قصائد للأطفال

تقدم جيوم لانهائي. المتوالية الهندسية. مثال مع الحل . صيغة الحد n من التقدم الهندسي

دعونا نفكر في سلسلة معينة.

7 28 112 448 1792...

ومن الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر بأربع مرات تمامًا من العنصر السابق. هذا يعني أن هذه السلسلة عبارة عن تقدم.

التقدم الهندسي هو تسلسل لا نهائي من الأرقام. الميزة الأساسيةوهو أن الرقم التالي يتم الحصول عليه من الرقم السابق عن طريق الضرب في رقم محدد. يتم التعبير عن ذلك من خلال الصيغة التالية.

a z +1 =a z ·q، حيث z هو رقم العنصر المحدد.

وفقا لذلك، ض ∈ ن.

الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف التاسع. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:

0.25 0.125 0.0625...

وبناء على هذه الصيغة يمكن إيجاد مقام التقدم على النحو التالي:

لا يمكن أن يكون q أو b z صفرًا. كما أن كل عنصر من عناصر التقدم يجب ألا يساوي الصفر.

وفقًا لذلك، لمعرفة الرقم التالي في السلسلة، عليك ضرب الرقم الأخير بـ q.

لتعيين هذا التقدم، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك، من الممكن العثور على أي من الحدود اللاحقة ومجموعها.

أصناف

اعتمادًا على q وa 1، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:

إذا كان كل من a 1 و q أكبر من واحد، فإن هذا التسلسل هو عبارة عن تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر لاحق. ويرد أدناه مثال على ذلك.

مثال: أ 1 =3، ف=2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.

ثم تسلسل رقمييمكن كتابتها مثل هذا:

3 6 12 24 48 ...

إذا |ف| أقل من واحد، أي أن الضرب به يعادل القسمة، فإن المتوالية ذات الشروط المماثلة هي متوالية هندسية تناقصية. ويرد أدناه مثال على ذلك.

مثال: أ 1 =6، ف=1/3 - أ 1 أكبر من واحد، ف أقل.

ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:

6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.

علامة بالتناوب. إذا س<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: أ 1 = -3، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من الصفر.

ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:

3, 6, -12, 24,...

الصيغ

هناك العديد من الصيغ للاستخدام المريح للتقدم الهندسي:

صيغة المصطلح Z. يسمح لك بحساب عنصر تحت رقم محدد دون حساب الأرقام السابقة.

مثال:س = 3, أ 1 = 4. مطلوب حساب العنصر الرابع من التقدم.

حل:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

مجموع العناصر الأولى التي تساوي كميتها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.

منذ (1-س) في المقام، ثم (1 - ف)≠ 0، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.

ملاحظة: إذا كانت q=1، فسيكون التقدم عبارة عن سلسلة من الأرقام المتكررة بلا حدود.

مجموع المتوالية الهندسية، أمثلة:أ 1 = 2, س= -2. احسب S5.

حل:س 5 = 22- الحساب باستخدام الصيغة.

المبلغ إذا |س| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:أ 1 = 2 , س= 0.5. العثور على المبلغ.

حل:سز = 2 · = 4

سز = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

بعض الخصائص:

خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي يعمل لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تقدم هندسي:

أ ض 2 = أ ض -1 · أض+1

أيضًا، يمكن العثور على مربع أي رقم في متوالية هندسية عن طريق إضافة مربعي أي رقمين آخرين في سلسلة معينة، إذا كانا على مسافة متساوية من هذا العنصر.

أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينر- المسافة بين هذه الأرقام.

عناصرتختلف في سمرة واحدة.
وتشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا، ولكنها حسابية، أي أن كل منها أكبر من السابق برقم معين.

أمثلة على بعض المشاكل الكلاسيكية

لفهم ما هو التقدم الهندسي بشكل أفضل، يمكن أن تساعد الأمثلة مع الحلول للفئة 9.

شروط:أ 1 = 3, أ 3 = 48. البحثس.

الحل: كل عنصر لاحق أكبر من العنصر الذي قبلهس مرة واحدة.من الضروري التعبير عن بعض العناصر بدلالة عناصر أخرى باستخدام المقام.

لذلك،أ 3 = س 2 · أ 1

عند الاستبدالس= 4

شروط:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.

حل:للقيام بذلك، ما عليك سوى العثور على q، العنصر الأول واستبداله في الصيغة.

