اكتشف السطر الذي تحدده المعادلة. تحديد معادلة خط ، أمثلة على خط على مستوى. شرط التوازي
أهم مفهوم في الهندسة التحليلية معادلة خطية على مستوى.
تعريف. بواسطة معادلة خط (منحنى) على مستوى أوكسيتسمى المعادلة التي إحداثياتها xو ذكل نقطة من خط معين وإحداثيات أي نقطة غير ملقاة على هذا الخط لا تفي بالغرض (الشكل 1).
في الحالة العامة ، يمكن كتابة معادلة الخط في النموذج و (س ، ص) = 0أو ص = و (س).
مثال.أوجد معادلة مجموعة النقاط على مسافة متساوية من النقاط أ (-4 ؛ 2) ، ب (-2 ؛ -6).
المحلول.إذا م (س ؛ ص)هي نقطة تعسفية للخط المطلوب (الشكل 2) ، إذن لدينا AM = BMأو
بعد التحولات التي نحصل عليها
من الواضح أن هذه معادلة الخط المستقيم MD- العمودية المستعادة من منتصف القطعة AB.
من بين كل الخطوط الموجودة على الطائرة ، خط مستقيم... إنه رسم بياني لوظيفة خطية مستخدمة في النماذج الاقتصادية والرياضية الخطية الأكثر استخدامًا.
أنواع مختلفة من معادلات الخط المستقيم:
1) مع الميل ك والإحداثيات الأولية ب:
ص = ك س + ب,
أين هي الزاوية بين الخط المستقيم والاتجاه الإيجابي للمحور أوه(تين. 3).
حالات خاصة:
- الخط المستقيم يمر الأصل(الشكل 4):
– منصفزوايا التنسيق الأول والثالث والثاني والرابع:
ص = + س ، ص = - س ؛
- مستقيم بالتوازي مع محور OXونفسي محور OX(الشكل 5):
ص = ب ، ص = 0 ؛
- مستقيم بالتوازي مع محور OYونفسي المحور ОY(الشكل 6):
س = أ ، س = 0 ؛
2) المرور في هذا الاتجاه (مع منحدر) ك من خلال نقطة معينة (الشكل 7) :
.
إذا في المعادلة أعلاه كهو رقم تعسفي ، ثم تحدد المعادلة مجموعة من الخطوط المستقيمةيمر بالنقطة ، باستثناء الخط المستقيم الموازي للمحور أوي.
مثالأ (3، -2):
أ) بزاوية المحور أوه؛
ب) موازية للمحور س.
المحلول.
أ) 
, ص - (- 2) = - 1 (س -3)أو ص = -x + 1 ؛
ب) س = 3.
3) المرور بنقطتين معينتين (الشكل 8) :
.
مثال... يساوي خطًا مستقيمًا عبر النقاط أ (-5.4) ، ب (3 ، -2).
المحلول. 
,
4) معادلة الخط المستقيم على شكل مقاطع (الشكل 9):
أين أ ، ب -الأجزاء المراد قطعها على المحاور ، على التوالي ثورو أوي.
مثال... يساوي خطًا مستقيمًا يمر بنقطة أ (2، -1)إذا كان هذا الخط ينقطع عن المحور شبه الموجب أويمقطع أكبر بمرتين من نصف المحور الموجب ثور(الشكل 10).
المحلول... حسب الشرط ب = 2 أ، ومن بعد . عوّض بإحداثيات النقطة أ (2، -1):
أين أ = 1.5.
نحصل أخيرًا على:
أو ص = -2 س + 3.
5) المعادلة العامة للخط المستقيم:
الفأس + بواسطة + C = 0 ،
أين أو بلا تساوي الصفر في نفس الوقت.
بعض الخصائص الهامة للخطوط المستقيمة :
1) المسافة d من نقطة إلى خط مستقيم:
.
2) الزاوية بين الخطوط المستقيمة و على التوالي:
و 
.
3) شرط موازاة الخطوط:
أو .
4) حالة عمودية الخطوط المستقيمة:
أو 
.
مثال 1... يساوي خطين مستقيمين عبر نقطة أ (5.1)أحدهما موازٍ للخط المستقيم 3 س + 2 ص -7 = 0والآخر عمودي على نفس الخط. أوجد المسافة بين الخطوط المتوازية.
المحلول... الشكل 11.
1) معادلة الخط الموازي Ax + By + C = 0:
من حالة التوازي.
إذا أخذنا عامل التناسب يساوي 1 ، نحصل على أ = 3 ، ب = 2 ؛
ومن بعد. 3 س + 2 ص + ج = 0 ؛
المعنى معأوجد بالتعويض عن الإحداثيات م. أ (5.1) ،
3 * 5 + 2 * 1 + C = 0 ،أين ج = -17 ؛
معادلة الخط المتوازي - 3 س + 2 ص -17 = 0.
2) معادلة الخط العموديمن حالة العمودية سيكون لها الشكل 2x-3y + C = 0 ؛
استبدال الإحداثيات ر. أ (5.1)، نحن نحصل 2 * 5-3 * 1 + C = 0، أين ج = -7 ؛
معادلة الخط العمودي هي 2x-3y-7 = 0.
3) المسافة بين الخطوط المتوازيةيمكن العثور عليها على أنها المسافة من T. أ (5.1)قبل أن تعطى مباشرة 3 س + 2 ص -7 = 0:
.
مثال 2... معادلات ضلعي المثلث معطاة:
3x-4y + 24 = 0 (AB) ، 4x + 3y + 32 = 0 (BC) ، 2x-y-4 = 0 (AC).
يساوي منصف الزاوية ABC.
المحلول... أولًا ، نجد إحداثيات الرأس الخامسمثلث:
,
أين س = -8 ، ص = 0 ،أولئك. ب (-8.0)(الشكل 12) .
بممتلكات المنصف ، المسافة من كل نقطة م (س ، ص)والمنصفون BDعلى الجانبين ABو الشمسمتساوية ، أي
,
نحصل على معادلتين
س + 7 ص + 8 = 0.7 س ص + 56 = 0.
من الشكل 12 ، يكون ميل الخط المستقيم المطلوب سالبًا (الزاوية مع أوهغبي) ، لذلك فإن المعادلة الأولى تناسبنا س + 7 ص + 8 = 0أو ص = -1 / 7 س -8 / 7.
ضع في اعتبارك علاقة الشكل و (س ، ص) = 0ربط المتغيرات xو في... سيتم استدعاء المساواة (1) معادلة بمتغيرين x ، y ،إذا كانت هذه المساواة غير صحيحة لجميع أزواج الأرقام Xو في... أمثلة على المعادلات: 2 س + 3 ص = 0 ، س 2 + ص 2-25 = 0 ،
sin x + sin y - 1 = 0.
إذا كان (1) صحيحًا لجميع أزواج الأرقام x و y ، فسيتم استدعاؤها هوية... أمثلة على الهويات: (س + ص) 2 - س 2 - 2 س ص - ص 2 = 0 ، (س + ص) (س - ص) - س 2 + ص 2 = 0.
سيتم استدعاء المعادلة (1) معادلة مجموعة النقاط (س ؛ ص) ،إذا تم استيفاء هذه المعادلة من خلال الإحداثيات Xو فيأي نقطة في المجموعة ولا تفي بإحداثيات أي نقطة لا تنتمي إلى هذه المجموعة.
مفهوم مهم في الهندسة التحليلية هو مفهوم معادلة الخط. دع نظام إحداثيات مستطيل وبعض الخطوط على المستوى α.
تعريف.المعادلة (1) تسمى معادلة الخط α
(في نظام الإحداثيات الذي تم إنشاؤه) إذا تم استيفاء هذه المعادلة بواسطة الإحداثيات Xو فيأي نقطة على الخط α
، ولا تفي بإحداثيات أي نقطة لا تقع على هذا الخط.
إذا كانت (1) هي معادلة الخط α, ثم نقول تلك المعادلة (1) يحدد (مجموعات)خط α.
خط α يمكن تحديده ليس فقط من خلال معادلة من الشكل (1) ، ولكن أيضًا من خلال معادلة النموذج
F (P ، φ) = 0تحتوي على إحداثيات قطبية.
- معادلة الخط المستقيم بمنحدر ؛
يجب أن يكون هناك خط مستقيم ، وليس عموديًا على المحور أوه... لنتصل زاوية الميلخط مستقيم معين على المحور أوهحقنة α الذي تريد تدوير المحور إليه أوهبحيث يتزامن الاتجاه الموجب مع أحد اتجاهات الخط المستقيم. ظل زاوية ميل الخط المستقيم على المحور أوهوتسمى ميلهذا الخط المستقيم والدلالة عليه بالحرف ل.
|
|||
|
|||
دعونا نشتق معادلة هذا الخط المستقيم ، إذا عرفنا ذلك لوالقيمة في المقطع OVالتي قطعتها على المحور OU.
|
|
المعادلة (2) تسمى معادلة الخط المستقيم بميل.إذا ك = 0، ثم الخط موازٍ للمحور أوهومعادلته لها الشكل ص = ب.
- معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين ؛
|
|
... هذه هي المعادلة إذا ص 1 ≠ ص 2، يمكن كتابتها على النحو التالي: إذا ص 1 = ص 2، فإن معادلة الخط المطلوب لها الشكل ص = ص 1... في هذه الحالة ، يكون الخط موازٍ للمحور أوه... إذا س 1 = س 2، ثم الخط المستقيم الذي يمر عبر النقاط م 1و م 2بالتوازي مع المحور OU، معادلتها لها الشكل س = س 1.
- معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطة معينة بميل معين ؛
|
|
وبالعكس المعادلة (5) ذات المعاملات العشوائية أ ، ب ، ج (أو ب ≠ 0في نفس الوقت) يحدد بعض الخطوط المستقيمة في نظام إحداثيات مستطيل أوه.
دليل.
أولاً ، نثبت البيان الأول. إذا كان الخط غير عمودي أوه،ثم يتم تحديده بمعادلة من الدرجة الأولى: ص = ك س + ب، بمعنى آخر. معادلة الشكل (5) حيث
أ = ك ، ب = -1و ج = ب.إذا كان الخط عموديًا أوه،ثم جميع نقاطها لها نفس الحروف التي تساوي القيمة α المقطع مقطوع بخط مستقيم على المحور أوه.
معادلة هذا الخط لها الشكل س = α ،أولئك. هي أيضًا معادلة من الدرجة الأولى من الشكل (5) ، حيث أ = 1 ، ب = 0 ، ج = - α.هذا يثبت البيان الأول.
دعونا نثبت البيان المعاكس. دع المعادلة (5) تعطينا ، ومعامل واحد على الأقل أو ب ≠ 0.
إذا ب ≠ 0، ثم يمكن كتابة (5) كـ. الشقة 
نحصل على المعادلة ص = ك س + ب، بمعنى آخر. معادلة الصيغة (2) التي تحدد الخط المستقيم.
إذا ب = 0، ومن بعد أ ≠ 0و (5) يأخذ الشكل. دلالة من خلال α, نحن نحصل
س = α، بمعنى آخر. معادلة الخط المستقيم العمودي على الثور.
تسمى الخطوط المحددة في نظام إحداثيات مستطيل بواسطة معادلة من الدرجة الأولى خطوط من الدرجة الأولى.
معادلة النموذج الفأس + وو + ج = 0غير مكتمل ، أي أي من المعاملات هو صفر.
1) ج = 0 ؛ آه + وو = 0ويحدد خطًا مستقيمًا يمر عبر الأصل.
2) ب = 0 (أ ≠ 0)؛ المعادلة الفأس + C = 0 OU.
3) أ = 0 (ب 0); وو + ج = 0ويحدد الموازي المستقيم أوه.
المعادلة (6) تسمى معادلة الخط المستقيم "في مقاطع". أعداد أو بهي قيم مقاطع الخط التي يقطعها الخط المستقيم على محاور الإحداثيات. هذا الشكل من المعادلة مناسب للبناء الهندسي لخط مستقيم.
- المعادلة العادية للخط المستقيم ؛
Аx + Вy + С = 0 هي المعادلة العامة لبعض الخطوط المستقيمة ، و (5) xكوس α + y sin α - p = 0(7)
معادلتها العادية.
بما أن المعادلتين (5) و (7) تحددان نفس الخط المستقيم ، إذن ( أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0و
أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0 => 
) معاملات هذه المعادلات متناسبة. هذا يعني أنه بضرب جميع شروط المعادلة (5) ببعض العوامل M ، نحصل على المعادلة MA x + MV y + MC = 0بالتزامن مع المعادلة (7) أي
MA = cos α ، MB = sin α ، MC = - P.(8)
لإيجاد العامل M ، قم بتربيع أول اثنين من هذه المعادلات وأضف:
M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1
(9)
يحدد منحنى على المستوى. تسمى مجموعة المصطلحات بالصيغة التربيعية ، 
- شكل خطي. إذا كان الشكل التربيعي يحتوي فقط على مربعات من المتغيرات ، فإن هذا النموذج يسمى Canonical ، وتسمى متجهات الأساس المتعامد ، حيث يكون للشكل التربيعي الشكل الأساسي ، المحاور الرئيسية للشكل التربيعي.
مصفوفة 
يسمى مصفوفة الشكل التربيعي. هنا 1 2 = a 2 1. لتقليل المصفوفة B إلى شكل قطري ، من الضروري أخذ المتجهات الذاتية لهذه المصفوفة كأساس ، ثم 
، حيث λ 1 و λ 2 هي القيم الذاتية للمصفوفة B.
على أساس المتجهات الذاتية للمصفوفة B ، سيكون للصورة التربيعية الشكل الأساسي: λ 1 x 2 1 + λ 2 y 2 1.
تتوافق هذه العملية مع دوران محاور الإحداثيات. ثم يتم إزاحة أصل الإحداثيات ، وبالتالي التخلص من الشكل الخطي.
الشكل الأساسي لمنحنى من الدرجة الثانية: λ 1 x 2 2 + λ 2 y 2 2 = a ، علاوة على ذلك:
أ) إذا كانت 1> 0 ؛ λ 2> 0 عبارة عن قطع ناقص ، على وجه الخصوص ، بالنسبة إلى λ 1 = λ 2 فهي دائرة ؛
ب) إذا كانت 1> 0 ، 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) لدينا القطع الزائد ؛
ج) إذا كانت λ 1 = 0 أو 2 = 0 ، فإن المنحنى هو قطع مكافئ وبعد دوران محاور الإحداثيات يكون الشكل λ 1 × 2 1 = فأس 1 + بمقدار 1 + ج (هنا λ 2 = 0) . استكمالًا لمربع كامل ، سيكون لدينا: λ 1 × 2 2 = ب 1 ص 2.
مثال. تُعطى معادلة المنحنى 3x 2 + 10xy + 3y 2 -2x-14y-13 = 0 في نظام الإحداثيات (0، i، j) ، حيث i = (1،0) و j = (0،1) .
1. تحديد نوع المنحنى.
2. أحضر المعادلة إلى الشكل المتعارف عليه وقم ببناء منحنى في نظام الإحداثيات الأصلي.
3. البحث عن التحولات المناسبة تنسيق.
المحلول... نأتي بالصيغة التربيعية B = 3x 2 + 10xy + 3y 2 إلى المحاور الرئيسية ، أي إلى الشكل الأساسي. مصفوفة هذه الصيغة التربيعية 
... أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لهذه المصفوفة: 
معادلة مميزة: 
؛ λ 1 = -2 ، λ 2 = 8. عرض النموذج التربيعي: 
.
تحدد المعادلة الأصلية القطع الزائد.
لاحظ أن شكل الصيغة التربيعية غامض. يمكنك كتابة 8x 1 2 -2y 1 2 ، لكن نوع المنحنى يظل كما هو - القطع الزائد.
أوجد المحاور الرئيسية للصيغة التربيعية ، أي المتجهات الذاتية للمصفوفة ب. 
.
المتجه الذاتي المقابل للرقم λ = -2 عند x 1 = 1: x 1 = (1، -1).
كوحدة eigenvector ، نأخذ المتجه 
، أين طول المتجه × 1.
تم العثور على إحداثيات المتجه الذاتي الثاني المقابلة للقيمة الذاتية الثانية λ = 8 من النظام 
.
1 ، ي 1).
وفقًا للصيغ (5) الواردة في الفقرة 4.3.3. انتقل إلى أساس جديد: 
أو
; 
. (*)
ندخل التعبيرات x و y في المعادلة الأصلية ، وبعد التحولات ، نحصل على:
.
حدد المربعات الكاملة:
.
نقوم بتنفيذ ترجمة موازية لمحاور الإحداثيات إلى أصل جديد:
, 
.
إذا أدخلنا هذه النسب في (*) وحلنا هذه المساواة فيما يتعلق بـ x 2 و y 2 ، فسنحصل على:
, 
... في نظام الإحداثيات (0 * ، أنا 1 ، ي 1) ، هذه المعادلة لها الشكل: 
.
لبناء منحنى ، قمنا ببناء منحنى جديد في نظام الإحداثيات القديم: المحور x 2 = 0 محدد في نظام الإحداثيات القديم بالمعادلة xy-3 = 0 ، والمحور y 2 = 0 بالمعادلة x + ص -1 = 0. أصل نظام الإحداثيات الجديد 0 * (2 ، -1) هو نقطة تقاطع هذه الخطوط.
