مرجع تاريخي

تم إدخال الأعداد المركبة في الرياضيات لجعل من الممكن أخذ الجذر التربيعي لأي عدد حقيقي. لكن هذا ليس سببا كافيا لإدخال أرقام جديدة في الرياضيات. اتضح أنه إذا قمت بإجراء العمليات الحسابية وفقًا للقواعد المعتادة على التعبيرات التي يكون فيها الجذر التربيعي لـ عدد السلبي، فيمكنك التوصل إلى نتيجة لم تعد تحتوي على الجذر التربيعي لعدد سالب. في القرن السادس عشر وجد كاردانو صيغة لحل المعادلة التكعيبية. اتضح أنه عندما يكون للمعادلة التكعيبية ثلاثة جذور حقيقية، فإن صيغة كاردانو تحتوي على الجذر التربيعي لعدد سالب. لذلك، بدأ استخدام الجذور التربيعية للأرقام السالبة في الرياضيات وتم تسميتها بالأرقام التخيلية - وبالتالي اكتسبت الحق في الوجود غير القانوني. أعطى غاوس الحقوق المدنية الكاملة للأعداد التخيلية، التي أطلق عليها اسم الأعداد المركبة تفسير هندسيوأثبت النظرية الأساسية في الجبر، والتي تنص على أن كل كثيرة حدود لها جذر حقيقي واحد على الأقل.

1. مفهوم العدد المركب

حل العديد من المشاكل في الرياضيات والفيزياء يتلخص في حل المعادلات الجبرية. ولذلك تعتبر دراسة المعادلات الجبرية من أهم المسائل في الرياضيات. تعد الرغبة في جعل المعادلات قابلة للحل أحد الأسباب الرئيسية لتوسيع مفهوم العدد.

لذا، لحل المعادلات ذات الصيغة X+A=B، فإن الأرقام الموجبة ليست كافية. على سبيل المثال، المعادلة X+5=2 ليس لها جذور موجبة. ولذلك، عليك إدخال الأرقام السالبة والصفر.

على مجموعة أرقام نسبيةالمعادلات الجبرية من الدرجة الأولى قابلة للحل، أي. معادلات من الشكل A·X+B=0 (A0). ومع ذلك، قد لا يكون للمعادلات الجبرية ذات الدرجة الأعلى من الدرجة الأولى جذور نسبية. على سبيل المثال، هذه هي المعادلات X 2 =2، X 3 =5. وكانت الحاجة إلى حل مثل هذه المعادلات أحد أسباب إدخال الأعداد غير النسبية. تشكل الأعداد العقلانية وغير العقلانية مجموعة الأعداد الحقيقية.

ومع ذلك، فإن الأعداد الحقيقية ليست كافية لحل أي معادلة جبرية. على سبيل المثال، معادلة من الدرجة الثانيةذات معاملات حقيقية والمميز السالب ليس له جذور حقيقية. أبسطها هي المعادلة X 2 +1=0. ولذلك، علينا توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية بإضافة أرقام جديدة إليها. تشكل هذه الأعداد الجديدة، مع الأعداد الحقيقية، مجموعة تسمى مجموعة ارقام مركبة.

دعونا أولاً نتعرف على النوع الذي يجب أن يكون لديهم ارقام مركبة. سنفترض أن المعادلة X 2 +1=0 لها جذر مجموعة الأعداد المركبة. دعونا نشير إلى هذا الجذر بالحرف أنا هكذا، أنا هو عدد معقد من هذا القبيل أنا 2 = –1.

أما بالنسبة للأعداد الحقيقية فلا بد من إدخال عمليات الجمع والضرب للأعداد المركبة بحيث يكون مجموعها وحاصل ضربها أعدادا مركبة. ثم، على وجه الخصوص، بالنسبة لأي عددين حقيقيين A وB، التعبير A+B+ أنا يمكن اعتباره تمثيلاً لعدد مركب بشكل عام. يأتي اسم "معقد" من كلمة "مركب": على شكل عبارة A+B· أنا .

ارقام مركبة تسمى تعبيرات من الشكل A+B أنا حيث A وB عددان حقيقيان، و أنا - بعض الرمز من هذا القبيل أنا 2 = -1، ويشار إليه بالحرف Z.

يسمى الرقم A الجزء الحقيقي من العدد المركب A+B أنا, والرقم B هو الجزء التخيلي منه. رقم أنا تسمى الوحدة التخيلية

على سبيل المثال، الجزء الحقيقي من العدد المركب 2+3 أنا يساوي 2، والتخيلي يساوي 3.

لتحديد عدد مركب بشكل صارم، من الضروري تقديم مفهوم المساواة لهذه الأرقام.

عددان مركبان A+B· أنا و ج+د أنا وتسمى متساويإذا وفقط إذا كان A=C وB=D، أي. عندما تكون أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية.

2. التفسير الهندسي للعدد المركب

يتم تمثيل الأعداد الحقيقية هندسيًا بالنقاط الموجودة على خط الأعداد. العدد المركب أ+ب· أنا يمكن اعتباره زوجًا من الأعداد الحقيقية (A;B). ولذلك، فمن الطبيعي تمثيل عدد مركب بالنقاط على المستوى. في نظام الإحداثيات المستطيل، العدد المركب Z=A+B· أنا يتم تمثيلها بنقطة على المستوى ذات الإحداثيات (A;B)، ويشار إلى هذه النقطة بنفس الحرف Z (الشكل 1). ومن الواضح أن المراسلات الناتجة هي واحد لواحد. يجعل من الممكن تفسير الأعداد المركبة كنقاط في المستوى الذي يتم اختيار نظام الإحداثيات عليه. يسمى هذا المستوى الإحداثي طائرة معقدة . يسمى محور الإحداثي المحور الحقيقي ، لأن أنه يحتوي على نقاط المقابلة للأرقام الحقيقية. يسمى المحور y محور وهمي - تحتوي على نقاط تقابل أعدادا مركبة خيالية.

ولا يقل أهمية وملاءمة عن تفسير العدد المركب A+B· أنا كمتجه، أي. ناقلات مع الأصل عند النقطة

O(0;0) ومع النهاية عند النقطة M(A;B) (الشكل 2).

إن المراسلات التي تم إنشاؤها بين مجموعة الأعداد المركبة، من ناحية، ومجموعات النقاط أو ناقلات المستوى، من ناحية أخرى، تسمح للأعداد المركبة بأن تكون نقاطًا أو متجهات.

3. وحدة الأرقام المعقدة

دع العدد المركب Z=A+B· يعطى أنا . المترافقة مع زيسمى العدد المركب A – B أنا ، والذي يشار إليه، أي.

أ – ب أنا .

لاحظ أن = أ+ب· أنا وبالتالي فإن أي رقم مركب Z تكون المساواة =Z.

وحدة العدد المركب Z=A+B· أنا مُسَمًّى رقمويشار إليه بـ ، أي.

من الصيغة (1) يتبع ذلك لأي عدد مركب Z، و=0 إذا وفقط إذا كان Z=0، أي. عندما A=0 و B=0. دعونا نثبت أنه بالنسبة لأي عدد مركب Z فإن الصيغ التالية صالحة:

4. جمع وضرب الأعداد المركبة

كمية رقمان مركبان A+B أنا و ج+د أنا يسمى عددا مركبا (A+C ) + (ب+د) أنا ، أي. (أ+ب أنا) + (ج+د أنا)=(أ+ج) + (ب+د) أنا

العمل رقمان مركبان A+B أنا و ج+د أنا يسمى العدد المركب (A·C – B·D)+(A·D+B·C) · أنا ، أي.

