove lastnosti Enakomerna konvergenca Weierstrassov izrek Naj bo neskončno zaporedje funkcij z eno vrednostjo ((Z)) definirano v domeni G kompleksne ravnine Z. Izraz oblike U U (48) bomo imenovali a Za vrsto (48) pravimo, da je konvergentna v domeni G, če Z G njena ustrezna številska vrsta konvergira v območju G, potem je v tem območju mogoče definirati funkcijo z eno vrednostjo. katerih vrednost na vsaki točki območja G je enaka vsoti ustreznega številskega niza (48) v območju G. Tedaj je G, > k () U k()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, N(ε), N(ε): ε, N (ε,), N(ε,) : izvede se takoj v območju G k U k< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 a U, G, (49) potem niz (48) enakomerno konvergira N Dejansko, ker niz a konvergira, potem > Na podlagi (49) velja neenakost ε, > k k N v G, tako da a< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) zvezne funkcije U enakomerno konvergira v domeni G k funkciji, potem lahko integral te funkcije po kateri koli delno gladki krivulji, ki v celoti leži v domeni G, izračunamo s člensko integracijo niza (48), potem je izrek 7, če je členi d U d U serije U, ki konvergira v domeni G, imajo zvezne odvode v tej domeni in serija U enakomerno konvergira v G, potem lahko to vrsto U ločimo člen za členom v domeni G in U U, kjer je U vsota serije

4 Za funkcijske vrstice v celovito analizo obstaja Weierstrassov izrek, ki nam omogoča znatno okrepitev izreka o možnosti člen-po-členskega diferenciiranja funkcionalne serije, znane iz resnične analize. Preden ga formuliramo in dokažemo, opazimo, da serija U enakomerno konvergira premica l, bo ostala enakomerno konvergentna tudi po množenju vseh njenih členov s funkcijo ϕ, omejeno na l. Dejansko naj bo neenakost ϕ () izpolnjena na premici l< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, >N:r< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 tudi enakomerno konvergira k svoji vsoti () () () () (), ker je funkcija (5) omejena na, ker je za točke tega kroga ρ polmer kroga (ne pozabite: - tukaj je konstanta) Potem , glede na zgoraj navedeno lahko serijo (5) integriramo člen za členom: () d () d () d d π π π π Zaradi analitičnosti funkcij lahko nanje uporabimo Cauchyjevo formulo na podlagi od tega dobimo () d π, (5) in vsota vrste na desni v (5) je in zato dobimo enakost π () d Toda funkcija bo vsota enakomerno konvergentnega niz analitičnih in zato zveznih funkcij v G. To pomeni, da je integral na desni integral Cauchyjevega tipa in zato predstavlja funkcijo, ki je notranje analitična in še posebej v točki Tk - kateri koli točki območje G, potem je prvi del izreka dokazan, da je možno člen za členom diferenciacije te serije pomnožiti z računsko funkcijo, ki je omejena z njo, in ponoviti lahko dokažemo, da lahko niz analitičnih funkcij diferenciramo neskončno velikokrat, pri čemer ugotovimo, da niz konvergira enakomerno, njegova vsota pa je enaka (k) (k)

6 nizi oblike, kjer je potenčna vrsta Abelov izrek Zelo pomemben primer splošnih funkcionalnih vrst so potenčne vrste (), (53) - nekatera kompleksna števila in - fiksna točka kompleksne ravnine Členi vrste (53). so analitične funkcije na celotni ravnini, zato se lahko za preučevanje lastnosti te vrste uporabijo splošni izreki prejšnjih odstavkov, kot je bilo ugotovljeno v njih, da so številne lastnosti posledica enakomerne konvergence potenčne vrste (53) se izkaže, da je bistvena naslednja teorema 9 (Abel) Če potenčna vrsta (53) konvergira v kateri koli točki, ki izpolnjuje pogoj, in v krogu.< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >, da je M, q< В силу zahtevana funkcija njeni členi se nagibajo k ničli, ko je torej () M M q M, Potem, kjer je q< (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной geometrijsko napredovanje z imenovalcem, manjšim od enote. Iz Abelovega izreka lahko izpeljemo številne posledice, do neke mere analogne tistim iz Abelovega izreka v teoriji potenčnih vrst v realni analizi. Če se potenčna vrsta (53) v določeni točki razhaja, potem divergira v vseh točkah, ki izpolnjujejo neenakost > Natančna zgornja meja razdalj od točke do točke, v kateri vrsta (53) konvergira, se imenuje polmer konvergence potenčne vrste, območje pa<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 Izberimo poljubno točko znotraj krožnice ρ ρ< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 Vpišimo zapis () d () ρ π () d () π ρ () in prepišimo (59) v obliki potenčne vrste, ki konvergira v izbrani točki: (59) (6) () (6 ) V formuli (6) lahko okolico ρ s Cauchyjevim izrekom nadomestimo s katero koli zaprto konturo, ki leži v območju< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11, kjer bi bil tudi en koeficient<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 Primer<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14 potem se točka () (), (64) imenuje ničla funkcije If, ​​potem se ničla imenuje enostavna th reda ali množenja Iz formul za koeficiente Taylorjevega niza vidimo, da če točka je nič reda, potem kjer je () () Razširitev (64) lahko prepišemo v obliki, vendar () () () [ () ] () ϕ, ϕ () (), () ϕ in konvergenčni krog te serije je očitno enak kot pri vrsti (64) Prav tako velja inverzna izjava, kjer je vsaka funkcija oblike celo število, ϕ () in ničelni red Primer 5 Točke ± () ϕ, ϕ je analitična v točki, ima na tej točki za funkcijo najvišjega reda, tk () () e (4) ϕ 3 4 e so ničle in (±) Primer 6 Poiščite ničelni red za funkcijo 8 s Razširi imenovalec v potencah: 3 3! 8 5 5! ! 5! 3! 5 5! ϕ

