الإعلان على البوابة

كثيرات الحدود القابلة للاختزال في مجال الأعداد الحقيقية. توسيع كثير الحدود على مجال الأعداد النسبية. كثيرات الحدود في مجال الأعداد العقلانية

أي رقم مركب يحدد نقطة على المستوى. سيتم تحديد موقع الوسائط على مستوى معقد واحد، وسيتم وضع قيم الدالة على مستوى معقد آخر.

F(z) هي دالة معقدة لمتغير معقد. من بين الوظائف المعقدة للمتغير المعقد، تبرز فئة الوظائف المستمرة.

Def: دالة معقدة لمتغير معقد تسمى مستمرة إذا، مثل .+

المعنى الهندسي هو كما يلي:

يحدد دائرة في المستوى المركب، مع مركزها عند النقطة z0 ونصف قطرها< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

النظرية 1: إضافة متعددة الحدود f(z). C(z) مستمر عند أي نقطة في المستوى المركب.

النتيجة الطبيعية: معامل كثير الحدود في مجال الأعداد المركبة هو دالة مستمرة.

النظرية 2: - حلقة من كثيرات الحدود ذات معاملات معقدة، ثم تلك القيم .

النظرية 3. (حول الزيادة غير المحدودة في معامل كثير الحدود):

النظرية الأساسية للجبر:

أي كثيرة حدود في مجال الأعداد المركبة ليست من الدرجة 0 لها جذر واحد على الأقل في مجال الأعداد المركبة.

(سنستخدم العبارات التالية في الدليل):

د.: 1. إذا كانت a n =0، فإن z=0 هو جذر f(z).

2. إذا كان n 0، فمن خلال النظرية 3، تحدد المتباينة منطقة في المستوى المركب تقع خارج دائرة نصف القطر S. ولا توجد جذور في هذه المنطقة، لأن ولذلك، ينبغي البحث عن جذور كثيرة الحدود f(z) داخل المنطقة.



دعونا نفكر من T1. ويترتب على ذلك أن f(z) مستمر. وفقا لنظرية فايرستراس، فإنها تصل إلى الحد الأدنى في مرحلة ما في منطقة مغلقة، أي. . دعونا نبين أن النقطة هي نقطة الحد الأدنى. لأن 0 ه، إذن، لأن خارج المنطقة E من قيمة f-ii، فإن z 0 هي النقطة الدنيا على المستوى المركب بأكمله. دعونا نبين أن f(z 0)=0. لنفترض أن الأمر ليس كذلك، إذن من خلال Lemma لـ d'Alembert، نحصل على تناقض، لأن ض 0 الحد الأدنى للنقطة.

الإغلاق الجبري:

Def: يُسمى الحقل P مغلقًا جبريًا إذا كان له جذر واحد على الأقل فوق هذا الحقل.

النظرية: مجال الأعداد المركبة مغلق جبريا. (د-يتبع من النظرية الأساسية للجبر).

مجالات الأعداد العقلانية والحقيقية ليست مغلقة جبريًا.

التحلل:

النظرية: أي كثيرة الحدود في مجال الأعداد المركبة من الدرجة فوق 1 يمكن أن تتحلل إلى منتج عوامل خطية.

النتيجة الطبيعية 1. كثير الحدود من الدرجة n في مجال الأعداد المركبة له جذور n بالضبط.

التالي 2: أي كثيرة الحدود في مجال الأعداد المركبة ذات الدرجة الأكبر من 1 تكون دائمًا قابلة للاختزال.

Def: أعداد التعدد C\R، أي. تسمى الأعداد التي على الشكل a+bi، حيث b لا يساوي 0، أرقامًا وهمية.


2. كثيرات الحدود على الحقل. GCD لاثنين من كثيرات الحدود والخوارزمية الإقليدية. تحلل كثير الحدود إلى منتج عوامل غير قابلة للاختزال وتفرده.

مواطنه.كثير الحدود (متعدد الحدود) في المجهول Xفوق الميدان رمُسَمًّى المجموع الجبري للقوى غير السالبة X، مأخوذة مع بعض المعاملات من الميدان ر.

أين هو AIÎP أو

تسمى كثيرات الحدود متساويإذا كانت معاملاتها متساوية بالنسبة للقوى المقابلة للمجهول.

تسمى درجة كثير الحدود.أكبر قيمة للمؤشر المجهول، معاملها يختلف عن الصفر.

محدد بواسطة: ن(و(س))=ن

مجموعة جميع كثيرات الحدود في الحقل ريُشار إليه بـ: ف [س].

تتزامن كثيرات الحدود من الدرجة الصفر مع عناصر المجال ر، يختلف عن الصفر - صفر متعدد الحدود، درجته غير محددة.

العمليات على كثيرات الحدود.

1. الإضافة.

دع n³s، إذن، N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<ف[س]،+>

  1. عملية الإضافة ممكنة والتفرد يتبع من تفرد إضافة العناصر الميدانية
  2. الترابط
  3. عنصر الصفر
  4. كثيرة الحدود عكس المعطى
  5. التبادلية

- مجموعة أبيليان

2. الضرب.

استكشاف البنية الجبرية<ف[س]،*>

  1. العملية ممكنة، لأن الحقل يتم تنفيذ عملية الضرب. التفرد ينبع من عدم غموض العمليات في الميدان ر.
  2. الترابط
  3. وحدة متعددة الحدود
  4. فقط كثيرات الحدود إلى الدرجة الصفرية هي القابلة للعكس

<ف[س]،*>- مجموعة نصفية مع عنصر الهوية (manoid)

يتم استيفاء قوانين التوزيع ، وبالتالي ،<ف[س]،+،*>هي حلقة تبادلية ذات هوية.

قسمة كثيرات الحدود

المساعدة الإنمائية الرسمية:متعدد الحدود و(x)، f(x)ОP[x]، P- المجال قابل للقسمة على كثير الحدود ز(س)، ز(س)≠0، ز(س)ОP[x]،إذا كان مثل هذا كثير الحدود موجودا h(x)ОP[x]، أن f(x)=g(x)h(x)

خصائص قابلية القسمة:

مثال:، القسمة على عمود gcd =( س+3)

نظرية القسمة مع الباقي:لأي كثيرات الحدود f (خ)، ز (س) ОP [س]،لا يوجد سوى كثير الحدود واحد ف(س) و ص (خ)مثل ذلك f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) أو ص(س)=0.

فكرة الوثيقة: نعتبر حالتين موجودتين ن درجة ز (خ))وتقسيم ف (خ)على ز (x). تفرد الوثيقة متناقض.

المساعدة الإنمائية الرسمية: F (x) وg(x)، f(x)، g(x)ОP[x]، h(x)ОP[x]دعا GCD و (خ) و ز(خ)لو

خوارزمية إقليدس

دعونا نكتب عملية التقسيم المتسلسل

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

ز(س)= ص 1 (س) ف 2 (س)+ص 2 (س) (2)

ص 1 (س)= ص 2 (س) س 3 (س)+ص 3 (س) (3)، الخ.

ص ك-2 (س)= ص ك-1 (س) ف ك (س)+ر ك (س) (ك)

ص ك-1 (س)= ص ك (س) ف ك+1 (س) (ك+1)

GCD(f(x),g(x))=د(x)=ص ك (x)

الفكرة دليل: نبين أن 1 ) و(خ):(بالكامل) د(خ) و ز(س):(تماما) د(س); 2) و(س):(تماما) ح(س) و ز (خ):(بالكامل) ح (خ)نظهر ذلك د(س):(بالكامل) ح(س).

التمثيل الخطي لـ GCD

ت: إذا د(خ) - GCD من كثيرات الحدود و (خ) و ز(س)، ثم هناك كثيرات الحدود v (x) وu(x)ОP[x]،ماذا f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

التعريف: f(x) وg(x)ОP[x]تحتوي دائمًا على قواسم مشتركة، أي كثيرات الحدود من الدرجة صفر، والتي تتزامن مع الحقل P؛ إذا لم تكن هناك قواسم مشتركة أخرى، فإن f(x) وg(x) هما أوليان. (تعيين: (و(س)،ز(س))=1)

ت: و (x) و ز(س) هي i.i.t.k رئيسية نسبيًا. توجد كثيرات الحدود v(x) وu(x)ОP[x] على هذا النحو f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

خصائص كثيرات الحدود كوبريم

  1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, ثم (f(x),g(x)*q(x))=1
  2. f(x)*g(x):(بالكامل)h(x) و (f(x),g(x))=1, ثم g(x):(تماما) ح(خ)
  3. f(x):(بالكامل)g(x)، f(x):(بالكامل)h(x) و ( ز(س)،ح(س))=1، ثم f(x):(بالكامل) g(x)*h(x)

المساعدة الإنمائية الرسمية:كثير الحدود f(x), f(x)ОP[x] يسمى منحفوق المجال P، إذا كان من الممكن تحليله إلى عوامل درجاتها أكبر من 0 وأقل من الدرجة f(x)، أي.

F (س)=و 1 (س)و 2 (س)، حيث الدرجات و 1 و و 2 >0،

تعتمد إمكانية اختزال كثيرات الحدود على المجال الذي يتم النظر فيه. كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال (كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل ذات درجة أقل) في المجال Q، ويمكن اختزالها في المجال R.

خصائص كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال:

  1. كثيرة الحدود من الدرجة صفر قابلة للاختزال في أي مجال
  2. إذا كان متعدد الحدود و(س) غير قابلة للاختزال على الميدان ر، ثم كثيرة الحدود أ و(س) لا يمكن اختزاله أيضًا في الحقل ر.
  3. دع كثيرات الحدود f (خ)و ع (س) فوق الميدان ر، و ع (س) - غير قابل للاختزال في الحقل ر، ثم الحالات ممكنة

1) كثيرات الحدود و (خ)و ع (س) أولية نسبيًا

2) و(س):(تماما) ع (س)

يُقال إن الحقل F مغلق جبريًا إذا كان لأي كثير حدود بدرجة موجبة على F جذر في F.

نظرية 5.1 (النظرية الأساسية للجبر متعدد الحدود).مجال الأعداد المركبة مغلق جبريا.

عاقبة 5 .1.1. فوق معلا يوجد سوى كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال من الدرجة الأولى.

النتيجة الطبيعية 5.1.2. متعدد الحدود ن-الدرجة الرابعة أعلاه معلقد نجذور معقدة.

نظرية 5.2. If هو جذر معقد لكثيرة الحدود Fمع المعاملات الحقيقية، فإن العدد المرافق المركب هو أيضًا جذر F.

عاقبة 5 .2.1. فوق رهناك كثيرات الحدود غير قابلة للاختزال من الدرجة الأولى أو الثانية فقط.

النتيجة الطبيعية 5.2.2. الجذور الوهمية لكثيرة الحدود رتتحلل إلى أزواج من الاتحادات المعقدة.

مثال 5.1. عامل إلى عوامل غير قابلة للاختزال معو ما فوق رمتعدد الحدود س 4 + 4.

حل. لدينا

س 4 + 4 =س 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (س 2 + 2) 2 – 4X 2 = (س 2 – 2X+ 2)(س 2 + 2X+ 2) –

انتهى التوسع ر. بعد إيجاد الجذور المعقدة لكثيرات الحدود من الدرجة الثانية بين قوسين بالطريقة المعتادة، نحصل على مفكوك على مع:

س 4 + 4 = (س – 1 – أنا) (س – 1 + أنا) (س + 1 – أنا) (س + 1 + أنا).

مثال 5.2. أنشئ كثيرة الحدود من أصغر درجة مع معاملات حقيقية لها جذور 2 و 1 + أنا.

حل. وفقا للنتيجة الطبيعية 5.2.2، يجب أن يكون لكثيرة الحدود جذور 2، 1 – أنا و1+ أنا. يمكن العثور على معاملاتها باستخدام صيغ فييتا:

 1 = 2 + (1 – أنا) + (1 +أنا) = 4;

 2 = 2(1 – أنا) + 2(1 + أنا) + (1 – أنا)(1 + أنا) = 6;

 3 = 2(1 – أنا)(1 + أنا) = 4.

من هنا F =س 3 – 4س 2 + 6س– 4.

تمارين.

5.1. عامل إلى عوامل غير قابلة للاختزال معو ما فوق ركثيرات الحدود:

أ) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

ب) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. أنشئ كثيرة الحدود من أصغر درجة مع معاملات حقيقية ذات جذر مزدوج 1 وجذر بسيط 1 - 2 أنا.

6. كثيرات الحدود في مجال الأعداد النسبية

نظرية 6.1 (معيار آيزنشتاين). يترك و = أ 0 +أ 1 س + ...+ أ ن س ن- كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة. إذا كان هناك مثل هذا العدد الأولي ص، ماذا أ 0 , أ 1 , … , أ ن-1 مقسمة على ص, أ نلا يقبل القسمة على ص,أ 0 لا يقبل القسمة على ص 2، ثم F غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد العقلانية.

التمرين 6.1. إثبات عدم القابلية للاختزال سكثيرات الحدود:

أ) F= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3؛ب) F= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

نظرية 6.2. يترك - جزء غير قابل للاختزال وهو جذر كثير الحدود F = أ 0 + أ 1 س + … + أ ن س نمع معاملات صحيحة. ثم

    أ 0  ص, أ نس;

    F(1)  ص – ف,F(–1)  ع+ف.

تسمح لنا هذه النظرية بحل مشكلة إيجاد الجذور المنطقية لكثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة. للقيام بذلك، نحدد جميع مقسومات الحد الحر والمعامل الرئيسي ونبني منها جميع أنواع الكسور غير القابلة للاختزال. وترد جميع الجذور العقلانية بين هذه الكسور. لتحديدها، يمكنك استخدام مخطط هورنر. لتجنب الحسابات غير الضرورية فيه، نستخدم العبارة 2) من النظرية 6.2.

مثال 6.1. أوجد الجذور العقلانية لكثيرة الحدود

F = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

حل. نكتب جميع الكسور التي بسطها ص - المقسومات هي 18، والمقامات س- المقسمات 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

نتحقق منها وفقًا لمخطط هورنر:

تعليق

F(1) = –21  ص – س

F(–1) = –3  ع+ف

X 1 = –2

X 2 = 3/2

العثور على الجذر X 1 = -2 وتقسيم كثير الحدود على X+ 2، نحصل على كثيرة حدود بمصطلح حر جديد -9 (تم وضع خط تحت معاملاتها). يجب أن تكون بسط الجذور المتبقية مقسومة على هذا العدد، ويمكن استبعاد الكسور التي لا تستوفي هذا الشرط من القائمة. يتم استبعاد القيم الصحيحة المتبقية لأنها لا تستوفي الشرط F(1)ص – س أو F(–1)ص + س. على سبيل المثال، لمدة 3 لدينا ص = 3, س= 1، ولم يتم استيفاء الشرط F(1) = –21ص – س(نفس الشرط الثاني).

وبالمثل، العثور على الجذر X 2 = 3/2، حصلنا على كثيرة الحدود بحد حر جديد قدره 3 ومعامل رئيسي قدره 1 (عندما يكون الجذر كسريًا، يجب تقليل معاملات كثيرة الحدود الناتجة). لا يمكن لأي رقم متبقي من القائمة أن يكون جذرًا له بعد الآن، وقد تم استنفاد قائمة الجذور المنطقية.

يجب التحقق من الجذور التي تم العثور عليها للتأكد من تعددها.

إذا وصلنا في عملية الحل إلى كثير الحدود من الدرجة الثانية، ولم يتم استنفاد قائمة الكسور بعد، فيمكن العثور على الجذور المتبقية باستخدام الصيغ المعتادة كجذور ثلاثية الحدود المربعة.

التمرين 6.2. أوجد الجذور المنطقية لكثيرة الحدود

أ) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

ب) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

في 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

د) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

  • خوارزميات ضرب وقسمة الأعداد في نظام الأعداد العشرية
  • قيمة الخسائر المتوسطة والهامشية والعدد اللازم للعينات
  • تأكيد كتاب بيتر سكارجا "حول وحدة كنيسة الله" 1577(؟) ص. - أول بيان جدلي لأوستروزكي.
  • السؤال رقم 1. تبخر الرطوبة وتحلل الكربونات في الفرن العالي. الديناميكا الحرارية لتحلل الكربونات.
  • نكتب جميع القوى المفقودة (و (أو) الحدود الحرة) دون وجود فجوات في كلا متعددي الحدود بمعاملات صفر.

    • يسمى كثير الحدود فوق حلقة الأعداد الصحيحة بدائية، إذا كان القاسم المشترك الأكبر لمعاملاته هو 1. يتم تمثيل كثيرة الحدود ذات المعاملات النسبية بشكل فريد على أنها حاصل ضرب عدد نسبي موجب، يسمى محتوىمتعدد الحدود، ومتعدد الحدود البدائي. منتج كثيرات الحدود البدائية هو كثير الحدود البدائي. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت كثيرة الحدود ذات معاملات الأعداد الصحيحة قابلة للاختزال في مجال الأعداد الصحيحة، فهي قابلة للاختزال في حلقة الأعداد الصحيحة. وبالتالي، فإن مشكلة تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد النسبية يتم اختزالها إلى مشكلة مماثلة في حلقة الأعداد الصحيحة.

    اسمحوا أن يكون كثير الحدود مع معاملات عدد صحيح والمحتوى 1، واسمحوا أن يكون جذرها العقلاني. دعونا نتخيل جذر كثير الحدود ككسر غير قابل للاختزال. متعدد الحدود F(س) يتم تمثيلها كمنتج لمتعددات الحدود البدائية. لذلك،

    أ. البسط هو المقسوم عليه،

    ب. المقام – المقسوم عليه

    ج- لأي عدد صحيح كمعنى F(ك) - عدد صحيح يقبل القسمة بدون باقي على ( بك-أ).

    تسمح لنا الخصائص المدرجة بتقليل مشكلة العثور على الجذور العقلانية لكثيرة الحدود من خلال البحث المحدود. يتم استخدام نهج مماثل في توسيع متعدد الحدود Fللعوامل غير القابلة للاختزال في مجال الأعداد النسبية باستخدام طريقة كرونيكر. إذا كان متعدد الحدود F(س) درجات نيتم إعطاء أحد العوامل درجة لا تزيد عن ن/2. دعونا نشير إلى هذا العامل بواسطة ز(س). بما أن جميع معاملات كثيرات الحدود هي أعداد صحيحة، إذن لأي عدد صحيح أمعنى F(أ) يقبل القسمة بدون الباقي على ز(أ). دعنا نختار م= 1+ن/2 أعداد صحيحة مميزة أأنا، أنا=1,…,م. للأرقام ز(أط) هناك عدد محدود من الاحتمالات (عدد المقسومات على أي عدد غير الصفر محدود)، وبالتالي هناك عدد محدود من كثيرات الحدود التي يمكن أن تكون مقسومة F(س). بعد إجراء بحث كامل، سنظهر إما عدم قابلية الاختزال لكثيرة الحدود، أو توسيعها إلى حاصل ضرب كثيرتي الحدود. نحن نطبق المخطط المشار إليه على كل عامل حتى تصبح جميع العوامل متعددة الحدود غير قابلة للاختزال.

    يمكن إثبات عدم قابلية اختزال بعض كثيرات الحدود في مجال الأعداد العقلانية باستخدام معيار آيزنشتاين البسيط.

    يترك F(س) هي كثيرة الحدود على حلقة الأعداد الصحيحة. إذا كان هناك عدد أولي ص، ماذا



    I. جميع معاملات كثيرة الحدود F(س) ، بالإضافة إلى معامل أعلى درجة، وتنقسم إلى ص

    ثانيا. معامل الدرجة الأعلى لا يقبل القسمة على ص

    ثالثا. العضو الحر لا ينقسم الى

    ثم كثير الحدود F(س) غير قابل للاختزال في مجال الأعداد العقلانية.

    تجدر الإشارة إلى أن معيار آيزنشتاين يوفر شروطًا كافية لعدم قابلية كثيرات الحدود للاختزال، ولكنها ليست ضرورية. وبالتالي فإن كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد العقلانية، ولكنها لا تلبي معيار آيزنشتاين.

    كثير الحدود، وفقا لمعيار آيزنشتاين، غير قابل للاختزال. وبالتالي، يوجد في مجال الأعداد العقلانية كثير حدود غير قابل للاختزال في الدرجة ن، أين نأي عدد طبيعي أكبر من 1

    في مجال الأعداد الحقيقية، فإن أي كثيرة حدود غير قابلة للاختزال لمتغير واحد لها الدرجة 1 أو 2، وتكون كثيرة الحدود من الدرجة 2 غير قابلة للاختزال في الحقل R إذا وفقط إذا كان لها تمييز سلبي، على سبيل المثال، كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال على المجال R. مجال الأعداد الحقيقية لأن مميزها سالب.

    معيار آيزنشتاين هو اختبار لعدم قابلية الاختزال لكثيرة الحدود، سمي على اسم عالم الرياضيات الألماني فرديناند آيزنشتاين. وعلى الرغم من الاسم (التقليدي)، إلا أنه علامة على وجه التحديد، أي شرط كاف - ولكن ليس ضروريا على الإطلاق، كما يمكن الافتراض بناء على المعنى الرياضي لكلمة "معيار".

    نظرية (معيار آيزنشتاين). اسمحوا أن يكون كثير الحدود على الحلقة العاملية R ( ن>0)، وبالنسبة لبعض العناصر غير القابلة للاختزال صيتم استيفاء الشروط التالية:

    لا يقبل القسمة على ص,

    مقسمة على ص، لأي احد أنامن 0 قبل ن- 1,

    لا يقبل القسمة على.

    ثم كثير الحدود غير قابل للاختزال Fمجال الحلقة الخاصة ر.

    عاقبة.يوجد في أي مجال من الأعداد الجبرية كثيرة حدود غير قابلة للاختزال بأي درجة محددة مسبقًا؛ على سبيل المثال، كثير الحدود حيث ن> 1 و صЇ بعض الأعداد الأولية.

    دعونا نفكر في أمثلة لتطبيق هذا المعيار عندما يكون R عبارة عن حلقة من الأعداد الصحيحة ويكون F مجالًا من الأعداد النسبية.

    أمثلة:

    كثير الحدود غير قابل للاختزال على Q.

    تقسيم كثير حدود الدائرة غير قابل للاختزال. في الواقع، إذا كانت قابلة للاختزال، فإننا نختصر أيضًا كثيرة الحدود، وبما أن جميع معاملاتها، باستثناء الأول، ذات حدين، أي أنها قابلة للقسمة على ص، والمعامل الأخير آمين صعلاوة على ذلك، فهي غير قابلة للقسمة على معيار آيزنشتاين، خلافا للافتراض.

    توضح كثيرات الحدود الخمسة التالية بعض الخصائص الأولية لكثيرات الحدود غير القابلة للاختزال:

    على الحلقة Z من الأعداد الصحيحة، أول كثيرتي حدود قابلتان للاختزال، والأخيرتان غير قابلتين للاختزال. (الثالث ليس متعدد الحدود على الأعداد الصحيحة على الإطلاق).

    في مجال Q من الأعداد النسبية، تكون متعددات الحدود الثلاثة الأولى قابلة للاختزال، والاثنتين الأخرتين غير قابلة للاختزال.

    في مجال R للأعداد الحقيقية، تكون متعددات الحدود الأربعة الأولى قابلة للاختزال، ولكنها غير قابلة للاختزال. في مجال الأعداد الحقيقية، كثيرات الحدود الخطية ومتعددات الحدود التربيعية التي ليس لها جذور حقيقية غير قابلة للاختزال. على سبيل المثال، توسيع كثير الحدود في مجال الأعداد الحقيقية له الشكل. كلا العاملين في هذا التوسع هما كثيرات الحدود غير قابلة للاختزال.

    في مجال الأعداد المركبة C، جميع متعددات الحدود الخمسة قابلة للاختزال. في الواقع، كل كثيرة حدود غير ثابتة على C يمكن تحليلها بالشكل:

    أين ن- درجة كثير الحدود، أ- المعامل الرئيسي، - جذور كثير الحدود. ولذلك، فإن كثيرات الحدود الوحيدة غير القابلة للاختزال فوق C هي متعددات الحدود الخطية (النظرية الأساسية للجبر).

    كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال- كثيرة الحدود التي لا يمكن تحللها إلى كثيرات الحدود غير البديهية. كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال هي عناصر غير قابلة للاختزال في حلقة كثيرات الحدود.

    كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال على الحقل هي كثيرة الحدود المتغيرات في الحقل هي عنصر بسيط في الحلقة ، أي أنه لا يمكن تمثيلها كمنتج، حيث تكون كثيرة الحدود ذات معاملات من، بخلاف الثوابت.

    يقال أن كثيرة الحدود f على الحقل F غير قابلة للاختزال (بسيطة) إذا كانت ذات درجة موجبة ولا تحتوي على مقسومات غير بديهية (أي، أي مقسوم يرتبط بها أو بواحد)

    الجملة 1

    يترك ر- غير قابل للاختزال و أ- أي كثيرة الحدود للحلقة F[x]. ثم إما ريقسم أ، أو رو أ- بسيطة متبادلة.

    الجملة 2

    يترك F∈ F[x]، والدرجة f = 1، مما يعني أن f كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال.

    على سبيل المثال: 1. خذ كثيرة الحدود x+1 على الحقل Q. ودرجته هي 1، مما يعني أنه غير قابل للاختزال.

    2.x2 +1 - غير قابل للاختزال، لأنه ليس له جذور

    SLU. حل النظام. الأنظمة التعاونية وغير المتعاونة والمحددة وغير المحددة. الأنظمة المكافئة

    نظام المعادلات الخطية فوق الحقل F مع المتغيرات x1,...xn هو نظام من النموذج

    أ 11 X 1 + … + أ 1 نس ن= ب 1

    ………………………..

    أ م1س 1 + … + أ مليونس ن= ب م

    اين ا إيك، ب أنا∈ F، m هو عدد المعادلات، و n هو عدد المجهولين. باختصار يمكن كتابة هذا النظام على النحو التالي: ai1x1 + … + a فيس ن= ب أنا (أنا = 1،…م.)

    هذا SLE هو شرط مع المتغيرات الحرة n x 1،….ن.

    تنقسم شبكات SLN إلى غير متوافقة (ليس لديها حلول) ومتوافقة (محددة وغير محددة). يُطلق على النظام الثابت من النوع اسم محدد إذا كان له حل فريد؛ إذا كان لديه حلين مختلفين على الأقل، فإنه يسمى غير مؤكد.

    على سبيل المثال: فوق حقل Q

    س + ص = 2 - نظام غير متناسق

    س - ص = 0 - المفصل المحدد (س، ص = ½)

    2x + 2y = 2 - مشترك غير محدد

    نظامين لو تكون متكافئة إذا كانت مجموعات حلول هذه الأنظمة متطابقة، أي أن أي حل لنظام ما هو في نفس الوقت حل لنظام آخر. ويمكن الحصول على نظام يعادل هذا:



    1. استبدال إحدى المعادلات بهذه المعادلة مضروبة في أي رقم غير الصفر.

    2. استبدال إحدى المعادلات بمجموع هذه المعادلة بمعادلة أخرى للنظام.

    يتم حل SLE بواسطة الطريقة الغوسية.

    45* التحويلات الأولية لأنظمة المعادلات الخطية (slu). طريقة غاوس.

    مواطنه.التحولات الأولية لـ S.L.U n-xia هي التحولات التالية:

    1. ضرب أحد أنظمة معادلات النظام بعنصر غير صفري من عناصر المجال.

    2. إضافة إلى إحدى معادلات النظام معادلة أخرى مضروبة في عنصر الحقل.

    3. الإضافة إلى النظام أو الاستبعاد من نظام المعادلة غير الصفرية 0*x1+0*x2+…+0*xn=0

    4. عكس المعادلات

    اقتراحدع النظام (**) يتم الحصول عليه أو النظام (*) باستخدام عدد محدود. التحولات العنصرية. ثم النظام (**)~ النظام (*). (بدون وثيقة)

    نائبعند كتابة نظام من المعادلات الخطية، سنستخدم ترميز المصفوفة.

    أ11 أ12 … أ1ن ب1

    a21 a22 ... a2n b2

    ………………….... …

    Am1 am2 ... آمين вn

    أمثلة: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

    س1 – س2 – س3 ​​= 0 1 -1 -1 0

    3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

    2) 1 0 1 x1=1

    0 1 2 ×2=2

    3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

    0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

    طريقة غاوس

    اقتراحدع النظام (*) يكون

    (أ) إذا كانت جميع الحدود الحرة تساوي 0، فإن جميع الحلول vk=0 = F n

    (ب) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (لا توجد حلول)

    2. ليس كل aij = 0

    (أ) إذا كان للنظام معادلة بالصيغة 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0

    (ب) إذا لم تكن هناك مثل هذه المعادلات ب1. دعونا نستبعد المعادلات غير الصفرية. لنجد أصغر مؤشر i1، بحيث لا تكون جميع المعاملات عند xij=0.

    0……0……….…. العمود الثاني الذي يحتوي على أصفار هو i1.

    0……0…..*=0….. ….

    0……0 ...……… …

    1.بإعادة ترتيب المعادلات سنصل إلى أن a1i1 = 0

    0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(التكليف) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

    A2i1 ........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( صعدت

    0…. 0…а2i1…0…..0..0… …. مصفوفة)

    0 ...........0 ....ami1.. ... ……………… …. ……………………….

    0 ….0 ..ami1 …0……0…………0 ….

    وبعد عدد محدود من الخطوات نحصل إما على أن النظام يحتوي على معادلة على الشكل 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0أو

    0……0 1………….. L1 “السكتة الغاوسية الأمامية” 0....0 1...0..0 .....0.........0.... .. "السكتة الدماغية العكسية

    0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..غاوس"

    0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... ..

    .............................. .... ............................................ ..

    0........0 0 ............0..1 لك 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

    سوف نسمي المتغيرات xi1, ...... xik بالمتغيرات الرئيسية، والباقي مجاني.

    ك=ن => ج-أ محددة

    ك ج- غير محدد. يمكن إعطاء المتغيرات الحرة قيما مشتقة، كما يمكن حساب قيم المتغيرات الرئيسية.

    2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

    1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

    3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2