(أ + ب أنا ) (ج + د) أنا )=(أ·ج – ب·د) + (أ·د + ب·ج)· أنا

ويترتب على الصيغ أنه يمكن إجراء الجمع والضرب وفقًا لقواعد العمليات مع كثيرات الحدود، مع الأخذ في الاعتبار أنا 2 = –1. عمليات الجمع والضرب للأعداد المركبة لها خصائص الأعداد الحقيقية. الخصائص الأساسية:

خاصية الإزاحة:

ض 1 + ض 2 = ض 2 + ض 1، ض 1 ض 2 = ض 2 ض 1

خاصية المطابقة:

(ض 1 + ض 2) + ض 3 = ض 1 + (ض 2 + ض 3)، (ض 1 ض 2) ض 3 = ض 1 (ض 2 ض 3)

خاصية التوزيع:

ض 1 (ض 2 + ض 3)= ض 1 ض 2 + ض 1 ض 3

التمثيل الهندسي لمجموع الأعداد المركبة

وبحسب تعريف إضافة رقمين مركبين، فإن الجزء الحقيقي من المجموع يساوي مجموع الأجزاء الحقيقية من الحدود، والجزء التخيلي من المجموع يساوي مجموع الأجزاء الخيالية من الحدود. يتم تحديد إحداثيات مجموع المتجهات بنفس الطريقة:

مجموع متجهين بإحداثيات (A 1 ;B 1) و (A 2 ;B 2) هو متجه بإحداثيات (A 1 +A 2 ;B 1 +B 2). لذلك، للعثور على المتجه المقابل لمجموع الأعداد المركبة Z 1 و Z 2، تحتاج إلى إضافة المتجهات المقابلة للأعداد المركبة Z 1 و Z 2.

مثال 1: أوجد مجموع وحاصل ضرب الأعداد المركبة Z 1 =2 – 3× أنا و

ض 2 = –7 + 8× أنا .

ض 1 + ض 2 = 2 – 7 + (–3 + 8)× أنا = - 5 + 5× أنا

ض 1× ض 2 = (2 – 3× أنا )× (–7 + 8× أنا ) = -14 + 16× أنا + 21× أنا + 24 = 10 + 37× أنا

5.طرح وقسمة الأعداد المركبة

طرح الأعداد المركبة هو عملية جمع عكسية: لأي عدد مركب Z 1 وZ 2 يوجد رقم واحد فقط هو الرقم Z، بحيث:

إذا أضفنا (–Z 2) عكس الرقم Z 2 إلى طرفي المساواة:

Z+Z 2 +(–Z 2)=Z 1 +(–Z 2)، من أين

يتم استدعاء الرقم Z=Z 1 +Z 2 الفرق في الأرقام ض 1 و ض 2.

يتم تقديم القسمة كعملية عكسية للضرب:

ض × ض 2 = ض 1

بقسمة الطرفين على Z 2 نحصل على:

ومن هذه المعادلة يتضح أن Z 2 0

التمثيل الهندسي للفرق بين الأعداد المركبة

الفرق Z 2 – Z 1 بين الأعداد المركبة Z 1 و Z 2 يتوافق مع اختلاف المتجهات المقابلة للأرقام Z 1 و Z 2. معامل الفرق بين رقمين مركبين Z 2 و Z 1، حسب تعريف المعامل، هو طول المتجه Z 2 – Z 1. دعونا نبني هذا المتجه كمجموع المتجهات Z 2 و (–Z 1) (الشكل 4). وبالتالي، فإن مقياس الفرق بين رقمين مركبين هو المسافة بين نقاط المستوى المركب التي تتوافق مع هذه الأرقام.

هذا التفسير الهندسي المهم لمعامل الفرق بين رقمين مركبين يجعل الحقائق الهندسية البسيطة مفيدة.

مثال 2: بالنظر إلى الأعداد المركبة Z 1 = 4 + 5 أنا و ض 2 = 3 + 4 أنا . أوجد الفرق Z 2 - Z 1 والحاصل

ض 2 - ض 1 = (3 + 4 أنا) – (4+5· أنا) = –1 – أنا

==

6. الشكل المثلثي للعدد المركب

كتابة عدد مركب Z على هيئة A+B· أنا مُسَمًّى شكل جبري عدد مركب. بجانب شكل جبريكما يتم استخدام أشكال أخرى لكتابة الأعداد المركبة.

دعونا نفكر شكل مثلثي كتابة عدد مركب. الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب Z=A+B· أنا يتم التعبير عنها من خلال معاملها = r والوسيطة j على النحو التالي:

أ= ص كوسج ; ب= ص سينج .

يمكن كتابة الرقم Z هكذا:

Z= ص cosj + أنا سينج = ص (كوسج + أنا سينج)

Z = ص (cosj + أنا سينج) (2)

هذا الإدخال يسمى الشكل المثلثي لعدد مركب .

ص = – معامل الرقم المركب.

يسمى الرقم j حجة عدد مركب.

وسيطة الرقم المركب Z0 هي مقدار الزاوية بين الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي والمتجه Z، وتعتبر الزاوية موجبة إذا كان العد عكس اتجاه عقارب الساعة، وسالبة إذا كان العد في اتجاه عقارب الساعة.

بالنسبة للرقم Z=0، لم يتم تعريف الوسيطة، وفي هذه الحالة فقط يتم تحديد الرقم فقط من خلال معامله.

كما ذكر أعلاه = r =، يمكن كتابة المساواة (2) في النموذج

أ+ب أنا =· كوسج + أنا · سينج,من حيث مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية نحصل على:

com.cosj =, سينج = (3)

لو سينجاقسم على com.cosjنحن نحصل:

tgj= (4)

تعتبر هذه الصيغة أكثر ملاءمة للاستخدام للعثور على الوسيطة j مقارنة بالصيغة (3). ومع ذلك، ليست كل قيم j التي تحقق المساواة (4) هي وسيطات للرقم A + B أنا . لذلك، عند العثور على الوسيطة، عليك أن تأخذ في الاعتبار الربع الذي تقع فيه النقطة A+B أنا .

7. خصائص الوحدة ووسيطة الرقم المركب

باستخدام النموذج المثلثي، من السهل العثور على حاصل ضرب وحاصل الأعداد المركبة.

دع Z 1 = ص 1 ( كوسج 1 +أناسينج 1)،ض 2 = ص 2 ( كوسج 2 +أناسينج 2).ثم:

ض 1 ض 2 = ص 1 · ص 2 =

= ص 1 ص 2 .

وبالتالي، يمكن إيجاد حاصل ضرب الأعداد المركبة المكتوبة على الصورة المثلثية باستخدام الصيغة:

ض 1 ض 2 = ص 1 · ص 2 (5)

ومن الصيغة (5) يتبع ذلك عند ضرب الأعداد المركبة، يتم ضرب وحداتها وإضافة الوسائط الخاصة بها.

إذا كان Z 1 = Z 2 فإننا نحصل على:

ض 2 = 2 =ص 2 (cos2j +أناالخطيئة 2 ي)

ض 3 = ض 2 ض = ص 2 ( cos2j +أنا sin2j ) r (cosj + أناسينج )=

= ص 3 ( cos3j +أناالخطيئة 3ج)

بشكل عام، لأي عدد مركب ز=ص (كوسج + أناسينج)0وأي عدد طبيعي n الصيغة صالحة:

الزنك=[ ص (كوسج + أناسينج )] n = r n (cosnj + أناسينج)،(6)

والتي تسمى صيغة Moivre.

يمكن إيجاد حاصل قسمة عددين مركبين مكتوبين على شكل مثلثي باستخدام الصيغة:

[كوس(ي ١ – ي ٢) + أناخطيئة(ي1 – ي2)].(7)

= = كوس(-ي 2) + أناالخطيئة (-ي 2)

باستخدام الصيغة 5

(كوس 1+ أناسينج 1)× (كوس(–ي 2) + أناالخطيئة(-ي 2)) =

كوس (ي 1 - ي 2) + أناخطيئة(ي1 – ي2).

مثال 3:

نكتب العدد -8 على الصورة المثلثية

8 = 8 (cos(p + 2p k ) + أنا·الخطيئة (ع + 2ب ك )) ، ك О Z

دع Z = r×(cosj + أنا×

ص 3× (cos3j + أنا× sin3j ) = 8 (cos(p + 2p k ) + أنا·الخطيئة (ع + 2ب ك )) ، ك О Z

ثم 3j =p + 2p k , k О Z

ي= , ك أو ز

لذلك:

Z = 2 (cos() + أنا·الخطيئة())، ك О Z

ك = 0,1,2...