15 5 ϕ, kjer je ϕ, in ϕ ter točka funkcije 3!, torej točka 5! ϕ je analitičen in je ničla 5. reda za prvotno Laurentovo vrsto in njeno konvergenčno območje Razširitev analitične funkcije v Laurentovo vrsto Upoštevajte vrsto oblike (), kjer je fiksna točka kompleksne ravnine, (65 ) so nekatera kompleksna števila Niz (65) imenujemo Laurentov niz. Določimo njegovo konvergenčno območje. Da bi to naredili, predstavimo (65) v obliki () () (66) () Jasno je, da je območje od. konvergenca niza (66) je skupni del konvergenčnih območij vsakega od členov na desni strani (66) Konvergenčno območje niza () je krog s središčem v točki določenega polmer, zlasti pa je lahko enak nič ali neskončnosti. Znotraj konvergenčnega kroga ta niz konvergira k neki analitični funkciji kompleksne spremenljivke, tiste (),< (67)

16 Če želite določiti območje konvergence niza spremenljivke, postavite () () Potem bo ta niz prevzel obliko zamenjave - običajnega potenčnega niza, ki konvergira znotraj svojega kroga konvergence k neki analitični funkciji ϕ () od a kompleksna spremenljivka Naj bo polmer konvergence dobljene potenčne vrste r Potem ϕ,< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), >r Iz tega sledi, da je območje konvergence serije območje zunaj kroga r, dobimo (69) () je torej vsaka od potenčnih vrst na desni strani (66) konvergira v svojem območju konvergence v ustrezna analitična funkcija Če je r<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 Če je r >, potem vrsti (67) in (68) nimata skupnega območja konvergence, zato v tem primeru vrsta (65) nikjer ne konvergira k nobeni funkciji. Upoštevajte, da je vrsta regularni del serije (. 7) in Primer 7 Razširi - glavni del vrstice (65) () a)< < ; б) >; V)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 Tej razširitvi manjka običajni del< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

19 Izvedimo integracijo po členih v (7), kar je možno zaradi enakomerne konvergence vrste v, dobimo d π, (7) kjer je d π, (73) Ker neenakost ne velja , potem imamo, podobno kot prejšnji, Potem bomo kot rezultat člen-po-členske integracije te serije v (7) imeli π π d d, (za d), (74) kjer je d π (75 ) Če spremenimo smer integracije v (75), dobimo

20 π () () d ()() d π, > (76) Zaradi analitičnosti integrandov v (73) in (76) v krožnem obroču< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 Primer 8 Razširite Laurentov niz (tiste v potencah) Y v okolici točke ()() v Δ V tem primeru bomo zgradili dva krožna obroča s središčem v točki (slika 4): a) a krog "brez središča"< < ; Рис 4 X б) внешность круга >V vsakem od teh obročev je analitičen in ima na mejah singularne točke. Razširimo funkcijo v potencah v vsaki od teh regij.< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) Tukaj imamo 3, () () () () () je konvergentna vrsta, saj<

22 s Kot rezultat ()() () () tiste, 3, 3 Primer 9 Razširi funkcijo Δ v Laurentovo vrsto v okolici točke Imamo:, s s s cos cos s s! ker 4 () () 3 4! 3! () 5! () (s cos)!! 5

Tema Kompleksni številski niz Oglejmo si številski niz k ak s kompleksnimi števili oblike. Niz imenujemo konvergenten, če zaporedje S njegovih delnih vsot S a k k konvergira. Še več, meja S zaporedja

Tema Funkcionalna kompleksna serija Definicija. Če k, N, N U k G naenkrat konvergira v domeni G, potem vrsto imenujemo enakomerna

PREDAVANJE N37. Niz analitičnih funkcij. Razširitev analitične funkcije v potenčno vrsto. Serija Taylor. Laurentove vrste.. Razširitev analitične funkcije v potenčne vrste..... Taylorjeve vrste.... 3. Razširitev analitične funkcije

Tema modula Funkcionalna zaporedja in nizi Lastnosti enakomerne konvergence zaporedij in nizov Potenčne vrste Predavanje Definicije funkcijskih zaporedij in nizov Enakomerno

