بطاقات

حالات خاصة لجلب النظام المكاني التعسفي للقوات إلى المركز. جلب نظام القوى إلى أبسط صوره مركز القوى المتوازية

إذا، بعد إحضار النظام المكاني للقوى إلى المركز المحدد O، فإن المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي يساوي الصفر، أي.

نظام القوى متوازن. تحت تأثير نظام القوى هذا، سيكون الجسم الصلب في حالة توازن. من الواضح أنه في الحالة العامة، تتوافق معادلتان متجهتان (4.1) مع ست معادلات عددية، مما يعكس المساواة إلى الصفر لإسقاطات هذه المتجهات على محاور نظام الإحداثيات المختار (على سبيل المثال، الديكارتي).

إذا، بعد إحضار النظام المكاني للقوى إلى المركز المحدد O، فإن المتجه الرئيسي يساوي الصفر، والعزم الرئيسي لا يساوي الصفر، أي.

يؤثر زوج من القوى الناتجة على الجسم، ويميل إلى تدويره. لاحظ أنه في هذه الحالة فإن اختيار مركز التصغير لا يؤثر على النتيجة.

إذا، بعد إحضار النظام المكاني للقوى إلى المركز المحدد O، فإن المتجه الرئيسي لا يساوي الصفر، والعزم الرئيسي يساوي الصفر، أي.

يتم التأثير على الجسم من خلال نظام القوى الناتجة التي تمر عبر مركز الاختزال وتميل إلى تحريك الجسم على طول خط تأثيره. ومن الواضح أن العلاقات (4.3.) صالحة لجميع نقاط خط عمل النتيجة.

لاحظ أن عمل نظام من القوى المتقاربة ينخفض إلى هذه الحالة إذا تم اعتبار نقطة تقاطع خطوط عمل قوى النظام كمركز اختزال (نظرًا لأن لحظات القوى بالنسبة لهذه النقطة متساوية إلى الصفر).

إذا، بعد إحضار النظام المكاني للقوى إلى المركز المحدد O، فإن المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي لا يساوي الصفر، واتجاهاتهما تشكل زاوية قائمة، أي.

ثم يمكن أيضًا تقليل نظام القوى هذا إلى نتيجة، ولكن يمر عبر مركز اختزال آخر - النقطة. لإجراء هذه العملية، نأخذ في الاعتبار أولاً أنظمة القوة المكافئة الموضحة في الشكل. 4.2.ب والتين. 4.1. من الواضح أننا إذا قمنا بتغيير الترميز (النقطة B تسمى المركز O، والنقطة A تسمى المركز)، فإن المهمة التي تواجهنا تتطلب إجراء العملية عكسًا لتلك التي يتم إجراؤها في lemma عند النقل المتوازي للقوة. مع الأخذ في الاعتبار ما ورد أعلاه، يجب أولاً أن تكون النقطة في مستوى متعامد مع متجه اللحظة الرئيسية التي تمر عبر المركز O، وثانيًا، تقع على خط موازٍ لخط عمل المتجه الرئيسي لـ القوات وفصلها عنه على مسافة ح يساوي

من بين الخطين اللذين تم العثور عليهما، يجب عليك اختيار الخط الذي يكون فيه متجه العزم الرئيسي مساويًا للصفر (يجب أن يكون عزم المتجه الرئيسي للقوى بالنسبة للمركز الجديد مساويًا في الحجم ومعاكسًا في الاتجاه لـ اللحظة الرئيسية لنظام القوى بالنسبة للنقطة O).

في الحالة العامة، بعد إحضار النظام المكاني للقوى إلى المركز المحدد O، لا يشكل المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية، التي لا تساوي الصفر، زاوية قائمة مع بعضها البعض (الشكل 4.5.أ).

إذا تم تقسيم العزم الرئيسي إلى مكونين - على طول المتجه الرئيسي للقوى وعموديًا عليه، فيمكن العثور وفقًا لـ (4.5) على مركز اختزال يصبح فيه المكون العمودي للعزم الرئيسي مساويًا للصفر، وتظل مقادير واتجاهات المتجه الرئيسي والمكونات الأولى للعزم الرئيسي كما هي (الشكل 4.5.ب). تسمى مجموعة المتجهات المسمار السلطةأو دينامو.

مزيد من التبسيط غير ممكن.

نظرًا لأنه مع مثل هذا التغيير في مركز التخفيض، يتغير إسقاط اللحظة الرئيسية فقط في الاتجاه المتعامد مع المتجه الرئيسي لنظام القوى، فإن قيمة المنتج العددي لهذه المتجهات تظل دون تغيير، أي.

ويسمى هذا التعبير الثابت الثاني

علم الإحصاء.

