كيف تتعلم حل التقدم الحسابي. الجبر: التدرجات الحسابية والهندسية. مجموع التقدم الحسابي

على سبيل المثال ، التسلسل \ (2 \) ؛ \ (5 \) ؛ \(ثمانية\)؛ \(أحد عشر\)؛ \ (14 \) ... هو تقدم حسابي ، لأن كل عنصر تالٍ يختلف عن العنصر السابق بمقدار ثلاثة (يمكن الحصول عليه من العنصر السابق بإضافة ثلاثة):

في هذا التقدم ، يكون الفرق \ (د \) موجبًا (يساوي \ (3 \)) ، وبالتالي فإن كل مصطلح تالٍ أكبر من السابق. تسمى هذه التعاقب في ازدياد.

ومع ذلك ، يمكن أيضًا أن يكون \ (d \) رقمًا سالبًا. فمثلا، في التدرج الحسابي \ (16 \) ؛ \(عشرة\)؛ \ (أربعة \) ؛ \ (- 2 \) ؛ \ (- 8 \) ... فارق التقدم \ (د \) يساوي سالب ستة.

وفي هذه الحالة ، سيكون كل عنصر تالٍ أقل من العنصر السابق. تسمى هذه التعاقب تناقص.

تدوين التقدم الحسابي

يُشار إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.

الأرقام التي تشكل التقدم تسمى ذلك أفراد(أو عناصر).

يتم الإشارة إليها بنفس الحرف مثل التقدم الحسابي ، ولكن مع فهرس عددي يساوي رقم العنصر بالترتيب.

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي \ (a_n = \ left \ (2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ 11 ؛ 14 ... \ right \) \) يتكون من العناصر \ (a_1 = 2 \) ؛ \ (a_2 = 5 \) ؛ \ (a_3 = 8 \) وهكذا.

بمعنى آخر ، للتقدم \ (a_n = \ left \ (2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ 11 ؛ 14 ... \ right \) \)

حل المشاكل في التقدم الحسابي

من حيث المبدأ ، المعلومات الواردة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقريبًا في التقدم الحسابي (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).

مثال (OGE). يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الشروط \ (b_1 = 7 ؛ د = 4 \). ابحث عن \ (b_5 \).
المحلول:

إجابه: \ (ب_5 = 23 \)

مثال (OGE). يتم إعطاء المصطلحات الثلاثة الأولى للتقدم الحسابي: \ (62 ؛ 49 ؛ 36 ... \) أوجد قيمة المصطلح السلبي الأول لهذا التقدم ..
المحلول:

	لدينا العناصر الأولى من التسلسل ونعلم أنه تقدم حسابي. أي أن كل عنصر يختلف عن العنصر المجاور بنفس الرقم. اكتشف أيهما بطرح العنصر السابق من العنصر التالي: \ (د = 49-62 = -13 \).
	الآن يمكننا استعادة تقدمنا ​​إلى العنصر المطلوب (السلبي الأول).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابه: \(-3\)

مثال (OGE). يتم إعطاء العديد من العناصر المتتالية للتقدم الحسابي: \ (... 5 ؛ x ؛ 10 ؛ 12.5 ... \) أوجد قيمة العنصر المشار إليه بالحرف \ (x \).
المحلول:

	للعثور على \ (س \) ، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق ، بمعنى آخر ، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \ (د = 12.5-10 = 2.5 \).
	والآن نجد ما نبحث عنه دون أي مشاكل: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابه: \(7,5\).

مثال (OGE). يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشروط التالية: \ (a_1 = -11 \)؛ \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) أوجد مجموع المصطلحات الستة الأولى لهذا التقدم.
المحلول:

	علينا إيجاد مجموع أول ستة حدود من التقدم. لكننا لا نعرف معانيها ، فنحن لدينا العنصر الأول فقط. لذلك ، نحسب القيم أولاً بدورنا ، باستخدام المعطى لنا: \ (ن = 1 \) ؛ \ (أ_ (1 + 1) = أ_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (ن = 2 \) ؛ \ (أ_ (2 + 1) = أ_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (ن = 3 \) ؛ \ (أ_ (3 + 1) = أ_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) وبعد حساب العناصر الستة التي نحتاجها ، نجد مجموعها.
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	تم العثور على المبلغ المطلوب.

إجابه: \ (S_6 = 9 \).

مثال (OGE). في التدرج الحسابي \ (أ_ (12) = 23 \) ؛ \ (أ_ (16) = 51 \). ابحث عن الاختلاف في هذا التقدم.
المحلول:

إجابه: \ (د = 7 \).

صيغ التقدم الحسابي الهامة

كما ترى ، يمكن حل العديد من مشاكل التقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - أن التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام ، ويتم الحصول على كل عنصر تالي في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الفرق من التقدم).

ومع ذلك ، في بعض الأحيان هناك حالات يكون فيها حل مشكلة "الجبين" غير مريح للغاية. على سبيل المثال ، تخيل أنه في المثال الأول ، لا نحتاج إلى إيجاد العنصر الخامس \ (b_5 \) ، بل العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \ (b_ (386) \). ما هو ، نحن \ (385 \) مرة لجمع أربعة؟ أو تخيل أنه في المثال قبل الأخير ، تحتاج إلى إيجاد مجموع أول ثلاثة وسبعين عنصرًا. العد محير ...

لذلك ، في مثل هذه الحالات ، لا يتم حلها "على الجبهة" ، ولكنها تستخدم صيغًا خاصة مشتقة للتقدم الحسابي. والأهم منها صيغة الحد التاسع من التقدم وصيغة مجموع \ (n \) المصطلحات الأولى.

صيغة للعضو \ (n \): \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) ، حيث \ (a_1 \) هو العضو الأول في التقدم ؛
\ (n \) - رقم العنصر المطلوب ؛
\ (a_n \) عضو في التقدم بالرقم \ (n \).

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على ما لا يقل عن ثلاثمائة ، حتى العنصر المليون ، مع العلم فقط بالاختلاف الأول وفرق التقدم.

مثال. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشروط: \ (b_1 = -159 \) ؛ \ (د = 8،2 \). ابحث عن \ (b_ (246) \).
المحلول:

إجابه: \ (ب_ (246) = 1850 \).

صيغة مجموع المصطلحات n الأولى هي: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \) ، حيث

\ (a_n \) هو آخر مصطلح تم تجميعه ؛

مثال (OGE). يتم الحصول على التقدم الحسابي من خلال الشروط \ (a_n = 3.4n-0.6 \). أوجد مجموع \ (25 \) شروط هذا التقدم.
المحلول:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		لحساب مجموع أول 25 عنصرًا ، علينا معرفة قيمة الحد الأول والخامس والعشرين. يتم إعطاء تقدمنا ​​من خلال صيغة المصطلح التاسع اعتمادًا على رقمه (انظر التفاصيل). لنحسب العنصر الأول باستبدال \ (n \) بآخر.
\ (n = 1 ؛ \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		لنجد الآن الحد الخامس والعشرين بالتعويض عن 25 بدلاً من \ (n \).
\ (ن = 25 ؛ \) \ (أ_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		حسنًا ، الآن نحسب المبلغ المطلوب دون أي مشاكل.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فارك (2،8 + 84،4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		الجواب جاهز.

إجابه: \ (S_ (25) = 1090 \).

للحصول على مجموع \ (n \) المصطلحات الأولى ، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) بدلاً من \ (a_n \) استبدل الصيغة الخاصة به \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). نحن نحصل:

صيغة مجموع المصطلحات n الأولى هي: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) ، حيث

\ (S_n \) - المبلغ المطلوب \ (n \) للعناصر الأولى ؛
\ (a_1 \) هو أول مصطلح يتم جمعه ؛
\ (د \) - فرق التقدم ؛
\ (n \) - عدد العناصر في المجموع.

مثال. أوجد مجموع أول \ (33 \) - على سبيل المثال شروط التقدم الحسابي: \ (17 \) ؛ \ (15،5 \) ؛ \(أربعة عشرة\)…
المحلول:

إجابه: \ (S_ (33) = - 231 \).

مشاكل تقدم حسابية أكثر تعقيدًا

الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا. لننهي الموضوع من خلال التفكير في المشكلات التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب ، بل أيضًا التفكير قليلاً (في الرياضيات ، قد يكون هذا مفيدًا ☺)