Predavanje 7 Taylorjeva in Laurentova vrsta 7. Taylorjeva vrsta V tem delu bomo videli, da koncepta potenčne vrste in analitične funkcije definirata isti objekt: poljubno potenčno vrsto s pozitivnim polmerom konvergence

Matematična analiza Oddelek: Teorija funkcij kompleksne spremenljivke Tema: Vrste v kompleksni ravnini Predavatelj O.V. Yanuschik 217 9. Vrsta v kompleksni ravnini 1. Številska vrsta Naj je podano zaporedje

5 Potenčne vrste 5 Potenčne vrste: definicija, območje konvergence Funkcionalne vrste oblike (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) kjer je, a, a, K, a ,k nekatera števila imenujemo potenčne vrste števil

Zvezna agencija za izobraževanje Moskovska državna univerza za geodezijo in kartografijo (MIIGAiK) METODIČNA NAVODILA IN NALOGE ZA SAMOSTOJNO DELO pri predmetu VIŠJA MATEMATIKA Numerično

Funkcionalne serije Predavanja 7-8 1 Območje konvergence 1 Niz oblike u () u () u () u (), 1 2 u (), kjer so funkcije definirane na določenem intervalu, se imenuje funkcionalni niz . Množica vseh točk

PREDAVANJE N38. Obnašanje analitične funkcije v neskončnosti. Posebne točke. Ostanki funkcije..okolica točke v neskončnosti.....Laurentova ekspanzija v okolici točke v neskončnosti.... 3.Vedenje

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE Državna raziskovalna državna univerza v Nižnem Novgorodu poimenovana po NI Lobačevskega NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva RANGE ANALITIČNIH FUNKCIJ

Ministrstvo za izobraževanje Republike Belorusije EE "Vitebsk State Technological University" Tema. "Rows" Oddelek za teoretično in uporabno matematiko. razvil izr. E.B. Dunina. Osnovno

V.V. Žuk, A.M. Kamachkin 1 Potenčne vrste. Konvergenčni radij in konvergenčni interval. Narava konvergence. Integracija in diferenciacija. 1.1 Polmer konvergence in interval konvergence. Funkcionalno območje

Tema Laurentov niz in njegovo konvergenčno območje. Razmislite o nizu oblike n C n n C n n n n C n n kjer je fiksna točka kompleksne ravnine in je nekaj kompleksnih števil. C n Ta serija se imenuje Laurentova serija.

PREDAVANJE N 7. Potenčne vrste in Taylorjeve vrste..Potenčne vrste..... Taylorjeve vrste.... 4. Razširitev nekaterih elementarnih funkcij v Taylorjeve in Maclaurinove vrste.... 5 4. Uporaba potenčnih vrst... 7 .Moč

Matematična analiza Poglavje: Numerične in funkcionalne vrste Tema: Potenčne vrste. Razširitev funkcije v potenčno vrsto Predavatelj Rozhkova S.V. 3 34. Potencijska vrsta Potencijska vrsta je potencijska vrsta

4 Niz analitičnih funkcij 4. Funkcijska zaporedja Naj bosta Ω C in f n: Ω C. Zaporedje funkcij (f n ) konvergira točkovno k funkciji f: Ω C, če za vsak z Ω lim n f n(z) = f(z).

Funkcionalna vrsta Funkcijska vrsta, njena vsota in domena funkcionalnega o Naj bo zaporedje funkcij k podano v domeni Δ realnih ali kompleksnih števil (k 1 Funkcionalna vrsta se imenuje

Predavanja pripravila izredna profesorica Musina MV Definicija Izraz oblike Numerične in funkcionalne serije Številčne serije: osnovni pojmi (), kjer se imenuje številska serija (ali preprosto serija) Številke, člani serije (odvisno od

Številske serije Številsko zaporedje Def Številsko zaporedje je numerična funkcija, definirana na množici naravnih števil x - splošnem členu zaporedja x =, x =, x =, x =,

Poglavje Potenčne vrste a a a Potenčne vrste a a a a () se imenujejo potenčne vrste, kjer so a konstante, imenovane koeficienti vrste. Včasih se upošteva potenčna vrsta bolj splošne oblike: a a(a) a(a). a(a) (), kjer

Predavanje 8 Niz in singularne točke. Serija Laurent. Izolirane singularne točke. 6. Serije in singularne točke 6.7. Izrek o Laurentovi vrsti (P. Laurent): če je funkcija f() analitična v obroču r< a < R r R то она может быть разложена

Zvezna agencija za izobraževanje Zvezna državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje JUŽNA ZVEZNA UNIVERZA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodološka

Tema 9. Potenčna vrsta. Potenčna vrsta je funkcionalna vrsta oblike, kjer so števila... koeficienti vrste, točka raztezanja vrste.,...,... R... pa se imenuje središče potenčne vrste Splošni izraz potenčne vrste

4 Funkcijske serije 4 Osnovne definicije Naj bo neskončno zaporedje funkcij s skupno domeno definicije X u), u (), K, u (),K (DEFINICIJA Izraz u) + u () + K + u () +