مثال 4.1. قمم متوازي مستطيلات ذات جوانب وتتأثر بالقوى و (انظر الشكل 4.6). بأخذ أصل إحداثيات نظام الإحداثيات الديكارتية المشار إليه في الشكل كمركز لتخفيض نظام القوة، اكتب التعبيرات الخاصة بإسقاطات المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية.

لنكتب العلاقات المثلثية لتحديد الزوايا:

يمكننا الآن كتابة تعبيرات لإسقاطات المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية لقوى النظام:

ملحوظة: معرفة إسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات ستسمح، إذا لزم الأمر، بحساب حجمها واتجاه جيب التمام.

يتم أيضًا تقليل نظام القوى المستوي إلى قوة تساوي كلاً من القوة المطبقة في مركز مختار بشكل تعسفي O وزوج مع لحظة

في هذه الحالة، يمكن تحديد المتجه إما هندسيًا عن طريق بناء مضلع القوة (انظر النقطة 4)، أو تحليليًا. وهكذا، لنظام الطائرة من القوات

R x =F kx , R y =F ky ,

حيث كل العزوم في المساواة الأخيرة جبرية والمجموع جبري أيضًا.

دعونا نجد إلى أي شكل أبسط يمكن اختزال نظام مسطح معين من القوى غير المتوازنة. تعتمد النتيجة على قيم R و M O.

1. إذا كان بالنسبة لنظام معين من القوى R=0، a M O ?0، فسيتم تخفيضه إلى زوج واحد مع لحظة M O ، والتي لا تعتمد قيمتها على اختيار المركز O.
2. إذا كان لنظام معين من القوى R؟0، فإنه يتم تخفيضه إلى قوة واحدة، أي إلى المحصلة. في هذه الحالة هناك حالتان محتملتان:
- أ) R?0، M O = 0. في هذه الحالة، كما هو واضح على الفور، يتم تقليل النظام إلى الناتج R الذي يمر عبر المركز O؛
- ب) R?0, M O?0. في هذه الحالة، يمكن تمثيل زوجين مع لحظة M O بواسطة قوتين R" و R"، مع الأخذ في الاعتبار R"=R، و R"= - R. علاوة على ذلك، إذا كان d=OC هو ذراع الزوج، فإنه يجب أن يكون Rd=|M O | .

بعد أن رفضنا الآن القوى R و R" باعتبارها متوازنة، نجد أن نظام القوى بأكمله قد تم استبداله بالمحصلة R" = R التي تمر عبر النقطة C. يتم تحديد موضع النقطة C بشرطين: 1) المسافة OC = د () يجب أن يحقق المساواة Rd = |. 2) علامة اللحظة بالنسبة إلى مركز القوة R" المطبقة عند النقطة C، أي أن إشارة m O (R") يجب أن تتزامن مع إشارة M O.

جلب نظام القوى إلى المركز

أسئلة

المحاضرة 6

3. شروط التوازن لنظام القوى التعسفي

1. النظر في نظام القوى التعسفي. دعونا نختار نقطة تعسفية عنخلف مركز التخفيض، وباستخدام نظرية النقل الموازي للقوة، نقوم بنقل جميع قوى النظام إلى نقطة معينة، دون أن ننسى إضافة زوج من القوى المرتبطة عند نقل كل قوة.

دعونا نستبدل النظام الناتج من القوى المتقاربة بقوة واحدة تساوي المتجه الرئيسي لنظام القوى الأصلي. سيتم استبدال نظام أزواج القوى المتكونة أثناء النقل بزوج واحد بعزم يساوي المجموع الهندسي لعزوم جميع أزواج القوى (أي المجموع الهندسي لعزوم نظام القوة الأصلي بالنسبة إلى المركز عن).

هذه اللحظة تسمى اللحظة الرئيسية لنظام القوة بالنسبة للمركز O (الشكل 1.30).

أرز. 1.30. جلب نظام القوى إلى المركز

لذلك، يمكن دائمًا استبدال أي نظام قوى بعاملي قوة فقط - المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي بالنسبة إلى مركز اختزال تم اختياره بشكل تعسفي . من الواضح أن المتجه الرئيسي لنظام القوة لا يعتمد على اختيار مركز التخفيض (يقال إن المتجه الرئيسي لا يتغير فيما يتعلق باختيار مركز التخفيض). ومن الواضح أيضًا أن اللحظة الرئيسية لا تحتوي على هذه الخاصية، لذلك من الضروري دائمًا الإشارة إلى المركز الذي يتم تحديد اللحظة الرئيسية به.

2. جلب نظام القوى إلى أبسط صوره

تعتمد إمكانية زيادة تبسيط أنظمة القوى التعسفية على قيمة ناقلها الرئيسي ولحظتها الرئيسية، وكذلك على الاختيار الناجح لمركز التخفيض. الحالات التالية ممكنة:

أ) ، . في هذه الحالة، يتم تقليل النظام إلى زوج من القوى مع لحظة، وقيمتها لا تعتمد على اختيار مركز التخفيض.

