من الذي قدم المشتقة؟ ما هي المشتقة تعريف ومعنى وظيفة مشتقة؟ المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما

تعطي المشكلة B9 رسمًا بيانيًا للدالة أو المشتقة التي تحتاج إلى تحديد إحدى الكميات التالية منها:

1. قيمة المشتق عند نقطة ما × 0،
2. الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط (النقاط القصوى)،
3. فترات الزيادة والنقصان في الوظائف (فترات الرتابة).

الدوال والمشتقات المقدمة في هذه المشكلة تكون دائمًا متصلة، مما يجعل الحل أسهل بكثير. على الرغم من أن المهمة تخص القسم التحليل الرياضي، إنه في حدود إمكانيات حتى أضعف الطلاب، حيث لا يتطلب الأمر معرفة نظرية عميقة هنا.

للعثور على قيمة المشتقة والنقاط القصوى وفترات الرتابة، هناك خوارزميات بسيطة وعالمية - سيتم مناقشة كل منهم أدناه.

اقرأ شروط المشكلة B9 بعناية لتجنب ارتكاب أخطاء غبية: في بعض الأحيان تصادف نصوصًا طويلة جدًا، ولكن هناك القليل من الشروط المهمة التي تؤثر على مسار الحل.

حساب قيمة المشتقة. طريقة نقطتين

إذا تم إعطاء المشكلة رسمًا بيانيًا للدالة f(x)، مماس لهذا الرسم البياني عند نقطة ما x 0، وكان مطلوبًا العثور على قيمة المشتق عند هذه النقطة، فسيتم تطبيق الخوارزمية التالية:

1. ابحث عن نقطتين "مناسبتين" على الرسم البياني المماس: يجب أن تكون إحداثياتهما عددًا صحيحًا. دعنا نشير إلى هاتين النقطتين A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2). اكتب الإحداثيات بشكل صحيح - وهذه نقطة أساسية في الحل، وأي خطأ هنا سيؤدي إلى إجابة غير صحيحة.
2. بمعرفة الإحداثيات، من السهل حساب زيادة الوسيط Δx = x 2 − x 1 وزيادة الدالة Δy = y 2 − y 1 .
3. وأخيرًا، نجد قيمة المشتقة D = Δy/Δx. بمعنى آخر، تحتاج إلى قسمة زيادة الدالة على زيادة الوسيطة - وهذا سيكون الجواب.

نلاحظ مرة أخرى: يجب البحث عن النقطتين A وB بدقة على المماس، وليس على الرسم البياني للدالة f(x)، كما يحدث غالبًا. سيحتوي خط المماس بالضرورة على نقطتين على الأقل من هذه النقاط - وإلا فلن تتم صياغة المشكلة بشكل صحيح.

خذ بعين الاعتبار النقطتين A (−3; 2) وB (−1; 6) وأوجد الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

لنجد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماسًا لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري x 0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x 0 .

خذ بعين الاعتبار النقطتين A (0; 3) و B (3; 0)، وابحث عن الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

الآن نجد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماسًا لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري x 0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x 0 .

خذ بعين الاعتبار النقطتين أ (0؛ 2) وب (5؛ 2) وأوجد الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

يبقى إيجاد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

من المثال الأخير، يمكننا صياغة قاعدة: إذا كان المماس موازيًا لمحور OX، فإن مشتقة الدالة عند نقطة التماس هي صفر. في هذه الحالة، لا تحتاج حتى إلى حساب أي شيء - ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرسم البياني.

حساب الحد الأقصى والحد الأدنى للنقاط

في بعض الأحيان، بدلًا من الرسم البياني للدالة، تعطي المشكلة B9 رسمًا بيانيًا للمشتقة وتتطلب إيجاد النقطة القصوى أو الدنيا للدالة. في هذه الحالة، تكون طريقة النقطتين عديمة الفائدة، ولكن هناك خوارزمية أخرى أبسط. أولا، دعونا نحدد المصطلحات:

1. تسمى النقطة x 0 بالنقطة القصوى للدالة f(x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض أحياء هذه النقطة: f(x 0) ≥ f(x).
2. تُسمى النقطة x 0 بالنقطة الدنيا للدالة f(x) إذا كان عدم المساواة التالي موجودًا في بعض أحياء هذه النقطة: f(x 0) ≥ f(x).

من أجل العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط من الرسم البياني المشتق، ما عليك سوى اتباع الخطوات التالية:

1. إعادة رسم الرسم البياني المشتق، وإزالة كافة المعلومات غير الضرورية. كما تظهر الممارسة، فإن البيانات غير الضرورية تتداخل فقط مع القرار. لذلك، نحدد أصفار المشتقة على محور الإحداثيات - وهذا كل شيء.
2. تعرف على علامات المشتقة على الفترات بين الأصفار. إذا كان من المعروف بالنسبة لنقطة ما x 0 أن f'(x 0) ≠ 0، فمن الممكن وجود خيارين فقط: f'(x 0) ≥ 0 أو f'(x 0) ≥ 0. علامة المشتق هي من السهل تحديده من الرسم الأصلي: إذا كان الرسم البياني المشتق يقع فوق محور OX، فإن f'(x) ≥ 0. والعكس صحيح، إذا كان الرسم البياني المشتق يقع أسفل محور OX، فإن f'(x) ≥ 0.
3. مرة أخرى نتحقق من الأصفار وعلامات المشتق. حيث تتغير العلامة من ناقص إلى زائد هي النقطة الدنيا. وعلى العكس من ذلك، إذا تغيرت إشارة المشتقة من موجب إلى ناقص، فهذه هي النقطة القصوى. يتم العد دائمًا من اليسار إلى اليمين.

يعمل هذا المخطط فقط للوظائف المستمرة - ولا يوجد مخططات أخرى في المشكلة B9.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−5; 5]. أوجد النقطة الصغرى للدالة f(x) على هذا المقطع.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية ونترك فقط الحدود [−5; 5] وأصفار المشتقة x = −3 و x = 2.5. ونلاحظ أيضًا العلامات:

من الواضح أنه عند النقطة x = −3 تتغير إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد. هذه هي النقطة الدنيا.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−3; 7]. أوجد النقطة القصوى للدالة f(x) على هذا المقطع.

دعونا نعيد رسم الرسم البياني، مع ترك الحدود فقط [−3; 7] وأصفار المشتق x = −1.7 و x = 5. دعونا نلاحظ علامات المشتق على الرسم البياني الناتج. لدينا:

من الواضح أنه عند النقطة x = 5 تتغير إشارة المشتقة من الموجب إلى الناقص - وهذه هي النقطة القصوى.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x)، المحددة في الفاصل الزمني [−6؛ 4]. أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f(x) التي تنتمي إلى المقطع [−4; 3].

يترتب على شروط المشكلة أنه يكفي النظر فقط في جزء الرسم البياني المحدود بالمقطع [−4؛ 3]. لذلك، قمنا ببناء رسم بياني جديد نضع عليه الحدود فقط [−4; 3] والأصفار المشتقة بداخله. وهي النقاط x = −3.5 و x = 2. نحصل على:

يوجد في هذا الرسم البياني نقطة عظمى واحدة فقط x = 2. وعند هذه النقطة تتغير إشارة المشتق من زائد إلى ناقص.

ملاحظة صغيرة حول النقاط ذات الإحداثيات غير الصحيحة. على سبيل المثال، في المسألة الأخيرة تم أخذ النقطة x = −3.5 في الاعتبار، ولكن بنفس النجاح يمكننا أن نأخذ x = −3.4. إذا تم تجميع المشكلة بشكل صحيح، فلا ينبغي أن تؤثر هذه التغييرات على الإجابة، لأن النقاط "بدون مكان إقامة ثابت" لا تشارك بشكل مباشر في حل المشكلة. بالطبع، هذه الخدعة لن تنجح مع النقاط الصحيحة.

إيجاد فترات زيادة وتناقص الدالة

في مثل هذه المشكلة، مثل الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط، يُقترح استخدام الرسم البياني المشتق للعثور على المناطق التي تزيد فيها الوظيفة نفسها أو تنقص. أولاً دعونا نحدد ما هي الزيادة والتناقص:

1. يقال إن الدالة f(x) تتزايد على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≥ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . بمعنى آخر، كلما زادت قيمة الوسيطة، زادت قيمة الدالة.
2. يقال إن الدالة f(x) تتناقص على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≥ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . أولئك. تتوافق قيمة الوسيطة الأكبر مع قيمة دالة أصغر.

دعونا نضع الشروط الكافية للزيادة والنقصان:

1. بغرض وظيفة مستمرةتزداد f(x) على القطعة فيكفي أن تكون مشتقتها داخل القطعة موجبة أي و '(خ) ≥ 0.
2. لكي تتناقص الدالة المستمرة f(x) على القطعة، يكفي أن تكون مشتقتها داخل القطعة سالبة، أي. و '(خ) ≥ 0.

فلنقبل هذه الاقوال بدون دليل. وبالتالي، نحصل على مخطط للعثور على فترات الزيادة والنقصان، والذي يشبه في كثير من النواحي خوارزمية حساب النقاط القصوى:

1. قم بإزالة كافة المعلومات غير الضرورية. في الرسم البياني الأصلي للمشتقة، نحن مهتمون في المقام الأول بأصفار الدالة، لذلك سنتركها فقط.
2. قم بتمييز علامات المشتق عند الفواصل بين الأصفار. حيث f’(x) ≥ 0، تزيد الدالة، وحيثما f’(x) ≥ 0، تنخفض. إذا كانت المشكلة تضع قيودًا على المتغير x، فإننا نقوم أيضًا بوضع علامة عليها على رسم بياني جديد.
3. الآن بعد أن عرفنا سلوك الدالة والقيود، يبقى حساب الكمية المطلوبة في المشكلة.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−3; 7.5]. أوجد فترات تناقص الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى مجموع الأعداد الصحيحة المضمنة في هذه الفترات.