Predavanje 3 Taylorjeve in Maclaurinove vrste Uporaba potenčnih vrst Razširitev funkcij v potenčne vrste Taylorjeve in Maclaurinove vrste Za aplikacije je pomembno, da lahko dano funkcijo razširimo v potenčne vrste, te funkcije

Predavanje 6 Razširitev funkcije v potenčni niz Edinstvenost razteza Taylorjeve in Maclaurinove vrste Razširitev v potenčni niz nekaterih elementarnih funkcij Uporaba potenčnih vrst V prejšnjih predavanjih

Metalurška fakulteta Oddelek za višjo matematiko RANGI Metodološka navodila Novokuznetsk 5 Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova višjega strokovnega izobraževanja

Laurentove vrste Bolj splošen tip potenčnih vrst so vrste, ki vsebujejo pozitivne in negativne potence z z 0. Tako kot Taylorjeve vrste igrajo pomembno vlogo v teoriji analitičnih funkcij.

Niz Številčni niz Splošni pojmi Definicija Če je vsako naravno število povezano z določenim številom po določenem zakonu, potem se množica oštevilčenih števil imenuje številsko zaporedje,

S A Lavrenchenko wwwlwrecekoru Predavanje Funkcionalna vrsta Pojem funkcionalne vrste Prej smo preučevali številsko vrsto, to je, da so bili člani vrste števila. Zdaj prehajamo na študij funkcionalne vrste, tj.

Tema Laurentov niz in njegovo konvergenčno območje. Niz v obliki, kjer je C (z z) n = C (z z) n + n n n= n= z ravnine, fiksna točka kompleksa C n, se imenuje Laurentov niz. C n (z z) n= - nekaj kompleksa

Predavanje. Funkcionalna serija. Opredelitev funkcionalnega niza Niz, katerega člani so funkcije od x, se imenuje funkcionalni: u = u (x) + u + K+ u + K = Če damo x določeno vrednost x, dobimo

TEORIJA NIZOV Teorija nizov je najpomembnejša komponenta matematične analize in najde tako teoretično kot številne praktične aplikacije. Obstajajo numerične in funkcionalne serije.

Polmer konvergence Definicija. Potenčna vrsta je funkcionalna vrsta oblike c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () kjer je c 0, c, c 2,.. ., c, ... C imenujemo koeficienti moči

MOSKVSKA DRŽAVNA TEHNIČNA UNIVERZA CIVILNEGA LETALSTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov MATEMATIČNI PRIROČNIK za študij discipline in testne naloge

82 4. Sekcija 4. Funkcionalne in potenčne vrste 4.2. Lekcija 3 4.2. Lekcija 3 4.2.. Razširitev funkcije v Taylorjev niz DEFINICIJA 4.2.. Naj bo funkcija y = f(x) neskončno diferenciabilna v neki okolici

Predavanje. Potenčne vrste. Harmonična analiza; serija in Fourierjeva transformacija. Lastnost ortogonalnosti.8. Splošna funkcionalna vrsta 8. Izmikanje funkcij Vrsto U + U + U imenujemo funkcionalno, če je

Starkov V.N. Gradivo za orientacijsko predavanje. Vprašanje 9. Razširitev analitičnih funkcij v potenčne vrste Definicija. Funkcionalna serija oblike (((... (..., kjer so kompleksne konstante (koeficienti serije.)

Sgups Oddelek za višjo matematiko Metodološka navodila za izvajanje standardnih izračunov “Serija” Novosibirsk 006 Nekaj ​​teoretičnih informacij Številčna serija Let u ; u ; u ; ; u ; obstaja neskončno število

E poklic. Serija Taylor. Seštevek potenčnih vrst Mat. analiza, pril. matematika, 3. semester Poiščite raztezanje funkcije v potenčno vrsto po potencah, izračunajte polmer konvergence potenčne vrste: A f()

Niz poglavij Formalni zapis vsote členov nekega številskega zaporedja Številske nize imenujemo številske nize Vsote S imenujemo delne vsote niza. Če obstaja meja lim S, S, potem niz

Praktična lekcija 8 Ostanki 8 Definicija ostankov 8 Izračun ostankov 8 Logaritemski ostanki 8 Definicija ostankov Naj bo izolirana singularna točka funkcije v izolirani singularni Analitika ostankov

~ ~ PKP Odvod funkcije kompleksne spremenljivke PKP Cauchy-Riemann pogojuje koncept pravilnosti PKP Slika in oblika kompleksnega števila Vrsta PKP: kjer je realna funkcija dveh spremenljivk realna

METODOLOŠKA NAVODILA ZA RAČUNSKE NALOGE PRI TEČAJU VIŠJE MATEMATIKE “NAVADNE DIFERENCIALNE ENAČBE NIZ DVOJNI INTEGRALI” DEL TEMA NIZ Vsebina Serija Številčna serija Konvergenca in divergenca

