المعادلات التفاضلية. طريقة التفاضل المتسلسل

تسمى المعادلات التفاضلية العادية مثل هذه المعادلات التي تحتوي على مشتق واحد أو أكثر للوظيفة المرغوبة y = y (x)

F (x، y، y 1،…، y (n)) = 0 حيث x هو المتغير المستقل.

حل المعادلة التفاضلية هو وظيفة ، بعد استبدالها في المعادلة ، تحولها إلى انتصار.

بعض طرق الحل معروفة في سياق المعادلات التفاضلية. بالنسبة لعدد من المعادلات من الدرجة الأولى (مع المتغيرات القابلة للفصل ، والمتجانسة ، والخطية ، وما إلى ذلك) ، من الممكن الحصول على حل في شكل صيغ عن طريق التحويلات التحليلية.

في معظم الحالات ، يتم استخدام الطرق التقريبية لحل المعادلات التفاضلية ، والتي يمكن تقسيمها إلى مجموعتين:

1) طرق تحليلية تعطي حلاً في شكل تعبير تحليلي ؛

2) الطرق العددية التي تعطي حلاً تقريبيًا على شكل جدول.

ضع في اعتبارك هذه الطرق في شكل الأمثلة التالية.

8.1 طريقة التمايز المتتالية.

ضع في اعتبارك المعادلة:

مع الشروط الأولية ، أين يتم إعطاء أرقام.

افترض أن الحل المرغوب y = f (x) يمكن حله في سلسلة Taylor في قوى الاختلاف (x-x 0):

2 ن +….

تعطينا الشروط الأولية (8.2) القيم y (k) (x 0) لـ k = 0،1،2 ، ... ، (n-1). نجد قيم y (n) (x 0) من المعادلة (8.1) ، والاستعاضة عن (x-x 0) وباستخدام الشروط الأولية (8.2):

y (n) (x 0) = f (x 0، y 0، y "0، ...، y 0 (n-1))

يتم تحديد القيم y (n + 1) (x 0) و y (n + 2) (x 0) ... على التوالي عن طريق تمييز المعادلة (8.1) والاستعاضة عن x = x 0، y (k) (x 0) = ص 0 ك (ك - 0.1.2).

مثال:أوجد الحدود السبعة الأولى لتمديد سلسلة الأس للحل y = y (x) للمعادلة y "" +0.1 (y ") 2 + (1 + 0.1x) y = 0 بالشروط الأولية y (0) = 1 ؛ ص "(0) = 2.

المحلول:نبحث عن حل المعادلة على شكل سلسلة:

y (x) = y (0) + y "(0) x / 1! + y" "(0) x 2 /2!+...+y (n) (0) x n / n! ...

من الشروط الأولية ، لدينا y (0) = 1 ، y "(0) = 2. لتحديد y" "(0) ، نحل هذه المعادلة لـ y" ":

ص "(0) = - 0.1 (ص") 2 - (1 + 0.1 س) ص (8.3)

باستخدام الشروط الأولية ، نحصل عليها

ص "" (0) = -0.1 * 4-1 * 1 = -1.4

الاشتقاق فيما يتعلق بـ x طرفي المعادلة الأيمن والأيسر (8.3)

ص "" = - 0.2 س "ص" - 0.1 (س ص "+ ص) - ص" ،

ص (4) = - 0.2 (ص "ص" "" + ص "" 2) - 0.1 (س ص "" + 2 ص ") - ص" "،

y (5) = - 0.2 (y "y (4) + 3y" "y" "") - 0.1 (xy "" "+ 3y" ") - y" "" ،

y (6) \ u003d - 0.2 (y "y (5) + 4y" "y (4) + 3y" "" 2) - 0.1 (xy (4) + 4y "" "- y (4))

باستبدال الشروط الأولية والقيمة y "" (0) ، نجد y "" "(0) = - 1.54 ؛

ص (4) (0) = - 1.224 ؛ ص (5) (0) = 0.1768 ؛ ص (6) (0) = - 0.7308. وبالتالي ، سيتم كتابة الحل التقريبي المطلوب على النحو التالي: y (x) ≈ 1 + 2x - 0.7x 2 - 0.2567x 3 + 0.051x 4 + 0.00147x 5 - 0.00101x 6.

8.2 طريقة أويلر

إن أبسط الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية هي طريقة أويلر ، والتي تعتمد على استبدال الوظيفة المطلوبة بكثير الحدود من الدرجة الأولى ، أي استقراء خطي. نحن نتحدث عن إيجاد قيم الدالة عند النقاط المتجاورة في السعة x وليس بينها.

نختار الخطوة h صغيرة بحيث تختلف قيمة الدالة y قليلاً عن الدالة الخطية لكل x بين x 0 و x 1 = x 0 + h. ثم في الفترة المشار إليها y = y 0 + (x - x 0) y "= y 0 + (x -

بالاستمرار في تحديد قيم الوظيفة بنفس الطريقة ، نتأكد من تمثيل طريقة أويلر كتنفيذ متسلسل للصيغ:

∆y k = y "k h

y k + 1 = y k + y k

مثال

نحل معادلات أويلر y "= x - y بالشرط الأولي x 0 = 0 ، y 0 = 0 على مقطع بالخطوة h = 0.1.

الحسابات موضحة في الجدول.

يتم ملء السطر الأول في العمودين 1 و 2 وفقًا للبيانات الأولية. ثم y "يحسب بواسطة معادلة معينة(في العمود 4) ، ثم ∆y \ u003d y "h - في العمود (4).

يحتوي العمود (5) على جدول قيم للحل الدقيق للمعادلة المعطاة.

يوضح الجدول أنه عند x = 1 الخطأ النسبي لطريقة أويلر هو δ = 0.37 - 0.35 / 0.37 * 100٪ ≈5.4٪

طريقة أويلر مصقولة

مع نفس القدر من العمل الحسابي ، فإنه يعطي دقة أعلى.

في السابق ، اعتبرنا التكامل و ثابتًا ، يساوي قيمته f (x k، y k) في الطرف الأيسر من القسم. سيتم الحصول على قيمة أكثر دقة إذا افترض أن f (x، y (x)) تساوي القيمة الموجودة في مركز الرسم البياني. للقيام بذلك ، يجب أن تأخذ قسمًا مزدوجًا (x k-1 ، x k + 1) ، لتحل محل الصيغة

y k + 1 = y k + ∆y k on y k + 1 = y k-1 + 2hy "k (8.5)

تعبر هذه الصيغة عن طريقة أويلر المكررة. لكن في هذه الحالة ، يجب أن تلتزم بالتسلسل التالي من الإجراءات:

مثالللمقارنة ، ضع في اعتبارك نفس المعادلة y "\ u003d x - y بالشروط الأولية x 0 \ u003d 0 ، y 0 \ u003d 0. الطريقة المكررة ، كما يتضح من الجدول ، تعطي خطأ نسبي دقة أعلى عند x \ u003d 1 ، ص = 0.370 ، ص بالضبط 0.368.

إذا كانت المعادلة على الشكل ، فلدينا فرق في سلسلة تايلور ، فنحن نتحرى تقارب السلسلة الناتجة ، والتي نعوض فيها بالشروط الأولية ، ويمكن استخدام السلسلة لحل المعادلات الجبرية. فيدا. يتم حل هذه المعادلات بطريقة المعامل غير المحدد وبعد التفاضل.

51. المهام الدورية. حساب المثاثات. تحديد المعاملات بطريقة أويلر فورييه.

يمكن تمثيل الوظيفة الدورية بفترة 2P التي تفي بشروط Dirichlet على الفاصل الزمني (-P ، P) بسلسلة فورييه:

تم العثور على معاملاتها بواسطة الصيغ

عند نقاط استمرارية الوظيفة f (x) ، تتقارب سلسلة فورييه مع f () ، وعند نقاط عدم الاستمرارية ، إلى. تمدد سلسلة فورييه للدالة الدورية f (x) مع الفترة 2l لها الشكل حيث

53 أنظمة وظائف متعامدة. سلسلة فورييه فيما يتعلق بنظام الوظائف المتعامد التعسفي.تعريف 1. نظام لانهائي من الوظائف f 1 (x)، f 2 (x) .. fn (x) (1) يسمى متعامد على الفاصل [a ، b] إذا كان لأي n ≠ k المساواة (x) ϕ k (x) dx = 0 (2) من المفترض أن dx ≠ 0 يعمل على [a، b]: f (x) = (x) (6). دعونا نحدد المعاملات مع n. لنفترض أن السلسلة التي تم الحصول عليها بعد ضرب السلسلة (6) في أي ϕ k (x) تسمح بالتكامل مصطلحًا بمصطلح. دعونا نضرب كلا جزأي المساواة (6) في ϕ ك (س) وندمج من أ إلى ب. مع الأخذ في الاعتبار المساواة (2) ، نحصل على (x) ϕ k (x) dx = ck من أين (7) تسمى المعاملات مع k المحسوبة بالصيغ (7) 5 معاملات فورييه للدالة f (x) وفقًا لـ نظام الوظائف المتعامدة (1). تسمى السلسلة (6) سلسلة فورييه وفقًا لنظام الوظائف (1).

54. شروط Dirichlet. شرط كافٍ لتمثيل دالة في سلسلة فورييه.يتم تعريف الدالة f (x) ومستمرة في نطاق معين من القيم x ، وتسمى غير متناقص (غير متزايد) إذا كانت من الحالة x 2> x 1 ؛ f (x 2) ≥ f (x 1) - غير متناقص f (x 2) ≤ f (x 1) - غير متزايد. تسمى الدالة f (x) أحادية اللون على مقطع إذا كان يمكن تقسيم هذا المقطع إلى عدد محدود من النقاط × 1 ، × 2 ، × 3 ... .. xn -1 في فترات زمنية بحيث تكون الوظيفة أحادية اللون في كل فترة زمنية ، أي أنها إما لا تنقص أو لا تزيد ، فهي تتبع أنه إذا كانت الوظيفة f (x) أحادية اللون ومحدودة على المقاطع ، فقد تحتوي على نقاط توقف من النوع الأول. x \ u003d c \ u003d f (c-0) \ u003d f (c + 0) ؛ f (c-0) f (c + 0). T. Dirichlet. الفاصل الزمني x [-؛ π] ، ثم فورييه السلسلة المبنية على هذه الوظيفة تتقارب في جميع النقاط ؛ مجموع السلسلة الناتجة S (x) يساوي قيمة f (x) عند نقاط استمرارية هذه الوظيفة ؛ حد المتوسط ​​الحسابي للدالة f (x) على اليمين واليسار S (c) = (f (c-0) + f (c + 0)) / 2. شروط هذه النظرية تسمى شروط Dirichlet.

55. تحليل الدوال الزوجية / الفردية في سلسلة فورييه.

ويترتب على تعريف الدالة الفردية والزوجية أنه إذا كانت ψ (х) دالة زوجية ، فعندئذٍ في الواقع

منذ تعريف الوظيفة الزوجية ψ (-x) = ψ (x).

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت أنه إذا كانت φ (x) دالة فردية ، إذا تم توسيع دالة فردية f (x) في سلسلة فورييه ، فإن المنتج f (x) cos (kx) هو أيضًا دالة فردية ، و f (x) sin (kx) -even ؛ ومن ثم ، فإن سلسلة فورييه للدالة الفردية تحتوي على "جيوب فقط"

إذا تم توسيع دالة زوجية إلى سلسلة فورييه ، فإن المنتج f (x) sin (kx) هو دالة فردية ، و f (x) cos (kx) هي دالة زوجية ، ومن ثم

أي أن سلسلة فورييه للدالة الزوجية تحتوي على "جيب التمام فقط". تتيح الصيغ الناتجة تبسيط العمليات الحسابية عند البحث عن معاملات فورييه في الحالات التي تكون فيها الوظيفة المعطاة زوجية أو فردية. من الواضح أنه ليست كل وظيفة دورية زوجية أو فردية.

ازفستيا

أمر تومسك الصادر عن ثورة أكتوبر وأمر لافتة العمل الحمراء لمعهد البوليتكنيك المسمى بعد S. M. KIROV

تطبيق الطريقة المتسلسلة

التمايز في حساب العمليات العابرة للمصادر الكهروميكانيكية

دفعات

A. V. LOOS

(تقدمه الندوة العلمية لقسمي الالات الكهربائية والهندسة الكهربائية العامة)

يتم وصف العمليات العابرة لمصادر النبضات بالآلة الكهربائية ، على سبيل المثال ، مولدات الصدمات أحادية الطور ، ومولدات نبضات الصمام ، وما إلى ذلك ، بواسطة أنظمة المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الدورية ، والتي لا يمكن القضاء عليها بأي تحويلات. تعتمد دراسات العمليات العابرة للآلات الكهربائية في الحالة العامة لعدم التناسق على استخدام مبدأ ارتباط التدفق المستمر ، واستخدام المعادلات المتكاملة ، والطرق التقريبية للحل ، وما إلى ذلك. د. .

في بعض الحالات ، يمكن اختزال معادلات العمليات العابرة لمصادر الطاقة النبضية للآلة الكهربائية إلى معادلات ذات معاملات ثابتة ، ومع ذلك ، فإن الحاجة إلى النظر في حالة نظامين أو أكثر من أنظمة اللف على الدوار تتطلب حل معادلة تكعيبية أو معادلات مميزة من الدرجات الأعلى مع المعاملات المعقدة ، وهو أمر مستحيل في الشكل الجبري. إن الحاجة إلى مراعاة تشبع الدائرة المغناطيسية والتغير في سرعة دوران الدوار يزيد من تعقيد حل هذه المشكلات. في هذه الحالات ، الأكثر قبولًا هو استخدام الطرق التحليلية للحل التقريبي.

من بين الطرق التحليلية للتكامل التقريبي لأنظمة المعادلات التفاضلية ، يعد التكامل باستخدام سلسلة القدرة بطريقة التفاضل المتتالي شائعًا جدًا. هذه الطريقة قابلة للتطبيق على حد سواء لحل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة والمتغيرة ، وكذلك لحل المشكلات غير الخطية. يتم تمثيل الحل المحدد المطلوب كتوسيع في سلسلة تايلور. تعتمد فعالية تطبيق الطريقة إلى حد كبير على قدرة الباحث على استخدام معلومات مسبقة عنه الطبيعة الفيزيائيةيتم حل المشكلة.

في الواقع ، إذا قمنا بتكوين نظام من المعادلات التفاضلية لمصدر النبضات بالآلة الكهربائية ، مع أخذ التيارات كوظائف غير معروفة ، فمن المعروف مسبقًا أن الحلول ستمثل وظائف متذبذبة بسرعة. من الواضح ، لتمثيلهم في شكل سلسلة تايلور ، ستكون هناك حاجة إلى عدد كبير من المصطلحات ، أي أن الحل سيكون مرهقًا للغاية. المعادلات التفاضليةمن الأفضل تكوين عمليات عابرة ليس للتيارات ، ولكن من أجل روابط التدفق. هذا يرجع إلى حقيقة أن ارتباط التدفق للملفات يتغير

أصغر بكثير من حيث الوقت ، نظرًا لأنها ، كقاعدة عامة ، وظائف متباينة بشكل رتيب ، للحصول على تمثيل دقيق بما فيه الكفاية في شكل توسع سلسلة تايلور ، لا يلزم سوى عدد قليل من المصطلحات. بعد تحديد روابط التدفق ، تم العثور على التيارات عن طريق حل المعادلات الجبرية العادية.

كمثال ، ضع في اعتبارك استخدام طريقة التمايز المتتالي لحساب عابر مولد نبض الصمام.

يمكن حساب تيار الحمل لمولد الصمام ، ولكن يتم تنفيذه وفقًا لمنحنى المغلف لتيارات الطور التي تم الحصول عليها عندما يتم تشغيل المولد المتزامن فجأة إلى حمل نشط ثلاثي الطور متماثل. يتم تحديد قيمة الحمل النشط المتماثل المكافئ بواسطة النسبة R3 - 2 / sRh. وبالتالي ، لحساب منحنى تيار الحمل وتيارات الطور ، من الضروري حل النظام الكامل للمعادلات التفاضلية للمولد المتزامن عند توصيله بحمل نشط متماثل.

عند تحديد تيار المحرك ، يمكن إضافة المقاومة النشطة الخارجية إلى المقاومة النشطة للجزء الثابت r = R3 + rc. معادلات العمليات العابرة للمولد المتزامن في المحاور d ، q لها الشكل:

pYd = - Ud - (ü ^ q -rld، (1)

р - - Uq + с W6 riq ، (2)

P ^ f = Uf - rfif ، (3)

P ^ Dd - - rodidcb (4)

PXVD :( = - rDq ioq، (5)

XfXDd - X2ag | م Xad (XDd-XaH) Tf. xad (Xj - Хпн) ث

D "d ri" d Tßd 9

، * _ x ° q w „xaq / 7)

q ~ "Ä7 ™ q q"

XdXDd ~~ x "ad ig xad (xDd" ~ "xad) m Xad (xd Xad) -CG f ^ -D- 1 ~~" - ~ D- d "---- d" * "

XdXf X2ad yy xad (xf ~~ xari) m xad (xd ~ xad) w / n \ iDd = - ~ d- ^ Dd - D- Td --d - M "w)

D - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad (xd + xr -f X [) d)، (11)

أ "= XqXDq - X2aq. (12)

لا يوجد حل تحليلي لنظام المعادلات (1- ^ 12) بشكل عام. تم إجراء محاولة للحصول على نسب تصميم لتيارات مولد متزامن في وجود مقاومة نشطة في دائرة الجزء الثابت. ومع ذلك ، فقد ارتكب المؤلف خطأً مرتبطًا ماديًا بعدم مقبولية افتراض ثبات روابط التدفق على طول المحاور الطولية والعرضية في آلة دوارة في وجود مقاومة نشطة في الدائرة الثابتة. تمت الإشارة إلى هذا الخطأ ، حيث تم الحصول على حل دقيق لحالة نظام لف واحد على الدوار وتم عرض استحالة استخدام طرق الحل التقليدية عند التفكير في نظامي لف أو أكثر على الدوار. لذلك ، فإن المثال المدروس هنا له أهمية كبيرة.

استبدال (6-10) في (1-5) مع الأخذ في الاعتبار أن Ud = Uq =: 0 ، نحصل على معادلات العمليات العابرة المكتوبة فيما يتعلق بروابط التدفق في الشكل العادي Kosh و:

[(x (x1) c1 - x. ^ x ^ - xa (1 (x0 (1 - x ^ x ^ _

3 q7 ~ (x00 (x ^ x، 1 (] x ^)

P ^ = bmr - ^ [(xc] x0c1 - x2aa) X * (- Xa (1 (XO (1 - xa<1№

ها<1 (хс! - Х^Ч^] ,

P \ u003d - X2a (1) ¥ 141 - مرحبًا (x (- x ^ H ^

Hayo (Xc1 - xac1) ¥ (] ،

p ChTs = ^ -g (xh Ch ^ - xach Ch ^).

افترض أنه قبل التبديل إلى الحمل ، كان المولد المتزامن يتباطأ مع تيار الإثارة ، ثم تكون الظروف الأولية عند 1 = 0.

N ^ o \ u003d * Gohas \ u003d Mb ^ H "o \ u003d 1 Goha (b ChTs0 - O، ¥ C (0 \ u003d 0.

في ظل الشروط الأولية المقبولة ، يمكن تمثيل حل tf ، tb ، t ، t ، t ، كتوسيع في سلسلة Maclaurin

وبالمثل بالنسبة لروابط التدفق Ch ^ ، Ch ^ ، Tsh ، Ch ^. من السهل العثور على القيم الأولية لمشتقات روابط التدفق في المعادلات ذات الشكل (18) في ظل ظروف أولية معروفة عن طريق التفاضل المتتالي للمعادلات (13-17). بعد استبدال القيم الأولية لروابط التدفق ومشتقاتها في المعادلات بالشكل (18) ، نحصل على:

(3 = 1 جوه 1

XrX ^ - س ^ \

^ = تشو xac1 ح

1 GHop "+2 1 ^ - 4 G --- 7- W X

2 أ "(x2ochg + x2achGoch)

س؟ 1 جرام (xaN (Hoa - Chls1) ®2

شو ~ هدف واحد (1

1__GR (1 ас1 (х (- хас!) с ° 2

السنة الثانية بعد الميلاد

(20) (21) (22) (23)

يمكن تحديد تقارب الحلول لـ Ch "d ، Ch ^ ، Ch" w ، Chbh من خلال دراسة شروط التوسعات المتبقية في سلسلة Maclaurin (19-23)

كن (ن) = - ^ م الفوسفور (ن + 1) ^ (يو) ، (24)

حيث 0

وبالمثل بالنسبة لـ "Rva ، وفقًا للقيم الموجودة في سلسلة التدفق

باستخدام المعادلات (6-10) ، ليس من الصعب العثور على التدفقات 1r "أ. وفقًا لصيغ التحولات الخطية ، نحدد تيارات الطور:

1a = ¡c) coe co 1 - d at co 1 (25) 1b = الحدث الأول 1 - 1h e1p ^ -> (26)

"-c \ u003d - 1a - \ u003e b- (27)

تم العثور على تيار الحمل لمولد نبض الصمام كمجموع القيم اللحظية لتيارات الطور 1 أ ، 1 ب ، ج من نفس العلامة.

وفقًا للطريقة قيد النظر ، تم إجراء حساب العمليات العابرة لمولد نبض الصمام باستخدام المعلمات التالية:

X (1 = = Xos! = xvh = 1.05 ؛ x (1 = xac ، = 1 ؛ x (= 1.2 ؛ gs = g.- !! = goa = = 0.02 ؛ Yn = 0.05.

على التين. يوضح الشكل 1 المنحنيات المحسوبة لتيارات الطور \ b ، ¡s وحمل التيار ¡c. تعطي مقارنة الحسابات التحليلية مع النتائج التي تم الحصول عليها على AVM MN-14 في الدراسة باستخدام نظام المعادلات الكامل

أرز. 1. منحنيات tokos مصنفة بدون مولد وتحميل

تقارب جيد. كما يوضح تقدير تقارب الحل من خلال دراسة المدة المتبقية لتوسيع Maclaurin (24) أن الحد الأقصى لخطأ الحساب لا يتجاوز 5-7٪.

يمكن تطبيق طريقة التفاضل المتتالي على تحليل العمليات العابرة لمصادر النبضات بالآلة الكهربائية ، والتي تحتوي معادلاتها على معاملات متغيرة. لا تواجه دراسة العمليات العابرة الموصوفة بواسطة المعادلات التفاضلية غير الخطية أيضًا صعوبات أساسية عند استخدام هذه الطريقة ، ولكن تطبيقها في هذه الحالة يمكن أن يؤدي إلى تعبيرات مرهقة. من أجل الاختيار الصحيح لشكل النظام الأولي للمعادلات التفاضلية ، من الضروري في جميع الحالات استخدام معلومات مسبقة حول الصورة المادية للعمليات ، مما يبسط الحل إلى حد كبير.

المؤلفات

1. I. I. Treshchev. طرق بحث الآلة التيار المتناوب. "الطاقة" ، 1969.

2. A. I. In agio v. أساسيات نظرية العمليات العابرة لآلة متزامنة. Gosenergoizdat ، 1960.

3. الفصل K o n k o r d i a. آلات متزامنة. جوسينرجوزدات ، 1959.

4. إي يا كازوفسكي. عمليات عابرة في الآلات الكهربائية للتيار المتردد. دار النشر لأكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية ، 1962.

5. L. E. Elsgolts. المعادلات التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل. "العلم" ، 1969.

6. G. A. Sipailov ، A.V Loos ، و Yu. I. Ryabchikov. التحقيق في العمليات العابرة لمولد نبض الصمام. Izv. TPI. مجموعة حقيقية.

نظرية.

معطى:

إذا كان الجانب الأيمن من DE ، أي وظيفة ، هي وظيفة تحليلية لحججها في بعض الجوار للنقطة ، إذن بالنسبة للقيم القريبة بدرجة كافية ، يوجد حل فريد لمشكلة كوشي ، والتي يمكن تمثيلها على أنها سلسلة قوى (سلسلة تايلور).

تأمل مشكلة كوشي المذكورة أعلاه. سنبحث عن حل مشكلة كوشي للرتبة n من الدرجة الثانية في شكل سلسلة تايلور في الصلاحيات بالقرب من النقطة.

معاملات السلسلة هي مشتقات الدالة المحسوبة عند النقطة.

لنجدهم:

1) من الشروط الأولية ، نحدد معاملات التمدد n الأولى:

;

2) يتم تحديد قيمة المعامل (n + 1) عن طريق استبدال القيم في DE:

3) للعثور على جميع المعاملات اللاحقة ، سوف نفرق بالتتابع الأجزاء اليمنى واليسرى من DE الأصلي ونحسب قيم المعاملات باستخدام الشروط الأولية وجميع المعاملات التي تم الحصول عليها بالفعل.

تعليق.إذا تم استيفاء شروط نظرية الوجود وتفرد الحل ، فسيكون المجموع الجزئي لسلسلة تايلور الناتجة حلاً تقريبيًا لمشكلة كوشي المذكورة.

خوارزمية طريقة التفاضل المتتالي

1. اكتب الحل y (x) كسلسلة أس لا نهائية في قوى:

، أين

2. حدد قيم معاملات n الأولى (هنا n هو ترتيب المعادلة الأصلية) ، باستخدام الشروط الأولية.

3. عبر عن أعلى مشتق من DE. احسب قيمتها عند نقطة البداية باستخدام الشروط الأولية. حساب المعامل.

4. بالاشتقاق بالنسبة إلى x المقدار الخاص بأعلى مشتق من البند 3 ، أوجد مشتقة n + 1 للدالة. احسب قيمتها عند نقطة البداية ، باستخدام الشروط الأولية وقيمة أعلى مشتق محسوب في الخطوة 3. احسب المعامل.

5- تُحسب المعاملات المتبقية على نحو مشابه للإجراء الموصوف في الفقرة 4.