نظرية فييتا للمعادلات التربيعية والمعادلات الأخرى. نظرية فييتا. أمثلة على استخدام صيغة حل المعادلات التربيعية فيتا

يعد التطبيق إحدى طرق حل المعادلة التربيعية صيغ VIETA، الذي سمي على اسم فرانسوا فييت.

كان محامياً مشهوراً ، وعمل في القرن السادس عشر مع الملك الفرنسي. في أوقات فراغه درس علم الفلك والرياضيات. أسس علاقة بين الجذور والمعاملات للمعادلة التربيعية.

مزايا الصيغة:

1 . من خلال تطبيق الصيغة ، يمكنك إيجاد الحل بسرعة. لأنك لا تحتاج إلى إدخال المعامل الثاني في المربع ، ثم اطرح 4ac منه ، أوجد المميز ، وعوض بقيمته في الصيغة لإيجاد الجذور.

2 . بدون حل ، يمكنك تحديد علامات الجذور والتقاط قيم الجذور.

3 . بعد حل نظام سجلين ، ليس من الصعب العثور على الجذور بأنفسهم. في المعادلة التربيعية أعلاه ، مجموع الجذور يساوي قيمة المعامل الثاني بعلامة ناقص. حاصل ضرب الجذور في المعادلة التربيعية أعلاه يساوي قيمة المعامل الثالث.

4 . وفقًا للجذور المعطاة ، اكتب معادلة تربيعية ، أي حل المسألة العكسية. على سبيل المثال ، تُستخدم هذه الطريقة في حل المشكلات في الميكانيكا النظرية.

5 . من الملائم تطبيق الصيغة عندما يكون المعامل الأول مساويًا لواحد.

عيوب:

1 . الصيغة ليست عالمية.

نظرية فييتا الصف الثامن

معادلة
إذا كانت x 1 و x 2 هي جذور المعادلة التربيعية المحددة x 2 + px + q \ u003d 0 ، إذن:

أمثلة
× 1 \ u003d -1 ؛ س 2 \ u003d 3 - جذور المعادلة × 2 - 2 س - 3 \ u003d 0.

P = -2 ، q = -3.

X 1 + x 2 \ u003d -1 + 3 \ u003d 2 \ u003d -p ،

س 1 × 2 = -1 3 = -3 = ف.

نظرية المعكوس

معادلة
إذا كانت الأرقام x 1 ، x 2 ، p ، q متصلة بالشروط:

ثم x 1 و x 2 هما جذور المعادلة x 2 + px + q = 0.

مثال
لنصنع معادلة من الدرجة الثانية من جذورها:

س 1 \ u003d 2 -؟ 3 و x 2 \ u003d 2 +؟ 3.

P \ u003d x 1 + x 2 \ u003d 4 ؛ ع = -4 ؛ ف \ u003d × 1 × 2 \ u003d (2 -؟ 3) (2 +؟ 3) \ u003d 4 - 3 \ u003d 1.

المعادلة المرغوبة لها الشكل: x 2 - 4x + 1 = 0.

صياغة وإثبات نظرية فييتا للمعادلات التربيعية. نظرية فييتا المعكوسة. نظرية فييتا للمعادلات التكعيبية ومعادلات الترتيب التعسفي.

محتوى

أنظر أيضا: جذور المعادلة التربيعية

المعادلات التربيعية

نظرية فييتا

دعنا نشير إلى جذور المعادلة التربيعية المختزلة
(1) .
ثم مجموع الجذور يساوي المعامل المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني:
;
.

ملاحظة حول الجذور المتعددة

إذا كان مميز المعادلة (1) هو صفر ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد. ولكن لتجنب الصياغات المرهقة ، من المقبول عمومًا أنه في هذه الحالة ، يكون للمعادلة (1) جذور متعددة أو متساوية:
.

دليل واحد

دعونا نجد جذور المعادلة (1). للقيام بذلك ، قم بتطبيق الصيغة الخاصة بجذور المعادلة التربيعية:
;
;
.

إيجاد مجموع الجذور:
.

للعثور على المنتج ، نطبق الصيغة:
.
ثم

.

لقد تم إثبات النظرية.

الإثبات الثاني

إذا كانت الأرقام وجذور المعادلة التربيعية (1) ، إذن
.
نفتح الأقواس.

.
وبالتالي ، ستأخذ المعادلة (1) الشكل:
.
بالمقارنة مع (1) نجد:
;
.

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية فييتا المعكوسة

يجب ألا تكون هناك أرقام عشوائية. ثم هي جذور المعادلة التربيعية
,
أين
(2) ;
(3) .

دليل على نظرية العكس في فييتا

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية
(1) .
نحن بحاجة لإثبات ذلك إذا ، إذن ، وما هي جذور المعادلة (1).

استبدل (2) و (3) بـ (1):
.
نقوم بتجميع شروط الجانب الأيسر من المعادلة:
;
;
(4) .

البديل بـ (4):
;
.

البديل بـ (4):
;
.
تحققت المعادلة. أي أن الرقم هو جذر المعادلة (1).

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة

فكر الآن في المعادلة التربيعية الكاملة
(5) ,
أين ، و هي بعض الأرقام. و .

نقسم المعادلة (5) على:
.
أي أننا حصلنا على المعادلة أعلاه
,
أين ؛ .

ثم فإن نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة لها الشكل التالي.

دع ونشير إلى جذور المعادلة التربيعية الكاملة
.
ثم يتم تحديد مجموع ومنتج الجذور من خلال الصيغ:
;
.

نظرية فييتا لمعادلة تكعيبية

وبالمثل ، يمكننا إنشاء روابط بين جذور المعادلة التكعيبية. ضع في اعتبارك المعادلة التكعيبية
(6) ,
حيث توجد بعض الأرقام. و .
دعنا نقسم هذه المعادلة على:
(7) ,
أين ، ، .
لنكن جذور المعادلة (7) (والمعادلة (6)). ثم

.

بالمقارنة مع المعادلة (7) نجد:
;
;
.

نظرية فييتا لمعادلة الدرجة التاسعة

بالطريقة نفسها ، يمكنك إيجاد روابط بين الجذور ، ... ، لمعادلة الدرجة التاسعة
.

نظرية فييتا لمعادلة الدرجة التاسعة لها الشكل التالي:
;
;
;

.

للحصول على هذه الصيغ ، نكتب المعادلة بالشكل التالي:
.
ثم نساوي المعاملات عند ، ، ، ... ، ونقارن بين المصطلح الحر.

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.
سم. نيكولسكي ، م. Potapov وآخرون ، الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن من المؤسسات التعليمية ، موسكو ، التعليم ، 2006.

أنظر أيضا:

في هذه المحاضرة سوف نتعرف على العلاقات الغريبة بين جذور المعادلة التربيعية ومعاملاتها. تم اكتشاف هذه العلاقات لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت (1540-1603).

على سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة Зx 2 - 8x - 6 \ u003d 0 ، دون العثور على جذورها ، يمكنك باستخدام نظرية Vieta أن تقول على الفور أن مجموع الجذور هو ، وحاصل ضرب الجذور هو
أي - 2. وبالنسبة للمعادلة x 2-6x + 8 \ u003d 0 نستنتج: مجموع الجذور هو 6 ، وحاصل ضرب الجذور هو 8 ؛ بالمناسبة ، ليس من الصعب تخمين ما تساوي الجذور: 4 و 2.
إثبات نظرية فييتا. تم العثور على الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية ax 2 + bx + c \ u003d 0 بواسطة الصيغ

حيث D \ u003d b 2 - 4ac هو مميز المعادلة. زرع هذه الجذور
نحن نحصل

الآن نحسب حاصل ضرب الجذور x 1 و x 2 لدينا

وثبت العلاقة الثانية:
تعليق. تعتبر نظرية فييتا صالحة أيضًا في الحالة التي يكون فيها للمعادلة التربيعية جذر واحد (أي عندما يكون D \ u003d 0) ، في هذه الحالة يعتبر أن للمعادلة جذرين متطابقين ، حيث يتم تطبيق العلاقات أعلاه .
تأخذ العلاقات المثبتة للمعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q \ u003d 0 شكلاً بسيطًا بشكل خاص.في هذه الحالة ، نحصل على:

× 1 \ u003d × 2 \ u003d -p ، × 1 × 2 \ u003d q
أولئك. مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، المأخوذ مع الإشارة المعاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر.
باستخدام نظرية فييتا ، يمكن للمرء أيضًا الحصول على علاقات أخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q = 0. ثم

ومع ذلك ، فإن الغرض الرئيسي من نظرية فييتا ليس أنها تعبر عن علاقات معينة بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. الأهم من ذلك هو حقيقة أنه بمساعدة نظرية فييتا ، تم اشتقاق صيغة لتحليل ثلاثي الحدود المربع ، والتي بدونها لن نفعل ذلك في المستقبل.

دليل - إثبات. نملك

مثال 1. حلل ثلاثي الحدود المربع إلى عوامل 3x 2 - 10x + 3.
المحلول. بعد حل المعادلة Zx 2 - 10x + 3 \ u003d 0 ، نجد جذور المثلث المربع Zx 2 - 10x + 3: x 1 \ u003d 3 ، x2 \ u003d.
باستخدام النظرية 2 ، نحصل على

من المنطقي بدلاً من ذلك كتابة Zx - 1. ثم نحصل أخيرًا على Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
لاحظ أنه يمكن تحليل المثلث التربيعي المحدد إلى عوامل دون استخدام النظرية 2 ، باستخدام طريقة التجميع:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2-9x - x + 3 =
\ u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \ u003d (x - 3) (Zx - 1).

ولكن ، كما ترى ، يعتمد النجاح بهذه الطريقة على ما إذا كان بإمكاننا العثور على تجميع ناجح أم لا ، بينما مع الطريقة الأولى يكون النجاح مضمونًا.
مثال 1. تقليل الكسر

المحلول. من المعادلة 2x 2 + 5x + 2 = 0 نجد x 1 = - 2 ،

من المعادلة x2 - 4x - 12 = 0 نجد x 1 = 6، x 2 = -2. لهذا
× 2 - 4x - 12 \ u003d (x - 6) (x - (- 2)) \ u003d (x - 6) (x + 2).
لنقم الآن بتقليل الكسر المعطى:

مثال 3. عامل التعبيرات:
أ) x4 + 5x 2 +6 ؛ ب) 2x + -3
الحل أ) نقدم متغير جديد y = x 2. سيسمح لنا ذلك بإعادة كتابة التعبير المعطى في صورة مربع ثلاثي الحدود بالنسبة إلى المتغير y ، أي بالصيغة y 2 + bу + 6.
بعد حل المعادلة y 2 + bу + 6 \ u003d 0 ، نجد جذور التربيع ثلاثي الحدود y 2 + 5y + 6: y 1 \ u003d - 2، y 2 \ u003d -3. الآن نستخدم النظرية 2 ؛ نحن نحصل

ص 2 + 5 ص + 6 = (ص + 2) (ص + 3).
يبقى أن نتذكر أن y \ u003d x 2 ، أي العودة إلى التعبير المحدد. لذا،
× 4 + 5 × 2 + 6 \ u003d (× 2 + 2) (× 2 + 3).
ب) دعنا نقدم متغير جديد y =. سيسمح لك ذلك بإعادة كتابة التعبير المعطى على شكل مربع ثلاثي الحدود فيما يتعلق بالمتغير y ، أي بالصيغة 2y 2 + y - 3. بعد حل المعادلة
2y 2 + y - 3 \ u003d 0 ، نجد جذور المثلث التربيعي 2y 2 + y - 3:
ص 1 = 1 ، ص 2 =. علاوة على ذلك ، باستخدام النظرية 2 ، نحصل على:

يبقى أن نتذكر أن y \ u003d ، أي العودة إلى التعبير المحدد. لذا،

يختتم القسم ببعض الاعتبارات ، المرتبطة مرة أخرى بنظرية فييتا ، أو بالأحرى مع التأكيد العكسي:
إذا كانت الأرقام x 1 ، x 2 مثل x 1 + x 2 \ u003d - p، x 1 x 2 \ u003d q ، فإن هذه الأرقام هي جذور المعادلة
باستخدام هذه العبارة ، يمكنك حل العديد من المعادلات التربيعية شفهيًا ، دون استخدام صيغ الجذر المرهقة ، وكذلك تكوين معادلات تربيعية بجذور معينة. دعنا نعطي أمثلة.

1) x 2-11x + 24 = 0. هنا x 1 + x 2 = 11، x 1 x 2 = 24. من السهل تخمين أن x 1 = 8، x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. هنا x 1 + x 2 = -11، x 1 x 2 = 30. من السهل تخمين أن x 1 = -5، x 2 = -6.
يرجى ملاحظة ما يلي: إذا كان المصطلح المجاني للمعادلة عددًا موجبًا ، فإن كلا الجذور يكون إما موجبًا أو سالبًا ؛ من المهم أخذ هذا في الاعتبار عند اختيار الجذور.

3) x 2 + x - 12 = 0. هنا x 1 + x 2 = -1 ، x 1 x 2 = -12. من السهل تخمين أن x 1 \ u003d 3 ، x2 \ u003d -4.
يرجى ملاحظة: إذا كان المصطلح المجاني للمعادلة رقمًا سالبًا ، فإن الجذور مختلفة في الإشارة ؛ من المهم أخذ هذا في الاعتبار عند اختيار الجذور.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. من السهل أن نرى أن x = 1 يفي بالمعادلة ، أي × 1 \ u003d 1 - جذر المعادلة. منذ x 1 x 2 \ u003d - و x 1 \ u003d 1 ، نحصل على ذلك x 2 \ u003d -.

5) × 2 - 293 × + 2830 = 0. هنا × 1 + × 2 = 293 ، × 1 × 2 = 2830. إذا انتبهت إلى حقيقة أن 2830 = 283. 10 ، و 293 = 283 + 10 ، يصبح من الواضح أن x 1 \ u003d 283 ، x 2 \ u003d 10 (تخيل الآن الحسابات التي يجب إجراؤها لحل هذه المعادلة التربيعية باستخدام الصيغ القياسية).

6) لنؤلف معادلة تربيعية بحيث تعمل الأرقام x 1 \ u003d 8، x 2 \ u003d - 4 كجذور لها.عادة في مثل هذه الحالات تشكل المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q \ u003d 0.
لدينا x 1 + x 2 \ u003d -p ، وبالتالي 8-4 \ u003d -p ، أي p \ u003d -4. علاوة على ذلك ، x 1 x 2 = q ، أي 8 "(- 4) = q ، حيث نحصل على q = -32. إذن ، p \ u003d -4 ، q \ u003d -32 ، مما يعني أن المعادلة التربيعية المطلوبة لها الشكل x 2 -4x-32 \ u003d 0.

أولاً ، لنصوغ النظرية نفسها: لنفترض أن لدينا معادلة تربيعية مختصرة بالصيغة x ^ 2 + b * x + c = 0. لنفترض أن هذه المعادلة تحتوي على الجذور x1 و x2. بعد ذلك ، وفقًا للنظرية ، تُقبل العبارات التالية:

1) مجموع الجذور x1 و x2 سيكون مساويًا للقيمة السالبة للمعامل b.

2) ناتج هذه الجذور بالذات سيعطينا المعامل ج.

لكن ما هي المعادلة أعلاه؟

المعادلة التربيعية المختزلة هي معادلة تربيعية ، معامل الدرجة الأعلى ، الذي يساوي واحدًا ، أي هذه معادلة بالصيغة x ^ 2 + b * x + c = 0. (والمعادلة a * x ^ 2 + b * x + c = 0 لم يتم اختزالها). بمعنى آخر ، لتقليل المعادلة إلى الصيغة المختصرة ، يجب أن نقسم هذه المعادلة على المعامل في أعلى درجة (أ). المهمة هي إحضار هذه المعادلة إلى النموذج المصغر:

3 * س ^ 2 12 * س + 18 = 0 ؛

−4 * س ^ 2 + 32 * س + 16 = 0 ؛

1.5 * x ^ 2 + 7.5 * x + 3 = 0 ؛ 2 * س ^ 2 + 7 * س - 11 = 0.

نقسم كل معادلة على معامل الدرجة الأعلى ، نحصل على:

س ^ 2 4 * س + 6 = 0 ؛ س ^ 2 8 * س - 4 = 0 ؛ س ^ 2 + 5 * س + 2 = 0 ؛

س ^ 2 + 3.5 * س - 5.5 = 0.

كما يتضح من الأمثلة ، حتى المعادلات التي تحتوي على كسور يمكن اختزالها إلى الصورة المختصرة.

باستخدام نظرية فييتا

X ^ 2 5 * x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = - (−5) = 5 ؛ x1 * x2 = 6 ؛

نحصل على الجذور: x1 = 2 ؛ س 2 = 3 ؛

X ^ 2 + 6 * x + 8 = 0 x1 + x2 = −6 ؛ x1 * x2 = 8 ؛

نتيجة لذلك ، نحصل على الجذور: x1 = -2 ؛ x2 = -4 ؛

X ^ 2 + 5 * x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5 ؛ x1 * x2 = 4 ؛

نحصل على الجذور: x1 = −1 ؛ س 2 = -4.

أهمية نظرية فييتا

تسمح لنا نظرية فييتا بحل أي معادلة تربيعية في ثوانٍ تقريبًا. للوهلة الأولى ، تبدو هذه مهمة صعبة إلى حد ما ، ولكن بعد 5 10 معادلات ، يمكنك تعلم رؤية الجذور على الفور.

من الأمثلة أعلاه ، وباستخدام النظرية ، يمكنك أن ترى كيف يمكنك تبسيط حل المعادلات التربيعية بشكل ملحوظ ، لأنه باستخدام هذه النظرية ، يمكنك حل معادلة تربيعية بحسابات قليلة أو معدومة وحساب المميز ، وكما تعلم كلما قل عدد العمليات الحسابية ، زادت صعوبة ارتكاب الخطأ ، وهو أمر مهم.

في جميع الأمثلة ، استخدمنا هذه القاعدة بناءً على افتراضين مهمين:

المعادلة أعلاه ، أي المعامل في أعلى درجة يساوي واحدًا (من السهل تجنب هذا الشرط. يمكنك استخدام الصيغة غير المختصرة للمعادلة ، ثم العبارات التالية x1 + x2 = -b / a ؛ x1 * x2 = c / a ستكون صالح ، ولكن عادة ما يكون حله أكثر صعوبة :))

عندما يكون للمعادلة جذران مختلفان. نفترض أن المتباينة صحيحة وأن المميز أكبر من الصفر تمامًا.

لذلك ، يمكننا تكوين خوارزمية حل عامة باستخدام نظرية فييتا.

خوارزمية الحل العام من خلال نظرية فييتا

نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة المختصرة إذا أعطيت لنا المعادلة في الصورة غير المختصرة. عندما تبين أن المعاملات في المعادلة التربيعية ، التي قدمناها سابقًا على أنها مخفضة ، كسرية (وليست عشرية) ، إذن في هذه الحالة يجب حل معادلتنا من خلال المميز.

هناك أيضًا حالات تسمح لنا فيها العودة إلى المعادلة الأصلية بالعمل بأرقام "ملائمة".

عند دراسة طرق حل معادلات الدرجة الثانية في مقرر الجبر المدرسي ، ضع في اعتبارك خصائص الجذور التي تم الحصول عليها. تُعرف الآن باسم نظريات فييتا. يتم إعطاء أمثلة على استخدامه في هذه المقالة.

معادلة من الدرجة الثانية

معادلة الدرجة الثانية هي المساواة ، والتي تظهر في الصورة أدناه.

هنا الرموز أ ، ب ، ج هي بعض الأرقام التي تسمى معاملات المعادلة قيد الدراسة. لحل المساواة ، عليك إيجاد قيم x التي تجعلها صحيحة.

لاحظ أنه نظرًا لأن القيمة القصوى للقوة التي يتم رفع x إليها تساوي اثنين ، فإن عدد الجذور في الحالة العامة هو اثنان أيضًا.

هناك عدة طرق لحل هذا النوع من المساواة. في هذه المقالة ، سننظر في أحدها ، والذي يتضمن استخدام ما يسمى نظرية فييتا.

بيان نظرية فييتا

في نهاية القرن السادس عشر ، لاحظ عالم الرياضيات الشهير فرانسوا فيت (فرنسي) ، وهو يحلل خصائص جذور المعادلات التربيعية المختلفة ، أن مجموعات معينة منها ترضي علاقات محددة. على وجه الخصوص ، هذه المجموعات هي نتاجها ومجموعها.

تؤسس نظرية فييتا ما يلي: جذور المعادلة التربيعية ، عند جمعها ، تعطي نسبة المعاملات الخطية إلى المعامِلات التربيعية المأخوذة بالإشارة المعاكسة ، وعندما تُضرب ، فإنها تؤدي إلى نسبة المصطلح الحر إلى المعامل التربيعي .

إذا كان الشكل العام للمعادلة مكتوبًا كما هو موضح في الصورة في القسم السابق من المقالة ، فيمكن كتابة هذه النظرية رياضيًا على هيئة مساوتين:

• ص 2 + ص 1 \ u003d -b / أ ؛
• ص 1 × ص 2 \ u003d ج ​​/ أ.

حيث r 1 ، r 2 هي قيمة جذور المعادلة المدروسة.

يمكن استخدام هاتين المعادلتين لحل عدد من المسائل الرياضية المختلفة جدًا. يتم إعطاء استخدام نظرية فييتا في الأمثلة مع الحل في الأقسام التالية من المقالة.