Zvezna agencija za izobraževanje Državna tehnična univerza Arhangelsk Fakulteta za gradbeništvo RANKS Navodila za izpolnjevanje nalog za samostojno delo Arhangelsk

ELEMENTI TEORIJE FUNKCIJ OPERACIJSKEGA RAČUNA KOMPLEKSNE SPREMENLJIVKE Kot rezultat študija te teme se mora študent naučiti: poiskati trigonometrične in eksponentne oblike kompleksnega števila glede na

Matematična analiza 3. del. Numerične in funkcionalne serije. Več integralov. Teorija polja. učbenik N.D. Vysk MATI-RGTU im. K.E. Tsiolkovsky Oddelek za višjo matematiko MATEMATIČNA ANALIZA

Predavanje 3. Odbitki. Glavni izrek o ostankih. Ostanek funkcije f() v izolirani singularni točki a je kompleksno število, ki je enako vrednosti integrala f() 2, vzetega v pozitivni smeri i vzdolž krožnice.

Numerične in potenčne vrste Lekcija. Serije številk. Seštevek serije. Znaki konvergence.. Izračunajte vsoto vrste. 6 Rešitev. Vsota členov neskončne geometrijske progresije q je enaka, kjer je q imenovalec progresije.

S A Lavrenchenko wwwlawreceoru Predavanje Predstavitev funkcij s Taylorjevo vrsto Ena koristna meja Na zadnjem predavanju je bila razvita naslednja strategija: z zadostnim pogojem za predstavljivost funkcijske vrste

M. V. Deikalova CELOSTNA ANALIZA Vprašanja za izpit (skupina MX-21, 215) Vprašanja prvega kolokvija 1 1. Diferenciabilnost funkcije kompleksne spremenljivke v točki. Cauchy-Riemann (D'Alembert-Euler) pogoji.

Opcijska naloga Izračunajte vrednost funkcije, odgovor podajte v algebraični obliki: a sh ; b l Rešitev a Uporabimo formulo za povezavo med trigonometričnim sinusom in hiperboličnim sinusom: ; sh -s Get

Predavanje Številske vrste Znaki konvergence Številske vrste Znaki konvergence Neskončen izraz številskega zaporedja + + + +, sestavljen iz členov neskončnega, imenujemo številski niz Števila,

4. Funkcionalna serija, območje konvergence Območje konvergence funkcionalne serije () je niz vrednosti argumentov, za katere ta serija konvergira. Funkcijo (2) imenujemo delna vsota vrste;

Predavanje 3 Izrek o obstoju in edinstvenosti rešitve skalarne enačbe Izjava problema Glavni rezultat Upoštevajte Cauchyjev problem d f () d =, () = Funkcija f (,) je definirana v območju G ravnine (,

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE DRŽAVNA ARHITEKTURNA IN GRADBENA UNIVERZA KAZAN Oddelek za višjo matematiko NUMERIČNE IN FUNKCIONALNE SERIJE Smernice za

(funkcionalna vrsta potenčne vrste domena konvergence vrstni red iskanja intervala konvergence - primer polmera intervala konvergence primeri) Naj je podano neskončno zaporedje funkcij, funkcional

S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru Predavanje Predstavitev funkcij s potenčnimi vrstami Uvod Predstavitev funkcij s potenčnimi vrstami je uporabna pri reševanju naslednjih problemov: - integracija funkcij

E poklic. Potenčne vrste. Taylorjeva serija Math. analiza, pril. matematika, 3. semester Poiščite konvergenčni radij potenčne vrste z d'Alembertovim kriterijem: (89 () n n (n!)) p (n +)! n = Taylorjeva vrsta f(x)

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE ZVEZNA DRŽAVNA PRORAČUNSKA IZOBRAŽEVALNA INSTITUCIJA VISOKEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA »SAMARA STATE AEROSPACE UNIVERZA«

UČINKI. Serije številk. Osnovne definicije Naj bo podano neskončno zaporedje števil (neskončna vsota) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= se imenuje. številčno serijo. Številke

DRŽAVNA UNIVERZA KAZAN Oddelek za matematično statistiko NUMERIČNA SERIJA Izobraževalni in metodološki priročnik KAZAN 008 Objavljeno s sklepom oddelka Znanstvenega in metodološkega sveta Univerze v Kazanu

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije VA Volkov INTEGRAL FOURIER SERIES Izobraževalna elektronska besedilna publikacija Za študente specialnosti 4865 Elektronika in avtomatizacija fizičnih naprav;

џ. Pojem številske serije. Naj je podano zaporedje števil a, a 2,..., a,... Številska vrsta je izraz a = a + a 2 +... + a +... (.) Števila a, a 2,... ., a,... se imenujejo člani serije, a

Metodološki razvoj Reševanje nalog na TFKP Kompleksna števila Operacije s kompleksnimi števili Kompleksna ravnina Kompleksno število lahko predstavimo v algebrski in trigonometrični eksponenti

Siberian Mathematical Journal Julij Avgust, 2005. Zvezek 46, 4 UDC 517.53 POGOJI ZA KONVERGENCO INTERPOLACIJSKIH ULOMKOV NA VOZLIH, LOČENIH OD POSAMIČNIH TOČK FUNKCIJE A. G. Lipchinsky Povzetek: obravnavano

MOSKVSKA AVTOMOBILSKA IN CESTNA DRŽAVNA TEHNIČNA UNIVERZA (MADI) AA ZLENKO, SA IZOTOVA, LA MALYSHEVA RANKS METODOLOŠKA NAVODILA za samostojno delo iz matematike MOSKVSKA AVTOMOBILSKA IN CESTNA TEHNIČNA UNIVERZA

Z uporabo standardnih metod, vendar smo z drugim primerom zašli v slepo ulico.