ب) ، . يتم تقليل النظام إلى نتيجة تساوي خط العمل الذي يمر عبر المركز عن.

ج) وتكون متعامدة بشكل متبادل. يتم تقليل النظام إلى نتيجة تساوي المركز ولكنها لا تمر به عن(الشكل 1.31).

أرز. 1.31. جلب نظام القوى إلى النتيجة

دعونا نستبدل العزم الرئيسي بزوج من القوى، كما هو موضح في الشكل. 1.31. دعونا نحدد رمن شرط ذلك م 0 = ر ح. ثم، بناءً على البديهية الثانية للإحصائيات، دعونا نرفض النظام المتوازن لقوتين مطبقتين عند نقطة ما عن.

د) ومتوازية. يتم تشغيل النظام بواسطة لولب ديناميكي، مع محور يمر عبر المركز عن(الشكل 1.32).

أرز. 1.32. المسمار الديناميكي

هـ) ولا تساوي الصفر، وفي نفس الوقت المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي ليسا متوازيين وغير متعامدين مع بعضهما البعض. يتم تشغيل النظام بواسطة لولب ديناميكي، لكن المحور لا يمر عبر المركز عن(الشكل 1.33).

أرز. 1.33. الحالة الأكثر عمومية للحد من نظام القوى

حالات الاختزال إلى أبسط صورة

جلب إلى زوج

دعونا، نتيجة لجلب القوى إلى المركز O، يتبين أن المتجه الرئيسي يساوي الصفر، والعزم الرئيسي يختلف عن الصفر: . وبعد ذلك، وبموجب النظرية الأساسية للإحصائيات، يمكننا الكتابة

وهذا يعني أن نظام القوى الأصلي في هذه الحالة يعادل زوجًا من القوى مع لحظة.

لا يعتمد عزم الزوجين على النقطة التي تم اختيارها كمركز لحظة عند حساب عزم الزوجين. وبالتالي، في هذه الحالة، لا ينبغي أن تعتمد النقطة الرئيسية على اختيار مركز التخفيض. ولكن هذا هو بالضبط الاستنتاج الذي تؤدي إليه العلاقة

ربط النقاط الرئيسية المتعلقة بمركزين مختلفين. وعندما يكون الحد الإضافي أيضًا يساوي صفرًا، نحصل على ذلك

التخفيض إلى النتيجة

لنفترض الآن أن المتجه الرئيسي لا يساوي الصفر، والعزم الرئيسي يساوي الصفر: . بحكم النظرية الأساسية للإحصائيات لدينا

أي أن نظام القوى يعادل قوة واحدة - المتجه الرئيسي. وبالتالي، في هذه الحالة، يتم اختزال نظام القوى الأصلي إلى محصلة، وهذه المحصلة تتوافق مع المتجه الرئيسي المطبق في مركز الاختزال: .

يتم تقليل نظام القوى إلى نتيجة في الحالة التي لا يساوي فيها المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي الصفر، ولكنهما متعامدان بشكل متبادل: . يتم تنفيذ الإثبات باستخدام تسلسل الإجراءات التالي.

من خلال مركز التخفيض O نرسم مستوى متعامدًا مع اللحظة الرئيسية (الشكل 50، أ). في الشكل، يتم دمج هذا المستوى مع مستوى الرسم، ويقع المتجه الرئيسي فيه. في هذا المستوى نبني زوجًا بعزم، ونختار أن تكون قوى الزوج مساوية في المقدار للمتجه الرئيسي؛ فإن الرافعة المالية للزوج ستكون مساوية لـ . بعد ذلك، نقوم بتحريك الزوج في مستواه بحيث يتم تطبيق إحدى قوى الزوج في مركز التخفيض O المقابل للقوة الرئيسية؛ سيتم تطبيق القوة الثانية للزوج عند النقطة C، بعيدًا عن المركز O في الاتجاه المطلوب، والذي يحدده الاتجاه، على مسافة OS تساوي ذراع الزوج h (الشكل 50، ب). الآن، بتجاهل القوى المتوازنة R و- المطبقة عند النقطة O، نصل إلى قوة واحدة مطبقة عند النقطة C (الشكل 50، ج). سيكون بمثابة نتيجة لنظام القوى هذا.

ويمكن ملاحظة أن قوة رد الفعل لا تزال مساوية للناقل الرئيسي، ولكنها تختلف عن المتجه الرئيسي في نقطة تطبيقه. إذا تم تطبيق المتجه الرئيسي في مركز الاختزال O، فإن النتيجة تكون عند النقطة C، والتي يتطلب موضعها تعريفًا خاصًا. يمكن رؤية الطريقة الهندسية للعثور على النقطة C من البناء الموضح أعلاه.

بالنسبة إلى لحظة النتيجة بالنسبة إلى مركز التخفيض O، يمكننا أن نكتب (انظر الشكل 50):

أو حذف القيم المتوسطة:

إذا قمنا بإسقاط هذه المساواة المتجهة على أي محور يمر بالنقطة O، فسنحصل على المساواة المقابلة في الإسقاطات:

تذكر أن إسقاط عزم القوة بالنسبة إلى نقطة على محور يمر بهذه النقطة هو عزم القوة بالنسبة إلى المحور، نعيد كتابة هذه المساواة على النحو التالي:

تعبر المعادلات الناتجة عن نظرية فارينيون في شكلها العام (في المحاضرة 2 تمت صياغة النظرية فقط للقوى المتقاربة): إذا كان لنظام القوى محصلة، فإن عزم هذه المحصلة (بالنسبة إلى نقطة، بالنسبة إلى المحور) يساوي مجموع عزوم جميع القوى المعطاة - المكونات (بالنسبة إلى نفس النقطة، نفس المحور). من الواضح أنه في حالة النقطة يكون مجموع العزوم متجهًا، وفي حالة المحور يكون جبريًا.

الحد من الديناميكية

الديناميكية أو المسمار الديناميكي هي مزيج من زوج من القوى وقوة موجهة بشكل عمودي على مستوى عمل الزوج. يمكن إثبات أنه في حالة الاختزال العامة، عندما لا يكون متعامدًا، فإن نظام القوى الأصلي يعادل بعض الديناميكية.

دع عدة أزواج من القوى مع لحظات تعمل في مستويات مختلفة يتم تطبيقها في وقت واحد على جسم صلب. هل من الممكن اختزال نظام الأزواج هذا إلى شكل أبسط؟ اتضح أن ذلك ممكن، والإجابة تقترحها النظرية التالية حول جمع زوجين.

نظرية. زوجان من القوى المؤثرة في مستويات مختلفة يعادلان زوجًا واحدًا من القوى، مع لحظة تساوي المجموع الهندسي لعزوم الأزواج المعطاة.

دع الأزواج يتم تحديدها من خلال لحظاتهم و (الشكل 36،أ). لنقم ببناء طائرتين متعامدتين مع هذه المتجهات (مستوى عمل الأزواج)، واختيار قطعة معينة AB على خط تقاطع المستويات للكتف المشترك بين كلا الزوجين، سنقوم ببناء الأزواج المقابلة: (الشكل 1). 36، ب).

وفقا لتعريف لحظة الزوجين، يمكننا أن نكتب

عند النقطتين A وB لدينا قوى متقاربة. وبتطبيق قاعدة متوازي الأضلاع للقوى (البديهية 3) سنحصل على:

يتبين أن الأزواج المعطاة تعادل قوتين، والتي تشكل أيضًا زوجًا. وبذلك تم إثبات الجزء الأول من النظرية. تم إثبات الجزء الثاني من النظرية عن طريق الحساب المباشر لعزم الزوج الناتج:

إذا كان هناك عدد من الأزواج، فمن خلال إضافتها في أزواج وفقًا لهذه النظرية، يمكن تقليل أي عدد من الأزواج إلى زوج واحد. ونتيجة لذلك، نتوصل إلى الاستنتاج التالي: يمكن اختزال مجموعة (نظام) من أزواج القوى المطبقة على جسم جامد تمامًا إلى زوج واحد مع لحظة تساوي المجموع الهندسي لعزوم جميع الأزواج المعطاة.

رياضيا يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

في التين. ويعطي الشكل 37 رسما توضيحيا هندسيا للاستنتاج الناتج.

لتوازن أزواج القوى يشترط أن يكون عزم الزوج الناتج مساوياً للصفر مما يؤدي إلى المساواة

ويمكن التعبير عن هذا الشرط بشكل هندسي وتحليلي. الحالة الهندسية لتوازن أزواج القوى: لكي يكون نظام أزواج القوى في حالة توازن، من الضروري والكافي أن يكون المضلع المتجه المنشأ من لحظات جميع الأزواج مغلقًا.

الشرط التحليلي لتوازن أزواج القوة: لكي يكون نظام أزواج القوة في حالة توازن، من الضروري والكافي أن تكون المجاميع الجبرية لإسقاطات متجهات العزم لجميع الأزواج على محاور الإحداثيات المختارة بشكل تعسفي Oxyz مساوية للصفر:

إذا كانت جميع الأزواج تقع في نفس المستوى، أي أنها تشكل نظامًا مسطحًا من الأزواج، فسيتم الحصول على شرط توازن تحليلي واحد فقط - مجموع العزوم الجبرية للأزواج يساوي الصفر.