أشكال ذات خطوط محدودة. احسب مساحة أمثلة الشكل. حجم جسم الثورة

في هذه المقالة ، ستتعلم كيفية العثور على مساحة الشكل المحدد بخطوط باستخدام حسابات متكاملة. لأول مرة ، نواجه صياغة مثل هذه المشكلة في المدرسة الثانوية ، عندما تم الانتهاء للتو من دراسة تكاملات معينة وحان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة في الممارسة.

إذن ، ما هو مطلوب لحل مشكلة إيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات بنجاح:

• القدرة على رسم الرسومات بشكل صحيح ؛
• القدرة على حل تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز المعروفة ؛
• القدرة على "رؤية" حل أكثر ربحية - أي لفهم كيف سيكون تنفيذ الدمج أكثر ملاءمة في هذه الحالة أو تلك؟ على طول المحور السيني (OX) أو المحور الصادي (OY)؟
• حسنًا ، أين بدون الحسابات الصحيحة؟) وهذا يشمل فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات وإجراء الحسابات العددية الصحيحة.

خوارزمية لحل مشكلة حساب مساحة الشكل المحدد بخطوط:

1. نبني رسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة من الورق في قفص ، على نطاق واسع. نوقع بقلم رصاص فوق كل رسم بياني اسم هذه الوظيفة. تم التوقيع على الرسوم البيانية فقط لتسهيل المزيد من العمليات الحسابية. بعد استلام الرسم البياني للشكل المطلوب ، سيكون من الواضح في معظم الحالات على الفور حدود التكامل التي سيتم استخدامها. وهكذا ، فإننا نحل المشكلة بيانيا. ومع ذلك ، يحدث أن تكون قيم الحدود كسرية أو غير منطقية. لذلك ، يمكنك إجراء حسابات إضافية ، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تعيين حدود التكامل بشكل صريح ، فسنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية مع بعضها البعض ، ونرى ما إذا كان الحل الرسومي لدينا يتطابق مع الحل التحليلي.

3. بعد ذلك ، تحتاج إلى تحليل الرسم. اعتمادًا على كيفية تحديد الرسوم البيانية للوظائف ، هناك طرق مختلفة للعثور على منطقة الشكل. ضع في اعتبارك أمثلة مختلفة لإيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات.

3.1. الإصدار الأكثر كلاسيكية وأبسط من المشكلة هو عندما تحتاج إلى العثور على منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع. ما هو شبه منحرف منحني الأضلاع؟ هذا شكل مسطح يحده المحور السيني (ص = 0)، مستقيم س = أ ، س = بوأي منحنى مستمر على الفترة من أقبل ب. في الوقت نفسه ، هذا الرقم غير سالب ولا يقع في أدنى من المحور السيني. في هذه الحالة ، مساحة شبه منحني منحني الأضلاع تساوي عدديًا التكامل المحدد المحسوب باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

مثال 1 ص = س 2 - 3 س + 3 ، س = 1 ، س = 3 ، ص = 0.

ما الخطوط التي تحدد الشكل؟ لدينا قطع مكافئ ص = س 2 - 3 س + 3التي تقع فوق المحور أوه، هو غير سلبي ، لأن جميع نقاط هذا القطع المكافئ إيجابية. بعد ذلك ، إعطاء خطوط مستقيمة س = 1و س = 3التي تعمل بالتوازي مع المحور OU، هي الخطوط المحيطة بالشكل على اليسار واليمين. نحن سوف ص = 0، إنها المحور السيني ، الذي يحدد الشكل من الأسفل. الشكل الناتج مظلل ، كما هو موضح في الشكل الموجود على اليسار. في هذه الحالة ، يمكنك البدء على الفور في حل المشكلة. أمامنا مثال بسيط على شبه منحني منحني الأضلاع ، والذي قمنا بحله بعد ذلك باستخدام صيغة Newton-Leibniz.

3.2. في الفقرة السابقة 3.1 ، تم تحليل الحالة عندما يقع شبه المنحني المنحني فوق المحور السيني. الآن ضع في اعتبارك الحالة التي تكون فيها شروط المشكلة متطابقة ، باستثناء أن الوظيفة تقع تحت المحور x. يضاف ناقص إلى صيغة نيوتن-لايبنيز القياسية. كيفية حل مثل هذه المشكلة ، سننظر في المزيد.

