الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

ستجد في هذه المقالة خصائص المنصف والوسيط للمثلث التي يمكن أن تكون مفيدة في حل المشكلات.

منصفات.

1. نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة المحيطية للمثلث.

دليل.

في الواقع، النقاط الواقعة على منصف الزاوية تكون متساوية البعد عن جوانب الزاوية. وبالتالي فإن نقطة تقاطع المنصفات متساوية البعد من جميع أضلاع المثلث، أي أنها مركز الدائرة المحيطية.

2. يقسم منصف المثلث الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الأضلاع المجاورة:

دليل.

دعونا نجعل إنشاءات إضافية. لنرسم خطًا موازيًا لهذه النقطة

نقطة تقاطع الخط المستقيم والخط المستقيم:

∠1=∠2، حيث أن - المنصف ∠

∠2=∠3 يقع بالعرض، كما في البناء.

وبالتالي، ∠1=∠3 والمثلث متساوي الساقين، و .

لذلك،

3. يتم حساب طول المنصف باستخدام الصيغ التالية:

دعونا نثبت الصيغة الثانية.

دعونا نقدم التدوين التالي:

دعونا نساوي التعبيرات الخاصة بمساحة المثلث:

4. دع O يكون مركز الدائرة ويكون منصف زاوية المثلث:

ثم العلاقة تحمل:

دليل:

النظر في مثلث:

ومنصف الزاوية إذن هو خاصية منصف المثلث

فليكن بعد ذلك

دعونا نعبر عن ذلك. حسب خاصية منصف المثلث :

من هنا

في بعض المسائل، يكون من الملائم تمديد منصف المثلث حتى التقاطع مع الدائرة المحددة.

ليما عن الثلاثية.

نظرا للمثلث. النقطة - نقطة تقاطع منصف الزاوية مع الدائرة المحيطة بالمثلث. اسمحوا أن يكون مركز الدائرة المدرج في المثلث. ثم

دليل.

الزوايا المحيطية التي تقابل أقواسًا متساوية تكون متساوية. لاحظ الزوايا المتساوية الموضحة:

من هنا.

مركز الدائرة هو منصف الزاوية .

من المثلث

ثم من المثلث

يملك .

أي أن المثلث متساوي الساقين.

من هنا.

أثبت أن

دعونا نثبت الصيغة (1) من النقطة 3:

دليل:

دعونا نواصل المنصف حتى يتقاطع مع الدائرة المحيطة. النظر في المثلثات و . دعونا نحدد الزوايا المتساوية:

المثلث يشبه المثلث في زاويتين. من هنا:

بواسطة خاصية شرائح الحبال المتقاطعة

لنعوض بـ (3) في (2) ونستخدم (4):

دعونا نعبر عن أطوال القطع التي يقسم إليها المنصف ضلع المثلث بدلالة أطوال أضلاع المثلث. دعونا نقدم التدوين التالي:

نحصل على النظام:

الوسطاء.

1. يتم تقسيم متوسطات المثلث على نقطة التقاطع بنسبة 2:1، من الرأس:

2. لتكن نقطة داخل المثلث بحيث تكون العلاقة التالية: ، إذن هي نقطة تقاطع متوسطات المثلث.

دليل.

دعونا نثبت نظرية مساعدة.

ليما.

بالنسبة لنقطة عشوائية داخل المثلث، فإن العلاقة التالية تنطبق:

دعونا نسقط من النقاط والعموديات إلى :

ومن تشابه المثلثات نحصل على:

إذا اعتبرنا مثلثات ذات قاعدة مشتركة ، فنحصل على العلاقة:

وبالمثل نحصل

بإضافة هذه المساواة نحصل على:

نحن نستخدم هذه lemma لإثبات البيان 2.

إذا تحققت المساواة (١) ثم المساواة (2) ومن الليما يترتب على ذلك أنه في المساواة (2) كل كسر يساوي .

دعونا نثبت أنه في هذه الحالة القطاعات هم الوسطاء.