ك = 0

ض 1 = 2 (كوس + أناالخطيئة) = 2 ( أنا) = 1+× أنا

ك = 1

ع 2 = 2 (cos( ​​​​+ ) + أناالخطيئة ( + ) ) = 2 (cosp + أناسينب ) = -2

ك = 2

ع 3 = 2 (cos( ​​​​+ ) + أناالخطيئة( + ) ) = 2 (cos + أناالخطيئة) = 1–× أنا

الجواب: ز 13 = ; Z2 = -2

مثال 4:

نكتب الرقم 1 بالشكل المثلثي

1 = 1 · (cos(2p k ) + أنا·الخطيئة (2ع ك )) ، ك О Z

دع Z = r×(cosj + أنا×سينج)، ثم معادلة معينةسيتم كتابتها على الشكل:

ص 4× (cos4j + أنا× sin4j ) = cos(2p k ) + أنا·الخطيئة (2ع ك )) ، ك О Z

4j = 2p ك، ك О Z

ي =، ك О Z

ض = كوس+ أنا× خطيئة

ك = 0,1,2,3...

ك = 0

Z 1 = cos0+ أنا× خطيئة0 = 1 + 0 = 1

ك = 1

ض 2 = كوس+ أنا× الخطيئة = 0 + أنا = أنا

ك = 2

Z 3 = cosp + أناجيب = –1 + 0 = –1

ك = 3

ض 4 = كوس+ أنا× خطيئة

الجواب: ز 13 = 1

ز24= أنا

8. رفع القوة واستخراج الجذر

من الصيغة 6 يتضح أن رفع العدد المركب r·(cosj + أنا sinj ) إلى قوة عددية موجبة ذات أس طبيعي، ويتم رفع وحدتها إلى قوة لها نفس الأس، ويتم ضرب الوسيطة في الأس.

[ ص (كوسج + أنا سينج )] n = r n (cos nj + أنا سينج)

رقم زمُسَمًّى جذر الدرجة نمن الرقم w (المشار إليه) إذا كان Z n =w.

من هذا التعريفويترتب على ذلك أن كل حل للمعادلة الزنك = ثهو جذر الدرجة نمن الرقم ث. وبعبارة أخرى، من أجل استخراج جذر القوة نمن الرقم w يكفي لحل المعادلة ز ن =ث.إذا كانت w = 0، فمن أجل أي n المعادلة الزنك = ثلديه حل واحد فقط ز= 0. إذا ث 0، ثم ز0 ، وبالتالي، يمكن تمثيل Z وw في شكل مثلثي

Z = ص (cosj + أنا Sinj ) ، w = p (مريح + أنا سيني)

المعادلة Z n = w سوف تأخذ الشكل:

ص ن (كوس نيوجيرسي + أنا الخطيئة نيوجيرسي ) = ص (مريح + أنا سيني)

يكون العددان المركبان متساويين إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما متساوية وكانت الوسيطات تختلف باختلاف الحدود التي تكون مضاعفات 2p. ولذلك، ص ن = ص و نج = ص + 2ب ك , حيثkО Z أو r = و ي= ، حيث kО Z .

لذلك يمكن كتابة جميع الحلول على النحو التالي:

Z K =، kО Z (8)

تسمى الصيغة 8 صيغة Moivre الثانية.

وبالتالي، إذا كان w 0، فهناك بالضبط n جذور للدرجة n من الرقم w: كلها موجودة في الصيغة 8. جميع جذور الدرجة ن from the number w لها نفس الوحدة النمطية، ولكن وسائط مختلفة، تختلف حسب المصطلح الذي يمثل مضاعفًا للرقم . ويترتب على ذلك أن الأعداد المركبة، التي هي جذور الدرجة n من العدد المركب w، تتوافق مع نقاط المستوى المركب الموجودة عند رؤوس n-gon المنتظم المدرج في دائرة نصف القطر المتمركزة عند النقطة ض = 0.

الرمز ليس له معنى واضح. لذلك، عند استخدامه، يجب أن تفهم بوضوح ما هو المقصود بهذا الرمز. على سبيل المثال، عند استخدام الترميز، يجب أن تفكر في توضيح ما إذا كان هذا الرمز يعني زوجًا من الأرقام المركبة أنا و -أنا ، أو شيء واحد، أيهما بالضبط.

معادلات الدرجات العليا

تحدد الصيغة 8 جميع جذور المعادلة ذات الحدين من الدرجة n. الوضع أكثر تعقيدًا بما لا يقاس في حالة الجنرال معادلة جبريةدرجة ن:

أ ن × ض ن+ أ ن–1× ض ن–1 +...+ أ 1× ض 1 + أ 0 = 0(9)

حيث يتم إعطاء n ,..., a 0 أرقامًا مركبة.

في سياق الرياضيات العليا، تم إثبات نظرية غاوس: كل معادلة جبرية لها جذر واحد على الأقل في مجموعة الأعداد المركبة. تم إثبات هذه النظرية من قبل عالم الرياضيات الألماني كارل غاوس في عام 1779.

بناءً على نظرية غاوس، يمكن إثبات أن الجانب الأيسر من المعادلة 9 يمكن دائمًا تمثيله كمنتج:

,

حيث Z 1، Z 2،...، Z K هي بعض الأعداد المركبة المختلفة،

و 1 ,a 2 ,...,a k هي أعداد طبيعية، و:

أ 1 + أ 2 + ... + أ ك = ن

ويترتب على ذلك أن الأرقام Z 1، Z 2،...، Z K هي جذور المعادلة 9. في هذه الحالة، يقولون أن Z 1 هو جذر التعدد a 1، Z 2 هو جذر التعدد a 2، وما إلى ذلك وهلم جرا.

تعطي نظرية غاوس والنظرية التي ذكرناها للتو حلولًا لوجود الجذور، لكن لا تذكر شيئًا عن كيفية العثور على هذه الجذور. إذا كان من السهل العثور على جذور الدرجة الأولى والثانية، فبالنسبة للمعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة تكون الصيغ مرهقة، وبالنسبة للمعادلات من الدرجة فوق الرابعة، لا توجد مثل هذه الصيغ على الإطلاق. غياب الطريقة العامةليس من المؤلم العثور على جميع جذور المعادلة. لحل معادلة ذات معاملات صحيحة، غالبًا ما تكون النظرية التالية مفيدة: الجذور الصحيحة لأي معادلة جبرية ذات معاملات صحيحة هي قواسم الحد الحر.

دعونا نثبت هذه النظرية:

دع Z = k هو الجذر الصحيح للمعادلة

أ ن× ض ن + أ ن–1× ض ن–1 +...+ أ 1× ض 1 + أ 0 = 0

مع معاملات صحيحة. ثم

أ ن× ك ن + أ ن –1× ك ن –1 +...+ أ 1× ك 1 + أ 0 = 0

أ 0 = – ك(أ ن× ك ن –1 + أ ن –1× ك ن –2 +...+ أ 1)

من الواضح أن الرقم الموجود بين قوسين، وفقًا للافتراضات المقدمة، هو عدد صحيح، مما يعني أن k هو المقسوم على الرقم a 0 .

9. المعادلة التربيعية ذات المعقد غير المعروف

خذ بعين الاعتبار المعادلة Z 2 = a، حيث a هو عدد حقيقي معين، Z هو عدد غير معروف.

هذه هي المعادلة:

لنكتب العدد a على الصورة a = (- 1) × (- a) = أنا 2× = أنا 2× () 2 . ثم ستكتب المعادلة Z 2 = a بالصيغة: Z 2 - أنا 2× () 2 = 0

أولئك. (ض – أنا× )(ض+ أنا× ) = 0

ولذلك فإن المعادلة لها جذرين: Z 1.2 = أنا×

يسمح لنا المفهوم المقدم لجذر الرقم السالب بكتابة جذور أي معادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية

أ× ض 2 + ب × ض + ج = 0

حسب الصيغة العامة المعروفة

ض 1.2 = (10)

لذلك، لأي حقيقي أ(أ0)، ب، ج، يمكن العثور على جذور المعادلة باستخدام الصيغة 10. علاوة على ذلك، إذا كان المميز، أي. التعبير الجذري في الصيغة 10

د = ب 2 - 4× أ× ج

موجبة فإن المعادلة a×Z 2 + b× Z + c = 0 هما جذرين حقيقيين متميزين. إذا كانت D = 0، فإن المعادلة a× Z 2 + b× Z + c = 0 لها جذر واحد. إذا د< 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

الجذور المعقدة للمعادلة التربيعية لها نفس خصائص الجذور الحقيقية المعروفة.

