الأساور المطاطية

ما هي الصيغة التي تمثل التمثيل الرياضي لقانون هوك؟ قانون هوك المعمم. تحديد الخصائص الميكانيكية للمواد. اختبار الشد. اختبار ضغط

قانون هوكتسمى عادة العلاقات الخطية بين مكونات الإجهاد ومكونات الإجهاد.

لنأخذ متوازي سطوح مستطيل أولي بأوجه موازية لمحاور الإحداثيات، ومحملًا بضغط عادي σ س، موزعة بالتساوي على وجهين متقابلين (الشكل 1). حيث σy = σ ض = τ س ص = τ س ض = τ ذ = 0.

حتى حد التناسب، يتم إعطاء الاستطالة النسبية بواسطة الصيغة

أين ه- معامل الشد للمرونة. للصلب ه = 2*10 5 MPaولذلك فإن التشوهات تكون صغيرة جدًا ويتم قياسها كنسبة مئوية أو 1*105 (في أجهزة قياس الانفعال التي تقيس التشوهات).

تمديد عنصر في اتجاه المحور Xيرافقه تضييق في الاتجاه العرضي تحدده مكونات التشوه

أين μ - ثابت يسمى نسبة الضغط الجانبي أو نسبة بواسون. للصلب μ عادة ما يكون 0.25-0.3.

إذا تم تحميل العنصر المعني في وقت واحد مع الضغوط العادية σx, σy, σ ض، موزعة بالتساوي على وجوهها، ثم تضاف التشوهات

وبتركيب مكونات التشوه الناتجة عن كل من الضغوط الثلاثة، نحصل على العلاقات

تم تأكيد هذه العلاقات من خلال العديد من التجارب. مُطبَّق طريقة التراكبأو التراكباتإن العثور على مجموع الانفعالات والإجهادات الناتجة عن عدة قوى أمر مشروع طالما أن الانفعالات والإجهادات صغيرة وتعتمد خطيًا على القوى المطبقة. في مثل هذه الحالات، نهمل التغييرات الصغيرة في أبعاد الجسم المشوه والحركات الصغيرة لنقاط تطبيق القوى الخارجية ونبني حساباتنا على الأبعاد الأولية والشكل الأولي للجسم.

تجدر الإشارة إلى أن صغر حجم الإزاحات لا يعني بالضرورة خطية العلاقات بين القوى والتشوهات. لذلك، على سبيل المثال، في قوة مضغوطة سقضيب محمل بشكل إضافي بقوة القص ر، حتى مع انحراف صغير δ تنشأ نقطة إضافية م = سδمما يجعل المشكلة غير خطية. في مثل هذه الحالات، لا توجد انحرافات كاملة وظائف خطيةالجهد ولا يمكن الحصول عليها عن طريق التراكب البسيط.

لقد ثبت تجريبيًا أنه إذا كانت إجهادات القص تعمل على طول جميع وجوه العنصر، فإن تشويه الزاوية المقابلة يعتمد فقط على المكونات المقابلة لإجهاد القص.

ثابت زويسمى معامل القص للمرونة أو معامل القص.

يمكن الحصول على الحالة العامة لتشوه عنصر ما بسبب عمل ثلاثة مكونات إجهاد طبيعية وثلاثة عرضية باستخدام التراكب: يتم فرض ثلاثة تشوهات قص، تحددها العلاقات (5.2 ب)، على ثلاثة تشوهات خطية تحددها التعبيرات ( 5.2 أ). تحدد المعادلتان (5.2 أ) و (5.2 ب) العلاقة بين مكونات السلالات والإجهادات وتسمى قانون هوك المعمم. دعونا الآن نظهر أن معامل القص زمعبرا عنها من حيث معامل الشد للمرونة هونسبة بواسون μ . للقيام بذلك، النظر في حالة خاصة، متى σ س = σ , σy = -σ و σ ض = 0.

دعونا نقطع العنصر ا ب ت ثطائرات موازية للمحور ضويميل بزاوية 45 درجة على المحاور Xو في(تين. 3). على النحو التالي من شروط التوازن للعنصر 0 بكالوريوس، الضغط العادي σ الخامسعلى جميع وجوه العنصر ا ب ت ثتساوي الصفر، وإجهادات القص متساوية

وتسمى هذه الحالة من التوتر القص النقي. ويترتب على المعادلات (5.2 أ) ذلك

أي أن امتداد العنصر الأفقي هو 0 جيساوي تقصير العنصر الرأسي 0 ب: ε ذ = -εx.

الزاوية بين الوجوه أبو قبل الميلادالتغييرات، وقيمة سلالة القص المقابلة γ يمكن العثور عليها من المثلث 0 بكالوريوس:

إنه يتبع هذا

تم اكتشاف قانون التناسب بين استطالة الزنبرك والقوة المطبقة على يد الفيزيائي الإنجليزي روبرت هوك (1635-1703)

كانت اهتمامات هوك العلمية واسعة جدًا لدرجة أنه لم يكن لديه الوقت الكافي لإكمال بحثه. وقد أدى ذلك إلى نشوء خلافات ساخنة حول الأولوية في اكتشاف قوانين معينة مع أعظم العلماء (هيغنز، ونيوتن، وما إلى ذلك). ومع ذلك، فقد تم إثبات قانون هوك بشكل مقنع من خلال العديد من التجارب، بحيث لم تكن أولوية هوك محل نزاع أبدًا.

نظرية الربيع لروبرت هوك:

هذا هو قانون هوك!

حل المشاكل

أوجد صلابة نابض، تحت تأثير قوة مقدارها 10 N، يزداد طوله بمقدار 5 cm.

منح:
ز = 10 ن / كغ
و = 10 ح
س = 5 سم = 0.05 م
يجد:
ك = ؟

الحمل في التوازن.

الجواب: صلابة الربيع ك = 200 نيوتن / م.

مهمة "5"

(ضع يدك على قطعة من الورق).

اشرح لماذا من الآمن أن يقفز البهلوان على شبكة الترامبولين من ارتفاع كبير؟ (نطلب المساعدة من روبرت هوك)
أنا أتطلع إلى جوابك!

قليل الخبرة

ضع الأنبوب المطاطي عموديًا، حيث تم وضع الحلقة المعدنية بإحكام مسبقًا، ثم قم بتمديد الأنبوب. ماذا سيحدث للخاتم؟

الديناميكيات - فيزياء رائعة

تمت صياغة قانون هوك على النحو التالي: القوة المرنة التي تحدث عندما يتشوه الجسم بسبب تطبيق قوى خارجية تتناسب مع استطالته. التشوه بدوره هو تغيير في المسافة بين الذرات أو بين الجزيئات لمادة ما تحت تأثير القوى الخارجية. القوة المرنة هي القوة التي تميل إلى إعادة هذه الذرات أو الجزيئات إلى حالة التوازن.

الصيغة 1 - قانون هوك.

و - القوة المرنة.

ك - صلابة الجسم (معامل التناسب الذي يعتمد على مادة الجسم وشكله).

س - تشوه الجسم (استطالة أو ضغط الجسم).

اكتشف هذا القانون روبرت هوك عام 1660. أجرى تجربة، والتي تتكون من ما يلي. تم تثبيت خيط فولاذي رفيع في أحد طرفيه، وتم تطبيق كميات متفاوتة من القوة على الطرف الآخر. ببساطة، تم تعليق خيط من السقف وتم تطبيق حمولة ذات كتلة متفاوتة عليه.

الشكل 1 - تمدد الخيط تحت تأثير الجاذبية.

نتيجة للتجربة، اكتشف هوك أنه في الممرات الصغيرة يكون اعتماد تمدد الجسم خطيًا بالنسبة إلى القوة المرنة. أي أنه عند تطبيق وحدة القوة، يطول الجسم بمقدار وحدة واحدة من الطول.

