أعط تعريف معادلة الخط على المستوى. عمل رائع04/02/12. دعونا نراجع * ما هي المعادلة التي تسمى التربيعية؟ * ما هي المعادلات التي تسمى المعادلات التربيعية غير الكاملة؟ * أيّ. انظر ما هي "المعادلة" في القواميس الأخرى

حل المعادلة

رسم توضيحي لطريقة رسومية لإيجاد جذور المعادلة

إن حل المعادلة هو مهمة إيجاد قيم الحجج التي تتحقق من خلالها هذه المساواة. يمكن فرض شروط إضافية (عدد صحيح، حقيقي، وما إلى ذلك) على القيم المحتملة للوسائط.

استبدال جذر آخر ينتج عنه عبارة غير صحيحة:

.

وبالتالي، يجب التخلص من الجذر الثاني باعتباره دخيلًا.

أنواع المعادلات

هناك أنواع المعادلات الجبرية والبارامترية والمتسامية والوظيفية والتفاضلية وغيرها من المعادلات.

تحتوي بعض فئات المعادلات على حلول تحليلية، وهي ملائمة لأنها لا تعطي القيمة الدقيقة للجذر فحسب، بل تسمح لك أيضًا بكتابة الحل في شكل صيغة، والتي يمكن أن تتضمن معلمات. التعبيرات التحليليةلا تسمح بحساب الجذور فحسب، بل أيضًا بتحليل وجودها وكميتها اعتمادًا على قيم المعلمات، والتي غالبًا ما تكون أكثر أهمية بالنسبة تطبيق عملي، من القيم المحددة للجذور.

ومن المعادلات التي تعرف لها حلول تحليلية، المعادلات الجبرية التي لا تزيد عن الدرجة الرابعة: المعادلة الخطية، المعادلة التربيعية، المعادلة التكعيبية، ومعادلة الدرجة الرابعة. المعادلات الجبريةفي الحالة العامة، لا تحتوي المعادلات ذات الدرجات الأعلى على حلول تحليلية، على الرغم من إمكانية اختزال بعضها إلى معادلات ذات درجات أقل.

تسمى المعادلة التي تتضمن دوال متعالية. ومن بينها الحلول التحليلية المعروفة لدى البعض المعادلات المثلثيةلأن أصفار الدوال المثلثية معروفة جيداً.

في الحالة العامة، عندما لا يمكن العثور على حل تحليلي، يتم استخدام الطرق العددية. لا توفر الطرق الرقمية حلاً دقيقًا، ولكنها تسمح فقط بتضييق الفاصل الزمني الذي يقع فيه الجذر إلى قيمة معينة محددة مسبقًا.

أمثلة على المعادلات

أنظر أيضا

الأدب

• بيكاريفيتش، أ. ب. المعادلات في دورة الرياضيات المدرسية / أ. ب. بيكاريفيتش. - م.، 1968.
• ماركوشيفيتش، L. A. المعادلات والمتباينات في التكرار النهائي لمقرر الجبر المدرسة الثانوية/ L. A. Markushevich، R. S. Cherkasov. / الرياضيات في المدرسة. - 2004. - رقم 1.
• كابلان واي في ريفنيانيا. - كييف: مدرسة راديانسكا، 1968.
• المعادلة- مقال من الموسوعة السوفيتية الكبرى
• المعادلات// موسوعة كولير. - المجتمع المنفتح. 2000.
• المعادلة// الموسوعة حول العالم
• المعادلة // الموسوعة الرياضية. - م.: الموسوعة السوفيتية. آي إم فينوغرادوف. 1977-1985.

