في مهام البناء ، سننظر في بناء شكل هندسي يمكن إجراؤه باستخدام المسطرة والبوصلة.

باستخدام المسطرة ، يمكنك:

خط تعسفي

خط تعسفي يمر عبر نقطة معينة ؛

خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين.

باستخدام البوصلة ، يمكنك وصف دائرة نصف قطر معين من مركز معين.

يمكن استخدام البوصلة لرسم مقطع على خط معين من نقطة معينة.

ضع في اعتبارك المهام الرئيسية للبناء.

مهمة 1.أنشئ مثلثًا بأضلاعه المعطاة أ ، ب ، ج (الشكل 1).

المحلول. بمساعدة المسطرة ، ارسم خطًا مستقيمًا عشوائيًا وخذ نقطة عشوائية B عليه ، مع فتحة بوصلة تساوي a ، نصف دائرة مركزها B ونصف قطرها a. لنفترض أن C هي نقطة تقاطعها مع الخط. مع فتحة بوصلة تساوي c ، نصف دائرة من المركز B ، وبفتحة بوصلة تساوي b - دائرة من المركز C. لنفترض أن A هي نقطة تقاطع هذه الدوائر. المثلث ABC له أضلاع تساوي أ ، ب ، ج.

تعليق. لكي تعمل ثلاثة مقاطع خطية كأضلاع لمثلث ، من الضروري أن يكون الجزء الأكبر منها أقل من مجموع الجزأين الأخريين (و< b + с).

المهمة 2.

المحلول. تظهر هذه الزاوية مع الرأس A والشعاع OM في الشكل 2.

ارسم دائرة عشوائية تتمحور حول الرأس أ للزاوية المعطاة. لنفترض أن B و C هما نقطتا تقاطع الدائرة مع جانبي الزاوية (الشكل 3 ، أ). لنرسم دائرة نصف قطرها AB ومركزها عند النقطة O - نقطة بداية هذا الشعاع (الشكل 3 ، ب). يُشار إلى نقطة تقاطع هذه الدائرة مع الشعاع المعطى بالرمز С 1. دعونا نصف دائرة مركزها C 1 ونصف قطرها BC. تقع النقطة B 1 من تقاطع دائرتين على جانب الزاوية المرغوبة. هذا يتبع من المساواة Δ ABC \ u003d Δ OB 1 C 1 (المعيار الثالث لتساوي المثلثات).

المهمة 3.بناء منصف الزاوية المعطاة (الشكل 4).

المحلول. من الرأس A لزاوية معطاة ، كما من المركز ، نرسم دائرة نصف قطرها عشوائي. لنفترض أن B و C هما نقطتا تقاطعهما مع جانبي الزاوية. من النقطتين B و C لهما نفس نصف القطر ، نصف الدوائر. لنفترض أن D هي نقطة تقاطعهم ، مختلفة عن A. يقسم Ray AD الزاوية A إلى النصف. هذا يتبع من المساواة ΔABD = ΔACD (المعيار الثالث للمساواة بين المثلثات).

المهمة 4.ارسم وسيطاً عمودياً على هذه القطعة (الشكل 5).

المحلول. مع فتحة بوصلة اعتباطية ولكن متطابقة (كبيرة 1/2 AB) ، نصف قوسين مع مراكز عند النقطتين A و B ، والتي ستتقاطع مع بعضها البعض عند بعض النقاط C و D. سيكون القرص المضغوط المستقيم هو العمودي المطلوب. في الواقع ، كما يتضح من البناء ، فإن كل نقطة من النقطتين C و D على مسافة متساوية من A و B ؛ لذلك ، يجب أن تقع هذه النقاط على المنصف العمودي للقطعة AB.

المهمة 5.قسّم هذه القطعة إلى نصفين. يتم حلها بنفس طريقة حل المشكلة 4 (انظر الشكل 5).

المهمة 6.من خلال نقطة معينة ، ارسم خطًا عموديًا على الخط المحدد.

المحلول. حالتان ممكنتان:

1) النقطة المعطاة O تقع على الخط المستقيم المعطى أ (الشكل 6).

من النقطة O ، نرسم دائرة بنصف قطر عشوائي يتقاطع مع الخط المستقيم أ عند النقطتين A و B. من النقطتين A و B ، نرسم دوائر بنفس نصف القطر. لنفترض أن О 1 تختلف عن نقطة تقاطعها. نحصل على ОО 1 ⊥ AB. في الواقع ، النقطتان O و O 1 تقعان على مسافة متساوية من طرفي المقطع AB ، وبالتالي تقعان على المنصف العمودي لهذا المقطع.

مؤسسة تعليمية الميزانية البلدية

المدرسة الثانوية رقم 34 مع دراسة متعمقة للمواد الفردية

قسم الفيزياء والرياضيات

"الانشاءات الهندسية باستخدام البوصلة والمسطرة"

أكمله: طالب من 7 درجات "أ"

باتيشيفا فيكتوريا

الرأس: Koltovskaya V.V.

فورونيج ، 2013

3. بناء زاوية تساوي زاوية معينة.

ص ارسم دائرة اعتباطية تتمحور حول الرأس أ للزاوية المعطاة (الشكل 3). لنفترض أن B و C هما نقطتا تقاطع الدائرة مع جانبي الزاوية. باستخدام نصف القطر AB ، نرسم دائرة متمركزة عند النقطة O ، نقطة البداية لنصف الخط المعطى. يُرمز إلى نقطة تقاطع هذه الدائرة مع نصف الخط المعطى بواسطة C 1 . صف دائرة مركزها C 1 والشكل 3

نصف قطر قبل الميلاد. النقطة ب 1 يقع تقاطع الدوائر المبنية في نصف المستوى المحدد على جانب الزاوية المرغوبة.

6. بناء خطوط متعامدة.

نرسم دائرة نصف قطرها تعسفي r تتركز عند النقطة O الشكل 6. تتقاطع الدائرة مع الخط عند النقطتين A و B.من النقطتين A و B نرسم دوائر نصف قطرها AB. دع الكآبة C تكون نقطة تقاطع هذه الدوائر. حصلنا على النقطتين A و B في الخطوة الأولى ، عند إنشاء دائرة بنصف قطر عشوائي.

يمر الخط المطلوب عبر النقطتين C و O.

الشكل 6

مشاكل معروفة

1.مهمة Brahmagupta

بناء شكل رباعي محفور بأربعة جوانب. يستخدم أحد الحلول دائرة أبولونيوس.لنحل مشكلة أبولونيوس باستخدام القياس بين دراجة ثلاثية العجلات ومثلث. كيف نجد دائرة منقوشة في مثلث: نبني نقطة تقاطع المنصفين ، ونسقط الخطوط العمودية منها على جانبي المثلث ، وأساسات الخطوط المتعامدة (نقاط تقاطع الخط العمودي مع الضلع الذي عليه يتم خفضه) ويعطينا ثلاث نقاط ملقاة على الدائرة المطلوبة. نرسم دائرة من خلال هذه النقاط الثلاث - الحل جاهز. سنفعل الشيء نفسه مع مشكلة أبولونيوس.

2. مشكلة أبولونيوس

استخدم البوصلة والمسطرة لإنشاء مماس للدوائر الثلاث المحددة. وفقًا للأسطورة ، صاغ Apollonius of Perga المشكلة حوالي 220 قبل الميلاد. ه. في كتاب "اللمس" ، الذي فقده ، ولكن تم ترميمه عام 1600 على يد فرانسوا فيتا ، "جاليك أبولونيوس" ، كما أطلق عليه معاصروه.