لو ، ثم نحصل . دعونا نرسم خطوطًا موازية للنقطة ومن خلالها ونفكر في زوجين من المثلثات المتشابهة: و:

من هنا نحصل

ومن تشابه المثلثات نحصل على أن النقطة هي منتصف القطعة. من هنا.

إذن هو متوسط ​​المثلث.

3. متوسطات المثلث المتقاطعة تقسمه إلى 6 مثلثات متساوية.

دليل.

دعونا نثبت ذلك

لأن ،

لأن ،

لذلك،

مرتفعات.

1. الخطوط التي تحتوي على ارتفاعات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة. في حالة المثلث الحاد، تتقاطع الارتفاعات نفسها عند نقطة واحدة.

2. تتميز نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث بالخاصية التالية: مجموع مربع المسافة من قمة المثلث ومربع الجانب المقابل هو نفسه لأي قمة:

دليل.

لنثبت الجزء الأول من المساواة:

لنعيد كتابتها بالشكل:

حسب نظرية فيثاغورس: (من المثلثات و)

(من المثلث)

(من المثلث)

وبالتعويض عن هذه العبارات في (1) نحصل على:

دعونا نفتح الأقواس ونحصل على:

لقد حصلنا على هوية. وقد ثبت الجزء الثاني من المساواة بطريقة مماثلة.

3. فإذا وصفنا دائرة حول مثلث وقمنا بتمديد ارتفاعات المثلث حتى تتقاطع مع هذه الدائرة،

ثم بالنسبة لأي ارتفاع للمثلث، فإن المسافة من قاعدة الارتفاع إلى نقطة تقاطع استمرار الارتفاع مع الدائرة تساوي المسافة من قاعدة الارتفاع إلى نقطة تقاطع الارتفاعات:

او مثل هذا: النقاط المتناظرة مع نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث بالنسبة لأضلاع المثلث تقع على الدائرة المحيطة بالمثلث.

دليل.

دعونا نثبت ذلك.

للقيام بذلك، فكر في المثلثات و، وأثبت ذلك :

دعونا نستخدم الإشارة التي تشير إلى أن المثلثات متساوية في طول أحد الأضلاع والزاويتين المتجاورتين. - الجانب العام . دعونا نثبت تساوي الزاويتين.

دعونا نثبت ذلك ∠ ∠

دع ∠، ثم من المثلث نحصل على ذلك

∠. لذلك، من المثلث نحصل على ذلك

لكن ∠ و ∠ يقعان على نفس القوس، وبالتالي ∠ ∠ ∠

وبالمثل نجد أن ∠ ∠

4. في المثلث، النقاط وقواعد الارتفاعات المرسومة من القمم و. أثبت أن المثلث يشبه المثلث وأن معامل التشابه يساوي .

دليل:

يقع مركز الدائرة المحددة للمثلث القائم في منتصف الوتر . النقطة تقع على هذه الدائرة لأن - الوتر في المثلث القائم الزاوية:

كالزوايا المحيطية المبنية على قوس واحد.

من المثلث:

من هنا. الزاوية هي الزاوية المشتركة للمثلثات و. ولذلك فإن المثلث يشبه المثلث. معامل التشابه يساوي نسبة الأضلاع المتشابهة، أي الأضلاع التي تقع مقابل زوايا متساوية:

نظرية سيفا

دعونا في مثلث

تتقاطع القطع عند نقطة واحدة إذا وفقط إذا

دليل.

لنثبت أنه إذا تقاطعت القطع في نقطة واحدة، فإن العلاقة (1) تكون محققة.

من السهل التحقق من أنه إذا كان ثابتًا

دعونا نطبق خاصية التناسب:

على نفس المنوال:

يمكن كتابة نظرية سيفا على النحو التالي:

إذا تقاطعت القطع في نقطة واحدة فإن العلاقة التالية تكون:

لإثبات نظرية سيفا في شكل الجيوب، يكفي أن نعوض في الجزء الثاني من المساواة (2) بدلا من مساحات المثلثات عن مساحة كل مثلث بالصيغة .