كالعادة، دعونا نعيد رسم الرسم البياني ونحدد الحدود [−3; 7.5]، وكذلك أصفار المشتق x = −1.5 و x = 5.3. ثم نلاحظ علامات المشتقة. لدينا:

بما أن المشتقة سالبة على الفترة (− 1.5)، فهذه هي فترة الدالة المتناقصة. يبقى جمع كل الأعداد الصحيحة الموجودة داخل هذا الفاصل الزمني:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x)، المحددة في الفاصل الزمني [−10; 4]. أوجد فترات زيادة الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى طول أكبرها.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية. دعونا نترك فقط الحدود [−10؛ 4] وأصفار المشتقة، والتي كان هناك أربعة منها هذه المرة: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. لنضع علامات على المشتق ونحصل على الصورة التالية:

نحن مهتمون بفترات زيادة الوظيفة، أي. مثل حيث f'(x) ≥ 0. هناك فترتان من هذا القبيل على الرسم البياني: (−8; −6) و (−3; 2). دعونا نحسب أطوالهم:
ل 1 = − 6 − (−8) = 2;
ل 2 = 2 − (−3) = 5.

وبما أننا نحتاج إلى إيجاد طول أكبر الفترات، فإننا نكتب القيمة l 2 = 5 كإجابة.

لتحدد الدالة عند نقطة ما وبعض جوارها. دعونا نعطي الوسيطة زيادة بحيث تقع النقطة ضمن مجال تعريف الوظيفة. سيتم بعد ذلك زيادة الوظيفة.

تعريف. مشتقة دالة عند نقطة يسمى حد نسبة زيادة الدالة عند هذه النقطة إلى زيادة الوسيطة، عند (إذا كان هذا الحد موجودًا ومحدودًا)، أي.

تعينها: ،،،.

مشتقة دالة عند نقطة على اليمين (يسار) مُسَمًّى

(إذا كان هذا الحد موجودًا ومحدودًا).

تم تحديده بواسطة: - مشتق عند النقطة الموجودة على اليمين،

، هو المشتق عند النقطة على اليسار.

ومن الواضح أن النظرية التالية صحيحة.

نظرية. يكون للدالة مشتق عند نقطة ما إذا وفقط إذا كانت مشتقات الدالة الموجودة على اليمين واليسار موجودة ومتساوية مع بعضها البعض. علاوة على ذلك

تنص النظرية التالية على وجود علاقة بين وجود مشتق للدالة عند نقطة ما واستمرارية الوظيفة عند تلك النقطة.

النظرية (شرط ضروري لوجود مشتقة الدالة عند نقطة ما). إذا كانت الدالة لها مشتقة عند نقطة ما، فإن الدالة عند تلك النقطة تكون متصلة.

دليل

دعها موجودة. ثم

,

حيث هو متناهية الصغر في.

تعليق

مشتق من الوظيفة وتدل

تمايز الوظيفة .

المعنى الهندسي والمادي

1) المعنى المادي للمشتق. إذا كانت الوظيفة ووسائطها كميات فيزيائية، فإن المشتق هو معدل تغير المتغير بالنسبة للمتغير عند نقطة ما. على سبيل المثال، إذا كانت المسافة التي قطعتها نقطة زمنية ما، فإن مشتقتها هي السرعة في تلك اللحظة الزمنية. إذا كانت كمية الكهرباء المتدفقة عبر المقطع العرضي للموصل في لحظة زمنية، إذن هو معدل التغير في كمية الكهرباء في لحظة زمنية، أي. القوة الحالية في لحظة من الزمن.

2) المعنى الهندسي للمشتق.

اسمحوا أن يكون بعض المنحنى، يكون نقطة على المنحنى.

يسمى أي خط مستقيم يتقاطع مع نقطتين على الأقل قاطع .

مماس لمنحنى عند نقطة ما يسمى الموضع الحدي للقاطع إذا كانت النقطة تميل إلى التحرك على طول المنحنى.

يتضح من التعريف أنه إذا كان مماس المنحنى موجودًا عند نقطة ما، فهو الوحيد

فكر في منحنى (أي رسم بياني لوظيفة). فليكن لها مماس غير عمودي عند نقطة ما. معادلتها: (معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة وله معامل زاوي).

حسب تعريف المنحدر

أين هي زاوية ميل الخط المستقيم على المحور.

اسمحوا أن تكون زاوية ميل القاطع إلى المحور، حيث. منذ هو الظل، ثم متى

لذلك،

وهكذا حصلنا على ذلك - المعامل الزاوي للمماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة(المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما). ومن ثم، يمكن كتابة معادلة المماس للمنحنى عند نقطة ما على الصورة

تعليق . يسمى الخط المستقيم الذي يمر بنقطة عمودية على المماس المرسوم للمنحنى عند تلك النقطة الطبيعي للمنحنى عند هذه النقطة . بما أن المعاملات الزاوية للخطوط المستقيمة المتعامدة ترتبط بالعلاقة، فإن معادلة العمودي على المنحنى عند نقطة ما سيكون لها الشكل

، لو .

