المسافة من نقطة إلى الطائرة. النظرية التفصيلية مع الأمثلة طريقة (2020). طريقة المتجهات

المسائل ج2 في اختبار الحالة الموحدة في الرياضيات لإيجاد المسافة من نقطة إلى المستوى

كوليكوفا أناستاسيا يوريفنا

طالب في السنة الخامسة قسم الرياضيات. التحليل والجبر والهندسة EI KFU، الاتحاد الروسي، جمهورية تتارستان، إلابوغا

جانيفا ايجول ريفوفنا

المشرف العلمي، دكتوراه. رقم التعريف الشخصي. العلوم، أستاذ مشارك جامعة الملك فيصل، الاتحاد الروسي، جمهورية تتارستان، إلابوغا

في السنوات الأخيرة، ظهرت مهام حساب المسافة من نقطة إلى مستوى في مهام امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. في هذه المقالة، باستخدام مثال لمسألة واحدة، يتم النظر في طرق مختلفة للعثور على المسافة من نقطة إلى مستوى. يمكن استخدام الطريقة الأنسب لحل المشكلات المختلفة. بعد حل المشكلة باستخدام إحدى الطرق، يمكنك التحقق من صحة النتيجة باستخدام طريقة أخرى.

تعريف.المسافة من نقطة إلى مستوى لا يحتوي على هذه النقطة هي طول القطعة العمودية المرسومة من هذه النقطة إلى المستوى المعطى.

مهمة.نظرا لمتوازي مستطيل أبمعد.أ. 1 ب 1 ج 1 د 1 مع الجوانب أ.ب=2, قبل الميلاد=4, أ.أ. 1 =6. أوجد المسافة من النقطة دإلى الطائرة تكييفد 1 .

1 الطريق. استخدام تعريف. أوجد المسافة ص( د, تكييفد 1) من النقطة دإلى الطائرة تكييفد 1 (الشكل 1).

الشكل 1. الطريقة الأولى

دعونا ننفذ د.ح.⊥تكييفوبالتالي، من خلال نظرية ثلاثة متعامدين د 1 ح⊥تكييفو (د 1 ح)⊥تكييف. دعونا ننفذ مباشر د.ت.عمودي د 1 ح. مستقيم د.ت.يكمن في الطائرة د 1 ح، لذلك د.ت.⊥مكيف الهواء. لذلك، د.ت.⊥تكييفد 1.

أالعاصمةدعونا نجد الوتر تكييفوالارتفاع د.ح.

من المثلث الأيمن د 1 د.ح. دعونا نجد الوتر د 1 حوالارتفاع د.ت.

إجابة: .

الطريقة 2.طريقة الحجم (استخدام الهرم المساعد). ويمكن اختزال مسألة من هذا النوع في مسألة حساب ارتفاع الهرم، حيث يكون ارتفاع الهرم هو المسافة المطلوبة من نقطة إلى مستوى. إثبات أن هذا الارتفاع هو المسافة المطلوبة؛ أوجد حجم هذا الهرم بطريقتين وعبِّر عن هذا الارتفاع.

لاحظ أنه بهذه الطريقة ليست هناك حاجة لإنشاء خط عمودي من نقطة معينة إلى مستوى معين.

المكعب هو متوازي السطوح جميع وجوهه مستطيلة.

أ.ب=قرص مضغوط=2, قبل الميلاد=إعلان=4, أ.أ. 1 =6.

المسافة المطلوبة ستكون الارتفاع حالأهرامات حوار التعاون الآسيوي 1 د، منخفضة من الأعلى دعلى القاعدة حوار التعاون الآسيوي 1 (الشكل 2).

دعونا نحسب حجم الهرم حوار التعاون الآسيوي 1 دبطريقتين.

عند الحساب، في الطريقة الأولى نأخذ ∆ كقاعدة حوار التعاون الآسيوي 1 ثم

عند الحساب بالطريقة الثانية، نأخذ ∆ كأساس حوار التعاون الآسيوي، ثم

دعونا نساوي الطرفين الأيمن للمساويتين الأخيرتين ونحصل على ذلك

الشكل 2. الطريقة الثانية

من المثلثات القائمة تكييفد, يضيف 1 , العناية الواجبة 1 أوجد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس

حوار التعاون الآسيوي

احسب مساحة المثلث تكييفد 1 باستخدام صيغة هيرون

إجابة: .

3 طريقة. طريقة الإحداثيات.

دعونا نعطي نقطة م(س 0 ,ذ 0 ,ض 0) والطائرة α ، تعطى بواسطة المعادلة فأس+بواسطة+تشيكوسلوفاكيا+د=0 في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة. المسافة من النقطة مإلى المستوى α يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

دعونا نقدم نظام الإحداثيات (الشكل 3). أصل الإحداثيات عند نقطة ما في;

مستقيم أ.ب- المحور X، مستقيم شمس- المحور ذ، مستقيم ب 1 - المحور ض.

الشكل 3. الطريقة الثالثة

ب(0,0,0), أ(2,0,0), مع(0,4,0), د(2,4,0), د 1 (2,4,6).

يترك أس+بواسطة+ تشيكوسلوفاكيا+ د=0 – معادلة المستوى حوار التعاون الآسيوي 1 . استبدال إحداثيات النقاط فيه أ, ج, د 1 نحصل على:

معادلة الطائرة حوار التعاون الآسيوي 1 سوف يأخذ النموذج

إجابة: .

4 طريقة. طريقة المتجهات.

دعونا نقدم الأساس (الشكل 4) .

الشكل 4. الطريقة الرابعة

, مسابقة "عرض تقديمي للدرس"

فصل: 11

العرض التقديمي للدرس

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

الأهداف:

• تعميم وتنظيم معارف ومهارات الطلاب ؛
• تنمية مهارات التحليل والمقارنة واستخلاص النتائج.

معدات:

• جهاز عرض الوسائط المتعددة؛
• حاسوب؛
• أوراق مع النصوص المشكلة

التقدم المحرز في الفصل

I. اللحظة التنظيمية

ثانيا. مرحلة تحديث المعرفة(الشريحة 2)

نكرر كيفية تحديد المسافة من نقطة إلى مستوى

ثالثا. محاضرة(الشرائح 3-15)

في هذا الدرس، سوف نتناول طرقًا مختلفة لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.

الطريقة الأولى: خطوة بخطوة الحسابية

المسافة من النقطة M إلى المستوى α:
- تساوي المسافة إلى المستوى α من نقطة اختيارية P تقع على خط مستقيم a، الذي يمر عبر النقطة M وموازي للمستوى α؛
- تساوي المسافة إلى المستوى α من نقطة عشوائية P تقع على المستوى β، والتي تمر عبر النقطة M وتكون موازية للمستوى α.

سوف نقوم بحل المشاكل التالية:

№1. في المكعب A...D 1، أوجد المسافة من النقطة C 1 إلى المستوى AB 1 C.

يبقى حساب قيمة طول المقطع O 1 N.

№2. في منشور سداسي منتظم A...F 1، جميع أحرفه تساوي 1، أوجد المسافة من النقطة A إلى المستوى DEA 1.

الطريقة التالية: طريقة الحجم.

إذا كان حجم الهرم ABCM يساوي V، فسيتم حساب المسافة من النقطة M إلى المستوى α الذي يحتوي على ∆ABC بالصيغة ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
عند حل المشكلات، نستخدم مساواة أحجام الشكل الواحد، معبرًا عنها بطريقتين مختلفتين.

دعنا نحل المشكلة التالية:

№3. الحافة AD للهرم DABC متعامدة مع المستوى الأساسي ABC. أوجد المسافة من A إلى المستوى الذي يمر عبر نقاط المنتصف للحواف AB، وAC، وAD، إذا.

عند حل المشاكل طريقة التنسيقيمكن حساب المسافة من النقطة M إلى المستوى α باستخدام الصيغة ρ(M; α) = ، حيث M(x 0; y 0; z 0)، ويتم إعطاء المستوى بواسطة المعادلة ax + by + cz + d = 0

دعنا نحل المشكلة التالية:

№4. في مكعب الوحدة A...D 1، أوجد المسافة من النقطة A 1 إلى المستوى BDC 1.

دعونا نقدم نظامًا إحداثيًا يكون نقطة الأصل عند النقطة A، حيث يمتد المحور y على طول الحافة AB، والمحور x على طول الحافة AD، والمحور z على طول الحافة AA 1. ثم إحداثيات النقاط B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
لنقم بإنشاء معادلة للمستوى الذي يمر بالنقاط B، D، C 1.

ثم – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. لذلك، ρ =

الطريقة التالية التي يمكن استخدامها لحل المشاكل من هذا النوع هي طريقة مشاكل الدعم.

ويتكون تطبيق هذه الطريقة من استخدام المسائل المرجعية المعروفة، والتي يتم صياغتها على شكل نظريات.

دعنا نحل المشكلة التالية:

№5. في مكعب الوحدة A...D 1، أوجد المسافة من النقطة D 1 إلى المستوى AB 1 C.

دعونا نفكر في التطبيق طريقة المتجهات.

№6. في مكعب الوحدة A...D 1، أوجد المسافة من النقطة A 1 إلى المستوى BDC 1.

لذلك، نظرنا إلى الطرق المختلفة التي يمكن استخدامها لحل هذا النوع من المشاكل. يعتمد اختيار طريقة أو أخرى على المهمة المحددة وتفضيلاتك.

رابعا. مجموعة عمل

حاول حل المشكلة بطرق مختلفة.

№1. حافة المكعب A...D 1 تساوي . أوجد المسافة من الرأس C إلى المستوى BDC 1.

№2. في الشكل الرباعي المنتظم ABCD الذي له حافة، أوجد المسافة من النقطة A إلى المستوى BDC

№3. في منشور ثلاثي منتظم ABCA 1 B 1 C 1 جميع أحرفه تساوي 1، أوجد المسافة من A إلى المستوى BCA 1.

№4. في الهرم الرباعي المنتظم SABCD، الذي جميع أحرفه تساوي ١، أوجد المسافة من A إلى المستوى SCD.

V. ملخص الدرس والواجبات المنزلية والتأمل

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

دعونا نفكر في مستوى معين π ونقطة عشوائية M 0 في الفضاء. دعونا نختار للطائرة وحدة ناقلات عاديةن مع البدايةعند نقطة ما M 1 ∈ π، ودع p(M 0 ,π) هي المسافة من النقطة M 0 إلى المستوى π. ثم (الشكل 5.5)

ص(م 0 ,π) = | ص ن م 1 م 0 | = |ن م 1 م 0 |، (5.8)

منذ |ن| = 1.

إذا تم إعطاء المستوى π نظام الإحداثيات المستطيل مع معادلته العامة Ax + By + Cz + D = 0، فإن متجهه الطبيعي هو المتجه ذو الإحداثيات (A؛ B؛ C) ويمكننا الاختيار

دع (x 0 ; y 0 ; z 0) و (x 1 ; y 1 ; z 1) هما إحداثيات النقطتين M 0 و M 1 . ثم تبقى المساواة Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0، حيث أن النقطة M 1 تنتمي إلى المستوى، ويمكن العثور على إحداثيات المتجه M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 - س 1؛ ص 0 -ص 1 ؛ ض 0 -ض 1 ). تسجيل المنتج العددي nM 1 M 0 في شكل إحداثي وتحويل (5.8) نحصل عليه

بما أن Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. لذا، لحساب المسافة من نقطة إلى مستوى، تحتاج إلى تعويض إحداثيات النقطة في المعادلة العامة للمستوى، ثم قسمة القيمة المطلقة لـ النتيجة بعامل تطبيع يساوي طول المتجه الطبيعي المقابل.