مثال (OGE). أوجد مجموع كل الشروط السلبية للتقدم: \ (- 19.3 \) ؛ \ (- 19 \) ؛ \ (- 18.7 \) ...
المحلول:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) د) (2) \) \ (\ cdot n \)		المهمة مشابهة جدا للمهمة السابقة. نبدأ في الحل بنفس الطريقة: أولاً نجد \ (د \).
\ (د = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \)		سنقوم الآن باستبدال \ (d \) في صيغة المجموع ... وهنا يظهر فارق بسيط - لا نعرف \ (n \). بمعنى آخر ، لا نعرف عدد المصطلحات التي يجب إضافتها. كيف تعرف؟ لنفكر. سنتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك تحتاج إلى معرفة رقم هذا العنصر. كيف؟ دعنا نكتب معادلة حساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) لحالتنا.
\ (a_n = a_1 + (n-1) د \)
\ (أ_n = -19.3 + (ن -1) 0.3 \)		نحتاج أن يكون \ (a_n \) أكبر من الصفر. دعنا نكتشف ما سيحدث \ (n \) هذا.
\ (- 19.3+ (ن -1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \)		نقسم طرفي المتباينة على \ (0،3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19،3) (0،3) \)		ننقل ناقص واحد ، ولا ننسى تغيير العلامات
\ (n> \) \ (\ frac (19،3) (0،3) \) \ (+ 1 \)		الحوسبة ...
\ (n> 65333… \)		... واتضح أن أول عنصر موجب سيكون له الرقم \ (66 \). وفقًا لذلك ، فإن آخر سلبية لها \ (n = 65 \). فقط في حالة ، دعنا نتحقق من ذلك.
\ (n = 65 ؛ \) \ (أ_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66 ؛ \) \ (أ_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		وبالتالي ، نحتاج إلى إضافة عناصر \ (65 \) الأولى.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19،3) + (65-1) 0،3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		الجواب جاهز.

إجابه: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

مثال (OGE). يُعطى التقدم الحسابي بالشروط: \ (a_1 = -33 \)؛ \ (أ_ (ن + 1) = أ_n + 4 \). أوجد المجموع من \ (26 \) th إلى \ (42 \) ضمناً.
المحلول:

\ (a_1 = -33 ؛ \) \ (أ_ (ن + 1) = أ_n + 4 \)	في هذه المشكلة ، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر ، ولكن ليس من الأول ، ولكن من \ (26 \) th. ليس لدينا صيغة لهذا. كيف تقرر؟ سهل - للحصول على المجموع من \ (26 \) إلى \ (42 \) ، يجب عليك أولاً إيجاد المجموع من \ (1 \) إلى \ (42 \) ، ثم طرح المجموع منه أول من \ (25 \) عشر (انظر الصورة).
	لتقدمنا ​​\ (a_1 = -33 \) ، والفرق \ (د = 4 \) (بعد كل شيء ، نضيف أربعة إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة هذا ، نجد مجموع أول \ (42 \) - أه عناصر.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ فارك (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	الآن مجموع العناصر \ (25 \) - الأولى.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فارك (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	وأخيرًا ، نحسب الإجابة.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

إجابه: \ (ق = 1683 \).

للتقدم الحسابي ، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب قلة فائدتها العملية. ومع ذلك ، يمكنك العثور عليها بسهولة.

مفهوم التسلسل العددي يعني أن كل رقم طبيعي يتوافق مع بعض القيمة الحقيقية. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام عشوائية ولها خصائص معينة - تسلسل. في الحالة الأخيرة ، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق من التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها أعضائها المتجاورين عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة ، بدءًا من الثانية ، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين العضو السابق واللاحق - ثابت ويسمى اختلاف التقدم.

فرق التقدم: التعريف

ضع في اعتبارك تسلسل يتكون من قيم j A = a (1) ، a (2) ، a (3) ، a (4) ... a (j) ، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. وفقًا لتعريفه ، هو تسلسل ، حيث أ (3) - أ (2) = أ (4) - أ (3) = أ (5) - أ (4) = ... = أ (ي) - أ (ي -1) = د. قيمة d هي الفرق المطلوب من هذا التقدم.

د = أ (ي) - أ (ي -1).

تخصيص:

• تقدم متزايد ، وفي هذه الحالة d> 0. مثال: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20 ، ...
• تناقص التقدم ، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

اختلاف التقدم وعناصره التعسفية

إذا تم معرفة عضوين تعسفيين من التقدم (i-th ، k-th) ، فيمكن تحديد الفرق في هذا التسلسل بناءً على العلاقة:

أ (ط) = أ (ك) + (أنا - ك) * د ، لذلك د = (أ (أنا) - أ (ك)) / (أنا - ك).

فارق التدرج وفترته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد القيمة غير المعروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعها

مجموع التقدم هو مجموع أعضائها. لحساب القيمة الإجمالية لعناصرها الأولى j ، استخدم الصيغة المقابلة:

S (j) = ((a (1) + a (j)) / 2) * j ، لكن منذ ذلك الحين أ (ي) = أ (1) + د (ي - 1) ، ثم S (ي) = ((أ (1) + أ (1) + د (ي - 1)) / 2) * ي = (( 2 أ (1) + د (- 1)) / 2) * ي.

للرياضيات جمالها الخاص ، مثلها مثل الرسم والشعر.

قال العالم الروسي والميكانيكي N.E. جوكوفسكي

المهام الشائعة جدًا في اختبارات القبول في الرياضيات هي المهام المتعلقة بمفهوم التقدم الحسابي. لحل مثل هذه المشكلات بنجاح ، من الضروري معرفة خصائص التقدم الحسابي جيدًا ولديك مهارات معينة في تطبيقها.