دعونا صياغة أهمها:

ليكن Z 1 ,Z 2 جذور المعادلة التربيعية a× Z 2 + b× Z + c = 0, a0. ثم عقد الخصائص التالية:

ض 1× ض 2 =

1. لجميع Z المعقدة الصيغة صالحة

أ× ض 2 + ب× ض + ج = أ× (ض - ض 1) × (ض - ض 2)

مثال 5:

ض 2 - 6 ض + 10 = 0

د = ب 2 – 4 أ ج

د = 6 2 – 4 10 = – 4

– 4 = أنا 2 ·4

ض 1.2 =

الجواب: ض 1 = ض 2 = 3 + أنا

مثال 6:

3 ض 2 +2 ض + 1 = 0

د = ب 2 – 4 أ ج

د = 4 - 12 = - 8

د = -1·8 = 8· أنا 2

ض 1.2 = =

الجواب: ض 1 = ض 2 = -

مثال 7:

ض 4 - 8 ض 2 - 9 = 0

ر 2 - 8 ر - 9 = 0

د = ب 2 - 4 أ ج = 64 + 36 = 100

ر 1 = 9 ر 2 = – 1

ض 2 = 9 ض 2 = – 1

ض 3.4 = أنا

الجواب: ض 1.2 =3، ض 3.4 = أنا

مثال 8:

ض 4 + 2 ض 2 – 15 = 0

ر 2 + 2 ر – 15 = 0

د = ب 2 – 4 أ ج = 4 + 60 = 64

ر 1.2 = = -14

ر 1 = – 5 ر 2 = 3

ض 2 = – 5 ض 2 = 3

ض 2 = – 1·5 ض 3.4 =

ض 2 = أنا 2 ·5

ض 1.2 = أنا

الجواب: ض 1.2 = أنا ، ض 3.4 =

مثال 9:

ض 2 = 24 10 أنا

دع Z = X + Y أنا

(س + ص أنا ) 2 = X 2 + 2· X· Y· أنا – Y2

× 2 + 2 × ص أنا – ص 2 = 24 10 أنا

(× 2 ص 2) + 2· X· Y· أنا = 24 10· أنا

اضرب بـ X 2 0

× 4 - 24 × 2 - 25 = 0

ر 2 - 24 ر - 25 = 0

ر 1 ر 2 = – 25

ر 1 = 25 ر 2 = – 1

× 2 = 25 × 2 = – 1 - لا توجد حلول

× 1 = 5 × 2 = – 5

ص 1 = - ص 2 =

ص 1 = - 1 ص 2 = 1

ض 1.2 =(5 – أنا )

الجواب: ض 1.2 =(5 – أنا )

مهام:

(2 – ص) 2 + 3 (2 – ص) ص + ص 2 = 6

4 - 4·ص + ص 2 + 6·ص - 3·ص 2 + ص 2 = 6

–ص 2 + 2ص – 2 = 0 / -1

ص 2 - 2ص + 2 = 0

د = ب 2 – 4 أ ج = 4 – 8 = – 4

- 4 = - 1·4 = 4· أنا 2

ص 1.2 = = = 1 أنا

ص 1 = 1– أنا ص 2 = 1+ أنا

× 1 = 1+ أنا × 2 = 1– أنا

الجواب: (1+ أنا ; 1–أنا }

{1–أنا ; 1 + أنا }

دعونا مربع ذلك

إذا كنت بحاجة إلى تسمية المسافة بين مدينتين، فيمكنك تقديم إجابة تتكون من رقم واحد بالأميال أو الكيلومترات أو وحدات أخرى للمسافة الخطية. ومع ذلك، إذا كان يجب عليك وصف كيفية الانتقال من مدينة إلى أخرى، فأنت بحاجة إلى تقديم معلومات أكثر من مجرد المسافة بين نقطتين على الخريطة. في هذه الحالة، يستحق الحديث عن الاتجاه الذي تحتاج إلى التحرك فيه.

يُطلق على نوع المعلومات التي تعبر عن قياس أحادي البعد اسم الكمية العددية في العلوم. العددية هي أرقام تستخدم في معظم الحسابات الرياضية. على سبيل المثال، كتلة الجسم وسرعته هي كميات قياسية.

من أجل التحليل بنجاح ظاهرة طبيعيةيجب أن نعمل مع كائنات وأساليب مجردة يمكنها تمثيل كميات متعددة الأبعاد. من الضروري هنا التخلي عن الأرقام العددية لصالح الأرقام المعقدة. أنها تجعل من الممكن التعبير عن بعدين في وقت واحد.

من السهل فهم الأعداد المركبة عندما يتم تمثيلها بيانيا. إذا كان الخط له طول واتجاه معين، فسيكون هذا التمثيل الرسومي. ومن المعروف أيضًا باسم المتجهات.

الاختلافات بين الكميات المعقدة والكميات العددية

أنواع الأعداد مثل الأعداد الصحيحة والعقلانية والحقيقية مألوفة لدى الأطفال منذ المدرسة. لديهم جميعا نوعية ذات بعد واحد. يوضح استقامة خط الأعداد ذلك بيانياً. يمكنك التحرك لأعلى أو لأسفل عليه، ولكن كل "الحركة" على طول هذا الخط ستقتصر على المحور الأفقي. تعد الأرقام العددية أحادية البعد كافية لحساب عدد الأشياء أو التعبير عن الوزن أو قياس جهد التيار المستمر للبطارية. لكنها لا يمكن أن تعني أي شيء أكثر تعقيدا. من المستحيل التعبير عن المسافة والاتجاه بين مدينتين في وقت واحد، أو السعة مع الطور، باستخدام الكميات القياسية. يجب تمثيل هذه الأنواع من الأرقام في شكل نطاق متعدد الأبعاد من القيم. بمعنى آخر، نحن بحاجة إلى كميات متجهة لا يمكن أن يكون لها حجم فحسب، بل أيضًا اتجاه انتشار.

خاتمة

الرقم العددي هو نوع من الكائنات الرياضية التي اعتاد الناس على استخدامها الحياة اليومية- هذه هي درجة الحرارة والطول والوزن وما إلى ذلك. الرقم المركب هو قيمة تتضمن نوعين من البيانات.

المتجه هو تمثيل رسومي لعدد مركب. يبدو وكأنه سهم بنقطة بداية وطول واتجاه محددين. في بعض الأحيان يتم استخدام كلمة "ناقل" في الهندسة الراديوية، حيث تعبر عن تحول الطور بين الإشارات.

عند دراسة خصائص المعادلة التربيعية، تم وضع قيود - للمميز الأقل من الصفر، لا يوجد حل. لقد قيل على الفور أننا نتحدث عن مجموعة من الأعداد الحقيقية. سوف يهتم العقل الفضولي لعالم الرياضيات بما هو السر الموجود في الجملة المتعلقة بالقيم الحقيقية؟

مع مرور الوقت، قدم علماء الرياضيات مفهوم الأعداد المركبة، حيث يتم أخذ القيمة الشرطية للجذر الثاني لناقص واحد كواحد.

مرجع تاريخي

تتطور النظرية الرياضية بشكل متسلسل، من البسيط إلى المعقد. دعونا نتعرف على كيفية ظهور المفهوم المسمى "الرقم المركب" وسبب الحاجة إليه.

منذ زمن سحيق، كان أساس الرياضيات العد العادي. ولم يعرف الباحثون سوى مجموعة القيم الطبيعية. لقد كانت عملية الجمع والطرح بسيطة. ومع ازدياد تعقيد العلاقات الاقتصادية، بدأ استخدام الضرب بدلاً من إضافة قيم متطابقة. ظهرت العملية العكسية للضرب - القسمة.