V čem je težava in kje je lahko ovira? Odložimo namiljeno vrv na stran, mirno analizirajmo razloge in se seznanimo s praktičnimi rešitvami.

Prvi in ​​najpomembnejši: v veliki večini primerov je za preučevanje konvergence niza potrebno uporabiti neko znano metodo, vendar je splošni izraz niza napolnjen s tako zapletenim nadevom, da sploh ni očitno, kaj storiti z njim . In greš v krogu: prvi znak ne deluje, drugi ne deluje, tretji, četrti, peti način ne deluje, potem se osnutki vržejo na stran in vse se začne znova. To je običajno posledica pomanjkanja izkušenj ali vrzeli na drugih področjih matematične analize. Še posebej, če teče omejitve zaporedja in površno razstavljen meje delovanja, potem bo težko.

Z drugimi besedami, oseba preprosto ne vidi potrebnega načina odločanja zaradi pomanjkanja znanja ali izkušenj.

Včasih je kriv tudi »mrk«, ko na primer ni izpolnjen potreben kriterij za konvergenco vrste, pa zaradi neznanja, nepazljivosti ali malomarnosti to pade izpred oči. In izpade kot v tisti zgodbi, kjer je profesor matematike rešil otroški problem z uporabo divjih ponavljajočih se zaporedij in številskih nizov =)

V najboljših tradicijah takoj živi primeri: vrstice in njihovi sorodniki - se ne strinjajo, saj je bilo teoretično dokazano omejitve zaporedja. Najverjetneje vam bodo v prvem semestru stresli dušo za dokaz 1-2-3 strani, zdaj pa je povsem dovolj, da pokažete neizpolnjevanje nujnega pogoja za konvergenco niza, pri čemer navajate znana dejstva. . slavni? Če študent ne ve, da je n-ti koren izjemno močna stvar, potem je recimo serija ga bo postavilo v slepo ulico. Čeprav je rešitev kot dvakrat dva: , tj. iz očitnih razlogov se obe seriji razlikujeta. Skromna pripomba »te meje so dokazane v teoriji« (ali celo njena odsotnost) je povsem dovolj za test, navsezadnje so izračuni precej težki in vsekakor ne sodijo v del številskih vrst.

In ko boste preučili naslednje primere, boste presenečeni nad kratkostjo in preglednostjo številnih rešitev:

Primer 1

Raziščite konvergenco vrste

rešitev: najprej preverimo izvedbo potrebno merilo za konvergenco. To ni formalnost, ampak odlična priložnost, da se spopademo s primerom z "malo krvi".

»Ogled prizorišča« nakazuje na divergentno vrsto (primer posplošene harmonične serije), a spet se postavlja vprašanje, kako upoštevati logaritem v števcu?

Približni primeri nalog na koncu lekcije.

Ni neobičajno, ko morate izvesti sklepanje v dveh (ali celo treh korakih):

Primer 6

Raziščite konvergenco vrste

rešitev: Najprej se previdno posvetimo bedarijam števnika. Zaporedje – omejeno: . Nato:

Primerjajmo našo serijo s serijo. Zaradi pravkar pridobljene dvojne neenakosti bo za vse "en" veljalo naslednje:

Sedaj primerjajte serijo z divergentno harmonično serijo.

Imenovalec ulomka manj imenovalec ulomka, torej sam ulomek – več ulomki (zapišite prvih nekaj členov, če ni jasno). Tako za vsak "en":

To pomeni, da na podlagi primerjave serija razhaja skupaj s harmonično serijo.

Če nekoliko spremenimo imenovalec: , potem bo prvi del sklepanja podoben: . Toda za dokaz divergence niza lahko uporabimo le omejevalni test primerjave, saj je neenakost napačna.

Situacija s konvergentnimi vrstami je "zrcalna", to pomeni, da lahko na primer za vrsto uporabite oba merila primerjave (neenakost je resnična), za vrsto pa samo omejevalni kriterij (neenakost je napačna).

Nadaljujemo safari po divji naravi, kjer se na obzorju bohoti čreda gracioznih in bujnih antilop:

Primer 7

Raziščite konvergenco vrste

rešitev: nujni kriterij za konvergenco je izpolnjen in spet si zastavimo klasično vprašanje: kaj storiti? Pred nami je nekaj, kar spominja na konvergentno vrsto, vendar tukaj ni jasnega pravila - takšne asociacije so pogosto varljive.

