نظرية فييتا. أمثلة الحل. نظرية فييتا للمعادلات التربيعية والمعادلات الأخرى حل المعادلات التربيعية باستخدام أمثلة نظرية فييتا
صياغة وإثبات نظرية فييتا للمعادلات التربيعية. نظرية فييتا المعكوسة. نظرية فييتا للمعادلات التكعيبية ومعادلات الترتيب التعسفي.
محتوىأنظر أيضا: جذور المعادلة التربيعية
المعادلات التربيعية
نظرية فييتا
دعنا نشير إلى جذور المعادلة التربيعية المختزلة
(1)
.
ثم مجموع الجذور يساوي المعامل المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني:
;
.
ملاحظة حول الجذور المتعددة
إذا كان مميز المعادلة (1) هو صفر ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد. ولكن لتجنب الصياغات المرهقة ، من المقبول عمومًا أنه في هذه الحالة ، يكون للمعادلة (1) جذور متعددة أو متساوية:
.
دليل واحد
دعونا نجد جذور المعادلة (1). للقيام بذلك ، قم بتطبيق الصيغة الخاصة بجذور المعادلة التربيعية:
;
;
.
إيجاد مجموع الجذور:
.
للعثور على المنتج ، نطبق الصيغة:
.
ثم
.
لقد تم إثبات النظرية.
الإثبات الثاني
إذا كانت الأرقام وجذور المعادلة التربيعية (1) ، إذن
.
نفتح الأقواس.
.
وبالتالي ، ستأخذ المعادلة (1) الشكل:
.
بالمقارنة مع (1) نجد:
;
.
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية فييتا المعكوسة
يجب ألا تكون هناك أرقام عشوائية. ثم هي جذور المعادلة التربيعية
,
أين
(2)
;
(3)
.
دليل على نظرية العكس في فييتا
ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية
(1)
.
نحن بحاجة لإثبات ذلك إذا ، إذن ، وما هي جذور المعادلة (1).
استبدل (2) و (3) بـ (1):
.
نقوم بتجميع شروط الجانب الأيسر من المعادلة:
;
;
(4)
.
البديل بـ (4):
;
.
البديل بـ (4):
;
.
تحققت المعادلة. أي أن الرقم هو جذر المعادلة (1).
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة
فكر الآن في المعادلة التربيعية الكاملة
(5)
,
أين ، و هي بعض الأرقام. و .
نقسم المعادلة (5) على:
.
أي أننا حصلنا على المعادلة أعلاه
,
أين ؛ .
ثم فإن نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة لها الشكل التالي.
دع ونشير إلى جذور المعادلة التربيعية الكاملة
.
ثم يتم تحديد مجموع ومنتج الجذور من خلال الصيغ:
;
.
نظرية فييتا لمعادلة تكعيبية
وبالمثل ، يمكننا إنشاء روابط بين جذور المعادلة التكعيبية. ضع في اعتبارك المعادلة التكعيبية
(6)
,
حيث توجد بعض الأرقام. و .
دعنا نقسم هذه المعادلة على:
(7)
,
أين ، ، .
لنكن جذور المعادلة (7) (والمعادلة (6)). ثم
.
بالمقارنة مع المعادلة (7) نجد:
;
;
.
نظرية فييتا لمعادلة الدرجة التاسعة
بالطريقة نفسها ، يمكنك إيجاد روابط بين الجذور ، ... ، لمعادلة الدرجة التاسعة
.
نظرية فييتا لمعادلة الدرجة التاسعة لها الشكل التالي:
;
;
;
.
للحصول على هذه الصيغ ، نكتب المعادلة بالشكل التالي:
.
ثم نساوي المعاملات عند ، ، ، ... ، ونقارن بين المصطلح الحر.
مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.
سم. نيكولسكي ، م. Potapov وآخرون ، الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن من المؤسسات التعليمية ، موسكو ، التعليم ، 2006.
تسمح لنا نظرية فييتا (بتعبير أدق ، النظرية العكسية لنظرية فييتا) بتقليل الوقت اللازم لحل المعادلات التربيعية. تحتاج فقط إلى معرفة كيفية استخدامه. كيف تتعلم حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا؟ إنه سهل إذا كنت تفكر قليلاً.
الآن سنتحدث فقط عن حل المعادلة التربيعية المختصرة باستخدام نظرية فيتا ، والمعادلة التربيعية المختزلة هي معادلة يكون فيها a ، أي المعامل أمام x² ، يساوي واحدًا. يمكن أيضًا حل المعادلات التربيعية غير المعطاة باستخدام نظرية فيتا ، ولكن هناك بالفعل واحدًا على الأقل من الجذور ليس عددًا صحيحًا. من الصعب تخمينها.
تقول النظرية المعكوسة لنظرية فييتا: إذا كان الرقمان x1 و x2 هكذا
ثم x1 و x2 هي جذور المعادلة التربيعية
عند حل معادلة تربيعية باستخدام نظرية فييتا ، هناك 4 خيارات فقط ممكنة. إذا كنت تتذكر مسار التفكير ، فيمكنك أن تتعلم العثور على الجذور الكاملة بسرعة كبيرة.
1- إذا كانت q عددًا موجبًا ،
هذا يعني أن الجذور x1 و x2 هي أرقام من نفس العلامة (لأنه فقط عند ضرب الأرقام بنفس العلامات ، يتم الحصول على رقم موجب).
I ل. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (على التوالي ، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
ب. إذا كان -p رقمًا سالبًا ، (على التوالي ، p> 0) ، ثم كلا الجذور عبارة عن أرقام سالبة (أضافوا أرقامًا من نفس العلامة ، وحصلوا على رقم سالب).
ثانيًا. إذا كان q رقمًا سالبًا ،
هذا يعني أن الجذور x1 و x2 لها علامات مختلفة (عند ضرب الأرقام ، يتم الحصول على رقم سالب فقط عندما تختلف علامات العوامل). في هذه الحالة ، لم يعد x1 + x2 مجموعًا ، بل فرقًا (بعد كل شيء ، عند إضافة أرقام بعلامات مختلفة ، نطرح الأصغر من النموذج الأكبر). لذلك ، يوضح x1 + x2 مدى اختلاف الجذور x1 و x2 ، أي مقدار جذر واحد أكثر من الآخر (modulo).
II.a. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (أي ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. إذا كان -p رقمًا سالبًا ، (p> 0) ، فإن الجذر الأكبر (modulo) هو رقم سلبي.
ضع في اعتبارك حل المعادلات التربيعية وفقًا لنظرية فييتا باستخدام الأمثلة.
حل المعادلة التربيعية المحددة باستخدام نظرية فييتا:
هنا q = 12> 0 ، لذا فإن الجذور x1 و x2 عددان من نفس العلامة. مجموعهم هو -p = 7> 0 ، لذا فإن كلا الجذور أرقام موجبة. نختار الأعداد الصحيحة التي يكون حاصل ضربها 12. هذه هي 1 و 12 ، 2 و 6 ، 3 و 4. المجموع 7 للزوج 3 و 4. وبالتالي ، 3 و 4 هما جذور المعادلة.
في هذا المثال ، q = 16> 0 ، مما يعني أن الجذور x1 و x2 أرقام من نفس العلامة. مجموعهم -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
هنا q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ، فالعدد الأكبر يكون موجبًا. إذن ، الجذور هي 5 و -3.
ف = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
فرانسوا فييتا (1540-1603) - عالم رياضيات ، مبتكر صيغ فيتا الشهيرة
نظرية فييتااللازمة لحل المعادلات التربيعية بسرعة (بعبارات بسيطة).
بمزيد من التفصيل ، ر نظرية فييتا - هذا مجموع جذور هذه المعادلة التربيعية يساوي المعامل الثاني ، الذي يؤخذ بعلامة معاكسة ، ويكون الناتج مساويًا للمصطلح الحر. هذه الخاصية لها أي معادلة تربيعية لها جذور.
باستخدام نظرية فييتا ، يمكنك بسهولة حل المعادلات التربيعية عن طريق الاختيار ، لذلك دعنا نقول "شكرًا" لعالم الرياضيات هذا الذي يحمل سيفًا في يديه لصفنا السابع السعيد.
إثبات نظرية فييتا
لإثبات النظرية ، يمكنك استخدام صيغ الجذر المعروفة ، والتي بفضلها سنؤلف مجموع وحاصل جذر المعادلة التربيعية. بعد ذلك فقط يمكننا التأكد من أنهم متساوون ، وبالتالي ،
لنفترض أن لدينا معادلة:. هذه المعادلة لها الجذور التالية: و. دعونا نثبت ذلك ،.
وفقًا لصيغ جذور المعادلة التربيعية:
1. أوجد مجموع الجذور:
دعنا نحلل هذه المعادلة ، حيث حصلنا عليها بالضبط مثل هذا:
= .
الخطوة 1. لقد اختزلنا الكسور إلى قاسم مشترك ، اتضح:
= = .
الخطوة 2. لدينا كسر حيث تحتاج إلى فتح الأقواس:
نقوم بتقليل الكسر بمقدار 2 ونحصل على:
لقد أثبتنا العلاقة بين مجموع جذور المعادلة التربيعية باستخدام نظرية فييتا.
2. ابحث عن ناتج الجذور:
= = = = = .
دعنا نثبت هذه المعادلة:
الخطوة 1. هناك قاعدة لضرب الكسور ، والتي بموجبها نضرب هذه المعادلة:
الآن نتذكر تعريف الجذر التربيعي ونأخذ في الاعتبار:
= .
الخطوه 3. نتذكر مميز المعادلة التربيعية:. لذلك ، بدلاً من D (المميز) ، نعوض في الكسر الأخير ، ثم نحصل على:
= .
الخطوة 4. افتح الأقواس وأضف المصطلحات المتشابهة إلى الكسور:
الخطوة الخامسة. نقوم بتقليل "4a" ونحصل على.
لذلك أثبتنا العلاقة بين حاصل ضرب الجذور وفقًا لنظرية فييتا.
مهم!إذا كان المميز صفرًا ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد فقط.
نظرية معكوسة لنظرية فييتا
وفقًا للنظرية ، معكوس نظرية فييتا ، يمكننا التحقق مما إذا تم حل المعادلة بشكل صحيح. لفهم النظرية نفسها ، نحتاج إلى النظر فيها بمزيد من التفصيل.
إذا كانت الأرقام:
ومن ثم فهي جذور المعادلة التربيعية.
دليل على نظرية العكس في فييتا
الخطوة 1.دعونا نستبدل تعبيرات معاملاتها في المعادلة:
الخطوة 2دعنا نحول الجانب الأيسر من المعادلة:
الخطوه 3. لنجد جذور المعادلة ، ولهذا نستخدم خاصية أن المنتج يساوي صفرًا:
أو . من أين أتت: أو.
أمثلة مع حلول بواسطة نظرية فييتا
مثال 1
ممارسه الرياضه
أوجد مجموع ومنتج ومجموع مربعات جذور معادلة تربيعية دون إيجاد جذور المعادلة.
المحلول
الخطوة 1. تذكر الصيغة المميزة. نعوض بأرقامنا تحت الحروف. هذا هو ، بديل عن و. هذا يعني:
اتضح:
Title = "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}
نعبر عن مجموع مربعات الجذور من خلال مجموعها وحاصل ضربها:
إجابه
7; 12; 25.
مثال 2
ممارسه الرياضه
حل المعادلة. في هذه الحالة ، لا تستخدم صيغ المعادلة التربيعية.
المحلول
هذه المعادلة لها جذور أكبر من الصفر من حيث المميز (د). وفقًا لذلك ، وفقًا لنظرية Vieta ، يكون مجموع جذور هذه المعادلة هو 4 ، ويكون الناتج 5. أولاً ، نحدد قواسم العدد ، ومجموعها 4. هذه هي الأرقام "5" و "-1". حاصل ضربهم يساوي - 5 ، ومجموع - 4. ومن ثم ، وفقًا للنظرية ، عكس نظرية فييتا ، فإنهما يمثلان جذور هذه المعادلة.
إجابه
و مثال 4
ممارسه الرياضه
اكتب معادلة حيث يكون كل جذر ضعف الجذر المقابل للمعادلة:
المحلول
وفقًا لنظرية فييتا ، فإن مجموع جذور هذه المعادلة هو 12 ، وحاصل الضرب = 7. ومن ثم فإن الجذور موجبة.
سيكون مجموع جذور المعادلة الجديدة مساويًا لـ:
والعمل.
من خلال نظرية معاكسة لنظرية فييتا ، فإن المعادلة الجديدة لها الشكل:
إجابه
كانت النتيجة معادلة ، كل جذر لها أكبر بمرتين:
لذلك ، نظرنا في كيفية حل معادلة باستخدام نظرية فييتا. من المريح جدًا استخدام هذه النظرية إذا تم حل المهام المرتبطة بعلامات جذور المعادلات التربيعية. بمعنى ، إذا كان المصطلح المجاني في الصيغة عددًا موجبًا ، وإذا كانت هناك جذور حقيقية في المعادلة التربيعية ، فيمكن أن يكون كلاهما إما سالبًا أو موجبًا.
وإذا كان المصطلح المجاني رقمًا سالبًا ، وإذا كانت هناك جذور حقيقية في المعادلة التربيعية ، فستكون كلتا العلامتين مختلفتين. أي إذا كان أحد الجذر موجبًا ، فسيكون الجذر الآخر سالبًا فقط.
مصادر مفيدة:
- Dorofeev G. V.، Suvorova S. B.، Bunimovich E. A. Algebra Grade 8: Moscow “Enlightenment”، 2016 - 318 p.
- Rubin A. G. ، Chulkov P. V. - كتاب مدرسي Algebra Grade 8: Moscow "Balass" ، 2015 - 237 p.
- Nikolsky S.M، Potopav M.K، Reshetnikov N.N، Shevkin A. V. - Algebra Grade 8: Moscow “Enlightenment”، 2014 - 300
نظرية فييتا ، صيغة فييتا المعكوسة وأمثلة مع حل للدمىتم التحديث: 22 نوفمبر 2019 بواسطة: مقالات علمية
في الصف الثامن يتعرف الطلاب على المعادلات التربيعية وكيفية حلها. في الوقت نفسه ، كما تظهر التجربة ، يستخدم معظم الطلاب طريقة واحدة فقط عند حل المعادلات التربيعية الكاملة - صيغة جذور المعادلة التربيعية. بالنسبة للطلاب الذين يتمتعون بمهارات عد شفوي جيدة ، من الواضح أن هذه الطريقة غير منطقية. غالبًا ما يتعين على الطلاب حل المعادلات التربيعية في المدرسة الثانوية ، ومن المؤسف ببساطة قضاء الوقت في حساب المميز. في رأيي ، عند دراسة المعادلات التربيعية ، ينبغي إيلاء المزيد من الوقت والاهتمام لتطبيق نظرية فييتا (وفقًا لبرنامج A.G. Mordkovich Algebra-8 ، تم التخطيط لساعتين فقط لدراسة موضوع "نظرية فييتا. a مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل خطية ").
في معظم كتب الجبر ، تمت صياغة هذه النظرية لمعادلة تربيعية مختصرة وتقول أن إذا كانت المعادلة لها جذور ، فإنها تفي بالمساواة ،.ثم يتم صياغة بيان يتعارض مع نظرية فييتا ، ويتم تقديم عدد من الأمثلة للعمل على هذا الموضوع.
لنأخذ أمثلة محددة ونتتبع منطق الحل عليها باستخدام نظرية فييتا.
مثال 1. حل المعادلة.
لنفترض أن هذه المعادلة لها جذور ، وهي و. ثم ، من خلال نظرية فييتا ، المساواة
لاحظ أن حاصل ضرب الجذور هو عدد موجب. إذن ، جذور المعادلة لها نفس العلامة. وبما أن مجموع الجذور هو أيضًا عدد موجب ، فإننا نستنتج أن كلا جذري المعادلة موجبان. لنعد إلى حاصل ضرب الجذور. افترض أن جذور المعادلة أعداد صحيحة موجبة. ثم يمكن الحصول على المساواة الأولى الصحيحة بطريقتين فقط (حتى ترتيب العوامل): أو. دعنا نتحقق من أزواج الأرقام المقترحة جدوى التأكيد الثاني لنظرية فييتا: 
. وبالتالي ، فإن الرقمين 2 و 3 يرضيان كلا من المساواة ، وبالتالي هما جذور المعادلة المعطاة.
الجواب: 2 ؛ 3.
نفرد المراحل الرئيسية للتفكير عند حل المعادلة التربيعية باستخدام نظرية فييتا:
| اكتب تأكيد نظرية فييتا | (*) |
- تحديد علامات جذور المعادلة (إذا كان الناتج ومجموع الجذور موجبين ، يكون كلا الجذور أرقام موجبة. إذا كان حاصل ضرب الجذور عددًا موجبًا ، وكان مجموع الجذور سالبًا ، إذن كلا الجذور عبارة عن أرقام سالبة. إذا كان حاصل ضرب الجذور عددًا سالبًا ، فإن للجذور إشارات مختلفة. علاوة على ذلك ، إذا كان مجموع الجذور موجبًا ، فإن الجذر الذي يحتوي على معامل أكبر هو رقم موجب ، وإذا كان مجموع الجذور أقل من الصفر ، ثم الجذر ذو المعامل الأكبر هو رقم سالب) ؛
- تحديد أزواج من الأعداد الصحيحة التي يعطي ناتجها المساواة الأولى الصحيحة في الترميز (*) ؛
- من أزواج الأرقام التي تم العثور عليها ، اختر الزوج الذي ، عند استبداله بالمساواة الثانية في العلامة (*) ، سيعطي المساواة الصحيحة ؛
- أشر في الإجابة إلى الجذور التي تم العثور عليها للمعادلة.
دعنا نعطي بعض الأمثلة.
مثال 2: حل المعادلة 
.
المحلول.
لنكن جذور المعادلة المعطاة. ثم حسب نظرية فييتا ، لاحظ أن المنتج موجب وأن المجموع سالب. إذن كلا الجذور عبارة عن أعداد سالبة. نختار أزواج من العوامل التي تعطي حاصل ضرب 10 (-1 و -10 ؛ -2 و -5). يضيف الزوج الثاني من الأرقام ما يصل إلى -7. لذا فإن العددين -2 و -5 هما جذور هذه المعادلة.
إجابه: -2; -5.
مثال 3. حل المعادلة 
.
المحلول.
لنكن جذور المعادلة المعطاة. ثم من خلال نظرية فييتا لاحظ أن المنتج سلبي. لذا فإن الجذور لها علامات مختلفة. مجموع الجذور هو أيضًا رقم سالب. ومن ثم ، فإن الجذر الذي له أكبر معامل هو سالب. نختار أزواجًا من العوامل التي تعطي المنتج -10 (1 و -10 ؛ 2 و -5). مجموع زوج الأرقام الثاني يصل إلى -3. إذن ، العددين 2 و -5 هما جذور هذه المعادلة.
إجابه: 2; -5.
لاحظ أنه يمكن من حيث المبدأ صياغة نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة: إذا كانت المعادلة التربيعية 
لها جذور ، ثم ترضي المساواة ،.ومع ذلك ، فإن تطبيق هذه النظرية يمثل مشكلة إلى حد ما ، لأنه في المعادلة التربيعية الكاملة ، يكون أحد الجذور على الأقل (إن وجد بالطبع) عددًا كسريًا. والعمل مع اختيار الكسور عملية طويلة وصعبة. لكن لا يزال هناك مخرج.
ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية الكاملة . اضرب طرفي المعادلة بالمعامل الأول أواكتب المعادلة بالصيغة 
. نقدم متغيرًا جديدًا ونحصل على معادلة تربيعية مختصرة ، يمكن العثور على جذورها و (إن وجدت) باستخدام نظرية فييتا. ثم ستكون جذور المعادلة الأصلية. لاحظ أنه من السهل جدًا كتابة المعادلة المختصرة المساعدة: يتم الحفاظ على المعامل الثاني ، والمعامل الثالث يساوي المنتج أجاد. بمهارة معينة ، يقوم الطلاب على الفور بتكوين معادلة مساعدة ، والعثور على جذورها باستخدام نظرية فييتا والإشارة إلى جذور المعادلة الكاملة المعطاة. دعنا نعطي أمثلة.
مثال 4. حل المعادلة 
.
لنقم بمعادلة مساعدة 
ومن خلال نظرية فييتا نجد جذورها. إذن جذور المعادلة الأصلية 
.
إجابه: .
مثال 5. حل المعادلة 
.
المعادلة المساعدة لها الشكل. من خلال نظرية فييتا ، جذورها. نجد جذور المعادلة الأصلية 
.
إجابه: .
وهناك حالة أخرى عندما يتيح لك تطبيق نظرية فييتا إيجاد جذور معادلة تربيعية كاملة شفهيًا. من السهل إثبات ذلك الرقم 1 هو جذر المعادلة ، إذا وفقط إذا. تم العثور على الجذر الثاني للمعادلة من خلال نظرية فييتا ويساوي. بيان آخر: بحيث يكون الرقم -1 هو جذر المعادلة ضرورية وكافية ل. إذن الجذر الثاني للمعادلة وفقًا لنظرية فييتا يساوي. يمكن صياغة عبارات مماثلة للمعادلة التربيعية المختصرة.
مثال 6. حل المعادلة.
لاحظ أن مجموع معاملات المعادلة هو صفر. إذن جذور المعادلة 
.
إجابه: .
مثال 7. حل المعادلة.
معاملات هذه المعادلة ترضي الخاصية
(في الواقع ، 1 - (- 999) + (- 1000) = 0). إذن جذور المعادلة 
.
إجابه: ..
أمثلة لتطبيق نظرية فييتا
المهمة 1. حل المعادلة التربيعية باستخدام نظرية فييتا.
1. 
6. 
11. 16. 
2. 7. 
12. 17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
المهمة 2. حل المعادلة التربيعية الكاملة باستخدام الانتقال إلى المعادلة التربيعية المختزلة المساعدة.
1. 
6. 
11. 
16. 
2. 
7. 
12. 
17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
المهمة 3. قم بحل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الخاصية.
عند دراسة طرق حل معادلات الدرجة الثانية في مقرر الجبر المدرسي ، ضع في اعتبارك خصائص الجذور التي تم الحصول عليها. تُعرف الآن باسم نظريات فييتا. يتم إعطاء أمثلة على استخدامه في هذه المقالة.
معادلة من الدرجة الثانية
معادلة الدرجة الثانية هي المساواة ، والتي تظهر في الصورة أدناه.
هنا الرموز أ ، ب ، ج هي بعض الأرقام التي تسمى معاملات المعادلة قيد الدراسة. لحل المساواة ، عليك إيجاد قيم x التي تجعلها صحيحة.
لاحظ أنه نظرًا لأن القيمة القصوى للقوة التي يتم رفع x إليها تساوي اثنين ، فإن عدد الجذور في الحالة العامة هو اثنان أيضًا.
هناك عدة طرق لحل هذا النوع من المساواة. في هذه المقالة ، سننظر في أحدها ، والذي يتضمن استخدام ما يسمى نظرية فييتا.
بيان نظرية فييتا
في نهاية القرن السادس عشر ، لاحظ عالم الرياضيات الشهير فرانسوا فيت (فرنسي) ، وهو يحلل خصائص جذور المعادلات التربيعية المختلفة ، أن مجموعات معينة منها ترضي علاقات محددة. على وجه الخصوص ، هذه المجموعات هي نتاجها ومجموعها.
تؤسس نظرية فييتا ما يلي: جذور المعادلة التربيعية ، عند جمعها ، تعطي نسبة المعاملات الخطية إلى المعامِلات التربيعية المأخوذة بالإشارة المعاكسة ، وعندما تُضرب ، فإنها تؤدي إلى نسبة المصطلح الحر إلى المعامل التربيعي .
إذا كان الشكل العام للمعادلة مكتوبًا كما هو موضح في الصورة في القسم السابق من المقالة ، فيمكن كتابة هذه النظرية رياضيًا على هيئة مساوتين:
- ص 2 + ص 1 \ u003d -b / أ ؛
- ص 1 × ص 2 \ u003d ج / أ.
حيث r 1 ، r 2 هي قيمة جذور المعادلة المدروسة.
يمكن استخدام هاتين المعادلتين لحل عدد من المسائل الرياضية المختلفة جدًا. يتم إعطاء استخدام نظرية فييتا في الأمثلة مع الحل في الأقسام التالية من المقالة.