إذا لم تقع أي دائرة داخل الدائرة الأخرى ، فإن هذه المشكلة لها 8 حلول مختلفة بشكل أساسي.

بناء المضلعات المنتظمة.

ص

صيح (أو متساوي الاضلاع ) مثلث - هذه مضلع منتظمبثلاثة أضلاع ، الأول من المضلعات المنتظمة. كل شئأضلاع مثلث متساوي الأضلاع متساوون ، والجميعالزوايا 60 درجة. لإنشاء مثلث متساوي الأضلاع ، تحتاج إلى تقسيم الدائرة إلى 3 أجزاء متساوية. للقيام بذلك ، من الضروري رسم قوس بنصف قطر R لهذه الدائرة من طرف واحد فقط من القطر ، نحصل على القسمين الأول والثاني. القسم الثالث يقع في الطرف المقابل للقطر. من خلال ربط هذه النقاط ، نحصل على مثلث متساوي الأضلاع.

مسدس منتظم يمكنبناء مع البوصلة والمسطرة. أقليتم إعطاء طريقة البناءبتقسيم الدائرة إلى 6 أجزاء. نستخدم مساواة أضلاع الشكل السداسي المنتظم مع نصف قطر الدائرة المحددة. من الطرفين المتقابلين لأحد أقطار الدائرة ، نصف أقواس نصف قطرها R. ستقسم نقاط التقاطع بين هذه الأقواس مع دائرة معينة إلى 6 أجزاء متساوية. ربط النقاط الموجودة باستمرار ، يتم الحصول على مسدس منتظم.

بناء خماسي منتظم.

ص
يمكن أن يكون البنتاغون العاديشيدت باستخدام البوصلة والمسطرة ، أو عن طريق تركيبها في معطىدائرة ، أو بالبناء على أساس جانب معين. وصف إقليدس هذه العمليةفي عناصره ، حوالي 300 قبل الميلاد. ه.

إليك طريقة واحدة لبناء خماسي منتظم في دائرة معينة:

أنشئ دائرة يُدرج فيها البنتاغون وحدد مركزه على أنها . (هذه هي الدائرة الخضراء في الرسم البياني على اليمين).

اختر نقطة على الدائرةأ ، والتي ستكون إحدى رءوس البنتاغون. رسم خط من خلالا وأ .

أنشئ خطًا عموديًا على الخطOA يمر بالنقطةا . عيّن أحد تقاطعاتها مع الدائرة كنقطةب .

بناء نقطةج في منتصف الطريق بينا وب .

ج من خلال نقطةأ . ضع علامة على تقاطعها مع الخطOB (داخل الدائرة الأصلية) كنقطةد .

ارسم دائرة في الوسطأ من خلال النقطة D ، ضع علامة على تقاطع هذه الدائرة مع الأصلية (الدائرة الخضراء) كنقاطه وF .

ارسم دائرة في الوسطه من خلال نقطةأ جي .

ارسم دائرة في الوسطF من خلال نقطةأ . عيّن تقاطعها الآخر مع الدائرة الأصلية كنقطةح .

بناء خماسي منتظمAEGHF .

مشاكل غير قابلة للحل

تم تحديد مهام البناء الثلاث التالية في العصور القديمة:

ثلاثية الزاوية - قسم زاوية اعتباطية إلى ثلاثة أجزاء متساوية.

بعبارة أخرى ، من الضروري بناء ثلاثيات الزاوية - الأشعة التي تقسم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. أثبت P. L. Vanzel في عام 1837 أن المشكلة قابلة للحل فقط عندما يكون التقسيم الثلاثي ممكنًا للزوايا α = 360 درجة / ن ، بشرط ألا يكون العدد الصحيح n قابلًا للقسمة على 3. ومع ذلك ، يتم نشره في الصحافة من وقت لآخر طرق (غير صحيحة) لتثليث الزاوية بالبوصلة والمسطرة.

مضاعفة المكعب - مشكلة قديمة كلاسيكية تتعلق ببناء مكعب ببوصلة ومسطرة ، حجمه ضعف حجم مكعب معين.

في التدوين الحديث ، يتم تقليل المشكلة إلى حل المعادلة. كل ذلك يعود إلى مشكلة بناء جزء من الطول. أثبت P. Wanzel في عام 1837 أنه لا يمكن حل هذه المشكلة بمساعدة البوصلة والمعايرة.

تربيع الدائرة - مهمة إيجاد بناء باستخدام بوصلة ومسطرة مربع تساوي مساحة دائرة معينة.

كما تعلم ، بمساعدة البوصلة والمسطرة ، يمكنك إجراء جميع العمليات الحسابية الأربعة واستخراج الجذر التربيعي ؛ ومن ثم فإنه يترتب على ذلك أن تربيع الدائرة ممكن إذا وفقط إذا كان من الممكن ، بمساعدة عدد محدود من هذه العمليات ، إنشاء مقطع بطول π. وبالتالي ، فإن عدم قابلية هذه المشكلة للحل ينبع من الطبيعة غير الجبرية (التعالي) للعدد π ، والتي تم إثباتها في عام 1882 بواسطة Lindemann.

مشكلة أخرى معروفة لا يمكن حلها بمساعدة البوصلة والمسطرة هيبناء مثلث بثلاثة أطوال معطاة للمنصفات .

علاوة على ذلك ، تظل هذه المشكلة غير قابلة للحل حتى في وجود trisector.

فقط في القرن التاسع عشر تم إثبات أن جميع المشاكل الثلاثة كانت غير قابلة للحل باستخدام البوصلة والمسطرة فقط. تم حل مسألة إمكانية البناء تمامًا بالطرق الجبرية القائمة على نظرية جالوا.

هل تعرف أن...

(من تاريخ الانشاءات الهندسية)

ذات مرة ، تم استثمار معنى صوفي في بناء المضلعات المنتظمة.

لذلك ، فإن الفيثاغورس ، أتباع التعاليم الدينية والفلسفية التي أسسها فيثاغورس ، والذين عاشوا في اليونان القديمة (الخامسأنا-أنا الخامسقرون قبل الميلاد BC) ، تم اعتماده كدليل على اتحادهم مضلع نجمي يتكون من أقطار خماسي منتظم.

تم تحديد قواعد البناء الهندسي الصارم لبعض المضلعات المنتظمة في كتاب "البدايات" لعالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس ، الذي عاش فيثالثافي. قبل الميلاد. لتنفيذ هذه الإنشاءات ، اقترح إقليدس استخدام مسطرة وبوصلة فقط ، والتي لم يكن لديها في ذلك الوقت جهاز مفصلي لتوصيل الأرجل (كان مثل هذا القيد في الأدوات شرطًا لا غنى عنه للرياضيات القديمة).

استخدمت المضلعات المنتظمة على نطاق واسع في علم الفلك القديم. إذا كان إقليدس مهتمًا ببناء هذه الأشكال من وجهة نظر الرياضيات ، فعندئذ بالنسبة لعالم الفلك اليوناني القديم كلوديوس بطليموس (حوالي 90 - 160 بعد الميلاد) ، فقد تبين أنه ضروري كأداة مساعدة في حل المشكلات الفلكية. لذلك ، في الكتاب الأول من المجسطي ، تم تخصيص الفصل العاشر بأكمله لبناء الخماسيات والعشاري المنتظمة.

ومع ذلك ، بالإضافة إلى الأعمال العلمية البحتة ، كان بناء المضلعات المنتظمة جزءًا لا يتجزأ من كتب البناة والحرفيين والفنانين. لطالما كانت القدرة على تصوير هذه الأشكال مطلوبة في الهندسة المعمارية والمجوهرات والفنون الجميلة.

