ارقام مركبة

خيالي و ارقام مركبة. الإحداثي الإحداثي والإحداثي

عدد مركب. ربط الأعداد المركبة.

العمليات على الأعداد المركبة. هندسي

تمثيل الأعداد المركبة. طائرة معقدة.

معامل ووسيطة عدد مركب. حساب المثاثات

شكل العدد المركب العمليات ذات التعقيد

الأرقام في شكل مثلثي. صيغة موافر.

معلومات أساسية عن خيالي و ارقام مركبة وترد في قسم "الأعداد التخيلية والمعقدة". نشأت الحاجة إلى هذه الأعداد من نوع جديد عند حل المعادلات التربيعية الخاصة بالحالةد< 0 (здесь د- التمييز معادلة من الدرجة الثانية). لفترة طويلة، لم تجد هذه الأرقام تطبيقًا ماديًا، ولهذا السبب تم تسميتها بالأرقام "التخيلية". ومع ذلك، فهي تستخدم الآن على نطاق واسع جدًا في مختلف مجالات الفيزياء

والتكنولوجيا: الهندسة الكهربائية، والديناميكا المائية والهوائية، ونظرية المرونة، وما إلى ذلك.

ارقام مركبة مكتوبة في النموذج:أ + ثنائية. هنا أو ب – أرقام حقيقية ، أ أنا – وحدة وهمية، أي.ه. أنا 2 = –1. رقم أمُسَمًّى الإحداثي السيني، أ ب – تنسيقعدد مركبأ + ثنائية .رقمين معقدينأ + ثنائيةو أ-ثنائية وتسمى المترافقةارقام مركبة.

الاتفاقيات الرئيسية:

1. العدد الحقيقيأويمكن أيضا أن تكون مكتوبة في النموذجعدد مركب:أ + 0 أناأو أ - 0 أنا. على سبيل المثال، يسجل 5 + 0أناو5 – 0 أنايعني نفس الرقم 5 .

2. المجمع رقم 0 + ثنائيةمُسَمًّى خيالية بحتة رقم. سِجِلّثنائيةيعني نفس 0 + ثنائية.

3. رقمان مركبانأ + ثنائية وج + ديتعتبر متساوية إذاأ = جو ب = د. خلاف ذلك الأعداد المركبة ليست متساوية.

إضافة. مجموع الأعداد المركبةأ + ثنائيةو ج + دييسمى عددا مركبا (أ+ج ) + (ب + د ) أنا.هكذا، عند الإضافة الأعداد المركبة، تتم إضافة الإحداثيات والإحداثيات بشكل منفصل.

يتوافق هذا التعريف مع قواعد العمليات مع كثيرات الحدود العادية.

الطرح. الفرق بين رقمين مركبينأ + ثنائية(تناقص) و ج + دي(المطروح) يسمى عددا مركبا (أ-ج ) + (ب-د ) أنا.

هكذا، عند طرح عددين مركبين، يتم طرح الإحداثيات والإحداثيات بشكل منفصل.

عمليه الضرب. منتج الأعداد المركبةأ + ثنائيةو ج + دي يسمى عددا مركبا :

(التيار المتردد – دينار بحريني ) + (إعلان + قبل الميلاد ) أنا.ويترتب على هذا التعريف مطلبان:

1) الأرقام أ + ثنائيةو ج + دييجب أن تتضاعف مثل جبريذات الحدين,

2) العدد أنالديه الخاصية الرئيسية:أنا 2 = – 1.

مثال ( أ+ ثنائية )(أ-ثنائية) = أ 2 + ب 2 . لذلك، عمل

عددان مركبان مترافقان يساوي العدد الحقيقي

رقم إيجابي.

قسم. قسمة عدد مركبأ + ثنائية (يقسم) على آخرج + دي(المقسم) - يعني العثور على الرقم الثالثه + و ط(دردشة) والتي عندما تضرب بالمقسوم عليهج + دي، يؤدي إلى الأرباحأ + ثنائية .

إذا لم يكن المقسوم عليه صفرًا، فالقسمة ممكنة دائمًا.

مثال البحث عن (8+أنا ) : (2 – 3 أنا) .