مثال 2 . احسب مساحة شكل محدد بخطوط ص = س 2 + 6 س + 2 ، س = -4 ، س = -1 ، ص = 0.

في هذا المثال ، لدينا قطع مكافئ ص = س 2 + 6 س + 2الذي ينشأ من تحت المحور أوه، مستقيم س = -4 ، س = -1 ، ص = 0. هنا ص = 0يحد من الشكل المطلوب أعلاه. مباشر س = -4و س = -1هذه هي الحدود التي سيتم من خلالها حساب التكامل المحدد. يتطابق مبدأ حل مشكلة إيجاد مساحة الشكل تقريبًا تمامًا مع المثال رقم 1. والفرق الوحيد هو أن الوظيفة المعينة ليست موجبة ، كما أنها مستمرة على الفترة الزمنية [-4; -1] . ماذا لا يعني الايجابي؟ كما يتضح من الشكل ، فإن الشكل الذي يقع داخل x المعطى له إحداثيات "سالبة" حصريًا ، وهو ما نحتاج إلى رؤيته وتذكره عند حل المشكلة. نحن نبحث عن مساحة الشكل باستخدام صيغة Newton-Leibniz ، فقط بعلامة ناقص في البداية.

المقال لم يكتمل.

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الفصل ، قلت أن التكامل المحدد هو الرقم. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

هذا هو، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى منحنىًا معينًا على المستوى (يمكن دائمًا رسمه إذا رغبت في ذلك) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حقا.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: أولمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط بعد، بعدما- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء نقطة بنقطةيمكن العثور على تقنية البناء النقطي في المادة المرجعية.

هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا:

إجابه:

بالنسبة لأولئك الذين يجدون صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق معادلة نيوتن-لايبنيز ، يرجى الرجوع إلى المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

الحل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تماما تحت المحور، ثم يمكن العثور على مساحتها من خلال الصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

الحل: تحتاج أولاً إلى عمل رسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن.

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف المخططات بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

أكرر أنه مع البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل:إذا كان على قطعة بعض الوظائف المستمرة أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة ، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل بالصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبصورة تقريبية ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.

إجابه:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في نصف المستوى السفلي (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة. نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة أسفل المحور ، إذن

والآن بعض الأمثلة لقرار مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات كانت صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... وجدت منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المطيع عدة مرات. هذه حالة واقعية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما تحتاج إلى العثور على مساحة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابه:

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نقدم المعادلات في شكل "مدرسة" ، ونقوم برسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد":.
لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟ يمكن ؟ ولكن أين هو الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك. أو الجذر. ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:

بالتالي، .

الحل الإضافي تافه ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

الحل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لبناء رسم نقطة بنقطة ، من الضروري معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:

(1) يمكن رؤية كيفية دمج الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. هذه تقنية نموذجية ، نضغط على جيب واحد.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الأساسية في النموذج

(3) دعنا نغير المتغير ، ثم:

إعادة توزيع جديدة للتكامل:

من هو حقًا عمل سيء مع البدائل ، يرجى الذهاب إلى الدرس طريقة الاستبدال في تكامل غير محدد. بالنسبة لأولئك الذين ليسوا واضحين للغاية بشأن خوارزمية الاستبدال في تكامل محدد ، قم بزيارة الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل. مثال 5: الحل: إذن:

إجابه:

ملحوظة:لاحظ كيف يتم أخذ تكامل الظل في المكعب ، يتم استخدام النتيجة الطبيعية للهوية المثلثية الأساسية هنا.

