المتسلسلة ذات الأعداد المركبة. سلسلة ذات مصطلحات معقدة. سلسلة معقدة من الطاقة

463. ما هو المعنى الهندسي للمتباينات: 1) إعادة ض> 0; 2) ايم ض< 0 ?

2. سلسلة ذات مصطلحات معقدة. خذ بعين الاعتبار تسلسل الأعداد المركبة ض 1، ض 2 , ض 3،...، حيث ض ع = س ع + iу ص (ع = 1، 2، 3، ...).رقم ثابت ج = أ + ثنائيةمُسَمًّى حدتسلسلات ض 1، ض 2 , ض 3،...، إذا كان لأي عدد صغير بشكل تعسفي δ>0 هناك مثل هذا العدد ن،ما هو المعنى ض صمع الأرقام ن > نتلبية عدم المساواة \ض ص-مع\< δ . في هذه الحالة يكتبون .

الشرط الضروري والكافي لوجود حد لتسلسل الأعداد المركبة هو كما يلي: العدد ج=أ+ثنائيةهي نهاية سلسلة من الأعداد المركبة × 1 +iу 1، x 2 +iу 2، x 3 +iу 3، …إذا وفقط إذا ، .

(1)

الذي أعضاؤه أرقام معقدة يسمى متقاربة,لو نالمجموع الجزئي للمتسلسلة S n at ص → ∞يميل إلى حد نهائي معين. وبخلاف ذلك، يتم استدعاء السلسلة (1). متشعب.

تتقارب المتسلسلة (1) فقط إذا كانت المتسلسلة ذات الحدود الحقيقية متقاربة

(2) تحقق من تقارب المتسلسلة التي تشكل حدودها متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي. وبالتالي، فإن المتسلسلة المعطاة ذات الحدود المعقدة تتقارب تقاربًا مطلقًا. ^

474. أوجد مساحة التقارب للمتسلسلة

19.4.1. سلسلة أرقام ذات مصطلحات معقدة.جميع التعاريف الأساسية للتقارب، وخصائص المتسلسلات المتقاربة، وعلامات التقارب للمتسلسلات المعقدة لا تختلف عن الحالة الفعلية.

19.4.1.1. التعاريف الأساسية. دعونا نحصل على تسلسل لا نهائي من الأعداد المركبة ض 1 , ض 2 , ض 3 , …, ض ن ، ….الجزء الحقيقي من الرقم ض ن سوف نشير أ ن خيالي - ب ن

(أولئك. ض ن = أ ن + أنا ب ن , ن = 1, 2, 3, …).

سلسلة أرقام- سجل النموذج .

جزئيكمياتصف: س 1 = ض 1 , س 2 = ض 1 + ض 2 , س 3 = ض 1 + ض 2 + ض 3 , س 4 = ض 1 + ض 2 + ض 3 + ض 4 , …,

س ن = ض 1 + ض 2 + ض 3 + … + ض ن , …

تعريف.إذا كان هناك حد س تسلسل المبالغ الجزئية لسلسلة ل
وهو عدد مركب صحيح، يقال أن المتسلسلة متقاربة؛ رقم س استدعاء مجموع السلسلة والكتابة س = ض 1 + ض 2 + ض 3 + … + ض ن + ... أو
.

لنجد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للمجاميع الجزئية:

س ن = ض 1 + ض 2 + ض 3 + … + ض ن = (أ 1 + أنا ب 1) + (أ 2 + أنا ب 2) + (أ 3 + أنا ب 3) + … + (أ ن + أنا ب ن ) = (أ 1 + أ 2 + أ 3 +…+ أ ن ) +

أين الرموز و يشار إلى الأجزاء الحقيقية والخيالية من المبلغ الجزئي. تتقارب المتوالية الرقمية إذا وفقط إذا كانت المتتابعات المكونة من أجزائها الحقيقية والتخيلية متقاربة. وبالتالي، فإن المتسلسلة ذات الحدود المعقدة تتقارب إذا وفقط إذا كانت المتسلسلة المكونة من أجزائها الحقيقية والتخيلية متقاربة. تعتمد إحدى طرق دراسة تقارب المتسلسلات ذات الحدود المعقدة على هذا البيان.

مثال.افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب .

دعونا نكتب عدة معاني للتعبير : ثم تتكرر القيم بشكل دوري. سلسلة من الأجزاء الحقيقية: ; سلسلة من الأجزاء الخيالية؛ كلا السلسلتين تتقاربان (بشكل مشروط)، وبالتالي فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب.

19.4.1.2. التقارب المطلق.

تعريف.صف مُسَمًّى متقاربة تماما، إذا كانت المتسلسلة متقاربة
، مكونة من القيم المطلقة لأعضائها.

كما هو الحال بالنسبة للمتسلسلات الحقيقية العددية ذات الحدود العشوائية، فمن السهل إثبات ذلك إذا كانت المتسلسلة متقاربة
، فإن المتسلسلة تتقارب بالضرورة (
وبالتالي فإن السلسلة تتكون من الأجزاء الحقيقية والخيالية من السلسلة ، أوافق تمامًا). إذا كان الصف يتقارب، والسلسلة
يتباعد، ثم السلسلة يسمى متقاربة مشروطة.

صف
- متسلسلة ذات حدود غير سالبة، لذلك لدراسة تقاربها يمكنك استخدام جميع الاختبارات المعروفة (من نظريات المقارنة إلى اختبار كوشي التكاملي).

مثال.افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب
.

لنقم بإنشاء سلسلة من الوحدات ():
. هذه المتسلسلة متقاربة (اختبار كوشي
)، وبالتالي فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب بشكل مطلق.

19.4. 1 . 3 . خصائص المتسلسلة المتقاربةبالنسبة للمتسلسلات المتقاربة ذات الحدود المعقدة، تكون جميع خصائص المتسلسلة ذات الحدود الحقيقية صالحة:

علامة ضرورية لتقارب السلسلة. الحد العام للمتسلسلة المتقاربة يميل إلى الصفر
.

إذا كانت السلسلة متقاربة ، فإن أي ما تبقى من المتسلسلة يتقارب. وعلى العكس من ذلك، إذا تقارب أي ما تبقى من المتسلسلة، فإن المتسلسلة نفسها تتقارب.

وإذا تقاربت المتسلسلة فإن مجموع باقيها بعد ذلكن - المدى يميل إلى الصفر كما
.

إذا ضربت جميع حدود المتسلسلة المتقاربة بنفس العددمع ، فسيتم الحفاظ على تقارب المتسلسلة، وسيتم ضرب المجموع فيمع .

المتسلسلة المتقاربة (أ ) و (في ) يمكن إضافتها وطرحها مصطلحًا تلو الآخر؛ سوف تتقارب السلسلة الناتجة أيضًا، ومجموعها يساوي
.

إذا تم تجميع حدود متسلسلة متقاربة بطريقة اعتباطية وتكوين متسلسلة جديدة من مجموع الحدود في كل زوج من القوسين، فإن هذه المتسلسلة الجديدة سوف تتقارب أيضاً، وسيكون مجموعها مساوياً لمجموع المتسلسلة المتقاربة. السلسلة الأصلية.

إذا كانت المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق، فمهما تم إعادة ترتيب حدودها، فإن التقارب محفوظ ولا يتغير المجموع.

إذا كانت الصفوف (أ ) و (في ) تتقارب تمامًا مع مبالغها
و
، فإن منتجهم، بترتيب تعسفي للمصطلحات، يتقارب أيضًا بشكل مطلق، ومجموعه يساوي
.

عرض الرمز دبليو 1 + دبليو 2 +…+ دبليو ن +…= (1), أين دبليو ن = ش ن + أنا· الخامس ن (ن = 1, 2, …) تسمى الأعداد المركبة (تسلسل الأعداد المركبة). سلسلة من الأعداد المركبة.

أعداد دبليو ن (ن = 1, 2, …) وتسمى أعضاء عدد، عضو دبليو نمُسَمًّى عضو مشترك في السلسلة.

أرقام النموذج س ن = دبليو 1 + دبليو 2 +…+ دبليو ن (2) (ن = 1, 2, …) ، وتسمى مبالغ جزئية من سلسلة (1).

الحد المحدود أو اللانهائي ستسلسلات س نمُسَمًّى مجموع هذه السلسلة.

إذا كان الحد سمحدودة، ثم تسمى السلسلة متقاربةفإن كانت النهاية لا نهائية أو غير موجودة على الإطلاق، فالمتسلسلة متشعب.

لو سمجموع المتسلسلة (1) ثم اكتب
.

يترك
، أ
. بوضوح σ ن = ش 1 + ش 2 +…+ ش ن , τ ن = الخامس 1 + الخامس 2 +…+ الخامس ن. كيف نعرف المساواة
(سبالطبع) يعادل مساويتين
و
. وبالتالي فإن تقارب المتسلسلة (1) يعادل تقارب سلسلتين حقيقيتين: و . ولذلك، فإن الخصائص الأساسية لسلسلة الأعداد المتقاربة تنطبق على السلسلة المعقدة المتقاربة.

على سبيل المثال، بالنسبة للمتسلسلات المعقدة، يكون معيار كوشي صالحًا: تتقارب السلسلة (1) إذا وفقط إذا كانت موجودة

ذلك أمام الجميعن > نوأيص= 1، 2، ... عدم المساواة قائم.

يشير هذا المعيار بشكل مباشر إلى المعيار الضروري لتقارب السلسلة: لكي تتقارب المتسلسلة (1) فمن الضروري والكافي أن يكون مصطلحها المشتركدبليو ن → 0 .

الخصائص التالية للمتسلسلة المتقاربة صحيحة: إذا كانت الصفوف و تتقارب إلى مبالغهمسود، ثم الصفوف
و
تتلاقى على التوالي إلى المبالغس ± دوس .

سلسلة متقاربة تماما من الأعداد المركبة.

سلسلة من الأعداد المركبة (١) دعا متقاربة تماما، إذا كانت المتسلسلة متقاربة
(2).

نظرية.

كل متسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا (1) من الأعداد المركبة تتقارب.

دليل.

ومن الواضح أنه يكفي أن نثبت أنه بالنسبة للمتسلسلة (1) فإن شروط معيار كوشي لتقارب المتسلسلة قد استوفيت. دعونا نأخذ أي
. بسبب التقارب المطلق للمتسلسلة (1)، تتقارب السلسلة (2). لذلك، بالنسبة للمختار

، ذلك لأي ن > نو ع = 1،2،…سيتم تلبية عدم المساواة
، لكن

وأكثر من ذلك سيتم تلبية عدم المساواة
في أي ن > نو ص=1,2,… وبالتالي، بالنسبة للمتسلسلة (1) فإن شروط معيار كوشي لتقارب المتسلسلات المركبة قد استوفيت. ولذلك فإن المتسلسلة (1) تتقارب. النظرية صحيحة.

نظرية.

من أجل سلسلة من الأعداد المركبة (1) كانت متقاربة بشكل مطلق؛ ومن الضروري والكافي أن تتقارب المتسلسلات الحقيقية بشكل مطلق (3) و (٤) حيثدبليو ن = ش ن + أنا· الخامس ن (ن = 1, 2,…).

دليل،

يعتمد على عدم المساواة الواضحة التالية

(5)

ضروري.لنفترض أن المتسلسلة (1) متقاربة تقاربا مطلقا، ​​لنبين أن المتسلسلة (3) و (4) متقاربتان تقاربا مطلقا، ​​أي أن المتسلسلة (3) و (4) متقاربتان
و
(6). من التقارب المطلق للمتسلسلة (1) تتبع تلك المتسلسلة (2)
تتقارب، إذن، بحكم الجانب الأيسر من عدم المساواة (5)، فإن المتسلسلة (6) سوف تتقارب، أي أن المتسلسلتين (3) و (4) تتقاربان تمامًا.

قدرة.لنفترض أن المتسلسلة (3) و(4) تتقاربان تقاربًا مطلقًا، فلنبين أن المتسلسلة (1) تتقارب أيضًا تقاربًا مطلقًا، أي أن المتسلسلة (2) تتقارب. من التقارب المطلق للمتسلسلتين (3) و(4) يترتب على ذلك أن المتسلسلة (6) تتقارب، وبالتالي فإن المتسلسلة تتقارب أيضًا
. وبالتالي، وبسبب الجانب الأيمن من المتباينة (5)، تتقارب المتسلسلة (2)، أي. المتسلسلة (1) متقاربة تماما.

لذا فإن التقارب المطلق للمتسلسلة المركبة (1) يعادل التقارب المطلق لمتسلسلة الأعداد الحقيقية (3) و(4). ولذلك، فإن جميع الخصائص الأساسية للمتسلسلات العددية الحقيقية المتقاربة تمامًا تنطبق على المتسلسلات المعقدة المتقاربة تمامًا. على وجه الخصوص، بالنسبة للمتسلسلة المعقدة المتقاربة تمامًا، تكون نظرية تبديل شروطها صالحة، أي. إعادة ترتيب الحدود في متسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا لا يؤثر على مجموع المتسلسلة. لتحديد التقارب المطلق للمتسلسلة المركبة، يمكن استخدام أي معيار لتقارب المتسلسلة الموجبة.

علامة كوشي.

دع السلسلة (1) لها نهاية
، ثم إذاس < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если س> 1، ثم تتباعد السلسلة (1)..

علامة دالمبرت.

إذا كان لسلسلة (1) من الأعداد المركبة هناك حد
، اذا متىس < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если س> 1، ثم تتباعد السلسلة.

مثال.

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب المطلق
، هنا
.

سوف نجد
. بوضوح
=
=
. وبالتالي فإن المتسلسلة متقاربة تمامًا.

يمكن ضرب المتسلسلة المتقاربة تماما. يتقارب منتج متسلسلة متقاربة تمامًا ومتسلسلة متقاربة. قد يتباعد منتج اثنين من المتقاربين.

الحجم: بيكسل

ابدأ العرض من الصفحة:

نص

1 8 سلسلة أرقام مركبة خذ بعين الاعتبار سلسلة أرقام بها أرقام مركبة من الشكل k a، (46) حيث (a k) هو المعطى تسلسل رقميبالمصطلحات المركبة k تسمى السلسلة (46) متقاربة إذا تقاربت المتسلسلة (S) لمجاميعها الجزئية S a k k وفي هذه الحالة تسمى النهاية S للمتتابعة (S) بمجموع المتسلسلة (46) The تسمى السلسلة a k بالباقي من السلسلة (46) بالنسبة لسلسلة k المتقاربة S S r وlm r، فإن تلك ε > N، N: r< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >، ن، ن:أ< ε p k k شرط ضروريتقارب المتسلسلة (46) هو المتطلب lm a في الواقع، من تقارب المتسلسلة (46) يتبع، وفقًا لمعيار كوشي، أن ε >، N >، والذي بالنسبة لـ p، يتبع ذلك S S< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 المتسلسلة الوظيفية وخصائصها التقارب الموحد نظرية Weierstrass دع تسلسل لا نهائي من الدوال ذات القيمة الواحدة ((Z)) يتم تعريفه في المجال G من المستوى المركب Z. سيتم تسمية التعبير بالصيغة U U (48) بـ يقال إن السلسلة الوظيفية (48) متقاربة في المجال G إذا تقاربت سلسلة الأرقام المقابلة لها Z G. إذا تقاربت السلسلة (48) في المنطقة G، فمن الممكن في هذه المنطقة تحديد دالة ذات قيمة واحدة. التي قيمتها في كل نقطة من المنطقة G تساوي مجموع سلسلة الأرقام المقابلة (48) في المنطقة G. ثم G، > k () U k()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, N(ε), N(ε): ε, N (ε,), N(ε,) : يتم تنفيذها على الفور في منطقة G k U k< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 a U, G, (49) ثم تتقارب السلسلة (48) بشكل موحد N في الواقع، بما أن السلسلة a تتقارب، إذن > بموجب (49)، فإن عدم المساواة ε، > k k N يحمل في G، بحيث يكون a< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) وظائف مستمرةتتقارب U بشكل موحد في المجال G إلى دالة، ثم يمكن حساب تكامل هذه الدالة على أي منحنى سلس متعدد التعريف يقع بالكامل في المجال G عن طريق تكامل المتسلسلة (48) حدًا تلو الآخر، ثم النظرية 7 إذا كانت المصطلحات d U d U من السلسلة U المتقاربة في المجال G لها مشتقات مستمرة في هذا المجال والمتسلسلة U تتقارب بشكل موحد في G، ثم يمكن اشتقاق هذه السلسلة U مصطلحًا تلو الآخر في المجال G، وU U، حيث U مجموع السلسلة

4 لصفوف الوظائف في تحليل شاملهناك نظرية Weierstrass، والتي تسمح لنا بتقوية النظرية بشكل كبير حول إمكانية التمييز بين المصطلحات لسلسلة وظيفية، المعروفة من التحليل الحقيقي. قبل صياغتها وإثباتها، نلاحظ أن السلسلة U، تتقارب بشكل موحد سيظل الخط l متقاربًا بشكل منتظم حتى بعد ضرب جميع حدوده في الدالة ϕ المحددة بـ l في الواقع، دع عدم المساواة ϕ () تتحقق على الخط l< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, >ن: ص< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 يتقارب أيضًا بشكل موحد مع مجموعه () () () () ()، نظرًا لأن الوظيفة (5) تقتصر على، لأنه بالنسبة لنقاط هذه الدائرة ρ هو نصف قطر الدائرة (تذكر: - هنا ثابت) ثم ، وفقًا لما سبق، يمكن تكامل السلسلة (5) مصطلحًا بحد: () d () d () d d π π π π ونظرًا لتحليل الدوال، يمكننا تطبيق صيغة كوشي عليها، على أساس منها نحصل على () d π، (5) ومجموع المتسلسلة على اليمين في (5) هو وبالتالي نحصل على المساواة π () d لكن الدالة ستكون مجموع متقاربة بشكل منتظم سلسلة من الوظائف التحليلية، وبالتالي، المستمرة في G. وهذا يعني أن التكامل الموجود على اليمين هو تكامل من نوع كوشي، وبالتالي، فهو يمثل دالة تحليلية داخليًا، وعلى وجه الخصوص، عند النقطة Tk - أي نقطة من المنطقة G، ثم تم إثبات الجزء الأول من النظرية، ولإثبات إمكانية تفاضل هذه المتسلسلة حدا بحد، لا بد من ضرب المتسلسلة (5) في دالة حسابية محدودة بها وتكرارها يمكن إثبات أن سلسلة من الدوال التحليلية يمكن اشتقاقها عدد لا نهائي من المرات، بينما نجد أن المتسلسلة تتقارب بشكل منتظم، ومجموعها يساوي (ك) (ك)

6 متسلسلة من الشكل حيث متسلسلة القوى نظرية هابيل حالة مهمة جدا من المتسلسلة الوظيفية العامة هي متسلسلة القوى ()، (53) - بعض الأعداد المركبة، و - نقطة ثابتة من المستوى المركب شروط المتسلسلة (53). هي دوال تحليلية على المستوى بأكمله، لذلك لدراسة خواص هذه المتسلسلة يمكن تطبيق النظريات العامة للفقرات السابقة، كما ثبت فيها، فإن العديد من الخواص هي نتيجة التقارب المنتظم لتحديد منطقة التقارب في سلسلة القوى (53)، تبين أن النظرية التالية ضرورية نظرية 9 (أبيل) إذا تقاربت سلسلة القوى (53) عند نقطة ما، فإنها تتقارب تمامًا عند أي نقطة تحقق الشرط، وفي دائرة.< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >، أن م، ف< В силу الميزة المطلوبةتميل مصطلحاتها إلى الصفر عندما، وبالتالي () M M q M، ثم، حيث q< (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной المتوالية الهندسيةبمقام أقل من الوحدة يمكننا استخلاص عدد من النتائج الطبيعية من نظرية هابيل، تشبه إلى حد ما تلك الموجودة في نظرية هابيل في نظرية متسلسلة القوى في التحليل الحقيقي. ثم تتباعد عند جميع النقاط التي تحقق المتباينة > إن الحد الأعلى للمسافات من نقطة إلى نقطة تتقارب عندها المتسلسلة (53) يسمى نصف قطر تقارب متسلسلة القوى، والمنطقة<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 اختر نقطة تعسفية داخل الدائرة ρ ρ< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 دعونا ندخل الترميز () d () ρ π () d () π ρ () ونعيد كتابة (59) على شكل سلسلة قوى متقاربة عند نقطة مختارة: (59) (6) () (6) ) في الصيغة (6) يمكن استبدال الحي ρ، بواسطة نظرية كوشي، بأي كفاف مغلق يقع في المنطقة< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11 حيث سيكون هناك أيضًا معامل واحد<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 مثال<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14 فإن النقطة () ()، (64) تسمى صفر الدالة If، فإن الصفر يسمى بسيط من الرتبة، أو التعدد من صيغ معاملات سلسلة تايلور نرى أنه إذا كان النقطة هي صفر من الترتيب، حيث يمكن إعادة كتابة () () التوسع (64) بالشكل، ولكن () () () [ () ] () ϕ، ϕ () ()، () ϕ، و من الواضح أن دائرة تقارب هذه المتسلسلة هي نفس دائرة المتسلسلة (64) وهي أيضًا عبارة معكوسة صحيحة حيث كل دالة في النموذج عبارة عن عدد صحيح، ϕ () وترتيب صفر مثال 5 نقاط ± () ϕ، ϕ هو تحليلي عند نقطة ما، وله في هذه النقطة دالة من أعلى رتبة، tk () () e (4) ϕ 3 4 e هي أصفار، و (±) مثال 6 أوجد ترتيب الصفر للدالة 8 s قم بتوسيع القاسم في القوى: 3 3! 8 5 5! ! 5! 3! 5 5! ϕ

15 5 ϕ، حيث ϕ، و ϕ ونقطة الدالة 3!، إذن النقطة 5! ϕ تحليلية وهي صفر من الدرجة الخامسة لمتسلسلة لوران الأصلية ومنطقة تقاربها توسيع دالة تحليلية إلى متسلسلة لوران خذ في الاعتبار سلسلة من الشكل () حيث تكون نقطة ثابتة في المستوى المركب، (65) ) هي بعض الأعداد المركبة المتسلسلة (65) تسمى متسلسلة لوران ولنحدد منطقة التقارب الخاصة بها نعرض (65) بالشكل () () (66) () ومن الواضح أن منطقة التقارب. تقارب المتسلسلة (66) هو الجزء المشترك لمناطق التقارب بين كل حد من الحدود الموجودة على الجانب الأيمن من (66) منطقة التقارب للمتسلسلة () هي دائرة مركزها عند نقطة معينة نصف القطر، وعلى وجه الخصوص، يمكن أن يساوي الصفر أو اللانهاية. داخل دائرة التقارب، تتقارب هذه المتسلسلة إلى بعض الوظائف التحليلية لمتغير معقد، تلك ()،.< (67)

16 لتحديد منطقة التقارب لسلسلة من المتغيرات، يتم وضع () () ثم هذه السلسلة سوف تأخذ شكل عمل استبدال - سلسلة قوى عادية تتقارب داخل دائرة تقاربها إلى بعض الوظائف التحليلية ϕ () من أ متغير معقد دع نصف قطر التقارب لسلسلة الطاقة الناتجة يكون r ثم ϕ،< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), >r ويترتب على ذلك أن منطقة التقارب للمتسلسلة هي المنطقة الخارجية للدائرة r فنحصل على (69) () هي وهكذا فإن كل من متسلسلة القوى على الجانب الأيمن من (66) تتقارب في منطقة التقارب الخاصة بها في الوظيفة التحليلية المقابلة إذا ص<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 إذا كانت r >، فإن المتسلسلتين (67) و (68) ليس لهما منطقة تقارب مشتركة، وبالتالي في هذه الحالة لا تتقارب المتسلسلة (65) في أي مكان مع أي دالة. لاحظ أن المتسلسلة جزء منتظم من المتسلسلة (. 7)، والمثال 7 قم بتوسيع - الجزء الرئيسي من الصف (65) () أ)< < ; б) >; الخامس)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 يفتقر هذا التوسع إلى جزء منتظم< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

19 دعونا نجري التكامل حدًا تلو الآخر في (7)، وهو أمر ممكن بسبب التقارب الموحد للمتسلسلة، نحصل على d π، (7) حيث d π، (73) نظرًا لأن عدم المساواة لا تصمد ، إذن، على غرار السابق، لدينا بعد ذلك، نتيجة لتكامل هذه السلسلة حدًا تلو الآخر في (7) سيكون لدينا π π d d، (من أجل d)، (74) حيث d π (75) ) وبتغير اتجاه التكامل في (75) نحصل على

20 π () () d ()() d π, > (76) بسبب تحليل التكاملات في (73) و (76) في حلقة دائرية< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 مثال 8 قم بتوسيع سلسلة لوران (أولئك الذين في القوى) Y في جوار النقطة ()() في Δ في هذه الحالة، سنقوم ببناء حلقتين دائريتين يكون مركزهما عند النقطة (الشكل 4): أ) أ) دائرة "بلا مركز"< < ; Рис 4 X б) внешность круга >في كل حلقة من هذه الحلقات تكون تحليلية، وعلى حدودها لها نقاط فردية دعونا نوسع الدالة في القوى في كل من هذه المناطق.< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) هنا لدينا 3، () () () () () هي سلسلة متقاربة، منذ ذلك الحين<

22 s كنتيجة ()() () () هؤلاء، 3، 3 مثال 9 قم بتوسيع الدالة Δ في سلسلة لوران في جوار النقطة لدينا:، s s s cos cos s s! كوس 4 () () 3 4! 3! () 5! () (كوس)!! 5

الموضوع سلسلة أرقام معقدة ضع في اعتبارك سلسلة أرقام k ak مع أرقام مركبة من النموذج تسمى السلسلة متقاربة إذا تقارب التسلسل S من مجاميعها الجزئية S a k k. علاوة على ذلك، فإن الحد S للتسلسل

الموضوع: تعريف السلسلة الوظيفية المعقدة. إذا تقاربت k، N، N U k G في المجال G مرة واحدة، فإن السلسلة تسمى موحدة. العلامة الكافية للتقارب المنتظم للمتسلسلة هي الإشارة

المحاضرة رقم 37. سلسلة من الوظائف التحليلية. توسيع الوظيفة التحليلية إلى سلسلة الطاقة. سلسلة تايلور. متسلسلة لوران.. توسيع الدالة التحليلية إلى متسلسلة القوى..... متسلسلة تايلور.... 3. توسيع الدالة التحليلية

موضوع الوحدة المتتابعات والمتسلسلات الوظيفية خصائص التقارب المنتظم للمتتابعات والمتسلسلات محاضرة متسلسلات القوى تعريفات المتتابعات والمتسلسلات الوظيفية بشكل موحد

المحاضرة 7 متسلسلة تايلور ولوران 7. متسلسلة تايلور في هذا الجزء سنرى أن مفهومي متسلسلة القوى والدالة التحليلية يحددان نفس الكائن: أي متسلسلة قوى ذات نصف قطر تقارب موجب

التحليل الرياضي القسم: نظرية دوال المتغير المركب الموضوع: المتسلسلة في المستوى المركب المحاضر O.V Yanuschik 217 9. السلسلة في المستوى المركب 1. السلسلة العددية دع التسلسل يُعطى

5 متسلسلة القوى 5 متسلسلة القوى: التعريف، منطقة التقارب المتسلسلة الوظيفية من الشكل (a + a) + a () + K + a () + K a) (، (5) حيث، a، a، K، a ،k هي بعض الأرقام تسمى أرقام سلسلة الطاقة

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط (MIIGAiK) تعليمات منهجية ومهام للعمل المستقل في دورة الرياضيات العليا العددية

السلسلة الوظيفية المحاضرات 7-8 1 منطقة التقارب 1 سلسلة من الشكل u () u () u () u ()، 1 2 u () حيث يتم تعريف الوظائف على فترة معينة تسمى السلسلة الوظيفية . مجموعة جميع النقاط

المحاضرة رقم 38. سلوك وظيفة تحليلية في اللانهاية. نقاط خاصة. بقايا دالة..جوار نقطة عند اللانهاية.....توسع لوران في جوار نقطة عند اللانهاية....3.السلوك

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي البحوث الوطنية جامعة ولاية نيجني نوفغورود التي تحمل اسم NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharceva صفوف الوظائف التحليلية

وزارة التعليم في جمهورية بيلاروسيا EE "جامعة فيتيبسك الحكومية التكنولوجية" الموضوع. "الصفوف" قسم الرياضيات النظرية والتطبيقية. تم تطويره بواسطة مساعد. إي بي. دنينا. أساسي

في. جوك، أ.م. سلسلة كاماتشكين 1 للطاقة. نصف قطر التقارب وفاصل التقارب. طبيعة التقارب. التكامل والتمايز. 1.1 نصف قطر التقارب وفاصل التقارب. النطاق الوظيفي

موضوع متسلسلة لوران ومنطقة التقارب فيها. النظر في سلسلة من النموذج n C n n C n n n n C n n حيث هي نقطة ثابتة من المستوى المركب، وهناك بعض الأعداد المركبة. C n هذه السلسلة تسمى سلسلة لوران.

المحاضرة ن 7. متسلسلة القوى ومتسلسلة تايلور.. متسلسلة القوى..... متسلسلة تايلور.... 4. توسيع بعض الدوال الأولية إلى متسلسلة تايلور وماكلورين.... 5 4. تطبيق متسلسلة القوى... 7. الطاقة

التحليل الرياضي القسم : المتسلسلة العددية والدالة الموضوع : متسلسلة القوى . توسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة المحاضرة Rozhkova S.V. 3 34. متسلسلة القوى متسلسلة القوى هي سلسلة من القوى

4 سلسلة من الوظائف التحليلية 4. التسلسلات الوظيفية دع Ω C و f n: Ω C. تتقارب سلسلة من الوظائف (f n ) بشكل نقطي إلى وظيفة f: Ω C إذا كان لكل z Ω lim n f n(z) = f(z).

السلسلة الوظيفية السلسلة الوظيفية ومجموعها ومجالها الوظيفي o دع سلسلة من الوظائف k تعطى في المجال Δ للأعداد الحقيقية أو المركبة (k 1 تسمى السلسلة الوظيفية

محاضرات من إعداد الأستاذ المشارك موسينا MV تعريف التعبير عن شكل السلسلة العددية والوظيفية سلسلة الأرقام: المفاهيم الأساسية ()، حيث تسمى سلسلة أرقام (أو ببساطة سلسلة) أرقام، أعضاء السلسلة (تعتمد

سلسلة الأرقام التسلسل الرقمي Def التسلسل الرقمي هو دالة عددية محددة على مجموعة الأعداد الطبيعية x - عضو عام في التسلسل x =، x =، x =، x =،

الفصل سلسلة القوى a a a سلسلة الشكل a a a a () تسمى متسلسلة القوى، حيث، a، هي ثوابت تسمى معاملات السلسلة في بعض الأحيان يتم اعتبار متسلسلة القوى ذات الشكل العام: a a(a) a(a). أ(أ) ()، حيث

المحاضرة 8 السلسلة والنقاط المفردة. سلسلة لوران. نقاط فردية معزولة 6. نقاط السلسلة والمفرد 6.7. نظرية متسلسلة لوران (P. Laurent): إذا كانت الدالة f() تحليلية في الحلقة r< a < R r R то она может быть разложена

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية الفيدرالية للتعليم المهني العالي الجامعة الفيدرالية الجنوبية R. M. Gavrilova، G. S. Kostetskaya المنهجية

الموضوع 9 متسلسلة القوى متسلسلة القوى هي متسلسلة دالة بالشكل حيث الأعداد... هي معاملات المتسلسلة، ونقطة تمدد المتسلسلة.,...,... R... تسمى سلسلة القوى المركزية المصطلح العام لسلسلة القوى

4 سلسلة الوظائف 4 تعريفات أساسية دع تسلسلًا لا نهائيًا من الوظائف ذات مجال تعريف مشترك X u)، u ()، K، u ()،K (تعريف التعبير u) + u () + K + u () +

المحاضرة 3 متسلسلة تايلور وماكلورين تطبيق متسلسلة القوى توسيع الدوال إلى متسلسلة قوى سلسلة تايلور وماكلورين بالنسبة للتطبيقات، من المهم أن تكون قادرًا على توسيع دالة معينة إلى متسلسلة قوى، تلك الدوال

المحاضرة السادسة تفكيك الدالة إلى متسلسلة قوى تفرد التوسع في متسلسلة تايلور وماكلورين تفكيك الدالة إلى متسلسلة قوى لبعض الدوال الأساسية تطبيق متسلسلة القوى في المحاضرات السابقة

كلية المعادن قسم الرياضيات العليا الرتب التعليمات المنهجية نوفوكوزنتسك 5 الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي

متسلسلة لوران النوع الأكثر عمومية من متسلسلات القوى هي المتسلسلات التي تحتوي على قوى موجبة وسالبة z z 0. مثل متسلسلة تايلور، فإنها تلعب دورًا مهمًا في نظرية الوظائف التحليلية.

سلسلة الأرقام مفاهيم عامة التعريف إذا كان كل رقم طبيعي مرتبطًا بعدد معين وفقًا لقانون معين، فإن مجموعة الأرقام المرقمة تسمى تسلسلًا رقميًا،

S A Lavrenchenko wwwlwrecekoru محاضرة السلسلة الوظيفية مفهوم السلسلة الوظيفية في السابق قمنا بدراسة سلسلة الأعداد، أي أن أعضاء السلسلة كانوا أرقاما. والآن ننتقل إلى دراسة المتسلسلة الوظيفية، أي.

موضوع متسلسلة لوران ومنطقة التقارب فيها. سلسلة من الشكل حيث C (z z) n = C (z z) n + n n n= n= z من المستوى، نقطة ثابتة من المجمع C n تسمى متسلسلة لوران. C n (z z) n= - بعض التعقيد

محاضرة. سلسلة وظيفية. تعريف المتسلسلة الوظيفية تسمى السلسلة التي يكون أعضاؤها دوال لـ x وظيفية: u = u (x) + u + K+ u + K = بإعطاء x قيمة معينة x، نحن

نظرية المتسلسلات نظرية المتسلسلات هي العنصر الأكثر أهمية في التحليل الرياضي ولها تطبيقات نظرية وعملية عديدة. هناك سلسلة عددية ووظيفية.

تعريف نصف قطر التقارب. متسلسلة القوى هي متسلسلة وظيفية على الشكل c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a)، () حيث c 0، c، c 2،.. .، ج، ... C تسمى معاملات الطاقة

جامعة موسكو التقنية الحكومية للطيران المدني V.M. ليوبيموف، أ. جوكوفا، ف. أوخوفا، يو.أ. دليل الرياضيات Shurinov لدراسة الانضباط ومهام الاختبار

82 4. القسم 4. السلسلة الوظيفية والطاقة 4.2. الدرس 3 4.2. الدرس 3 4.2.. توسيع الدالة إلى متسلسلة تايلور التعريف 4.2.. دع الدالة y = f(x) قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي في بعض الأحياء

محاضرة. سلسلة الطاقة. التحليل التوافقي. سلسلة وتحويل فورييه. خاصية التعامد.8. السلسلة الوظيفية العامة 8.. التهرب من الوظائف تسمى السلسلة U + U + U وظيفية إذا كانت

ستاركوف ف.ن. مواد المحاضرة التوجيهية السؤال 9. توسيع الوظائف التحليلية إلى تعريف سلسلة الطاقة. متسلسلة دالة على الشكل (((... (...، حيث الثوابت المركبة (معاملات المتسلسلة

قسم الرياضيات العليا Sgups تعليمات منهجية لإجراء العمليات الحسابية القياسية "سلسلة" نوفوسيبيرسك 006 بعض المعلومات النظرية سلسلة الأرقام Let u ; ش ; ش ; ; ش ; هناك عدد لا نهائي

ه الاحتلال. سلسلة تايلور. جمع متسلسلة القوى. تحليل، تطبيق. الرياضيات، الفصل الدراسي الثالث، ابحث عن مفكوك الدالة إلى متسلسلة قوى في القوى، واحسب نصف قطر تقارب متسلسلة القوى: A f()

الفصل سلسلة التدوين الرسمي لمجموع حدود بعض التسلسلات الرقمية تسمى سلاسل الأرقام سلاسل رقمية مجموع S تسمى مجاميع جزئية للسلسلة إذا كان هناك حد lim S، S ثم السلسلة

الدرس العملي 8 البقايا 8 تعريف البقايا 8 حساب البقايا 8 البقايا اللوغاريتمية 8 تعريف البقايا دع نقطة مفرد معزولة لدالة في تحليل بقايا مفرد معزول

~ ~ PKP مشتق من دالة متغير معقد PKP شروط كوشي ريمان مفهوم الانتظام PKP صورة وشكل عدد مركب نوع PKP : حيث تكون الدالة الحقيقية لمتغيرين حقيقية

إرشادات منهجية لمهام الحساب في مقرر الرياضيات العليا "سلسلة المعادلات التفاضلية العادية التكاملات المزدوجة" الجزء سلسلة الموضوع المحتويات السلسلة سلسلة الأرقام التقارب والتباعد

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة أرخانجيلسك الحكومية التقنية كلية الهندسة المدنية RANKS إرشادات لاستكمال مهام العمل المستقل أرخانجيلسك

عناصر نظرية دوال حساب التفاضل والتكامل المتغير المركب نتيجة لدراسة هذا الموضوع، يجب على الطالب أن يتعلم: العثور على الأشكال المثلثية والأسية للعدد المركب وفقا ل

التحليل الرياضي الجزء 3. المتسلسلة العددية والوظيفية. تكاملات متعددة. نظرية المجال. الكتاب المدرسي N. D. Vysk MATI-RGTU im. ك. قسم تسيولكوفسكي للرياضيات العليا التحليل الرياضي

المحاضرة 3. الخصومات. النظرية الرئيسية حول البقايا بقايا الدالة f() عند نقطة مفرد معزولة a هي رقم مركب يساوي قيمة التكامل f() 2 المأخوذ في الاتجاه الموجب i على طول الدائرة

درس المتسلسلة العددية والقوى. سلسلة أرقام. مجموع السلسلة. علامات التقارب.. احسب مجموع المتسلسلة. 6 الحل. مجموع شروط التقدم الهندسي اللانهائي q يساوي، حيث q هو مقام التقدم.

S A Lavrenchenko wwwlawreceoru محاضرة تمثيل الوظائف بواسطة سلسلة تايلور حد واحد مفيد في المحاضرة الأخيرة، تم تطوير الإستراتيجية التالية: من خلال شرط كافٍ لتمثيل سلسلة الوظائف

M. V. Deikalova التحليل الشامل أسئلة للامتحان (المجموعة MX-21، 215) أسئلة الندوة الأولى 1 1. تفاضل دالة متغير معقد عند نقطة ما. شروط كوشي-ريمان (دالمبرت-أويلر).

مهمة الخيار احسب قيمة الوظيفة، ثم أعط الإجابة في صورة جبرية: a sh ; ب ل الحل أ دعونا نستخدم صيغة العلاقة بين الجيب المثلثي والجيب الزائدي: ; ش -س احصل على

محاضرة المتسلسلة العددية علامات التقارب المتسلسلة العددية علامات التقارب تعبير لا نهائي من تسلسل رقمي + + + + مكون من حدود لا نهائية ويسمى متسلسلة أعدادية Numbers،

4. المتسلسلة الوظيفية، منطقة التقارب منطقة تقارب المتسلسلة الوظيفية () هي مجموعة قيم الوسيطات التي تتقارب فيها هذه المتسلسلة. الوظيفة (2) تسمى المجموع الجزئي للسلسلة؛

المحاضرة 3 نظرية الوجود والتفرد لحل المعادلة العددية بيان المشكلة النتيجة الرئيسية النظر في مشكلة كوشي d f () d =، () = يتم تعريف الدالة f (،) في المنطقة G من المستوى (،)

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية قازان للهندسة المعمارية والإنشاءات قسم الرياضيات العليا السلاسل العددية والوظيفية المبادئ التوجيهية لـ

(مجال متسلسلة القوى الوظيفية لترتيب التقارب لإيجاد فترة التقارب - مثال نصف قطر فترة التقارب من الأمثلة) دع إعطاء تسلسل لا نهائي من الوظائف، وظيفية

S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru محاضرة تمثيل الوظائف بواسطة متسلسلة القوى مقدمة تمثيل الوظائف بواسطة متسلسلة القوى مفيد في حل المشكلات التالية: - تكامل الوظائف

الاحتلال ه. سلسلة الطاقة. سلسلة تايلور الرياضيات. تحليل، تطبيق. الرياضيات، الفصل الدراسي الثالث أوجد نصف قطر تقارب متسلسلة القوى باستخدام معيار دالمبرت: (89 () n n (n!)) p (n +)! ن= سلسلة تايلور f(x)

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي مؤسسة ميزانية الدولة الفيدرالية التعليمية للتعليم المهني العالي "جامعة سمارة الحكومية للطيران والفضاء"

الرتب. سلسلة أرقام. التعريفات الأساسية دع التعبير (المجموع اللانهائي) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= يسمى. سلسلة أرقام. أعداد

جامعة ولاية كازان قسم الإحصاء الرياضي السلاسل العددية الدليل التعليمي والمنهجي KAZAN 008 تم النشر بقرار من قسم المجلس العلمي والمنهجي لجامعة كازان

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي VA Volkov INTEGRAL FOURIER SERIES منشور نصي إلكتروني تعليمي لطلاب التخصصات 4865 الإلكترونيات وأتمتة المنشآت المادية؛

џ. مفهوم السلسلة العددية. دع سلسلة الأرقام a، a 2،...، a،... تُعطى. سلسلة الأرقام هي التعبير a = a + a 2 +... + a +... (.) الأرقام a،. أ 2،..، أ،... يُطلق عليهم أعضاء السلسلة، أ

التطوير المنهجي حل المشكلات على الأعداد المركبة TFKP العمليات على الأعداد المركبة المستوى المركب يمكن تمثيل العدد المركب بالجبرية الأسية والمثلثية

مجلة الرياضيات السيبيرية يوليو أغسطس 2005. المجلد 46، 4 UDC 517.53 شروط تقارب كسور الاستيفاء عند العقد المنفصلة عن النقاط الفردية للدالة A. G. Lipchinsky

جامعة موسكو التقنية للسيارات والطرق (MADI) AA ZLENKO، SA IZOTOVA، LA MALYSHEVA تصنف التعليمات المنهجية للعمل المستقل في الرياضيات جامعة موسكو للسيارات وتقنية الطرق

باستخدام الطرق القياسية، ولكننا وصلنا إلى طريق مسدود مع مثال آخر.

ما هي الصعوبة وأين يمكن أن يكون هناك عقبة؟ فلنضع الحبل الصابوني جانبًا، ونحلل الأسباب بهدوء ونتعرف على الحلول العملية.

الأول والأهم: في الغالبية العظمى من الحالات، لدراسة تقارب السلسلة، من الضروري استخدام بعض الطرق المألوفة، ولكن المصطلح العام للسلسلة مليء بمثل هذه الحشوات الصعبة بحيث ليس من الواضح على الإطلاق ما يجب فعله بها . وتدور في دائرة: العلامة الأولى لا تعمل، والثانية لا تعمل، والطريقة الثالثة والرابعة والخامسة لا تعمل، ثم يتم طرح المسودات جانبًا ويبدأ كل شيء من جديد. ويرجع ذلك عادةً إلى نقص الخبرة أو وجود ثغرات في مجالات أخرى من التحليل الرياضي. على وجه الخصوص، إذا كان قيد التشغيل حدود التسلسلوتفكيكها سطحيا حدود الوظيفة، فسيكون الأمر صعبًا.

بمعنى آخر، لا يرى الشخص ببساطة طريقة اتخاذ القرار اللازمة بسبب نقص المعرفة أو الخبرة.

في بعض الأحيان يقع اللوم على "الكسوف" أيضًا، على سبيل المثال، عندما لا يتم استيفاء المعيار الضروري لتقارب السلسلة، ولكن بسبب الجهل أو عدم الانتباه أو الإهمال، فإن هذا يسقط عن الأنظار. ويبدو الأمر كما في تلك القصة حيث قام أستاذ الرياضيات بحل مشكلة للأطفال باستخدام تسلسلات متكررة جامحة وسلاسل أرقام =)

في أفضل التقاليد، الأمثلة الحية على الفور: الصفوف وأقاربهم - يختلفون، لأنه ثبت نظريا حدود التسلسل. على الأرجح، في الفصل الدراسي الأول، سوف يهزون الروح منك لإثبات 1-2-3 صفحات، ولكن الآن يكفي لإظهار فشل الشرط الضروري لتقارب السلسلة، مع الإشارة إلى الحقائق المعروفة . مشهور؟ إذا كان الطالب لا يعرف أن الجذر النوني هو شيء قوي للغاية، فلنقل، السلسلة سوف يضعه في طريق مسدود. مع أن الحل مثل مرتين اثنين: ، أي. لأسباب واضحة، كلا السلسلتين تتباعدان. تعليق متواضع "تم إثبات هذه الحدود من الناحية النظرية" (أو حتى غيابها على الإطلاق) يكفي للاختبار، فالحسابات ثقيلة جدًا وهي بالتأكيد لا تنتمي إلى قسم سلسلة الأرقام.

وبعد دراسة الأمثلة التالية لن تتفاجأ إلا بإيجاز وشفافية الكثير من الحلول:

مثال 1

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: أولا وقبل كل شيء، نتحقق من التنفيذ المعيار الضروري للتقارب. وهذا ليس إجراءً شكلياً، ولكنه فرصة ممتازة للتعامل مع المثال "بقليل من سفك الدماء".

يشير "فحص المشهد" إلى وجود متسلسلة متباعدة (حالة المتسلسلة التوافقية المعممة)، لكن السؤال الذي يطرح نفسه مرة أخرى، هو كيف نأخذ في الاعتبار اللوغاريتم في البسط؟

أمثلة تقريبية للمهام في نهاية الدرس.

ليس من غير المألوف أن يتعين عليك تنفيذ تفكير من خطوتين (أو حتى ثلاث خطوات):

مثال 6

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: أولاً، دعونا نتعامل بعناية مع رطانة البسط. التسلسل - محدود: . ثم:

دعونا نقارن سلسلتنا مع السلسلة. بسبب المتباينة المزدوجة التي تم الحصول عليها للتو، بالنسبة لجميع "en" سيكون ما يلي صحيحًا:

الآن قارن المتسلسلة مع المتسلسلة التوافقية المتباعدة.

مقام الكسر أقلمقام الكسر، لذلك الكسر نفسه – أكثرالكسور (اكتب المصطلحات القليلة الأولى إذا لم تكن واضحة). وبالتالي، لأي "en":

وهذا يعني أنه على أساس المقارنة، هذه السلسلة يتباعدجنبا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.

إذا قمنا بتعديل القاسم قليلاً: ، فإن الجزء الأول من المنطق سيكون مشابهًا: . لكن لإثبات تباعد المتسلسلة، لا يمكننا سوى تطبيق الاختبار الحدي للمقارنة، لأن المتباينة خاطئة.

يكون الوضع مع المتسلسلات المتقاربة "معكوسًا"، أي، على سبيل المثال، بالنسبة للسلسلة، يمكنك استخدام كلا معياري المقارنة (المتباينة صحيحة)، ولكن بالنسبة للسلسلة فقط المعيار المحدد (المتباينة خاطئة).

نواصل سفاري الطبيعة البرية، حيث يلوح في الأفق قطيع من الظباء الرشيقة والمورقة:

مثال 7

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: تم استيفاء المعيار الضروري للتقارب، ونسأل أنفسنا مرة أخرى السؤال الكلاسيكي: ماذا نفعل؟ أمامنا شيء يذكرنا بسلسلة متقاربة، ومع ذلك، لا توجد قاعدة واضحة هنا - مثل هذه الارتباطات غالبا ما تكون خادعة.

في كثير من الأحيان، ولكن ليس هذه المرة. باستخدام المعيار الحدي للمقارنةدعونا نقارن المتسلسلة التي لدينا بمتسلسلة متقاربة. عند حساب الحد الذي نستخدمه حد رائع ، بينما متناهي الصغرمواقف:

يتقاربجنبا إلى جنب مع .

بدلاً من استخدام التقنية الاصطناعية القياسية للضرب والقسمة على "ثلاثة"، كان من الممكن في البداية إجراء مقارنة مع متسلسلة متقاربة.
لكن من المستحسن هنا إبداء تحفظ بأن العامل الثابت للحد العام لا يؤثر على تقارب المتسلسلة. وقد تم تصميم حل المثال التالي بهذا الأسلوب تمامًا:

مثال 8

التحقيق في تقارب السلسلة

عينة في نهاية الدرس.

مثال 9

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: في الأمثلة السابقة استخدمنا حدود جيب الجيب، ولكن الآن لم تعد هذه الخاصية صالحة للتطبيق. مقام الكسر الأعلى ترتيب النمو، من البسط، وبالتالي، عند حجة الجيب والمصطلح المشترك بأكمله متناهي الصغر. إن الشرط الضروري للتقارب، كما تفهمون، قد تحقق، وهو ما لا يسمح لنا بالتهرب من عملنا.

لنقم بالاستطلاع: وفقًا لـ معادلة ملحوظة ، تخلص عقليًا من الجيب واحصل على السلسلة. حسنًا ، فلانًا وفلانًا ...

دعونا نتخذ القرار:

دعونا نقارن السلسلة قيد الدراسة مع سلسلة متباعدة. نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

دعونا نستبدل المتناهية الصغر بما يعادلها: في .

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.

مثال 10

التحقيق في تقارب السلسلة

هذا مثال عليك حله بنفسك.

للتخطيط لمزيد من الإجراءات في مثل هذه الأمثلة، فإن التخلص عقليًا من الجيب وقوس الجيب والظل والظل القطبي يساعد كثيرًا. لكن تذكر أن هذه الفرصة موجودة فقط إذا متناهي الصغرحجة، منذ وقت ليس ببعيد شاهدت سلسلة استفزازية:

مثال 11

التحقيق في تقارب السلسلة
.

حل: لا فائدة من استخدام حدود قوس الظل هنا، ولا يعمل التكافؤ أيضًا. الحل بسيط بشكل مدهش:


المسلسل قيد الدراسة يتباعدلعدم توفر الشرط اللازم لتقارب المتسلسلة.

السبب الثاني"مشكلة المهمة" هي أن العضو المشترك متطور للغاية، مما يسبب صعوبات ذات طبيعة فنية. بشكل تقريبي، إذا كانت السلسلة التي تمت مناقشتها أعلاه تنتمي إلى فئة "من يعرف"، فإن هذه السلسلة تقع ضمن فئة "من يعرف". في الواقع، هذا ما يسمى التعقيد بالمعنى "المعتاد". لا يستطيع الجميع حل العديد من العوامل والدرجات والجذور وسكان السافانا الآخرين بشكل صحيح. أكبر المشاكل هي بالطبع العوامل:

مثال 12

التحقيق في تقارب السلسلة

كيفية رفع مضروب إلى السلطة؟ بسهولة. وفقا لقاعدة العمليات مع القوى، من الضروري رفع كل عامل من عوامل المنتج إلى قوة:

وبطبيعة الحال، فإن علامة دالمبرت نفسها تعمل بشكل تقليدي مرة أخرى:

وبالتالي فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

أذكرك بأسلوب عقلاني للتخلص من عدم اليقين: عندما يكون الأمر واضحًا ترتيب النموالبسط والمقام - ليست هناك حاجة للمعاناة وفتح الأقواس.

مثال 13

التحقيق في تقارب السلسلة

الوحش نادر جدًا، لكنه موجود، وسيكون من الظلم تجاهله بعدسة الكاميرا.

ما هو مضروب مع علامة تعجب مزدوجة؟ "يختتم" المضروب حاصل ضرب الأعداد الزوجية الموجبة:

وبالمثل، فإن المضروب "ينتهي" بمنتج الأعداد الفردية الموجبة:

تحليل ما هو الفرق من و

مثال 14

التحقيق في تقارب السلسلة

وفي هذه المهمة، حاول ألا تخلط بين الدرجات، معادلات ملحوظةو حدود رائعة.

نماذج من الحلول والإجابات في نهاية الدرس.

لكن الطالب لا يتغذى على النمور فحسب - بل تتعقب الفهود الماكرة أيضًا فرائسها:

مثال 15

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: المعيار الضروري للتقارب، والمعيار الحدي، واختبار دالمبيرت وكوشي يختفيان على الفور تقريبًا. لكن أسوأ ما في الأمر هو أن علامة عدم المساواة التي ساعدتنا مرارا وتكرارا أصبحت عاجزة. في الواقع، المقارنة مع سلسلة متباعدة أمر مستحيل، لأن عدم المساواة غير صحيح - مضاعف اللوغاريتم يزيد فقط من المقام، مما يقلل من الكسر نفسه نسبة إلى الكسر. وسؤال عالمي آخر: لماذا نحن واثقون في البداية من أن سلسلتنا يجب بالضرورة أن تتباعد ويجب مقارنتها ببعض السلاسل المتباينة؟ ماذا لو حصل على طول على الإطلاق؟

ميزة متكاملة؟ تكامل غير لائق يثير مزاج حزين. الآن لو كان بيننا خلاف ... ثم نعم. قف! هكذا تولد الأفكار. نقوم بصياغة الحل في خطوتين:

1) أولاً نفحص تقارب المتسلسلة . نحن نستخدم ميزة متكاملة:

متكامل مستمرعلى

وهكذا السلسلة يتباعد مع التكامل غير الصحيح المقابل.

2) دعونا نقارن المتسلسلة بالمتسلسلة المتباعدة . نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع عدد .

وليس هناك أي شيء غير عادي أو إبداعي في مثل هذا القرار - هكذا ينبغي اتخاذ القرار!

أقترح وضع الإجراء التالي المكون من خطوتين بنفسك:

مثال 16

التحقيق في تقارب السلسلة

يرى الطالب الذي يتمتع ببعض الخبرة في معظم الحالات على الفور ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد، ولكن يحدث أن يقوم المفترس بتمويه نفسه بذكاء في الأدغال:

مثال 17

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: للوهلة الأولى، ليس من الواضح على الإطلاق كيف تتصرف هذه السلسلة. وإذا كان هناك ضباب أمامنا، فمن المنطقي أن نبدأ بفحص تقريبي للحالة اللازمة لتقارب السلسلة. من أجل القضاء على عدم اليقين، نستخدم غير قابل للغرق طريقة الضرب والقسمة بصيغتها المترافقة:

لم تنجح علامة التقارب الضرورية، لكنها سلطت الضوء على رفيقنا تامبوف. ونتيجة للتحولات التي تم إجراؤها، تم الحصول على سلسلة مكافئة والتي بدورها تشبه بقوة سلسلة متقاربة.

نكتب الحل النهائي:

دعونا نقارن هذه المتسلسلة بمتسلسلة متقاربة. نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

الضرب والقسمة على التعبير المرافق:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتقاربجنبا إلى جنب مع .

ربما تساءل البعض، من أين أتت الذئاب في رحلات السفاري الإفريقية لدينا؟ لا أعرف. ربما أحضروه. مظهر الكأس التالي لك للحصول عليه:

مثال 18

التحقيق في تقارب السلسلة

نموذج الحل في نهاية الدرس

وأخيرًا، هناك فكرة أخرى تصيب العديد من الطلاب باليأس: ألا يجب أن نستخدم اختبارًا نادرًا لتقارب السلسلة؟؟ اختبار راب، اختبار هابيل، اختبار غاوس، اختبار ديريشليت وغيرها من الحيوانات غير المعروفة. الفكرة تعمل، ولكن في الأمثلة الحقيقية يتم تنفيذها نادرا جدا. شخصيا، في كل سنوات الممارسة، لم ألجأ إلا إلى ذلك علامة رابي، عندما لم يساعد أي شيء من الترسانة القياسية حقًا. سأعيد إنتاج مسار سعيي الشديد بالكامل:

مثال 19

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: بلا شك علامة دالمبيرت. أثناء العمليات الحسابية، أستخدم خصائص الدرجات بنشاط، وكذلك الحد الثاني الرائع:

الكثير بالنسبة لك. لم تقدم علامة D'Alembert إجابة، على الرغم من أن لا شيء ينطبق على مثل هذه النتيجة.

بعد البحث في الكتاب المرجعي، وجدت حدًا غير معروف ومثبتًا نظريًا وقمت بتطبيق اختبار كوشي الجذري الأقوى:

وهنا اثنان بالنسبة لك. والأهم من ذلك، أنه من غير الواضح تمامًا ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة (وهو موقف نادر جدًا بالنسبة لي). علامة ضرورية للمقارنة؟ بدون الكثير من الأمل - حتى لو تمكنت من معرفة ترتيب نمو البسط والمقام بشكل لا يمكن تصوره، فإن هذا لا يضمن المكافأة بعد.

إنها عضو كامل، ولكن أسوأ شيء هو أن الخلاف يحتاج إلى حل. بحاجة ل. بعد كل شيء، ستكون هذه هي المرة الأولى التي أستسلم فيها. ثم تذكرت أنه يبدو أن هناك بعض العلامات الأخرى الأقوى. لم يعد أمامي ذئب ولا نمر ولا نمر. لقد كان فيلًا ضخمًا يلوح بخرطومه الكبير. اضطررت لالتقاط قاذفة قنابل يدوية:

علامة رابي

النظر في سلسلة أرقام إيجابية.
إذا كان هناك حد ، الذي - التي:
أ) عندما الصف يتباعد. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون القيمة الناتجة صفرًا أو سالبة
ب) عندما الصف يتقارب. وعلى وجه الخصوص، تتقارب السلسلة عند .
ج) متى علامة رابي لا تعطي إجابة.

نرسم حدًا ونبسط الكسر بعناية وبعناية:


نعم، الصورة، بعبارة ملطفة، غير سارة، لكنني لم أعد مندهشا من كسر هذه الحدود بمساعدة قواعد لوبيتال، والفكرة الأولى، كما اتضح لاحقا، كانت صحيحة. لكن في البداية قمت بتحريف الحد الأقصى وتحويله لمدة ساعة تقريبًا باستخدام الطرق "المعتادة"، لكن عدم اليقين لم يرغب في التخلص منه. والمشي في دوائر، كما تشير التجربة، هو علامة نموذجية على أنه تم اختيار الحل الخاطئ.

كان علي أن ألجأ إلى الحكمة الشعبية الروسية: "إذا فشل كل شيء آخر، اقرأ التعليمات". وعندما فتحت المجلد الثاني من فيشتنهولتز، أسعدني كثيرًا اكتشاف دراسة لسلسلة متطابقة. ثم اتبع الحل المثال.