الحل لنعيد كتابة هذه النسبة في صورة كسر:

ضرب بسطه ومقامه في 2 + 3أنا

و بعد تنفيذ جميع التحولات نحصل على:

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة. يتم تمثيل الأعداد الحقيقية بالنقاط على خط الأعداد:

هذه هي النقطة أيعني الرقم -3، نقطةب– رقم 2 و يا- صفر. في المقابل، يتم تمثيل الأعداد المركبة بنقاط على المستوى الإحداثي. ولهذا الغرض نختار إحداثيات مستطيلة (ديكارتية) بنفس المقياس على كلا المحورين. ثم العدد المركبأ + ثنائية سيتم تمثيلها بنقطة P مع الإحداثي السيني أ والإحداثي ب (انظر الصورة). ويسمى نظام الإحداثيات هذا طائرة معقدة .

وحدة العدد المركب هو طول المتجهOP، يمثل رقمًا مركبًا على الإحداثي ( شامل) طائرة. معامل العدد المركبأ + ثنائيةيشار إليه | أ + ثنائية| أو حرف ص

النظر في المعادلة التربيعية.

دعونا نحدد جذورها.

لا يوجد عدد حقيقي مربعه -1 ولكن إذا قمنا بتعريف المشغل بصيغة أناكوحدة وهمية، فيمكن كتابة حل هذه المعادلة على النحو التالي: . حيث و - الأعداد المركبة التي -1 هو الجزء الحقيقي، 2 أو في الحالة الثانية -2 هو الجزء التخيلي. الجزء التخيلي هو أيضًا عدد حقيقي. الجزء التخيلي مضروبا في الوحدة التخيلية يعني بالفعل رقم خيالي.

بشكل عام، العدد المركب له الشكل

ض = س + iy ,

أين س، ص- الأعداد الحقيقية - الوحدة التخيلية. في عدد من العلوم التطبيقية، على سبيل المثال، في الهندسة الكهربائية والإلكترونيات ونظرية الإشارة، يُشار إلى الوحدة التخيلية بالرمز ي. أرقام حقيقية س = إعادة (ض)و ص =أنا أكون(ض)وتسمى أجزاء حقيقية وخياليةأعداد ض.يسمى التعبير شكل جبريكتابة عدد مركب.

أي عدد حقيقي هو حالة خاصةعدد مركب في النموذج . الرقم التخيلي هو أيضًا حالة خاصة من العدد المركب .

تعريف مجموعة الأعداد المركبة ج

يقرأ هذا التعبير كما يلي: مجموعة مع، تتكون من عناصر من هذا القبيل سو ذتنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية روهي وحدة خيالية. لاحظ أن الخ.

رقمين معقدين و يكونان متساويين إذا وفقط إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية، أي. و .

تُستخدم الأعداد المركبة والدوال على نطاق واسع في العلوم والتكنولوجيا، وخاصة في الميكانيكا وتحليل الدوائر وتصميمها. التيار المتناوبوالإلكترونيات التناظرية والنظرية ومعالجة الإشارات ونظرية التحكم الآلي والعلوم التطبيقية الأخرى.

1. حسابية الأعداد المركبة

جمع عددين مركبين يتكون من جمع جزأينهما الحقيقي والتخيلي، أي.

وبناء على ذلك، فإن الفرق بين رقمين مركبين

عدد مركب مُسَمًّى بشكل شامل المترافقةرقم ض =س+iy.

الأعداد المترافقة المركبة z و z * تختلف في إشارات الجزء التخيلي. من الواضح أن

.

وأي مساواة بين التعبيرات المعقدة تظل صالحة إذا كان في كل مكان هذه المساواة أناوحل محله - أنا، أي. انتقل إلى مساواة الأعداد المترافقة. أعداد أناو – أنالا يمكن تمييزها جبريا، منذ ذلك الحين .

يمكن حساب حاصل ضرب (ضرب) عددين مركبين كما يلي:

قسمة عددين مركبين:

مثال:

1. طائرة معقدة

يمكن تمثيل العدد المركب بيانياً في نظام إحداثيات مستطيل. دعونا نحدد نظام الإحداثيات المستطيل في المستوى (س، ص).

على المحور ثورسنضع الأجزاء الحقيقية س، تسمى المحور الحقيقي (الحقيقي).، على المحور أوي– أجزاء خيالية ذارقام مركبة. تسمى محور وهمي. في هذه الحالة، يتوافق كل عدد مركب مع نقطة معينة على المستوى، ويسمى هذا المستوى طائرة معقدة. نقطة أسوف يتوافق المستوى المعقد مع المتجه الزراعة العضوية.

رقم سمُسَمًّى الإحداثي السينيعدد مركب، عدد ذ – تنسيق.

يتم تمثيل زوج من الأعداد المترافقة المعقدة بنقاط تقع بشكل متماثل حول المحور الحقيقي.

إذا كنا على متن الطائرة نظام الإحداثيات القطبيةثم كل عدد مركب ضعازم الإحداثيات القطبية. حيث وحدةأعداد هو نصف القطر القطبي للنقطة، والزاوية - زاويتها القطبية أو وسيطة الأعداد المركبة ض.

معامل العدد المركب دائما غير سلبية. لا يتم تحديد وسيطة الرقم المركب بشكل فريد. يجب أن تفي القيمة الرئيسية للحجة بالشرط . تتوافق كل نقطة من المستوى المركب أيضًا مع القيمة العامة للوسيطة. تعتبر الوسائط التي تختلف بمضاعفات 2π متساوية. الوسيطة رقم صفر غير محددة.

يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة من خلال التعبيرات:

من الواضح أن

حيث
, .

تمثيل الأعداد المركبة ضمثل

مُسَمًّى شكل مثلثيعدد مركب.

مثال.

1. شكل توضيحيارقام مركبة

التحلل في سلسلة ماكلورينلوظائف الحجة الحقيقية لديه النموذج:

للحصول على دالة أسية ذات وسيطة معقدة ضالتحلل مشابه

.

يمكن تمثيل توسعة سلسلة ماكلورين للدالة الأسية للوسيطة التخيلية على النحو التالي:

الهوية الناتجة تسمى صيغة أويلر.

بالنسبة للحجة السلبية، فهي تحتوي على الشكل

من خلال الجمع بين هذه التعبيرات، يمكنك تحديد التعبيرات التالية لجيب الجيب وجيب التمام

.

باستخدام صيغة أويلر، من الصورة المثلثية لتمثيل الأعداد المركبة

متاح إرشادية(الأسي، القطبي) شكل رقم مركب، أي. تمثيلها في الشكل

,

أين - الإحداثيات القطبية للنقطة مع الإحداثيات المستطيلة (س,ذ).

يُكتب مرافق العدد المركب بالصيغة الأسية على النحو التالي.

بالنسبة للصيغة الأسية، من السهل تحديد الصيغ التالية لضرب الأعداد المركبة وقسمتها

أي أنه في الصورة الأسية، يكون حاصل ضرب الأعداد المركبة وتقسيمها أبسط مما هو عليه في الصورة الجبرية. عند الضرب، يتم ضرب وحدات العوامل، وتضاف الوسائط. تنطبق هذه القاعدة على أي عدد من العوامل. على وجه الخصوص، عند ضرب عدد مركب ضعلى أناالمتجه ضيدور عكس اتجاه عقارب الساعة 90

في القسمة، يتم قسمة معامل البسط على معامل المقام، ويتم طرح سعة المقام من سعة البسط.

باستخدام الصورة الأسية للأعداد المركبة، يمكننا الحصول على تعبيرات للمتطابقات المثلثية المعروفة. على سبيل المثال، من الهوية

باستخدام صيغة أويلر يمكننا الكتابة

بمساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية في هذا التعبير، نحصل على تعبيرات لجيب التمام وجيب مجموع الزوايا

1. قوى وجذور ولوغاريتمات الأعداد المركبة

رفع عدد مركب إلى قوة طبيعية نأنتجت وفقا للصيغة

مثال. دعونا نحسب .

دعونا نتخيل رقما في شكل مثلثي

’

وبتطبيق الصيغة الأسية نحصل على

من خلال وضع القيمة في التعبير ص= 1 نحصل على ما يسمى صيغة موافر، والتي يمكنك من خلالها تحديد تعبيرات الجيب وجيب التمام لزوايا متعددة.

جذر ن-القوة رقم مركب ضلقد نقيم مختلفة يحددها التعبير

مثال. دعونا نجد ذلك.

للقيام بذلك، نعبر عن العدد المركب () في شكل مثلثي

.

باستخدام صيغة حساب جذر العدد المركب، نحصل على

لوغاريتم العدد المركب ض- هذا هو الرقم ث، لأي منهم . اللوغاريتم الطبيعيالعدد المركب له عدد لا نهائي من القيم ويتم حسابه بواسطة الصيغة

يتكون من جزء حقيقي (جيب التمام) وجزء وهمي (جيب). يمكن تمثيل هذا الجهد كمتجه للطول أم، المرحلة الأولية (الزاوية)، تدور بسرعة زاوية ω .

علاوة على ذلك، إذا أضيفت وظائف معقدة، فسيتم إضافة أجزائها الحقيقية والتخيلية. إذا ضربت دالة مركبة في دالة ثابتة أو حقيقية، فإن أجزائها الحقيقية والتخيلية تضرب في نفس العامل. إن التمايز/التكامل لهذه الوظيفة المعقدة يعود إلى التمايز/التكامل بين الأجزاء الحقيقية والخيالية.

على سبيل المثال، التمييز بين تعبيرات الإجهاد المعقدة

هو ضربه iω هو الجزء الحقيقي من الدالة f(z)، و - الجزء التخيلي من الوظيفة . أمثلة: .

معنى ضيتم تمثيلها بنقطة في المستوى z المعقد، والقيمة المقابلة ث- نقطة في المستوى المركب ث. عندما يتم عرضها ث = و(ض)خطوط الطائرة ضتحويل إلى خطوط الطائرة ث، أشكال من مستوى ما إلى أشكال من مستوى آخر، لكن أشكال الخطوط أو الأشكال يمكن أن تتغير بشكل كبير.

		الصيغة الجبرية لكتابة العدد المركب ........................... ......... ...................
		مستوى الأعداد المركبة ........................................... ................................ ........................................ ........................................... ...
		الأعداد المركبة المركبة ........................................... .................... .............................. ...........................
	العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية ........................................... ......... ....
		جمع الأعداد المركبة ........................................... .......................................................................... .................
		طرح الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ...........................
		ضرب الأعداد المركبة ........................................... ........................... ............................. ..................
		تقسيم الأعداد المركبة ........................................... .......... ........................................... ................ ...
	الشكل المثلثي لكتابة العدد المركب ........................................... ......... ..........
	العمليات على الأعداد المركبة في الصورة المثلثية ........................................... .........
		ضرب الأعداد المركبة في الصورة المثلثية .......................................... ........
		قسمة الأعداد المركبة على الصورة المثلثية ........................................... ............ ...
		رفع عدد مركب إلى قوة صحيحة موجبة .......................... ............
		استخراج جذر درجة عدد صحيح موجب من عدد مركب ..........................
		رفع عدد مركب إلى قوة عقلانية ........................... .................. .....
		سلسلة معقدة ........................................... ... .............................................................. ......... ....................
		سلسلة الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ...........................
		متسلسلة القوى في المستوى المركب ........................................... ............ ........................................
		بجانبين سلسلة الطاقةفي المستوى المعقد ........................................... .....
		وظائف المتغير المعقد ........................................... ..........................................................
		الوظائف الأساسية الأساسية ................................ ................................ . .......... ........................................... .
		صيغ أويلر ........................................... ... .............................................................. ......... ....................
		الشكل الأسي لتمثيل العدد المركب .......................... ........................... .
		العلاقة بين الدوال المثلثية والقطع الزائد ..............................
		الدالة اللوغاريتمية ........................................... ... .............................................................. ......... ...
		وظائف القوة الأسية والعامة ........................................... ............ ...............
	التمايز بين وظائف المتغير المعقد ........................................... ......... ...
		شروط كوشي ريمان ........................................... ..... ................................................ ............ ............
		صيغ لحساب المشتقة ........................................... ....... ...................................
		خصائص عملية التمايز ........................................... ................................ ........................................ ...
		خواص الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة التحليلية ...........................

	إعادة بناء دالة لمتغير معقد من صورته الحقيقية أو الخيالية
		الطريقة رقم 1. استخدام التكامل المنحني ........................................... ...... .......
		الطريقة رقم 2. التطبيق المباشر لشروط كوشي-ريمان.
		الطريقة رقم 3. من خلال مشتقة الدالة المطلوبة .......................... ............ .........
	تكامل وظائف المتغير المعقد ........................................... ......... ..........
	صيغة كوشي المتكاملة ........................................... ..... ................................................ ........... ...
	توسيع الوظائف في سلسلة تايلور ولوران ........................................... .......... ...........................
	الأصفار والنقاط المفردة لدالة متغير معقد ........................................... ............. .....
		أصفار دالة لمتغير معقد .......................... .......... .......................
		النقاط المفردة المعزولة لدالة المتغير المركب.................................................

14.3 نقطة عند اللانهاية كنقطة فريدة لدالة لمتغير معقد

	الخصومات .............................................. .......................................................... ............. ........................................... ...
		الخصم عند النقطة الأخيرة ........................................... ...... ........................................................... ............ ......
		بقايا دالة عند نقطة ما لا نهاية ........................................... ............ ...............
	حساب التكاملات باستخدام البقايا ........................................... ..........................................
	أسئلة الاختبار الذاتي ................................ ................................ . ........................... ............................. ........................... .......
	الأدب................................................. .................................................. ...... ...................................
	دليل الموضوع................................................ .................................................. ...... ..............

مقدمة

يعد توزيع الوقت والجهد بشكل صحيح عند التحضير للأجزاء النظرية والعملية للامتحان أو شهادة الوحدة أمرًا صعبًا للغاية، خاصة أنه لا يوجد دائمًا وقت كافٍ أثناء الجلسة. وكما تظهر الممارسة، لا يمكن للجميع التعامل مع هذا. ونتيجة لذلك، أثناء الامتحان، يقوم بعض الطلاب بحل المسائل بشكل صحيح، ولكنهم يجدون صعوبة في الإجابة على أبسط الأسئلة النظرية، بينما يمكن للآخرين صياغة نظرية، ولكن لا يمكنهم تطبيقها.

هذه الإرشادات للتحضير للامتحان في دورة "نظرية وظائف المتغير المركب" (TFCP) هي محاولة لحل هذا التناقض وضمان التكرار المتزامن للمادة النظرية والعملية للدورة. مسترشدة بمبدأ "النظرية دون ممارسة ميتة، والممارسة دون نظرية عمياء"، فهي تحتوي على الأحكام النظرية للدورة على مستوى التعريفات والصياغات، بالإضافة إلى أمثلة توضح تطبيق كل موقف نظري معين، وبالتالي تسهيل حفظه وفهمه.

الغرض من المقترح توصيات منهجية- مساعدة الطالب على الاستعداد للامتحان مستوى أساسي. بمعنى آخر، تم تجميع كتاب مرجعي موسع يحتوي على النقاط الرئيسية المستخدمة في الفصول الدراسية في دورة TFKP والضرورية عند الأداء العمل في المنزلوالتحضير لأحداث السيطرة. بجانب عمل مستقلالطلاب، يمكن استخدام هذا المنشور التعليمي الإلكتروني عند إجراء الفصول الدراسية بشكل تفاعلي باستخدام لوحة إلكترونية أو لوضعه في نظام التعلم عن بعد.

يرجى ملاحظة أن هذا العمل لا يحل محل الكتب المدرسية أو ملاحظات المحاضرات. لإجراء دراسة متعمقة للمادة، يوصى بالرجوع إلى الأقسام ذات الصلة التي نشرتها جامعة MSTU. ن. كتاب بومان الأساسي.

توجد في نهاية الدليل قائمة بالأدبيات الموصى بها وفهرس للموضوعات يتضمن كل ما تم إبرازه في النص مائل غامقشروط. يتكون الفهرس من روابط تشعبية للأقسام التي يتم فيها تعريف أو وصف هذه المصطلحات بشكل صارم وحيث يتم تقديم أمثلة لتوضيح استخدامها.

الدليل مخصص لطلاب السنة الثانية من جميع كليات جامعة MSTU. ن. بومان.

1. الشكل الجبري لكتابة العدد المركب

تدوين النموذج z = x + iy، حيث x، y أرقام حقيقية، i وحدة وهمية (أي i 2 = − 1)

يسمى الشكل الجبري لكتابة العدد المركب z. في هذه الحالة، x يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب ويرمز له بـ Re z (x = Re z)، ويسمى y الجزء التخيلي من العدد المركب ويرمز له بـ Im z (y = Im z).

مثال. العدد المركب z = 4 − 3i له جزء حقيقي Re z = 4 وجزء وهمي Im z = − 3 .

2. مستوى الأعداد المركبة

في تعتبر نظريات وظائف المتغير المعقدمستوى الأعداد المركبة، والذي يُشار إليه إما بأحرف تشير إلى الأعداد المركبة z، w، أو باستخدامها.

يسمى المحور الأفقي للمستوى المركب المحور الحقيقي، يتم وضع الأعداد الحقيقية z = x + 0 i = x.

يُسمى المحور الرأسي للمستوى المركب بالمحور التخيلي؛

3. الأعداد المترافقة المعقدة

يتم استدعاء الأرقام z = x + iy و z = x − iy المكورات معقدة. على المستوى المركب فإنها تتوافق مع نقاط متناظرة حول المحور الحقيقي.

4. العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية

4.1 جمع الأعداد المركبة

مجموع عددين مركبين

ض 1 = س 1 + ط 1

و z 2 = x 2 + iy 2 يسمى عددا مركبا

ض 1 + ض 2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

عملية

إضافة

الأعداد المركبة تشبه عملية جمع ذات الحدين الجبرية.

مثال. مجموع رقمين مركبين z 1 = 3 + 7i و z 2

= −1 +2 ط

سيكون عددا معقدا

ض 1 + ض 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

بوضوح،

مجموع بطريقة شاملة

المترافقة

يكون

حقيقي

ض + ض = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 رد ض .

4.2 طرح الأعداد المركبة

الفرق بين رقمين مركبين z 1 = x 1 + iy 1

× 2 + ط 2

مُسَمًّى

شامل

عدد z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

مثال. الفرق بين رقمين مركبين

ض 1 = 3 −4 ط

و ض 2

= −1 +2 ط

سيكون هناك شامل

عدد z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

بالفارق

المكورات معقدة

يكون

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 ضرب الأعداد المركبة

منتج عددين مركبين

ض 1 = س 1 + ط 1

و ض 2 = س 2 + ط 2

تسمى معقدة

ض 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

وبالتالي فإن عملية ضرب الأعداد المركبة تشبه عملية ضرب ذوات الحدين الجبرية، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن i 2 = − 1.

تعريف

الصورة الجبرية للعدد المركب هي كتابة العدد المركب \(\z\) على الصورة \(\z=x+i y\)، حيث \(\x\) و \(\y\) أعداد حقيقية , \(\i\ ) - وحدة وهمية تحقق العلاقة \(\i^(2)=-1\)

الرقم \(\ x \) يسمى الجزء الحقيقي من الرقم المركب \(\ z \) ويشار إليه بـ \(\ x=\operatorname(Re) z \)

الرقم \(\y\) يسمى الجزء التخيلي من الرقم المركب \(\z\) ويشار إليه بـ \(\y=\operatorname(Im) z\)

على سبيل المثال:

العدد المركب \(\ z=3-2 i \) والرقم المجاور له \(\ \overline(z)=3+2 i \) مكتوبان بالصورة الجبرية.

الكمية التخيلية \(\ z=5 i \) مكتوبة بالصورة الجبرية.

بالإضافة إلى ذلك، اعتمادًا على المشكلة التي تقوم بحلها، يمكنك تحويل رقم مركب إلى رقم مثلثي أو أسي.

مهمة

اكتب العدد \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) على الصورة الجبرية، وأوجد أجزائه الحقيقية والتخيلية، بالإضافة إلى العدد المرافق له.

حل.

باستخدام مصطلح تقسيم الكسور وقاعدة جمع الكسور نحصل على:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)ط\)

ولذلك، فإن الجزء الحقيقي من العدد المركب \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) هو الرقم \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) ، الجزء التخيلي هو الرقم \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

الرقم المرافق: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

إجابة

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \)، \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \)، \(\ \اسم المشغل(Im) z=-\frac(1)(4) \)، \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

أفعال الأعداد المركبة في المقارنة الجبرية

يقال أن العددين المركبين \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) متساويان إذا كان \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) أي أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية.

مهمة

حدد أي x وy العددان المركبان \(\ z_(1)=13+y i \) و \(\ z_(2)=x+5 i \) متساويان.

حل

بحكم التعريف، يكون العددان المركبان متساويين إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية، أي. \(\x=13\)، \(\y=5\).

الإجابة \(\x=13\)، \(\y=5\)

إضافة

تتم عملية جمع الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) عن طريق جمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية مباشرة:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\يمين) +i\left(y_(1)+y_(2)\right) \)

مهمة

أوجد مجموع الأعداد المركبة \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

حل.

الجزء الحقيقي من العدد المركب \(\ z_(1)=-7+5 i \) هو الرقم \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) ، الرقم التخيلي الجزء هو الرقم \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب \(\ z_(2)=13-4 i \) تساوي \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) و \( \ y_(2) على التوالي )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .

وبالتالي فإن مجموع الأعداد المركبة هو:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

إجابة

\(\ ض_(1)+z_(2)=6+i \)

اقرأ المزيد عن إضافة الأعداد المركبة في مقالة منفصلة: إضافة الأعداد المركبة.

الطرح

يتم إجراء طرح الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) عن طريق الطرح المباشر الأجزاء الحقيقية والخيالية:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right) ) \)

مهمة

أوجد الفرق بين الأعداد المركبة \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

حل.

أوجد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للأعداد المركبة \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\اسم المشغل(Re) z_(1)=17, x_(2)=\اسم المشغل(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\اسم المشغل(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\اسم المشغل(Im) z_(2)=5 \)

وبالتالي فإن الفرق بين الأعداد المركبة هو:

\(\z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 ط \)

إجابة

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) الضرب

يتم تنفيذ ضرب الأعداد المركبة \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) و \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) عن طريق الإنشاء المباشر الأعداد على الصورة الجبرية مع مراعاة خاصية الوحدة التخيلية \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i ص_(1)\يمين)=\)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\يمين) \)

مهمة

أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة \(\ z_(1)=1-5 i \)

حل.

مجمع الأعداد المركبة:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 ط\)

إجابة

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) القسمة

يتم تحديد عامل الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) بالضرب البسط والمقام للرقم المرافق مع المقام:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\يمين)\left(x_(2)-i y_(2)\يمين))(\left(x_(2)+i y_(2)\يمين)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

مهمة

لتقسيم الرقم 1 على العدد المركب \(\z=1+2 i\).

حل.

وبما أن الجزء التخيلي من العدد الحقيقي 1 هو صفر، فإن العامل هو:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

إجابة

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

خطة الدرس.

1. اللحظة التنظيمية.

2. عرض المادة.

3. الواجبات المنزلية.

4. تلخيص الدرس.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

ثانيا. عرض المادة.

تحفيز.

يتكون توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية من إضافة أرقام جديدة (وهمية) إلى الأعداد الحقيقية. ويرجع إدخال هذه الأعداد إلى استحالة استخراج جذر العدد السالب في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مقدمة لمفهوم العدد المركب.

الأعداد التخيلية، التي نستخدمها لتكملة الأعداد الحقيقية، مكتوبة في الصورة ثنائية، أين أناهي وحدة وهمية، و ط 2 = - 1.

وبناء على ذلك نحصل على التعريف التالي للعدد المركب.

تعريف. الرقم المركب هو تعبير عن النموذج أ + ثنائية، أين أو ب- أرقام حقيقية. وفي هذه الحالة يتم استيفاء الشروط التالية:

أ) عددان مركبان أ 1 + ب 1 طو أ 2 + ب 2 طيساوي إذا وفقط إذا أ 1 = أ 2, ب 1 = ب 2.

ب) يتم تحديد عملية جمع الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:

(أ 1 + ب 1 ط) + (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2) ط.

ج) يتم تحديد ضرب الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:

(أ 1 + ب 1 ط) (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 - أ 2 ب 1) ط.

الشكل الجبري لعدد مركب.

كتابة عدد مركب على الصورة أ + ثنائيةتسمى الصورة الجبرية للعدد المركب، حيث أ- الجزء الحقيقي، ثنائيةهو الجزء الخيالي، و ب- عدد حقيقي.

عدد مركب أ + ثنائيةيعتبر مساوياً للصفر إذا كانت أجزاؤه الحقيقية والتخيلية تساوي صفراً: أ = ب = 0

عدد مركب أ + ثنائيةفي ب = 0يعتبر متزامنا مع عدد حقيقي أ: أ + 0i = أ.

عدد مركب أ + ثنائيةفي أ = 0ويسمى وهمية بحتة ويشار إليه ثنائية: 0 + ثنائية = ثنائية.

رقمين معقدين ض = أ + ثنائيةو = أ - ثنائية، والتي تختلف فقط في علامة الجزء التخيلي، تسمى المترافقة.

العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.

يمكنك إجراء العمليات التالية على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.

1) الإضافة.

تعريف. مجموع الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، الجزء الحقيقي منه يساوي مجموع الأجزاء الحقيقية ض 1و ض 2والجزء التخيلي هو مجموع الأجزاء التخيلية من الأعداد ض 1و ض 2، إنه ض = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2)ط.

أعداد ض 1و ض 2تسمى المصطلحات.

تتميز عملية جمع الأعداد المركبة بالخصائص التالية:

1 درجة. التبادلية: ض 1 + ض 2 = ض 2 + ض 1.

2 درجة. الترابط: (ض 1 + ض 2) + ض 3 = ض 1 + (ض 2 + ض 3).

3 درجة. عدد مركب -أ-بييسمى عكس العدد المركب ض = أ + ثنائية. العدد المركب عكس العدد المركب ض، يعني -ض. مجموع الأعداد المركبة ضو -ضيساوي الصفر: ض + (-ض) = 0

مثال 1: إجراء عملية الجمع (3 – ط) + (-1 + 2ط).

(3 – ط) + (-1 + 2ط) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) ط = 2 + 1ط.

2) الطرح.

تعريف.اطرح من عدد مركب ض 1عدد مركب ض 2 ض،ماذا ض + ض 2 = ض 1.

نظرية. الفرق بين الأعداد المركبة موجود وهو فريد من نوعه.

مثال 2: إجراء عملية الطرح (4 - 2ط) - (-3 + 2ط).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) الضرب.

تعريف. منتج الأعداد المركبة ض 1 =أ 1 +ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، والتي تحددها المساواة: ض = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 + أ 2 ب 1)ط.

أعداد ض 1و ض 2تسمى العوامل.

ضرب الأعداد المركبة له الخصائص التالية:

1 درجة. التبادلية: ض 1 ض 2 = ض 2 ض 1.

2 درجة. الترابط: (ض 1 ض 2) ض 3 = ض 1 (ض 2 ض 3)

3 درجة. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع:

(ض 1 + ض 2) ض 3 = ض 1 ض 3 + ض 2 ض 3.

4 درجة. ض = (أ + ثنائية)(أ – ثنائية) = أ 2 + ب 2- عدد حقيقي.

ومن الناحية العملية، يتم ضرب الأعداد المركبة وفق قاعدة ضرب مجموع في مجموع والفصل بين الجزأين الحقيقي والتخيلي.

في المثال التالي، سننظر في ضرب الأعداد المركبة بطريقتين: بالقاعدة وضرب المجموع بالمجموع.

مثال 3: قم بعملية الضرب (2 + 3ط) (5 – 7ط).

1 الطريق. (2 + 3ط) (5 – 7ط) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)ط = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )ط = 31 + ط.

الطريقة 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) القسمة.

تعريف. قسمة عدد مركب ض 1إلى عدد معقد ض 2يعني العثور على مثل هذا العدد المركب ض، ماذا ض · ض 2 = ض 1.

نظرية.حاصل الأعداد المركبة موجود وهو فريد إذا ض 2 ≠ 0 + 0i.

عمليًا، يتم إيجاد حاصل قسمة الأعداد المركبة عن طريق ضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

يترك ض 1 = أ 1 + ب 1 ط, ض 2 = أ 2 + ب 2 ط، ثم

.

في المثال التالي، سنقوم بإجراء القسمة باستخدام صيغة وقاعدة الضرب بالرقم المرافق للمقام.

مثال 4. أوجد حاصل القسمة .

5) رفع إلى قوة كاملة إيجابية.

أ) قوى الوحدة التخيلية.

الاستفادة من المساواة ط 2 = -1فمن السهل تحديد أي قوة عددية موجبة للوحدة التخيلية. لدينا:

أنا 3 = أنا 2 أنا = -أنا،

ط 4 = ط 2 ط 2 = 1،

أنا 5 = أنا 4 أنا = أنا،

ط 6 = ط 4 ط 2 = -1،

أنا 7 = أنا 5 أنا 2 = -أنا،

ط 8 = ط 6 ط 2 = 1إلخ.

وهذا يدل على أن قيم الدرجة في، أين ن- جميع رقم موجب، عدد إيجابي، يتكرر بشكل دوري مع زيادة المؤشر 4 .

ولذلك، لرفع العدد أناإلى قوة كاملة موجبة، يجب أن نقسم الأس على 4 وبناء أناإلى قوة أسها يساوي باقي القسمة.

مثال 5: احسب: (ط 36 + ط 17) ط 23.

ط 36 = (ط 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

ط 23 = ط 4 × 5+3 = (ط 4) 5 × ط 3 = 1 · ط 3 = - ط.

(ط 36 + ط 17) · ط 23 = (1 + ط) (- ط) = - ط + 1= 1 – ط.

ب) يتم رفع عدد مركب إلى قوة صحيحة موجبة وفقًا لقاعدة رفع ذات الحدين إلى القوة المقابلة، لأنها حالة خاصة لضرب العوامل المعقدة المتطابقة.

مثال 6: احسب: (4 + 2ط) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.