الشكل 2 - رسم بياني لاعتماد القوة المرنة على استطالة الجسم.

الصفر على الرسم البياني هو الطول الأصلي للجسم. كل ما على اليمين هو زيادة في طول الجسم. في هذه الحالة، القوة المرنة لها قيمة سلبية. أي أنها تسعى جاهدة إلى إعادة الجسد إلى حالته الأصلية. وبناء على ذلك، يتم توجيهه عكس قوة التشوه. كل شيء على اليسار هو ضغط الجسم. القوة المرنة إيجابية.

لا يعتمد تمدد الخيط على القوة الخارجية فحسب، بل يعتمد أيضًا على المقطع العرضي للخيط. سوف يمتد الخيط الرفيع بطريقة ما بسبب وزنه الخفيف. ولكن إذا كنت تأخذ سلسلة من نفس الطول، ولكن بقطر، على سبيل المثال، 1 متر، فمن الصعب تخيل مقدار الوزن المطلوب لتمديده.

لتقييم كيفية تأثير القوة على جسم ذو مقطع عرضي معين، تم تقديم مفهوم الإجهاد الميكانيكي العادي.

الصيغة 2 - الإجهاد الميكانيكي الطبيعي.

منطقة مستعرضة.

ويتناسب هذا الضغط في النهاية مع استطالة الجسم. الاستطالة النسبية هي نسبة الزيادة في طول الجسم إلى طوله الإجمالي. ويسمى معامل التناسب بمعامل يونج. المعامل لأن قيمة استطالة الجسم تؤخذ معاملا دون مراعاة الإشارة. ولا يأخذ في الاعتبار ما إذا كان الجسم قصيرًا أم طويلًا. من المهم تغيير طوله.

الصيغة 3 - معامل يونغ.

|e|. - الاستطالة النسبية للجسم.

s هو توتر الجسم الطبيعي.

يسمى المعامل E في هذه الصيغة معامل يونج. يعتمد معامل يونغ فقط على خصائص المادة ولا يعتمد على حجم الجسم وشكله. بالنسبة للمواد المختلفة، يختلف معامل يونج بشكل كبير. بالنسبة للصلب، على سبيل المثال، E ≈ 2·10 11 N/m 2 ، وللمطاط E ≈ 2·10 6 N/m 2 ، أي بمقدار خمس مرات أقل.

يمكن تعميم قانون هوك على حالة التشوهات الأكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، متى تشوه الانحناءتتناسب القوة المرنة مع انحراف القضيب الذي تقع نهاياته على دعامتين (الشكل 1.12.2).

الشكل 1.12.2. تشوه الانحناء.

تسمى القوة المرنة المؤثرة على الجسم من جانب الدعامة (أو التعليق). قوة رد الفعل الارضية. عندما تتلامس الجثث، يتم توجيه قوة رد الفعل الداعمة عموديأسطح الاتصال. ولهذا السبب غالبا ما يطلق عليها القوة الضغط الطبيعي. إذا كان الجسم مستلقيًا على طاولة ثابتة أفقية، فإن قوة رد الفعل الداعمة يتم توجيهها عموديًا إلى الأعلى وتوازن قوة الجاذبية: تسمى القوة التي يؤثر بها الجسم على الطاولة وزن الجسم.

في التكنولوجيا، على شكل حلزوني الينابيع(الشكل 1.12.3). عندما يتم شد الزنبركات أو ضغطها، تنشأ قوى مرنة، والتي تخضع أيضًا لقانون هوك. يسمى المعامل k تصلب الربيع. وفي حدود تطبيق قانون هوك، فإن النوابض قادرة على تغيير طولها بشكل كبير. ولذلك، غالبا ما تستخدم لقياس القوى. يسمى الزنبرك الذي يقاس توتره بوحدات القوة المقوى أداة. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه عندما يتم تمديد أو ضغط الزنبرك، تحدث تشوهات الالتواء والانحناء المعقدة في ملفاته.

