كيفية حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا في الرياضيات. نظرية فييتا. أمثلة على الحلول طريقة فييتا المعادلة التربيعية

عند دراسة طرق حل معادلات الدرجة الثانية في مقرر الجبر المدرسي ، ضع في اعتبارك خصائص الجذور التي تم الحصول عليها. تُعرف الآن باسم نظريات فييتا. يتم إعطاء أمثلة على استخدامه في هذه المقالة.

معادلة من الدرجة الثانية

معادلة الدرجة الثانية هي المساواة ، والتي تظهر في الصورة أدناه.

هنا الرموز أ ، ب ، ج هي بعض الأرقام التي تسمى معاملات المعادلة قيد الدراسة. لحل المساواة ، عليك إيجاد قيم x التي تجعلها صحيحة.

لاحظ أنه نظرًا لأن القيمة القصوى للقوة التي يتم رفع x إليها تساوي اثنين ، فإن عدد الجذور في الحالة العامة هو اثنان أيضًا.

هناك عدة طرق لحل هذا النوع من المساواة. في هذه المقالة ، سننظر في أحدها ، والذي يتضمن استخدام ما يسمى نظرية فييتا.

بيان نظرية فييتا

في نهاية القرن السادس عشر ، لاحظ عالم الرياضيات الشهير فرانسوا فيت (فرنسي) ، وهو يحلل خصائص جذور المعادلات التربيعية المختلفة ، أن مجموعات معينة منها ترضي علاقات محددة. على وجه الخصوص ، هذه المجموعات هي نتاجها ومجموعها.

تؤسس نظرية فييتا ما يلي: جذور المعادلة التربيعية ، عند جمعها ، تعطي نسبة المعاملات الخطية إلى المعاملات التربيعية المأخوذة مع الإشارة المعاكسة ، وعندما يتم ضربها ، فإنها تؤدي إلى نسبة المصطلح الحر إلى المعامل التربيعي .

إذا كان الشكل العام للمعادلة مكتوبًا كما هو موضح في الصورة في القسم السابق من المقالة ، فيمكن كتابة هذه النظرية رياضيًا على هيئة مساوتين:

• ص 2 + ص 1 \ u003d -b / أ ؛
• ص 1 × ص 2 \ u003d ج ​​/ أ.

حيث r 1 ، r 2 هي قيمة جذور المعادلة المدروسة.

يمكن استخدام هاتين المعادلتين لحل عدد من المسائل الرياضية المختلفة جدًا. يتم إعطاء استخدام نظرية فييتا في الأمثلة مع الحل في الأقسام التالية من المقالة.

غالبًا ما تستخدم نظرية فييتا لاختبار الجذور الموجودة بالفعل. إذا وجدت الجذور ، يمكنك استخدام الصيغ \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) لحساب القيم \ (p \) ) و \ (ف \). وإذا اتضح أنهما متماثلان في المعادلة الأصلية ، فسيتم العثور على الجذور بشكل صحيح.

على سبيل المثال ، لنستخدم حل المعادلة \ (x ^ 2 + x-56 = 0 \) واحصل على الجذور: \ (x_1 = 7 \) ، \ (x_2 = -8 \). دعنا نتحقق مما إذا كنا قد ارتكبنا خطأ في عملية الحل. في حالتنا ، \ (ع = 1 \) ، و \ (ف = -56 \). من خلال نظرية فييتا لدينا:

\ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (cases) 7 + (- 8) = - 1 \\ 7 \ cdot (-8) = - 56 \ end (الحالات) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ start (cases) -1 = -1 \\ - 56 = -56 \ end (cases) \ )

كلتا العبارتين متقاربة ، مما يعني أننا حللنا المعادلة بشكل صحيح.

يمكن إجراء هذا الاختبار شفهيًا. سيستغرق الأمر 5 ثوان ويخلصك من الأخطاء الغبية.

نظرية فييتا المعكوسة

إذا كان \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) ، فإن \ (x_1 \) و \ (x_2 \) هما جذور المعادلة التربيعية \ (x ^ 2 + px + q = 0 \).

أو بطريقة بسيطة: إذا كانت لديك معادلة بالصيغة \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) ، فعندئذٍ عن طريق حل النظام \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) ستجد جذورها.

بفضل هذه النظرية ، يمكنك العثور بسرعة على جذور المعادلة التربيعية ، خاصةً إذا كانت هذه الجذور موجودة. هذه المهارة مهمة لأنها توفر الكثير من الوقت.

مثال . حل المعادلة \ (x ^ 2-5x + 6 = 0 \).

المحلول : باستخدام معكوس نظرية فييتا ، نحصل على أن الجذور تفي بالشروط: \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \ cdot x_2 = 6 \ end (cases) \).
انظر إلى المعادلة الثانية لنظام \ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \). إلى أي اثنين يمكن أن يتحلل الرقم \ (6 \)؟ في \ (2 \) و \ (3 \) و \ (6 \) و \ (1 \) أو \ (- 2 \) و \ (- 3 \) و \ (- 6 \) و \ (- واحد\). وأي زوج تختار ، ستخبرنا المعادلة الأولى في النظام: \ (x_1 + x_2 = 5 \). \ (2 \) و \ (3 \) متشابهان ، لأن \ (2 + 3 = 5 \).
إجابه : \ (x_1 = 2 \) ، \ (x_2 = 3 \).

أمثلة . باستخدام معكوس نظرية فييتا ، أوجد جذور المعادلة التربيعية:
أ) \ (س ^ 2-15 س + 14 = 0 \) ؛ ب) \ (س ^ 2 + 3 س -4 = 0 \) ؛ ج) \ (س ^ 2 + 9 س + 20 = 0 \) ؛ د) \ (س ^ 2-88 س + 780 = 0 \).

المحلول :
أ) \ (س ^ 2-15x + 14 = 0 \) - ما العوامل التي تتحلل \ (14 \) إليها؟ \ (2 \) و \ (7 \) و \ (- 2 \) و \ (- 7 \) و \ (- 1 \) و \ (- 14 \) و \ (1 \) و \ (14 \) ). ما أزواج الأرقام التي تضيف ما يصل إلى \ (15 \)؟ الجواب: \ (1 \) و \ (14 \).

ب) \ (x ^ 2 + 3x-4 = 0 \) - ما هي العوامل التي تتحلل \ (- 4 \)؟ \ (- 2 \) و \ (2 \) و \ (4 \) و \ (- 1 \) و \ (1 \) و \ (- 4 \). ما أزواج الأرقام التي تضيف ما يصل إلى \ (- 3 \)؟ الجواب: \ (1 \) و \ (- 4 \).

ج) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \) - ما هي العوامل التي تتحلل \ (20 \)؟ \ (4 \) و \ (5 \) و \ (- 4 \) و \ (- 5 \) و \ (2 \) و \ (10 ​​\) و \ (- 2 \) و \ (- 10 \) ) و \ (- 20 \) و \ (- 1 \) و \ (20 \) و \ (1 \). ما أزواج الأرقام التي تضيف ما يصل إلى \ (- 9 \)؟ الجواب: \ (- 4 \) و \ (- 5 \).

د) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \) - ما هي العوامل التي تتحلل \ (780 \)؟ \ (390 \) و \ (2 \). هل يصل مجموعهم إلى \ (88 \)؟ رقم. ما هي المضاعفات الأخرى الموجودة في \ (780 \)؟ \ (78 \) و \ (10 ​​\). هل يصل مجموعهم إلى \ (88 \)؟ نعم. الجواب: (78) و (10).

ليس من الضروري تحليل المصطلح الأخير إلى جميع العوامل الممكنة (كما في المثال الأخير). يمكنك على الفور التحقق مما إذا كان مجموعهم يعطي \ (- ع \).

مهم!تعمل نظرية فييتا ونظرية العكس فقط مع ، أي أن معامله أمام \ (x ^ 2 \) يساوي واحدًا. إذا كانت لدينا معادلة غير مخفضة في البداية ، فيمكننا تقليلها ببساطة عن طريق القسمة على المعامل الموجود أمام \ (x ^ 2 \).

فمثلا، دع المعادلة \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) تُعطى ونريد استخدام إحدى نظريات فييتا. لكن لا يمكننا ذلك ، لأن المعامل قبل \ (x ^ 2 \) يساوي \ (2 \). دعنا نتخلص منها بقسمة المعادلة بأكملها على \ (2 \).

\ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) \ (|: 2 \)
\ (س ^ 2-2x-3 = 0 \)

مستعد. الآن يمكننا استخدام كلتا النظريتين.

الأجوبة على الأسئلة المتداولة

سؤال: من خلال نظرية فييتا ، هل يمكنك حل أي منها؟
إجابه: للاسف لا. إذا لم تكن هناك أعداد صحيحة في المعادلة أو إذا لم يكن للمعادلة جذور على الإطلاق ، فلن تساعد نظرية فييتا. في هذه الحالة ، تحتاج إلى استخدام مميز . لحسن الحظ ، 80٪ من المعادلات في مقرر الرياضيات بالمدرسة لها حلول صحيحة.

في الصف الثامن يتعرف الطلاب على المعادلات التربيعية وكيفية حلها. في الوقت نفسه ، كما تظهر التجربة ، يستخدم معظم الطلاب طريقة واحدة فقط عند حل المعادلات التربيعية الكاملة - صيغة جذور المعادلة التربيعية. بالنسبة للطلاب الذين يتمتعون بمهارات عد شفوي جيدة ، من الواضح أن هذه الطريقة غير منطقية. غالبًا ما يتعين على الطلاب حل المعادلات التربيعية في المدرسة الثانوية ، ومن المؤسف ببساطة قضاء الوقت في حساب المميز. في رأيي ، عند دراسة المعادلات التربيعية ، ينبغي إيلاء المزيد من الوقت والاهتمام لتطبيق نظرية فييتا (وفقًا لبرنامج A.G. Mordkovich Algebra-8 ، تم التخطيط لساعتين فقط لدراسة موضوع "نظرية فييتا. a مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل خطية ").

في معظم كتب الجبر ، تمت صياغة هذه النظرية لمعادلة تربيعية مختصرة وتقول أن إذا كانت المعادلة لها جذور ، فإنها تفي بالمساواة ،.ثم يتم صياغة بيان يتعارض مع نظرية فييتا ، ويتم تقديم عدد من الأمثلة للعمل على هذا الموضوع.

لنأخذ أمثلة محددة ونتتبع منطق الحل عليها باستخدام نظرية فييتا.

مثال 1. حل المعادلة.

لنفترض أن هذه المعادلة لها جذور ، وهي و. ثم ، من خلال نظرية فييتا ، المساواة

لاحظ أن حاصل ضرب الجذور هو عدد موجب. إذن ، جذور المعادلة لها نفس العلامة. وبما أن مجموع الجذور هو أيضًا عدد موجب ، فإننا نستنتج أن كلا جذري المعادلة موجبان. لنعد إلى حاصل ضرب الجذور. افترض أن جذور المعادلة أعداد صحيحة موجبة. ثم يمكن الحصول على المساواة الأولى الصحيحة بطريقتين فقط (حتى ترتيب العوامل): أو. دعنا نتحقق من أزواج الأرقام المقترحة جدوى التأكيد الثاني لنظرية فييتا: . وبالتالي ، فإن الرقمين 2 و 3 يرضيان كلا من المساواة ، وبالتالي هما جذور المعادلة المعطاة.

الجواب: 2 ؛ 3.

نفرد المراحل الرئيسية للتفكير عند حل المعادلة التربيعية باستخدام نظرية فييتا:

اكتب تأكيد نظرية فييتا

(*)

• تحديد علامات جذور المعادلة (إذا كان الناتج ومجموع الجذور موجبين ، يكون كلا الجذور أرقام موجبة. إذا كان حاصل ضرب الجذور عددًا موجبًا ، وكان مجموع الجذور سالبًا ، إذن كلا الجذور عبارة عن أرقام سالبة. إذا كان حاصل ضرب الجذور عددًا سالبًا ، فإن للجذور إشارات مختلفة. علاوة على ذلك ، إذا كان مجموع الجذور موجبًا ، فإن الجذر الذي يحتوي على معامل أكبر هو رقم موجب ، وإذا كان مجموع الجذور أقل من الصفر ، ثم الجذر ذو المعامل الأكبر هو رقم سالب) ؛
• تحديد أزواج من الأعداد الصحيحة التي يعطي ناتجها المساواة الأولى الصحيحة في الترميز (*) ؛
• من أزواج الأرقام التي تم العثور عليها ، اختر الزوج الذي ، عند استبداله بالمساواة الثانية في العلامة (*) ، سيعطي المساواة الصحيحة ؛
• أشر في الإجابة إلى الجذور التي تم العثور عليها للمعادلة.

دعنا نعطي بعض الأمثلة.

مثال 2: حل المعادلة .

المحلول.

لنكن جذور المعادلة المعطاة. ثم حسب نظرية فييتا ، لاحظ أن المنتج موجب وأن المجموع سالب. إذن كلا الجذور عبارة عن أعداد سالبة. نختار أزواج من العوامل التي تعطي حاصل ضرب 10 (-1 و -10 ؛ -2 و -5). يضيف الزوج الثاني من الأرقام ما يصل إلى -7. لذا فإن العددين -2 و -5 هما جذور هذه المعادلة.

إجابه: -2; -5.

مثال 3. حل المعادلة .

المحلول.

لنكن جذور المعادلة المعطاة. ثم من خلال نظرية فييتا لاحظ أن المنتج سلبي. لذا فإن الجذور لها علامات مختلفة. مجموع الجذور هو أيضًا رقم سالب. ومن ثم ، فإن الجذر الذي له أكبر معامل هو سالب. نختار أزواجًا من العوامل التي تعطي المنتج -10 (1 و -10 ؛ 2 و -5). مجموع زوج الأرقام الثاني يصل إلى -3. إذن ، العددين 2 و -5 هما جذور هذه المعادلة.

إجابه: 2; -5.

لاحظ أنه يمكن من حيث المبدأ صياغة نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة: إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور ، ثم ترضي المساواة ،.ومع ذلك ، فإن تطبيق هذه النظرية يمثل مشكلة إلى حد ما ، لأنه في المعادلة التربيعية الكاملة ، يكون أحد الجذور على الأقل (إن وجد بالطبع) عددًا كسريًا. والعمل مع اختيار الكسور عملية طويلة وصعبة. لكن لا يزال هناك مخرج.

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية الكاملة . اضرب طرفي المعادلة بالمعامل الأول أواكتب المعادلة بالصيغة . نقدم متغيرًا جديدًا ونحصل على معادلة تربيعية مختصرة ، يمكن العثور على جذورها و (إن وجدت) باستخدام نظرية فييتا. ثم ستكون جذور المعادلة الأصلية. لاحظ أنه من السهل جدًا كتابة المعادلة المختصرة المساعدة: يتم الحفاظ على المعامل الثاني ، والمعامل الثالث يساوي المنتج أجاد. بمهارة معينة ، يقوم الطلاب على الفور بتكوين معادلة مساعدة ، والعثور على جذورها باستخدام نظرية فييتا والإشارة إلى جذور المعادلة الكاملة المعطاة. دعنا نعطي أمثلة.

مثال 4. حل المعادلة .

لنقم بمعادلة مساعدة ومن خلال نظرية فييتا نجد جذورها. إذن جذور المعادلة الأصلية .

إجابه: .

مثال 5. حل المعادلة .

المعادلة المساعدة لها الشكل. من خلال نظرية فييتا ، جذورها. نجد جذور المعادلة الأصلية .

إجابه: .

وهناك حالة أخرى عندما يتيح لك تطبيق نظرية فييتا إيجاد جذور معادلة تربيعية كاملة شفهيًا. من السهل إثبات ذلك الرقم 1 هو جذر المعادلة ، إذا وفقط إذا. تم العثور على الجذر الثاني للمعادلة من خلال نظرية فييتا ويساوي. بيان آخر: بحيث يكون الرقم -1 هو جذر المعادلة ضرورية وكافية ل. إذن الجذر الثاني للمعادلة وفقًا لنظرية فييتا يساوي. يمكن صياغة عبارات مماثلة للمعادلة التربيعية المختصرة.

مثال 6. حل المعادلة.

لاحظ أن مجموع معاملات المعادلة هو صفر. إذن جذور المعادلة .

إجابه: .

مثال 7. حل المعادلة.

معاملات هذه المعادلة ترضي الخاصية (في الواقع ، 1 - (- 999) + (- 1000) = 0). إذن جذور المعادلة .

إجابه: ..

أمثلة لتطبيق نظرية فييتا

المهمة 1. حل المعادلة التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

المهمة 2. حل المعادلة التربيعية الكاملة باستخدام الانتقال إلى المعادلة التربيعية المختزلة المساعدة.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

المهمة 3. قم بحل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الخاصية.

يعد التطبيق إحدى طرق حل المعادلة التربيعية صيغ VIETA، الذي سمي على اسم فرانسوا فييت.

كان محامياً مشهوراً ، وعمل في القرن السادس عشر مع الملك الفرنسي. في أوقات فراغه درس علم الفلك والرياضيات. أسس علاقة بين الجذور والمعاملات للمعادلة التربيعية.

مزايا الصيغة:

1 . من خلال تطبيق الصيغة ، يمكنك إيجاد الحل بسرعة. لأنك لا تحتاج إلى إدخال المعامل الثاني في المربع ، ثم اطرح 4ac منه ، أوجد المميز ، وعوض بقيمته في الصيغة لإيجاد الجذور.

2 . بدون حل ، يمكنك تحديد علامات الجذور والتقاط قيم الجذور.

3 . بعد حل نظام سجلين ، ليس من الصعب العثور على الجذور بأنفسهم. في المعادلة التربيعية أعلاه ، مجموع الجذور يساوي قيمة المعامل الثاني بعلامة ناقص. حاصل ضرب الجذور في المعادلة التربيعية أعلاه يساوي قيمة المعامل الثالث.

4 . وفقًا للجذور المعطاة ، اكتب معادلة تربيعية ، أي حل المسألة العكسية. على سبيل المثال ، تُستخدم هذه الطريقة في حل المشكلات في الميكانيكا النظرية.

5 . من الملائم تطبيق الصيغة عندما يكون المعامل الأول مساويًا لواحد.

عيوب:

1 . الصيغة ليست عالمية.

نظرية فييتا الصف الثامن

معادلة
إذا كانت x 1 و x 2 هي جذور المعادلة التربيعية المحددة x 2 + px + q \ u003d 0 ، إذن:

أمثلة
× 1 \ u003d -1 ؛ س 2 \ u003d 3 - جذور المعادلة × 2 - 2 س - 3 \ u003d 0.

P = -2 ، q = -3.

X 1 + x 2 \ u003d -1 + 3 \ u003d 2 \ u003d -p ،

س 1 × 2 = -1 3 = -3 = ف.

نظرية المعكوس

معادلة
إذا كانت الأرقام x 1 ، x 2 ، p ، q متصلة بالشروط:

ثم x 1 و x 2 هما جذور المعادلة x 2 + px + q = 0.

مثال
لنصنع معادلة من الدرجة الثانية من جذورها:

س 1 \ u003d 2 -؟ 3 و x 2 \ u003d 2 +؟ 3.

P \ u003d x 1 + x 2 \ u003d 4 ؛ ع = -4 ؛ ف \ u003d × 1 × 2 \ u003d (2 -؟ 3) (2 +؟ 3) \ u003d 4 - 3 \ u003d 1.

المعادلة المرغوبة لها الشكل: x 2 - 4x + 1 = 0.

في هذه المحاضرة سوف نتعرف على العلاقات الغريبة بين جذور المعادلة التربيعية ومعاملاتها. تم اكتشاف هذه العلاقات لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت (1540-1603).

على سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة Зx 2 - 8x - 6 \ u003d 0 ، دون العثور على جذورها ، يمكنك باستخدام نظرية Vieta أن تقول على الفور أن مجموع الجذور هو ، وحاصل ضرب الجذور هو
أي - 2. وبالنسبة للمعادلة x 2-6x + 8 \ u003d 0 نستنتج: مجموع الجذور هو 6 ، وحاصل ضرب الجذور هو 8 ؛ بالمناسبة ، ليس من الصعب تخمين ما تساوي الجذور: 4 و 2.
إثبات نظرية فييتا. تم العثور على الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية ax 2 + bx + c \ u003d 0 بواسطة الصيغ

حيث D \ u003d b 2 - 4ac هو مميز المعادلة. زرع هذه الجذور
نحن نحصل

الآن نحسب حاصل ضرب الجذور x 1 و x 2 لدينا

وثبت العلاقة الثانية:
تعليق. تعتبر نظرية فييتا صالحة أيضًا في الحالة التي يكون فيها للمعادلة التربيعية جذر واحد (أي عندما يكون D \ u003d 0) ، في هذه الحالة يعتبر أن للمعادلة جذرين متطابقين ، حيث يتم تطبيق العلاقات أعلاه .
تأخذ العلاقات المثبتة للمعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q \ u003d 0 شكلاً بسيطًا بشكل خاص.في هذه الحالة ، نحصل على:

× 1 \ u003d × 2 \ u003d -p ، × 1 × 2 \ u003d q
أولئك. مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، المأخوذ مع الإشارة المعاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر.
باستخدام نظرية فييتا ، يمكن للمرء أيضًا الحصول على علاقات أخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q = 0. ثم

ومع ذلك ، فإن الغرض الرئيسي من نظرية فييتا ليس أنها تعبر عن علاقات معينة بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. الأهم من ذلك هو حقيقة أنه بمساعدة نظرية فييتا ، تم اشتقاق صيغة لتحليل ثلاثي الحدود المربع ، والتي بدونها لن نفعل ذلك في المستقبل.

دليل - إثبات. نملك

مثال 1. حلل ثلاثي الحدود المربع إلى عوامل 3x 2 - 10x + 3.
المحلول. بعد حل المعادلة Zx 2 - 10x + 3 \ u003d 0 ، نجد جذور المثلث المربع Zx 2 - 10x + 3: x 1 \ u003d 3 ، x2 \ u003d.
باستخدام النظرية 2 ، نحصل على

من المنطقي بدلاً من ذلك كتابة Zx - 1. ثم نحصل أخيرًا على Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
لاحظ أنه يمكن تحليل المثلث التربيعي المحدد إلى عوامل دون استخدام النظرية 2 ، باستخدام طريقة التجميع:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2-9x - x + 3 =
\ u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \ u003d (x - 3) (Zx - 1).

ولكن ، كما ترى ، يعتمد النجاح بهذه الطريقة على ما إذا كان بإمكاننا العثور على تجميع ناجح أم لا ، بينما مع الطريقة الأولى يكون النجاح مضمونًا.
مثال 1. تقليل الكسر

المحلول. من المعادلة 2x 2 + 5x + 2 = 0 نجد x 1 = - 2 ،

من المعادلة x2 - 4x - 12 = 0 نجد x 1 = 6، x 2 = -2. لهذا
× 2 - 4x - 12 \ u003d (x - 6) (x - (- 2)) \ u003d (x - 6) (x + 2).
لنقم الآن بتقليل الكسر المعطى:

مثال 3. عامل التعبيرات:
أ) x4 + 5x 2 +6 ؛ ب) 2x + -3
الحل أ) نقدم متغير جديد y = x 2. سيسمح لنا ذلك بإعادة كتابة التعبير المعطى في صورة مربع ثلاثي الحدود بالنسبة إلى المتغير y ، أي بالصيغة y 2 + bу + 6.
بعد حل المعادلة y 2 + bу + 6 \ u003d 0 ، نجد جذور التربيع ثلاثي الحدود y 2 + 5y + 6: y 1 \ u003d - 2، y 2 \ u003d -3. الآن نستخدم النظرية 2 ؛ نحن نحصل

ص 2 + 5 ص + 6 = (ص + 2) (ص + 3).
يبقى أن نتذكر أن y \ u003d x 2 ، أي العودة إلى التعبير المحدد. لذا،
× 4 + 5 × 2 + 6 \ u003d (× 2 + 2) (× 2 + 3).
ب) دعنا نقدم متغير جديد y =. سيسمح لك ذلك بإعادة كتابة التعبير المعطى على شكل مربع ثلاثي الحدود فيما يتعلق بالمتغير y ، أي بالصيغة 2y 2 + y - 3. بعد حل المعادلة
2y 2 + y - 3 \ u003d 0 ، نجد جذور المثلث التربيعي 2y 2 + y - 3:
ص 1 = 1 ، ص 2 =. علاوة على ذلك ، باستخدام النظرية 2 ، نحصل على:

يبقى أن نتذكر أن y \ u003d ، أي العودة إلى التعبير المحدد. لذا،

يختتم القسم ببعض الاعتبارات ، المرتبطة مرة أخرى بنظرية فييتا ، أو بالأحرى مع التأكيد العكسي:
إذا كانت الأرقام x 1 ، x 2 مثل x 1 + x 2 \ u003d - p، x 1 x 2 \ u003d q ، فإن هذه الأرقام هي جذور المعادلة
باستخدام هذه العبارة ، يمكنك حل العديد من المعادلات التربيعية شفهيًا ، دون استخدام صيغ الجذر المرهقة ، وكذلك تكوين معادلات تربيعية بجذور معينة. دعنا نعطي أمثلة.

1) x 2-11x + 24 = 0. هنا x 1 + x 2 = 11، x 1 x 2 = 24. من السهل تخمين أن x 1 = 8، x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. هنا x 1 + x 2 = -11، x 1 x 2 = 30. من السهل تخمين أن x 1 = -5، x 2 = -6.
يرجى ملاحظة ما يلي: إذا كان المصطلح المجاني للمعادلة عددًا موجبًا ، فإن كلا الجذور يكون إما موجبًا أو سالبًا ؛ من المهم أخذ هذا في الاعتبار عند اختيار الجذور.

3) x 2 + x - 12 = 0. هنا x 1 + x 2 = -1 ، x 1 x 2 = -12. من السهل تخمين أن x 1 \ u003d 3 ، x2 \ u003d -4.
يرجى ملاحظة: إذا كان المصطلح المجاني للمعادلة رقمًا سالبًا ، فإن الجذور مختلفة في الإشارة ؛ من المهم أخذ هذا في الاعتبار عند اختيار الجذور.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. من السهل أن نرى أن x = 1 يفي بالمعادلة ، أي × 1 \ u003d 1 - جذر المعادلة. منذ x 1 x 2 \ u003d - و x 1 \ u003d 1 ، نحصل على ذلك x 2 \ u003d -.

5) × 2 - 293 × + 2830 = 0. هنا × 1 + × 2 = 293 ، × 1 × 2 = 2830. إذا انتبهت إلى حقيقة أن 2830 = 283. 10 ، و 293 = 283 + 10 ، يصبح من الواضح أن x 1 \ u003d 283 ، x 2 \ u003d 10 (تخيل الآن الحسابات التي يجب إجراؤها لحل هذه المعادلة التربيعية باستخدام الصيغ القياسية).

6) لنؤلف معادلة تربيعية بحيث تعمل الأرقام x 1 \ u003d 8، x 2 \ u003d - 4 كجذور لها.عادة في مثل هذه الحالات تشكل المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q \ u003d 0.
لدينا x 1 + x 2 \ u003d -p ، وبالتالي 8-4 \ u003d -p ، أي p \ u003d -4. علاوة على ذلك ، x 1 x 2 = q ، أي 8 "(- 4) = q ، حيث نحصل على q = -32. إذن ، p \ u003d -4 ، q \ u003d -32 ، مما يعني أن المعادلة التربيعية المطلوبة لها الشكل x 2 -4x-32 \ u003d 0.