إذا، فإن مماس المنحنى عند النقطة سيكون له الشكل

وعادي.

معادلات الظل والعادية

معادلة الظل

دع الوظيفة تعطى بالمعادلة ذ=F(س)، عليك أن تكتب المعادلة الظلعند هذه النقطة س 0. من تعريف المشتق:

ذ/(س)=ليمΔ س→0Δ ذΔ س

Δ ذ=F(س+Δ س)−F(س).

المعادلة الظلإلى الرسم البياني للوظيفة: ذ=kx+ب (ك,ب=مقدار ثابت). من المعنى الهندسي للمشتق: F/(س 0)=tgα= كلأن س 0 و F(س 0)∈ خط مستقيم، ثم المعادلة الظلمكتوب على النحو التالي: ذ−F(س 0)=F/(س 0)(س−س 0) أو

ذ=F/(س 0)· س+F(س 0)−F/(س 0)· س 0.

معادلة عادية

طبيعي- عمودي على الظل(انظر الصورة). بناء على هذا:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα = 1 tgα = 1 F/(س 0)

لأن زاوية ميل العمودي هي الزاوية β1، فلدينا:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 F/(س).

نقطة ( س 0,F(س 0))∈ عادية، تأخذ المعادلة الشكل:

ذ−F(س 0)=−1F/(س 0)(س−س 0).

دليل

دعها موجودة. ثم

,

حيث هو متناهية الصغر في.

لكن هذا يعني أنها مستمرة عند نقطة ما (انظر التعريف الهندسي للاستمرارية). ∎

تعليق . إن استمرارية الدالة عند نقطة ما لا يعد شرطا كافيا لوجود مشتقة لهذه الدالة عند نقطة ما. على سبيل المثال، الدالة متصلة، ولكن ليس لها مشتقة عند نقطة ما. حقًا،

وبالتالي غير موجود.

من الواضح أن المراسلات هي وظيفة محددة في بعض المجموعات. يسمونها مشتق من الوظيفة وتدل

تسمى عملية إيجاد دالة دالة مشتقة منها تمايز الوظيفة .

مشتق من المجموع والفرق

دع الدالتين f(x) وg(x) تعطى مشتقاتهما معروفة لنا. على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك العثور على مشتق مجموع هذه الوظائف والفرق بينها:

(و + ز)' = و ' + ز '

(و − ز)' = و ’ − ز '

لذا، فإن مشتق مجموع (الفرق) لوظيفتين يساوي مجموع (الفرق) للمشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. على سبيل المثال، (f + g + h)' = f' + g' + h'.

بالمعنى الدقيق للكلمة، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم "العنصر السلبي". لذلك، يمكن إعادة كتابة الفرق f − g كمجموع f + (−1) g، ثم تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

محتوى المقال

المشتق- مشتقة الدالة ذ = F(س) ، تعطى في فترة زمنية معينة ( أ, ب) عند نقطة سويسمى هذا الفاصل الحد الذي تتجه إليه نسبة زيادة الدالة Fعند هذه النقطة إلى الزيادة المقابلة للوسيطة عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر.

عادة ما يتم الإشارة إلى المشتق على النحو التالي:

تستخدم التسميات الأخرى أيضًا على نطاق واسع:

سرعة فورية.

دع هذه النقطة ميتحرك في خط مستقيم. مسافة سنقطة متحركة، تحسب من بعض الموقف الأولي م 0 ، يعتمد على الوقت ر، أي. سهناك وظيفة للوقت ر: س= F(ر). اسمحوا في وقت ما رنقطة متحركة مكان على مسافة سمن وضع البداية م 0، وفي وقت لاحق ر+د روجدت نفسها في موقف م 1 - على مسافة س+د سمن الوضع الأولي ( انظر الموافقة المسبقة عن علم.).

وهكذا، وعلى مدى فترة من الزمن د رمسافة ستغيرت بمقدار د س. في هذه الحالة يقولون أنه خلال الفترة الزمنية د رضخامة سحصل على الزيادة د س.

لا يمكن للسرعة المتوسطة في جميع الحالات أن تصف بدقة سرعة حركة نقطة ما مفي وقت معين ر. على سبيل المثال، إذا كان الجسم في بداية الفترة D رتحركت بسرعة كبيرة، وفي النهاية ببطء شديد، فلن يتمكن متوسط ​​السرعة من عكس المعالم المشار إليها لحركة النقطة وإعطاء فكرة عن السرعة الحقيقية لحركتها في الوقت الحالي ر. للتعبير بشكل أكثر دقة عن السرعة الحقيقية باستخدام السرعة المتوسطة، عليك أن تأخذ فترة زمنية أقصر د ر. يصف بشكل كامل سرعة حركة نقطة ما في الوقت الحالي رالحد الذي تتجه إليه السرعة المتوسطة عند D ر® 0. ويسمى هذا الحد بالسرعة الحالية:

وبالتالي فإن سرعة الحركة في لحظة معينة تسمى حد نسبة زيادة المسار D سلزيادة الوقت د ر، عندما تميل الزيادة الزمنية إلى الصفر. لأن

المعنى الهندسي للمشتق. مماس للرسم البياني للدالة.