تقول "الكتب العشرة عن العمارة" للمهندس الروماني فيتروفيوس (الذي عاش حوالي 63-14 قبل الميلاد) أن أسوار المدينة يجب أن تبدو كمضلع منتظم في المخطط ، وأبراج القلعة "يجب أن تكون مستديرة أو متعددة الأضلاع ، لأن الرباعي بدلا من تدمير أسلحة الحصار.

كان تخطيط المدن ذا أهمية كبيرة لفيتروفيوس ، الذي اعتقد أنه من الضروري تخطيط الشوارع حتى لا تهب الرياح الرئيسية على طولها. كان من المفترض أن تكون هناك ثماني رياح من هذا القبيل وأنها تهب في اتجاهات معينة.

خلال عصر النهضة ، لم يكن بناء المضلعات العادية ، وخاصة البنتاغون ، لعبة رياضية بسيطة ، ولكنه كان شرطًا أساسيًا ضروريًا لبناء القلاع.

كان السداسي المنتظم موضوع دراسة خاصة قام بها عالم الفلك والرياضيات الألماني العظيم يوهانس كيبلر (1571-1630) ، والتي تحدث عنها في كتابه هدية العام الجديد ، أو عن رقاقات الثلج السداسية. ناقش الأسباب التي تجعل رقاقات الثلج لها شكل سداسي ، ويلاحظ ، على وجه الخصوص ، ما يلي: "... لا يمكن تغطية الطائرة بدون فجوات إلا بالأشكال التالية: مثلثات متساوية الأضلاع ، ومربعات ، ومسدسات منتظمة. من بين هذه الأشكال ، يغطي الشكل السداسي المنتظم أكبر مساحة.

كان من أشهر العلماء المشاركين في الإنشاءات الهندسية الفنان والرياضيات الألماني العظيم ألبريشت دورر (1471-1528) ، الذي خصص جزءًا كبيرًا من كتابه "مبادئ توجيهية ..." لهم. اقترح قواعد لبناء المضلعات العادية مع 3. 4 ، 5 ... 16 جانبًا. طرق تقسيم الدائرة التي اقترحها Dürer ليست عالمية ؛ في كل حالة ، يتم استخدام تقنية فردية.

طبق دورر طرق بناء المضلعات المنتظمة في الممارسة الفنية ، على سبيل المثال ، عند إنشاء أنواع مختلفة من الزخارف وأنماط الباركيه. قام بعمل رسومات لهذه الأنماط خلال رحلة إلى هولندا ، حيث تم العثور على أرضيات خشبية في العديد من المنازل.

صنع Durer زخارف من مضلعات منتظمة ، متصلة في حلقات (حلقات من ستة مثلثات متساوية الأضلاع ، وأربعة رباعي الزوايا ، وثلاثة أو ستة سداسيات ، وأربعة عشر سباعيًا ، وأربعة مثمنات).

خاتمة

وبالتالي،الانشاءات الهندسية هي طريقة لحل مشكلة يتم فيها الحصول على الإجابة بيانياً. يتم تنفيذ الإنشاءات باستخدام أدوات الرسم بأقصى قدر من الدقة والدقة في العمل ، لأن صحة القرار تعتمد على ذلك.

بفضل هذا العمل ، تعرفت على تاريخ أصل البوصلة ، وتعرفت على قواعد أداء الإنشاءات الهندسية بمزيد من التفصيل ، واكتسبت معرفة جديدة ووضعتها موضع التنفيذ.
يعد حل مشكلات البناء باستخدام البوصلة والمسطرة هواية مفيدة تتيح لك إلقاء نظرة جديدة على الخصائص المعروفة للأشكال الهندسية وعناصرها.في هذا البحث ، نأخذ في الاعتبار المشكلات الأكثر إلحاحًا المرتبطة بالتركيبات الهندسية باستخدام البوصلة والاستقامة. يتم النظر في المهام الرئيسية وتقديم الحلول لها. تعتبر المهام المذكورة أعلاه ذات أهمية عملية كبيرة ، فهي تعزز المعرفة المكتسبة في الهندسة ويمكن استخدامها في العمل العملي.
وبالتالي ، يتم تحقيق هدف العمل ، ويتم تحقيق مجموعة المهام.

أكاديمية صغيرة لعلوم أطفال المدارس في الجريمة

"الباحث"

قسم "الرياضيات"

البناء الهندسي باستخدام المسطرة ذات الجانبين

لقد أنجزت العمل لكن

_____________

طالب فئة

المستشار العلمي

مقدمة ………………………………………………………………………… ..… ..3

أولاً - الإنشاءات الهندسية على متن الطائرة .................. ... 4

أولا 1. البديهيات العامة للهندسة البناءة. أساسيات الأدوات الرياضية ……………………………………………………………………………… .. 4

أنا 2. ……………………….....5

I.3. الانشاءات الهندسية بمسطرة واحدة …………………………… .. 7

أنا.4. المهام الرئيسية لبناء مسطرة ذات وجهين ………………… .. 8

م 5. حل المهام المختلفة للبناء

م 6. تركيبات ذات مسطرة من جانب واحد ……………………………………… ..... 20

أنا 7. قابلية التبادل للمسطرة ذات الوجهين مع البوصلة والمسطرة .... 21

الخلاصة ………………………………………………………………………… .24

قائمة الأدب المستعمل ……………………………… .. …………… .25

مقدمة

تتضمن مهام البناء بوسائل محدودة مهام البناء فقط باستخدام البوصلة والمسطرة ، والتي يتم أخذها في الاعتبار في المناهج الدراسية. هل يمكن حل مشاكل البناء بمسطرة واحدة فقط؟ غالبًا لا توجد بوصلة في متناول اليد ، ويمكن دائمًا العثور على المسطرة.

مهام البناء في الهندسة قسم رائع. يعود الاهتمام به إلى جمال وبساطة المحتوى الهندسي. تزداد الحاجة الملحة للنظر في هذه المشاكل بسبب حقيقة أنها تجد التطبيق في الممارسة العملية. تعتبر القدرة على استخدام مسطرة واحدة لحل المشكلات التي تم تناولها في هذه الورقة ذات أهمية كبيرة في الممارسة ، لأن نواجه باستمرار مشاكل تقسيم شريحة إلى النصف ، ومضاعفة شريحة معينة ، وما إلى ذلك.

في هذه الورقة ، نأخذ في الاعتبار المهام الرئيسية للبناء ، والتي تعمل كدعم في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

كما تظهر التجربة ، تثير مهام البناء الاهتمام وتساهم في تنشيط النشاط العقلي. عند حلها ، يتم استخدام المعرفة حول خصائص الأشكال بنشاط ، وتطوير القدرة على التفكير ، وتحسين مهارات الإنشاءات الهندسية. نتيجة لذلك ، يتم تطوير القدرات البناءة ، وهو أحد أهداف دراسة الهندسة.

الفرضية: لا يمكن حل جميع مشاكل البناء التي يمكن حلها بالبوصلة والمسطرة إلا باستخدام مسطرة ذات وجهين.

موضوع الدراسة: مهام البناء ومسطرة ذات وجهين.

أهداف الدراسة: إثبات أن جميع مشاكل البناء لا يمكن حلها إلا بمساعدة المسطرة ذات الوجهين..

أهداف البحث: دراسة الأسس النظرية لحل مشاكل البناء. حل مشاكل البناء الأساسية بمساعدة المسطرة ذات الوجهين ؛ إعطاء أمثلة على مهام البناء الأكثر تعقيدًا ؛ تنظيم المواد النظرية والعملية.

