حكايات

صيغة لتحديد مجموع التقدم الحسابي. مجموع التقدم الحسابي. العلاقة بين المتوالية الحسابية والهندسية

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها كل رقم أكبر (أو أقل) من الرقم السابق بنفس المقدار.

غالبًا ما يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم. مؤشرات الحروف الفصل الدراسي التاسعالتقدم، اختلافات التقدم - كل هذا مربك إلى حد ما، نعم... دعونا نكتشف معنى التقدم الحسابي وكل شيء سوف يتحسن على الفور.)

مفهوم التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو مفهوم بسيط وواضح للغاية. هل لديك أي شكوك؟ عبثا.) انظر لنفسك.

سأكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 2, 3, 4, 5, ...

هل يمكنك تمديد هذه السلسلة؟ ما الأرقام التي ستأتي بعد الخمسة؟ الجميع... أه... باختصار، الجميع سوف يدرك أن الأرقام 6، 7، 8، 9، إلخ ستأتي بعد ذلك.

دعونا تعقيد المهمة. أقدم لك سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ستكون قادرًا على التقاط النمط وتوسيع السلسلة والاسم السابعرقم الصف؟

إذا أدركت أن هذا الرقم هو 20، فتهانينا! لم تشعر فقط النقاط الرئيسية للتقدم الحسابيولكن أيضًا استخدموها بنجاح في العمل! إذا لم تكن قد اكتشفت ذلك، واصل القراءة.

والآن دعونا نترجم النقاط الرئيسية من الأحاسيس إلى الرياضيات.)

النقطة الرئيسية الأولى.

التقدم الحسابي يتعامل مع سلسلة من الأرقام.هذا محير في البداية. لقد اعتدنا على حل المعادلات ورسم الرسوم البيانية وكل ذلك... ولكن هنا نمد المتسلسلة ونوجد رقم المتسلسلة...

لا بأس. إن الأمر مجرد أن التقدم هو أول التعرف على فرع جديد من الرياضيات. يُطلق على القسم اسم "السلسلة" ويعمل بشكل خاص مع سلسلة من الأرقام والتعبيرات. اعتد عليه.)

النقطة الرئيسية الثانية.

في المتوالية الحسابية، أي رقم يختلف عن الرقم السابق بنفس المبلغ.

في المثال الأول، هذا الفرق هو واحد. ومهما كان الرقم الذي تأخذه، فهو يزيد بمقدار واحد عن الرقم السابق. في الثانية - ثلاثة. أي رقم يزيد بثلاثة عن الرقم السابق. في الواقع، هذه اللحظة هي التي تمنحنا الفرصة لفهم النمط وحساب الأرقام اللاحقة.

النقطة الرئيسية الثالثة.

هذه اللحظة ليست ملفتة للنظر، نعم... لكنها مهمة جدًا جدًا. هنا هو: كل رقم التقدم في مكانه.هناك الرقم الأول، وهناك السابع، وهناك الخامس والأربعون، الخ. إذا قمت بخلطها بشكل عشوائي، فسوف يختفي النمط. سوف يختفي التقدم الحسابي أيضًا. ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام.

هذا هو بيت القصيد.

بالطبع في موضوع جديدتظهر مصطلحات وتسميات جديدة. تحتاج إلى معرفتهم. وإلا فلن تفهم المهمة. على سبيل المثال، سيكون عليك أن تقرر شيئًا مثل:

اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

ملهمة؟) الحروف وبعض الفهارس... وبالمناسبة، المهمة لا يمكن أن تكون أسهل. تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات والتسميات. الآن سوف نتقن هذا الأمر ونعود إلى المهمة.

المصطلحات والتسميات.

المتوالية العدديةهي سلسلة من الأرقام يختلف كل رقم فيها عن الرقم الذي يسبقه بنفس المبلغ.

تسمى هذه الكمية . دعونا ننظر إلى هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

فرق التقدم الحسابي.

فرق التقدم الحسابيهو المبلغ الذي أي رقم التقدم أكثرالسابق.

نقطة واحدة مهمة. يرجى الانتباه إلى الكلمة "أكثر".رياضياً، هذا يعني أن كل رقم تقدم هو بإضافةفرق التقدم الحسابي إلى الرقم السابق.

لحساب، دعنا نقول ثانيةأرقام السلسلة التي تحتاج إليها أولاًرقم يضيفهذا الاختلاف بالذات في التقدم الحسابي. للحساب الخامس- الاختلاف ضروري يضيفل الرابع،حسنًا ، إلخ.