Pogosto, vendar ne tokrat. Z uporabo omejevalni kriterij za primerjavo Primerjajmo našo vrsto s konvergentno vrsto. Pri izračunu omejitve, ki jo uporabljamo čudovita meja , kjer kot infinitezimalno stoji:

konvergira skupaj z zraven.

Namesto uporabe standardne umetne tehnike množenja in deljenja s "tri", je bilo na začetku mogoče narediti primerjavo s konvergentno vrsto.
Toda tukaj je priporočljivo narediti pridržek, da konstantni faktor splošnega izraza ne vpliva na konvergenco serije. In rešitev naslednjega primera je zasnovana točno v tem stilu:

Primer 8

Raziščite konvergenco vrste

Vzorec na koncu lekcije.

Primer 9

Raziščite konvergenco vrste

rešitev: v prejšnjih primerih smo uporabili omejenost sinusa, zdaj pa ta lastnost ni več v igri. Višji imenovalec ulomka red rasti, kot števec, torej, ko je argument sinusa in celoten skupni člen infinitezimalno. Potreben pogoj za konvergenco, kot razumete, je bil izpolnjen, kar nam ne dovoljuje, da bi se izognili našemu delu.

Izvedimo izvidnico: v skladu z izjemna enakovrednost , mentalno zavrzite sinus in dobite niz. No, tako in tako...

Odločimo se:

Primerjajmo preučevano serijo z divergentno serijo. Uporabljamo omejevalni primerjalni kriterij:

Zamenjajmo infinitezimalno z enakovredno: pri .

Dobimo končno število, ki je različno od nič, kar pomeni, da preučevana serija razhaja skupaj s harmonično serijo.

Primer 10

Raziščite konvergenco vrste

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Za načrtovanje nadaljnjih dejanj v takšnih primerih veliko pomaga miselno opuščanje sinusa, arkusina, tangensa, arktangensa. Vendar ne pozabite, da ta priložnost obstaja le, če infinitezimalno argument, nedolgo nazaj sem naletel na provokativno serijo:

Primer 11

Raziščite konvergenco vrste
.

rešitev: Tukaj nima smisla uporabljati omejitev arktangensa in tudi enakovrednost ne deluje. Rešitev je presenetljivo preprosta:


Serija v študiji razhaja, saj ni izpolnjen potreben kriterij za konvergenco vrste.

Drugi razlog»Težava pri nalogi« je, da je skupni člen precej sofisticiran, kar povzroča težave tehnične narave. Grobo rečeno, če zgoraj obravnavane serije spadajo v kategorijo »kdo ve«, potem te spadajo v kategorijo »kdo ve«. Pravzaprav se temu reče kompleksnost v »običajnem« pomenu. Vsakdo ne more pravilno razrešiti več dejavnikov, stopinj, korenin in drugih prebivalcev savane. Največje težave so seveda faktoriali:

Primer 12

Raziščite konvergenco vrste

Kako dvigniti faktorial na potenco? Enostavno. Po pravilu operacij s potencami je treba vsak faktor produkta dvigniti na potenco:

In seveda, pozornost in še enkrat pozornost sam znak d’Alemberta deluje tradicionalno:

Tako preučevana serija konvergira.

Spominjam vas na racionalno tehniko za odpravo negotovosti: ko je jasno red rastištevec in imenovalec - ni treba trpeti in odpirati oklepajev.

Primer 13

Raziščite konvergenco vrste

Zver je zelo redka, vendar se pojavlja in nepravično bi bilo, da bi jo prezrli z objektivom fotoaparata.

Kaj je faktoriel z dvojnim klicajem? Faktoriel "navije" produkt pozitivnih sodih števil:

Podobno faktoriel "navije" produkt pozitivnih lihih števil:

Analizirajte, kakšna je razlika od in

Primer 14

Raziščite konvergenco vrste

In pri tej nalogi se poskušajte ne zamenjati z diplomami, izjemne enakovrednosti in čudovite meje.

Vzorčne rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Toda študenta ne hranijo samo tigri - zviti leopardi tudi izsledijo svoj plen:

Primer 15

Raziščite konvergenco vrste

rešitev: potrebno merilo za konvergenco, omejitveni kriterij ter D'Alembertov in Cauchyjev test izginejo skoraj v trenutku. Najhuje pa je, da je znak neenačb, ki nam je večkrat pomagal, nemočen. Dejansko je primerjava z divergentno vrsto nemogoča, saj je neenakost nepravilno - logaritemski množitelj poveča samo imenovalec, sam ulomek pa zmanjša v zvezi z ulomkom. In še globalno vprašanje: zakaj smo sprva prepričani, da naša serija se morajo nujno razhajati in jih je treba primerjati z nekaterimi divergentnimi serijami? Kaj če se sploh razume?

