حل عدم المساواة مع المعامل. الدرس اللامنهجي - وحدة الأعداد والأرقام الموجبة والسالبة

رئيس شركة ShMO
مدرسو الرياضيات _______كلاشينكوف Zh.Yuمؤسسة تعليمية للميزانية البلدية
"متوسط مدرسة شاملةرقم 89"
اختبارات موضوعية في الرياضيات للصف السادس
وفقًا للكتاب المدرسي الذي ألفه I.I. زوباريفا وأ.ج. موردكوفيتش
إعداد: معلمي الرياضيات:
كلاشينكوفا زانا يوريفنا
ستولبوفا ليودميلا أنتونوفنا
زاتو سيفيرسك
2016
محتوى
اختبار رقم 1 ……………………………………………………………………………….3
اختبار رقم 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………….
اختبار رقم 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
الإجابات ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
اختبار رقم 1 "الأرقام الإيجابية والسلبية"
الخيار 1
أدخل رقمًا كسريًا سالبًا:
-165
38
-7.92
67وصف الحدث "تم وضع علامة على الرقم -5.5 على شعاع الإحداثيات"
موثوق
مستحيل
عشوائي

أي من الأرقام الأربعة هو الأكبر؟
8,035
80,35
0,8035
803,5
ما هي النقطة التي تقع على الخط الإحداثي على يمين النقطة O (0)؟
م (-4)
ه (-15)
ك (15)
د(-1.2)
في الليل كانت درجة حرارة الهواء -5 درجة مئوية. خلال النهار كان مقياس الحرارة بالفعل +3 درجة مئوية. كيف تغيرت درجة حرارة الهواء؟
زيادة بمقدار 8 درجات
انخفض بمقدار 2O
زيادة بنسبة 2O
انخفض بنسبة 8o
تم تحديد النقطة x(-2) على خط الإحداثيات – مركز التماثل. حدد إحداثيات النقاط الموجودة على هذا الخط بشكل متماثل للنقطة x.

(-1) و (1)
(-1) و (1)
(3) و (-3)
(0) و (-4)
ما هي النقاط الموجودة على خط الإحداثيات غير المتناظرة بالنسبة إلى نقطة الأصل - النقطة O (0).
ب(-5) وج(5)
د(0.5) وه(-0.5)
م(-3) وك(13)
أ(18) وإكس(-18)
ما هو مجموع الأرقام 0.316+0.4؟
0,356
0,716
4,316
0,32
احسب 25% من 0.4.
0,1
0,001
10
100
احسب الفرق بين 9100 و0.03
0,05
0,6
9,03
350 الخيار 2
أدخل رقمًا كسريًا سالبًا.
8,63
-1045
913-0,2
صف الحدث "تم وضع علامة على الرقم 7 على الشعاع الإحداثي."
عشوائي
مستحيل
موثوق
ما هو الرقم الأصغر؟
15,49
154,9
1,549
1549
أي النقاط تقع على الخط الإحداثي على يسار النقطة O(0).
أ(-0.5)
في 6)
م (0.5)
ك(38)
أظهر مقياس الحرارة +5 درجة مئوية خلال النهار، وفي المساء -2 درجة مئوية. كيف تغيرت درجة حرارة الهواء؟
زيادة بنسبة 3O
انخفض بنسبة 7o
انخفض بنسبة 3O
زيادة بمقدار 7 درجات
يتم تحديد مركز التماثل على خط الإحداثيات - النقطة A(-3). حدد إحداثيات النقاط الواقعة على هذا الخط بشكل متماثل للنقطة أ.

(-2) و (2)
(0) و (-5)
(-6) و (1)
(-1) و (-5)
ما هي نقاط خط الإحداثيات غير المتناظرة بالنسبة إلى نقطة الأصل - النقطة O(0).
أ(6) وب(-6)
ج(12) ود(-2)
م(-1) وك(1)
X (-9) وY (9)
ما هو مجموع الأرقام 0.237 و 0.3؟
0,24
3,237
0,537
0,267
احسب 20% من 0.5
10
0,1
0,2
0,01
احسب الفرق 0.07 و31001250.5
1
425 اختبار رقم 2. القيمة المطلقة للرقم. أرقام متضادة.
الخيار 1
أي من الأعداد المعطاة له أصغر معامل
-11
1013-4,196
-4,2
تحديد معادلة غير صحيحة
85=-85
-1,9=1,9
35=3558=-58 الوحدة لا عدد السلبييكون رقم غير سالب. هل هذا البيان صحيح؟
نعم
لا
أي من هذه الأرقام هو المقابل للرقم -34؟43-43-3434ما قيمة التعبير -(-م) إذا كان م = -15
+15
-15
احسب قيمة التعبير: -2.5∙4--919
-10
1
-1
حل المعادلة: س=40-40
40
40 أو -40
ما الأعداد الصحيحة الموجودة على الخط الإحداثي بين الرقمين 2.75 و3.9؟
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
هل المتراجحة -30>-50 صحيحة؟
لا
قم بإدراج كافة الأعداد الصحيحة x إذا x ≥30، 1، 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
الخيار 2
ما العدد الذي له أكبر معامل؟
-0,6
-50,603
493550,530
تحديد معادلة غير صحيحة
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325هل يمكن أن يكون معامل الرقم السالب رقمًا سالبًا
نعم
لا