فرق التقدم الحسابيربما إيجابي،عندها سيتبين أن كل رقم في السلسلة حقيقي أكثر من السابق.ويسمى هذا التقدم في ازدياد.على سبيل المثال:

8; 13; 18; 23; 28; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم بإضافةالرقم الموجب، +5 إلى الرقم السابق.

قد يكون الفرق سلبي،ثم سيكون كل رقم في السلسلة أقل من السابق.هذا التقدم يسمى (لن تصدقه!) متناقص.

على سبيل المثال:

8; 3; -2; -7; -12; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم أيضًا بإضافةإلى السابق، ولكن بالفعل عدد السلبي, -5.

بالمناسبة، عند العمل مع التقدم، من المفيد للغاية تحديد طبيعته على الفور - سواء كان يتزايد أو يتناقص. يساعد هذا كثيرًا في التنقل بين القرار واكتشاف أخطائك وتصحيحها قبل فوات الأوان.

فرق التقدم الحسابييشار إليها عادة بالحرف د.

كيف تجد د؟ بسيط جدا. من الضروري الطرح من أي رقم في السلسلة سابقرقم. طرح او خصم. بالمناسبة، نتيجة الطرح تسمى "الفرق".)

دعونا نحدد، على سبيل المثال، دلزيادة التقدم الحسابي:

2, 5, 8, 11, 14, ...

نأخذ أي عدد نريده في المتسلسلة، مثلا 11. ونطرح منه الرقم السابقأولئك. 8:

هذا هو الجواب الصحيح. في هذه المتوالية الحسابية، الفرق هو ثلاثة.

تستطيع أخذها أي رقم التقدم،لأن لتقدم معين د-دائما نفس الشيء.على الأقل في مكان ما في بداية الصف، على الأقل في المنتصف، على الأقل في أي مكان. لا يمكنك أخذ الرقم الأول فقط. ببساطة لأن الرقم الأول لا سابقة.)

بالمناسبة، مع العلم بذلك د = 3إن العثور على الرقم السابع من هذا التقدم أمر بسيط للغاية. أضف 3 إلى الرقم الخامس - نحصل على السادس، سيكون 17. أضف ثلاثة إلى الرقم السادس، نحصل على الرقم السابع - عشرين.

دعونا نحدد دللتقدم الحسابي التنازلي:

8; 3; -2; -7; -12; .....

أذكرك أنه بغض النظر عن العلامات، يجب تحديدها دمطلوب من اي رقم يسلب السابق.اختر أي رقم تقدم، على سبيل المثال -7. رقمه السابق هو -2. ثم:

د = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

يمكن أن يكون الفرق في التقدم الحسابي أي رقم: عدد صحيح، أو كسري، أو غير منطقي، أو أي رقم.

مصطلحات وتسميات أخرى.

كل رقم في السلسلة يسمى عضو في التقدم الحسابي.

كل عضو في التقدم لديه رقم خاص به.الأرقام مرتبة بدقة، دون أي حيل. الأول، الثاني، الثالث، الرابع، الخ. على سبيل المثال، في التسلسل 2، 5، 8، 11، 14، ... اثنان هو الحد الأول، وخمسة هو الحد الثاني، وأحد عشر هو الرابع، حسنًا، أنت تفهم...) يرجى الفهم بوضوح - الأرقام نفسهايمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق، كليًا، كسريًا، سلبيًا، أيًا كان، ولكن ترقيم الأرقام- بدقة في النظام!

كيفية كتابة التقدم في منظر عام؟ لا مشكلة! كل رقم في السلسلة مكتوب على شكل حرف. للدلالة على التقدم الحسابي، عادة ما يتم استخدام الرسالة أ. تتم الإشارة إلى رقم العضو بواسطة فهرس في أسفل اليمين. نكتب مصطلحات مفصولة بفواصل (أو فواصل منقوطة)، مثل هذا:

أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....

أ 1- وهذا هو الرقم الأول، أ 3- الثالث، الخ. لا شيء يتوهم. يمكن كتابة هذه السلسلة بإيجاز على النحو التالي: (ن).

التقدم يحدث محدود ولانهائي.

ذروةالتقدم له عدد محدود من الأعضاء. خمسة، ثمانية وثلاثون، أيا كان. لكنه عدد محدود.

لانهائيالتقدم - لديه عدد لا حصر له من الأعضاء، كما قد تتخيل.)

يمكنك كتابة التقدم النهائي من خلال سلسلة مثل هذه، جميع المصطلحات ونقطة في النهاية:

أ1، أ2، أ3، أ4، أ5.

أو هكذا إذا كان الأعضاء كثيرين:

أ1، أ2، ...14، أ15.