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

الكلمات الدالة:شبه منحرف متكامل ، منحني الخطوط ، منطقة من الأشكال يحدها الزنابق

معدات: سبورة بيضاء ، كمبيوتر ، جهاز عرض وسائط متعددة

نوع الدرس: درس-محاضرة

أهداف الدرس:

• التعليمية:لتشكيل ثقافة العمل العقلي ، لخلق حالة من النجاح لكل طالب ، لتشكيل دافع إيجابي للتعلم ؛ تنمية القدرة على التحدث والاستماع للآخرين.
• تطوير:تكوين استقلالية تفكير الطالب في تطبيق المعرفة في المواقف المختلفة ، والقدرة على التحليل واستخلاص النتائج ، وتطوير المنطق ، وتطوير القدرة على طرح الأسئلة بشكل صحيح وإيجاد إجابات لها. تحسين تكوين المهارات الحسابية والحسابية ، وتنمية تفكير الطلاب أثناء أداء المهام المقترحة ، وتطوير ثقافة حسابية.
• التعليمية: لتشكيل مفاهيم حول شبه منحني منحني الأضلاع ، حول جزء لا يتجزأ ، لإتقان مهارات حساب مناطق الأشكال المسطحة

طريقة التعليم:تفسيرية وتوضيحية.

خلال الفصول

في الفصول السابقة ، تعلمنا كيفية حساب مناطق الأشكال التي تكون حدودها عبارة عن خطوط متقطعة. في الرياضيات ، هناك طرق تسمح لك بحساب مساحة الأشكال التي تحدها المنحنيات. تسمى هذه الأشكال شبه المنحنية المنحنية ، ويتم حساب مساحتها باستخدام المشتقات العكسية.

شبه منحرف منحني الخطي ( شريحة 1)

شبه منحرف منحني الشكل هو شكل يحده الرسم البياني للوظيفة ، ( w م)، مستقيم س = أو س = بوالإحداثيات

أنواع مختلفة من شبه المنحنيات منحنية الخطوط ( الشريحة 2)

نحن نأخذ في الاعتبار أنواعًا مختلفة من شبه المنحنيات المنحنية ونلاحظ: يتدهور أحد الخطوط إلى نقطة ، ويتم لعب دور الوظيفة المحددة بواسطة الخط

مساحة شبه منحرف منحني الخطوط (الشريحة 3)

إصلاح الطرف الأيسر من الفترة الزمنية أ،و صحيح Xسوف نتغير ، على سبيل المثال ، نقوم بتحريك الجدار الأيمن لشكل شبه منحرف منحني الشكل ونحصل على شكل متغير. مساحة شبه المنحني المنحني المتغير التي يحدها الرسم البياني للوظيفة هي المشتق العكسي Fللوظيفة F

وعلى المقطع [ أ؛ ب] منطقة شبه منحرف منحنية الشكل تكونت بواسطة الوظيفة F،تساوي الزيادة في المشتق العكسي لهذه الوظيفة:

التمرين 1:

أوجد مساحة شبه منحني منحني الأضلاع يحده رسم بياني للدالة: و (س) = س 2ومباشر ص = 0 ، س = 1 ، س = 2.

المحلول: ( وفقًا لخوارزمية الشريحة 3)

ارسم رسمًا بيانيًا للوظيفة والخطوط

ابحث عن أحد المشتقات العكسية للدالة و (س) = س 2 :

شريحة الفحص الذاتي

متكامل

ضع في اعتبارك شبه منحرف منحني الأضلاع تعطيه الوظيفة Fفي الجزء [ أ؛ ب]. دعنا نقسم هذا المقطع إلى عدة أجزاء. سيتم تقسيم مساحة شبه المنحرف بالكامل إلى مجموع مناطق شبه المنحنيات الأصغر حجمًا. ( الشريحة 5). يمكن اعتبار كل شبه منحرف مستطيلًا تقريبًا. يعطي مجموع مساحات هذه المستطيلات فكرة تقريبية عن المساحة الكاملة لشبه المنحني ذي الخطوط المنحنية. أصغر نكسر المقطع [ أ؛ ب] ، كلما قمنا بحساب المنطقة بدقة أكبر.

نكتب هذه الاعتبارات في شكل صيغ.

قسّم المقطع [ أ؛ ب] إلى أجزاء n مع نقاط x 0 \ u003d a ، x1 ، ... ، xn \ u003d ب.طول ك-العاشر للدلالة به xk = xk - xk-1. دعونا نلخص

هندسيًا ، هذا المجموع هو مساحة الشكل المظللة في الشكل ( م.)

تسمى مجاميع النموذج المبالغ المتكاملة للوظيفة F. (sch.m.)

تعطي المجاميع التكاملية قيمة تقريبية للمنطقة. يتم الحصول على القيمة الدقيقة بالتمرير إلى الحد الأقصى. تخيل أننا صقلنا تقسيم المقطع [ أ؛ ب] بحيث تميل أطوال جميع الأجزاء الصغيرة إلى الصفر. بعد ذلك ، ستقترب مساحة الشكل المركب من منطقة شبه المنحرف المنحني الخطي. يمكننا القول أن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي حد المجموع المتكامل ، سك. (sch.m.)أو متكامل ، أي

تعريف:

تكامل الوظيفة و (خ)من أقبل بيسمى حد المبالغ المتكاملة

= (sch.m.)

صيغة نيوتن ليبنيز.

تذكر أن حدود المجاميع المتكاملة تساوي مساحة شبه منحرف منحني الخطوط ، لذلك يمكننا كتابة:

سك. = (sch.m.)

من ناحية أخرى ، يتم حساب مساحة شبه منحرف منحني الخطوط بواسطة الصيغة

S إلى. t. (sch.m.)

بمقارنة هذه الصيغ ، نحصل على:

= (sch.m.)

هذه المساواة تسمى صيغة نيوتن-لايبنيز.

لتسهيل العمليات الحسابية ، تتم كتابة الصيغة على النحو التالي:

= = (sch.m.)

المهام: (sch.m.)

1. احسب التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز: ( تحقق من الشريحة 5)

2. تجميع التكاملات وفقًا للرسم ( تحقق من الشريحة 6)

3. أوجد مساحة الشكل المحدود بالخطوط: y \ u003d x 3، y \ u003d 0، x \ u003d 1، x \ u003d 2. ( شريحة 7)

إيجاد مساحات الأشكال المستوية ( الشريحة 8)

كيف تجد مساحة الأشكال التي ليست شبه منحنية الخطوط؟

دعنا نعطي وظيفتين ، الرسوم البيانية التي تراها على الشريحة . (sch.m.)أوجد مساحة الشكل المظلل . (sch.m.). هل الشكل المعني هو شبه منحرف منحني الأضلاع؟ وكيف يمكنك إيجاد مساحتها باستخدام خاصية الإضافة للمنطقة؟ ضع في اعتبارك اثنين من شبه المنحرفين منحنيي الخطوط واطرح مساحة الآخر من منطقة أحدهما ( w م)

لنقم بعمل خوارزمية لإيجاد المنطقة من الرسم المتحرك على الشريحة:

1. وظائف المؤامرة
2. قم بإسقاط نقاط تقاطع الرسوم البيانية على المحور x
3. ظلل الشكل الذي تم الحصول عليه بعبور الرسوم البيانية
4. ابحث عن شبه المنحنيات المنحنية التي يكون تقاطعها أو اتحادها هو الشكل المحدد.
5. احسب مساحة كل منهما
6. أوجد الفرق أو مجموع المساحات

مهمة شفوية: كيفية الحصول على مساحة الشكل المظلل (أخبر باستخدام الرسوم المتحركة ، الشريحة 8 و 9)

الواجب المنزلي:أفرز الملخص ، رقم 353 (أ) ، رقم 364 (أ).

فهرس

1. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 9-11 من مساء (دوام) مدرسة / تحرير. ج. جليزر. - م: التنوير 1983.
2. باشماكوف م. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من المدرسة الإعدادية / باشماكوف م. - م: التنوير ، 1991.
3. باشماكوف م. الرياضيات: كتاب مدرسي للمؤسسات المبتدئة. ومتوسط الأستاذ. التعليم / M.I. باشماكوف. - م: الأكاديمية ، 2010.
4. كولموغوروف أ. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي يتكون من 10-11 خلية. المؤسسات التعليمية / A.N. Kolmogorov. - م: التنوير ، 2010.
5. Ostrovsky S.L. كيف أقوم بعمل عرض للدرس؟ / S.L. أوستروفسكي. - م: الأول من سبتمبر 2010.

احسب مساحة شكل محدد بخطوط.

المحلول.

نجد نقاط تقاطع المستقيمين المعينين. للقيام بذلك ، نحل نظام المعادلات:

لإيجاد حدود نقاط تقاطع الخطوط المعينة ، نحل المعادلة:

نجد: x 1 = -2, x 2 = 4.