أي من هذه الأعداد هو عكس العدد 124؟
-24
24
-124124ما قيمة التعبير –(-k) إذا كان k = -9
-9
+9
احسب قيمة التعبير: 2.5:-0.5+1.250
15
-2,5
2,5
حل المعادلة س=100100
-100
100 أو -100
ما هي الأعداد الصحيحة الموجودة على خط الإحداثيات بين الرقمين 1 و - 4.5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
هل عدم المساواة -25 صحيح؟<-10?
نعم
لا
قم بإدراج كافة الأعداد الصحيحة x إذا كان x≥44، 3، 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
الاختبار رقم 3. مقارنة الأرقام
الخيار 1
أي من المتباينات كاذبة؟
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
هل صحيح أن الرقم 0 أكبر من أي رقم سالب؟
نعم
لا
الرقم أ غير سلبي. كيف يمكننا كتابة هذه العبارة باعتبارها عدم المساواة؟
أ<0a≤0a≥0a>0 أشر إلى أكبر الأرقام المعطاة.
0,16
-3018-0,4
0,01
ما هي القيم الطبيعية لـ x التي يكون فيها عدم المساواة x≥44، 3، 2 صحيحًا؟
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
ما هي القيم الصحيحة لـ y التي يكون فيها عدم المساواة y صحيحًا؟<-2?0
-1
0, -1, 1
لا توجد مثل هذه القيم
أرقام -6؛ -3.8؛ -115؛ 0.8 يقع:
بترتيب تنازلي
في ترتيب متزايد
في حالة من الفوضى
تم بث توقعات الطقس عبر الراديو: من المتوقع أن تنخفض درجة الحرارة إلى -20 درجة مئوية. وصف هذا الحدث:
مستحيل
موثوق
عشوائي
الخيار 2
أي من عدم المساواة صحيح؟
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
ما العلامة التي يجب كتابتها بين هذين الكسرين حتى تكون المتراجحة صحيحة؟
-1315 -715<
>
=
هل صحيح أن الرقم 0 أقل من أي رقم سالب؟
نعم
لا
الرقم x ليس أكبر من الصفر. كيف يمكننا كتابة هذه العبارة باعتبارها عدم المساواة؟
س≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35ما هي القيم الطبيعية لـ a التي تعتبر عدم المساواة a≥3 صحيحة؟1، 2، 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
ما هي القيم الصحيحة لـ m التي يكون فيها عدم المساواة m صحيحًا؟<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
لا توجد مثل هذه القيم
الأرقام 1،2؛ -1.2؛ -427؛ -100 الموقع:
في حالة من الفوضى
في ترتيب متزايد
بترتيب تنازلي
تم وضع علامة على النقطة A(5) على خط الإحداثيات. تم تحديد نقطة أخرى B بشكل عشوائي على هذا الخط، وتبين أن إحداثيتها هي الرقم المعاكس للرقم 5. صف هذا الحدث.
عشوائي
موثوق
مستحيل
الإجابات
اختبار رقم 1 اختبار رقم 2
رقم الخيار 1 الخيار 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
رقم الخيار 1 الخيار 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

الاختبار رقم 3
رقم الخيار 1 الخيار 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3

تتكون من أرقام موجبة (طبيعية) وأرقام سالبة وصفر.

جميع الأعداد السالبة، وهي فقط، أقل من الصفر. على خط الأعداد، توجد الأعداد السالبة على يسار الصفر. بالنسبة لهم، كما هو الحال بالنسبة للأرقام الموجبة، يتم تعريف علاقة ترتيبية، والتي تسمح للمرء بمقارنة عدد صحيح مع آخر.

لكل عدد طبيعي نهناك رقم سالب واحد فقط، يُشار إليه -ن، والذي يكمل نإلى الصفر: ن + (− ن) = 0 . يتم استدعاء كلا الرقمين عكسلبعضهم البعض. طرح عدد صحيح أويعادل إضافته مع ضده: -أ.

خصائص الأعداد السالبة

تتبع الأعداد السالبة تقريبًا نفس القواعد التي تتبعها الأعداد الطبيعية، ولكن لها بعض الميزات الخاصة.

رسم تاريخي

الأدب

• فيجودسكي م.يا.دليل الرياضيات الابتدائية. - م: AST، 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• جليزر جي.تاريخ الرياضيات في المدرسة. - م: التربية، 1964. - 376 ص.

روابط

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

• التهور مما يسبب الأذى
• نيوتروبيك

تعرف على "الرقم غير السالب" في القواميس الأخرى:

عدد حقيقي- العدد الحقيقي، أو الحقيقي، هو تجريد رياضي نشأ من الحاجة إلى قياس الكميات الهندسية والفيزيائية للعالم المحيط، وكذلك القيام بعمليات مثل استخراج الجذور، وحساب اللوغاريتمات، وحل... ... ويكيبيديا

عادةً ما يكون عددًا صحيحًا صغيرًا غير سالب- جزء من التشفير الذي يمثل قيم عدد صحيح غير سالب غير محدود، ولكن من المرجح أن تحدث القيم الصغيرة في كثير من الأحيان (ITU T X.691). المواضيع... ... دليل المترجم الفني

عدد حقيقي- العدد الحقيقي، العدد الموجب، العدد السالب أو الصفر. نشأ مفهوم العدد من خلال توسيع مفهوم العدد العقلاني. وترجع الحاجة إلى هذا التوسع إلى كل من الاستخدام العملي للرياضيات في التعبير... ... الموسوعة الرياضية

رقم اولي- العدد الأولي هو عدد طبيعي له قاسمتان طبيعيتان مختلفتان تمامًا: الواحد ونفسه. جميع الأعداد الطبيعية الأخرى، باستثناء واحد، تسمى مركبة. وبالتالي فإن جميع الأعداد الطبيعية أكبر من واحد... ... ويكيبيديا

عدد طبيعي- ▲ عدد صحيح معبر، حقيقي، عدد طبيعي عدد صحيح غير سالب؛ يعبر عن عدد العناصر الكاملة الفردية في ما ل. تجمعات؛ تشير إلى عدد الأشياء الكاملة الحقيقية؛ التعبير عن الأرقام. أربعة... القاموس الإيديوغرافي للغة الروسية

عدد عشري- الكسر العشري هو نوع من الكسر الذي يمثل طريقة لتمثيل الأعداد الحقيقية بالشكل الذي تكون فيه علامة الكسر: إما، أو، علامة عشرية تعمل كفاصل بين العدد الصحيح والجزء الكسري من الرقم. .. ... ويكيبيديا ويكيبيديا

كرقم خاص، ليس له أي علامة.