أ 3 = س· أ 2 ، لذلك،س= 2

أ 2 = ف · أ 1،لهذا أ 1 = 3

س6= 189

· أ 1 = 10, س= -2. ابحث عن العنصر الرابع للتقدم.

الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع من خلال الأول ومن خلال المقام.

أ 4 = س 3· أ 1 = -80

مثال تطبيقى:

قام أحد عملاء البنك بإيداع مبلغ قدره 10000 روبل، وبموجب شروطه، سيضيف العميل كل عام 6٪ منه إلى المبلغ الأصلي. كم سيكون المبلغ في الحساب بعد 4 سنوات؟

الحل: المبلغ الأولي هو 10 آلاف روبل. وهذا يعني أنه بعد سنة من الاستثمار سيكون لدى الحساب مبلغ يساوي 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

وبناء على ذلك، سيتم التعبير عن المبلغ الموجود في الحساب بعد سنة أخرى على النحو التالي:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

أي أن المبلغ يزيد كل عام بمقدار 1.06 مرة. وهذا يعني أنه للعثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات، يكفي العثور على العنصر الرابع من التقدم، والذي يعطى بالعنصر الأول يساوي 10 آلاف والمقام يساوي 1.06.

س = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

أمثلة على المسائل التي تتضمن حساب المبالغ:

يستخدم التقدم الهندسي في مختلف المشاكل. يمكن إعطاء مثال للعثور على المبلغ على النحو التالي:

أ 1 = 4, س= 2، احسبس 5.

الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.

س 5 = 124

أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.

حل:

في جيوم. التقدم، كل عنصر تالٍ أكبر بمقدار q من العنصر السابق، أي لحساب المجموع الذي تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والقاسمس.

أ 2 · س = أ 3

س = 3

وبالمثل، تحتاج إلى العثور عليهاأ 1 ، معرفةأ 2 وس.

أ 1 · س = أ 2

أ 1 =2

س 6 = 728.

>>الرياضيات: التقدم الهندسي

ولتسهيل على القارئ، تم بناء هذه الفقرة بالضبط وفق نفس الخطة التي اتبعناها في الفقرة السابقة.

1. المفاهيم الأساسية.

تعريف.التسلسل العددي الذي تختلف جميع أعضائه عن 0 ويتم الحصول على كل عضو منه ابتداء من الثاني من العضو السابق بضربه في نفس الرقم يسمى متوالية هندسية. في هذه الحالة، يسمى الرقم 5 مقام التقدم الهندسي.

وبالتالي، فإن التقدم الهندسي هو تسلسل عددي (b n) يتم تحديده بشكل متكرر من خلال العلاقات

هل من الممكن النظر إلى تسلسل رقمي وتحديد ما إذا كان تقدمًا هندسيًا؟ يستطيع. إذا كنت مقتنعًا بأن نسبة أي عضو في المتتابعة إلى العضو السابق ثابتة، فهذا يعني أن لديك تقدمًا هندسيًا.
مثال 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
ب 1 = 1، ف = 3.

مثال 2.

هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 3.

هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

هذا متوالية هندسية حيث b 1 - 8، q = 1.

لاحظ أن هذا التسلسل هو أيضًا تقدم حسابي (انظر المثال 3 من الفقرة 15).

مثال 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

هذه متوالية هندسية يكون فيها b 1 = 2، q = -1.

من الواضح أن المتوالية الهندسية تكون متوالية متزايدة إذا كانت b 1 > 0، q > 1 (انظر المثال 1)، وتكون متوالية تنازلية إذا كانت b 1 > 0، 0< q < 1 (см. пример 2).

للإشارة إلى أن التسلسل (b n) هو تقدم هندسي، يكون الترميز التالي مناسبًا في بعض الأحيان:

يحل الرمز محل عبارة "التقدم الهندسي".
دعونا نلاحظ خاصية غريبة وفي نفس الوقت واضحة تمامًا للتقدم الهندسي:
إذا كان التسلسل هو متوالية هندسية، ثم تسلسل المربعات، أي. هو تقدم هندسي.
وفي المتوالية الهندسية الثانية، الحد الأول يساوي ويساوي q 2.
إذا قمنا في متوالية هندسية بتجاهل جميع الحدود التي تلي b n، فسنحصل على متوالية هندسية محدودة
وفي فقرات أخرى من هذا القسم سننظر في أهم خصائص التقدم الهندسي.

2. صيغة الحد التاسع من المتوالية الهندسية.

النظر في التقدم الهندسي القاسم ف. لدينا:

ليس من الصعب تخمين أن المساواة صحيحة لأي رقم

هذه هي صيغة الحد n من المتوالية الهندسية.