روابط

• EqWorld - عالم المعادلات الرياضية - يحتوي على معلومات شاملة حول المعادلات الرياضية وأنظمة المعادلات.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

المرادفات:

المتضادات:

• خادجيمبا، راؤول جومكوفيتش
• كمبيوتر

انظر ما هي "المعادلة" في القواميس الأخرى:

المعادلة - (1) التدوين الرياضيمشكلة إيجاد مثل هذه القيم للوسائط (انظر (2)) التي تتساوى فيها قيم البينتين (انظر). تسمى الحجج التي تعتمد عليها هذه الوظائف مجهولة، وقيم المجهولة التي تكون عندها القيم ... ... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

المعادلة- المعادلة، المعادلات، راجع. 1. العمل بموجب الفصل. معادلة التعادل والشرط وفقا للفصل. تعادل تعادل. حقوق متساوية. معادلة الوقت (ترجمة التوقيت الشمسي الحقيقي إلى التوقيت الشمسي المتوسط، المقبولة في المجتمع والعلم؛... ... قاموسأوشاكوفا

المعادلة- (معادلة) اشتراط ذلك التعبير الرياضيأخذت معنى معيناً على سبيل المثال، يتم كتابة المعادلة التربيعية على النحو التالي: ax2+bx+c=0. الحل هو قيمة x التي تصبح عندها المعادلة المعطاة هوية. في… … القاموس الاقتصادي

المعادلة- تمثيل رياضي لمشكلة إيجاد قيم الحجج التي تتساوى فيها قيم وظيفتين محددتين. تسمى الوسائط التي تعتمد عليها هذه الدوال مجهولة، وقيم المجهولات التي تتساوى عندها قيم الدالة... ... القاموس الموسوعي الكبير

المعادلة- المعادلة، تعبيران متصلان بعلامة المساواة؛ تتضمن هذه التعبيرات متغيرًا واحدًا أو أكثر تسمى المجهولين. حل المعادلة يعني العثور على جميع قيم المجهولات التي تصبح عندها هوية، أو إنشاء... الموسوعة الحديثة

1. ما هي العبارة التي تسمى نتيجة طبيعية؟ أثبت أن المستقيم الذي يتقاطع مع أحد الخطين المتوازيين يتقاطع مع الآخر أيضًا 2. أثبت ذلك

إذا كان مستقيمان موازيان لخط ثالث فإنهما متوازيان.3. ما هي النظرية التي تسمى عكس هذه النظرية؟ أعط أمثلة على النظريات المقابلة لهذه البيانات 4. أثبت أنه عندما يتقاطع خطان متوازيان مع قاطع، تكون الزوايا متساوية 5. يثبت أنه إذا كان الخط متعامدا مع أحد الخطين الخطوط المتوازية، فهي أيضًا متعامدة مع أخرى. 6. أثبت أنه عندما يتقاطع خطان متوازيان مع قاطع: أ) الزوايا المتناظرة متساوية؛ ب) مجموع الزوايا من جانب واحد هو 180 درجة.

الرجاء مساعدتي في أسئلة الهندسة (الصف التاسع)! 2) ماذا يعني تحلل المتجه إلى قسمين

لهذه المتجهات. 9) ما هو متجه نصف القطر لنقطة ما؟ أثبت أن إحداثيات النقطة تساوي الإحداثيات المقابلة للمتجهات. 10) اشتقاق الصيغ لحساب إحداثيات المتجه من إحداثيات بدايته ونهايته. 11) اشتقاق الصيغ لحساب إحداثيات المتجه من إحداثيات طرفيه. 12) اشتق صيغة لحساب طول المتجه من إحداثياته. 13) اشتق صيغة لحساب المسافة بين نقطتين بناء على إحداثياتهما. 15) ما المعادلة التي تسمى معادلة هذا الخط أعط مثالا؟ 16) اشتق معادلة دائرة نصف قطرها محدد ومركزها عند نقطة معينة.

1) اذكر وأثبت القاعدة المتعلقة بالمتجهات المستقيمة.