من محاضرات أغاخانوف نزار خانجيلديفيتش وفلاديمير فيكتوروفيتش تروشكوف، KPK MIPT.

المثلث هو مضلع له ثلاثة أضلاع، أو خط مغلق متقطع له ثلاث وصلات، أو شكل مكون من ثلاثة أجزاء تربط بين ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم (انظر الشكل 1).

العناصر الأساسية للمثلث ABC

القمم - النقاط أ، ب، ج؛

حفلات - المقاطع a = BC، وb = AC، وc = AB التي تربط القمم؛

الزوايا - α، β، γ مكونة من ثلاثة أزواج من الجوانب. غالبًا ما يتم تحديد الزوايا بنفس طريقة تسمية الرءوس، بالأحرف A وB وC.

والزاوية التي تتكون من أضلاع المثلث والواقعة في باطنه تسمى زاوية داخلية، والمجاورة لها هي الزاوية المجاورة للمثلث (2، ص 534).

الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط في المثلث

بالإضافة إلى العناصر الرئيسية في المثلث، يتم أيضًا أخذ الأجزاء الأخرى ذات الخصائص المثيرة للاهتمام في الاعتبار: الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط.

ارتفاع

ارتفاعات المثلث- هي عموديات تسقط من رؤوس المثلث إلى الجانبين المتقابلين.

لرسم الارتفاع، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) ارسم خطًا مستقيمًا يحتوي على أحد أضلاع المثلث (إذا كان الارتفاع مرسومًا من رأس زاوية حادة في مثلث منفرج)؛

2) من الرأس الواقع مقابل الخط المرسوم، ارسم قطعة من النقطة إلى هذا الخط، وصنع زاوية قدرها 90 درجة معها.

تسمى النقطة التي يتقاطع فيها الارتفاع مع جانب المثلث قاعدة الارتفاع (انظر الشكل 2).

خصائص ارتفاعات المثلث

في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

في المثلث حاد الزوايا، يقطع ارتفاعاه المثلثات المتشابهة عنه.

إذا كان المثلث حادا فإن جميع قواعد الارتفاعات تنتمي إلى أضلاع المثلث، وفي المثلث المنفرج يقع ارتفاعان على استمرار الجانبين.

ثلاثة ارتفاعات في مثلث حاد تتقاطع عند نقطة واحدة وتسمى هذه النقطة مركز تقويم العظام مثلث.

الوسيط

الوسطاء(من اللاتينية mediana – "الوسطى") - هذه هي الأجزاء التي تربط رؤوس المثلث بنقاط منتصف الجوانب المقابلة (انظر الشكل 3).

لتكوين الوسيط يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) العثور على منتصف الجانب؛

2) قم بتوصيل النقطة التي تقع في منتصف جانب المثلث بالرأس المقابل بقطعة.

خصائص متوسطات المثلث

يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتبارًا من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبية مثلث.

يتم تقسيم المثلث بأكمله بواسطة متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

منصف

منصفات(من اللاتينية مكرر - مرتين وسيكو - قطع) هي قطع الخط المستقيم المحاطة داخل المثلث الذي يشطر زواياه (انظر الشكل 4).

لبناء منصف، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) إنشاء شعاع يخرج من رأس الزاوية وتقسيمه إلى قسمين متساويين (منصف الزاوية).

2) العثور على نقطة تقاطع منصف زاوية المثلث مع الجانب المقابل؛

3) حدد القطعة التي تربط قمة المثلث بنقطة التقاطع على الجانب الآخر.

خصائص منصفات المثلث

منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل بنسبة تساوي النسبة بين الضلعين المتجاورين.

تتقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث عند نقطة واحدة. تسمى هذه النقطة مركز الدائرة المنقوشة.

منصفات الزوايا الداخلية والخارجية متعامدة.

إذا كان منصف زاوية خارجية للمثلث يتقاطع مع امتداد الضلع المقابل فإن ADBD=ACBC.

تتقاطع منصفات إحدى الزوايا الداخلية والزاويتين الخارجيتين للمثلث عند نقطة واحدة. وهذه النقطة هي مركز إحدى دوائر هذا المثلث الثلاثة.

أساسات منصفات الزاويتين الداخلية والخارجية للمثلث تقع على نفس الخط المستقيم إذا كان منصف الزاوية الخارجية غير موازي للضلع المقابل للمثلث.

إذا كانت منصفات الزوايا الخارجية للمثلث غير متوازية مع أضلاع متقابلة، فإن قاعدتيها تقعان على نفس الخط المستقيم.

عند دراسة أي موضوع في الدورة المدرسية، يمكنك اختيار حد أدنى معين من المشكلات، وبعد إتقان طرق حلها، سيتمكن الطلاب من حل أي مشكلة على مستوى متطلبات البرنامج حول الموضوع قيد الدراسة. أقترح النظر في المشكلات التي ستسمح لك برؤية العلاقات المتبادلة بين الموضوعات الفردية في دورة الرياضيات المدرسية. لذلك، يعد نظام المهام المجمع وسيلة فعالة لتكرار وتعميم وتنظيم المواد التعليمية أثناء إعداد الطلاب للامتحان.

لاجتياز الامتحان، سيكون من المفيد الحصول على معلومات إضافية حول بعض عناصر المثلث. دعونا نفكر في خصائص متوسط ​​المثلث والمسائل التي يمكن استخدام هذه الخصائص في حلها. المهام المقترحة تنفذ مبدأ تمايز المستوى. يتم تقسيم جميع المهام بشكل مشروط إلى مستويات (يشار إلى المستوى بين قوسين بعد كل مهمة).

دعونا نتذكر بعض خصائص متوسط ​​المثلث

الخاصية 1. اثبات أن متوسط ​​المثلث اي بي سي، مأخوذة من قمة الرأس أ، أقل من نصف مجموع الجوانب أ.بو مكيف الهواء.

دليل

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

الملكية 2. يقطع الوسيط المثلث إلى منطقتين متساويتين.

دليل

دعونا نرسم من الرأس B للمثلث ABC الوسيط BD والارتفاع BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

وبما أن القطعة BD هي الوسيط، إذن

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} الخاصية 4. متوسطات المثلث تقسم المثلث إلى 6 مثلثات متساوية.

دليل

لنثبت أن مساحة كل مثلث من المثلثات الستة التي يقسم إليها المتوسطات المثلث ABC تساوي مساحة المثلث ABC. للقيام بذلك، خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، المثلث AOF وقم بإسقاط AK المتعامد من الرأس A إلى الخط BF.

بسبب الخاصية 2

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

العقار 6. الوسيط في المثلث القائم المرسوم من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف الوتر.

دليل

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

عواقب:1. يقع مركز الدائرة المحاطة بمثلث قائم الزاوية في منتصف الوتر.

2. إذا كان طول الوسيط في مثلث يساوي نصف طول الضلع المرسوم عليه، فإن هذا المثلث قائم الزاوية.

مهام

عند حل كل مشكلة لاحقة، يتم استخدام الخصائص المثبتة.

№1 المواضيع: مضاعفة الوسيط. الصعوبة: 2+

علامات وخصائص متوازي الأضلاع الدرجات: 8,9

حالة

على استمرار الوسيط أكون.مثلث اي بي سيلكل نقطة متم تأجيل الجزء (دكتور في الطب)، متساوي أكون.. اثبات أن الرباعي اي بي دي سي- متوازي الاضلاع.

حل

دعونا نستخدم إحدى علامات متوازي الأضلاع. أقطار الشكل الرباعي اي بي دي سيتتقاطع عند نقطة ما موتقسيمه إلى نصفين، وبالتالي الشكل الرباعي اي بي دي سي- متوازي الاضلاع.

هناك نظرية ذلك تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، وهذه النقطة تقسم كل متوسط ​​بنسبة 2:1، حيث 2 يتوافق مع المقطع من الرأس الذي يتم رسم الوسيط منه إلى نقطة تقاطع المتوسطات، ويتوافق 1 مع المقطع من نقطة تقاطع المتوسطات إلى منتصف الجانب الذي يتم رسم الوسيط إليه.