في الإدخال القصير، سيتعين عليك أيضًا الإشارة إلى عدد الأعضاء. على سبيل المثال (لعشرين عضواً) هكذا:

(أ ن)، ن = 20

يمكن التعرف على التقدم اللانهائي من خلال علامة الحذف الموجودة في نهاية الصف، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس.

الآن يمكنك حل المهام. المهام بسيطة، وهي مخصصة فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.

أمثلة على المهام على التقدم الحسابي.

دعونا نلقي نظرة على المهمة المذكورة أعلاه بالتفصيل:

1. اكتب الحدود الستة الأولى من المتوالية الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

نترجم المهمة إلى لغة مفهومة. يتم إعطاء تقدم حسابي لانهائي. والرقم الثاني من هذا التقدم معروف: أ 2 = 5.وفرق التقدم معروف: د = -2.5.علينا إيجاد الحدود الأول والثالث والرابع والخامس والسادس من هذا التقدم.

وللتوضيح سأكتب سلسلة حسب ظروف المشكلة. الحدود الستة الأولى، حيث الحد الثاني هو خمسة:

أ 1، 5، أ 3، أ 4، أ 5، أ 6، ....

أ 3 = 2 + د

استبدال في التعبير أ 2 = 5و د = -2.5. لا تنسى الطرح!

أ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

وتبين أن الحد الثالث أصغر من الثاني. كل شيء منطقي. إذا كان العدد أكبر من الرقم السابق سلبيالقيمة، مما يعني أن الرقم نفسه سيكون أقل من الرقم السابق. التقدم آخذ في التناقص. حسنًا، لنأخذ ذلك بعين الاعتبار.) نعد الحد الرابع من المتسلسلة:

أ 4 = أ 3 + د

أ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = أ 4 + د

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + د

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

إذن تم حساب الحدود من الثالث إلى السادس. والنتيجة هي السلسلة التالية:

أ 1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

يبقى العثور على الفصل الأول أ 1على القول الثاني المشهور. هذه خطوة في الاتجاه الآخر، إلى اليسار.) إذن، فرق التقدم الحسابي دلا ينبغي أن تضاف إلى 2، أ يبعد:

أ 1 = 2 - د

أ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

هذا كل شيء. إجابة الواجب:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

وبشكل عابر، أود أن أشير إلى أننا حللنا هذه المهمة متكررطريق. هذا كلمة مخيفةيعني ببساطة البحث عن عضو في التقدم حسب الرقم (المجاور) السابق.سننظر في طرق أخرى للعمل مع التقدم أدناه.

ويمكن استخلاص استنتاج مهم من هذه المهمة البسيطة.

يتذكر:

إذا عرفنا حدًا واحدًا على الأقل وفرق المتتابعة الحسابية، فيمكننا إيجاد أي حد من هذه المتتابعة.

هل تذكر؟ يتيح لك هذا الاستنتاج البسيط حل معظم مشكلات الدورة المدرسية حول هذا الموضوع. جميع المهام تدور حول ثلاثة معايير رئيسية: عضو التقدم الحسابي، فرق التقدم، عدد أعضاء التقدم.الجميع.

بالطبع، لم يتم إلغاء جميع الجبر السابق.) ترتبط المتباينات والمعادلات وأشياء أخرى بالتقدم. لكن وفقا للتقدم نفسه- كل شيء يدور حول ثلاث عوامل.

على سبيل المثال، دعونا نلقي نظرة على بعض المهام الشائعة حول هذا الموضوع.

2. اكتب المتوالية الحسابية المحدودة في صورة متسلسلة إذا كان n=5، وd = 0.4، وa 1 = 3.6.

كل شيء بسيط هنا. لقد تم بالفعل إعطاء كل شيء. عليك أن تتذكر كيفية حساب أعضاء التقدم الحسابي، وعدّهم، وكتابتهم. يُنصح بعدم تفويت الكلمات الموجودة في شروط المهمة: "نهائي" و " ن = 5". حتى لا تحسب حتى يصبح وجهك أزرقًا تمامًا.) لا يوجد سوى 5 (خمسة) أعضاء في هذا التقدم:

أ 2 = أ 1 + د = 3.6 + 0.4 = 4

أ 3 = أ 2 + د = 4 + 0.4 = 4.4

أ 4 = أ 3 + د = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = أ 4 + د = 4.8 + 0.4 = 5.2

يبقى أن أكتب الجواب:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

مهمة أخرى:

3. تحديد ما إذا كان الرقم 7 سيكون عضوا في المتوالية الحسابية (أ ن)، إذا أ 1 = 4.1؛ د = 1.2.

هممم... من يدري؟ كيفية تحديد شيء ما؟

كيف كيف... اكتب التقدم في شكل سلسلة وانظر ما إذا كان سيكون هناك سبعة أم لا! نحن نعد:

أ 2 = أ 1 + د = 4.1 + 1.2 = 5.3

أ 3 = أ 2 + د = 5.3 + 1.2 = 6.5

أ 4 = أ 3 + د = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

الآن أصبح من الواضح أننا في السابعة من عمرنا فقط تسللوا عبربين 6.5 و 7.7! سبعة لم يندرج في سلسلة أرقامنا، وبالتالي، سبعة لن يكون عضوًا في التقدم المحدد.

الجواب: لا.

وهنا مشكلة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:

4. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15؛ العاشر؛ 9؛ 6؛ ...

إليكم سلسلة مكتوبة بلا نهاية ولا بداية. لا أرقام الأعضاء، لا فرق د. لا بأس. لحل المشكلة، يكفي أن نفهم معنى التقدم الحسابي. دعونا ننظر ونرى ما هو ممكن لمعرفةمن هذه السلسلة؟ ما هي المعلمات الثلاثة الرئيسية؟

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد رقم واحد هنا.

ولكن هناك ثلاثة أرقام و- انتبه! - كلمة "ثابت"في حالة. وهذا يعني أن الأرقام مرتبة بدقة، دون ثغرات. هل هناك اثنان في هذا الصف؟ المجاورةأرقام معروفة؟ نعم لدي! هذه هي 9 و 6. لذلك، يمكننا حساب الفرق في التقدم الحسابي! اطرح من ستة سابقالرقم، أي تسع:

وما بقي مجرد تفاهات. ما هو الرقم الذي سيكون الرقم السابق لـ X؟ خمسة عشر. وهذا يعني أنه يمكن العثور على X بسهولة عن طريق الجمع البسيط. أضف فرق التقدم الحسابي إلى 15:

هذا كل شئ. إجابة: س = 12

نحن نحل المشاكل التالية بأنفسنا. ملاحظة: هذه المشاكل لا تعتمد على الصيغ. فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.) نحن فقط نكتب سلسلة من الأرقام والحروف وننظر إليها ونكتشفها.

5. أوجد الحد الموجب الأول للتقدم الحسابي إذا كان 5 = -3؛ د = 1.1.

6. من المعروف أن العدد 5.5 هو عضو في المتتابعة الحسابية (أ ن) حيث أن 1 = 1.6؛ د = 1.3. حدد رقم n لهذا العضو.

7. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 4؛ أ 5 = 15.1. العثور على 3 .

8. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15.6؛ العاشر؛ 3.4؛ ...

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف x.

9. بدأ القطار بالتحرك من المحطة، وزادت سرعته بشكل منتظم بمقدار 30 مترًا في الدقيقة. كم ستكون سرعة القطار في خمس دقائق؟ اكتب إجابتك بالكيلومتر/الساعة.

10. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 5؛ أ 6 = -5. العثور على 1.

الإجابات (في حالة من الفوضى): 7.7؛ 7.5؛ 9.5؛ 9؛ 0.3؛ 4.

كل شيء على ما يرام؟ مدهش! يمكنك إتقان التقدم الحسابي للمزيد مستوى عال، في الدروس التالية.

ألم ينجح كل شيء؟ لا مشكلة. في القسم الخاص 555، يتم حل كل هذه المشكلات قطعة قطعة.) وبالطبع، يتم وصف تقنية عملية بسيطة تسلط الضوء على الفور على حل هذه المهام بوضوح، بوضوح، في لمحة!

بالمناسبة، يوجد في لغز القطار مشكلتان غالبًا ما يتعثر الناس في حلهما. الأول يتعلق فقط بالتقدم، والثاني عام لأي مشاكل في الرياضيات، والفيزياء أيضًا. هذه هي ترجمة الأبعاد من واحد إلى آخر. ويبين كيف ينبغي حل هذه المشاكل.

في هذا الدرس نظرنا إلى المعنى الأولي للتقدم الحسابي ومعلماته الرئيسية. وهذا يكفي لحل جميع المشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع. يضيف دإلى الأرقام، اكتب سلسلة، سيتم حل كل شيء.

يعمل حل الإصبع بشكل جيد مع الأجزاء القصيرة جدًا من الصف، كما هو موضح في الأمثلة في هذا الدرس. إذا كانت السلسلة أطول، تصبح الحسابات أكثر تعقيدا. على سبيل المثال، إذا كان في المشكلة 9 في السؤال نستبدل "خمس دقائق"على "خمسة وثلاثون دقيقة"سوف تصبح المشكلة أسوأ بكثير.)