1. الإنشاءات الهندسية على متن الطائرة

أولا 1. البديهيات العامة للهندسة البناءة. بديهيات الأدوات الرياضية

بالنسبة للهندسة البناءة ، من الضروري أن يكون لديك وصف دقيق وكامل لأداة معينة للأغراض الرياضية. يتم إعطاء مثل هذا الوصف في شكل بديهيات. تعبر هذه البديهيات في شكل رياضي مجرد عن خصائص أدوات الرسم الحقيقية المستخدمة في الإنشاءات الهندسية.

الأدوات الأكثر استخدامًا للإنشاءات الهندسية هي:مسطرة (من جانب واحد) , بوصلة، ثنائي مسطرة (بحواف متوازية) والبعض الآخر.

أ- بديهية الحاكم.

تتيح لك المسطرة تنفيذ الإنشاءات الهندسية التالية:
أ) بناء مقطع يربط بين نقطتين محددتين ؛

ب) إنشاء خط مستقيم يمر عبر نقطتين محددتين ؛

ج) إنشاء شعاع منبثق من نقطة مبنية ويمر عبر نقطة أخرى مبنية.

ب- بديهية البوصلة.

تسمح لك البوصلة بتنفيذ الإنشاءات الهندسية التالية:
أ) أنشئ دائرة إذا كان مركز الدائرة وجزءًا يساوي نصف قطر الدائرة (أو نهاياتها) ؛

ب- بديهية الحاكم ذي الوجهين.

تتيح لك المسطرة ذات الوجهين:

أ) تنفيذ أي من الإنشاءات الواردة في البديهية أ ؛

ب) في كل من أنصاف المستويات المحددة بواسطة الخط المُنشأ ، قم بإنشاء خط موازٍ لهذا الخط ويمر منه على مسافةلكن، أين لكن - قطعة ثابتة لمسطرة معينة (عرض المسطرة) ؛

ج) إذا تم تكوين نقطتين A و B ، فحدد ما إذا كان AB سيكون أكبر من جزء ثابتلكن (عرض المسطرة) ، وإذا كان AB>لكن ، ثم قم ببناء زوجين من الخطوط المتوازية التي تمر عبر النقطتين A و B ، على التوالي ، ومتباعدة عن بعضها البعض على مسافةلكن .

بالإضافة إلى الأدوات المذكورة أعلاه ، يمكنك استخدام أدوات أخرى للإنشاءات الهندسية: زاوية عشوائية ، مربع ، مسطرة بعلامات ، زوج من الزوايا اليمنى ، أجهزة مختلفة لرسم منحنيات خاصة ، إلخ.

أنا 2. مبادئ عامة لحل مشاكل البناء

مهمة البناء يتكون من حقيقة أنه مطلوب بناء شخصية معينة باستخدام الأدوات المشار إليها ، إذا تم تقديم بعض الأشكال الأخرى وتم الإشارة إلى علاقات معينة بين عناصر الشكل المطلوب وعناصر هذا الشكل.

يسمى كل رقم يلبي شروط المشكلةقرارهذه المهمة.

إيجاد حل تعني مهمة البناء اختزالها إلى عدد محدود من الإنشاءات الأساسية ، أي للإشارة إلى تسلسل محدود من الإنشاءات الأساسية ، وبعد ذلك سيتم اعتبار الشكل المرغوب بالفعل مبنيًا بموجب البديهيات المقبولة للهندسة البناءة. تعتمد قائمة الإنشاءات الأساسية المقبولة ، وبالتالي مسار حل المشكلة ، بشكل أساسي على نوع الأدوات المستخدمة في الإنشاءات.

حل مشكلة البناء - يعني، تجد كل الحلول .

التعريف الأخير يحتاج إلى بعض الإيضاح. يمكن أن تختلف الأرقام التي تفي بشروط المشكلة من حيث الشكل أو الحجم ، وفي الموضع على المستوى. تؤخذ الاختلافات في الموضع على المستوى في الاعتبار أو لا تؤخذ في الاعتبار اعتمادًا على صياغة مهمة البناء نفسها ، سواء كانت حالة المشكلة توفر موقعًا معينًا للشكل المطلوب بالنسبة إلى أي أرقام معينة أم لا.

إذا تم العثور على حل لمشكلة ما ، فيُسمح في المستقبل باستخدام هذا الحل "ككل" ، أي دون تقسيمه إلى تركيبات أساسية.

هناك عدد من مشاكل البناء الهندسي البسيطة ، والتي غالبًا ما يتم تضمينها كمكونات في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا. سوف نسميها مشاكل البناء الهندسية الأولية. قائمة المهام الابتدائية ، بالطبع ، مشروطة. تشمل المهام الأكثر شيوعًا ما يلي:

قسّم هذه القطعة إلى نصفين.

اقسم هذه الزاوية إلى نصفين.

البناء على خط معين من مقطع يساوي المقطع المحدد.

بناء زاوية تساوي زاوية معينة.

بناء خط يمر عبر نقطة معينة موازية لخط معين.

بناء خط يمر عبر نقطة معينة وعمودي على خط معين.

تقسيم الجزء في هذا الصدد.

بناء مثلث معطى ثلاثة جوانب.

بناء مثلث بمعلومية ضلع وزاويتين متجاورتين.

بناء مثلث بمعرفة ضلعين وزاوية بينهما.

عند حل أي مشكلة إنشائية معقدة نوعًا ما ، يُطرح السؤال حول كيفية التفكير من أجل إيجاد طريقة لحل المشكلة ، والحصول على جميع الحلول للمشكلة ، ومعرفة الشروط لإمكانية حل المشكلة ، وما إلى ذلك. ، عند حل المشكلات البناءة ، يستخدمون مخطط الحل المكون من الخطوات الأربع التالية:

1) التحليل.
2) البناء.
3) إثبات.
4) البحث.

I.3. الانشاءات الهندسية بمسطرة واحدة

سننظر في المسطرة من وجهتي نظر: كحاكم ومسطرة ذات وجهين.

1. مسطرة على الوجهينالعرض لكن سوف نطلق على مسطرة ذات حواف متوازية تقع على مسافة لكن من بعضها البعض ، مما يجعل من الممكن البناء مباشرة:

أ) خط تعسفي ؛

ب) خط مستقيم يمر عبر نقطتين معطاة أو تم الحصول عليها في عملية حل المشكلة ؛

ج) خطوط متوازية ، يمر كل منها بإحدى النقطتين ، والمسافة بينهما أكبر منلكن (أثناء هذا البناء ، تكون المسطرة في مثل هذا الوضع بحيث يكون لكل من حافتيها المتوازيين إحدى النقطتين المحددتين ؛ في هذه الحالة ، سنتحدث عن بناء مباشر).

يعتبر عرض المسطرة في هذا البناء ثابتًا ، وبالتالي ، إذا كان من الضروري إجراء بناء مباشر فيما يتعلق ببعض النقاط التي تم الحصول عليها أثناء عملية حل مشكلة معينةلكنو في ، ثم يجب أن نثبت أن الطولABمزيد من الطول لكن .

سننظر في نقطة تم إنشاؤها إذا كانت إحدى البيانات أو كانت تقاطعًا بين سطرين مركبين ؛ في المقابل ، سننظر في الخط الذي تم إنشاؤه إذا كان يمر عبر النقاط المنشأة أو المحددة.

باستخدام مسطرة على الوجهين ، يمكنك بناء ما يلي.

أ) يمكن رسم خط من خلال أي نقطتين ، ولكن نقطة واحدة فقط.

ب) أياً كان الخط ، هناك خطان بالضبط في المستوى موازٍ له وعلى مسافة منهأ .

ج) من خلال النقطتين A و B عند AB لكن من الممكن رسم زوجين من التوازيمباشرة؛ في AB = لكن يمكن رسم زوج من الخطوط المتوازية ، والمسافة بينهما تساويلكن .

إذا تم إعطاء نقطة واحدة ، نقطتين ، ثلاث نقاط ، فلا يمكن بناء نقاط جديدة

(شكل 1)؛

إذا أعطيت أربع نقاط ، بعضها ثلاث (أو الأربعة جميعها) تقع على نفس الخط المستقيم ، فلا يمكن بناء نقاط أخرى (الشكل 2) ؛

بالنظر إلى أربع نقاط تقع عند رؤوس متوازي الأضلاع ، يمكن بناء نقطة واحدة فقط - مركزها. (تين. 3).

بعد قبول ما ورد أعلاه ، فإننا ننظر بشكل منفصل في المشكلات التي يتم حلها بواسطة مسطرة ذات وجهين.

أنا.4. المهام الأساسية لبناء مسطرة على الوجهين

1
. أنشئ منصف الزاوية ABC.

المحلول: (الشكل 4)

لكن  (في ج) و ب  (مجموعة  ب = د .

احصل على B د- منصف  ABC.

في الواقع ، حصلت عليها

بناء متوازي الأضلاع هو

المعين ، لأن ارتفاعاته متساوية. فيد –

قطري المعين هو المنصف ABC. الشكل 4

2
. ضاعف الزاوية المعطاة ABC

المحلول : (الشكل 5) أ) لكن  (AB) ،

لكن  (في ج)= د , من خلال النقطتين B و د

ب مباشرة؛

ب) من خلال النقطتين ب ود م  ب

مباشرة،ب Ç أ = F .

احصل على Ð AB F = 2 Ð ABC .

الشكل 5

3 . لهذا الخط م ن في هذا

ارسم عموديًا على النقطة أ

المحلول : (الشكل 6)

1) (AA 1) || (VV 1) || (SS 1) -

مباشرة (في (م ن),

من Î (م ن)) ؛ 2) من خلال A و B

م || ن - مباشرة،

م Ç (SS 1) = د .

نحصل على (A د )  (م ن ).

الشكل 6.

4
. من خلال نقطة معينة لا الكذب

هذا الخط ، ارسم عموديًا

ل هذا الخط المستقيم.

المحلول: من خلال هذه النقطة يا رسم

سطرين يتقاطعان مع معطى

خط مستقيم AB ، ومضاعفة زوايا الناتج

المثلثات المجاورة لشيء معين

مستقيم.  OA ن = 2  OAB و

OV ن = 2  OVA (الشكل 7).

الشكل 7

5. أنشئ نقطة متناظرة مع نقطة معينة فيما يتعلق بخط معين.

المحلول: انظر المشكلة 4 (النقطة O متناظرة مع النقطةن. الشكل 7)

6. ارسم خطًا مستقيمًا بالتوازي مع هذا

ص
خط م ن ، من خلال النقطة أ ، لا

تنتمي إلى الخط M. ن .

الحل 1: (الشكل 8)

1) (AA 1) || (VV 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (KK 1) -

– مباشرة ، (SA)Ç (BB 1) \ u003d C 2 ؛

2) (ج 2 ك) Ç (DD 1 ) = F .

(لكن F ) هو الخط المطلوب.

الشكل 8

الحل 2 . في الشكل 8 1 مرقمة

تسلسل الخطوط المستقيمة ،

منها 1 و 2 و 3 متوازية في

البناء المباشر

(لكن F) || (م ن).

الشكل 8 1

7
. اقسم هذا الجزء AB على نصفين.

الحل 1 (الشكل 9) (فقط للحالة التي يكون فيها عرض المسطرة أقل من طول المقطع المحدد). ارسم زوجين من الخطوط المتوازية من خلالهما مباشرة

نهايات هذا المقطع ، ثم قطري

المعين الناتج. O هي نقطة المنتصف لـ AB.

أرز. تسع.

الحل 2 (الشكل 9 ، أ)

1) أ || (مجموعة ب || (AB) - مباشرة ؛

2) (عربي) ، (عربي)Ç أ = ج ، (ا ف ب) Ç ب = د ;

3) (د في) Ç أ = م ، (CB) Ç ب = ن ;

4) (م ن ) Ç (AB) = K ؛

5) (د ل) Ç (لكن ن ) = F ;

6) (في F ) Ç ب = د 1 ، (ب F ) Ç أ \ u003d ج ​​1 ؛

7) (د في ) Ç (لكن د 1) = X ،

(تيار متردد 1) Ç (CB) = ض.

8) (X ض) Ç (AB) = O. نحصل على AO = OB.

الشكل 9 ، أ

الحل 3 .(أرز. 9 ب)

وكما هو معروف , في منتصف شبه منحرف

القواعد ، نقطة التقاطع

الأقطار ونقطة التقاطع

ملحقات جانبية

تقع على نفس الخط.

1) م || (AB) - مباشرة ؛

2) ج Î م , د Î م ، (تيار متردد) Ç (في د ) = ل؛ الشكل 9 ، ب

3) (CB) Ç (لكن د ) = F ; 4) (ك F ) Ç (AB) = O. نحصل على AO = OB.

م 5. حل مشاكل البناء المختلفة

في حل المشكلات التالية المتعلقة بالبناء باستخدام المسطرة ذات الوجهين فقط ، يتم استخدام البناء المباشر للخطوط المتوازية والمشكلات السبع الرئيسية المذكورة أعلاه.

1. ارسم خطين متعامدين بشكل متبادل من خلال هذه النقطة.

ص المحلول: تمر عبر هذه النقطة

سطرين تعسفي ،

ثم المنصفين

الزوايا المجاورة. (الشكل 10)

الشكل 10

2. الجزء المعطى أ د طول معين.

أنشئ مقطعًا طوله.

ص
المحلول : دعونا ننفق م  لكنو ح || م عير

النقطة أ. F || (لكن د ) , ك || (ميلادي) مباشرة.

لنرسم AB و AC ، حيث B =F  م ,

أ ج = م  ك . بطريقة معروفة

قسّم AB و AC إلى نصفين و

ارسم وسيط المثلث

ABC. بممتلكات الوسطاء

مثلث أوه د = - مستهدف

قطعة (الشكل 11)

أرز. أحد عشر

3. أنشئ قطعة مستقيمة طولها

يساوي محيط المثلث.

المحلول: (الشكل 12). دعونا نبني المنشّفات

زاويتان خارجيتان للمثلث ، ثم

3 قمم في ارسم خطوط عمودية

لهذه المنصات.

DE = أ + ب + مع

الشكل 12

4. نظرا لقطعة من الطول أ. بناء قطاعات الطول 2 أ ، 3 أ.

ص المحلول: (الشكل 13)

1 م ن) || (AB) و (M 1 ن 1 ) || (م ن) || (م 2 ن 2 ) –

مباشرة؛

2) (CA) و (CB) من خلال A و B.

الأجزاء A 1 B 1 و A 2 B 2 مطلوبة.

يمكن أن يكون حل آخر لهذه المشكلة

الخروج من حل المشكلة 7.

أرز. 13

5. يتم إعطاء جزأين على خط مستقيم ، أطوالهما a و ب . أنشئ مقاطع تساوي أطوالها + ب , ب - لكن، ( أ + ب )/2 و ( ب - أ )/2 .