يعد بناء الظلال أحد تلك المشكلات التي أدت إلى ولادة حساب التفاضل والتكامل. أول عمل منشور يتعلق بحساب التفاضل والتكامل، كتبه لايبنتز، كان بعنوان طريقة جديدة للقيم العظمى والصغرى، وكذلك المماسات، التي لا تشكل الكميات الكسرية أو غير النسبية عائقًا أمامها، ونوع خاص من حساب التفاضل والتكامل لهذا الغرض.

دع المنحنى يكون الرسم البياني للوظيفة ذ =F(س) في نظام الإحداثيات المستطيل ( سم. أرز.).

في بعض القيمة سالوظيفة مهمة ذ =F(س). هذه القيم سو ذالنقطة على المنحنى تتوافق م 0(س, ذ). إذا كانت الحجة سيعطي زيادة د س، ثم القيمة الجديدة للوسيطة س+د سيتوافق مع قيمة الوظيفة الجديدة ص+د ذ = F(س + د س). النقطة المقابلة للمنحنى ستكون النقطة م 1(س+د س,ذ+د ذ). إذا قمت برسم قاطع م 0م 1 ويشار إليه بـ j الزاوية التي يشكلها قاطع مع الاتجاه الموجب للمحور ثورومن الشكل يتضح ذلك على الفور .

إذا الآن د سيميل إلى الصفر، ثم هذه النقطة م 1 يتحرك على طول المنحنى، ويقترب من النقطة م 0، والزاوية ي التغييرات مع د س. في دي إكس® 0 الزاوية j تتجه إلى حد معين a ويمر الخط المستقيم بالنقطة م 0 والمكون ذو الاتجاه الموجب للمحور السيني، الزاوية a، سيكون الظل المطلوب. منحدرها هو :

لذلك، F´( س) = tga

أولئك. قيمة مشتقة F´( س) لقيمة وسيطة معينة سيساوي ظل الزاوية التي يشكلها مماس الرسم البياني للدالة F(س) عند النقطة المقابلة م 0(س,ذ) مع اتجاه المحور الإيجابي ثور.

تمايز الوظائف.

تعريف. إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) لديه مشتق عند هذه النقطة س = س 0، فإن الدالة قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.

استمرارية دالة لها مشتقة. نظرية.

إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) قابل للتمييز في مرحلة ما س = س 0، فهو مستمر عند هذه النقطة.

وبالتالي، لا يمكن أن يكون للدالة مشتقة عند نقاط الانقطاع. الاستنتاج المعاكس غير صحيح، أي. من حقيقة أنه في مرحلة ما س = س 0 وظيفة ذ = F(س) المستمر لا يعني أنه قابل للاشتقاق في هذه المرحلة. على سبيل المثال، الدالة ذ = |س| المستمر للجميع س(–× x = 0 ليس له مشتق. في هذه المرحلة لا يوجد مماس للرسم البياني. هناك مماس لليمين ومماس لليسار، لكنهما غير متطابقين.

بعض النظريات حول الدوال التفاضلية. نظرية جذور المشتق (نظرية رول).إذا كانت الوظيفة F(س) مستمر على المقطع [أ,ب]، قابل للتمييز في جميع النقاط الداخلية لهذا الجزء وفي الأطراف س = أو س = بيذهب إلى الصفر ( F(أ) = F(ب) = 0)، ثم داخل المقطع [ أ,ب] هناك نقطة واحدة على الأقل س= مع, أج ب، حيث المشتق Fў( س) يذهب إلى الصفر، أي. Fў( ج) = 0.

نظرية الزيادة المحدودة (نظرية لاغرانج).إذا كانت الوظيفة F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب] ويمكن تفاضله في جميع النقاط الداخلية لهذا المقطع، ثم داخل المقطع [ أ, ب] هناك نقطة واحدة على الأقل مع, أج ب ذلك

F(ب) – F(أ) = Fў( ج)(ب– أ).

نظرية نسبة الزيادات في وظيفتين (نظرية كوشي).لو F(س) و ز(س) - وظيفتان مستمرتان على القطعة [أ, ب] وقابلة للتمييز في جميع النقاط الداخلية لهذا الجزء، و زў( س) لا يختفي في أي مكان داخل هذا الجزء، ثم داخل المقطع [ أ, ب] هناك مثل هذه النقطة س = مع, أج ب ذلك

مشتقات أوامر مختلفة.

دع الوظيفة ذ =F(س) قابل للتمييز في فترة ما [ أ, ب]. القيم المشتقة F ў( س) ، بشكل عام، تعتمد على س، أي. المشتق F ў( س) هي أيضًا وظيفة س. عند اشتقاق هذه الدالة، نحصل على ما يسمى بالمشتق الثاني للدالة F(س)، وهو ما يشار إليه F ўў ( س).

المشتق ن-ترتيب الوظيفة F(س) يسمى المشتق (الرتبة الأولى) للمشتق ن- 1- th ويشار إليه بالرمز ذ(ن) = (ذ(ن– 1))+.

فروق أوامر مختلفة.

وظيفة التفاضلية ذ = F(س)، أين س- متغير مستقل، نعم دي = F ў( س)dx, بعض الوظائف من س, لكن من سفقط العامل الأول يمكن أن يعتمد F ў( س) العامل الثاني ( dx) هي زيادة المتغير المستقل سولا يعتمد على قيمة هذا المتغير. لأن ديهناك وظيفة من س، ثم يمكننا تحديد التفاضلية لهذه الوظيفة. يُطلق على تفاضلية الدالة اسم التفاضلية الثانية أو تفاضلية الدرجة الثانية لهذه الدالة ويشار إليها د 2ذ:

د(dx) = د 2ذ = F ўў( س)(dx) 2 .

التفاضلي ن-من الدرجة الأولى يسمى التفاضل الأول من التفاضل ن- 1- الترتيب العاشر:

د ن ص = د(د ن–1ذ) = F(ن)(س)dx(ن).

اشتقاق جزئي.

إذا كانت الوظيفة لا تعتمد على واحدة، بل على عدة وسيطات × ط(أنايختلف من 1 إلى ن,أنا= 1, 2,… ن),F(س 1,س 2,… س ن)، ثم في حساب التفاضل والتكامل يتم تقديم مفهوم المشتق الجزئي، الذي يميز معدل تغيير دالة لعدة متغيرات عندما تتغير وسيطة واحدة فقط، على سبيل المثال، × ط. المشتقة الجزئية من الدرجة الأولى فيما يتعلق بـ × طيتم تعريفه على أنه مشتق عادي، ومن المفترض أن جميع الحجج باستثناء × ط، احتفظ بقيم ثابتة. بالنسبة للمشتقات الجزئية، يتم تقديم الترميز

المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى المحددة بهذه الطريقة (كدوال لنفس الوسيطات) يمكن أن يكون لها بدورها مشتقات جزئية، وهي مشتقات جزئية من الدرجة الثانية، وما إلى ذلك. تسمى هذه المشتقات المأخوذة من حجج مختلفة مختلطة. المشتقات المختلطة المستمرة بنفس الترتيب لا تعتمد على ترتيب التمايز وهي متساوية مع بعضها البعض.

آنا تشوجينوفا

(\large\bf مشتق من دالة)

النظر في الوظيفة ص = و (س)، المحدد في الفاصل الزمني (أ، ب). يترك س- أي نقطة ثابتة في الفاصل الزمني (أ، ب)، أ Δx- رقم تعسفي بحيث تكون القيمة س+Δسينتمي أيضا إلى الفاصل الزمني (أ، ب). هذا العدد Δxتسمى زيادة الوسيطة.

تعريف. زيادة الوظيفة ص = و (س)عند هذه النقطة س، المقابلة لزيادة الوسيطة Δx، دعنا نتصل بالرقم

Δy = f(x+Δx) - f(x).

نحن نصدق ذلك Δس ≠ 0. النظر في نقطة ثابتة معينة سنسبة زيادة الدالة عند هذه النقطة إلى الزيادة المقابلة للوسيطة Δx

وسوف نسمي هذه العلاقة علاقة الفرق. منذ القيمة سنعتبرها ثابتة، ونسبة الفرق هي دالة للوسيطة Δx. يتم تعريف هذه الوظيفة لجميع قيم الوسيطات Δx، ينتمون إلى بعض الأحياء الصغيرة بما فيه الكفاية في هذه النقطة Δس=0باستثناء النقطة نفسها Δس=0. وبالتالي، لدينا الحق في النظر في مسألة وجود حد للوظيفة المحددة في Δس → 0.

تعريف. مشتق من وظيفة ص = و (س)عند نقطة ثابتة معينة سدعا الحد في Δس → 0نسبة الفرق، أي

بشرط وجود هذا الحد.

تعيين. ص '(خ)أو و '(خ).

المعنى الهندسي للمشتق: مشتق من وظيفة و (خ)عند هذه النقطة سيساوي ظل الزاوية المحصورة بين المحور ثورومماس للرسم البياني لهذه الوظيفة عند النقطة المقابلة:

و'(س 0) = \tgα.

المعنى الميكانيكي للمشتقات: مشتقة المسار بالنسبة إلى الزمن تساوي سرعة الحركة المستقيمة للنقطة:

معادلة المماس للخط ص = و (س)عند هذه النقطة م 0 (س 0، ص 0)يأخذ النموذج

ص-ص 0 = و'(س 0) (س-س 0).

العمودي على المنحنى عند نقطة ما هو العمودي على المماس عند نفس النقطة. لو و '(س 0) ≠ 0، ثم معادلة العمودي للخط ص = و (س)عند هذه النقطة م 0 (س 0، ص 0)مكتوب مثل هذا:

مفهوم تمايز الوظيفة

دع الوظيفة ص = و (س)محددة خلال فترة زمنية معينة (أ، ب), س- بعض قيمة الوسيطة الثابتة من هذا الفاصل الزمني، Δx- أي زيادة في الوسيطة بحيث تقل قيمة الوسيطة س+Δx ∈ (أ، ب).