تعليق.

إذا كنت قد قرأت الملاحظة المهمة من الفقرة السابقة وفهمتها، فحاول إثبات الصيغة (1) باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، تمامًا كما حدث مع صيغة الحد النوني من المتتابعة الحسابية.

دعونا نعيد كتابة صيغة الحد n من المتتابعة الهندسية

وأدخل الترميز: نحصل على y = mq 2، أو بمزيد من التفصيل،
الوسيطة x موجودة في الأس، لذلك تسمى هذه الدالة بالدالة الأسية. هذا يعني أنه يمكن اعتبار المتتابعة الهندسية بمثابة دالة أسية محددة في المجموعة N من الأعداد الطبيعية. في التين. يوضح 96 أ الرسم البياني للوظيفة في الشكل. 966 - الرسم البياني الوظيفي في كلتا الحالتين، لدينا نقاط معزولة (مع الإحداثيات x = 1، x = 2، x = 3، وما إلى ذلك) تقع على منحنى معين (كلا الشكلين يظهران نفس المنحنى، ولكن موقعهما مختلفان ومصوران بمقاييس مختلفة). ويسمى هذا المنحنى المنحنى الأسي. اقرأ المزيد عن وظيفة الأسيةوسيتم مناقشة رسوماتها في مقرر الجبر للصف الحادي عشر.

دعنا نعود إلى الأمثلة 1-5 من الفقرة السابقة.

1) 1، 3، 9، 27، 81،... . هذه متوالية هندسية حيث b 1 = 1، q = 3. لننشئ صيغة الحد n
2) هذه متوالية هندسية دعونا ننشئ لها صيغة للحد النوني

هذا هو التقدم الهندسي الذي لنقم بإنشاء صيغة الحد n
4) 8، 8، 8، ...، 8، ... . هذه متوالية هندسية حيث b 1 = 8، q = 1. لننشئ صيغة الحد n
5) 2، -2، 2، -2، 2، -2،.... هذه متوالية هندسية يكون فيها b 1 = 2، q = -1. لنقم بإنشاء صيغة الحد n

مثال 6.

نظرا للتقدم الهندسي

وفي جميع الأحوال يعتمد الحل على صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية

أ) بوضع n = 6 في صيغة الحد n من المتوالية الهندسية نحصل على ذلك

ب) لدينا

بما أن 512 = 2 9، نحصل على n - 1 = 9، n = 10.

د) لدينا

مثال 7.

الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 48، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو أيضًا 48. أوجد الحد الثاني عشر من هذه المتتابعة.

المرحلة الأولى.رسم نموذج رياضي .

ويمكن كتابة شروط المشكلة بإيجاز على النحو التالي:

باستخدام صيغة الحد النوني للمتوالية الهندسية نحصل على:
ثم يمكن كتابة الشرط الثاني للمسألة (ب 7 - ب 5 = 48) بالشكل

يمكن كتابة الشرط الثالث للمسألة (ب5 + ب6=48) بالشكل

ونتيجة لذلك، نحصل على نظام من معادلتين مع متغيرين ب 1 و ف:

والذي، بالإضافة إلى الشرط 1) المكتوب أعلاه، يمثل نموذجًا رياضيًا للمشكلة.

المرحلة الثانية.

العمل مع النموذج المترجم. وبمساواة الطرفين الأيسرين لمعادلتي النظام نحصل على:

(قسمنا طرفي المعادلة على التعبير غير الصفري ب 1 ف 4).

من المعادلة ف 2 - ف - 2 = 0 نجد ف 1 = 2، ف 2 = -1. بتعويض القيمة q = 2 في المعادلة الثانية للنظام نحصل على
بتعويض القيمة q = -1 في المعادلة الثانية للنظام، نحصل على b 1 1 0 = 48؛ هذه المعادلة ليس لها حلول.

إذن، b 1 =1، q = 2 - هذا الزوج هو الحل لنظام المعادلات المترجم.

الآن يمكننا كتابة المتوالية الهندسية التي تمت مناقشتها في المسألة: 1، 2، 4، 8، 16، 32، ... .

المرحلة الثالثة.

الإجابة على سؤال المشكلة. تحتاج إلى حساب ب 12. لدينا

الجواب: ب 12 = 2048.

3. صيغة لمجموع حدود التقدم الهندسي المحدود.

دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا

دعونا نشير بـ S n إلى مجموع مصطلحاته، أي.