لقد حد مفهوم العدد الطبيعي من استخدام العمليات الحسابية. من المستحيل حل جميع مسائل القسمة على مجموعة من القيم الصحيحة. أدى أولا إلى مفهوم القيم العقلانية، ومن ثم إلى القيم غير العقلانية. إذا كان من الممكن الإشارة إلى الموقع الدقيق لنقطة ما على الخط، فمن الممكن بالنسبة للعقلانية، أنه من المستحيل الإشارة إلى مثل هذه النقطة بالنسبة للعقلانية. يمكنك فقط الإشارة إلى الفاصل الزمني للموقع تقريبًا. شكل مزيج الأعداد العقلانية وغير العقلانية مجموعة حقيقية يمكن تمثيلها كخط معين بمقياس معين. كل خطوة على طول الخط عدد طبيعيوبينهما قيم عقلانية وغير عقلانية.

بدأ عصر الرياضيات النظرية. يتطلب تطور علم الفلك والميكانيكا والفيزياء حل المعادلات المتزايدة التعقيد. وبشكل عام، تم العثور على جذور المعادلة التربيعية. عند حل متعددة الحدود المكعبة الأكثر تعقيدا، واجه العلماء تناقضا. إن مفهوم الجذر التكعيبي السالب منطقي، لكن بالنسبة للجذر التربيعي فإنه يؤدي إلى عدم اليقين. في هذه الحالة، المعادلة التربيعية هي فقط حالة خاصةمكعب.

في عام 1545، اقترح الإيطالي ج. كاردانو إدخال مفهوم الرقم التخيلي.

أصبح هذا العدد هو الجذر الثاني لناقص واحد. أخيرًا تم تشكيل مصطلح العدد المركب بعد ثلاثمائة عام فقط، في الأعمال عالم الرياضيات الشهيرغاوس. واقترح توسيع جميع قوانين الجبر رسميًا إلى عدد وهمي. لقد توسع الخط الحقيقي إلى مستوى. لقد أصبح العالم أكبر.

مفاهيم أساسية

دعونا نتذكر عددًا من الوظائف التي لها قيود على المجموعة الحقيقية:

• y = arcsin(x)، محدد في نطاق القيم بين الوحدة السلبية والإيجابية.
• y = ln(x)، منطقي بالنسبة للحجج الإيجابية.
• الجذر التربيعي y = √x، محسوب فقط لـ x ≥ 0.

من خلال الإشارة إلى i = √(-1)، نقدم مفهومًا كرقم وهمي، مما سيسمح لنا بإزالة جميع القيود من مجال تعريف الوظائف المذكورة أعلاه. تعبيرات مثل y = arcsin(2)، y = ln(-4)، y = √(-5) تأخذ معنى في مساحة معينة من الأعداد المركبة.

يمكن كتابة الصيغة الجبرية بالشكل z = x + i×y على مجموعة القيم الحقيقية x و y و i 2 = -1.

يزيل المفهوم الجديد جميع القيود المفروضة على استخدام أي دالة جبرية ويشبه مظهرها رسمًا بيانيًا لخط مستقيم في إحداثيات القيم الحقيقية والتخيلية.

طائرة معقدة

شكل هندسيالأعداد المركبة تجعل من الممكن تصور العديد من خصائصها. على طول المحور Re(z)، نحدد القيم الحقيقية لـ x، على طول Im(z) - القيم التخيلية لـ y، ثم ستعرض النقطة z على المستوى القيمة المعقدة المطلوبة.

تعريفات:

• إعادة (ض) - المحور الحقيقي.
• Im(z) - يعني المحور الوهمي.
• z هي النقطة الشرطية لعدد مركب.
• القيمة العددية لطول المتجه من نقطة الصفر إلى z تسمى الوحدة.
• يقسم المحوران الحقيقي والخيالي المستوى إلى أرباع. بقيمة إحداثية موجبة - أنا ربع. عندما تكون سعة المحور الحقيقي أقل من 0، والمحور التخيلي أكبر من 0 - الربع الثاني. عندما تكون الإحداثيات سلبية - الربع الثالث. يحتوي الربع الرابع الأخير على العديد من القيم الحقيقية الإيجابية والقيم التخيلية السلبية.

وبالتالي، على المستوى ذو الإحداثيات x وy، يمكنك دائمًا تصوير نقطة من رقم مركب بشكل مرئي. تم إدخال الرمز i لفصل الجزء الحقيقي عن الجزء الخيالي.

ملكيات

1. مع القيمة الصفرية للوسيطة التخيلية، نحصل ببساطة على رقم (z = x) يقع على المحور الحقيقي وينتمي إلى المجموعة الحقيقية.
2. في حالة خاصة عندما تصبح قيمة الوسيطة الحقيقية صفرًا، فإن التعبير z = i×y يتوافق مع موقع النقطة على المحور التخيلي.
3. الصيغة العامة z = x + i×y ستكون للقيم غير الصفرية للوسائط. يشير إلى موقع النقطة التي تميز عددًا مركبًا في أحد الأرباع.

التدوين المثلثي

دعونا نتذكر نظام الإحداثيات القطبية وتعريف الخطيئة وجيب التمام. من الواضح أنه باستخدام هذه الوظائف يمكنك وصف موقع أي نقطة على المستوى. وللقيام بذلك يكفي معرفة طول الشعاع القطبي وزاوية ميله على المحور الحقيقي.

تعريف. تدوين النموذج ∣z ∣ مضروبًا في مجموع الدوال المثلثية cos(ϴ) والجزء التخيلي i ×sin(ϴ) يسمى بالرقم المركب المثلثي. هنا نستخدم علامة زاوية الميل على المحور الحقيقي

ϴ = arg(z)، و r = ∣z∣، طول الشعاع.

من تعريف وخصائص الدوال المثلثية، تتبع صيغة Moivre مهمة جدًا:

ض ن = ص ن × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

باستخدام هذه الصيغة، من الملائم حل العديد من أنظمة المعادلات التي تحتوي على الدوال المثلثية. خاصة عندما تنشأ مشكلة الأس.

الوحدة والمرحلة

لإكمال وصف المجموعة المعقدة، نقترح تعريفين مهمين.

بمعرفة نظرية فيثاغورس، من السهل حساب طول الشعاع في نظام الإحداثيات القطبية.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2)، يسمى هذا الترميز في الفضاء المركب "المعامل" ويميز المسافة من 0 إلى نقطة على المستوى.

عادة ما تسمى زاوية ميل الشعاع المعقد إلى الخط الحقيقي ϴ بالطور.

ويتضح من التعريف أن الأجزاء الحقيقية والتخيلية موصوفة باستخدام الدوال الدورية. يسمى:

• س = ص × كوس(ϴ);
• ص = ص × الخطيئة(ϴ);

وعلى العكس من ذلك فإن الطور له علاقة بالقيم الجبرية من خلال الصيغة:

ϴ = arctan(x / y) + μ، تم إدخال التصحيح μ لمراعاة الدورية وظائف هندسية.

صيغة أويلر

غالبًا ما يستخدم علماء الرياضيات الصيغة الأسية. تتم كتابة أرقام المستوى المركب كتعبير

z = r × e i × ϴ، والتي تتبع صيغة أويلر.

أصبح هذا التدوين منتشرًا على نطاق واسع في الحسابات العملية. كميات فيزيائية. يعد شكل التمثيل في شكل أرقام مركبة أسية مناسبًا بشكل خاص للحسابات الهندسية، حيث تكون هناك حاجة لحساب الدوائر ذات التيارات الجيبية ومن الضروري معرفة قيمة تكاملات الوظائف خلال فترة معينة. تعمل الحسابات نفسها كأداة في تصميم الآلات والآليات المختلفة.

تعريف العمليات

كما ذكرنا سابقًا، تنطبق جميع القوانين الجبرية للعمل مع الوظائف الرياضية الأساسية على الأعداد المركبة.

عملية المجموع

عند إضافة قيم معقدة، فإن أجزائها الحقيقية والتخيلية تضاف أيضًا.

z = z 1 + z 2، حيث z 1 و z 2 أعداد مركبة منظر عام. تحويل التعبير، بعد فتح الأقواس وتبسيط الترميز، نحصل على الوسيطة الحقيقية x = (x 1 + x 2)، الوسيطة التخيلية y = (y 1 + y 2).

يبدو على الرسم البياني جمع متجهين، وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع المعروفة.

عملية الطرح

وتعتبر حالة جمع خاصة، عندما يكون أحد الرقمين موجبًا والآخر سالبًا، أي يقع في ربع المرآة. يشبه التدوين الجبري الفرق بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية.

z = z 1 - z 2 أو مع الأخذ في الاعتبار قيم الوسائط المشابهة لعملية الجمع نحصل على القيم الحقيقية x = (x 1 - x 2) والقيم التخيلية y = (ص1 - ص2).

الضرب في المستوى المركب

باستخدام قواعد العمل مع كثيرات الحدود، سنشتق صيغة لحل الأعداد المركبة.

باتباع القواعد الجبرية العامة z=z 1 ×z 2، نصف كل وسيطة ونقدم حجة مماثلة. ويمكن كتابة الأجزاء الحقيقية والتخيلية على النحو التالي:

• س = س 1 × س 2 - ص 1 × ص 2،
• ص = س 1 × ص 2 + س 2 × ص 1.

يبدو الأمر أجمل إذا استخدمنا الأعداد المركبة الأسية.

يبدو التعبير كما يلي: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

قسم

عند اعتبار عملية القسمة معكوسًا لعملية الضرب، في التدوين الأسي نحصل على تعبير بسيط. قسمة قيمة z 1 على z 2 هو نتيجة قسمة وحداتها وفرق الطور. رسميًا، عند استخدام الصيغة الأسية للأعداد المركبة، تبدو كما يلي:

ض = ض 1 / ض 2 = ص 1 × ه i ϴ 1 / ص 2 × ه i ϴ 2 = ص 1 / ص 2 × ه i(ϴ 1- ϴ 2) .

في شكل تدوين جبري، تتم كتابة عملية تقسيم الأعداد في المستوى المركب بشكل أكثر تعقيدًا:

من خلال وصف الوسائط وإجراء تحويلات كثيرات الحدود، من السهل الحصول على القيم x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 على التوالي y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , ومع ذلك ، في إطار المساحة الموصوفة يكون هذا التعبير منطقيًا، إذا كان z 2 ≠ 0.

استخراج الجذر

يمكن استخدام كل ما سبق لتحديد دوال جبرية أكثر تعقيدًا - رفع أي قوة ومعكوسها - واستخراج الجذر.

باستخدام المفهوم العام للرفع إلى القوة n، نحصل على التعريف:

ض ن = (ص × ه أنا ϴ) ن .

باستخدام الخصائص العامة، نعيد كتابتها في النموذج:

ض ن = ص ن × ه أنا ϴ ن .

لقد حصلنا على صيغة بسيطة لرفع عدد مركب إلى قوة.

ومن تعريف الدرجة نحصل على نتيجة طبيعية مهمة جدًا. القوة الزوجية للوحدة التخيلية تساوي دائمًا 1. وأي قوة فردية للوحدة التخيلية تساوي دائمًا -1.

الآن دعونا ندرس الدالة العكسية - استخراج الجذر.

لتبسيط التدوين، نأخذ n = 2. عادة ما يعتبر الجذر التربيعي w للقيمة المعقدة z على المستوى المركب C هو التعبير z = ±، وهو صالح لأي وسيطة حقيقية أكبر من أو تساوي الصفر. بالنسبة لـ w ≥ 0 لا يوجد حل.

دعونا نلقي نظرة على أبسط معادلة تربيعية z 2 = 1. باستخدام صيغ الأعداد المركبة، نعيد كتابة r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. يتضح من السجل أن r 2 = 1 و ϴ = 0، وبالتالي، لدينا حل فريد يساوي 1. لكن هذا يتناقض مع المفهوم القائل بأن z = -1، يتوافق أيضًا مع تعريف الجذر التربيعي.

دعونا نكتشف ما لا نأخذه في الاعتبار. إذا تذكرنا الترميز المثلثي، فسنستعيد العبارة - مع التغيير الدوري في المرحلة ϴ، لا يتغير الرقم المركب. لنشير إلى قيمة الفترة بالرمز p، فيكون ما يلي صحيحًا: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p)، ومنها 2ϴ = 0 + p، أو ϴ = p / 2. وبالتالي، e i 0 = 1 و e i p /2 = -1 . لقد حصلنا على الحل الثاني، والذي يتوافق مع الفهم العام للجذر التربيعي.

لذا، للعثور على جذر عشوائي لعدد مركب، سنتبع الإجراء.

• لنكتب الصيغة الأسية w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk)، k عدد صحيح اعتباطي.
• يمكننا أيضًا تمثيل الرقم المطلوب باستخدام صيغة أويلر z = r × e i ϴ .
• دعونا نستخدم التعريف العام لوظيفة استخراج الجذر r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• من الخصائص العامة للمساواة بين الوحدات والوسائط، نكتب r n = ∣w∣ و nϴ = arg (w) + p×k.
• يتم وصف التدوين النهائي لجذر الرقم المركب بالصيغة z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• تعليق. القيمة ∣w∣، حسب التعريف، هي عدد حقيقي موجب، مما يعني أن جذر أي قوة منطقي.

الميدان وزميله

وفي الختام، نعطي تعريفين مهمين ليس لهما أهمية كبيرة بالنسبة للحل المشاكل التطبيقيةبأعداد معقدة، ولكنها مهمة بالنسبة لـ مزيد من التطويرالنظرية الرياضية.

يقال إن تعبيرات الجمع والضرب تشكل حقلاً إذا كانت تلبي البديهيات لأي عنصر من عناصر المستوى المركب z:

1. تغيير أماكن الحدود المركبة لا يغير المجموع المركب.
2. العبارة صحيحة - في التعبير المعقد، يمكن استبدال أي مجموع من رقمين بقيمتهما.
3. هناك قيمة محايدة 0 حيث z + 0 = 0 + z = z صحيح.
4. لأي z يوجد معاكس - z، وجمعه يعطي صفرًا.
5. عند تغيير أماكن العوامل المركبة لا يتغير المنتج المعقد.
6. يمكن استبدال ضرب أي رقمين بقيمتهما.
7. هناك قيمة محايدة 1، الضرب بها لا يغير العدد المركب.
8. لكل z ≠ 0، هناك قيمة معكوسة z -1، وضربها ينتج 1.
9. وضرب مجموع رقمين في الثلث يعادل عملية ضرب كل منهما في هذا العدد وجمع النتائج.
10. 0 ≠ 1.

الأرقام z 1 = x + i×y و z 2 = x - i×y تسمى مترافقة.

نظرية.بالنسبة للاقتران، العبارة التالية صحيحة:

• مرافق المجموع يساوي مجموع العناصر المترافقة.
• مرافقة المنتج يساوي منتج المرافقات.
• يساوي العدد نفسه

في الجبر العام، تُسمى هذه الخصائص عادةً بالتشكيل الذاتي الميداني.

أمثلة

باتباع القواعد والصيغ المعطاة للأعداد المركبة، يمكنك التعامل معها بسهولة.

دعونا نلقي نظرة على أبسط الأمثلة.

مهمة 1.باستخدام المعادلة 3y +5 x i= 15 - 7i، حدد x وy.

حل. دعونا نتذكر تعريف المساواة المعقدة، إذًا 3y = 15، 5x = -7. ولذلك س = -7 / 5، ص = 5.

المهمة 2.احسب قيم 2 + i 28 و 1 + i 135.

حل. من الواضح 28- رقم زوجي، من النتيجة الطبيعية لتعريف الرقم المركب إلى القوة لدينا i 28 = 1، مما يعني أن التعبير هو 2 + i 28 = 3. القيمة الثانية، i 135 = -1، ثم 1 + i 135 = 0 .

المهمة 3.احسب حاصل ضرب القيمتين 2 + 5i و 4 + 3i.