المحلول: ولل أ + ب(الشكل 14 ، أ)

الشكل 14 ، أ

ب) ل ( أ + ب) / 2 (الشكل 14 ، ب)

1) (أ 1 ب 1) || (أ 2 ب 2) || (AB) - مباشرة ؛

2) م Î (أ 2 ب 2) ، (المكسيك) Ç (أ 1 ب 1) = ن، (م ح) Ç (أ 1 ب 1) = ص;

3) (السنة التحضيرية) Ç (أ 2 ب 2) = إل, (LZ ) Ç (أ 1 ب 1) = ا

نحن نحصل: ن ا = NP + ص =
.

أرز. 14 ب

ج) ل ب - لكن(الشكل 14 ، ج)

أرز. 14 ، في

ج) ل ( ب - أ )/2 (الشكل 14 د)

أرز. 14 ، ز

6
. أنشئ مركز هذه الدائرة.

المحلول : (الشكل 15) ارسم خطًا مستقيمًا AB ،

تتقاطع الدائرة عند النقطتين A و B ؛

الشمس  AB ، حيث C هي نقطة التقاطع

بدائرة.

ارسم من خلال النقطة C الموازية لـ AB

خط مستقيم ج د؛ منديعبر الدائرة

في هذه النقطةد.

عن طريق الاتصالدمع B و A مع C ، نحصل على

النقطة المرغوبة هي مركز الدائرة. أرز. 15

الحل 2: (الشكل 16) أنشئ وترين متوازيين باستخدام مسطرة ذات وجهينميلادي وقبل الميلاد . نحصل على شبه منحرف متساوي الساقينا ب ت ث. اسمحوا انك وص - نقاط تقاطع الخطوطتيار متردد وBD , AB والعاصمة . ثم الخطص ك يمر عبر نقاط المنتصف لقواعد شبه منحرف متعامدة عليها ، مما يعني أنه يمر عبر مركز الدائرة المحددة. بعد أن قمنا ببناء خط مستقيم آخر مماثل ، نجد مركز الدائرة.

أرز. 16

7. يوجد قوس لدائرة. أنشئ مركز الدائرة

المحلول . (الشكل 17) ضع علامة على ثلاث نقاط أ ، ب ، ج على هذا القوس ، لنربط مسطرة بأطراف المقطع AB ونضع دائرة حول حوافها. نحصل على خطين متوازيين. بتغيير موضع المسطرة ، ارسم خطين مستقيمين متوازيين آخرين. نحصل على دالتون (متوازي الأضلاع بارتفاعات متساوية). أحد أقطار المعين هو المنصف العمودي على القطعةAB ، لأن قطري المعين يقع على المنصف العمودي للقطر الآخر. وبالمثل ، فإننا نبني المنصف العمودي على القطعةتيار متردد . نقطة تقاطع الخطوط العمودية المتوسطة المركبة هي مركز الدائرة المرغوبة.

أرز. 17

8. إذا كان الجزء AB ، والمستقيم l غير الموازي له ، ونقطة M عليه. باستخدام مسطرة واحدة على الوجهين ، قم ببناء نقاط تقاطع الخط l مع دائرة نصف قطرها AB مع مركز M.

المحلول: (الشكل 18)

لنكمل المثلثABM متوازي الأضلاعABNM . دعونا نبني المنصفين MT والسيدةبين الزواياMNومباشرل . دعنا نمر عبر النقطةن خطوط موازية لهذه المنصات:NQ || السيدة, NR || MT. MT│ السيدةكمنصف للزوايا المتجاورة. وسائل،NQ │ MT ، أي في مثلثNMQالمنصف هو الارتفاع ، فيكون المثلث متساوي الساقين:MQ = MN. بطريقة مماثلة،السيد = MN. نقاطسوصمستهدف.

أرز. الثامنة عشر

9. إعطاء خط l وقطعة OA موازية لـ l. باستخدام مسطرة واحدة على الوجهين ، قم ببناء نقاط تقاطع الخط l بدائرة نصف قطرها OA متمركزة في O.

المحلول: (الشكل 19 ، أ)

لنرسم خطًا مستقيمًال 1 ، بالتوازي مع الخطOA وعلى مسافة منهأ . لنأخذ الأمر بشكل مستقيمل نقطة تعسفيةب . اسمحوا انب 1 - نقطة تقاطع الخطوطOB ول 1 . دعنا نمر عبر النقطةب 1 مستقيم ، متوازيAB ؛ هذا الخط يتقاطع مع الخطOA في هذه النقطةأ 1 . دعنا الآن نمر بالنقاطا وأ 1 زوج من الخطوط المتوازية ، والمسافة بينهماأ (يمكن أن يكون هناك زوجان من هذه الخطوط) ؛ اسمحوا انX وX 1 - نقطة تقاطع الخط المار بالنقطةا ، بخطوط مستقيمةل ول 1 . لأنOA 1 = ثور 1 و ∆OA 1 X 1 ∆ OAX ، ثم А = ОХ ، أشرX مستهدف.

وبالمثل ، فإننا نبني النقطة الثانية من تقاطع الدائرة والخط المستقيم - النقطةص(الشكل 18 ، ب).

أرز. 18 ، أ

أرز. 18 ب

م 6.الإنشاءات بمسطرة من جانب واحد

دبليو
هنا نعتبر حالة خاصة: دعنا نعطي النقاط P ،س، ر 1 وس 1 . وتقع عند رؤوس شبه منحرف.

1. قسّم مقطع P س في النصف

المحلول هو مبين في الشكل 19

نقاط معينة P ،س، ر 1 وس 1 والخطوط المتوازية

صس، ر 1 س 1 . دعونا نقضي Pس 1  سص 1 = ب , RR 1  ف ف 1 = أ

قم بتوصيل النقطتين A و B. AB صس = F- وسط

الجزء صس.

أرز. 19

2. مقطع مزدوج ص 1 س 1.

ص
المحلول هو مبين في الشكل 20. دعونا نبني

نقطةF- منتصف المقطع R.سوربطها

منس 1. ص 1 س FQ 1 = M. دعونا ننفذ RM. RM ص 1 س 1 = ص

المساواةRQو ر 1 س 1 يتبع من التشابه

مثلثات RMFو صمس 1 ,

Fمسو ص 1 مس 1 ، والمساواة РFوFQ.

أرز. عشرين

3
. أنشئ مقطع طول ن  ص 1 س 1 .

م – 1 شرائح متساوية صس 2 , س 2 س 3, … س م -1 س م

ثم نبني (RR 1 ) وس م س 1 والاتصال

نقطة تقاطعهم أ مع النقاط

س 2 , س 3, … س م تلقىم -1 مباشرة

يقسمص 1 س 1 على الم مساو القطع.

بالنسبةم = 4 يظهر الحل في الشكل 22

الشكل 22

أنا 7. قابلية التبادل للمسطرة على الوجهين مع البوصلة والمسطرة

دعونا نثبت أن المسطرة ذات الوجهين قابلة للتبادل مع البوصلة والمسطرة. للقيام بذلك ، نثبت التأكيدات التالية:

الاقتراح 1: يمكن عمل جميع الإنشاءات التي يمكن إجراؤها باستخدام البوصلة والاستقامة باستخدام أداة تقويم على الوجهين.

نظرًا لأنه عند الإنشاء باستخدام بوصلة ومسطرة ، ترسم المسطرة خطًا مستقيمًا من خلال نقطتين ، وتقوم البوصلة ببناء دائرة (تجد مجموعة من النقاط على مسافة متساوية من النقطة المحددة) ، ثم يتم تقليل جميع الإنشاءات التي تحتوي على بوصلة ومسطرة إلى إنشاء تقاطع بين خطين مستقيمين ودائرتين ودائرة بخط مستقيم.