الشكل 1.12.3. تشوه تمديد الربيع.

على عكس النوابض وبعض المواد المرنة (مثل المطاط)، فإن تشوه الشد أو الضغط للقضبان المرنة (أو الأسلاك) يخضع لقانون هوك الخطي ضمن حدود ضيقة جدًا. بالنسبة للمعادن، يجب ألا يتجاوز التشوه النسبي ε = x / l 1%. مع التشوهات الكبيرة، تحدث ظواهر لا رجعة فيها (السيولة) وتدمير المادة.

§ 10. القوة المرنة. قانون هوك

أنواع التشوهات

التشوهيسمى تغيير في شكل أو حجم أو حجم الجسم. يمكن أن يحدث التشوه بسبب قوى خارجية مطبقة على الجسم.
تسمى التشوهات التي تختفي تمامًا بعد توقف تأثير القوى الخارجية على الجسم المرنوالتشوهات التي تستمر حتى بعد توقف القوى الخارجية عن التأثير على الجسم - بلاستيك.
يميز سلالة الشدأو ضغط(أحادية أو شاملة)، الانحناء, التواءو يحول.

القوى المرنة

للتشوهات صلبيتم إزاحة جزيئاتها (الذرات والجزيئات والأيونات) الموجودة في عقد الشبكة البلورية من مواقع توازنها. يتم مقاومة هذا الإزاحة من خلال قوى التفاعل بين جزيئات الجسم الصلب، والتي تبقي هذه الجزيئات على مسافة معينة من بعضها البعض. لذلك، مع أي نوع من التشوه المرن، تنشأ قوى داخلية في الجسم تمنع تشوهه.

تسمى القوى التي تنشأ في الجسم أثناء تشوهه المرن ويتم توجيهها ضد اتجاه إزاحة جزيئات الجسم الناتجة عن التشوه بالقوى المرنة. تؤثر القوى المرنة في أي جزء من الجسم المشوه، وكذلك عند نقطة اتصالها بالجسم مسببة التشوه. في حالة الشد أو الضغط الأحادي الجانب، يتم توجيه القوة المرنة على طول الخط المستقيم الذي تعمل على طوله القوة الخارجية، مما يسبب تشوه الجسم، عكس اتجاه هذه القوة وعموديًا على سطح الجسم. طبيعة القوى المرنة كهربائية.

سننظر في حالة حدوث قوى مرنة أثناء التوتر والضغط من جانب واحد لجسم صلب.

قانون هوك

تم إنشاء العلاقة بين القوة المرنة والتشوه المرن للجسم (عند التشوهات الصغيرة) بشكل تجريبي من قبل الفيزيائي الإنجليزي المعاصر لنيوتن هوك. التعبير الرياضيقانون هوك لتشوه التوتر (الضغط) أحادي الجانب له الشكل

حيث f هي القوة المرنة؛ س - استطالة (تشوه) الجسم؛ k هو معامل التناسب اعتمادًا على حجم الجسم ومادته، ويسمى بالصلابة. وحدة الصلابة في النظام الدولي للوحدات هي نيوتن لكل متر (N/m).

قانون هوكللتوتر من جانب واحد (الضغط) يتم صياغته على النحو التالي: تتناسب القوة المرنة الناشئة أثناء تشوه الجسم مع استطالة هذا الجسم.

لنفكر في تجربة توضح قانون هوك. دع محور التماثل للزنبرك الأسطواني يتزامن مع الخط المستقيم للفأس (الشكل 20، أ). يتم تثبيت أحد طرفي الزنبرك في الدعامة عند النقطة A، والثاني مجاني ويتم ربط الجسم M به. عندما لا يتشوه الزنبرك، تقع نهايته الحرة عند النقطة C. سيتم اعتبار هذه النقطة أصل الإحداثي x، الذي يحدد موضع النهاية الحرة للزنبرك.

دعونا نمد الزنبرك بحيث تكون نهايته الحرة عند النقطة D، وإحداثيتها x>0: عند هذه النقطة يؤثر الزنبرك على الجسم M بقوة مرنة

دعونا الآن نضغط الزنبرك بحيث تكون نهايته الحرة عند النقطة B، التي إحداثيتها x<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой

يمكن أن نرى من الشكل أن إسقاط القوة المرنة للزنبرك على المحور الفأس له دائمًا إشارة معاكسة لعلامة الإحداثي x، نظرًا لأن القوة المرنة موجهة دائمًا نحو موضع التوازن C. في الشكل. 20، ب يظهر رسما بيانيا لقانون هوك. يتم رسم قيم استطالة x للزنبرك على محور الإحداثي، ويتم رسم قيم القوة المرنة على المحور الإحداثي. اعتماد fx على x هو خطي، وبالتالي فإن الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يمر عبر أصل الإحداثيات.

دعونا نفكر في تجربة أخرى.
دع أحد طرفي سلك فولاذي رفيع مثبت على حامل، وحمل معلق من الطرف الآخر، يكون وزنه قوة شد خارجية F تعمل على السلك المتعامد مع مقطعه العرضي (الشكل 21).

لا يعتمد تأثير هذه القوة على السلك على معامل القوة F فحسب، بل يعتمد أيضًا على مساحة المقطع العرضي للسلك S.

تحت تأثير القوة الخارجية المطبقة عليه، يتشوه السلك ويمتد. إذا لم يكن التمدد كبيرًا جدًا، فإن هذا التشوه يكون مرنًا. في سلك مشوه بشكل مرن، تنشأ قوة مرنة f.
وفقا لقانون نيوتن الثالث، فإن القوة المرنة تساوي في المقدار ومعاكسة في الاتجاه للقوة الخارجية المؤثرة على الجسم، أي.

و يصل = -F (2.10)

تتميز حالة الجسم المشوه بشكل مرن بالقيمة s، تسمى الإجهاد الميكانيكي الطبيعي(أو باختصار فقط الجهد العادي). الضغط الطبيعي يساوي نسبة معامل القوة المرنة إلى مساحة المقطع العرضي للجسم:

ق=و يصل /س (2.11)

دع الطول الأولي للسلك غير الممدود هو L 0 . بعد تطبيق القوة F، تمدد السلك وأصبح طوله يساوي L. تسمى القيمة DL=L-L 0 استطالة الأسلاك المطلقة. مقاس

مُسَمًّى استطالة الجسم النسبية. لسلالة الشد e>0، لسلالة الضغط e<0.

تظهر الملاحظات أنه بالنسبة للتشوهات الصغيرة فإن الإجهاد الطبيعي يتناسب مع الاستطالة النسبية e:

الصيغة (2.13) هي أحد أنواع كتابة قانون هوك للتوتر الأحادي الجانب (الضغط). في هذه الصيغة، يتم أخذ الاستطالة النسبية بشكل معياري، حيث يمكن أن تكون موجبة وسالبة. يُطلق على معامل التناسب E في قانون هوك اسم المعامل الطولي للمرونة (معامل يونج).

دعونا نحدد المعنى المادي لمعامل يونغ. كما يتبين من الصيغة (2.12)، e=1 و L=2L 0 مع DL=L 0 . من الصيغة (2.13) يترتب على ذلك أنه في هذه الحالة s=E. وبالتالي فإن معامل يونغ يساوي عددياً الضغط الطبيعي الذي يجب أن ينشأ في الجسم إذا تضاعف طوله. (إذا كان قانون هوك صحيحًا بالنسبة لمثل هذا التشوه الكبير). من الصيغة (2.13) يتضح أيضًا أنه في معامل SI Young يتم التعبير عنه بالباسكال (1 Pa = 1 N/m2).

مخطط التوتر

باستخدام الصيغة (2.13)، من القيم التجريبية للاستطالة النسبية e، يمكن حساب القيم المقابلة للإجهاد الطبيعي الناشئ في الجسم المشوه وإنشاء رسم بياني لاعتماد s على e. يسمى هذا الرسم البياني مخطط تمتد. يظهر رسم بياني مماثل لعينة معدنية في الشكل. 22. في القسم 0-1، يبدو الرسم البياني كخط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل. وهذا يعني أنه حتى قيمة إجهاد معينة، يكون التشوه مرنًا ويتم استيفاء قانون هوك، أي أن الإجهاد الطبيعي يتناسب مع الاستطالة النسبية. تسمى القيمة القصوى للإجهاد الطبيعي s p، الذي لا يزال عنده قانون هوك محققًا حد التناسب.

مع زيادة أخرى في الحمل، يصبح اعتماد الإجهاد على الاستطالة النسبية غير خطي (القسم 1-2)، على الرغم من أن الخصائص المرنة للجسم لا تزال محفوظة. تسمى القيمة القصوى للإجهاد الطبيعي، والتي لا يحدث عندها التشوه المتبقي بعد حد المرونة. (يتجاوز الحد المرن حد التناسب بمقدار أجزاء من المائة فقط.) تؤدي زيادة الحمل فوق الحد المرن (القسم 2-3) إلى حقيقة أن التشوه يصبح متبقيًا.

ثم تبدأ العينة في الاستطالة عند ضغط ثابت تقريبًا (القسم 3-4 من الرسم البياني). وتسمى هذه الظاهرة سيولة المواد. يسمى الإجهاد الطبيعي الذي يصل عنده التشوه المتبقي إلى قيمة معينة قوة الخضوع.

عند الضغوط التي تتجاوز قوة الخضوع، يتم استعادة الخصائص المرنة للجسم إلى حد ما، ويبدأ مرة أخرى في مقاومة التشوه (القسم 4-5 من الرسم البياني). تسمى القيمة القصوى للإجهاد الطبيعي spr، الذي تمزق العينة فوقه قوة الشد.

طاقة الجسم المشوه بشكل مرن

باستبدال قيم s و e من الصيغتين (2.11) و (2.12) في الصيغة (2.13)، نحصل على

f up /S=E|DL|/L 0 .

ومن هنا يترتب على ذلك أن القوة المرنة التي تنشأ أثناء تشوه الجسم يتم تحديدها بواسطة الصيغة

و يصل =ES|DL|/L 0 . (2.14)

دعونا نحدد الشغل الذي يتم إجراؤه أثناء تشوه الجسم، والطاقة الكامنة W للجسم المشوه بشكل مرن. وفقا لقانون الحفاظ على الطاقة،

ث = مواطنه. (2.15)

كما يتبين من الصيغة (2.14)، يمكن أن يتغير معامل القوة المرنة. يزداد بما يتناسب مع تشوه الجسم. ولذلك، لحساب عمل التشوه، فمن الضروري أن تأخذ القيمة المتوسطة للقوة المرنة ، أي ما يعادل نصف قيمته القصوى:

= ES|DL|/2L 0 . (2.16)

ثم يتم تحديده بواسطة الصيغة A def = |DL| عمل تشوه

أ ديف = ES|DL| 2 /2 لتر 0 .

بالتعويض بهذا التعبير في الصيغة (2.15)، نجد قيمة الطاقة الكامنة لجسم مشوه بشكل مرن:

ث=ES|DL| 2 /2 لتر 0 . (2.17)

بالنسبة للزنبرك المشوه بشكل مرن ES/L 0 =k هي صلابة الزنبرك؛ x هو امتداد الربيع. ولذلك يمكن كتابة الصيغة (2.17) على الصورة

ث = ك س 2 /2. (2.18)

تحدد الصيغة (2.18) الطاقة الكامنة لزنبرك مشوه بشكل مرن.

أسئلة لضبط النفس:

 ما هو التشوه؟

 ما هو التشوه الذي يسمى بالمرونة؟ بلاستيك؟

 تسمية أنواع التشوهات.