حل. ومن الخصائص العامة لضرب الأعداد المركبة نحصل على (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). القيمة الجديدة ستكون -7 + 26i.

المهمة 4.احسب جذور المعادلة z 3 = -i.

حل. قد تكون هناك عدة خيارات للعثور على رقم مركب. دعونا نفكر في واحدة من الاحتمالات. بحكم التعريف، ∣ - i∣ = 1، الطور لـ -i هو -p / 4. يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية بالشكل r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk، حيث z = e - p / 12 + pk /3 لأي عدد صحيح k.

ولمجموعة الحلول الشكل (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

لماذا هناك حاجة إلى أرقام معقدة؟

يعرف التاريخ العديد من الأمثلة عندما لا يفكر العلماء، الذين يعملون على نظرية، في التطبيق العملي لنتائجهم. الرياضيات هي في المقام الأول لعبة العقل، والالتزام الصارم بالعلاقات السببية. يتم تقليل جميع الإنشاءات الرياضية تقريبًا إلى حل التكامل و المعادلات التفاضلية، وهذه بدورها، مع بعض التقريب، يتم حلها من خلال إيجاد جذور كثيرات الحدود. هنا نواجه أولاً مفارقة الأعداد التخيلية.

العلماء، علماء الطبيعة، يقررون بشكل كامل مشاكل عمليةواللجوء إلى حلول المعادلات المختلفة واكتشاف المفارقات الرياضية. تفسير هذه المفارقات يؤدي إلى تماما اكتشافات مذهلة. الطبيعة المزدوجة للموجات الكهرومغناطيسية هي أحد الأمثلة على ذلك. تلعب الأعداد المركبة دورًا حاسمًا في فهم خصائصها.

وهذا بدوره وجد الاستخدام العمليفي البصريات والإلكترونيات الراديوية والطاقة والعديد من المجالات التكنولوجية الأخرى. مثال آخر، أصعب بكثير للفهم الظواهر الفيزيائية. تم التنبؤ بالمادة المضادة على طرف القلم. وبعد سنوات عديدة فقط تبدأ محاولات تركيبه جسديًا.

لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن مثل هذه المواقف موجودة فقط في الفيزياء. يتم إجراء اكتشافات مثيرة للاهتمام بنفس القدر في الطبيعة الحية، أثناء تركيب الجزيئات الكبيرة، وأثناء دراسة الذكاء الاصطناعي. وكل هذا بفضل توسع وعينا، والابتعاد عن الجمع والطرح البسيط للكميات الطبيعية.

موضوعالأعداد المركبة ومتعددة الحدود

محاضرة 22

§1. الأعداد المركبة: التعاريف الأساسية

رمز يتم تقديمه بواسطة النسبة
وتسمى الوحدة التخيلية. بعبارة أخرى،
.

تعريف. التعبير عن النموذج
، أين
، ويسمى عددا مركبا، والرقم يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب وتدل
، رقم - الجزء الخيالي وتدل
.

ويترتب على هذا التعريف أن الأعداد الحقيقية هي تلك الأعداد المركبة التي الجزء التخيلي منها يساوي الصفر.

من السهل تمثيل الأعداد المركبة بنقاط المستوى الذي يُعطى عليه نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي، وهو: رقم مركب
يتوافق مع نقطة
والعكس صحيح. على المحور
تم تصوير الأعداد الحقيقية ويسمى المحور الحقيقي. الأعداد المركبة للنموذج

تسمى خيالية بحتة. يتم تمثيلها بنقاط على المحور
والذي يسمى بالمحور التخيلي. هذا المستوى، الذي يعمل على تمثيل الأعداد المركبة، يسمى المستوى المركب. عدد مركب غير حقيقي، أي. مثل ذلك
، وتسمى أحيانا وهمية.

يقال أن عددين مركبين متساويان إذا وفقط إذا كان جزأهما الحقيقي والتخيلي متطابقين.

تتم عمليات الجمع والطرح والضرب للأعداد المركبة وفقًا للقواعد المعتادة لجبر كثيرات الحدود، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن

. يمكن تعريف عملية القسمة على أنها معكوس عملية الضرب ويمكن إثبات فرادة النتيجة (إذا كان المقسوم عليه غير صفر). ومع ذلك، في الممارسة العملية يتم استخدام نهج مختلف.

ارقام مركبة
و
تسمى مترافقة على المستوى المركب، ويتم تمثيلها بنقاط متناظرة حول المحور الحقيقي. من الواضح أن:

1)

;

2)
;

3)
.

الآن تقسيم على يمكن القيام به على النحو التالي:

.

ليس من الصعب إظهار ذلك

,

أين هو الرمز لتقف على أي عملية حسابية.

يترك
بعض الأرقام الخيالية، و – متغير حقيقي . نتاج اثنين من الحدين

هو ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية مع المعاملات الحقيقية.

والآن، بعد أن أصبح لدينا أعداد مركبة، يمكننا حل أي معادلة تربيعية
.اذا ثم

والمعادلة لها جذرين مترافقين معقدين

.

لو
، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين مختلفين. لو
، فإن المعادلة لها جذرين متطابقين.

§2. الشكل المثلثي لعدد مركب

كما ذكرنا سابقًا، رقم مركب
مريحة لتمثيل كنقطة
. يمكن أيضًا تحديد هذا الرقم باستخدام ناقل نصف القطر لهذه النقطة
. وبهذا التفسير، يتم إجراء جمع وطرح الأعداد المركبة وفقًا لقواعد جمع وطرح المتجهات. لضرب وقسمة الأعداد المركبة، هناك صيغة أخرى أكثر ملاءمة.

دعونا نقدم على المستوى المعقد
نظام الإحداثيات القطبية. ثم أين
,
والرقم المعقد
يمكن كتابتها على النحو التالي:

يُسمى هذا النوع من التدوين علم المثلثات (على عكس الشكل الجبري
). في هذا النموذج الرقم يسمى وحدة نمطية، و - حجة عدد مركب . تم تعيينهم:
,

. بالنسبة للوحدة لدينا الصيغة

لا يتم تعريف وسيطة الرقم بشكل فريد، ولكن تصل إلى حد ما
,
. قيمة الحجة التي تلبي عدم المساواة
، يسمى الرئيسي ويشار إليه
. ثم،
. للحصول على القيمة الرئيسية للوسيطة، يمكنك الحصول على التعبيرات التالية:

,

حجة الرقم
يعتبر غير مؤكد.

شرط مساواة عددين مركبين في الشكل المثلثي له الشكل: وحدات الأعداد متساوية، وتختلف الحجج بمضاعفات
.

لنجد حاصل ضرب عددين مركبين في الصورة المثلثية:

لذلك، عندما يتم ضرب الأرقام، يتم ضرب وحداتها وإضافة الوسائط الخاصة بها.

بطريقة مماثلة، يمكننا إثبات أنه عند القسمة، يتم تقسيم وحدات الأرقام ويتم طرح الوسائط.

بفهم الأس على أنه ضرب متكرر، يمكننا الحصول على صيغة لرفع عدد مركب إلى قوة:

دعونا نستنتج صيغة ل
- جذر -القوة رقم مركب (يجب عدم الخلط بينه وبين الجذر الحسابي لعدد حقيقي!). إن عملية استخراج الجذر هي عكس عملية الأس. لهذا
هو عدد معقد مثل ذلك
.

يترك
ومن المعروف، ولكن
مطلوب العثور عليه. ثم

ومن مساواة عددين مركبين في الشكل المثلثي يتبع ذلك

,
,
.

من هنا
(هذا جذر حسابي!)

,
.

ومن السهل التحقق من ذلك يمكن أن تقبل فقط قيم مختلفة بشكل أساسي، على سبيل المثال، متى
. وأخيرا لدينا الصيغة:

,
.

لذلك الجذر القوة ال عشر لعدد مركب لديها معان مختلفة. على المستوى المعقد، تقع هذه القيم بشكل صحيح في القمم -مثلث محصور في دائرة نصف القطر
مع المركز في الأصل. الجذر "الأول" له وسيطة
، تختلف حجج الجذرين "المجاورين".
.

مثال. لنأخذ الجذر التكعيبي للوحدة التخيلية:
,
,
. ثم:

,

§1. ارقام مركبة

1°. تعريف. التدوين الجبري.

التعريف 1. ارقام مركبةيتم استدعاء الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية و ، إذا تم تعريف مفهوم المساواة وعمليات الجمع والضرب لديهم، بما يحقق البديهيات التالية:

1) رقمين
و
يساوي إذا وفقط إذا
,
، أي.

 , .

2) مجموع الأعداد المركبة
و

وعلى قدم المساواة
، أي.

+ = .

3) منتج الأعداد المركبة
و
هو الرقم الذي يشير إليه
ومتساوية، أي.

∙=.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد المركبة ج.

الصيغ (2)، (3) لأرقام النموذج
تأخذ شكل

ومن هنا يترتب على ذلك أن عمليات الجمع والضرب للأعداد من النموذج
يتزامن مع الجمع والضرب للأعداد الحقيقية  العدد المركب من النموذج
تم تحديده برقم حقيقي .

عدد مركب
مُسَمًّى وحدة خياليةويتم تعيينه ، أي.
ثم من (3) 

من (2)، (3)  مما يعني

يسمى التعبير (4). التدوين الجبريعدد مركب.

في التدوين الجبري، تأخذ عمليات الجمع والضرب الشكل التالي:

يتم الإشارة إلى عدد مركب بواسطة
, - الجزء الحقيقي، - الجزء الخيالي، هو رقم وهمي بحت. تعيين:
,
.

التعريف 2. عدد مركب
مُسَمًّى المترافقةمع عدد معقد
.

خصائص الاقتران المعقد.

1)

2)
.

3) إذا
، الذي - التي
.

4)
.

5)
- عدد حقيقي.

ويتم الإثبات عن طريق الحساب المباشر.

التعريف 3. رقم
مُسَمًّى وحدةعدد مركب
ويتم تعيينه
.

من الواضح أن
، و


. الصيغ واضحة أيضًا:
و
.

2°. خصائص عمليات الجمع والضرب.

1) التبادلية:
,
.

2) الترابط:،
.

3) التوزيع : .

يتم تنفيذ الدليل 1) – 3) من خلال حسابات مباشرة تعتمد على خصائص مماثلة للأعداد الحقيقية.

4)
,
.

5) , ج ! ، إرضاء المعادلة
. هذا

6) ,ج, 0, ! :
. هذا تم العثور عليها عن طريق ضرب المعادلة ب



.

مثال. دعونا نتخيل عددا معقدا
في شكل جبري. للقيام بذلك، اضرب بسط ومقام الكسر في العدد المرافق للمقام. لدينا:

3°. التفسير الهندسي للأعداد المركبة. الشكل المثلثي والأسي لكتابة عدد مركب.

دع نظام الإحداثيات المستطيل يتم تحديده على المستوى. ثم
جيمكنك مطابقة نقطة على المستوى مع الإحداثيات
(انظر الشكل 1). من الواضح أن مثل هذه المراسلات تكون فردية. في هذه الحالة، تقع الأعداد الحقيقية على محور الإحداثي، والأعداد التخيلية البحتة تقع على المحور الإحداثي. لذلك يسمى محور الإحداثي المحور الحقيقي، والمحور الإحداثي - محور وهمي. يسمى المستوى الذي تقع عليه الأعداد المركبة طائرة معقدة.

لاحظ أن و
متناظرة حول الأصل، و و متناظرة فيما يتعلق بالثور.

يمكن ربط كل عدد مركب (أي كل نقطة على المستوى) بمتجه بدايته عند النقطة O ونهايته عند النقطة
. إن المراسلات بين المتجهات والأعداد المركبة هي واحد لواحد. ولذلك، فإن المتجه المقابل لعدد مركب ، يشار إليه بنفس الحرف

د خط ناقل
يتوافق مع عدد مركب
، متساوي
، و
,
.

باستخدام تفسير المتجهات، يمكننا أن نرى أن المتجه
- مجموع المتجهات و ، أ
- مجموع المتجهات و
(انظر الشكل 2). ولذلك، فإن عدم المساواة التالية صالحة: ،

جنبا إلى جنب مع الطول المتجه دعونا نقدم الزاوية بين ناقلات ومحور الثور يحسب من الاتجاه الموجب لمحور الثور: إذا كان العد عكس اتجاه عقارب الساعة تعتبر إشارة الزاوية موجبة، وإذا كان مع عقارب الساعة فهي سالبة. تسمى هذه الزاوية حجة الرقم المركبويتم تعيينه
. ركن لا يتم تحديدها بشكل لا لبس فيه، ولكن بدقة
…. ل
لم يتم تعريف الحجة.

الصيغ (6) تحدد ما يسمى التدوين المثلثيعدد مركب.

من (5) ينتج أنه إذا
و
الذي - التي

, .

من (5)
ماذا عن و يتم تحديد عدد مركب بشكل فريد. والعكس غير صحيح: أي على عدد مركب الوحدة النمطية لها فريدة من نوعها، والحجة ، بحكم (7)، - بالدقة
. ويترتب على ذلك أيضاً من (7) أن الحجة يمكن العثور عليها كحل للمعادلة

ومع ذلك، ليست كل حلول هذه المعادلة هي حلول للرقم (7).

من بين جميع قيم وسيطة العدد المركب، يتم اختيار واحدة، وهي تسمى القيمة الرئيسية للوسيطة ويشار إليها
. عادةً ما يتم اختيار القيمة الرئيسية للوسيطة إما في الفاصل الزمني
، أو في الفاصل

من الملائم إجراء عمليات الضرب والقسمة في شكل مثلثي.

النظرية 1.معامل منتج الأعداد المركبة و يساوي ناتج الوحدات، والحجة هي مجموع الوسائط، أي.

، أ .

على نفس المنوال

,

دليل.يترك ، . ثم بالضرب المباشر نحصل على:

على نفس المنوال

.■

عاقبة(صيغة موافر). ل
صيغة Moivre صالحة

ص مثال. دعونا نجد الموقع الهندسي للنقطة
. من النظرية 1 يتبع ذلك.

لذلك، لبنائه، يجب عليك أولاً إنشاء نقطة ، وهو الانقلاب بالنسبة لدائرة الوحدة، ثم ابحث عن نقطة متناظرة لها بالنسبة لمحور الثور.

يترك
، أي.
عدد مركب
يُشار إليه بـ
، أي. رصيغة أويلر صالحة

لأن
، الذي - التي
,
. من النظرية 1
ما هو مع الوظيفة
يمكنك العمل كما هو الحال مع وظيفة الأسية العادية، أي. المساواة صالحة

,
,
.

من (8)
تدوين توضيحيعدد مركب

، أين
,

مثال. .

4 درجات. الجذور -القوة رقم مركب.

خذ بعين الاعتبار المعادلة

, مع , ن .

يترك
، ويتم البحث عن حل المعادلة (9) في النموذج
. ثم (9) يأخذ النموذج
، من حيث نجد ذلك
,
، أي.

,
,
.

وبالتالي، فإن المعادلة (9) لها جذور

, .

دعونا نبين أنه من بين (10) هناك بالضبط جذور مختلفة. حقًا،

مختلفة، لأن حججهم مختلفة وتختلف أقل من
. إضافي،
، لأن
. على نفس المنوال
.

وبالتالي المعادلة (9) في
لديه بالضبط جذور
، وتقع في قمم العادية -مثلث محصور في دائرة نصف القطر مع مركزها عند النقطة O.

وهكذا ثبت

النظرية 2.استخراج الجذر -القوة رقم مركب
من الممكن دائما. جميع المعاني الجذرية الدرجة ال تقع في رؤوس الصحيح - gon منقوش في دائرة مركزها صفر ونصف قطرها
. حيث،

عاقبة.الجذور -يتم التعبير عن قوة 1 بالصيغة

.

حاصل ضرب جذرين لـ 1 هو جذر، و1 هو جذر -قوة الوحدة، جذر
:
.