أمثلة على كتابة الأرقام: + 36، 6؛ − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.)الرقم الأخير ليس له علامة وبالتالي فهو موجب.

تجدر الإشارة إلى أن علامة الزائد والناقص تشير إلى الأرقام، ولكن ليس للمتغيرات الحرفية أو التعبيرات الجبرية. على سبيل المثال، في الصيغ - ر ; أ+ب; − (أ 2 + ب 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2)))لا يحدد رمزا الزائد والناقص إشارة التعبير الذي يسبقهما، بل إشارة العملية الحسابية، وبالتالي فإن إشارة النتيجة يمكن أن تكون أي شيء، ولا يتم تحديدها إلا بعد تقييم التعبير.

بالإضافة إلى الحساب، يتم استخدام مفهوم الإشارة في فروع أخرى من الرياضيات، بما في ذلك الكائنات الرياضية غير العددية (انظر أدناه). يعد مفهوم الإشارة مهمًا أيضًا في فروع الفيزياء حيث يتم تقسيم الكميات الفيزيائية إلى فئتين، تسمى تقليديًا الإيجابية والسلبية - على سبيل المثال، الشحنات الكهربائية، والتغذية المرتدة الإيجابية والسلبية، وقوى الجذب والتنافر المختلفة.

علامة رقم

الأرقام الإيجابية والسلبية

لم يتم تعيين الصفر أي علامة، وهذا هو + 0 (\displaystyle +0)و − 0 (\displaystyle -0)- وهذا هو نفس الرقم في الحساب. في التحليل الرياضي، معنى الرموز + 0 (\displaystyle +0)و − 0 (\displaystyle -0)قد تختلف، انظر حول هذا الصفر السلبي والإيجابي؛ في علوم الكمبيوتر، قد يختلف ترميز الكمبيوتر لصفرين (نوع عدد صحيح)، راجع الكود المباشر.

فيما يتعلق بما ورد أعلاه، تم تقديم العديد من المصطلحات المفيدة:

• رقم غير سلبيإذا كان أكبر من أو يساوي الصفر.
• رقم سلبيإذا كان أقل من أو يساوي الصفر.
• تسمى أحيانًا الأرقام الموجبة بدون صفر والأرقام السالبة بدون صفر (للتأكيد على أنها غير صفر) "إيجابية تمامًا" و"سلبية تمامًا" على التوالي.

يتم استخدام نفس المصطلحات أحيانًا للوظائف الحقيقية. على سبيل المثال، يتم استدعاء الدالة إيجابي، إذا كانت جميع قيمها موجبة، غير سلبي، إذا كانت جميع قيمها غير سالبة، وما إلى ذلك. ويقولون أيضًا أن الدالة تكون موجبة/سالبة في فترة زمنية معينة من تعريفها..

للحصول على مثال لاستخدام الدالة، راجع المقالة الجذر التربيعي#الأرقام المعقدة.

المعامل (القيمة المطلقة) للرقم

إذا كان الرقم س (\displaystyle x)تجاهل العلامة، يتم استدعاء القيمة الناتجة وحدةأو قيمه مطلقهأعداد س (\displaystyle x)، تم تحديده | س | . (\displaystyle |x|.)أمثلة: | 3 | = 3 ؛ | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

لأي أرقام حقيقية أ , ب (\displaystyle a,b)الخصائص التالية تحمل.

قم بالتوقيع على الكائنات غير الرقمية

علامة الزاوية

تعتبر قيمة الزاوية على المستوى موجبة إذا تم قياسها عكس اتجاه عقارب الساعة، وإلا فإنها تكون سالبة. يتم تصنيف حالتين من التناوب بالمثل:

• الدوران على المستوى - على سبيل المثال، يحدث الدوران بمقدار (-90 درجة) في اتجاه عقارب الساعة؛
• يعتبر الدوران في الفضاء حول محور موجه بشكل عام إيجابيًا إذا تم استيفاء "قاعدة الثقب"، وإلا فإنه يعتبر سلبيًا.

علامة الاتجاه

في الهندسة التحليلية والفيزياء، غالبًا ما يتم تقسيم التقدم على طول خط مستقيم أو منحنى معين إلى إيجابي وسالب. قد يعتمد هذا التقسيم على صياغة المشكلة أو على نظام الإحداثيات المختار. على سبيل المثال، عند حساب طول قوس منحنى، غالبًا ما يكون من المناسب تعيين علامة ناقص لهذا الطول في أحد الاتجاهين المحتملين.

تسجيل الدخول الحوسبة

البت الأكثر أهمية
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
لتمثيل علامة عدد صحيح، تستخدم معظم أجهزة الكمبيوتر

سوف يستعرض هذا الدرس مفهوم مقياس العدد الحقيقي ويقدم بعض تعريفاته الأساسية، متبوعًا بأمثلة توضح استخدامات هذه التعريفات المختلفة.

موضوع:أرقام حقيقية

درس:معامل العدد الحقيقي

1. تعريفات الوحدة

دعونا نفكر في مفهوم مثل معامل الرقم الحقيقي، وله عدة تعريفات.

التعريف 1. تسمى المسافة من نقطة على خط الإحداثيات إلى الصفر رقم الوحدةوهو إحداثي هذه النقطة (الشكل 1).

مثال 1. . لاحظ أن معاملات الأعداد المتضادة متساوية وغير سالبة، إذ أن هذه مسافة، لكنها لا يمكن أن تكون سالبة، والمسافة من الأعداد المتماثلة حول الصفر إلى نقطة الأصل متساوية.

التعريف 2. .