Integralna funkcija? Napačen integral vzbuja otožno razpoloženje. Ko bi se le prepirali … potem ja. nehaj! Tako se rojevajo ideje. Rešitev oblikujemo v dveh korakih:

1) Najprej preučimo konvergenco vrste . Uporabljamo integralna značilnost:

Integrand neprekinjeno na

Tako, serija divergira skupaj z ustreznim nepravilnim integralom.

2) Primerjajmo našo vrsto z divergentno vrsto . Uporabljamo omejevalni primerjalni kriterij:

Dobimo končno število, ki je različno od nič, kar pomeni, da preučevana serija razhaja skupaj s številko .

In v takšni odločitvi ni nič nenavadnega ali ustvarjalnega - tako se je treba odločiti!

Predlagam, da sami sestavite naslednji dvostopenjski postopek:

Primer 16

Raziščite konvergenco vrste

Učenec z nekaj izkušnjami v večini primerov takoj vidi, ali se serija steka ali razhaja, zgodi pa se, da se plenilec spretno zamaskira v grmovje:

Primer 17

Raziščite konvergenco vrste

rešitev: na prvi pogled sploh ni jasno, kako se ta serija obnaša. In če je pred nami megla, potem je logično, da začnemo z grobim preverjanjem potrebnega pogoja za konvergenco vrste. Za odpravo negotovosti uporabljamo nepotopljivo metoda množenja in deljenja s svojim konjugiranim izrazom:

Potreben znak konvergence ni deloval, vendar je razkril našega tambovskega tovariša. Kot rezultat opravljenih transformacij je bila pridobljena enakovredna serija , kar pa močno spominja na konvergentno vrsto.

Končno rešitev zapišemo:

Primerjajmo to vrsto s konvergentno vrsto. Uporabljamo omejevalni primerjalni kriterij:

Pomnožite in delite s konjugiranim izrazom:

Dobimo končno število, ki je različno od nič, kar pomeni, da preučevana serija konvergira skupaj z zraven.

Nekateri so se morda vprašali, od kod volkovi na našem afriškem safariju? ne vem Verjetno so ga prinesli. Pridobite si lahko naslednjo trofejno kožo:

Primer 18

Raziščite konvergenco vrste

Vzorčna rešitev na koncu lekcije

In za konec še ena misel, ki jo marsikateri študent obupuje: Ali ne bi morali uporabiti redkejšega testa za konvergenco serije?? Raabejev test, Abelov test, Gaussov test, Dirichletov test in druge neznane živali. Ideja deluje, vendar je v realnih primerih implementirana zelo redko. Osebno sem se v vseh letih prakse zatekel le h Raabejev znak, ko nič iz standardnega arzenala ni zares pomagalo. V celoti bom reproduciral potek mojega ekstremnega iskanja:

Primer 19

Raziščite konvergenco vrste

rešitev: Brez dvoma znak d'Alemberta. Med izračuni aktivno uporabljam lastnosti stopinj, pa tudi druga čudovita meja:

Toliko o tebi. D'Alembertov znak ni dal odgovora, čeprav nič ni napovedovalo takšnega izida.

Po brskanju po priročniku sem našel malo znano mejo, dokazano v teoriji, in uporabil močnejši radikalni Cauchyjev test:

Tukaj sta dva za vas. In kar je najpomembneje, popolnoma je nejasno, ali se serija zbližuje ali razhaja (zame je to izjemno redka situacija). Potreben znak primerjave? Brez velikega upanja - tudi če nepojmljivo razberem vrstni red rasti števca in imenovalca, to še ne zagotavlja nagrade.

To je popolna damember, a najhuje je, da je treba vrstico rešiti. Moram. Konec koncev bo to prvič, da bom obupal. In potem sem se spomnil, da se zdi, da obstajajo še drugi močnejši znaki. Pred menoj ni bil več volk, leopard ali tiger. Bil je ogromen slon, ki je mahal z velikim rilcem. Moral sem vzeti metalec granat:

Raabejev znak

Razmislite o nizu pozitivnih števil.
Če obstaja omejitev , to:
a) Ko vesla razhaja. Poleg tega je lahko dobljena vrednost enaka nič ali negativna
b) Ko vesla konvergira. Zlasti serija konvergira pri .
c) Kdaj Raabejev znak ne daje odgovora.

Sestavimo mejo in skrbno in previdno poenostavimo ulomek:


Da, slika je, milo rečeno, neprijetna, vendar me ne preseneča več, da se takšne meje podirajo s pomočjo L'Hopitalova pravila, in prva misel se je, kot se je kasneje izkazalo, izkazala za pravilno. A sprva sem mejo sukal in vrtel kakšno uro po »običajnih« metodah, a negotovost ni hotela izginiti. In hoja v krogu je, kot kažejo izkušnje, značilen znak, da je bila izbrana napačna rešitev.

Moral sem se obrniti na rusko ljudsko modrost: "Če nič drugega ne pomaga, preberite navodila." In ko sem odprl 2. zvezek Fichtenholtza, sem na svoje veliko veselje odkril študijo enake serije. In potem je zgledu sledila rešitev.