دعونا نشتق صيغة للعثور على هذا المبلغ.

لنبدأ بأبسط حالة، عندما تكون q = 1. ثم يتكون التقدم الهندسي b 1، b 2، b 3،...، bn من أرقام n تساوي b 1، أي. يبدو التقدم مثل ب 1، ب 2، ب 3، ...، ب 4. مجموع هذه الأرقام هو ملحوظة 1.

دعونا الآن q = 1 للعثور على S n، نطبق تقنية مصطنعة: نقوم بإجراء بعض التحويلات للتعبير S n q. لدينا:

عند إجراء التحويلات، استخدمنا أولاً تعريف التقدم الهندسي، والذي بموجبه (انظر السطر الثالث من الاستدلال)؛ ثانياً: أضافوا وطرحوا، ولهذا لم يتغير معنى التعبير بالطبع (انظر السطر الرابع من الاستدلال)؛ ثالثًا، استخدمنا صيغة الحد النوني من المتوالية الهندسية:

من الصيغة (1) نجد:

هذه هي صيغة مجموع الحدود n للتقدم الهندسي (في الحالة التي تكون فيها q = 1).

مثال 8.

نظرا لتقدم هندسي محدود

أ) مجموع شروط التقدم؛ ب) مجموع مربعات حدوده.

ب) أعلاه (انظر ص 132) سبق أن لاحظنا أنه إذا تم تربيع جميع حدود المتوالية الهندسية، فسنحصل على متوالية هندسية مع الحد الأول b 2 والمقام q 2. ثم سيتم حساب مجموع الحدود الستة للتقدم الجديد بواسطة

مثال 9.

أوجد الحد الثامن من المتوالية الهندسية التي لها

في الواقع، لقد أثبتنا النظرية التالية.

المتوالية الرقمية هي متوالية هندسية إذا وفقط إذا كان مربع كل حد من حدودها، باستثناء النظرية الأولى (والأخيرة، في حالة المتتابعة المحدودة)، يساوي حاصل ضرب الحدين السابق واللاحق (أ) خاصية مميزة للتقدم الهندسي).

من ماستر ويب

22.09.2018 22:00

يعد التقدم الهندسي، إلى جانب التقدم الحسابي، سلسلة أرقام مهمة يتم دراستها في دورة الجبر المدرسية في الصف التاسع. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على مقام المتوالية الهندسية وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.

تعريف التقدم الهندسي

أولاً، دعونا نعطي تعريفًا لسلسلة الأرقام هذه. تسمى هذه السلسلة بالتقدم الهندسي أرقام نسبية، والتي يتم تشكيلها عن طريق ضرب عنصرها الأول بالتسلسل برقم ثابت يسمى المقام.

على سبيل المثال، الأرقام في المتسلسلة 3، 6، 12، 24، ... هي متوالية هندسية، لأنك إذا ضربت 3 (العنصر الأول) في 2، تحصل على 6. وإذا ضربت 6 في 2، تحصل على 12، وهكذا.

عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai، حيث i عبارة عن عدد صحيح يشير إلى رقم العنصر في السلسلة.

يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم باللغة الرياضية على النحو التالي: an = bn-1 * a1، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1، فإن b1-1 = 1، وسنحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2، فإن an = b * a1، ونأتي مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام المعنية. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل للقيم الكبيرة لـ n.

مقام التقدم الهندسي

يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستحتوي عليه سلسلة الأرقام بأكملها. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من أو أقل من واحد. جميع الخيارات المذكورة أعلاه تؤدي إلى تسلسلات مختلفة:

ب > 1. هناك سلسلة متزايدة من الأعداد النسبية. على سبيل المثال، 1، 2، 4، 8، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا، فإن التسلسل بأكمله سيزيد فقط من حيث القيمة المطلقة، ولكنه سيتناقص اعتمادًا على إشارة الأرقام.
ب = 1. في كثير من الأحيان لا تسمى هذه الحالة بالتقدم، حيث توجد سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال، -4، -4، -4.

صيغة المبلغ

قبل الانتقال إلى النظر في مشاكل محددة باستخدام قاسم نوع التقدم قيد النظر، ينبغي إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصره الأولى. تبدو الصيغة كما يلي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في التسلسل العودي لشروط التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط للعثور على مجموع عدد عشوائي من المصطلحات.

تسلسل تنازلي لا نهاية له

وقد تقدم شرح أعلاه لما هو عليه. الآن، بعد أن عرفنا صيغة Sn، فلنطبقها على سلسلة الأعداد هذه. حيث أن أي رقم لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى قوى كبيرة، أي b∞ => 0 إذا -1

نظرًا لأن الفرق (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا، بغض النظر عن قيمة المقام، فإن إشارة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي S∞ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال إشارة عنصرها الأول a1.

الآن دعونا نلقي نظرة على العديد من المشاكل حيث سنوضح كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.

المشكلة رقم 1. حساب عناصر التقدم والمجموع غير المعروفة

بالنظر إلى تقدم هندسي، فإن مقام التقدم هو 2، وعنصره الأول هو 3. ما الذي يساوي حديه السابع والعاشر، وما هو مجموع عناصره السبعة الأولية؟

حالة المشكلة بسيطة للغاية وتتضمن الاستخدام المباشر للصيغ المذكورة أعلاه. لذا، لحساب رقم العنصر n، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع لدينا: a7 = b6 * a1، وبالتعويض عن البيانات المعروفة، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. ونفعل الشيء نفسه بالنسبة للحد العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.

دعونا نستخدم الصيغة المعروفة للمجموع ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى في السلسلة. لدينا: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

المشكلة رقم 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم

دع -2 يساوي مقام التقدم الهندسي bn-1 * 4، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المجموع من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ضمناً.

لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها باستخدام طريقتين مختلفتين. ولإكمال عرض الموضوع نقدم كلا الأمرين.

الطريقة الأولى: الفكرة بسيطة: تحتاج إلى حساب المجموعين المتقابلين للحدين الأولين، ثم طرح الآخر من أحدهما. نحسب المبلغ الأصغر: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. الآن نحسب المجموع الأكبر: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير تم جمع 4 حدود فقط، حيث تم تضمين الحد الخامس بالفعل في المبلغ الذي يجب حسابه وفقًا لشروط المشكلة. أخيرًا، نأخذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والعد، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين حدي m وn للسلسلة المعنية. نحن نفعل نفس الشيء تمامًا كما في الطريقة الأولى، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمبلغ. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . يمكنك استبدال الأرقام المعروفة في التعبير الناتج وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

المشكلة رقم 3. ما هو القاسم؟

لنفترض أن a1 = 2، أوجد مقام المتوالية الهندسية، على أن يكون مجموعها اللانهائي 3، ومن المعلوم أن هذه سلسلة متناقصة من الأعداد.

بناءً على ظروف المشكلة، ليس من الصعب تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. وبطبيعة الحال، لمجموع التقدم يتناقص بلا حدود. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 أو -0.333(3). يمكننا التحقق من هذه النتيجة نوعيًا إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما يمكن أن يرى، |-1 / 3|

المهمة رقم 4. استعادة سلسلة من الأرقام

لنفترض عنصرين من سلسلة أرقام، على سبيل المثال، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. ومن الضروري إعادة بناء السلسلة بأكملها من هذه البيانات، مع العلم أنها تلبي خصائص التقدم الهندسي.

لحل المشكلة، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل مصطلح معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول، نحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ الجذر الخامس لنسبة الحدود المعروفة من بيان المشكلة، ب = 1.148698. نعوض الرقم الناتج في أحد تعبيرات العنصر المعروف فنحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

المتوالية الهندسية هي متوالية عددية حدها الأول غير الصفر، وكل حد لاحق يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد غير الصفر.

ويشار إلى التقدم الهندسيب1،ب2،ب3، …، مليار، … .

نسبة أي حد من الخطأ الهندسي إلى حده السابق تساوي نفس العدد، أي b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( ن+1)/مليار = … . وهذا يتبع مباشرة من تعريف التقدم الحسابي. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي. عادةً ما يُشار إلى مقام التقدم الهندسي بالحرف q.

تسلسل رتيب وثابت

إحدى طرق تحديد المتوالية الهندسية هي تحديد حدها الأول b1 ومقام الخطأ الهندسي q. على سبيل المثال، ب1=4، س=-2. يحدد هذان الشرطان التقدم الهندسي 4، -8، 16، -32، ….

إذا كانت q>0 (q لا تساوي 1)، فإن التقدم يكون تسلسل رتيب.على سبيل المثال، المتتابعة 2، 4،8،16،32، ... هي متوالية متزايدة بشكل رتيب (b1=2، q=2).

إذا كان المقام في الخطأ الهندسي هو q=1، فإن جميع حدود المتوالية الهندسية ستكون متساوية مع بعضها البعض. في مثل هذه الحالات يقولون أن التقدم هو تسلسل ثابت.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي

لكي تكون المتوالية العددية (bn) متتابعة هندسية، يجب أن يكون كل عضو من أعضائها، بدءاً من الثاني، هو الوسط الهندسي للأعضاء المجاورة. أي أنه من الضروري تحقيق المعادلة التالية
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2)، لأي n>0، حيث n ينتمي إلى المجموعة الأعداد الطبيعيةن.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي هي:

مليار = b1 * ف ^ (ن-1)،

حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N

صيغة لمجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي

صيغة مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي لها الشكل:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1)، حيث q لا تساوي 1.

دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط:

في المتوالية الهندسية b1=6, q=3, n=8 ابحث عن Sn.

للعثور على S8، نستخدم صيغة مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680.

المتوالية الحسابية والهندسية

المعلومات النظرية

المعلومات النظرية

	المتوالية العددية	المتوالية الهندسية
تعريف	المتوالية العددية نهو تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءاً من الثاني، مساوياً للعضو السابق مضافاً إليه نفس العدد د (د- فرق التقدم)	المتوالية الهندسية ب نهي سلسلة من الأعداد غير الصفرية، كل حد منها ابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد س (س- قاسم التقدم)
صيغة التكرار	لأي طبيعي ن أ ن + 1 = أ ن + د	لأي طبيعي ن ب ن + 1 = ب ن ∙ ف، ب ن ≠ 0
صيغة الحد n	أ ن = أ 1 + د (ن – 1)	ب n = ب 1 ∙ ف n - 1 , ب n ≠ 0
خاصية مميزة
مجموع الحدود n الأولى

أمثلة على المهام مع التعليقات

التمرين 1

في المتوالية الحسابية ( ن) أ 1 = -6, 2

وفقا لصيغة الحد n:

22 = أ 1+ د (22 - 1) = أ 1+ 21 د

حسب الشرط:

أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21 د .

من الضروري العثور على اختلاف التقدم:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

إجابة : 22 = -48.

المهمة 2

أوجد الحد الخامس للمتتالية الهندسية: -3؛ 6 ؛....

الطريقة الأولى (باستخدام صيغة n-term)

وفقًا لصيغة الحد n من التقدم الهندسي:

ب 5 = ب 1 ∙ ف 5 - 1 = ب 1 ∙ ف 4.

لأن ب 1 = -3,

الطريقة الثانية (باستخدام الصيغة المتكررة)

بما أن مقام التقدم هو -2 (q = -2)، إذن:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

إجابة : ب 5 = -48.

المهمة 3

في المتوالية الحسابية ( ن) 74 = 34; 76= 156. أوجد الحد الخامس والسبعين من هذه المتتابعة.

بالنسبة للتقدم الحسابي، فإن الخاصية المميزة لها الشكل .

لذلك:

دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:

الجواب: 95.

المهمة 4

في المتوالية الحسابية ( ن) ن= 3n - 4. أوجد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى.

للعثور على مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي، يتم استخدام صيغتين:

أي منهم أكثر ملاءمة للاستخدام في هذه الحالة؟

بالشرط، تُعرف صيغة الحد التاسع من التقدم الأصلي ( ن) ن= 3n - 4. يمكنك أن تجد على الفور و أ 1، و 16دون أن يجد د. ولذلك، سوف نستخدم الصيغة الأولى.

الجواب: 368.

المهمة 5

في المتوالية الحسابية( ن) أ 1 = -6; 2= -8. أوجد الحد الثاني والعشرين من التقدم.

وفقا لصيغة الحد n:

أ 22 = أ 1 + د (22 – 1) = أ 1+ 21 د.

بشرط إذا أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21د . من الضروري العثور على اختلاف التقدم:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

إجابة : 22 = -48.

المهمة 6

تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بواسطة x.

عند الحل، سوف نستخدم صيغة الحد n ب ن = ب 1 ∙ ف ن - 1للتقدم الهندسي. الفصل الأول من التقدم. للعثور على مقام التقدم q، عليك أن تأخذ أيًا من شروط التقدم المعطاة وتقسمها على الحد السابق. في مثالنا، يمكننا أن نأخذ ونقسم على. نحصل على أن q = 3. بدلاً من n، نستبدل 3 في الصيغة، لأنه من الضروري إيجاد الحد الثالث لمتوالية هندسية معينة.

باستبدال القيم التي تم العثور عليها في الصيغة، نحصل على: