طريقة التباين للمعادلات الخطية. حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الرتب الأعلى بطريقة لاغرانج. التحولات الاجتماعية. الدولة والكنيسة

يتم استخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لحل غير المتجانسة المعادلات التفاضلية... هذا الدرس مخصص للطلاب الذين هم بالفعل على دراية بالموضوع بشكل أو بآخر. إذا كنت قد بدأت للتو في التعرف على DU ، أي إذا كنت من إبريق الشاي ، فإنني أوصي بالبدء بالدرس الأول: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة على الحلول... وإذا كنت قد انتهيت بالفعل ، فيرجى تجاهل الفكرة المسبقة المحتملة بأن الطريقة صعبة. لأنه بسيط.

في أي حالات يتم تطبيق طريقة اختلاف الثوابت التعسفية؟

1) يمكن استخدام طريقة تغيير الثابت التعسفي لحلها خطي غير منتظم DE من الدرجة الأولى... نظرًا لأن المعادلة من الدرجة الأولى ، فإن الثابت (الثابت) هو أيضًا واحد.

2) يستخدم أسلوب اختلاف الثوابت التعسفية في حل بعضها المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية... هناك ثوابتان تختلفان هنا.

من المنطقي أن نفترض أن الدرس سيتكون من فقرتين…. لقد كتبت هذا الاقتراح ، ولمدة 10 دقائق فكرت بشكل مؤلم في الحماقات الذكية الأخرى التي يجب إضافتها من أجل الانتقال السلس إلى الأمثلة العملية. لكن لسبب ما ، لا توجد أفكار بعد الأعياد ، على الرغم من أنه لا يبدو أنه يسيء إلى أي شيء. لذلك ، دعنا ننتقل مباشرة إلى الفقرة الأولى.

طريقة التباين للثابت التعسفي
لمعادلة الدرجة الأولى الخطية غير المتجانسة

قبل النظر في طريقة تغيير الثابت التعسفي ، يُنصح بالتعرف على المقالة المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى... في هذا الدرس ، تدربنا الحل الأولغير موحدة DE من الدرجة الأولى. اسمحوا لي أن أذكرك أن هذا الحل الأول يسمى طريقة الاستبدالأو طريقة برنولي(لا ينبغي الخلط بينه وبين معادلة برنولي!!!)

سننظر الآن الحل الثاني- طريقة تغيير ثابت اعتباطي. سأعطي ثلاثة أمثلة فقط ، وسوف آخذها من الدرس أعلاه. لماذا القليل جدا؟ لأنه في الواقع سيكون الحل بالطريقة الثانية مشابهًا جدًا للحل في الطريقة الأولى. بالإضافة إلى ذلك ، وفقًا لملاحظاتي ، يتم استخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية في كثير من الأحيان أقل من طريقة الاستبدال.

مثال 1

(اختلاف من المثال رقم 2 من الدرس خطي غير متجانس من الدرجة الأولى)

حل:هذه المعادلة خطية غير متجانسة ولها شكل مألوف:

الخطوة الأولى هي حل معادلة أبسط:
أي أننا بغباء نحصل على صفر من الطرف الأيمن - بدلاً من كتابة الصفر.
المعادلة ساتصل معادلة مساعدة.

في هذا المثال ، تحتاج إلى حل المعادلة المساعدة التالية:

قبلنا معادلة قابلة للفصل، لم يعد حلها (نأمل) صعبًا عليك:

هكذا:
- الحل العام للمعادلة المساعدة.

في الخطوة الثانية يحل محلثابت للبعض بعدوظيفة غير معروفة تعتمد على "x":

ومن هنا اسم الطريقة - نغير الثابت. بدلاً من ذلك ، قد يكون الثابت هو بعض الوظائف التي يتعين علينا إيجادها الآن.