لإثبات هذه النظرية، فكر في المثلث ABC الذي متوسطاته AE، BF، CD. أي أن النقاط D، E، F منصف الجوانب AB، BC، CA، على التوالي.
لا نعرف ما إذا كانت جميع المتوسطات تتقاطع عند نقطة واحدة (لا يزال هذا بحاجة إلى إثبات). ومع ذلك، فإن أي متوسطين سيتقاطعان عند نقطة واحدة، حيث لا يمكن أن يكونا متوازيين. دع المتوسطين AE وBF يتقاطعان عند النقطة O.

يقسم متوسط ​​BF متوسط ​​AE إلى قسمين AO وEO. دعونا نرسم خطًا موازيًا لـ BF عبر النقطة E. سيتقاطع هذا الخط مع الجانب AC عند نقطة معينة L. وسنرسم أيضًا خطًا آخر موازيًا للخط BF عبر منتصف القطعة AB (النقطة D). سوف يتقاطع مع AC عند النقطة K.

وفقًا لنظرية طاليس، إذا قمنا على أحد جانبي الزاوية من قمة رأسها بوضع شرائح متساوية على التوالي ورسمنا خطوطًا متوازية عبر نهايات هذه القطع التي تتقاطع مع الجانب الآخر من الزاوية، فإن هذه الخطوط المتوازية ستقطع أيضًا شرائح متساوية على الجانب الثاني من الزاوية.

دعونا نلقي نظرة على الزاوية BCA لهذا المثلث. المقطعان BE وEC متساويان مع بعضهما البعض، والخطان BF وEL متوازيان مع بعضهما البعض. ثم، وفقا لنظرية طاليس، CL = LF.
إذا نظرنا إلى الزاوية BAC، حيث أن AD = BD وDK || BF، ثم AK = KF.

نظرًا لأن المقطعين AF وCF متساويان مع بعضهما البعض (حيث يتم تشكيلهما بواسطة الوسيط) وينقسم كل منهما إلى جزأين متساويين، فإن الأجزاء الأربعة للجانب AC متساوية مع بعضها البعض: AK = KF = FL = إل سي.

خذ بعين الاعتبار الزاوية EAC. يتم رسم خطوط متوازية من خلال نهايات ثلاثة أجزاء متساوية من الجانب AC. ونتيجة لذلك، قاموا بقطع أجزاء متساوية على الجانب AE. يحتوي المقطع AO على مقطعين من هذا القبيل، وEO واحد فقط. وهكذا أثبتنا أن متوسطًا واحدًا على الأقل للمثلث، عند نقطة التقاطع مع متوسط ​​آخر، ينقسم إلى جزأين، ترتبط أطوالهما بـ 2: 1.

الآن فكر في تقاطع متوسط ​​AE مع القرص المضغوط المتوسط. دعهم يتقاطعون عند النقطة P.

كما هو الحال مع السابق، ثبت أن الخطوط المتوازية FM، CD، EN تقسم الجانب AB إلى أجزاء متساوية. وهم بدورهم يقسمون AE إلى ثلاثة أجزاء متساوية. علاوة على ذلك، من الرأس A إلى تقاطع المتوسطات هناك قطعتان من هذا القبيل، وبعد ذلك يوجد جزء واحد.

لا يمكن تقسيم نفس القطعة إلى ثلاثة أجزاء متساوية بحيث تكون بنفس الحجم مع خيار تقسيم واحد، ومع خيار آخر - مختلف. لذلك، يجب أن تتطابق النقطتان O وP. وهذا يعني أن المتوسطات الثلاثة للمثلثات تتقاطع عند نقطة واحدة.

لإثبات أن المتوسطين الآخرين مقسومان على نقطة التقاطع بنسبة 2: 1، يمكنك، كما في السابق، رسم خطوط متوازية على الجانبين AB وBC.