إذن ، هذه الخطوط ، التي هي قطع مكافئ وخط مستقيم ، تتقاطع عند نقاط أ(-2; 0), ب(4; 6).

تشكل هذه الخطوط شكلاً مغلقًا ، مساحة التي يتم حسابها باستخدام الصيغة أعلاه:

وفقًا لصيغة Newton-Leibniz ، نجد:

أوجد مساحة المنطقة التي يحدها القطع الناقص.

المحلول.

من معادلة القطع الناقص للربع الأول لدينا. من هنا ، وفقًا للصيغة ، نحصل عليها

لنطبق التعويض x = أالخطيئة ر, dx = أكوس ر د. حدود جديدة للتكامل ر = α و ر = β من المعادلات 0 = أالخطيئة ر, أ = أالخطيئة ر. يمكن وضعها α = 0 و β = π /2.

نجد ربع المساحة المطلوبة

من هنا س = باب.

أوجد مساحة شكل محدد بخطوطذ = - x 2 + x + 4 وذ = - x + 1.

المحلول.

أوجد نقاط تقاطع الخطوط ذ = -x 2 + x + 4, ذ = -x+ 1 ، معادلة إحداثيات الخطوط: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 أو x 2 - 2x- 3 = 0. أوجد الجذور x 1 = -1, x 2 = 3 والإحداثيات المقابلة لها ذ 1 = 2, ذ 2 = -2.

باستخدام صيغة مساحة الشكل ، نحصل على

أوجد المنطقة المحاطة بالقطع المكافئذ = x 2 + 1 ومباشرx + ذ = 3.

المحلول.

حل جملة المعادلات

ابحث عن حدود نقاط التقاطع x 1 = -2 و x 2 = 1.

بافتراض ذ 2 = 3 - xو ذ 1 = x 2 + 1 ، بناءً على الصيغة التي نحصل عليها

احسب المساحة الموجودة في Bernoulli lemniscateص 2 = أ 2 كوس 2 φ .

المحلول.

في نظام الإحداثيات القطبية ، منطقة الشكل يحدها قوس المنحنى ص = F(φ ) واثنين من نصف القطر القطبي φ 1 = ʅ و φ 2 = ʆ ، يتم التعبير عنها بالتكامل

نظرًا لتماثل المنحنى ، نحدد أولاً ربع المساحة المرغوبة

لذلك ، فإن المساحة الإجمالية س = أ 2 .

احسب طول قوس أسترويدx 2/3 + ذ 2/3 = أ 2/3 .

المحلول.

نكتب معادلة أسترويد بالشكل

(x 1/3) 2 + (ذ 1/3) 2 = (أ 1/3) 2 .

هيا نضع x 1/3 = أ 1/3 كوس ر, ذ 1/3 = أ 1/3 خطيئة ر.

من هنا نحصل على المعادلات البارامترية للالسترويد

x = أكوس 3 ر, ذ = أالخطيئة 3 ر, (*)

حيث 0 ≤ ر ≤ 2π .

بالنظر إلى تناظر المنحنى (*) ، يكفي إيجاد ربع طول القوس إلالمقابلة لتغيير المعلمة رمن 0 إلى π /2.

نحن نحصل

dx = -3أكوس 2 رالخطيئة ر دت, دى = 3أالخطيئة 2 ركوس ر دت.

من هنا نجد

دمج التعبير الناتج في النطاق من 0 إلى π / 2 ، نحصل عليه

من هنا إل = 6أ.

ابحث عن المنطقة التي يحدها لولب أرخميدسص = أφ ومتجهين نصف قطر يتوافقان مع الزوايا القطبيةφ 1 وφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

المحلول.

منطقة يحدها منحنى ص = F(φ ) بواسطة الصيغة ، أين α و β - حدود تغير الزاوية القطبية.

وهكذا نحصل

(*)

من (*) يترتب على ذلك أن المنطقة التي يحدها المحور القطبي وأول منعطف لدوامة أرخميدس ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

وبالمثل ، نجد المنطقة التي يحدها المحور القطبي والدوران الثاني لولبية أرخميدس ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

المساحة المطلوبة تساوي الفرق بين هذه المناطق

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محورثور الشكل يحده قطع مكافئذ = x 2 وx = ذ 2 .

المحلول.

لنحل نظام المعادلات

واحصل على x 1 = 0, x 2 = 1, ذ 1 = 0, ذ 2 = 1 ومن أين تقاطع المنحنيات ا(0; 0), ب(أحد عشر). كما يتضح من الشكل ، فإن الحجم المطلوب لجسم الثورة يساوي الفرق بين المجلدين المتكونين بالدوران حول المحور ثورمنحنيات منحنية OCBAو ODBA:

احسب المنطقة التي يحدها المحورثور والجيوب الأنفيةذ = الخطيئةx على الأجزاء: أ) ؛ ب) .

المحلول.

أ) في المقطع ، دالة الخطيئة xيحافظ على العلامة ، وبالتالي بالصيغة ، على افتراض ذ= الخطيئة x، نجد

ب) على المقطع ، وظيفة الخطيئة xعلامة التغييرات. من أجل الحل الصحيح للمشكلة ، من الضروري تقسيم المقطع إلى قسمين و [ π , 2π ] ، وفي كل منها تحتفظ الوظيفة بعلامتها.

وفق قاعدة العلامات ، على المقطع [ π , 2π ] المنطقة مأخوذة بعلامة الطرح.

نتيجة لذلك ، فإن المنطقة المرغوبة تساوي

أوجد حجم الجسم المحدود بالسطح المتحصل عليه من دوران القطع الناقصحول المحور الرئيسيأ .

المحلول.

بالنظر إلى أن القطع الناقص متماثل حول محاور الإحداثيات ، يكفي إيجاد الحجم الناتج عن الدوران حول المحور ثورمنطقة OAB، تساوي ربع مساحة القطع الناقص ، وتضاعف النتيجة.

دعونا نشير إلى حجم جسد الثورة من خلاله الخامس x؛ ثم ، بناءً على الصيغة ، لدينا ، حيث 0 و أ- حدود النقاط بو أ. من معادلة القطع الناقص نجد. من هنا

وبالتالي ، فإن الحجم المطلوب يساوي. (عندما يدور القطع الناقص حول المحور الثانوي ب، حجم الجسم)

أوجد المنطقة التي يحدها القطع المكافئذ 2 = 2 مقصف وx 2 = 2 السنة التحضيرية .

المحلول.

أولًا ، نجد إحداثيات نقاط تقاطع القطوع المكافئة لتحديد فترة التكامل. تحويل المعادلات الأصلية ، نحصل على و. معادلة هذه القيم ، نحصل على أو x 4 - 8ص 3 x = 0.

x 4 - 8ص 3 x = x(x 3 - 8ص 3) = x(x - 2ص)(x 2 + 2مقصف + 4ص 2) = 0.

نجد جذور المعادلات:

معتبرا حقيقة أن النقطة أتقاطع القطع المكافئة في الربع الأول ، ثم حدود التكامل x= 0 و x = 2ص.

تم العثور على المنطقة المرغوبة بواسطة الصيغة

مثال 1 . احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: x + 2y - 4 = 0 ، y = 0 ، x = -3 ، و x = 2

دعونا نبني شكلاً (انظر الشكل). نبني خطًا مستقيمًا x + 2y - 4 \ u003d 0 على طول النقطتين A (4 ؛ 0) و B (0 ؛ 2). بالتعبير عن y بدلالة x ، نحصل على y \ u003d -0.5x + 2. وفقًا للصيغة (1) ، حيث f (x) \ u003d -0.5x + 2 ، a \ u003d -3 ، b \ u003d 2 ، نحن تجد

S \ u003d \ u003d [-0.25 = 11.25 قدم مربع. الوحدات

مثال 2 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: x - 2y + 4 \ u003d 0 ، x + y - 5 \ u003d 0 و y \ u003d 0.

المحلول. دعونا نبني شخصية.

لنقم ببناء خط مستقيم x - 2y + 4 = 0: y = 0، x = - 4، A (-4؛ 0)؛ س = 0 ، ص = 2 ، ب (0 ؛ 2).

لنقم ببناء خط مستقيم x + y - 5 = 0: y = 0، x = 5، С (5؛ 0)، x = 0، y = 5، D (0؛ 5).

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين بحل نظام المعادلات:

س = 2 ، ص = 3 ؛ م (2 ؛ 3).

لحساب المساحة المطلوبة ، نقسم مثلث AMC إلى مثلثين AMN و NMC ، لأنه عندما تتغير x من A إلى N ، تكون المنطقة محدودة بخط مستقيم ، وعندما تتغير x من N إلى C ، فإنها تكون خطًا مستقيمًا

بالنسبة للمثلث AMN لدينا: ؛ ص \ u003d 0.5x + 2 ، أي f (x) \ u003d 0.5x + 2 ، a \ u003d - 4 ، b \ u003d 2.

بالنسبة لمثلث NMC لدينا: y = - x + 5 ، أي f (x) = - x + 5 ، a = 2 ، b = 5.

بحساب مساحة كل من المثلثات وإضافة النتائج نجد:

قدم مربع الوحدات

قدم مربع الوحدات

9 + 4 ، 5 = 13.5 قدم مربع الوحدات تحقق: = 0.5AC = 0.5 متر مربع. الوحدات

مثال 3 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y = x 2 ، ص = 0 ، س = 2 ، س = 3.

في هذه الحالة ، يلزم حساب مساحة شبه منحرف منحني الخط يحده قطع مكافئ y = x 2 ، الخطوط المستقيمة x \ u003d 2 و x \ u003d 3 ومحور Ox (انظر الشكل). وفقًا للصيغة (1) ، نجد مساحة شبه منحرف منحني الخطي

= = 6 كيلو فولت. الوحدات

مثال 4 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d - x 2 + 4 و y = 0

دعونا نبني شخصية. المنطقة المرغوبة محاطة بين القطع المكافئ y \ u003d - x 2 + 4 ومحور اه.

أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. بافتراض y \ u003d 0 ، نجد x \ u003d نظرًا لأن هذا الرقم متماثل حول محور Oy ، فإننا نحسب مساحة الشكل الموجود على يمين محور Oy ، ونضاعف النتيجة: \ u003d + 4x] قدم مربع الوحدات 2 = 2 قدم مربع الوحدات

مثال 5 احسب مساحة شكل محدد بخطوط: y 2 = س ، ص = 1 ، س = 4

مطلوب هنا حساب مساحة شبه المنحني المنحني الخطي الذي يحده الفرع العلوي من القطع المكافئ y 2 \ u003d س ، محور الثور والخطوط المستقيمة س \ u003d 1 س \ u003d 4 (انظر الشكل).

وفقًا للصيغة (1) ، حيث f (x) = a = 1 و b = 4 ، لدينا = (= وحدات مربعة)

مثال 6 . احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y = sinx ، y = 0 ، x = 0 ، x =.

المنطقة المرغوبة محدودة بنصف الموجة الجيبية ومحور الثور (انظر الشكل).

لدينا - cosx \ u003d - cos \ u003d 1 + 1 \ u003d 2 متر مربع. الوحدات

مثال 7 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d - 6x ، y \ u003d 0 و x \ u003d 4.

يقع الشكل تحت محور الثور (انظر الشكل).

لذلك ، تم العثور على مساحتها بواسطة الصيغة (3)

= =

المثال 8 احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y \ u003d و x \ u003d 2. سنبني المنحنى y \ u003d بالنقاط (انظر الشكل). وبالتالي ، يتم العثور على مساحة الشكل بالصيغة (4)

المثال 9 .

X 2 + ص 2 = ص 2 .

هنا تحتاج إلى حساب المساحة التي تحدها الدائرة x 2 + ص 2 = ص 2 ، أي مساحة دائرة نصف قطرها r المتمركزة في الأصل. لنجد الجزء الرابع من هذه المنطقة ، ونأخذ حدود التكامل من 0

دور. نملك: 1 = = [

بالتالي، 1 =

المثال 10 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d x 2 و y = 2x

هذا الرقم محدود بواسطة القطع المكافئ y \ u003d x 2 والخط المستقيم y \ u003d 2x (انظر الشكل). لتحديد نقاط التقاطع للخطوط المحددة ، نقوم بحل نظام المعادلات: x 2 - 2 س = 0 س = 0 و س = 2

باستخدام الصيغة (5) لإيجاد المساحة ، نحصل عليها

= }