3) صياغة وإثبات نظرية حول تحلل المتجه إلى متجهين غير خطيين.
4) اشرح كيفية إدخال نظام الإحداثيات المستطيلة.
5) ما هي المتجهات الإحداثية؟
6) صياغة وإثبات عبارة حول تحلل متجه عشوائي إلى متجهات إحداثية.
7) ما هي إحداثيات المتجهات؟
8) صياغة وإثبات قواعد إيجاد إحداثيات مجموع المتجهات والفرق بينها، بالإضافة إلى حاصل ضرب المتجه وعدد في إحداثيات متجهة معينة.
10) اشتقاق الصيغ لحساب إحداثيات المتجه من إحداثيات بدايته ونهايته.
11) اشتقاق الصيغ لحساب إحداثيات المتجه من إحداثيات طرفيه.
12) اشتق صيغة لحساب طول المتجه من إحداثياته.
13) اشتق صيغة لحساب المسافة بين نقطتين بناء على إحداثياتهما.
14) أعط مثالاً للحل مشكلة هندسيةباستخدام طريقة الإحداثيات.
16) اشتق معادلة دائرة نصف قطرها محدد ومركزها عند نقطة معينة.
17) اكتب معادلة دائرة نصف قطرها محدد ومركزها نقطة الأصل.
18) اشتق معادلة هذا الخط بنظام إحداثي مستطيل.
19) اكتب معادلة المستقيمات التي تمر بنقطة معينة M0 (X0: Y0) ومتوازية مع محاور الإحداثيات.
20) اكتب معادلة محاور الإحداثيات.
21) أعط أمثلة على استخدام معادلات الدائرة والخط عند حل المسائل الهندسية.

من فضلك، أنا حقا في حاجة إليها! ويفضل أن يكون ذلك مع الرسومات (عند الضرورة)!

الهندسة الصف التاسع.

1) اذكر وأثبت القاعدة المتعلقة بالمتجهات المستقيمة.
2) ماذا يعني تحليل المتجه إلى متجهين محددين.
3) صياغة وإثبات نظرية حول تحلل المتجه إلى متجهين غير خطيين.
4) اشرح كيفية إدخال نظام الإحداثيات المستطيلة.
5) ما هي المتجهات الإحداثية؟
6) صياغة وإثبات عبارة حول تحلل متجه عشوائي إلى متجهات إحداثية.
7) ما هي إحداثيات المتجهات؟
8) صياغة وإثبات قواعد إيجاد إحداثيات مجموع المتجهات والفرق بينها، بالإضافة إلى حاصل ضرب المتجه وعدد في إحداثيات متجهة معينة.
9) ما هو متجه نصف القطر لنقطة ما؟ أثبت أن إحداثيات نقطة تساوي الإحداثيات المقابلة للمتجهات.
14) أعط مثالاً على حل مسألة هندسية باستخدام الطريقة الإحداثية.
15)ما المعادلة التي تسمى معادلة هذا الخط؟ اعط مثالا.
17) اكتب معادلة دائرة نصف قطرها محدد ومركزها نقطة الأصل.
18) اشتق معادلة هذا الخط بنظام إحداثي مستطيل.
19) اكتب معادلة المستقيمات التي تمر بنقطة معينة M0 (X0: Y0) ومتوازية مع محاور الإحداثيات.
20) اكتب معادلة محاور الإحداثيات.
21) أعط أمثلة على استخدام معادلات الدائرة والخط عند حل المسائل الهندسية.

خط مستقيم على المستوى وفي الفضاء.

دراسة الخصائص الأشكال الهندسيةباستخدام الجبر يسمى الهندسة التحليلية ، وسوف نستخدم ما يسمى طريقة التنسيق .

عادةً ما يتم تعريف الخط الموجود على المستوى على أنه مجموعة من النقاط التي لها خصائص فريدة خاصة بها. حقيقة أن إحداثيات (أرقام) x و y لنقطة تقع على هذا الخط مكتوبة بشكل تحليلي في شكل معادلة ما.

Def.1 معادلة الخط (معادلة المنحنى) على مستوى أوكسي تسمى المعادلة (*)، والتي تتحقق بإحداثيات x و y لكل نقطة على خط معين ولا تتحقق بإحداثيات أي نقطة أخرى لا تقع على هذا الخط.

من التعريف 1 يترتب على ذلك أن كل خط على المستوى يتوافق مع بعض المعادلات بين الإحداثيات الحالية ( س، ص ) نقاط هذا الخط والعكس، كل معادلة تتوافق، بشكل عام، مع خط معين.

وهذا يؤدي إلى مشكلتين رئيسيتين في الهندسة التحليلية على المستوى.

1. يتم إعطاء خط على شكل مجموعة من النقاط. علينا إنشاء معادلة لهذا الخط.

2. يتم إعطاء معادلة الخط. ومن الضروري دراسة خصائصه الهندسية (الشكل والموقع).

مثال. هل النقاط تكذب أ(-2;1) و في (1؛ 1) في السطر 2 X +في +3=0?