تعريف. وظيفة ص = و (س)تسمى قابلة للتفاضل عند نقطة معينة س، إذا زادت Δyهذه الوظيفة عند هذه النقطة س، المقابلة لزيادة الوسيطة Δx، يمكن تمثيلها في النموذج

Δy = أ Δx + αΔx,

أين أ- عدد معين مستقل عن Δx، أ α - وظيفة الحجة Δx، وهو متناهية الصغر في × → 0.

منذ نتاج وظيفتين متناهية الصغر αΔxهو متناهية الصغر أكثر ترتيب عالي، كيف Δx(خاصية 3 دوال متناهية الصغر)، فيمكننا أن نكتب:

Δy = أ Δx +o(Δx).

نظرية. من أجل الوظيفة ص = و (س)كان قابلاً للتمييز عند نقطة معينة سفمن الضروري والكافي أن يكون له مشتق محدود في هذه المرحلة. حيث أ=و'(س)، إنه

Δy = f'(x) Δx +o(Δx).

عادة ما تسمى عملية إيجاد المشتق بالتمايز.

نظرية. إذا كانت الوظيفة ص = و (س) س، فهو مستمر عند هذه النقطة.

تعليق. من استمرارية الوظيفة ص = و (س)عند هذه النقطة سبشكل عام، لا يتبع اختلاف الوظيفة و (خ)عند هذه النقطة. على سبيل المثال، الدالة ص=|س|- مستمرة عند نقطة ما س = 0، ولكن ليس له مشتق.

مفهوم الوظيفة التفاضلية

تعريف. وظيفة التفاضلية ص = و (س)يسمى ناتج مشتق هذه الدالة وزيادة المتغير المستقل س:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

للوظيفة ص=سنحن نحصل dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx، إنه دكس=Δس- تفاضل متغير مستقل يساوي زيادة هذا المتغير.

وهكذا يمكننا أن نكتب

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

التفاضلي ديوزيادة Δyالمهام ص = و (س)عند هذه النقطة س، كلاهما يتوافق مع نفس زيادة الوسيطة Δxبشكل عام، ليست متساوية مع بعضها البعض.

المعنى الهندسي للتفاضلية: تفاضل الدالة يساوي زيادة إحداثيات المماس للرسم البياني لهذه الدالة عند زيادة الوسيطة Δx.

قواعد التمايز

نظرية. إذا كانت كل وظيفة ش(خ)و الخامس (خ)قابلة للتمييز عند نقطة معينة س، ثم مجموع هذه الوظائف وفرقها وحاصل حاصلها (حاصل الضرب بشرط ذلك الخامس (خ) ≠ 0) قابلة للتمييز أيضًا في هذه المرحلة، والصيغ تحمل:

النظر في الوظيفة المعقدة ص=و(φ(x))≡ F(x)، أين ص = و (ش), ش=φ(س). في هذه الحالة شمُسَمًّى حجة وسيطة, س - متغير مستقل.

نظرية. لو ص = و (ش)و ش=φ(س)هي وظائف قابلة للتمييز من حججهم، ثم مشتق من وظيفة معقدة ص=و(φ(س))موجود ويساوي حاصل ضرب هذه الدالة بالنسبة إلى الوسيطة ومشتقة الوسيطة بالنسبة إلى المتغير المستقل، أي.

تعليق. لوظيفة معقدة عبارة عن تراكب لثلاث وظائف ص=F(و(φ(x)))، قاعدة التمايز لها الشكل

y' x = y' u u' v v' x,

أين هي الوظائف ت=φ(س), ش = و (ت)و ص = و (ش)- وظائف مختلفة من حججهم.

نظرية. دع الوظيفة ص = و (س)يزيد (أو ينقص) ويستمر في بعض أحياء النقطة × 0. بالإضافة إلى ذلك، دع هذه الوظيفة تكون قابلة للتمييز عند النقطة المشار إليها × 0ومشتقاته في هذه المرحلة و '(س 0) ≠ 0. ثم في بعض أحياء النقطة المقابلة ص 0 = و(س 0)يتم تعريف معكوس ل ص = و (س)وظيفة س=و -1 (ص)والدالة العكسية المشار إليها قابلة للاشتقاق عند النقطة المقابلة ص 0 = و(س 0)ولمشتقاته في هذه المرحلة ذالصيغة صالحة

جدول المشتقات

ثبات شكل التفاضل الأول

دعونا نفكر في تفاضل دالة معقدة. لو ص = و (س), س=φ(ر)- دوال وسيطاتها قابلة للاشتقاق، ثم مشتقة الدالة ص=و(φ(ر))يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة

ذ' ر = ذ' س س' ر.

أ-بريوري دى=y't dt، ثم نحصل

dy = y' t dt = y' x · x' t dt = y' x (x' t dt) = y' x dx,

دي = ص 'س دكس.

لذلك أثبتنا

خاصية ثبات شكل التفاضل الأول للدالة: كما هو الحال عندما تكون الحجة سهو متغير مستقل، وفي حالة وجود الوسيطة سفي حد ذاته دالة قابلة للتفاضل للمتغير الجديد، التفاضلي ديالمهام ص = و (س)يساوي مشتقة هذه الدالة مضروبة في تفاضل الوسيطة dx.

تطبيق التفاضل في الحسابات التقريبية

وقد بينا أن التفاضل ديالمهام ص = و (س)وبشكل عام، لا يساوي الزيادة Δyهذه الوظيفة. ومع ذلك، بدقة تصل إلى ما لا نهاية وظيفة صغيرةترتيب أعلى من الصغر Δx، المساواة التقريبية صحيحة

Δy ≈ دي.

وتسمى النسبة الخطأ النسبي لمساواة هذه المساواة. لأن Δy-dy=o(Δx)فإن الخطأ النسبي لهذه المساواة يصبح صغيرا بقدر الرغبة مع التناقص |Δkh|.

معتبرا أن Δy=f(x+δ x)-f(x), دى = و'(س)Δx، نحن نحصل f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxأو

f(x+δ x) ≈ f(x) + f'(x)Δx.

هذه المساواة التقريبية تسمح بالخطأ س(Δس)استبدال الوظيفة و (خ)في حي صغير من النقطة س(أي للقيم الصغيرة Δx) وظيفة خطية للوسيطة Δx، واقفا على الجانب الأيمن.

مشتقات الترتيب العالي

تعريف. المشتق الثاني (أو المشتق من الدرجة الثانية) للدالة ص = و (س)ويسمى مشتق مشتقته الأولى.

تدوين للمشتق الثاني من وظيفة ص = و (س):

المعنى الميكانيكي للمشتق الثاني. إذا كانت الوظيفة ص = و (س)يصف قانون حركة نقطة مادية في خط مستقيم، ثم المشتقة الثانية و "(خ)يساوي تسارع نقطة متحركة في لحظة من الزمن س.

يتم تحديد المشتقات الثالثة والرابعة بالمثل.

تعريف. نالمشتقة (أو المشتقة ن-الترتيب) وظائف ص = و (س)ويسمى مشتق منه ن-1المشتقة الرابعة :

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

التسميات: ذ"", ذ الرابع, ذ فإلخ.

المعنى الهندسي للمشتق

تعريف المماس للمنحنى مماس لمنحنى ص=ƒ(س)عند هذه النقطة ميسمى الموضع المحدد للقاطع المرسوم عبر نقطة ما موالنقطة المجاورة له م 1المنحنى، بشرط أن تكون هذه النقطة م 1يقترب إلى أجل غير مسمى على طول المنحنى إلى النقطة م. المعنى الهندسي للمشتقات مشتق من وظيفة ص=ƒ(س)عند هذه النقطة X 0 يساوي عدديًا ظل زاوية الميل على المحور أوهمماس للمنحنى ص=ƒ(س)عند هذه النقطة م (× 0؛ ƒ(× 0)).

الاختلاف DOTIC إلى المنحنى منقط إلى المنحنى ص=ƒ(س)بالضبط ميسمى الموضع الحدي للخط المرسوم عبر النقطة موالنقطة التالية معها م 1ملتوية، للعقل، ما هي النقطة م 1المنحنى يقترب حتما من هذه النقطة م. هندسي ZMIST POKHIDNOI وظائف مماثلة ص=ƒ(س)بالضبط × 0يساوي عدديا ظل الميل للمحور أوه dotic، نفذت إلى المنحنى ص=ƒ(س)بالضبط م (× 0؛ ƒ(× 0)).

المعنى العملي للمشتقات

لنفكر في المعنى العملي للكمية التي وجدناها كمشتقة لدالة معينة.

أولاً، المشتق- هذا هو المفهوم الأساسي لحساب التفاضل، الذي يصف معدل تغير الدالة عند نقطة معينة.

ما هو "معدل التغيير"؟ دعونا نتخيل الوظيفة و(خ) = 5. وبغض النظر عن قيمة الوسيط (x) فإن قيمته لا تتغير بأي شكل من الأشكال. أي أن معدل تغيره يساوي صفرًا.

الآن فكر في الوظيفة و(خ) = س. مشتق x يساوي واحدًا. في الواقع، من السهل ملاحظة أنه مقابل كل تغيير في الوسيطة (x) بمقدار واحد، تزيد قيمة الدالة أيضًا بمقدار واحد.

من وجهة نظر المعلومات الواردة، الآن دعونا نلقي نظرة على جدول مشتقات الوظائف البسيطة. وبناء على ذلك يصبح الأمر واضحا على الفور المعنى الجسديالعثور على مشتقة وظيفة. يجب أن يسهل هذا الفهم حل المشكلات العملية.

وبناء على ذلك، إذا كانت المشتقة تظهر معدل تغير الدالة، فإن المشتقة المزدوجة تظهر التسارع.

2080.1947