يمكن رسم تقاطع سطرين باستخدام المسطرة.

تقاطع دائرة وخط مستقيم (شكل 23):

بناء:دعنا نعطي المقطع AB - نصف قطر الدائرة ، الخط المستقيمل ، مركز الدائرة O ، ثم:

1) ننفق نظام التشغيل ||ل ، OS = AB.

2) ننفق نظام التشغيل ||كوجهاز التحكم عن بعد على أ.

3) ننفقالتطوير التنظيمي, التطوير التنظيمي ل = د; التطوير التنظيمي ك) نتيجة طبيعية لنظرية طاليس

4) وفق قانون انتقالية المساواة

5) النظرOMQE. OMQEمتوازي الأضلاع ، منذ OM ||المعادلو عمر الفاروق ||MC(الجوانب الخطية متوازية). دعنا نثبت أن هذا المعين.

5.1) السلوكQZ OCوQG على، ومن بعدQG = QZ = أ.

5.2)  OMQ =  RQM(عبر الكذب) ؛  نظام التشغيل =علىالتي كان من المقرر إثباتها.

تقاطع دائرتين: متشابهة.

العبارة 2: جميع الإنشاءات الممكنة باستخدام مسطرة ذات وجهين ممكنة باستخدام البوصلة والمسطرة.

للقيام بذلك ، سنقوم بتنفيذ التركيبات المعيارية للمسطرة ذات الوجهين باستخدام بوصلة ومسطرة.

1) يتم رسم خط من نقطتين بسهولة باستخدام المسطرة.

2) بناء خط مستقيم موازٍ لخط معين وبعيد عنه على مسافة معينة:

2.1) دع خط يعطىكوجزء من الطولأ.

2.2) نبني خطاً اعتباطياًب ك، اسمحوا انك ب= ب.

2.3) تشغيلبعلى جانبي النقطةبعلى خط مستقيمبجانبا الطولأ، دع النقاطجود.

2.4) من خلال نقطةجبناء خط مستقيمج ك.

2.5) من خلال نقطةدبناء خط مستقيمد ك.

2.6) مباشرجود- المطلوب منذ ذلك الحينقبل الميلادوBDمساوأعن طريق البناء وتساوي المسافة بين الخطكومباشر

3) بناء خطوط موازية لبعضها البعض وتمر من خلال نقطتين معينتين ، والمسافة بين المسافة بينهما تساوي المقطع المحدد:

3.1) دع النقاط تعطىأوبوجزء من الطولأ.

3.2) ارسم دائرة تتمحور حول نقطة ماأونصف القطرأ.

3.3) نقوم ببناء مماس لدائرة معينة من خلال نقطةب؛ هناك نوعان من هذه الظلال ، إذابتقع خارج الدائرة (إذاAB> أ) ، واحد إذابتقع على الدائرة (إذاAB= أ) ، لا شيء إذابتقع داخل الدائرة (AB< أ). هذا الظل هو أحد الخطوط المرغوبة ؛ غادر لتمرير النقطةأخط مستقيم موازٍ لها.

3.4) نظرًا لأن أحد الخطين متعامد على نصف قطر الدائرة باعتباره مماسًا ، فإن الخط الثاني يكون أيضًا متعامدًا عليه (نظرًا لأنهما متوازيان) ، وبالتالي ، فإن المسافة بينهما تساوي نصف القطر ، والذي يساوي من خلال البناء لأوهو ما كان المطلوب.

وهكذا ، أثبتنا قابلية التبادل بين المسطرة ذات الوجهين والبوصلة والمسطرة.

الخلاصة: المسطرة ذات الوجهين قابلة للتبديل مع البوصلات والمسطرة.

خاتمة

لذلك ، تم النظر في مسألة إمكانية استخدام مسطرة واحدة لحل مشاكل البناء الكلاسيكية بمساعدة البوصلة والمسطرة. اتضح أنه يمكن حل مشاكل البناء باستخدام مسطرة واحدة ذات حواف متوازية. عند حل المشكلات الأكثر تعقيدًا ، ينبغي للمرء أن يعتمد في المستقبل على ما يسمى بالإنشاءات الأساسية التي تم تناولها في هذه الورقة.

يمكن تطبيق المواد المقدمة بشكل مباشر ليس فقط في دروس الرياضيات ، في فصول الحلقة الرياضية ، ولكن أيضًا في الأنشطة العملية.

قائمة الأدب المستخدم

علييف أ. الانشاءات الهندسية. الرياضيات في المدرسة. 1978 رقم 3

جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. م ، التنوير. 1981.

Depman I.Ya. خلف صفحات كتاب رياضيات. م .. التعليم .1989.

إلينسكي شي على خطى فيثاغورس. م ، ديتجيز. 1961.

قاموس موسوعي لعالم رياضيات شاب. م ، علم أصول التدريس. 1985

مثال

تقسيم الخط إلى النصف

مشكلة التنصيف. استخدم البوصلة والمسطرة لتقسيم هذا الجزء ABإلى قسمين متساويين. يظهر أحد الحلول في الشكل:

• ترسم البوصلات دوائر متمركزة عند النقاط أو بنصف القطر AB.
• إيجاد نقاط التقاطع صو سدائرتان مبنيتان (أقواس).
• على المسطرة ، ارسم جزءًا أو خطًا يمر بالنقاط صو س.
• إيجاد منتصف المقطع AB- نقطة التقاطع ABو PQ.

تعريف رسمي

تأخذ مشاكل البناء في الاعتبار مجموعة جميع نقاط المستوى ، ومجموعة جميع خطوط المستوى ، ومجموعة جميع دوائر المستوى ، والتي يُسمح فيها بالعمليات التالية:

1. حدد نقطة من مجموعة جميع النقاط:
   1. نقطة تعسفية
   2. نقطة تعسفية على سطر معين
   3. نقطة تعسفية على دائرة معينة
   4. نقطة تقاطع سطرين معينين
   5. نقاط التقاطع / الظل لخط معين ودائرة معينة
   6. نقاط التقاطع / الظل لدائرتين معينتين
2. "عبر الحكام»حدد خطًا من مجموعة كل الخطوط:
   1. خط تعسفي
   2. خط تعسفي يمر عبر نقطة معينة
   3. خط يمر بنقطتين معينتين
3. "عبر بوصلة»حدد دائرة من مجموعة كل الدوائر:
   1. دائرة تعسفية
   2. دائرة اعتباطية تتمحور في نقطة معينة
   3. دائرة عشوائية نصف قطرها يساوي المسافة بين نقطتين معينتين
   4. دائرة متمركزة في نقطة معينة ونصف قطرها يساوي المسافة بين نقطتين معينتين

في ظروف المشكلة ، يتم تحديد مجموعة معينة من النقاط. مطلوب ، باستخدام عدد محدود من العمليات ، لإنشاء مجموعة أخرى من النقاط من بين العمليات المسموح بها أعلاه ، والتي هي في علاقة معينة مع المجموعة الأصلية.

يحتوي حل مشكلة البناء على ثلاثة أجزاء أساسية:

1. وصف طريقة تكوين مجموعة معينة.
2. دليل على أن المجموعة التي تم إنشاؤها بالطريقة الموصوفة هي بالفعل في علاقة معينة مع المجموعة الأصلية. عادة ما يتم إثبات البناء كدليل منتظم على نظرية ، بالاعتماد على البديهيات والنظريات المثبتة الأخرى.
3. تحليل طريقة البناء الموصوفة لإمكانية تطبيقها على المتغيرات المختلفة للظروف الأولية ، بالإضافة إلى تفرد أو عدم تفرد الحل الذي تم الحصول عليه بالطريقة الموصوفة.

مشاكل معروفة

• مشكلة أبولونيوس في بناء دائرة مماس لثلاث دوائر معينة. إذا لم تقع أي دائرة داخل الدائرة الأخرى ، فإن هذه المشكلة لها 8 حلول مختلفة بشكل أساسي.
• مشكلة براهماجوبتا في بناء رباعي محفور على جوانبه الأربعة.

بناء المضلعات المنتظمة

عرفت المقاييس الهندسية القديمة كيف تصنع بشكل صحيح ن-مخصصات لـ و و.

الانشاءات الممكنة والمستحيلة

جميع الإنشاءات ليست أكثر من حلول لبعض المعادلات ، وترتبط معاملات هذه المعادلة بأطوال الأجزاء المحددة. لذلك ، من المناسب التحدث عن بناء رقم - حل رسومي لمعادلة من نوع معين. في إطار المتطلبات المذكورة أعلاه ، يمكن إنشاء الإنشاءات التالية:

• بناء حلول للمعادلات الخطية.
• بناء حلول المعادلات التربيعية.

بمعنى آخر ، من الممكن فقط تكوين أرقام مساوية للتعبيرات الحسابية باستخدام الجذر التربيعي للأرقام الأصلية (أطوال المقاطع). علي سبيل المثال،

الاختلافات والتعميمات

• الإنشاءات ببوصلة واحدة.وفقًا لنظرية Mohr-Mascheroni ، بمساعدة بوصلة واحدة ، يمكنك بناء أي شخصية يمكن بناؤها باستخدام بوصلة ومسطرة. في هذه الحالة ، يعتبر الخط مبنيًا إذا تم إعطاء نقطتين عليه.
• الإنشاءات بمسطرة واحدة.من السهل أن ترى أنه لا يمكن تنفيذ سوى الإنشاءات الثابتة الإسقاطي بمساعدة مسطرة واحدة. على وجه الخصوص ، من المستحيل حتى تقسيم المقطع إلى جزأين متساويين ، أو العثور على مركز الدائرة المرسومة. ولكن إذا كانت هناك دائرة مرسومة مسبقًا على المستوى بمركز محدد ، باستخدام مسطرة ، فيمكنك رسم نفس الإنشاءات مثل البوصلة والمسطرة (نظرية Poncelet-Steiner ( إنجليزي)) ، 1833. إذا كان هناك نوعان من الرقيق على المسطرة ، فإن الإنشاءات بمساعدتها تعادل الإنشاءات بمساعدة البوصلة والمسطرة (اتخذ نابليون خطوة مهمة في إثبات ذلك).
• الإنشاءات بأدوات محدودة.في المشاكل من هذا النوع ، لا تعتبر الأدوات (على عكس الصياغة الكلاسيكية للمشكلة) مثالية ، ولكنها محدودة: لا يمكن رسم خط مستقيم عبر نقطتين باستخدام مسطرة إلا إذا كانت المسافة بين هذه النقاط لا تتجاوز حدًا معينًا. القيمة؛ يمكن تحديد نصف قطر الدوائر المرسومة بالبوصلة من أعلى أو أسفل أو من أعلى وأسفل.
• بناء مع شقة اوريغامي.انظر قواعد خوجيت

أنظر أيضا

• تسمح لك برامج الهندسة الديناميكية بالرسم باستخدام البوصلة والاستقامة على جهاز الكمبيوتر.

ملاحظات

المؤلفات

• أ. أدلرنظرية الإنشاءات الهندسية / ترجمه جي إم فيختنغولتس من الألمانية. - الطبعة الثالثة. - لام: أوشبيدجيز ، 1940. - 232 ص.
• أولا الكسندروفمجموعة من المسائل الهندسية للبناء. - الطبعة الثامنة عشرة. - م: أوشبيدجيز ، 1950. - 176 ص.
• بي آي أرغونوف ، إم بي بالك. - الطبعة الثانية. - م: أوشبيدجيز ، 1957. - 268 ص.
• إيه إم فورونيتسهندسة البوصلة. - M.-L: ONTI، 1934. - 40 ص. - (مكتبة الرياضيات الشعبية ، تحرير L.A. Lyusternik).
• فيمشاكل البناء غير القابلة للحل // المبرد. - 1999. - رقم 12. - س 115-118.
• V. A. Kirichenkoالإنشاءات بالبوصلة والحاكم ونظرية الوا // المدرسة الصيفية "الرياضيات الحديثة". - دوبنا 2005.
• يو آي مانينالكتاب الرابع. الهندسة // موسوعة الرياضيات الابتدائية. - م: فيزماتجيز ، 1963. - 568 ص.
• Y. Petersenطرق ونظريات حل مشاكل البناء الهندسي. - م: دار طباعة إي ليسنر ويو رومان ، 1892. - 114 ص.
• في في براسولوفثلاث مشاكل بناء كلاسيكية. مضاعفة مكعب ، ثلاثي زاوية ، تربيع دائرة. - م: نوكا ، 1992. - 80 ص. - (محاضرات شعبية في الرياضيات).
• جيه شتاينريتم تنفيذ الإنشاءات الهندسية باستخدام خط مستقيم ودائرة ثابتة. - م: أوشبيدجيز ، 1939. - 80 ص.
• مقرر اختياري في الرياضيات. 7-9 / شركات. اولا نيكولسكايا. - م: التربية 1991. - ص 80. - 383 ص. - ردمك 5-09-001287-3

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

شاهد ما هو "البناء بالبوصلة والمسطرة" في القواميس الأخرى:

المساطر - احصل على كوبون خصم عملي في Akademika VseTools أو اشترِ المساطر بشكل مربح مع الشحن المجاني للبيع في VseTools

قسم من الهندسة الإقليدية المعروف منذ العصور القديمة. في مهام البناء ، تكون العمليات التالية ممكنة: تحديد نقطة عشوائية على المستوى ، أو نقطة على أحد الخطوط المنشأة ، أو نقطة تقاطع لخطين مركبين. بمساعدة ...... ويكيبيديا

الإنشاءات بمساعدة البوصلة والموازنة قسم من الهندسة الإقليدية معروف منذ العصور القديمة. في مهام البناء ، تكون العمليات التالية ممكنة: تحديد نقطة عشوائية على المستوى ، أو نقطة على أحد الخطوط المنشأة ، أو نقطة ... ... ويكيبيديا

مثال ، اس ، استخدام. شركات غالبًا مورفولوجيا: (لا) ماذا؟ البناء من أجل ماذا؟ البناء ، (انظر) ماذا؟ بناء ماذا؟ عن ماذا؟ عن البناء رر ماذا او ما؟ البناء ، (لا) ماذا؟ الانشاءات لماذا؟ الانشاءات ، (انظر) ماذا؟ البناء من؟ ... ... قاموس دميترييف

Src = "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt = "(! LANG:> البناء باستخدام هندسة المسطرة والبوصلة">!}

Src = "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt = "(! LANG:> أنشئ مقطعًا يساوي المعطى Ú المشكلة أ ب"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src = "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt = "(! LANG:> إنشاء زاوية تساوي زاوية معينة ضع في اعتبارك مثلثات"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src = "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt = "(! LANG:> إنشاء مشكلة منصف زاوية Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src = "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt = "(! LANG:> إنشاء خطوط متعامدة Ú مشكلة معينة بخط"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src = "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt = "(! LANG:> إنشاء نقطة منتصف لمهمة مقطع Ú إنشاء نقطة منتصف منح"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}