مشكلة إيجاد نقاط تقاطع خطين تعطى بواسطة المعادلاتويتعلق الأمر بإيجاد الإحداثيات التي تحقق معادلة كلا الخطين، أي. لحل نظام من معادلتين مع مجهولين.

إذا لم يكن لهذا النظام حلول حقيقية، فإن الخطوط لا تتقاطع.

تم تقديم مفهوم الخط في UCS بطريقة مماثلة.

يمكن تعريف الخط على المستوى بمعادلتين

أين X و في - إحداثيات النقطة التعسفية م (س؛ ص)، الكذب على هذا الخط، و ر - متغير يسمى معامل ، تحدد المعلمة موضع النقطة على المستوى.

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة المعلمة t=2 تتوافق مع النقطة (3;4) على المستوى.

إذا تغيرت المعلمة، فإن النقطة الموجودة على المستوى تتحرك، واصفة هذا الخط. تسمى هذه الطريقة لتحديد الخط البارامترية، والمعادلة (5.1) هي معادلة بارامترية للخط.

للانتقال من المعادلات البارامترية إلى المعادلة العامة (*)، يجب على المرء بطريقة ما حذف المعلمة من المعادلتين. ومع ذلك، نلاحظ أن مثل هذا التحول ليس مستحسنًا دائمًا وليس ممكنًا دائمًا.

يمكن تحديد خط على متن الطائرة معادلة المتجهات ، حيث t هي معلمة متغيرة عددية. تتوافق كل قيمة معلمة مع متجه مستوى محدد. عند تغيير المعلمة، ستصف نهاية المتجه خطًا معينًا.

معادلة المتجهات في DSC هناك معادلتان عدديتان

(5.1)، أي. معادلات الإسقاطات على محاور الإحداثيات للمعادلة المتجهة للخط هي

المعادلة البارامترية.

معادلة المتجهاتوالمعادلات البارامترية للخط لها معنى ميكانيكي. إذا تحركت نقطة على مستوى، تسمى المعادلات المشار إليها معادلات الحركة ، والخط هو مسار النقطة، والمعلمة t هي الوقت.

الاستنتاج: كل خط على المستوى يتوافق مع معادلة النموذج.

في الحالة العامة، أي معادلة للعرض تتوافق مع خط معين، يتم تحديد خصائصه بواسطة المعادلة المحددة (باستثناء أنه لا توجد صورة هندسية تتوافق مع معادلة على المستوى).

دع نظام الإحداثيات على المستوى يتم اختياره.

مواطنه. 5.1. معادلة خطية يسمى هذا النوع من المعادلاتو(س؛ص) =0، والتي تتحقق بإحداثيات كل نقطة تقع على هذا الخط، ولا تلبيها إحداثيات أي نقطة لا تقع عليها.

معادلة النموذجو(س;ص )=0 - تسمى المعادلة العامة للخط أو المعادلة في الصورة الضمنية.

وبالتالي، فإن الخط Г هو موضع النقاط التي تحقق هذه المعادلة Г=((x, y): F(x;y)=0).

ويسمى الخط أيضا ملتوية.

هدف:النظر في مفهوم الخط على المستوى، وإعطاء أمثلة. استنادا إلى تعريف الخط، قدم مفهوم معادلة الخط على المستوى. النظر في أنواع الخطوط المستقيمة، وإعطاء أمثلة وطرق تحديد الخط المستقيم. تعزيز القدرة على ترجمة معادلة الخط المستقيم من منظر عامفي معادلة خط مستقيم "مقطع" بمعامل زاوي.

1. معادلة الخط على الطائرة.
2. معادلة الخط المستقيم على المستوى. أنواع المعادلات.
3. طرق تحديد الخط المستقيم.

1. دع x و y يكونان متغيرين عشوائيين.

تعريف: تسمى العلاقة بالصيغة F(x,y)=0 معادلة ، إذا لم يكن صحيحًا لأي أزواج من الأرقام x و y.

مثال: 2س + 7ص – 1 = 0، س 2 + ص 2 – 25 = 0.

إذا كانت المساواة F(x,y)=0 تنطبق على أي x, y، فإن F(x,y) = 0 هي هوية.

مثال: (س + ص) 2 - س 2 - 2 س ص - ص 2 = 0

يقولون أن الأرقام x هي 0 و y هي 0 إرضاء المعادلة ، إذا تحول عند استبدالهم في هذه المعادلة إلى مساواة حقيقية.

إن أهم مفهوم في الهندسة التحليلية هو مفهوم معادلة الخط.

تعريف: معادلة خط معين هي المعادلة F(x,y)=0، والتي تتحقق بإحداثيات جميع النقاط الواقعة على هذا الخط، ولا تتحقق بإحداثيات أي من النقاط غير الواقعة على هذا الخط.

الخط المحدد بالمعادلة y = f(x) يسمى الرسم البياني لـ f(x). يسمى المتغيران x وy بالإحداثيات الحالية، لأنهما إحداثيات نقطة متغيرة.

بعض أمثلةتعريفات الخط.

1) س – ص = 0 => س = ص. تحدد هذه المعادلة خطًا مستقيمًا:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => يجب أن تحقق النقاط إما المعادلة x - y = 0، أو المعادلة x + y = 0، والتي تتوافق على المستوى زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة التي تكون منصفات للزوايا الإحداثية:

3) x 2 + y 2 = 0. تتحقق هذه المعادلة بنقطة واحدة فقط O(0,0).

2. تعريف: يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت، أي. أ 2 + ب 2 ¹ 0. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى المعادلة العامة للخط المستقيم.

اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، من الممكن حدوث الحالات الخاصة التالية:

C = 0، A ¹ 0، B ¹ 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B ¹ 0، C ¹ 0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A ¹ 0، C ¹ 0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازي لمحور Oy

B = C = 0، A ¹ 0 – يتطابق الخط المستقيم مع محور Oy

أ = ج = 0، ب ¹ 0 – الخط المستقيم يتطابق مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوي.

إذا تم تخفيض المعادلة العامة للخط المستقيم Ax + By + C = 0 إلى الشكل:

وتدل على ذلك، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامةخط مستقيم Аh + Ву + С = 0 С ¹ 0، ثم بالقسمة على –С نحصل على: أو، حيث

معنى هندسيالمعاملات هو أن المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع محور الثور و ب– إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة Ax + By + C = 0 مقسوما على رقم يسمى عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosj + ysinj - p = 0 – المعادلة العادية للخط المستقيم.

يجب اختيار العلامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون m×С< 0.

p هو طول العمودي الذي ينخفض ​​من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم، و j هي الزاوية التي يشكلها هذا العمودي مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.

3. معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

دع المعامل الزاوي للخط يساوي k، ويمر الخط عبر النقطة M(x 0, y 0). ثم يتم إيجاد معادلة الخط المستقيم بالصيغة: y – y 0 = k(x – x 0)

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، فإن معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط هي:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

على المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كان x 1 ¹ x 2 و x = x 1، إذا كان x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى ميلمستقيم.

دع نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل Oxy وبعض الخطوط L معطى على المستوى .

تعريف. المعادلة و(س؛ص)=0 (1)مُسَمًّى معادلة الخطل(بالنسبة لنظام إحداثي معين)، إذا كانت هذه المعادلة تتحقق بإحداثيات x وy لأي نقطة تقع على الخط L، وليس بإحداثيات x وy لأي نقطة لا تقع على الخط L.

الذي - التي. خط على متن الطائرةهو موضع النقاط (M(x;y)) التي تلبي إحداثياتها المعادلة (1).

المعادلة (1) تحدد الخط L.

مثال. معادلة الدائرة.

دائرة- مجموعة من النقاط متساوية البعد عن نقطة معينة M 0 (x 0,y 0).

النقطة م 0 (س 0,ص 0) – مركز الدائرة.

لأي نقطة M(x;y) تقع على الدائرة، المسافة MM 0 =R (R=const)

مم 0 == ر

(س-س 0 ) 2 +(أوه 0 ) 2 = ر 2 –(2) – معادلة دائرة نصف قطرها R ومركزها عند النقطة M 0 (x 0,y 0).

المعادلة البارامترية للخط.

دع إحداثيات x و y للنقاط على السطر L يتم التعبير عنها باستخدام المعلمة t:

(3) - المعادلة البارامترية للخط في DSC

حيث تكون الدالتان (t) و(t) متصلتين بالنسبة إلى المعلمة t (في مدى معين من تغير هذه المعلمة).

وباستثناء المعلمة t من المعادلة (3)، نحصل على المعادلة (1).

لنعتبر الخط L بمثابة المسار الذي تعبره نقطة مادية تتحرك بشكل مستمر وفقًا لقانون معين. دع المتغير t يمثل الوقت المحسوب من لحظة أولية. إذن فإن تحديد قانون الحركة يمثل تحديد الإحداثيات x و y للنقطة المتحركة كبعض الدوال المستمرة x=(t) و y=(t) للزمن t.

مثال. دعونا نشتق معادلة بارامترية لدائرة نصف قطرها r>0 ومركزها عند نقطة الأصل. اجعل M(x,y) نقطة اعتباطية لهذه الدائرة، وt هي الزاوية بين ناقل نصف القطر ومحور الثور، محسوبًا عكس اتجاه عقارب الساعة.

ثم x=r cos x y=r sin t. (4)

المعادلات (4) هي معادلات بارامترية للدائرة قيد النظر. يمكن أن تأخذ المعلمة t أي قيمة، ولكن لكي تدور النقطة M(x,y) حول الدائرة مرة واحدة، يقتصر نطاق تغيير المعلمة على نصف القطعة 0t2.

وبتربيع وإضافة المعادلات (4) نحصل على المعادلة العامة للدائرة (2).

2. نظام الإحداثيات القطبية (psc).

دعونا نختار المحور L ( المحور القطبي) وتحديد نقطة هذا المحور O ( عمود). يتم تعريف أي نقطة على المستوى بشكل فريد الإحداثيات القطبيةρ و φ، حيث

ρ – نصف القطر القطبي، تساوي المسافة من النقطة M إلى القطب O (ρ≥0)؛

φ – ركنبين اتجاه المتجه أوموالمحور L ( الزاوية القطبية). م(ρ ; φ )

معادلة الخط في UCSيمكن أن تكون مكتوبة:

ρ=f(φ) (5) معادلة صريحة للخط في UCS

F = (ρ؛ φ) (6) معادلة الخط الضمني في UCS

العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية لنقطة ما.

(س؛ص) (ρ ; φ ) من المثلث OMA:

tan φ=(استعادة الزاويةφ بحسب المعروفيتم إنتاج الظلمع الأخذ بعين الاعتبار النقطة التي يقع فيها الربع M).(ρ ; φ )(س;ص). س = ρcosφ،ص = ρsinφ

مثال . أوجد الإحداثيات القطبية للنقطتين M(3;4) وP(1;-1).

بالنسبة إلى M:=5، φ=arctg (4/3). بالنسبة لـ P: ρ =؛ φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

تصنيف الخطوط المسطحة.

التعريف 1.الخط يسمى جبري،إذا كان في بعض أنظمة الإحداثيات الديكارتية المستطيلة، إذا تم تعريفه بالمعادلة F(x;y)=0 (1)، حيث تكون الدالة F(x;y) متعددة الحدود جبرية.

التعريف 2.كل خط غير جبري يسمى متسام.

التعريف 3. يسمى الخط الجبري خط النظامن، إذا تم تحديد هذا الخط في بعض أنظمة الإحداثيات المستطيلة الديكارتية بواسطة المعادلة (1)، حيث تكون الدالة F(x;y) متعددة الحدود جبرية من الدرجة n.

وبالتالي، فإن الخط من الرتبة n هو خط محدد في بعض الأنظمة الديكارتية المستطيلة بواسطة معادلة جبرية من الدرجة n مع مجهولين.

تساهم النظرية التالية في إثبات صحة التعريفات 1،2،3.

نظرية(الوثيقة ص١٠٧). إذا تم تحديد خط في بعض أنظمة الإحداثيات المستطيلة الديكارتية بواسطة معادلة جبرية من الدرجة n، فإن هذا الخط في أي نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل آخر يتم تحديده بواسطة معادلة جبرية من نفس الدرجة n.