وهناك أيضًا مهام بسيطة في جوهرها ولكنها سخيفة من حيث الحسابات، على سبيل المثال:

يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.

إذن ماذا، هل سنضيف 1/6 عدة مرات؟! هل تستطيع أن تقتل نفسك!؟

يمكنك ذلك.) إذا كنت لا تعرف صيغة بسيطة يمكنك من خلالها حل مثل هذه المهام في دقيقة واحدة. هذه الصيغة ستكون في الدرس القادم ويتم حل هذه المشكلة هناك. في دقيقة.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

كانت المشاكل المتعلقة بالتقدم الحسابي موجودة بالفعل في العصور القديمة. لقد حضروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.

لذلك، في واحدة من البرديات مصر القديمة"، والتي لها محتوى رياضي - بردية ريند (القرن التاسع عشر قبل الميلاد) - تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة مكيال من الخبز على عشرة أشخاص، على أن يكون الفرق بين كل منهم ثمن المكيال".

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء هناك نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. وهكذا، صاغ هيبسكل الإسكندرية (القرن الثاني، الذي جمع العديد من المسائل المثيرة للاهتمام وأضاف الكتاب الرابع عشر إلى كتاب العناصر لإقليدس)، الفكرة التالية: "في المتوالية الحسابية، التي رقم زوجي"فمجموع حدود النصف الثاني أكبر من مجموع حدود النصف الأول في مربع نصف عدد الحدود."

يتم الإشارة إلى التسلسل بواسطة. تسمى أرقام التسلسل أعضائه وعادةً ما يتم تحديدها بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى الرقم التسلسلي لهذا العضو (a1، a2، a3 ... اقرأ: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3rd" وما إلى ذلك وهلم جرا ).

يمكن أن يكون التسلسل لا نهائيًا أو محدودًا.

ما هو التقدم الحسابي؟ ونعني به الذي تم الحصول عليه بإضافة الحد السابق (ن) بنفس الرقم د، وهو فرق التتابع.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، فإن هذا التقدم يعتبر متزايدا.

يسمى التقدم الحسابي محدودًا إذا تم أخذ حدوده القليلة الأولى في الاعتبار. مع وجود عدد كبير جدًا من الأعضاء، هذا هو الحال بالفعل تقدم لا نهاية له.

يتم تعريف أي تقدم حسابي بالصيغة التالية:

an =kn+b، بينما b وk عبارة عن بعض الأرقام.

العبارة المعاكسة صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء تسلسل بصيغة مماثلة، فهو بالضبط تقدم حسابي له الخصائص:

كل حد من المتتابعة هو الوسط الحسابي للحد السابق واللاحق.
العكس: إذا كان كل حد ابتداء من الثاني هو الوسط الحسابي للحد السابق والحد اللاحق، أي. فإذا تحقق الشرط، فإن هذه المتوالية تعتبر متوالية حسابية. هذه المساواة هي أيضا علامة على التقدم، ولهذا السبب يطلق عليها عادة خاصية مميزة للتقدم.
وبنفس الطريقة، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: فالمتتابعة تكون تقدمًا حسابيًا فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من حدود المتتابعة، بدءًا من الحد الثاني.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام من التقدم الحسابي بالصيغة an + am = ak + al، إذا كانت n + m = k + l (m، n، k هي أرقام متتالية).

في المتوالية الحسابية، يمكن العثور على أي حد ضروري (Nth) باستخدام الصيغة التالية:

على سبيل المثال: الحد الأول (أ1) في المتتابعة الحسابية معطى ويساوي ثلاثة، والفرق (د) يساوي أربعة. أنت بحاجة إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ45 = 1+4(45-1)=177

تسمح لك الصيغة an = ak + d(n - k) بتحديد الحد n للتقدم الحسابي من خلال أي من حدوده k، بشرط أن يكون معروفًا.

يتم حساب مجموع شروط التقدم الحسابي (بمعنى الحدود n الأولى للتقدم المحدود) على النحو التالي:

القص = (أ1+أن) ن/2.

إذا كان الحد الأول معروفًا أيضًا، فستكون هناك صيغة أخرى ملائمة للحساب:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على n من الحدود على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على ظروف المشكلات والبيانات الأولية.

المتسلسلة الطبيعية لأية أرقام، مثل 1،2،3،...،ن،...- أبسط مثالالمتوالية العددية.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.

آي في ياكوفليف | مواد الرياضيات | MathUs.ru

المتوالية العددية

التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك، قبل تعريف التقدم الحسابي (ثم الهندسي)، نحتاج إلى مناقشة المفهوم المهم للتسلسل الرقمي بإيجاز.

التبعية

تخيل جهازًا يتم عرض أرقام معينة على شاشته واحدًا تلو الآخر. لنفترض 2؛ 7؛ 13؛ 1؛ 6؛ 0; 3؛ : : : هذه المجموعة من الأرقام هي بالضبط مثال على التسلسل.

تعريف. التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تعيين رقم فريد لكل رقم (أي مرتبط برقم طبيعي واحد)1. يتم استدعاء الرقم n الفصل الدراسي التاسعتسلسلات.

لذلك، في المثال أعلاه، الرقم الأول هو 2، وهذا هو العضو الأول في التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة a1؛ الرقم خمسة لديه الرقم 6 هو الحد الخامس من التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a5. بشكل عام، يُشار إلى الحد n من التسلسل بـ (أو bn، cn، وما إلى ذلك).

الموقف المريح للغاية هو عندما يمكن تحديد الحد n من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة an = 2n 3 تحدد التسلسل: 1; 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ : : : الصيغة an = (1)n تحدد التسلسل: 1; 1؛ 1؛ 1؛ : : :

ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. وبالتالي، فإن المقطع ليس تسلسلًا؛ أنه يحتوي على أرقام "كثيرة جدًا" بحيث لا يمكن إعادة ترقيمها. مجموعة R للجميع أرقام حقيقيةهو أيضا ليس تسلسلا. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.

التقدم الحسابي: التعاريف الأساسية

الآن نحن على استعداد لتحديد التقدم الحسابي.

تعريف. التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل حد (بدءًا من الثاني) يساوي مجموع الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة (يسمى فرق التقدم الحسابي).

على سبيل المثال، التسلسل 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7؛ 2؛ 3؛ 8؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3؛ 3؛ 3؛ : : : هي متوالية حسابية بفارق يساوي صفر.

تعريف مكافئ: يسمى التسلسل an بالتقدم الحسابي إذا كان الفرق an+1 قيمة ثابتة (مستقلة عن n).

تسمى المتوالية الحسابية تزايدية إذا كان فرقها موجباً، وتناقصية إذا كان فرقها سالباً.

1 فيما يلي تعريف أكثر إيجازًا: التسلسل هو دالة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، سلسلة من الأعداد الحقيقية هي دالة f: N ! ر.

بشكل افتراضي، تعتبر التسلسلات لا نهائية، أي أنها تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام. لكن لا أحد يزعجنا أن نأخذ في الاعتبار التسلسلات المحدودة؛ في الواقع، يمكن تسمية أي مجموعة محدودة من الأرقام بتسلسل محدود. على سبيل المثال، تسلسل النهاية هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5 يتكون من خمسة أرقام.

صيغة الحد n من التقدم الحسابي

من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتحدد بالكامل برقمين: الحد الأول والفرق. لذلك يطرح السؤال: كيف يمكن، بمعرفة الحد الأول والفرق، العثور على حد تعسفي للتقدم الحسابي؟

ليس من الصعب الحصول على الصيغة المطلوبة للحد التاسع من التقدم الحسابي. دع

المتوالية الحسابية مع الفرق د. لدينا:
أن+1 = أن + د (ن = 1; 2;: : :):
ونكتب على وجه الخصوص:
a2 = a1 + د؛
a3 = a2 + د = (a1 + د) + د = a1 + 2d؛
a4 = a3 + د = (a1 + 2d) + د = a1 + 3d؛
والآن أصبح من الواضح أن صيغة a هي:
و = أ1 + (ن 1)د:

المشكلة 1. في التقدم الحسابي 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : أوجد صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.

حل. ووفقا للصيغة (1) لدينا:

أن = 2 + 3(ن 1) = 3ن 1:

أ100 = 3100 1 = 299:

خاصية وعلامة التقدم الحسابي

خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي

بمعنى آخر، كل عضو في المتوالية الحسابية (بدءًا من الثاني) هو الوسط الحسابي للأعضاء المجاورة له.

	دليل. لدينا:
	أ ن 1 + ن+1		(و د) + (و + د)

وهو ما كان مطلوبا.

وبشكل أعم، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة

أ ن = أ ن ك + أ ن+ك

لأي n > 2 وأي طبيعي k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

لقد اتضح أن الصيغة (2) لا تعد شرطًا ضروريًا فحسب، بل أيضًا شرطًا كافيًا لكي تكون المتتابعة تقدمًا حسابيًا.

علامة التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على جميع n > 2، فإن التسلسل an هو تقدم حسابي.

دليل. لنعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:

أ ن أ ن 1 = أ ن+1 أ ن:

من هذا يمكننا أن نرى أن الفرق an+1 an لا يعتمد على n، وهذا يعني بالضبط أن التسلسل an هو تقدم حسابي.

يمكن صياغة خاصية وعلامة التقدم الحسابي في شكل عبارة واحدة؛ للراحة، سنفعل ذلك لثلاثة أرقام (هذا هو الوضع الذي يحدث غالبًا في المشكلات).

توصيف التقدم الحسابي. ثلاثة أرقام أ، ب، ج تشكل تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2ب = أ + ج.

المشكلة 2. (جامعة ولاية ميشيغان، كلية الاقتصاد، 2007) تشكل ثلاثة أرقام 8x و3x2 و4 بالترتيب المشار إليه تقدمًا حسابيًا متناقصًا. ابحث عن x وأشر إلى اختلاف هذا التقدم.

حل. وبخاصية التقدم الحسابي لدينا:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; س = 5:

إذا كانت x = 1، فسنحصل على تقدم متناقص قدره 8، 2، 4 بفارق 6. إذا كانت x = 5، فسنحصل على تقدم متزايد قدره 40، 22، 4؛ هذه الحالة ليست مناسبة.

الجواب: س = 1، والفرق هو 6.

مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي

تقول الأسطورة أنه في أحد الأيام طلب المعلم من الأطفال العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلسوا بهدوء لقراءة الصحيفة. ومع ذلك، لم تمر حتى دقائق قليلة قبل أن يقول أحد الصبية أنه قد حل المشكلة. كان هذا كارل فريدريش غاوس البالغ من العمر 9 سنوات، والذي أصبح لاحقًا أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.

كانت فكرة ليتل غاوس على النحو التالي. يترك

س = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

لنكتب هذا المبلغ بترتيب عكسي:

س = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1؛

وأضف هاتين الصيغتين:

2س = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

كل حد بين قوسين يساوي 101، وبالتالي هناك 100 حد في المجمل

2س = 101100 = 10100؛

نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة المجموع

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) إذا قمنا باستبدال صيغة الحد النوني an = a1 + (n 1)d فيها:

		2أ1 + (ن 1)د

المشكلة 3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والقابلة للقسمة على 13.

حل. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام هي مضاعفات العدد 13 تشكل تقدمًا حسابيًا حيث يكون الحد الأول 104 والفرق هو 13؛ المصطلح n من هذا التقدم له الشكل:

أن = 104 + 13(ن 1) = 91 + 13ن:

دعنا نتعرف على عدد المصطلحات التي يحتوي عليها تقدمنا. للقيام بذلك، دعونا نحل عدم المساواة:

6999؛ 91 + 13 ن 6 999؛

ن 690813 = 691113; ن669:

إذن، هناك 69 عضوًا في تقدمنا. باستخدام الصيغة (4) نجد المبلغ المطلوب:

س = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2

يتعامل بعض الأشخاص مع كلمة "التقدم" بحذر، باعتبارها مصطلحًا معقدًا للغاية من الأقسام الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزال موجودا). وفهم الجوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "الحصول على الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل الأرقام الرياضية

عادة ما يسمى التسلسل الرقمي بسلسلة من الأرقام، كل منها له رقم خاص به.

1 هو العضو الأول في التسلسل؛

و2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛

و7 هو العضو السابع في التسلسل؛

و n هو العضو n في التسلسل؛

ومع ذلك، ليست أي مجموعة عشوائية من الأرقام والأرقام تهمنا. وسوف نركز اهتمامنا على المتتابعة العددية التي ترتبط فيها قيمة الحد النوني بعدده الترتيبي بعلاقة يمكن صياغتها رياضيا بشكل واضح. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي إحدى وظائف n.

a هي قيمة عضو في التسلسل العددي؛

n هو رقمه التسلسلي؛

f(n) هي دالة، حيث الرقم الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادةً ما يُطلق على التقدم الحسابي اسم التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد لاحق أكبر (أقل) من الحد السابق بنفس الرقم. صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي في التقدم الحسابي؛

ن+1 - صيغة الرقم التالي؛

د - الفرق (عدد معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d>0)، فإن كل عضو لاحق في السلسلة قيد النظر سيكون أكبر من العضو السابق، وسوف يتزايد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه، من السهل معرفة السبب تسلسل رقمييسمى "زيادة".