لتبسيط الإدراك ، سنقسم عملية التخطيط إلى مرحلتين:
1. الانتقال إلى نظام إحداثيات بالمحور x 2 = 0 ، y 2 = 0 ، المحدد في نظام الإحداثيات القديم بواسطة المعادلتين x-y-3 = 0 و x + y-1 = 0 على التوالي.
2. رسم الرسم البياني للوظيفة في نظام الإحداثيات الناتج.
تبدو النسخة النهائية من الجدول كما يلي (انظر. المحلول: تنزيل الحل
ممارسه الرياضه... تأكد من أن كل من المعادلات التالية تحدد القطع الناقص ، وتجد إحداثيات مركزها C ، نصف المحور ، الانحراف ، معادلات الدليل. ارسم شكلًا بيضاويًا في الرسم ، مع تحديد محاور التناظر والبؤر والدليل.
المحلول.
§ 9. مفهوم المعادلة الخطية.
تحديد خط باستخدام معادلة
المساواة على شكل F (س ، ص) = 0تسمى معادلة في متغيرين x، ذ ،إذا لم يكن صالحًا لجميع أزواج الأرقام س ، ص.يقولون أن رقمين x = x 0 , ص = ذ 0, تلبية بعض المعادلات من النموذج و (س ، ص) = 0 ،إذا ، عند استبدال هذه الأرقام بدلاً من المتغيرات Xو فيفي المعادلة ، يتلاشى جانبها الأيسر.
معادلة خط معين (في نظام الإحداثيات المعين) هي معادلة ذات متغيرين ، يتم استيفائها من خلال إحداثيات كل نقطة ملقاة على هذا الخط ، وإحداثيات كل نقطة غير ملقاة عليها غير راضية.
فيما يلي ، بدلاً من التعبير "، تُعطى معادلة الخط و (س ، y) = 0 "غالبًا ما نتحدث أقصر: مع وجود سطر و (س ، ص) = 0.
إذا أعطيت معادلات من سطرين و (س ، ص) = 0و Ф (س ، ص) = س ،ثم الحل المشترك للنظام
يعطي كل نقاط تقاطعهم. بتعبير أدق ، كل زوج من الأرقام يمثل حلاً مشتركًا لهذا النظام يحدد إحدى نقاط التقاطع.
1)X 2 + في 2 = 8 ، س ص = 0;
2) X 2 + في 2 -16x+4في+18 = 0, س + ص= 0;
3) X 2 + في 2 -2x+4في -3 = 0, X 2 + في 2 = 25;
4) X 2 + في 2 -8x+ 10 سنوات + 40 = 0 ، X 2 + في 2 = 4.
163- النقاط معطاة في نظام الإحداثيات القطبية
حدد أيًا من هذه النقاط يقع على الخط المحدد بواسطة المعادلة في الإحداثيات القطبية = 2 cos وأيها لا يقع عليها. أي خط تعرفه هذه المعادلة؟ (ارسمه على الرسم :)
164. في السطر المحدد بالمعادلة = 
,
أوجد النقاط التي تساوي زواياها القطبية الأرقام التالية: أ) 
، ب) - ، ج) 0 ، د)
... أي خط تعرفه هذه المعادلة؟
(قم ببنائه على المخطط.)
165. على الخط المحدد بالمعادلة = 
، أوجد النقاط التي يكون نصف قطرها القطبي مساوٍ للأرقام التالية: أ) 1 ، ب) 2 ، ج) 
.
أي خط تعرفه هذه المعادلة؟ (قم ببنائه على المخطط.)
166- حدد الخطوط التي يتم تحديدها في الإحداثيات القطبية بواسطة المعادلات التالية (قم ببنائها على الرسم):
1) = 5 ؛ 2) = ؛ 3) = 
؛ 4) كوس = 2 ؛ 5) خطيئة = 1 ؛
6) = 6 كوس ؛ 7) = 10 خطيئة ؛ 8) الخطيئة =
ضع في اعتبارك الوظيفة التي توفرها الصيغة (المعادلة)
هذه الوظيفة ، وبالتالي المعادلة (11) ، تتوافق على المستوى مع خط محدد جيدًا ، وهو الرسم البياني لهذه الوظيفة (انظر الشكل 20). من تعريف الرسم البياني للوظيفة ، يترتب على ذلك أن هذا الخط يتكون من تلك النقاط فقط على المستوى الذي تتوافق إحداثياته مع المعادلة (11).
دعنا الآن
يتكون الخط ، وهو الرسم البياني لهذه الوظيفة ، من تلك النقاط فقط من المستوى التي تتوافق إحداثياتها مع المعادلة (12). هذا يعني أنه إذا كانت نقطة ما تقع على الخط المحدد ، فإن إحداثياتها تفي بالمعادلة (12). إذا كانت النقطة لا تقع على هذا الخط ، فإن إحداثياتها لا تفي بالمعادلة (12).
تم حل المعادلة (12) فيما يتعلق y. ضع في اعتبارك معادلة تحتوي على x و y ولم يتم حلها فيما يتعلق بـ y ، على سبيل المثال ، المعادلة
دعونا نوضح أن الخط يتوافق مع هذه المعادلة في المستوى ، أي دائرة مركزها في الأصل ونصف قطر يساوي 2. نعيد كتابة المعادلة بالصيغة
ضلعها الأيسر هو مربع مسافة نقطة من أصل الإحداثيات (انظر الفقرة 2 ، البند 2 ، الصيغة 3). ويترتب على المساواة (14) أن مربع هذه المسافة هو 4.
هذا يعني أن أي نقطة تتوافق إحداثياتها مع المعادلة (14) ، وبالتالي المعادلة (13) ، تقع على مسافة 2 من أصل الإحداثيات.
موقع هذه النقاط هو دائرة مركزها في الأصل ونصف قطرها 2. ستكون هذه الدائرة هي الخط المقابل للمعادلة (13). من الواضح أن إحداثيات أي من نقاطه تفي بالمعادلة (13). إذا كانت النقطة لا تقع على الدائرة التي وجدناها ، فإن مربع المسافة من أصل الإحداثيات سيكون إما أكبر أو أقل من 4 ، مما يعني أن إحداثيات هذه النقطة لا تفي بالمعادلة. (13).
افترض الآن ، في الحالة العامة ، بالنظر إلى المعادلة
على الجانب الأيسر يوجد تعبير يحتوي على x و y.
تعريف. الخط المعرّف بالمعادلة (15) هو موضع نقاط المستوى الذي تتوافق إحداثياته مع هذه المعادلة.
هذا يعني أنه إذا تم تحديد الخط L بالمعادلة ، فإن إحداثيات أي نقطة L تفي بهذه المعادلة ، وإحداثيات أي نقطة على المستوى خارج L لا تفي بالمعادلة (15).
المعادلة (15) تسمى معادلة الخط
تعليق. لا تعتقد أن أي معادلة تحدد أي خط. على سبيل المثال ، لا تحدد المعادلة أي سطر. في الواقع ، بالنسبة لأي قيم حقيقية لـ و y ، يكون الجانب الأيسر من هذه المعادلة موجبًا ، والجانب الأيمن يساوي صفرًا ، وبالتالي لا يمكن تلبية هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة في المستوى
يمكن تعريف الخط على مستوى ليس فقط بمعادلة تحتوي على إحداثيات ديكارتية ، ولكن أيضًا بمعادلة في الإحداثيات القطبية. الخط الذي تحدده المعادلة في الإحداثيات القطبية هو موضع النقاط على المستوى ، والإحداثيات القطبية التي تلبي هذه المعادلة.
مثال 1. قم ببناء دوامة أرخميدس في.
المحلول. لنقم بعمل جدول لبعض قيم الزاوية القطبية وقيم نصف القطر القطبي المقابلة لها.
نبني نقطة في نظام الإحداثيات القطبية ، والتي ، من الواضح ، تتزامن مع القطب ؛ بعد ذلك ، برسم المحور بزاوية على المحور القطبي ، نقوم ببناء نقطة بإحداثيات موجبة على هذا المحور ، وبعد ذلك نقوم بالمثل ببناء نقاط ذات قيم موجبة للزاوية القطبية ونصف القطر القطبي (محاور هذه النقاط هي لم يرد في الشكل 30).
بتوصيل النقاط معًا ، نحصل على فرع واحد من المنحنى ، كما هو موضح في الشكل. 30 بخط عريض. عند التغيير من 0 إلى ، يتكون هذا الفرع من المنحنى من عدد لا حصر له من المنعطفات.