الخامس أصليمعادلة غير متجانسة سوف نستبدل:

البديل و في المعادلة :

لحظة التحكم - الحدين على اليسار يلغيان... إذا لم يحدث هذا ، يجب أن تبحث عن الخطأ أعلاه.

نتيجة للاستبدال ، يتم الحصول على معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. افصل بين المتغيرات ودمجها.

يا لها من نعمة ، فإن العارضين يتراجعون أيضًا:

أضف الثابت "العادي" إلى الوظيفة التي تم العثور عليها:

تشغيل المرحلة الأخيرةتذكر عن بديلنا:

وجدت الوظيفة للتو!

لذا فإن الحل العام هو:

إجابة:قرار مشترك:

إذا قمت بطباعة حلين ، فستلاحظ بسهولة أنه في كلتا الحالتين وجدنا نفس التكاملات. الاختلاف الوحيد في خوارزمية الحل.

الآن بالنسبة لشيء أكثر تعقيدًا ، سأعلق على المثال الثاني:

مثال 2

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
(اختلاف من المثال رقم 8 من الدرس خطي غير متجانس من الدرجة الأولى)

حل:دعونا نحضر المعادلة إلى النموذج :

دعونا نصفر الجانب الأيمن ونحل المعادلة المساعدة:

الحل العام للمعادلة المساعدة:

في المعادلة غير المتجانسة ، سنستبدل:

حسب قاعدة تمايز المنتج:

البديل و في المعادلة الأصلية غير المتجانسة:

تم إلغاء المصطلحين على اليسار ، مما يعني أننا على الطريق الصحيح:

نتكامل بالأجزاء. تم بالفعل استخدام الحرف اللذيذ من صيغة التكامل حسب الأجزاء في الحل ، لذلك نستخدم ، على سبيل المثال ، الحرفين "a" و "be":

الآن نتذكر الاستبدال:

إجابة:قرار مشترك:

ومثال واحد لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 3

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية المقابلة لشرط ابتدائي معين.

,
(اختلاف من المثال رقم 4 من الدرس خطي غير متجانس من الدرجة الأولى)
حل:
هذا DE خطي غير متجانس. نستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. لنحل المعادلة المساعدة:

افصل المتغيرات ودمجها:

قرار مشترك:
في المعادلة غير المتجانسة ، سنستبدل:

لنقم بالاستبدال:

لذا فإن الحل العام هو:

دعونا نجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد:

إجابة:حل خاص:

يمكن أن يكون الحل في نهاية الدرس بمثابة مثال تقريبي لإنهاء المهمة.

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية
لمعادلة الدرجة الثانية الخطية غير المتجانسة
مع معاملات ثابتة

كثيرًا ما سمعنا الرأي القائل بأن طريقة تغيير الثوابت التعسفية لمعادلة من الدرجة الثانية ليست بالأمر السهل. لكن تخميني هو التالي: على الأرجح ، تبدو الطريقة صعبة للكثيرين ، لأنها ليست شائعة جدًا. لكن في الواقع لا توجد صعوبات خاصة - مسار القرار واضح وشفاف ومفهوم. و جميل.

لإتقان الطريقة ، من المستحسن أن تكون قادرًا على حل معادلات الدرجة الثانية غير المتجانسة عن طريق اختيار حل معين في شكل الجانب الأيمن. تمت مناقشة هذه الطريقة بالتفصيل في المقالة. DE غير متجانسة من الدرجة الثانية... نتذكر أن المعادلة الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة لها الشكل:

طريقة الاختيار ، التي تم أخذها في الاعتبار في الدرس أعلاه ، تعمل فقط في عدد محدود من الحالات عندما تكون كثيرات الحدود ، الأس ، الجيب ، جيب التمام على الجانب الأيمن. ولكن ماذا تفعل عندما تكون على اليمين ، على سبيل المثال ، كسر ، لوغاريتم ، ظل؟ في مثل هذه الحالة ، تأتي طريقة اختلاف الثوابت في الإنقاذ.