وفي الحالات التي يكون فيها الفرق سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحددة

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة أي حد تعسفي n للتقدم الحسابي. ويمكن القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء المتوالية الحسابية بشكل تسلسلي، بدءاً من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك، فإن هذا المسار ليس مقبولًا دائمًا، إذا كان من الضروري، على سبيل المثال، العثور على قيمة الحد خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سوف تستغرق الحسابات التقليدية الكثير من الوقت. ومع ذلك، يمكن دراسة تقدم حسابي محدد باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للحد النوني: يمكن تحديد قيمة أي حد من المتوالية الحسابية على أنها مجموع الحد الأول من المتتابعة مع فرق المتتابعة مضروبًا في عدد الحد المطلوب مختزلًا بمقدار واحد.

الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.

مثال لحساب قيمة مصطلح معين

دعونا نحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة الحد النوني للتقدم الحسابي.

الحالة: يوجد تقدم حسابي مع المعلمات:

الحد الأول من التسلسل هو 3؛

الفرق في سلسلة الأرقام هو 1.2.

المهمة: تحتاج إلى إيجاد قيمة 214 مصطلحًا

الحل: لتحديد قيمة حد معين، نستخدم الصيغة:

أ(ن) = أ1 + د(ن-1)

باستبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير، لدينا:

أ(214) = أ1 + د(ن-1)

أ(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الإجابة: الحد 214 من المتتابعة يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - الحل بأكمله لا يستغرق أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من المصطلحات

في كثير من الأحيان، في سلسلة حسابية معينة، من الضروري تحديد مجموع قيم بعض قطاعاتها. للقيام بذلك، ليست هناك حاجة أيضًا لحساب قيم كل مصطلح ثم جمعها. تنطبق هذه الطريقة إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. وفي حالات أخرى، يكون من الملائم أكثر استخدام الصيغة التالية.

مجموع حدود المتتابعة الحسابية من 1 إلى n يساوي مجموع الحدين الأول والنوني مضروبًا في عدد الحد n مقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة الحد n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة، نحصل على:

مثال للحساب

على سبيل المثال، دعونا نحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من المتتابعة هو صفر؛

الفرق هو 0.5.

تتطلب المشكلة تحديد مجموع حدود المتسلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مقدار التقدم:

ق(ن) = (2∙أ1 + د∙(ن-1))∙ن/2

أولاً، نحدد مجموع قيم 101 حدًا للتقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

من الواضح أنه من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

وبالتالي فإن مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال، نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - عداد التاكسي (عداد سيارة الأجرة). دعونا نفكر في هذا المثال.

تبلغ تكلفة ركوب سيارة الأجرة (التي تشمل مسافة 3 كيلومترات) 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعونا نتخلص من أول 3 كيلومترات، والتي يتم تضمين سعرها في تكلفة الهبوط.

30 - 3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو - عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منها الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هو المبلغ.

الحد الأول في هذه المسألة سيكون مساوياً لـ 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

الرقم الذي يهمنا هو قيمة الحد (27+1) من المتتابعة الحسابية - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر السابع والعشرين هي 27.999... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل عشوائي على صيغ تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام سلاسل الأرقام المختلفة بنجاح في الإحصاء والمجالات التطبيقية الأخرى في الرياضيات.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدلات تغيير أكبر مقارنة بالتقدم الحسابي. وليس من قبيل الصدفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة، على سبيل المثال، مرض أثناء الوباء، يقولون إن العملية تتطور في المتوالية الهندسية.

يختلف الحد N من سلسلة الأرقام الهندسية عن الحد السابق من حيث أنه مضروب في بعض الأرقام الثابتة - المقام، على سبيل المثال، الحد الأول هو 1، والمقام يساوي 2، ثم:

ن=1: 1 ∙ 2 = 2

ن=2: 2 ∙ 2 = 4

ن=3: 4 ∙ 2 = 8

ن=4: 8 ∙ 2 = 16

ن=5: 16 ∙ 2 = 32،

ب ن - قيمة الحد الحالي للتقدم الهندسي؛

ب ن+1 - صيغة الحد التالي من التقدم الهندسي؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم، فإن التقدم الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما هو الحال في الحساب، فإن التقدم الهندسي له صيغة لقيمة حد عشوائي. أي حد نوني من التقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب الحد الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخصومًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي حيث الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. دعونا نجد الحد الخامس للتقدم

ب 5 = ب 1 ∙ ف (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من المصطلحات باستخدام صيغة خاصة. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يساوي الفرق بين منتج الحد n للتقدم ومقامه والحد الأول للتقدم، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد: