مشتق ظل التمام x. مشتقات الدوال المثلثية: الظل، الجيب، جيب التمام وغيرها. الصيغ المشتقة للدوال المثلثية

المشتقة بالنسبة للمتغير x من ظل التمام لـ x تساوي سالب واحد مقسومًا على مربع جيب التمام لـ x:
(ctg س)' =.

اشتقاق صيغة مشتق ظل التمام

لاشتقاق صيغة مشتق ظل التمام، سنستخدم الحقائق الرياضية التالية:
1) التعبير عن ظل التمام بدلالة جيب التمام والجيب:
(1) ;
2) قيمة مشتق جيب التمام:
(2) ;
3) قيمة مشتق الجيب:
(3) ;
4) صيغة مشتق الحاصل:
(4) ;
5) الصيغة المثلثية:
(5) .

نحن نطبق هذه الصيغ والقواعد على مشتقة ظل التمام.

.

وهكذا حصلنا على صيغة مشتقة ظل التمام.

صيغة الكسر المشتق (4) صالحة لقيم المتغير x التي توجد لها مشتقات من الدوال والتي لا يختفي مقام الكسر فيها:
.
في حالتنا هذه
، . بما أن مشتقات جيب التمام وجيب التمام محددة لجميع قيم المتغير x، فإن صيغة مشتق ظل التمام صالحة لجميع قيم x، باستثناء النقاط التي يكون فيها جيب التمام يساوي الصفر. هذا باستثناء النقاط
,
حيث هو عدد صحيح.
الدالة نفسها y = سي تي جي اكسمحددة لجميع x باستثناء النقاط
.
لهذا يتم تعريف مشتق ظل التمام على كامل نطاق تعريف دالة ظل التمام.

مشتقات الترتيب العالي

صيغة بسيطة للمشتقة من الرتبة n لظل التمام y = سي تي جي اكس، لا. ولكن يمكن تبسيط حساب المشتقات ذات الترتيب الأعلى. يمكن اختزال العملية نفسها إلى تمايز كثير الحدود.

للقيام بذلك، نعبر عن مشتقة ظل التمام من خلال ظل التمام نفسه:
.
لذلك وجدنا:
(6) .

دعونا نوجد مشتقات الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة (6) ونطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة. نحن نحصل مشتق من الدرجة الثانية:
.
لنستبدل (6):
(7) .

دعونا نجد مشتقة الدرجة الثالثة. للقيام بذلك، نفرق المعادلة (7)، ونطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة ونستخدم التعبير (6) للمشتق الأول:
.

وبطريقة مماثلة نجد مشتقات الدرجة الرابعة والخامسة:

;

.

على العموم، مشتق من الدرجة n، في المتغير x لدالة ظل التمام، يمكن تمثيلها على أنها متعددة الحدود في صلاحيات ظل التمام:
.
ترتبط معاملات كثير الحدود هذه بعلاقة التكرار:
,
أين
; ;
.

صيغة عامة

دعونا نتخيل عملية التمايز بصيغة واحدة. للقيام بذلك، لاحظ ذلك
.
إذن فإن المشتقة n لظل التمام لها الصيغة التالية:
,
أين .

الأسئلة الأكثر شيوعاً

هل من الممكن عمل ختم على مستند حسب العينة المقدمة؟ إجابة انه من الممكن. أرسل نسخة ممسوحة ضوئيًا أو صورة ذات نوعية جيدة إلى عنوان بريدنا الإلكتروني، وسنقوم بعمل النسخة اللازمة.

ما هي أنواع الدفع التي تقبلونها؟ إجابة يمكنك دفع ثمن الوثيقة عند استلامها عن طريق البريد، بعد التحقق من صحة إكمال الدبلوم وجودته. ويمكن القيام بذلك أيضًا في مكاتب شركات البريد التي تقدم خدمات الدفع نقدًا عند التسليم.
جميع شروط التسليم والدفع للمستندات موضحة في قسم "الدفع والتسليم". نحن أيضًا على استعداد للاستماع إلى اقتراحاتكم فيما يتعلق بشروط التسليم والدفع مقابل المستند.

هل يمكنني التأكد من أنك بعد تقديم الطلب لن تختفي بأموالي؟ إجابة لدينا خبرة طويلة في مجال إنتاج الدبلومات. لدينا العديد من المواقع التي يتم تحديثها باستمرار. يعمل المتخصصون لدينا في أجزاء مختلفة من البلاد، وينتجون أكثر من 10 وثائق يوميًا. على مر السنين، ساعدت وثائقنا العديد من الأشخاص على حل مشاكل التوظيف أو الانتقال إلى وظائف ذات رواتب أعلى. لقد اكتسبنا الثقة والتقدير بين العملاء، لذلك لا يوجد أي سبب على الإطلاق للقيام بذلك. علاوة على ذلك، من المستحيل القيام بذلك جسديا: أنت تدفع ثمن طلبك عندما تستلمه بين يديك، ولا يوجد دفع مسبق.

هل يمكنني طلب دبلوم من أي جامعة؟ إجابة بشكل عام، نعم. نحن نعمل في هذا المجال منذ ما يقرب من 12 عامًا. خلال هذا الوقت، تم تشكيل قاعدة بيانات كاملة تقريبا للوثائق الصادرة عن جميع الجامعات تقريبا في البلاد لسنوات مختلفة من الإصدار. كل ما عليك هو اختيار الجامعة والتخصص والمستند وتعبئة نموذج الطلب.

ماذا تفعل إذا وجدت أخطاء مطبعية وأخطاء في المستند؟ إجابة عند استلام مستند من شركة البريد السريع أو البريد لدينا، نوصيك بالتحقق بعناية من جميع التفاصيل. إذا تم اكتشاف خطأ مطبعي أو خطأ أو عدم دقة، فيحق لك عدم استلام الدبلوم، ولكن يجب عليك الإشارة إلى العيوب المكتشفة شخصيًا إلى شركة البريد السريع أو كتابيًا عن طريق إرسال بريد إلكتروني.
سنقوم بتصحيح المستند في أقرب وقت ممكن وإعادة إرساله إلى العنوان المحدد. وبطبيعة الحال، سيتم دفع تكاليف الشحن من قبل شركتنا.
لتجنب سوء الفهم هذا، قبل ملء النموذج الأصلي، نرسل إلى العميل عبر البريد الإلكتروني نموذجًا بالحجم الطبيعي للوثيقة المستقبلية للتحقق من النسخة النهائية والموافقة عليها. قبل إرسال المستند عن طريق البريد أو البريد، نقوم أيضًا بالتقاط صور ومقاطع فيديو إضافية (بما في ذلك الضوء فوق البنفسجي) حتى يكون لديك فكرة واضحة عما ستحصل عليه في النهاية.

ماذا علي أن أفعل لطلب دبلوم من شركتك؟ إجابة لطلب وثيقة (شهادة، دبلوم، شهادة أكاديمية، وما إلى ذلك)، يجب عليك ملء نموذج الطلب عبر الإنترنت على موقعنا أو تقديم بريدك الإلكتروني حتى نتمكن من إرسال نموذج طلب إليك، والذي يتعين عليك تعبئته وإرساله مرة أخرى لنا.
إذا كنت لا تعرف ما يجب الإشارة إليه في أي حقل من استمارة الطلب/الاستبيان، فاتركها فارغة. لذلك سنوضح كافة المعلومات الناقصة عبر الهاتف.

آخر مراجعات

توريوايلد:

قررت شراء دبلوم من شركتكم عندما انتقلت إلى مدينة أخرى ولم أتمكن من العثور على شهادتي بين أغراضي. بدونه، لم أكن لأحصل على وظيفة جيدة ذات أجر جيد. وأكد لي مستشارك أن هذه المعلومات لم يتم الكشف عنها، ولن يميز أحد الوثيقة عن الأصل. لم تكن هناك شكوك، ولكن كان علي أن أخاطر. أعجبني أنه لا يلزم الدفع المسبق. بشكل عام، حصلت على شهادتي في الوقت المحدد ولم أخدع. شكرًا لك!

أوكسانا إيفانوفنا:

عندما سُرقت شهادتي، شعرت بالانزعاج الشديد. بعد كل شيء، لقد تم طردي في ذلك الوقت، والآن يكاد يكون من المستحيل العثور على وظيفة جيدة دون الحصول على دبلوم التعليم العالي. لحسن الحظ، اقترح أحد الجيران الاتصال بمؤسستك. في البداية كنت متشككًا، لكنني قررت المخاطرة. اتصلت بمدير الشركة وشرحت لي وضعي. وأنا محظوظ! لقد فعلوا كل شيء على الفور، والأهم من ذلك أنهم وعدوا بعدم إفشاء سري. لقد كنت قلقًا من أن حقيقة أنني اشتريت الدبلوم لن تظهر لاحقًا.

ماشا كوتينكوفا:

شكرا على العمل! لقد طلبت دبلومًا من عام 1991. عندما بدأوا في رفع المستندات، اتضح أن هناك القليل من الخبرة، وكانوا بحاجة أيضًا إلى ورقة تؤكد تعليمهم. لم يكن لدي واحدة، وكان الرئيس يعرف ذلك، وأوصت بشركتك بنفسها (على ما يبدو، أنا لست موظفًا على الإطلاق). في الوثيقة، أشارت لي إلى التفاصيل - مثل، في أي سنة يستخدمون الحبر أو الحبر، وسمك التوقيع، وما إلى ذلك. شكرًا لك على الدقة والجودة!

موافق:

بعد قراءة قصص عن الفصل المخزي للموظفين الذين طبعت شهاداتهم على طابعة ملونة، ذهبت لتقديم طلب إلى الجامعة. للأسف، لا توجد ميزانية ولا أموال للدراسة ولا أموال لدفع تكاليف الجلسات، لذلك كان علي المخاطرة. على الرغم من أنني سعيد جدًا لأنني التقيت بشركتك. على الرغم من أنه لم يتم تعييني بشهادتك بسبب فشل الجزء العملي، إلا أن هذا ليس خطأك. بمجرد أن أجد مكانًا جديدًا، سأأتي إليك مباشرة، دون تأخير!

جيري تيري:

عندما أشاهد الحرج الذي تم طرد زميلي من العمل للحصول على دبلوم مزيف، كان مخيفا أن تحذو حذوه. لولا العرابة التي أمرت منك، لم أكن لأخاطر. وأكدت أن كل شيء يسير على ما يرام هنا، وأن اسمي سيكون موجودًا في كل مكان عندما تكون هناك حاجة إليه. كان لدي 4 أيام للقيام بكل شيء. شكرًا لك على سرعتك - لقد أكملناها في 3، وتمكنا أيضًا من دراسة طرق تزوير المستندات بدقة، لكن النموذج الخاص بك لا يعتبر مزيفًا، مما يعني أنه سيتم اعتباره أصليًا.

أندريه:

لم أكن أعتقد أبدًا أنني سأضطر إلى شراء دبلوم. بعد المدرسة، ذهبت ابنتي إلى بولندا للعمل، وعندما عادت بعد 5 سنوات، أرادت الحصول على وظيفة مصممة ملابس في دار أزياء محلية. بدون دبلوم، لا أحد يريد توظيفها. لقد فهم أنه إذا لم يحصل على هذه الوظيفة، فسوف يغادر مرة أخرى. قضيت المساء أتصفح الإنترنت، وفي الصباح كنت بالفعل في المكتب مع مستندات ابنتي. وبعد أسبوع، أخذ معها شهادتها، وبقيت أخيرًا للعمل في مدينتها في الوظيفة المطلوبة. ليس لديك أي فكرة عن مدى امتناني لك!

من سياق الهندسة والرياضيات، اعتاد تلاميذ المدارس على حقيقة أن مفهوم المشتق يتم نقله إليهم من خلال مساحة الشكل، والتفاضلات، وحدود الوظائف، وكذلك الحدود. دعونا نحاول أن ننظر إلى مفهوم المشتقة من زاوية مختلفة، ونحدد كيف يمكن ربط الدوال المشتقة والدوال المثلثية.

لذلك، دعونا نفكر في بعض المنحنيات التعسفية الموصوفة بواسطة الدالة المجردة y = f(x).

لنتخيل أن الجدول الزمني عبارة عن خريطة لطريق سياحي. الزيادة ∆x (دلتا x) في الشكل هي مسافة معينة من المسار، و∆y هو التغير في ارتفاع المسار فوق مستوى سطح البحر.
ثم يتبين أن النسبة ∆x/∆y ستميز مدى تعقيد المسار في كل جزء من المسار. بعد أن تعلمت هذه القيمة، يمكنك أن تقول بثقة ما إذا كان الصعود/الهبوط حادًا، وما إذا كانت هناك حاجة إلى معدات التسلق، وما إذا كان السائحون بحاجة إلى تدريب بدني معين. لكن هذا المؤشر سيكون صالحًا فقط لفاصل زمني صغير واحد ∆x.

إذا أخذ منظم الرحلة قيم نقطتي البداية والنهاية للمسار، أي ∆x يساوي طول المسار، فلن يتمكن من الحصول على بيانات موضوعية عن درجة الصعوبة الرحلة. لذلك، من الضروري إنشاء رسم بياني آخر يصف سرعة و"جودة" التغييرات في المسار، وبعبارة أخرى، تحديد النسبة ∆x/∆y لكل "عداد" من المسار.

سيكون هذا الرسم البياني مشتقًا مرئيًا لمسار معين وسيصف بشكل موضوعي التغييرات التي تطرأ عليه عند كل فترة زمنية من الاهتمام. من السهل جدًا التحقق من ذلك؛ القيمة ∆x/∆y ليست أكثر من تفاضل مأخوذ لقيمة محددة لـ x وy. دعونا نطبق التمايز ليس على إحداثيات محددة، ولكن على الوظيفة ككل:

الدوال المشتقة والمثلثية

ترتبط الدوال المثلثية ارتباطًا وثيقًا بالمشتقات. ويمكن فهم ذلك من الرسم التالي. يوضح شكل محور الإحداثيات الدالة Y = f (x) - المنحنى الأزرق.

K (x0; f (x0)) هي نقطة عشوائية، x0 + ∆x هي الزيادة على طول محور OX، وf (x0 + ∆x) هي الزيادة على طول محور OY عند نقطة معينة L.

لنرسم خطًا عبر النقطتين K وL ونبني مثلثًا قائمًا KLN. إذا قمت بتحريك المقطع LN عقليًا على طول الرسم البياني Y = f (x)، فستميل النقطتان L و N إلى القيم K (x0؛ f (x0)). دعنا نسمي هذه النقطة البداية الشرطية للرسم البياني - الحد؛ إذا كانت الدالة لا نهائية، على الأقل في إحدى الفواصل الزمنية، فسيكون هذا الاتجاه أيضًا لا نهائيًا، وقيمته الحدية قريبة من 0.

يمكن وصف طبيعة هذا الاتجاه من خلال مماس للنقطة المحددة y = kx + b أو من خلال رسم بياني لمشتق الدالة الأصلية dy - الخط المستقيم الأخضر.

ولكن أين علم المثلثات هنا؟! كل شيء بسيط للغاية، فكر في المثلث القائم KLN. القيمة التفاضلية لنقطة معينة K هي ظل الزاوية α أو ∠K:

وبهذه الطريقة يمكننا وصف المعنى الهندسي للمشتقة وعلاقتها بالدوال المثلثية.

الصيغ المشتقة للدوال المثلثية

يجب حفظ تحويلات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام عند تحديد المشتق.

الصيغتان الأخيرتان ليستا خطأ، النقطة المهمة هي أن هناك فرقًا بين تعريف مشتق وسيطة بسيطة ودالة بنفس الصفة.

دعونا نلقي نظرة على جدول مقارن يحتوي على صيغ لمشتقات الجيوب الأنفية وجيب التمام والظل وظل التمام:

تم أيضًا اشتقاق الصيغ لمشتقات أركسين وأركوسين وظل قوسي وظل قوسي، على الرغم من أنها نادرًا ما تستخدم:

تجدر الإشارة إلى أن الصيغ المذكورة أعلاه من الواضح أنها لا تكفي لحل مهام الاستخدام النموذجية بنجاح، والتي سيتم توضيحها عند حل مثال محدد للعثور على مشتق تعبير مثلثي.

يمارس: من الضروري إيجاد مشتقة الدالة وإيجاد قيمتها لـ π/4:

حل: للعثور على y’ من الضروري أن نتذكر الصيغ الأساسية لتحويل الدالة الأصلية إلى مشتق، وهي.