مثال 4

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية

حل:يوجد كسر في الجانب الأيمن من هذه المعادلة ، لذا يمكننا أن نقول على الفور أن طريقة اختيار حل معين لا تعمل. نستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

لا شيء ينذر بعاصفة رعدية ، بداية الحل عادية تمامًا:

تجد قرار مشتركالمقابلة متجانسالمعادلات:

دعونا نؤلف ونحل المعادلة المميزة:


- يتم الحصول على الجذور المعقدة المترافقة لذلك الحل العام هو:

انتبه إلى سجل الحل العام - إذا كانت هناك أقواس ، فسنقوم بتوسيعها.

الآن نقوم بنفس الحيلة تقريبًا مثل معادلة الدرجة الأولى: نغير الثوابت ، ونستبدلها بوظائف غير معروفة. هذا هو، الحل العام غير المتجانسةسنبحث عن المعادلات بالصيغة:

أين - بعدوظائف غير معروفة.

يبدو وكأنه مكب للنفايات المنزلية ، لكننا سنقوم الآن بفرز كل شيء.

مشتقات الوظائف تعمل كمجهول. هدفنا هو إيجاد المشتقات ، ويجب أن تحقق المشتقات الموجودة المعادلتين الأولى والثانية للنظام.

من أين تأتي "الألعاب"؟ اللقلق يجلبهم. ننظر إلى الحل العام الذي تم الحصول عليه سابقًا ونكتب:

أوجد المشتقات:

مع الأجزاء اليسرى مرتبة. ماذا يوجد على اليمين؟

هو الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية ، في هذه الحالة:

المعامل هو المعامل عند المشتق الثاني:

من الناحية العملية ، دائمًا تقريبًا ، ومثالنا ليس استثناءً.

تم توضيح كل شيء ، يمكنك الآن إنشاء نظام:

عادة ما يتم تحديد النظام بواسطة صيغ كرامرباستخدام خوارزمية قياسية. الاختلاف الوحيد هو أنه بدلاً من الأرقام ، لدينا وظائف.

لنجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا كنت قد نسيت كيف يتم الكشف عن المحدد "اثنان في اثنين" ، فارجع إلى الدرس كيف تحسب المحدد؟الرابط يؤدي إلى مجلس العار =)

إذن: هذا يعني أن النظام لديه حل فريد.

أوجد المشتق:

لكن هذا ليس كل شيء ، فقد وجدنا حتى الآن المشتق فقط.
يتم استعادة الوظيفة نفسها عن طريق التكامل:

دعونا نتعامل مع الوظيفة الثانية:

هنا نضيف ثابت "عادي"

في المرحلة الأخيرة من الحل ، نتذكر في أي شكل كنا نبحث عن الحل العام للمعادلة غير المتجانسة؟ في مثل:

تم العثور على الوظائف التي تبحث عنها للتو!

يبقى إجراء التبديل وكتابة الإجابة:

إجابة:قرار مشترك:

من حيث المبدأ ، يمكن توسيع الأقواس في الإجابة.

يتم إجراء التحقق الكامل من الإجابة وفقًا للمخطط القياسي الذي تمت مناقشته في الدرس DE غير متجانسة من الدرجة الثانية... لكن التحقق لن يكون سهلاً ، لأنه من الضروري إيجاد مشتقات ثقيلة إلى حد ما وإجراء استبدال مرهق. هذه ميزة غير سارة عندما تتعامل مع انتشار مثل هذا.

مثال 5

حل معادلة تفاضلية عن طريق تغيير الثوابت التعسفية

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. في الواقع ، الجانب الأيمن أيضًا كسر. نتذكر الصيغة المثلثية ، بالمناسبة ، ستحتاج إلى تطبيقها في سياق الحل.

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية هي الطريقة الأكثر تنوعًا. يمكنهم حل أي معادلة تم حلها عن طريق اختيار حل معين حسب شكل الجانب الأيمن... السؤال الذي يطرح نفسه ، لماذا لا تستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية هناك أيضًا؟ الجواب واضح: اختيار الحل الخاص الذي تم تناوله في الدرس معادلات غير متجانسة من الدرجة الثانية، يؤدي إلى تسريع الحل بشكل كبير ويقصر الكتابة - لا داعي للقلق مع المحددات والتكاملات.

النظر في مثالين مع مشكلة كوشي.

مثال 6

أوجد حلًا معينًا للمعادلة التفاضلية المطابقة للشروط الأولية المحددة

,

حل:مرة أخرى الكسر والأس في مكان مثير للاهتمام.
نستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

تجد قرار مشتركالمقابلة متجانسالمعادلات:



- يتم الحصول على جذور حقيقية مختلفة ، فالحل العام هو:

الحل العام غير المتجانسةنبحث عن المعادلات بالصيغة: ، أين - بعدوظائف غير معروفة.

لنؤلف النظام:

في هذه الحالة:
,
ابحث عن المشتقات:
,

هكذا:

نحل النظام باستخدام معادلات كرامر:
، مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

نستعيد الوظيفة من خلال دمج:

تستخدم هنا طريقة إحضار دالة تحت العلامة التفاضلية.

نستعيد الوظيفة الثانية من خلال دمج:

يتم حل هذا التكامل طريقة الاستبدال المتغيرة:

من الاستبدال نفسه ، نعبر عن:

هكذا:

يمكن إيجاد هذا التكامل طريقة اختيار المربع الكامل، لكن في الأمثلة ذات الاختلافات ، أفضل توسيع الكسر طريقة المعاملات غير المحددة:

تم العثور على كلتا الوظيفتين:

نتيجة لذلك ، فإن الحل العام للمعادلة غير المتجانسة هو:

دعونا نجد حلا خاصا يلبي الشروط الأولية .

من الناحية الفنية ، يتم البحث عن حل بالطريقة القياسية ، والتي تمت مناقشتها في المقالة المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية.

انتظر ، سنجد الآن مشتق الحل المشترك الموجود:

هنا مثل هذا العار. ليس من الضروري تبسيطها ؛ فمن الأسهل تكوين نظام معادلات على الفور. حسب الشروط الاولية :

عوّض بالقيم الموجودة في الثوابت في حل عام:

في الإجابة ، يمكن تعبئة اللوغاريتمات قليلاً.

إجابة:حل خاص:

كما ترى ، يمكن أن تنشأ الصعوبات في التكاملات والمشتقات ، ولكن ليس في خوارزمية طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. لم أكن أنا من أرهبك ، هذه كلها مجموعة كوزنتسوف!

للاسترخاء ، مثال أخير أبسط لحل افعلها بنفسك:

مثال 7

حل مشكلة كوشي

,

مثال بسيط ، لكنه مبدع ، عندما تنشئ نظامًا ، ألق نظرة فاحصة عليه قبل أن تقرر ؛-) ،




نتيجة لذلك ، الحل العام هو:

دعونا نجد حلا خاصا يتوافق مع الشروط الأولية .



دعنا نستبدل القيم التي تم العثور عليها من الثوابت في الحل العام:

إجابة:حل خاص:

فكر الآن في المعادلة الخطية غير المتجانسة
. (2)
لنفترض أن y 1 ، y 2 ، .. ، y n هو النظام الأساسي للحلول ، ويكون الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة L (y) = 0. على غرار معادلات الدرجة الأولى ، سنبحث عن حل للمعادلة (2) في النموذج
. (3)
لنتأكد من وجود الحل بهذه الصورة. للقيام بذلك ، نعوض بالدالة في المعادلة. للتعويض بهذه الدالة في المعادلة ، نجد مشتقاتها. المشتق الأول هو
. (4)
عند حساب المشتق الثاني ، ستظهر أربعة حدود على الجانب الأيمن من (4) ، عند حساب المشتق الثالث ، ستظهر ثمانية حدود ، وهكذا. لذلك ، لتسهيل المزيد من العمليات الحسابية ، يُفترض أن يكون المصطلح الأول في (4) صفرًا. مع أخذ هذا في الاعتبار ، فإن المشتق الثاني هو
. (5)
للأسباب نفسها كما في السابق ، في (5) قمنا أيضًا بتعيين المصطلح الأول يساوي صفرًا. أخيرًا ، المشتق n هو
. (6)
بالتعويض عن القيم التي تم الحصول عليها من المشتقات في المعادلة الأصلية ، لدينا
. (7)
المصطلح الثاني في (7) يساوي صفرًا ، لأن الدوال y j ، j = 1،2 ، .. ، n ، هي حلول للمعادلة المتجانسة المقابلة L (y) = 0. بالدمج مع السابق ، نحصل على نظام من المعادلات الجبرية لإيجاد الوظائف C "j (x)
(8)
محدد هذا النظام هو محدد Wronskii للنظام الأساسي للحلول y 1، y 2، ..، y n للمعادلة المتجانسة المقابلة L (y) = 0 وبالتالي لا يساوي الصفر. لذلك يوجد حل فريد للنظام (8). بعد العثور عليه ، نحصل على الدوال C "j (x) ، j = 1،2 ، ... ، n ، وبالتالي ، C j (x) ، j = 1،2 ، ... ، n استبدال هذه القيم إلى (3) ، نحصل على حل لمعادلة خطية غير متجانسة.
تسمى الطريقة الموصوفة طريقة تغيير الثابت التعسفي أو طريقة لاغرانج.

مثال 1. أوجد الحل العام للمعادلة y "" + 4y "+ 3y = 9e -3 x. ضع في اعتبارك المعادلة المتجانسة المقابلة y" "+ 4y" + 3y = 0. جذور معادلتها المميزة r 2 + 4r + 3 = 0 يساوي -1 و - 3. لذلك ، يتكون النظام الأساسي للحلول للمعادلة المتجانسة من الدالتين y 1 = e - x و y 2 = e -3 x. نسعى لحل المعادلة غير المتجانسة بالصيغة y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. لإيجاد المشتقات C "1، C" 2 ، نقوم بتكوين نظام المعادلات (8)
C ′ 1 e -x + C ′ 2 e -3x = 0
-C ′ 1 e -x -3C ′ 2 e -3x = 9e -3x
لحل ذلك ، نجد ، دمج الوظائف التي تم الحصول عليها ، لدينا
وصلنا أخيرا

المثال رقم 2. حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة بطريقة تغيير الثوابت التعسفية:

ص (0) = 1 + 3ln3
ص "(0) = 10ln3

حل:
تشير هذه المعادلة التفاضلية إلى المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة.
سنبحث عن حل للمعادلة بالصيغة y = e rx. للقيام بذلك ، نقوم بتكوين المعادلة المميزة لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة:
ص 2-6 ص + 8 ​​= 0
د = (-6) 2-4 1 8 = 4

جذور المعادلة المميزة: r 1 = 4 ، r 2 = 2
وبالتالي ، فإن نظام الحلول الأساسي يتكون من الدوال: y 1 = e 4x ، y 2 = e 2x
الحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
ابحث عن حل معين بطريقة تغيير ثابت اعتباطي.
لإيجاد المشتقات C "i ، نؤلف نظام معادلات:
ج 1 e 4x + C ′ 2 e 2x = 0
ج 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
دعونا نعبر عن C "1 من المعادلة الأولى:
ج "1 = -c 2 e -2x
واستبدل في الثانية. نتيجة لذلك ، نحصل على:
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
ج "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
نقوم بدمج الوظائف التي تم الحصول عليها C "i:
ج 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
ج 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2

بما أن y = C 1 e 4x + C 2 e 2x ، فإننا نكتب التعبيرات التي تم الحصول عليها بالصيغة:
ج 1 = (2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
ج 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
وبالتالي ، فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية له الشكل:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
أو
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

دعنا نجد حلاً معينًا مقدمًا:
ص (0) = 1 + 3ln3
ص "(0) = 10ln3

بالتعويض عن x = 0 في المعادلة التي تم إيجادها ، نحصل على:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
أوجد المشتق الأول للحل العام الناتج:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2)
استبدال x = 0 ، نحصل على:
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

نحصل على نظام من معادلتين:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
أو
ج * 1 + ج * 2 = 2
4 ج 1 + 2 ج 2 = 4
أو
ج * 1 + ج * 2 = 2
2 ج 1 + ج 2 = 2
حيث: C 1 = 0 ، C * 2 = 2
سيتم كتابة الحل الخاص على النحو التالي:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

تم الأخذ بعين الاعتبار طريقة لحل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الرتب الأعلى ذات المعاملات الثابتة بطريقة تغيير ثوابت لاجرانج. طريقة لاغرانج قابلة للتطبيق أيضًا في حل أي معادلات خطية غير متجانسة إذا كان النظام الأساسي لحلول المعادلة المتجانسة معروفًا.

المحتوى

أنظر أيضا:

طريقة لاغرانج (اختلاف الثوابت)

ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة بترتيب تعسفي من الرتبة n:
(1) .
طريقة تغيير الثابت ، التي أخذناها في الاعتبار لمعادلة الدرجة الأولى ، قابلة للتطبيق أيضًا على المعادلات ذات الترتيب الأعلى.

يتم تنفيذ الحل على مرحلتين. في الخطوة الأولى ، نتجاهل الطرف الأيمن ونحل المعادلة المتجانسة. نتيجة لذلك ، نحصل على حل يحتوي على n من الثوابت التعسفية. في المرحلة الثانية نغير الثوابت. أي أننا نعتبر أن هذه الثوابت هي دوال للمتغير المستقل x ونجد شكل هذه الدوال.

على الرغم من أننا نفكر في المعادلات ذات المعاملات الثابتة هنا ، ولكن طريقة لاجرانج قابلة للتطبيق أيضًا في حل أي معادلات خطية غير متجانسة... لهذا ، ومع ذلك ، يجب معرفة النظام الأساسي لحلول المعادلة المتجانسة.

الخطوة 1. حل المعادلة المتجانسة

كما في حالة المعادلات من الدرجة الأولى ، نبحث أولاً عن حل عام للمعادلة المتجانسة ، معادلة الجانب الأيمن غير المتجانس بالصفر:
(2) .
الحل العام لهذه المعادلة له الشكل:
(3) .
هنا ثوابت اعتباطية. - ن حلول مستقلة خطيًا للمعادلة المتجانسة (2) ، والتي تشكل نظامًا أساسيًا لحلول هذه المعادلة.

الخطوة 2. تغيير الثوابت - استبدال الثوابت بالوظائف

في الخطوة الثانية ، سنتناول تباين الثوابت. بمعنى آخر ، سنستبدل الثوابت بوظائف المتغير المستقل x:
.
أي أننا نبحث عن حل للمعادلة الأصلية (1) بالشكل التالي:
(4) .

إذا استبدلنا (4) في (1) ، فسنحصل على معادلة تفاضلية واحدة لدالة n. علاوة على ذلك ، يمكننا ربط هذه الوظائف بمعادلات إضافية. ثم تحصل على معادلات n ، والتي يمكنك من خلالها تحديد دالة n. يمكن بناء معادلات إضافية بطرق مختلفة. لكننا سنفعل ذلك بحيث يكون للحل أبسط شكل. لهذا ، أثناء التفاضل ، من الضروري أن تساوي صفرًا من المصطلحات التي تحتوي على مشتقات الوظائف. دعونا نوضح هذا.

لتعويض الحل المقترح (4) في المعادلة الأصلية (1) ، نحتاج إلى إيجاد مشتقات أول n من أوامر الدالة المكتوبة بالصيغة (4). نفرق (4) بتطبيق قواعد التفريق بين المجموع والمنتج:
.
دعونا نجمع الأعضاء. أولاً ، نكتب المصطلحات ذات المشتقات من ، ثم - المصطلحات ذات المشتقات من:

.
لنفرض الشرط الأول على الوظائف:
(5.1) .
ثم سيكون التعبير الخاص بالمشتق الأول بالنسبة لـ شكل أبسط:
(6.1) .

أوجد المشتق الثاني بنفس الطريقة:

.
لنفرض الشرط الثاني على الوظائف:
(5.2) .
ثم
(6.2) .
إلخ. في شروط إضافية ، قمنا بتعيين المصطلحات التي تحتوي على مشتقات الوظائف على صفر.

وبالتالي ، إذا اخترت المعادلات الإضافية التالية للوظائف:
(5.k) ,
إذن ، فإن المشتقات الأولى فيما يتعلق بـ سيكون لها أبسط صورة:
(6.k) .
هنا .

أوجد المشتق n:
(6.n)
.

استبدل بالمعادلة الأصلية (1):
(1) ;






.
دعونا نأخذ في الاعتبار أن جميع الوظائف تحقق المعادلة (2):
.
ثم يعطي مجموع المصطلحات التي تحتوي على صفر. نتيجة لذلك ، نحصل على:
(7) .

نتيجة لذلك ، حصلنا على نظام المعادلات الخطية للمشتقات:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ′) .

لحل هذا النظام ، نجد مقادير للمشتقات كدالة في المتغير x. التكامل ، نحصل على:
.
فيما يلي ثوابت لم تعد تعتمد على x. بالتعويض في (4) ، نحصل على الحل العام للمعادلة الأصلية.

لاحظ أننا لم نستخدم في أي مكان حقيقة أن المعاملات a i ثابتة لتحديد قيم المشتقات. لهذا السبب طريقة لاجرانج قابلة للتطبيق لحل أي معادلات خطية غير متجانسةإذا كان النظام الأساسي للحلول للمعادلة المتجانسة (2) معروفًا.

أمثلة على

يحل المعادلات بطريقة اختلاف الثوابت (لاجرانج).


أمثلة الحل >>>

أنظر أيضا: حل المعادلات من الدرجة الأولى بطريقة تغير الثابت (لاجرانج)
حل المعادلات ذات الترتيب الأعلى بطريقة برنولي
حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الدرجة العالية ذات المعاملات الثابتة بالتعويض الخطي

محاضرة 44. معادلات خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية. طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. (الجانب الأيمن الخاص).

التحولات الاجتماعية. الدولة والكنيسة.

كانت السياسة الاجتماعية للبلاشفة تمليها إلى حد كبير نهجهم الطبقي.بموجب مرسوم صادر في 10 نوفمبر 1917 ، تم تدمير نظام التركة وإلغاء الرتب والألقاب والجوائز قبل الثورة. تم تحديد انتخاب القضاة ؛ تم تنفيذ علمنة الدول المدنية. تم إنشاء التعليم والرعاية الطبية المجانية (مرسوم 31 أكتوبر 1918). تم منح المرأة حقوقًا متساوية مع الرجل (المراسيم الصادرة في 16 و 18 ديسمبر 1917). أدخل مرسوم الزواج مؤسسة الزواج المدني.

بموجب مرسوم مجلس مفوضي الشعب في 20 يناير 1918 ، تم فصل الكنيسة عن الدولة وعن نظام التعليم. تمت مصادرة معظم ممتلكات الكنيسة. بطريرك موسكو وعموم روسيا تيخون (انتخب في 5 نوفمبر 1917) في 19 يناير 1918 القوة السوفيتيةودعوا إلى محاربة البلاشفة.

ضع في اعتبارك المعادلة الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية

يتم تحديد بنية الحل العام لمثل هذه المعادلة من خلال النظرية التالية:

نظرية 1.يتم تمثيل الحل العام للمعادلة غير المتجانسة (1) كمجموع لبعض الحلول المعينة لهذه المعادلة والحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة

دليل... من الضروري إثبات أن المبلغ

هو الحل العام للمعادلة (1). دعنا نثبت أولاً أن الوظيفة (3) هي حل للمعادلة (1).

استبدال المجموع بالمعادلة (1) بدلاً من في، سوف نحصل على

نظرًا لوجود حل للمعادلة (2) ، فإن التعبير الموجود بين الأقواس الأولى يساوي صفرًا بشكل مماثل. نظرًا لوجود حل للمعادلة (1) ، فإن التعبير بين الأقواس الثانية يساوي و (خ)... لذلك فإن المساواة (4) هي هوية. وهكذا ، تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

دعونا نثبت العبارة الثانية: التعبير (3) هو جنرال لواءحل المعادلة (1). يجب أن نثبت أن الثوابت التعسفية المتضمنة في هذا التعبير يمكن اختيارها بحيث تتحقق الشروط الأولية:

مهما كانت الأرقام س 0 ، ص 0و (فقط لو × 0تم أخذها من المنطقة التي توجد بها وظائف أ 1 ، أ 2و و (خ)مستمر).

ملاحظة ما يمكن تمثيله في النموذج. بعد ذلك ، بناءً على الشروط (5) ، سيكون لدينا

دعونا نحل هذا النظام ونعرف ج 1و ج 2... دعنا نعيد كتابة النظام على النحو التالي:

لاحظ أن محدد هذا النظام هو محدد Wronski للوظائف في 1و في 2في هذه النقطة س = س 0... نظرًا لأن هذه الوظائف مستقلة خطيًا عن طريق الفرضية ، فإن محدد Vronsky لا يساوي الصفر ؛ لذلك ، فإن النظام (6) له حل محدد ج 1و ج 2، بمعنى آخر. هناك مثل هذه القيم ج 1و ج 2، والتي تحدد الصيغة (3) حل المعادلة (1) التي تفي بالشروط الأولية المحددة. Q.E.D.

دعونا ننتقل إلى الطريقة العامة لإيجاد حلول معينة لمعادلة غير متجانسة.

دعونا نكتب الحل العام للمعادلة المتجانسة (2)

سنبحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة (1) في الشكل (7) ، مع الأخذ في الاعتبار ج 1و ج 2كما أن بعض الوظائف غير المعروفة حتى الآن من NS.

دعونا نفرق المساواة (7):

دعونا نختار الوظائف المطلوبة ج 1و ج 2بحيث المساواة

إذا تم أخذ هذا الشرط الإضافي في الاعتبار ، فإن المشتق الأول يأخذ الشكل

بتفريق هذا التعبير الآن ، نجد:

بالتعويض في المعادلة (1) ، نحصل عليها

تختفي التعبيرات الموجودة في أول قوسين بسبب ص 1و ص 2- حلول معادلة متجانسة. وبالتالي ، تأخذ المساواة الأخيرة الشكل

وبالتالي ، فإن الوظيفة (7) ستكون حلاً للمعادلة غير المتجانسة (1) إذا كانت الوظائف ج 1و ج 2استيفاء المعادلتين (8) و (9). دعونا نؤلف نظام المعادلات من المعادلتين (8) و (9).

نظرًا لأن محدد هذا النظام هو محدد Wronski للحلول المستقلة خطيًا ص 1و ص 2المعادلة (2) فلا تساوي الصفر. لذلك ، في حل النظام ، نجد وظائف محددة لـ NS:

لحل هذا النظام ، نجد أين نحصل عليه نتيجة التكامل. بعد ذلك ، نستبدل الدوال الموجودة في الصيغة ، نحصل على الحل العام للمعادلة غير المتجانسة ، حيث توجد ثوابت عشوائية.