مثال 2. لنفكر في إحدى المشكلات المطروحة في المثال السابق لإثبات تكافؤ التعريفات المقدمة. كما نرى، مع وجود رقم سالب تحت علامة المعامل، فإن إضافة ناقص آخر أمامه يوفر نتيجة غير سالبة، كما يلي من تعريف المعامل.

عاقبة. يمكن العثور على المسافة بين نقطتين إحداثياتهما على خط الإحداثيات على النحو التالي بغض النظر عن الموقع النسبي للنقاط (الشكل 2).

2. الخصائص الأساسية للوحدة

1. معامل أي رقم غير سالب

2. معامل المنتج هو نتاج الوحدات

3. وحدة حاصل القسمة هي حاصل وحدات

3. حل المشكلات

مثال 3. حل المعادلة.

حل. دعونا نستخدم تعريف الوحدة الثانية: واكتب معادلتنا في شكل نظام معادلات لخيارات مختلفة لفتح الوحدة.

مثال 4. حل المعادلة.

حل. وكما هو الحال مع الحل في المثال السابق، نحصل على ذلك.

مثال 5. حل المعادلة.

حل. دعونا نحل من خلال نتيجة طبيعية من التعريف الأول للوحدة: . دعونا نصور ذلك على محور الرقم، مع الأخذ في الاعتبار أن الجذر المطلوب سيكون على مسافة 2 من النقطة 3 (الشكل 3).

وبناء على الشكل نحصل على جذور المعادلة: ، حيث أن النقاط ذات الإحداثيات هذه تقع على مسافة 2 من النقطة 3، كما هو مطلوب في المعادلة.

إجابة. .

مثال 6. حل المعادلة.

حل. بالمقارنة مع المشكلة السابقة، هناك تعقيد واحد فقط - وهو أنه لا يوجد تشابه كامل مع صياغة النتيجة الطبيعية حول المسافة بين الأرقام على محور الإحداثيات، لأنه تحت علامة المعامل توجد علامة زائد، وليس ناقص لافتة. ولكن ليس من الصعب أن نصلها بالشكل المطلوب، وهذا ما سنفعله:

دعونا نصور ذلك على محور الأعداد بشكل مشابه للحل السابق (الشكل 4).

جذور المعادلة .

إجابة. .

مثال 7. حل المعادلة.

حل. هذه المعادلة أكثر تعقيدًا قليلاً من المعادلة السابقة، لأن المجهول يأتي في المرتبة الثانية وله علامة ناقص، بالإضافة إلى أنه يحتوي أيضًا على مضاعف عددي. لحل المشكلة الأولى نستخدم إحدى خصائص الوحدة ونحصل على:

لحل المشكلة الثانية، دعونا نغير المتغيرات: مما سيقودنا إلى أبسط معادلة. بواسطة التعريف الثاني للوحدة . عوض بهذه الجذور في معادلة الاستبدال واحصل على معادلتين خطيتين:

إجابة. .

4. الجذر التربيعي والمعامل

في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات ذات الجذور، تنشأ وحدات، ويجب الانتباه إلى المواقف التي تنشأ فيها.

للوهلة الأولى، قد تطرح هذه الهوية أسئلة: "لماذا توجد وحدة هناك؟" و"لماذا الهوية مزيفة؟" اتضح أنه يمكننا إعطاء مثال مضاد بسيط للسؤال الثاني: إذا كان هذا صحيحًا، وهو ما يعادل، ولكن هذه هوية زائفة.

بعد ذلك، قد يطرح السؤال: «أليست مثل هذه الهوية تحل المشكلة؟»، ولكن هناك أيضًا مثال مضاد لهذا الاقتراح. إذا كان هذا صحيحًا، فهذا يعادل، لكن هذه هوية زائفة.

وعليه، إذا تذكرنا أن الجذر التربيعي لعدد غير سالب هو عدد غير سالب، وقيمة المعامل غير سالبة، يتضح سبب صحة العبارة أعلاه:

.

مثال 8. احسب قيمة التعبير.

حل. في مثل هذه المهام، من المهم عدم التخلص دون تفكير من الجذر على الفور، ولكن استخدام الهوية المذكورة أعلاه، لأن .

اليوم أيها الأصدقاء، لن يكون هناك مخاط أو عاطفة. بدلاً من ذلك، سأرسلك، دون طرح أي أسئلة، إلى معركة مع أحد أقوى المعارضين في دورة الجبر من الصف الثامن إلى التاسع.

نعم، لقد فهمت كل شيء بشكل صحيح: نحن نتحدث عن عدم المساواة مع المعامل. سنلقي نظرة على أربع تقنيات أساسية ستتعلم من خلالها حل حوالي 90٪ من هذه المشكلات. وماذا عن الـ10% المتبقية؟ حسنًا، سنتحدث عنهم في درس منفصل :)

ومع ذلك، قبل تحليل أي من التقنيات، أود أن أذكرك بحقيقتين تحتاج إلى معرفتهما بالفعل. وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم مادة درس اليوم على الإطلاق.

ما تحتاج إلى معرفته بالفعل

يبدو أن Captain Obviousness يشير إلى أنه لحل المتباينات باستخدام المعامل، عليك معرفة شيئين:

1. كيف يتم حل أوجه عدم المساواة؛
2. ما هي الوحدة؟

لنبدأ بالنقطة الثانية.

تعريف الوحدة

كل شيء بسيط هنا. هناك تعريفان: جبري ورسومي. لنبدأ - جبري:

تعريف. معامل الرقم $x$ هو إما الرقم نفسه، إذا كان غير سالب، أو الرقم المقابل له، إذا كان $x$ الأصلي لا يزال سالبًا.

هو مكتوب مثل هذا:

\[\يسار| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

بعبارات بسيطة، المعامل هو "رقم بدون سالب". وفي هذه الازدواجية بالتحديد (في بعض الأماكن لا يتعين عليك فعل أي شيء بالرقم الأصلي، ولكن في أماكن أخرى سيتعين عليك إزالة نوع ما من الطرح) حيث تكمن الصعوبة الكاملة للطلاب المبتدئين.

هناك أيضًا تعريف هندسي. ومن المفيد أيضًا أن نعرف ذلك، ولكننا سنلجأ إليه فقط في الحالات المعقدة وبعض الحالات الخاصة، حيث يكون النهج الهندسي أكثر ملاءمة من النهج الجبري (المفسد: ليس اليوم).

تعريف. دع النقطة $a$ محددة على خط الأعداد. ثم الوحدة $\left| x-a \right|$ هي المسافة من النقطة $x$ إلى النقطة $a$ على هذا الخط.

إذا قمت برسم صورة، فسوف تحصل على شيء مثل هذا:

تعريف الوحدة الرسومية

بطريقة أو بأخرى، من تعريف الوحدة النمطية، تتبع خاصيتها الرئيسية على الفور: معامل العدد هو دائمًا كمية غير سالبة. ستكون هذه الحقيقة بمثابة خيط أحمر يمر عبر قصتنا بأكملها اليوم.

حل عدم المساواة. طريقة الفاصل

الآن دعونا نلقي نظرة على عدم المساواة. هناك عدد كبير منها، لكن مهمتنا الآن هي أن نكون قادرين على حل أبسطها على الأقل. تلك التي تقلل إلى عدم المساواة الخطية، وكذلك إلى طريقة الفاصل.

لدي درسان كبيران حول هذا الموضوع (بالمناسبة، مفيدان جدًا - أوصي بدراستهما):

1. طريقة الفترات للمتباينات (خاصة مشاهدة الفيديو)؛
2. تعد المتباينات العقلانية الكسرية درسًا مكثفًا للغاية، ولكن بعد ذلك لن يكون لديك أي أسئلة على الإطلاق.

إذا كنت تعرف كل هذا، وإذا كانت عبارة "دعونا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة" لا تجعل لديك رغبة غامضة في ضرب نفسك بالحائط، فأنت جاهز: مرحبًا بك في الجحيم في الموضوع الرئيسي للدرس.

1. متباينات النموذج "المعامل أقل من الدالة"

هذه هي واحدة من المشاكل الأكثر شيوعا مع الوحدات. مطلوب لحل عدم المساواة في النموذج:

\[\يسار| و\يمين| \ltg\]

يمكن أن تكون الدالتان $f$ و$g$ أي شيء، ولكنها عادةً متعددة الحدود. أمثلة على عدم المساواة:

\[\begin(محاذاة) & \left| 2x+3 \يمين| \lt س+7; \\ & \اليسار| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \اليسار| ((x)^(2))-2\left| x \يمين|-3 \يمين| \lt 2. \\\end(محاذاة)\]

يمكن حلها جميعًا حرفيًا في سطر واحد وفقًا للمخطط التالي:

\[\يسار| و\يمين| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \صحيح صحيح)\]

من السهل أن نرى أننا تخلصنا من الوحدة، ولكن في المقابل نحصل على متباينة مزدوجة (أو، وهو نفس الشيء، نظام من متباينتين). لكن هذا الانتقال يأخذ في الاعتبار جميع المشاكل المحتملة على الإطلاق: إذا كان الرقم تحت المعامل موجبًا، فإن الطريقة تعمل؛ إذا كانت سلبية، فإنه لا يزال يعمل. وحتى مع وجود وظيفة غير كافية بدلاً من $f$ أو $g$، ستظل الطريقة تعمل.

وبطبيعة الحال، يطرح السؤال: ألا يمكن أن يكون الأمر أبسط؟ لسوء الحظ، هذا غير ممكن. هذا هو بيت القصيد من الوحدة.

ومع ذلك، يكفي التفلسف. دعونا نحل بعض المشاكل:

مهمة. حل عدم المساواة:

\[\يسار| 2x+3 \يمين| \lt س+7\]

حل. لذا، أمامنا عدم مساواة كلاسيكية في الشكل "المعامل أقل" - ولا يوجد حتى شيء يمكن تحويله. نحن نعمل وفقًا للخوارزمية:

\[\begin(محاذاة) & \left| و\يمين| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \اليسار| 2x+3 \يمين| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

لا تتسرع في فتح القوسين المسبوقين بعلامة "ناقص": فمن المحتمل جدًا أن ترتكب خطأً هجوميًا بسبب تسرعك.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

تم اختصار المشكلة إلى اثنين من عدم المساواة الأولية. دعونا نلاحظ حلولها على خطوط الأعداد المتوازية:

تقاطع العديد

سيكون تقاطع هذه المجموعات هو الحل.

الإجابة: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

مهمة. حل عدم المساواة:

\[\يسار| ((x)^(2))+2x-3 \يمين|+3\يسار(x+1 \يمين) \lt 0\]

حل. هذه المهمة أصعب قليلاً. أولاً، لنعزل الوحدة عن طريق تحريك الحد الثاني إلى اليمين:

\[\يسار| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

من الواضح أن لدينا مرة أخرى عدم مساواة في الشكل "الوحدة أصغر"، لذلك نتخلص من الوحدة باستخدام الخوارزمية المعروفة بالفعل:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

انتبه الآن: سيقول شخص ما إنني منحرف بعض الشيء مع كل هذه الأقواس. ولكن اسمحوا لي أن أذكركم مرة أخرى أن هدفنا الرئيسي هو حل عدم المساواة بشكل صحيح والحصول على الجواب. لاحقًا، عندما تتقن كل ما تم وصفه في هذا الدرس بشكل مثالي، يمكنك تحريفه بنفسك كما يحلو لك: افتح الأقواس، وأضف النواقص، وما إلى ذلك.

في البداية، سنتخلص ببساطة من علامة الطرح المزدوجة الموجودة على اليسار:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\يسار(س+1 \يمين)\]

الآن دعونا نفتح جميع الأقواس في المتباينة المزدوجة:

دعنا ننتقل إلى عدم المساواة المزدوجة. هذه المرة ستكون الحسابات أكثر جدية:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(محاذاة) \يمين.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( محاذاة اليمين.\]

كلا المتباينتين من الدرجة الثانية ويمكن حلهما باستخدام طريقة الفاصل (ولهذا السبب أقول: إذا كنت لا تعرف ما هي، فمن الأفضل عدم دراسة الوحدات بعد). دعنا ننتقل إلى المعادلة في المتباينة الأولى:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\النهاية(محاذاة)\]

كما ترون، الناتج عبارة عن معادلة تربيعية غير كاملة، والتي يمكن حلها بطريقة أولية. الآن دعونا نلقي نظرة على المتباينة الثانية للنظام. هناك سيتعين عليك تطبيق نظرية فييتا:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\النهاية(محاذاة)\]

نحتفل بالأرقام الناتجة على خطين متوازيين (منفصلان عن المتباينة الأولى ومنفصلتين عن الثانية):

مرة أخرى، بما أننا نحل نظامًا من المتباينات، فنحن مهتمون بتقاطع المجموعات المظللة: $x\in \left(-5;-2 \right)$. هذا هو الجواب.

الإجابة: $x\in \left(-5;-2 \right)$

أعتقد أنه بعد هذه الأمثلة أصبح مخطط الحل واضحًا للغاية:

1. اعزل الوحدة عن طريق تحريك جميع الحدود الأخرى إلى الجانب الآخر من المتراجحة. وهكذا نحصل على متباينة بالشكل $\left| و\يمين| \ltg$.
2. قم بحل عدم المساواة هذه عن طريق التخلص من الوحدة النمطية وفقًا للمخطط الموضح أعلاه. في مرحلة ما، سيكون من الضروري الانتقال من عدم المساواة المزدوجة إلى نظام من تعبيرين مستقلين، كل منهما يمكن حله بشكل منفصل.
3. أخيرًا، كل ما تبقى هو تقاطع حلول هذين التعبيرين المستقلين - وهذا كل شيء، وسنحصل على الإجابة النهائية.

توجد خوارزمية مشابهة للمتباينات من النوع التالي، عندما يكون المعامل أكبر من الدالة. ومع ذلك، هناك بضعة "تحفظات" خطيرة. سنتحدث عن هذه "التحفظات" الآن.

2. متباينات النموذج "المعامل أكبر من الوظيفة"

تبدو مثل هذا:

\[\يسار| و\يمين| \gtg\]

مماثلة لتلك السابقة؟ يبدو. ومع ذلك، يتم حل هذه المشاكل بطريقة مختلفة تمامًا. رسميا، المخطط هو كما يلي:

\[\يسار| و\يمين| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

وبعبارة أخرى، فإننا ننظر إلى حالتين:

1. أولاً، نتجاهل الوحدة ببساطة ونحل المتراجحة المعتادة؛
2. بعد ذلك، في الأساس، نقوم بتوسيع الوحدة بعلامة الطرح، ثم نضرب طرفي المتراجحة بـ −1، بينما لدي العلامة.

في هذه الحالة، يتم دمج الخيارات مع قوس مربع، أي. أمامنا مزيج من متطلبين.

يرجى ملاحظة مرة أخرى: هذا ليس نظامًا، ولكنه كلي في الإجابة يتم دمج المجموعات بدلاً من تقاطعها. وهذا فرق جوهري عن النقطة السابقة!

بشكل عام، العديد من الطلاب مرتبكون تمامًا بين الاتحادات والتقاطعات، لذلك دعونا نحل هذه المشكلة مرة واحدة وإلى الأبد:

• "∪" هي علامة الاتحاد. في الحقيقة هذا حرف "U" منمق جاء إلينا من اللغة الإنجليزية وهو اختصار لكلمة "Union" أي. "ذات الصلة".
• "∩" هي علامة التقاطع. لم تأت هذه الهراء من أي مكان، ولكنها ظهرت ببساطة كنقطة مقابلة لـ "∪".

لتسهيل التذكر، ما عليك سوى رسم ساقيك على هذه العلامات لصنع نظارات (فقط لا تتهمني الآن بالترويج لإدمان المخدرات وإدمان الكحول: إذا كنت تدرس هذا الدرس بجدية، فأنت بالفعل مدمن مخدرات):

الفرق بين التقاطع واتحاد المجموعات

إذا ترجمت إلى اللغة الروسية، فهذا يعني ما يلي: يتضمن الاتحاد (الكلية) عناصر من كلتا المجموعتين، وبالتالي فهو ليس أقل بأي حال من الأحوال من كل منهما؛ لكن التقاطع (النظام) يشمل فقط تلك العناصر الموجودة في نفس الوقت في المجموعة الأولى والثانية. ولذلك، فإن تقاطع المجموعات لا يكون أبدًا أكبر من مجموعات المصدر.

لذلك أصبح الأمر أكثر وضوحا؟ هذا عظيم. دعنا ننتقل إلى الممارسة.

مهمة. حل عدم المساواة:

\[\يسار| 3x+1 \يمين| \gt 5-4x\]

حل. نتصرف وفقا للمخطط:

\[\يسار| 3x+1 \يمين| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ يمين.\]

نحن نحل كل عدم المساواة في السكان:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

نحدد كل مجموعة ناتجة على خط الأعداد، ثم نجمعها:

اتحاد المجموعات

من الواضح تمامًا أن الإجابة ستكون $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

الإجابة: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

مهمة. حل عدم المساواة:

\[\يسار| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

حل. حسنًا؟ لا شيء - كل شيء هو نفسه. ننتقل من المتباينة ذات المعامل إلى مجموعة من المتباينتين:

\[\يسار| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(محاذاة) \يمين.\]

نحن نحل كل عدم المساواة. لسوء الحظ ، لن تكون الجذور جيدة جدًا:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\النهاية(محاذاة)\]

عدم المساواة الثاني هو أيضًا جامح بعض الشيء:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\النهاية(محاذاة)\]

أنت الآن بحاجة إلى تحديد هذه الأرقام على محورين - محور واحد لكل متباينة. ومع ذلك، تحتاج إلى وضع علامة على النقاط بالترتيب الصحيح: كلما زاد الرقم، كلما تحركت النقطة إلى اليمين.

وهنا ينتظرنا الإعداد. إذا كان كل شيء واضحًا مع الأرقام $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (المصطلحات الموجودة في بسط الأول الكسر أقل من الحدود الموجودة في بسط الثانية، لذا يكون المجموع أيضًا أقل)، مع الأعداد $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ أيضًا لن تكون هناك صعوبات (من الواضح أن الرقم الموجب أكثر سلبية)، ثم مع الزوجين الأخيرين، كل شيء غير واضح. أيهما أكبر: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ أم $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$؟ موضع النقاط على خطوط الأعداد، والإجابة في الواقع، ستعتمد على إجابة هذا السؤال.

لذلك دعونا نقارن:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

لقد عزلنا الجذر، وحصلنا على أرقام غير سالبة على طرفي المتراجحة، لذا لدينا الحق في تربيع الطرفين:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

أعتقد أنه من غير المنطقي أن $4\sqrt(13) \gt 3$، لذا $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$، سيتم وضع النقاط النهائية على المحاور بالشكل التالي:

حالة من الجذور القبيحة

دعني أذكرك أننا نحل مجموعة، لذا فإن الإجابة ستكون اتحادًا، وليس تقاطع المجموعات المظللة.

الإجابة: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \يمين)$

كما ترون، فإن مخططنا يعمل بشكل رائع لكل من المشاكل البسيطة والصعبة للغاية. "نقطة الضعف" الوحيدة في هذا النهج هي أنك تحتاج إلى مقارنة الأعداد غير النسبية بشكل صحيح (وصدقني: هذه ليست جذورًا فقط). ولكن سيتم تخصيص درس منفصل (وخطير للغاية) لقضايا المقارنة. ونحن نمضي قدما.

3. عدم المساواة مع "ذيول" غير سلبية

الآن نصل إلى الجزء الأكثر إثارة للاهتمام. هذه هي عدم المساواة في النموذج:

\[\يسار| و\يمين| \gt \يسار| ز\يمين|\]

بشكل عام، الخوارزمية التي سنتحدث عنها الآن صحيحة فقط للوحدة. إنه يعمل في جميع المتباينات حيث توجد تعبيرات غير سلبية مضمونة على اليسار واليمين:

ماذا تفعل بهذه المهام؟ تذكر فقط:

في حالة عدم المساواة ذات "ذيول" غير سلبية، يمكن رفع كلا الجانبين إلى أي قوة طبيعية. لن تكون هناك قيود إضافية.

أولًا، سنكون مهتمين بالتربيع - فهو يحرق الوحدات والجذور:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\النهاية(محاذاة)\]

لا تخلط بين هذا وبين أخذ جذر المربع:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \يمين|\ne f\]

تم ارتكاب عدد لا يحصى من الأخطاء عندما نسي أحد الطلاب تثبيت الوحدة النمطية! لكن هذه قصة مختلفة تمامًا (هذه معادلات غير عقلانية)، لذلك لن نخوض في هذا الآن. دعونا نحل بعض المشاكل بشكل أفضل:

مهمة. حل عدم المساواة:

\[\يسار| x+2 \يمين|\ge \يسار| 1-2x \يمين|\]

حل. ولنلاحظ على الفور أمرين:

1. هذه ليست عدم مساواة صارمة. سيتم ثقب النقاط على خط الأعداد.
2. من الواضح أن كلا طرفي المتراجحة غير سالبين (هذه إحدى خصائص الوحدة: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

لذلك يمكننا تربيع طرفي المتراجحة للتخلص من المقياس وحل المسألة باستخدام طريقة الفترات المعتادة:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\النهاية(محاذاة)\]

في الخطوة الأخيرة، خدعت قليلاً: لقد غيرت تسلسل المصطلحات، مستفيدًا من تساوي الوحدة (في الواقع، قمت بضرب التعبير $1-2x$ في −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ يمين)\يمين)\le 0؛ \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

نحن نحل باستخدام طريقة الفاصل. دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\النهاية(محاذاة)\]

نحتفل بالجذور التي تم العثور عليها على خط الأعداد. مرة أخرى: جميع النقاط مظللة لأن المتراجحة الأصلية ليست صارمة!

التخلص من علامة المعامل

اسمحوا لي أن أذكركم لأولئك العنيدين بشكل خاص: نحن نأخذ الإشارات من المتباينة الأخيرة، التي تم تدوينها قبل الانتقال إلى المعادلة. ونرسم فوق المساحات المطلوبة بنفس المتباينة. في حالتنا يكون $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. حلت المشكلة.

الإجابة: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

مهمة. حل عدم المساواة:

\[\يسار| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

حل. نحن نفعل كل شيء بنفس الطريقة. لن أعلق، فقط انظر إلى تسلسل الإجراءات.

قم بتربيعها:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \right|.))^(2));. \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \يمين))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \يمين))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ صحيح))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \يمين)\مرات \\ & \مرات \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \يمين)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

طريقة الفاصل:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ السهم الأيمن x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\النهاية(محاذاة)\]

يوجد جذر واحد فقط على خط الأعداد:

الجواب هو فاصل كامل

الإجابة: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

ملاحظة صغيرة حول المهمة الأخيرة. كما لاحظ أحد طلابي بدقة، فإن كلا التعبيرين الجزئيين في هذه المتباينة إيجابيان بشكل واضح، لذلك يمكن حذف علامة المعامل دون الإضرار بالصحة.

ولكن هذا مستوى مختلف تمامًا من التفكير ونهج مختلف - يمكن أن يطلق عليه بشكل مشروط طريقة العواقب. عنه - في درس منفصل. لننتقل الآن إلى الجزء الأخير من درس اليوم ونلقي نظرة على خوارزمية عالمية تعمل دائمًا. حتى عندما كانت جميع الأساليب السابقة عاجزة :)

4. طريقة عد الخيارات

ماذا لو لم تساعد كل هذه التقنيات؟ إذا كان عدم المساواة لا يمكن اختزاله إلى ذيول غير سلبية، وإذا كان من المستحيل عزل الوحدة، وإذا كان هناك ألم وحزن وكآبة بشكل عام؟

ثم تأتي "المدفعية الثقيلة" لجميع الرياضيات إلى الساحة - طريقة القوة الغاشمة. فيما يتعلق بعدم المساواة مع المعامل يبدو كما يلي:

1. اكتب جميع التعبيرات الجزئية واجعلها مساوية للصفر؛
2. حل المعادلات الناتجة وحدد الجذور الموجودة على خط أعداد واحد؛
3. سيتم تقسيم الخط المستقيم إلى عدة أقسام، تحتوي كل وحدة بداخلها على علامة ثابتة وبالتالي يتم الكشف عنها بشكل فريد؛
4. قم بحل عدم المساواة في كل قسم من هذا القبيل (يمكنك النظر بشكل منفصل في حدود الجذور التي تم الحصول عليها في الخطوة 2 - من أجل الموثوقية). اجمع بين النتائج - سيكون هذا هو الجواب :).

إذا كيف؟ ضعيف؟ بسهولة! فقط لفترة طويلة. دعونا نرى في الممارسة العملية:

مهمة. حل عدم المساواة:

\[\يسار| س+2 \يمين| \lt \يسار| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

حل. لا يقتصر هذا الهراء على عدم المساواة مثل $\left| و\يمين| \lt g$، $\left| و\يمين| \gt g$ أو $\left| و\يمين| \lt \يسار| g \right|$، لذلك نتحرك للأمام.

نكتب تعبيرات فرعية ونساويها بالصفر ونجد الجذور:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\النهاية(محاذاة)\]

في المجمل، لدينا جذرين يقسمان خط الأعداد إلى ثلاثة أقسام، حيث يتم الكشف عن كل وحدة بشكل فريد:

تقسيم خط الأعداد إلى أصفار من الدوال الجزئية

دعونا ننظر إلى كل قسم على حدة.

1. دع $x \lt -2$. إذن كلا التعبيرين الجزئيين سالبين، وسيتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(محاذاة)\]

لقد حصلنا على قيود بسيطة إلى حد ما. دعونا نتقاطع مع الافتراض الأولي بأن $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

من الواضح أن المتغير $x$ لا يمكن أن يكون أقل من −2 وأكبر من 1.5 في نفس الوقت. لا توجد حلول في هذا المجال.

1.1. دعونا نفكر بشكل منفصل في الحالة الحدودية: $x=-2$. لنعوض بهذا الرقم في المتراجحة الأصلية ونتحقق: هل هذا صحيح؟

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \يسار| -3\يمين|-2-1.5; \\ & 0 \ لتر 3-3.5؛ \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\النهاية(محاذاة)\]

ومن الواضح أن سلسلة الحسابات قادتنا إلى متباينة غير صحيحة. ولذلك، فإن المتراجحة الأصلية خاطئة أيضًا، ولم يتم تضمين $x=-2$ في الإجابة.

2. دع الآن $-2 \lt x \lt 1$. سيتم فتح الوحدة اليسرى بالفعل بعلامة "زائد"، لكن الوحدة اليمنى ستظل مفتوحة بعلامة "ناقص". لدينا:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\النهاية(محاذاة)\]

مرة أخرى نتقاطع مع المتطلبات الأصلية:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

ومرة أخرى، مجموعة الحلول فارغة، حيث لا توجد أرقام أقل من −2.5 وأكبر من −2.

2.1. ومرة أخرى حالة خاصة: $x=1$. نعوض في المتباينة الأصلية:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \اليسار| 3\صحيح| \lt \يسار| 0 \يمين|+1-1.5; \\ & 3 \لتر -0.5؛ \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\النهاية(محاذاة)\]

على غرار "الحالة الخاصة" السابقة، من الواضح أن الرقم $x=1$ لم يتم تضمينه في الإجابة.

3. الجزء الأخير من السطر: $x \gt 1$. هنا يتم فتح جميع الوحدات بعلامة زائد:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

ومرة أخرى نقوم بتقاطع المجموعة التي تم العثور عليها مع القيد الأصلي:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

أخيراً! لقد وجدنا الفاصل الزمني الذي سيكون الجواب.

الإجابة: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

وأخيرًا، ملاحظة واحدة قد تنقذك من الأخطاء الغبية عند حل المشكلات الحقيقية:

عادةً ما تمثل حلول المتباينات ذات المقاييس مجموعات متصلة على خط الأعداد - فترات وقطاعات. النقاط المعزولة أقل شيوعًا. وفي كثير من الأحيان يحدث أن حدود الحل (نهاية المقطع) تتزامن مع حدود النطاق قيد النظر.

وبالتالي، إذا لم يتم تضمين الحدود (نفس "الحالات الخاصة") في الإجابة، فمن المؤكد تقريبًا أنه لن يتم تضمين المناطق الموجودة على يسار ويمين هذه الحدود في الإجابة. والعكس صحيح: الحدود دخلت في الجواب، مما يعني أن بعض المناطق المحيطة بها ستكون أيضاً إجابات.

ضع ذلك في الاعتبار عند مراجعة الحلول الخاصة بك.