دعونا أولاً نتذكر الخصائص الرئيسية للتقدم الحسابي ونقدم أهم الصيغ, المرتبطة بهذا المفهوم.

تعريف. تسلسل رقمي, حيث يختلف كل مصطلح لاحق عن السابق بنفس الرقم, يسمى التقدم الحسابي. في نفس الوقت ، الرقميسمى فارق التقدم.

للتقدم الحسابي ، الصيغ صالحة

, (1)

أين . الصيغة (1) تسمى صيغة المصطلح الشائع للتقدم الحسابي ، والصيغة (2) هي الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي: يتطابق كل عضو في التقدم مع الوسط الحسابي للأعضاء المجاورين له و.

لاحظ أنه بسبب هذه الخاصية تحديدًا ، يُطلق على التقدم قيد الدراسة "الحساب".

تم تلخيص الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:

(3)

لحساب المجموعأول أعضاء التقدم الحسابيعادة ما تستخدم الصيغة

(5) أين و.

إذا أخذنا في الاعتبار الصيغة (1), ثم الصيغة (5) تعني

إذا عيّننا

أين . منذ ذلك الحين ، فإن الصيغتين (7) و (8) هي تعميم للصيغ المقابلة (5) و (6).

خاصه ، من الصيغة (5) يتبعها، ماذا او ما

من بين الأشياء التي لا يعرفها معظم الطلاب خاصية التقدم الحسابي ، الذي تمت صياغته عن طريق النظرية التالية.

نظرية.اذا ثم

دليل - إثبات.اذا ثم

لقد تم إثبات النظرية.

فمثلا ، باستخدام النظرية، يمكن إثبات ذلك

دعنا ننتقل إلى دراسة الأمثلة النموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "التقدم الحسابي".

مثال 1اسمحوا و. تجد .

المحلول.بتطبيق الصيغة (6) نحصل عليها. منذ و ، ثم أو.

مثال 2اترك ثلاث مرات أكثر ، وعند القسمة على حاصل القسمة ، يتضح 2 والباقي 8. حدد و.

المحلول.يتبع نظام المعادلات حالة المثال

منذ ذلك الحين ، ثم من نظام المعادلات (10) نحصل عليها

حل نظام المعادلات هذا هو و.

مثال 3ابحث عما إذا كان و.

المحلول.وفقًا للصيغة (5) ، لدينا أو. ومع ذلك ، باستخدام الخاصية (9) ، نحصل عليها.

منذ ذلك الحين ، ثم من المساواة تتبع المعادلةأو .

مثال 4ابحث عما إذا كان.

المحلول.بالصيغة (5) لدينا

ومع ذلك ، باستخدام النظرية ، يمكن للمرء أن يكتب

من هنا ومن الصيغة (11) نحصل عليها.

مثال 5. معطى: . تجد .

المحلول.منذ ذلك الحين . ومع ذلك ، لذلك.

مثال 6اسمحوا و. تجد .

المحلول.باستخدام الصيغة (9) نحصل عليها. لذلك ، إذا ، إذن ، أو.

منذ و ثم هنا لدينا نظام المعادلات

حل أي ، نحصل على و.

الجذر الطبيعي للمعادلةهو .

مثال 7ابحث عما إذا كان و.

المحلول.بما أنه وفقًا للصيغة (3) لدينا ذلك ، فإن نظام المعادلات يتبع حالة المشكلة

إذا استبدلنا التعبيرفي المعادلة الثانية للنظام، ثم نحصل على أو.

جذور المعادلة التربيعيةو .

دعونا ننظر في حالتين.

1. دعونا إذن. منذ ذلك الحين وبعد ذلك.

في هذه الحالة ، وفقًا للصيغة (6) ، لدينا

2. إذا ، إذن ، و

الجواب: و.

المثال 8ومن المعروف أن و تجد .

المحلول.مع الأخذ بعين الاعتبار الصيغة (5) وشرط المثال ، نكتب و.

هذا يعني نظام المعادلات

إذا ضربنا المعادلة الأولى للنظام في 2 ، ثم أضفناها إلى المعادلة الثانية ، نحصل على

وفقًا للصيغة (9) ، لدينا. في هذا الصدد ، من (12) يتبعأو .

منذ ذلك الحين وبعد ذلك.

إجابه: .

المثال 9ابحث عما إذا كان و.

المحلول.منذ ذلك الحين ، وبحسب الشرط ، إذن أو.

من الصيغة (5) معروف، ماذا او ما . منذ ذلك الحين .

بالتالي ، هنا لدينا نظام المعادلات الخطية

من هنا نحصل على و. مع الأخذ بعين الاعتبار الصيغة (8) نكتب.

المثال 10حل المعادلة.

المحلول.ويترتب على ذلك من المعادلة المعطاة. لنفترض أن ، و. في هذه الحالة .

وفقًا للصيغة (1) ، يمكننا كتابة أو.

بما أن المعادلة (13) لها جذر فريد مناسب.

المثال 11.ابحث عن القيمة القصوى بشرط أن و.

المحلول.منذ ذلك الحين ، فإن التقدم الحسابي المدروس آخذ في التناقص. في هذا الصدد ، يأخذ التعبير قيمة قصوى عندما يكون رقم الحد الأدنى للعضو الإيجابي للتقدم.

نستخدم الصيغة (1) والحقيقةوالتي و. ثم نحصل على ذلك أو.

لأنه إذن أو . ومع ذلك ، في هذا التفاوتأكبر عدد طبيعي، لهذا .

إذا تم استبدال القيم في الصيغة (6) ، فإننا نحصل عليها.

إجابه: .

المثال 12.أوجد مجموع الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين والتي ، عند القسمة على 6 ، يكون الباقي 5.

المحلول.دلالة بمجموعة جميع الأعداد الطبيعية ذات القيمتين ، أي . بعد ذلك ، نقوم ببناء مجموعة فرعية تتكون من تلك العناصر (الأرقام) من المجموعة التي عند تقسيمها على الرقم 6 ، تعطي الباقي 5.

سهل التنصيب، ماذا او ما . بوضوح ، أن عناصر المجموعةتشكل تقدمًا حسابيًاوفيه و.

لتحديد العلاقة الأساسية (عدد العناصر) للمجموعة ، نفترض ذلك. منذ و ، إذن الصيغة (1) تعني أو. مع الأخذ بعين الاعتبار الصيغة (5) نحصل عليها.

لا يمكن بأي حال من الأحوال أن تدعي الأمثلة المذكورة أعلاه لحل المشكلات أنها شاملة. تمت كتابة هذه المقالة على أساس تحليل الأساليب الحديثة لحل المشكلات النموذجية حول موضوع معين. للحصول على دراسة أعمق لطرق حل المشكلات المتعلقة بالتقدم الحسابي ، يُنصح بالرجوع إلى قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: العالم والتعليم، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: أقسام إضافية من المناهج الدراسية. - م: ليناند / URSS، 2014. - 216 ص.

3. Medynsky M.M. دورة كاملة من الرياضيات الابتدائية في المهام والتمارين. الكتاب 2: التسلسل الرقمي والتعاقب. - م: إيدتوس، 2015. - 208 ص.

هل لديك اسئلة؟

للحصول على مساعدة مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. لكن هناك كل أنواع المهام في هذا الموضوع. من الابتدائي إلى صلب جدا.

أولاً ، دعنا نتعامل مع معنى وصيغة المجموع. وبعد ذلك سنقرر. من أجل سعادتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل الخفض. للعثور على مجموع التقدم الحسابي ، ما عليك سوى إضافة جميع أعضائه بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة ، يمكنك إضافتها بدون أي معادلات. ولكن إذا كان هناك الكثير أو الكثير ... الإضافة مزعجة.) في هذه الحالة ، يتم حفظ الصيغة.

صيغة المجموع بسيطة:

دعنا نتعرف على نوع الأحرف المضمنة في الصيغة. هذا سوف يوضح الكثير.

S n هو مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الجمع الكلأعضاء مع أولعلى الاخير.انه مهم. أضف ما يصل بالضبط الكلأعضاء على التوالي ، دون ثغرات ويقفز. وبالضبط ، بدءًا من أول.في مسائل مثل إيجاد مجموع المصطلحين الثالث والثامن ، أو مجموع المصطلحات من خمسة إلى عشرين ، سيكون التطبيق المباشر للصيغة محبطًا.)

أ 1 - الأولعضو في التقدم. كل شيء واضح هنا ، إنه بسيط أولرقم الصف.

أ- الاخيرعضو في التقدم. الرقم الأخير من الصف. ليس اسمًا مألوفًا جدًا ، ولكن عند تطبيقه على المبلغ ، يكون مناسبًا جدًا. ثم سترى بنفسك.

ن هو رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم في الصيغة يتزامن مع عدد الأعضاء المضافة.

دعنا نحدد المفهوم الاخيرعضو أ. ملء السؤال: أي نوع من الأعضاء سوف الاخير،إذا أعطيت بلا نهايةالمتوالية العددية؟

للحصول على إجابة موثوقة ، تحتاج إلى فهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و ... قراءة المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي ، يظهر المصطلح الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر) ، والتي يجب أن تكون محدودة.خلاف ذلك ، كمية محددة ومحددة فقط غير موجود.بالنسبة للحل ، لا يهم نوع التقدم المعطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف تُعطى: بسلسلة من الأرقام ، أو بصيغة العضو التاسع.

الشيء الأكثر أهمية هو فهم أن الصيغة تعمل من أول مصطلح للتقدم إلى المصطلح مع الرقم ن.في الواقع ، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي ن، يتم تحديده من خلال المهمة فقط. في المهمة ، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة ، نعم ... لكن لا شيء ، في الأمثلة أدناه سنكشف هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام لمجموع التقدم الحسابي.

بادئ ذي بدء ، معلومات مفيدة:

تتمثل الصعوبة الرئيسية في مهام مجموع التقدم الحسابي في التحديد الصحيح لعناصر الصيغة.

يقوم مؤلفو التخصيصات بتشفير هذه العناصر بالذات بخيال لا حدود له). الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. لفهم جوهر العناصر ، يكفي مجرد فك رموزها. دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تستند إلى GIA حقيقي.

1. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ ن = 2 ن -3.5. أوجد مجموع أول 10 حدود.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ وفقًا للصيغة ، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ أول عضو أ 1، الموسم الماضي أ، نعم رقم الفصل الأخير ن.

من أين تحصل على رقم العضو الأخير ن؟ نعم ، في نفس المكان ، في الحالة! تقول تجد المجموع أول 10 أعضاء.حسنًا ، ما هو الرقم الذي سيكون الاخير،العضو العاشر؟) لن تصدقوا ، رقمه هو العاشر!) لذلك ، بدلا من أسنقوم بالتعويض في الصيغة أ 10، ولكن بدلا من ذلك ن- عشرة. مرة أخرى ، يكون عدد العضو الأخير هو نفسه عدد الأعضاء.

يبقى أن يتحدد أ 1و أ 10. يتم حساب ذلك بسهولة من خلال صيغة المصطلح n ، والذي يتم تقديمه في بيان المشكلة. لا أعرف كيف نفعل ذلك؟ قم بزيارة الدرس السابق ، بدون هذا - لا شيء.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

أ 10= 2 10 - 3.5 = 16.5

S n = ق 10.

اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. يبقى استبدالهم ، ويحسب:

هذا كل ما في الامر. الجواب: 75.

مهمة أخرى على أساس الجماعة الإسلامية المسلحة. أكثر تعقيدًا:

2. بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن) ، يكون الفرق بينهما 3.7 ؛ أ 1 \ u003d 2.3. أوجد مجموع أول 15 حدًا.

نكتب على الفور صيغة الجمع:

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور على قيمة أي عضو برقمه. نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

يبقى استبدال جميع العناصر في الصيغة بمجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة ، إذا كان في صيغة الجمع بدلاً من أفقط استبدل صيغة الحد التاسع ، نحصل على:

نعطي معادلات مماثلة ، نحصل على صيغة جديدة لمجموع أعضاء التقدم الحسابي:

كما ترون ، المصطلح التاسع غير مطلوب هنا. أ. في بعض المهام ، تساعد هذه الصيغة كثيرًا ، نعم ... يمكنك تذكر هذه الصيغة. ويمكنك ببساطة سحبها في الوقت المناسب ، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء ، يجب تذكر صيغة المجموع وصيغة الحد التاسع بكل طريقة.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع كل الأعداد الموجبة المكونة من رقمين والتي تكون مضاعفات العدد ثلاثة.

كيف! لا يوجد عضو أول ، لا أخير ، لا تقدم إطلاقا ... كيف تعيش !؟

سيكون عليك أن تفكر برأسك وتخرج من الشرط جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي. ما هي الأعداد المكونة من رقمين - نعلم. إنها تتكون من رقمين.) ما العدد المكون من رقمين أول؟ 10 ، يفترض.) آخر شيءرقم مكون من رقمين؟ 99 بالطبع! ستتبعه الثلاثة أرقام ...

مضاعفات الثلاثة ... حسنًا ... هذه هي الأعداد التي تقبل القسمة على ثلاثة بالتساوي ، هنا! عشرة لا يقبل القسمة على ثلاثة ، و 11 لا يقبل القسمة ... 12 ... يقبل القسمة! لذا ، هناك شيء ما آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة حسب حالة المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه السلسلة تقدمًا حسابيًا؟ بالطبع! يختلف كل مصطلح عن السابق بدقة بمقدار ثلاثة. إذا تمت إضافة 2 أو 4 إلى المصطلح ، على سبيل المثال ، النتيجة ، أي لن يتم تقسيم الرقم الجديد على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي إلى الكومة: د = 3.مفيد!)

لذلك ، يمكننا كتابة بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم ناخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن الرقم 99 هو خطأ قاتل ... الأرقام - دائمًا ما تكون متتالية ، ويقفز أعضاؤنا فوق المراكز الثلاثة الأولى. لا تتطابق.

هناك حلان هنا. طريقة واحدة هي للعمل الدؤوب الفائق. يمكنك رسم التقدم ، سلسلة الأرقام الكاملة ، وحساب عدد المصطلحات بإصبعك.) الطريقة الثانية هي للمدروس. عليك أن تتذكر صيغة الحد التاسع. إذا تم تطبيق الصيغة على مشكلتنا ، فسنحصل على أن 99 هو العضو الثلاثين في التقدم. أولئك. ن = 30.

ننظر إلى صيغة مجموع التقدم الحسابي:

نحن ننظر ونفرح.] سحبنا كل ما هو ضروري لحساب المبلغ من حالة المشكلة:

أ 1= 12.

أ 30= 99.

S n = ق 30.

ما تبقى هو الحساب الأولي. استبدل الأرقام الموجودة في الصيغة واحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز المشهورة:

4. يتم إعطاء تقدم حسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.

ننظر إلى صيغة المجموع و ... نحن مستاءون.) الصيغة ، دعني أذكرك ، تحسب المجموع من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المجموع منذ العشرين ...الصيغة لن تعمل.

يمكنك ، بالطبع ، رسم التقدم بأكمله على التوالي ، ووضع الأعضاء من 20 إلى 34. لكن ... بطريقة ما يتضح ذلك بغباء ولفترة طويلة ، أليس كذلك؟)

هناك حل أكثر أناقة. دعنا نقسم المتسلسلة إلى جزأين. الجزء الأول سوف من الفصل الأول إلى التاسع عشر.الجزء الثاني - عشرين إلى أربعة وثلاثين.من الواضح أننا إذا قمنا بحساب مجموع شروط الجزء الأول ق 1-19دعنا نضيفه إلى مجموع أعضاء الجزء الثاني ق 20-34، نحصل على مجموع التقدم من الحد الأول إلى الرابع والثلاثين ق 1-34. مثله:

ق 1-19 + ق 20-34 = ق 1-34

هذا يدل على إيجاد المجموع ق 20-34يمكن أن يتم عن طريق الطرح البسيط

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19

يتم النظر في كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو ، أي صيغة المجموع القياسية تنطبق عليهم تمامًا. هل نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من شرط المهمة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 حدًا وأول 34 حدًا ، سنحتاج إلى الحد التاسع عشر والرابع والثلاثين. نحسبها وفقًا لصيغة الحد التاسع ، كما في المشكلة 2:

أ 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

أ 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

لم يتبقى شيء. اطرح مجموع 19 مصطلحًا من مجموع 34 مصطلحًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة مهمة واحدة! هناك ميزة مفيدة للغاية في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ماذا تحتاج (س 20-34) ،حسبنا ما يبدو أنه ليس مطلوبًا - S 1-19.ثم قرروا ق 20-34، تجاهل غير الضروري من النتيجة الكاملة. غالبًا ما تنقذ مثل هذه "الخدعة بالأذنين" في الألغاز الشريرة).

في هذا الدرس ، قمنا بفحص المشكلات التي يكفيها فهم معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا ، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصائح عملية:

عند حل أي مشكلة لمجموع التقدم الحسابي ، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين على الفور من هذا الموضوع.

صيغة المصطلح التاسع:

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما تبحث عنه ، وفي أي اتجاه تفكر من أجل حل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع كل الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في الملاحظة إلى المشكلة 4. حسنًا ، ستساعد المشكلة 3.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ 1 = -5.5 ؛ أ ن + 1 = أ ن +0.5. أوجد مجموع أول 24 حدًا.

غير عادي؟) هذه صيغة متكررة. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط ، فغالبًا ما توجد مثل هذه الألغاز في GIA.

7. ادخر Vasya المال للعطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المحبوب (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول ، وأنفق 50 روبل في كل يوم لاحق أكثر من اليوم السابق! حتى ينفد المال. كم يوما من السعادة امتلكها فاسيا؟

هل هو صعب؟) ستساعد الصيغة الإضافية من المهمة 2.

الإجابات (في حالة فوضى): 7 ، 3240 ، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. فمثلا:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
فمثلا:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذا تسلسل رقمي ، كل عضو فيه يساوي التسلسل السابق ، مضافًا بنفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتك؟ قارن إجاباتنا:
هوالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

إذن ، العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ كان الجمع سيستغرق منا أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لم نكن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الصورة المرسومة ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، دعنا نرى ما الذي يُكوِّن قيمة العضو رقم -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارات أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا على التوالي أعضاء التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تتزايد أو تتناقص.

في ازدياد- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
فمثلا:

تنازلي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
فمثلا:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة.
يتم منحنا تقدمًا حسابيًا يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل في تقليل التقدم الحسابي وزيادة حجمه.
حاول أن تجد العضوين -th و -th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

لنقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
إنه سهل ، كما تقول ، وابدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ موافق ، هناك احتمال لارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن ، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وسنحاول إخراجها الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ومن بعد:

• العضو السابق في التقدم هو:
• الفصل التالي من التقدم هو:

دعنا نلخص الأعضاء السابقين والتاليين في التقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم مع القيم المعروفة السابقة والمتتالية ، من الضروري إضافتهم والقسمة على.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنها ليست صعبة على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ، استنتجها لنفسه بسهولة ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات ، كان المعلم مشغولًا بفحص عمل الطلاب من الفصول الأخرى ، وسأل المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من أعلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى). " ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل جاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة على المهمة ، بينما تلقى معظم زملائه في الصف المتهور بعد حسابات طويلة النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Carl Gauss نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -ti أعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى إيجاد مجموع شروطها في المهمة ، كما كان يبحث عنها غاوس؟

دعونا نصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ بشكل صحيح! مبالغهم متساوية

أجب الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المعطى لنا؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
استنادًا إلى حقيقة أن مجموع حدين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على أن المجموع الكلي يساوي:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف فرق التقدم. حاول الاستعاضة في صيغة الجمع ، صيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th ، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
اتضح جاوس أن مجموع المصطلحات متساوٍ ومجموع المصطلحات. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، استخدم الأشخاص البارعون خصائص التقدم الحسابي مع القوة والرئيسية.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمة وأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم ... يوضح الشكل جانبًا واحدًا منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا لا تقدم حسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب بتحريك إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة ، يبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك أيضًا إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت صنعًا ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لايمكنك بناء هرم من الكتل في القاعدة لكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

اكتشف - حل

مهام:

1. ماشا تتأقلم مع الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في أسابيع إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في.
3. عند تخزين السجلات ، يقوم الحطاب بتكديسها بحيث تحتوي كل طبقة عليا على سجل أقل من سابقتها. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن سجلات.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (أسابيع = أيام).

   إجابه:في غضون أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي وآخر رقم.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية في - النصف ، ومع ذلك ، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد العنصر -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابه:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.

3. أذكر مشكلة الأهرامات. بالنسبة لحالتنا ، أ ، نظرًا لأنه يتم تقليل كل طبقة عليا بواسطة سجل واحد ، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات ، أي.
   استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

   إجابه:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو العاشر في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. فمثلا:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا معرفة أيهما هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، واحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة مصطلح nth

نسمي المتكرر صيغة تحتاج فيها إلى معرفة المصطلح السابق أو السابق:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، الآن من الواضح ما هي الصيغة؟

في كل سطر ، نضيف إلى ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

المحلول:

العضو الأول متساوٍ. وما الفرق؟ وإليك ما يلي:

(بعد كل شيء ، يطلق عليه الفرق لأنه يساوي اختلاف الأعضاء المتعاقبين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد الأزواج الموجودة؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

ستكون الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي:

مثال:
أوجد مجموع كل المضاعفات المكونة من رقمين.

المحلول:

الرقم الأول من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل تالية عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات في التقدم إذا كان يجب أن تكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير من التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابه: .

قرر الآن بنفسك:

1. في كل يوم ، يركض الرياضي 1 متر أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالًا كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول سافر كيلومترًا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد ست سنوات ، معروضة للبيع مقابل روبل.

الإجابات:

1. أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابه:
2. هنا يعطى: ، من الضروري أن تجد.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
   .
   استبدل القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة العضو -th:
   (كم).
   إجابه:

3. معطى: . تجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابه:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يتزايد التقدم الحسابي () ويتناقص ().

فمثلا:

صيغة إيجاد العضو رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب كصيغة ، حيث عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لإيجاد المجموع:

أين عدد القيم.

أين عدد القيم.

المواد المتبقية 2/3 متاحة فقط للطلاب!

كن طالبًا في YouClever ،

استعد لـ OGE أو الاستخدام في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا" ،

واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever" ، وبرنامج التدريب "100gia" (كتاب الحلول) ، والاستخدام التجريبي غير المحدود و OGE ، و 6000 مهمة مع تحليل الحلول وخدمات YouClever و 100gia الأخرى.