خلق

المثلث متساوي الأضلاع هو متوازي الأضلاع. نظريات متوازي الأضلاع. الأقطار مقسمة إلى نصفين

كما أن النقطة والخط المستقيم في الهندسة الإقليدية هما العنصران الأساسيان في نظرية المستويات، فإن متوازي الأضلاع هو أحد العناصر الأساسية الشخصيات الرئيسيةرباعيات محدبة. منه، مثل الخيوط من الكرة، تتدفق مفاهيم "المستطيل"، "المربع"، "المعين" والكميات الهندسية الأخرى.

في تواصل مع

تعريف متوازي الأضلاع

رباعي محدب,يتكون من قطع مستقيمة، كل زوج منها متوازي، ويعرف في الهندسة باسم متوازي الأضلاع.

كيف يبدو متوازي الأضلاع الكلاسيكي مصور بواسطة ABCD رباعي الأضلاع. تسمى الجوانب بالقواعد (AB، BC، CD، AD)، ويسمى العمودي المرسوم من أي قمة إلى الجانب المقابل لهذا الرأس بالارتفاع (BE وBF)، ويسمى الخطان AC وBD بالأقطار.

انتباه!المربع والمعين والمستطيل هي حالات خاصة من متوازي الأضلاع.

الجوانب والزوايا: ملامح العلاقة

الخصائص الرئيسية، بشكل عام، يتم تحديده مسبقًا من خلال التسمية نفسها، تم إثباتها بواسطة النظرية. هذه الخصائص هي كما يلي:

الجوانب المتقابلة متطابقة في أزواج.
الزوايا المقابلة لبعضها البعض متساوية في أزواج.

البرهان: خذ بعين الاعتبار ∆ABC و∆ADC، اللذين تم الحصول عليهما عن طريق قسمة الشكل الرباعي ABCD على الخط المستقيم AC. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، نظرًا لأن التيار المتردد شائع بالنسبة لهم (الزوايا الرأسية لـ BC||AD وAB||CD، على التوالي). ويترتب على ذلك: ∆ABC = ∆ADC (العلامة الثانية لتساوي المثلثات).

القطع AB وBC في ∆ABC تتوافق في أزواج مع السطور CD وAD في ∆ADC، مما يعني أنهما متطابقان: AB = CD، BC = AD. وبالتالي، ∠B يقابل ∠D وهما متساويان. بما أن ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، وهما متطابقان أيضًا، فإن ∠A = ∠C. وقد ثبت العقار.

خصائص أقطار الشكل

الميزة الأساسيةمن هذين الخطين من متوازي الأضلاع: نقطة التقاطع تقسمهما إلى نصفين.

البرهان: لتكن نقطة تقاطع القطرين AC و BD بالشكل ABCD. إنهم يشكلون مثلثين متناسبين - ∆ABE و ∆CDE.

AB=CD لأنهما متضادان. وفقًا للخطوط والقاطع، ∠ABE = ∠CDE و∠BAE = ∠DCE.

وبحسب المعيار الثاني للمساواة فإن ∆ABE = ∆CDE. وهذا يعني أن العنصرين ∆ABE و ∆CDE: AE = CE، BE = DE وفي نفس الوقت هما أجزاء متناسبة من AC و BD. وقد ثبت العقار.

ملامح الزوايا المجاورة

الجوانب المجاورة لها مجموع زوايا يساوي 180 درجةلأنهما يقعان على نفس الجانب من المستقيمين المتوازيين والقاطع. بالنسبة للشكل الرباعي ABCD:

∠أ+∠ب=∠ج+∠د=∠أ+∠د=∠ب+∠ج=180°

خصائص المنصف:

، منخفضة إلى جانب واحد، متعامدة.
القمم المقابلة لها منصفات متوازية.
المثلث الذي تم الحصول عليه عن طريق رسم المنصف سيكون متساوي الساقين.

تحديد السمات المميزة لمتوازي الأضلاع باستخدام النظرية

خصائص هذا الشكل تتبع نظريته الرئيسية التي تنص على ما يلي: يعتبر الشكل الرباعي متوازي الأضلاعفي حال تقاطع قطريها، وهذه النقطة تقسمهما إلى قطع متساوية.

البرهان: دع الخطين AC و BD للشكل الرباعي ABCD يتقاطعان، أي: بما أن ∠AED = ∠BEC، وAE+CE=AC BE+DE=BD، فإن ∆AED = ∆BEC (حسب المعيار الأول لتساوي المثلثات). أي أن ∠EAD = ∠ECB. وهي أيضًا الزوايا المتقاطعة الداخلية للقاطع AC للخطين AD وBC. وبالتالي، حسب تعريف التوازي - م || قبل الميلاد تم أيضًا اشتقاق خاصية مشابهة للخطين BC وCD. لقد تم إثبات النظرية.

حساب مساحة الشكل

مساحة هذا الرقم وجدت من خلال عدة طرقواحدة من أبسطها: ضرب الارتفاع والقاعدة التي يرسم عليها.

الدليل: ارسم عمودي BE وCF من الرؤوس B وC. ∆ABE و∆DCF متساويان، حيث أن AB = CD وBE = CF. ABCD يساوي حجم المستطيل EBCF، لأنه يتكون من أرقام متناسبة: S ABE وS EBCD، بالإضافة إلى S DCF وS EBCD. ويترتب على ذلك أن مساحة هذا الشكل الهندسييقع بنفس طريقة المستطيل:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

لتحديد الصيغة العامة لمنطقة متوازي الأضلاع، دعونا نشير إلى الارتفاع hb، والجانب - ب. على التوالى:

طرق أخرى للعثور على المنطقة

حسابات المساحة من خلال جوانب متوازي الأضلاع والزاويةوالتي يشكلونها هي الطريقة الثانية المعروفة.

Spr-ma - المنطقة؛

a و b هما جانباها

α هي الزاوية بين القطعتين a و b.

هذه الطريقة تعتمد عمليا على الأولى، لكن في حالة أنها غير معروفة. دائمًا ما يتم قطع المثلث القائم الذي يتم العثور على معلماته بواسطة الهويات المثلثية، أي. تحويل العلاقة، نحصل على . وفي معادلة الطريقة الأولى نستبدل الارتفاع بهذا الناتج ونحصل على ما يثبت صحة هذه الصيغة.

من خلال قطري متوازي الأضلاع والزاوية،التي يقومون بإنشائها عندما يتقاطعون، يمكنك أيضًا العثور على المنطقة.

البرهان: يتقاطع AC وBD ليشكلا أربعة مثلثات: ABE وBEC وCDE وAED. مجموعهم يساوي مساحة هذا الشكل الرباعي.

يمكن العثور على مساحة كل من هذه ∆ بالتعبير حيث a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. منذ ذلك الحين، تستخدم الحسابات قيمة جيبية واحدة. إنه . بما أن AE+CE=AC= d 1 وBE+DE=BD= d 2، يتم تقليل صيغة المساحة إلى:

التطبيق في الجبر المتجه

لقد وجدت ميزات الأجزاء المكونة لهذا الشكل الرباعي تطبيقًا في الجبر المتجه، أي إضافة متجهين. تنص قاعدة متوازي الأضلاع على ذلك إذا أعطيت ناقلاتولاإذا كانت على خطية واحدة، فإن مجموعها سيكون مساوياً لقطر هذا الشكل، الذي تتوافق قواعده مع هذه المتجهات.

البرهان: من بداية مختارة اعتباطيا - أي: من بداية مختارة. - بناء ناقلات و . بعد ذلك، نقوم ببناء متوازي الأضلاع OASV، حيث تكون القطع OA وOB جوانب. وبالتالي، فإن نظام التشغيل يقع على المتجه أو المجموع.

صيغ لحساب معلمات متوازي الأضلاع

يتم إعطاء الهويات وفقًا للشروط التالية:

أ و ب، α - الجانبين والزاوية بينهما؛
د 1 و د 2، γ - الأقطار وعند نقطة تقاطعها؛
ح أ و ح ب - تم تخفيض الارتفاعات إلى الجانبين أ و ب؛

معامل	معادلة
العثور على الجانبين
على طول الأقطار وجيب التمام للزاوية بينهما
على طول الأقطار والجوانب
من خلال الارتفاع والرأس المقابل
إيجاد أطوال الأقطار
على الجانبين وحجم القمة بينهما
على طول الجانبين وأحد الأقطار	خاتمة متوازي الأضلاع، باعتباره أحد الأشكال الهندسية الرئيسية، يستخدم في الحياة، على سبيل المثال، في البناء عند حساب مساحة الموقع أو قياسات أخرى. ولذلك، فإن المعرفة بالسمات المميزة وطرق حساب معلماتها المختلفة يمكن أن تكون مفيدة في أي وقت في الحياة.

موضوع الدرس

خواص أقطار متوازي الأضلاع.

أهداف الدرس

تعرف على التعريفات الجديدة وتذكر بعض التعريفات التي تمت دراستها بالفعل.
اذكر وأثبت خاصية قطري متوازي الأضلاع.
تعلم كيفية تطبيق خصائص الأشكال عند حل المشكلات.
التنموية - لتنمية انتباه الطلاب والمثابرة والمثابرة ، التفكير المنطقيخطاب رياضي.
التعليمية - من خلال الدرس، تنمية موقف يقظ تجاه بعضنا البعض، وغرس القدرة على الاستماع إلى الرفاق، والمساعدة المتبادلة، والاستقلال.

أهداف الدرس

اختبار مهارات حل المشكلات لدى الطلاب.

خطة الدرس

مقدمة.
تكرار المواد التي سبق دراستها.
متوازي الأضلاع وخصائصه وخصائصه.
أمثلة على المهام.
الاختيار الذاتي.

مقدمة

"كبير اكتشاف علمييقدم حلاً لمشكلة كبيرة، ولكن في حل أي مشكلة هناك ذرة من الاكتشاف.

خاصية الجوانب المتقابلة في متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع له جوانب متقابلة متساوية.

دليل.

دع ABCD يكون متوازي الأضلاع المعطى. وليتقاطع قطراه عند النقطة O.
بما أن Δ AOB = Δ COD بالمعيار الأول لتساوي المثلثات (∠ AOB = ∠ COD، كالمثلثات الرأسية، AO=OC، DO=OB، بخاصية أقطار متوازي الأضلاع)، إذن AB=CD. وبنفس الطريقة، من تساوي المثلثين BOC وDOA، يترتب على ذلك أن BC = DA. لقد تم إثبات النظرية.

خاصية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع

في متوازي الأضلاع، الزوايا المتقابلة متساوية.

دليل.

دع ABCD يكون متوازي الأضلاع المعطى. وليتقاطع قطراه عند النقطة O.
مما ثبت في نظرية خواص الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع Δ ABC = Δ CDA من ثلاثة جوانب (AB=CD، BC=DA مما ثبت، AC – عام). من تساوي المثلثات يستنتج أن ∠ ABC = ∠ CDA.
وثبت أيضًا أن ∠ DAB = ∠ BCD، الذي يتبع من ∠ ABD = ∠ CDB. لقد تم إثبات النظرية.

خاصية أقطار متوازي الأضلاع

أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع وتنقسم عند نقطة التقاطع.

دليل.

دع ABCD يكون متوازي الأضلاع المعطى. دعونا نرسم التيار المتردد القطري. لنضع علامة على المنتصف O عليه، ومع استمرار المقطع DO، سنضع جانبًا المقطع OB 1 الذي يساوي DO.
حسب النظرية السابقة، AB 1 CD هو متوازي أضلاع. ولذلك، فإن الخط AB 1 موازي للخط DC. لكن من خلال النقطة A يمكن رسم خط واحد فقط موازي للتيار المستمر. هذا يعني أن المستقيم AB 1 يتطابق مع المستقيم AB.
وثبت أيضًا أن BC 1 يتزامن مع BC. وهذا يعني أن النقطة C تتزامن مع C 1. متوازي الأضلاع ABCD يتطابق مع متوازي الأضلاع AB 1 CD. وبالتالي، فإن قطري متوازي الأضلاع يتقاطعان ويتقاطعان عند نقطة التقاطع. لقد تم إثبات النظرية.

في الكتب المدرسية للمدارس العادية (على سبيل المثال، في Pogorelovo) ثبت ذلك على النحو التالي: تقسم الأقطار متوازي الأضلاع إلى 4 مثلثات. دعونا نفكر في زوج واحد ونكتشف - إنهما متساويان: قاعدتهما متقابلتان، والزوايا المقابلة المجاورة لها متساوية، مثل الزوايا الرأسية ذات الخطوط المتوازية. أي أن قطع الأقطار متساوية في أزواج. الجميع.

هل هذا كل شيء؟
ثبت فيما سبق أن نقطة التقاطع تنصف الأقطار - إن وجدت. المنطق أعلاه لا يثبت وجوده بأي شكل من الأشكال. وهذا يعني أن جزءًا من نظرية "تقاطع أقطار متوازي الأضلاع" لا يزال غير مثبت.

والشيء المضحك هو أن إثبات هذا الجزء أصعب بكثير. يأتي هذا، بالمناسبة، من نتيجة أكثر عمومية: أي شكل رباعي محدب سيكون له قطران متقاطعان، لكن أي شكل رباعي غير محدب لن يكون كذلك.

حول تساوي المثلثات على طول ضلع وزاويتين متجاورتين (العلامة الثانية لتساوي المثلثات) وغيرها.

وجد طاليس نظرية مهمة حول تساوي مثلثين على طول الجانب وزاويتين متجاورتين الاستخدام العملي. تم بناء جهاز تحديد المدى في ميناء ميليتس لتحديد المسافة إلى السفينة في البحر. كان يتألف من ثلاثة أوتاد مدفوعة A وB وC (AB = BC) وخط مستقيم محدد SC، متعامد مع CA. عندما ظهرت سفينة على الخط المستقيم SK، وجدنا النقطة D بحيث كانت النقاط D و.B وE على نفس الخط المستقيم. وكما هو واضح من الرسم فإن المسافة المضغوطة على الأرض هي المسافة المطلوبة للسفينة.

أسئلة

هل أقطار المربع مقسمة إلى نصفين بنقطة التقاطع؟
هل قطرا متوازي الأضلاع متساويان؟
هل الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية؟
اذكر تعريف متوازي الأضلاع؟
كم عدد علامات متوازي الأضلاع؟
هل يمكن أن يكون المعين متوازي الأضلاع؟

قائمة المصادر المستخدمة

Kuznetsov A.V.، مدرس رياضيات (الصفوف 5-9)، كييف
"أعزب امتحان الدولة 2006. الرياضيات. المواد التعليمية والتدريبية لإعداد الطلاب / Rosobrnadzor، ISOP - M.: مركز الفكر، 2006"
Mazur K. I. "حل مشاكل المنافسة الرئيسية في الرياضيات للمجموعة التي حرره M. I. Skanavi"
L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، E. G. Poznyak، I. I. Yudina "الهندسة، 7 - 9: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية"

لقد عملنا على الدرس

كوزنتسوف أ.ف.

بوتورناك إس.

يفجيني بيتروف

طرح سؤال حول التعليم الحديث، يمكنك التعبير عن فكرة أو حل مشكلة ملحة المنتدى التعليمي، حيث المستوى الدولييجتمع مجلس تعليمي ذو فكر وعمل جديد. بعد أن خلقت مدونة،لن تقوم بتحسين وضعك كمعلم مختص فحسب، بل ستقدم أيضًا مساهمة كبيرة في تطوير مدرسة المستقبل. نقابة القيادات التربويةيفتح الأبواب أمام كبار المتخصصين ويدعوهم للتعاون في إنشاء أفضل المدارس في العالم.

المواد > الرياضيات > الرياضيات للصف الثامن

دليل

أولا، دعونا نرسم AC القطري. نحصل على مثلثين: ABC و ADC.

بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن ما يلي صحيح:

م || BC \السهم الأيمن \الزاوية 1 = \الزاوية 2مثل الكذب بالعرض.

أ ب || CD\Rightarrow\angle3 =\الزاوية 4مثل الكذب بالعرض.

وبالتالي فإن \triangle ABC = \triangle ADC (حسب المعيار الثاني: وAC شائع).

وبالتالي، \triangle ABC = \triangle ADC، ثم AB = CD وAD = BC.

ثبت!

2. الزوايا المتقابلة متطابقة.

دليل

وفقا للدليل خصائص 1نحن نعرف ذلك \الزاوية 1 = \الزاوية 2، \الزاوية 3 = \الزاوية 4. وبالتالي فإن مجموع الزوايا المتقابلة هو: الزاوية 1 + الزاوية 3 = الزاوية 2 + الزاوية 4. بالنظر إلى أن \triangle ABC = \triangle ADC نحصل على \angle A = \angle C ، \angle B = \angle D .

ثبت!

3. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

دليل

لنرسم قطريًا آخر.

بواسطة الملكية 1نحن نعلم أن الجانبين المتقابلين متطابقان: AB = CD. مرة أخرى، لاحظ أن الزوايا المتقاطعة متساوية.

وبذلك يتضح أن \triangle AOB = \triangle COD حسب المعيار الثاني لتساوي المثلثات (الزاويتان والضلع بينهما). أي أن BO = OD (مقابل الزوايا \الزاوية 2 و\الزاوية 1) و AO = OC (مقابل الزوايا \الزاوية 3 و \الزاوية 4، على التوالي).

ثبت!

علامات متوازي الأضلاع

إذا كانت هناك ميزة واحدة فقط في مشكلتك، فإن الشكل هو متوازي أضلاع ويمكنك استخدام جميع خصائص هذا الشكل.

لحفظ أفضل، لاحظ أن علامة متوازي الأضلاع ستجيب على السؤال التالي - "كيفية معرفة ذلك؟". وهذا يعني كيف تعرف ماذا تعيين الشكلهذا متوازي الأضلاع.

1. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ضلعاه متساويان ومتوازيان.

أب = مؤتمر نزع السلاح؛ أ ب || CD \Rightarrow ABCD هو متوازي أضلاع.

دليل

دعونا نلقي نظرة فاحصة. لماذا م || قبل الميلاد؟

\ المثلث ABC = \ المثلث ADC بواسطة الملكية 1: AB = CD، AC - مشترك و\angle 1 = \angle 2 يقعان بالعرض مع AB وCD المتوازيين وAC القاطع.

لكن إذا كان \triangle ABC = \triangle ADC، فإن \angle 3 = \angle 4 (يقع مقابل AB وCD، على التوالي). وعليه م || BC (\زاوية 3 و \زاوية 4 - المستلقيان بالعرض متساويان أيضًا).

الإشارة الأولى صحيحة.

2. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ضلعاه المتقابلتان متساويتان.

AB = CD، AD = BC \Rightarrow ABCD هو متوازي الأضلاع.

دليل

دعونا نفكر في هذه العلامة. دعونا نرسم التيار المتردد القطري مرة أخرى.

بواسطة الملكية 1\مثلث ABC = \مثلث ACD .

إنه يتبع هذا: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || قبل الميلادو \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || قرص مضغوطأي أن ABCD متوازي أضلاع.

العلامة الثانية صحيحة

3. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي زاويته المتقابلة متساوية.

\الزاوية أ = \الزاوية ج , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- متوازي الاضلاع.

دليل

2 \ألفا + 2 \بيتا = 360^(\دائرة)(بما أن ABCD شكل رباعي، و\angle A = \angle C ، \angle B = \angle D حسب الحالة).

اتضح أن \alpha + \beta = 180^(\circ) . لكن \alpha و\beta هما داخليان من جانب واحد عند القاطع AB.

وحقيقة أن \alpha + \beta = 180^(\circ) تعني أيضًا أن AD || قبل الميلاد

علاوة على ذلك، \alpha و \beta هما داخليان من جانب واحد عند القاطع AD . وهذا يعني AB || قرص مضغوط.

العلامة الثالثة صحيحة

4. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي تنقسم أقطاره إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

أو = أوك؛ BO = OD\متوازي الأضلاع للسهم الأيمن.

دليل

بو = التطوير التنظيمي؛ AO = OC، \angle 1 = \angle 2 عموديًا \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \السهم الأيمن\الزاوية 3 = \الزاوية 4و \Rightarrow AB || قرص مضغوط.

وبالمثل BO = OD؛ آو = أوك، \الزاوية 5 = \الزاوية 6 \السهم الأيمن \المثلث AOD = \المثلث BOC \السهم الأيمن \الزاوية 7 = \الزاوية 8و \Rightarrow AD || قبل الميلاد

العلامة الرابعة صحيحة

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج (الشكل 233).

بالنسبة لمتوازي الأضلاع التعسفي، فإن الخصائص التالية تحمل:

1. الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.

دليل. في متوازي الأضلاع ABCD نرسم القطر AC. المثلثان ACD وAC B متساويان، كما لو كانا كذلك الجانب المشترك AC وزوجين من الزوايا المتساوية المجاورة له:

(مثل الزوايا المتقاطعة ذات الخطوط المتوازية AD وBC). يعني، ومثل أضلاع مثلثات متساوية تقع مقابل زوايا متساوية، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

2. الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية:

3. الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع، أي الزوايا المجاورة لجانب واحد، تضيف ما يصل، وما إلى ذلك.

يتم الحصول على إثبات الخاصيتين 2 و 3 مباشرة من خصائص الزوايا للخطوط المتوازية.

4. أقطار متوازي الأضلاع تنصف بعضها البعض عند نقطة تقاطعها. بعبارة أخرى،

دليل. المثلثان AOD وBOC متطابقان، لأن ضلعيهما AD وBC متساويان (الخاصية 1) والزوايا المجاورة لهما (مثل الزوايا المتقاطعة للخطوط المتوازية). ومن هنا يستنتج أن الأضلاع المتناظرة في هذه المثلثات متساوية: AO، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

كل من هذه الخصائص الأربع تميز متوازي الأضلاع، أو، كما يقولون، هي الخاصية المميزة له، أي أن كل شكل رباعي يحتوي على واحدة على الأقل من هذه الخصائص هو متوازي أضلاع (وبالتالي، لديه جميع الخصائص الثلاث الأخرى).

دعونا نقوم بالإثبات لكل عقار على حدة.

1". إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فهو متوازي أضلاع.

دليل. دع الشكل الرباعي ABCD له جوانب AD وBC وAB وCD متساوية على التوالي (الشكل 233). دعونا نرسم التيار المتردد القطري. المثلثان ABC وCDA سيكونان متطابقين لأن لهما ثلاثة أزواج من الأضلاع المتساوية.

لكن الزاويتين BAC و DCA متساويتان و . يأتي التوازي بين الجانبين BC وAD من تساوي الزوايا CAD وACB.

2. إذا كان الشكل الرباعي به زوجان من الزوايا المتقابلة متساوية، فهو متوازي أضلاع.

دليل. يترك . ومنذ ذلك الحين أصبح كلا الجانبين AD وBC متوازيين (استنادًا إلى توازي الخطوط).

3. نترك الصياغة والبرهان للقارئ.

4. إذا كانت أقطار الشكل الرباعي تنصف بعضها البعض عند نقطة التقاطع، فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

دليل. إذا كانت AO = OS، BO = OD (الشكل 233)، فإن المثلثين AOD وBOC متساويان، حيث أن لهما زوايا متساوية (عمودية!) عند الرأس O، محاطة بين أزواج ذات جوانب متساوية AO وCO وBO وDO. ومن تساوي المثلثات نستنتج أن الضلعين AD وBC متساويان. الجانبين AB و CD متساويان أيضًا، والشكل الرباعي متوازي الأضلاع وفقًا للخاصية المميزة G.

وبالتالي، لإثبات أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع، يكفي التحقق من صحة أي من الخصائص الأربع. القارئ مدعو لإثبات خاصية مميزة أخرى لمتوازي الأضلاع بشكل مستقل.

5. إذا كان الشكل الرباعي له زوج من الأضلاع المتساوية والمتوازية، فهو متوازي أضلاع.

في بعض الأحيان يسمى أي زوج من الجوانب المتوازية لمتوازي الأضلاع قاعدتيه، ثم يسمى الجانبان الآخران الجوانب الجانبية. يسمى الجزء المستقيم المتعامد على ضلعين من متوازي الأضلاع، المحصور بينهما، بارتفاع متوازي الأضلاع. متوازي الأضلاع في الشكل. 234 له ارتفاع h مرسوم على الجانبين AD وBC، ويمثل ارتفاعه الثاني بالقطعة.

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

متوسط سافينسكايا مدرسة شاملة

بحث

متوازي الأضلاع وخصائصه الجديدة

أكمله: طالب الصف 8B

مدرسة MBOU سافينسكايا الثانوية

كوزنتسوفا سفيتلانا، 14 سنة

الرئيس : مدرس رياضيات

تولشيفسكايا ن.

منطقة إيفانوفو، روسيا

2016

أنا. مقدمة _____________________________________ الصفحة 3

ثانيا. من تاريخ متوازي الأضلاع ___________________________________ الصفحة 4

III الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع ____________________________________________ الصفحة 4

رابعا. إثبات الممتلكات _____________________________________ الصفحة 5

الخامس. حل المشكلات باستخدام خصائص إضافية __________ صفحة 8

السادس. تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة ___________________ صفحة 11

سابعا. الخلاصة ___________________________________ الصفحة 12

ثامنا. الأدب _________________________________________________ الصفحة 13

مقدمة

"بين العقول المتساوية

في المساواة في الشروط الأخرى

ومن يعرف الهندسة فهو متفوق"

(بليز باسكال).

أثناء دراسة موضوع "متوازي الأضلاع" في دروس الهندسة، نظرنا إلى خاصيتين لمتوازي الأضلاع وثلاث ميزات، ولكن عندما بدأنا في حل المسائل، اتضح أن هذا لم يكن كافيا.

كان لدي سؤال: هل لمتوازي الأضلاع خصائص أخرى وكيف سيساعد في حل المشكلات؟

وقررت أن أدرس خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع وأبين كيف يمكن تطبيقها لحل المسائل.

موضوع الدراسة : متوازي الاضلاع

موضوع الدراسة :خصائص متوازي الأضلاع
الهدف من العمل:

صياغة وإثبات الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع التي لم تتم دراستها في المدرسة؛

تطبيق هذه الخصائص لحل المشاكل.

مهام:

دراسة تاريخ ظهور متوازي الأضلاع وتاريخ تطور خصائصه؛

ابحث عن مؤلفات إضافية حول القضية قيد الدراسة؛

دراسة الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع وإثباتها؛

إظهار تطبيق هذه الخصائص لحل المشكلات؛

النظر في تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة.
طرق البحث:

العمل مع الأدبيات التعليمية والعلوم الشعبية، وموارد الإنترنت؛

دراسة المادة النظرية؛

تحديد مجموعة من المشاكل التي يمكن حلها باستخدام خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع؛

الملاحظة، المقارنة، التحليل، القياس.

مدة الدراسة : 3 أشهر: يناير-مارس 2016

نقرأ في كتاب الهندسة المدرسية التعريف التالي لمتوازي الأضلاع: متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

تتم ترجمة كلمة "متوازي الأضلاع" على أنها " خطوط متوازية"(من الكلمات اليونانية Parallelos - الموازي وgramme - خط)، تم تقديم هذا المصطلح من قبل إقليدس. أثبت إقليدس في كتابه العناصر الخصائص التالية لمتوازي الأضلاع: الأضلاع والزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية، والقطر ينصفه. لم يذكر إقليدس نقطة تقاطع متوازي الأضلاع. فقط في نهاية العصور الوسطى تم تطويره نظرية كاملةمتوازيات الأضلاع وفقط في القرن السابع عشر ظهرت النظريات حول متوازيات الأضلاع في الكتب المدرسية، والتي تم إثباتها باستخدام نظرية إقليدس حول خصائص متوازي الأضلاع.

ثالثا خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع

يُذكر في كتاب الهندسة المدرسي خاصيتين فقط لمتوازي الأضلاع:

الزوايا والأضلاع المتقابلة متساوية

أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع وتنقسم إلى نقطة التقاطع.

في مصادر مختلفة عن الهندسة يمكنك العثور على الخصائص الإضافية التالية:

مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع هو 180 0

منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلثًا متساوي الساقين.

منصفات الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع تقع على خطوط متوازية؛

تتقاطع منصفات الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع بزوايا قائمة؛

عندما تتقاطع منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع فإنها تشكل مستطيلاً؛

المسافات من الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

إذا قمت بتوصيل القمم المتقابلة في متوازي الأضلاع مع نقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة، فستحصل على متوازي أضلاع آخر.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

إذا قمت برسم ارتفاعات من زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع، فستحصل على مستطيل.

رابعا إثبات خصائص متوازي الأضلاع

مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع هو 180 0

منح:

ABCD - متوازي الأضلاع

يثبت:

أ+
ب=

دليل:

أ و
ب – زوايا داخلية أحادية الجانب ذات خطوط مستقيمة متوازية قبل الميلاد AD والقاطع AB، وهو ما يعني
أ+
ب=

منح:ا ب ت ث - متوازي الاضلاع،

حزب العدالة والتنمية منصف
أ.

يثبت: AVK - متساوي الساقين

دليل:

1)
1=
3 (عرضيًا يقع في BC م و قاطع AK ) ،

2)
2=
3 لأن AK منصف،

يعني 1=
2.

3) ABC - متساوي الساقين لأن زاويتين في المثلث متساويتان

. منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلثًا متساوي الساقين

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع،

AK - المنصف A،

CP - المنصف C.

يثبت:أك ║ ريال

دليل:

1) 1=2 لأن AK منصف

2) 4=5 لأن CP – منصف

3) 3=1 (زوايا عرضية عند

BC ║ AD وAK-secant)،

4) A =C (بخاصية متوازي الأضلاع)، وهو ما يعني 2=3=4=5.

4) من الفقرتين 3 و 4 يستنتج أن 1 = 4، وهذه الزوايا تقابل الخطوط المستقيمة AK وCP والقاطع BC،

وهذا يعني AK ║ CP (على أساس توازي الخطوط)

. منصفات الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع تقع على خطوط متوازية

تتقاطع منصفات الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع بزوايا قائمة

منح: ABCD - متوازي الأضلاع،

AK-المنصف A،

DP منصف D

يثبت:موانئ دبي أك.

دليل:

1) 1=2، لأن حزب العدالة والتنمية - منصف

دع 1=2=س، ثم أ=2س،

2) 3=4، لأن د ص – منصف

دع 3=4=ص، ثم د=2ص

3) أ + د = 180 0، لأن مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع هو 180

2) النظر التطوير التنظيمي

1+3=90 0 إذن
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع عند تقاطعها تشكل مستطيلاً

منح: ABCD - متوازي الأضلاع، منصف AK،

DP-المنصف D،

سم منصف C،

BF - المنصف ب .

يثبت: KRNS - مستطيل

دليل:

بناءً على الخاصية السابقة 8=7=6=5=90 0 ,

يعني أن KRNS مستطيل.

المسافات من الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

منح: ABCD-متوازي الأضلاع، AC-قطري.

VC مكيف هواء، د. مكيف الهواء

يثبت:قبل الميلاد = موانئ دبي

دليل: 1) DCP = KAB، حيث توجد تقاطعات داخلية مع AB ║ CD وsecant AC.

2) أكب= CDP (على طول الجانب والزاويتين المتجاورتين AB=CD CD P=AB K).

وفي المثلثات المتساوية تكون الأضلاع المتناظرة متساوية، وهو ما يعني DP=BK.

منح: ABCD متوازي الأضلاع.

يثبت: VKDR هو متوازي الأضلاع.

دليل:

1) BP=KD (AD=BC، النقطتان K وP

قسّم هذه الجوانب إلى نصفين)

2) BP ║ KD (يقع على AD قبل الميلاد)

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية ومتوازية، فإن الشكل الرباعي يكون متوازي الأضلاع.

إذا قمت برسم ارتفاعات من زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع، فستحصل على مستطيل.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع. BD وAC قطريان.

يثبت: تكييف 2 +د 2 =2(أب 2 + م 2 )

دليل: 1)بسأل: مكيف الهواء ²=
+

2)ب رد : دينار بحريني 2 = ب ر 2 + رد 2 (حسب نظرية فيثاغورس)

3) مكيف الهواء ²+ دينار بحريني ²=SK²+أ ك²+ب Р²+Рد ²

4) SC = BP = N(ارتفاع )

5) مكيف الهواء 2 +بد 2 = ح 2 + أ ل 2 + ح 2 +صد 2

6) يترك د ك =أ ع = س، ثم ج لد : ح 2 = قرص مضغوط 2 - العاشر 2 وفقا لنظرية فيثاغورس )

7) أ²+بد ² = جد 2 - x²+ أك 1 ²+ قرص مضغوط 2 -X 2 +صد 2 ,

أي سي² + بد ²=2سد 2 -2x 2 + أ ل 2 +صد 2

8) أ ل=م+ X, رد=م- X,

أي سي² + بد ² =2قرص مضغوط 2 -2x 2 +(إعلان +x) 2 +(إعلان -X) 2 ,

تكييف²+ فيد²=2 معد²-2 X² +م 2 +2 م X+ X 2 +م 2 -2 م X+ X 2 ,
تكييف²+ فيد² = 2 قرص مضغوط 2 +2 م 2 =2(قرص مضغوط 2 +م 2 ).

الخامس . حل المشاكل باستخدام هذه الخصائص

نقطة تقاطع منصفات زاويتين متوازي الأضلاع المجاورتين لأحد الجانبين تنتمي إلى الجانب الآخر. أقصر جانب من متوازي الأضلاع هو 5 . ابحث عن جانبها الكبير.

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع،

حزب العدالة والتنمية - منصف
أ،

د ك – منصف
د ، أ ب=5

يجد: شمس

قرار

حل

لأن حزب العدالة والتنمية - منصف
ثم ABC متساوي الساقين.

لأن د ك – منصف
د، ثم DCK - متساوي الساقين

العاصمة = ج ك = 5

ثم BC=VC+SC=5+5 = 10

الجواب: 10

2. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان منصف إحدى زواياه يقسم جانب متوازي الأضلاع إلى قطع طولها 7 سم و 14 سم.

1 حالة

منح:
أ،

VK=14 سم، KS=7 سم

يجد: P متوازي الأضلاع

حل

VS=VK+KS=14+7=21 (سم)

لأن حزب العدالة والتنمية - منصف
ثم ABC متساوي الساقين.

أ ب = ب ك = 14 سم

ثم P=2 (14+21) =70 (سم)

يحدث

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع،

د ك – منصف
د

VK=14 سم، KS=7 سم

يجد: ف متوازي الاضلاع

حل

VS=VK+KS=14+7=21 (سم)

لأن د ك – منصف
د، ثم DCK - متساوي الساقين

العاصمة = ج ك = 7

إذن، P= 2 (21+7) = 56 (سم)

إجابة: 70 سم أو 56 سم

3. طول ضلعي متوازي الأضلاع 10 سم و 3 سم. منصفات الزاويتين المجاورتين للضلع الأكبر تقسم الضلع المقابل إلى ثلاثة أجزاء. ابحث عن هذه القطاعات.

1 حالة:تتقاطع المنصفات خارج متوازي الأضلاع

منح: ABCD - متوازي الأضلاع، AK - منصف
أ،

د ك – منصف
د، أ ب = 3 سم، ق = 10 سم

يجد: VM، MN، NC

حل

لأن صباحا - منصف
ومن ثم فإن التشوه الشرياني الوريدي متساوي الساقين.

لأن DN - منصف
د، ثم DCN - متساوي الساقين

العاصمة = CN = 3

إذن MN = 10 – (BM + NC) = 10 – (3+3)=4 سم

الحالة 2:تتقاطع المنصفات داخل متوازي الأضلاع

لأن أ - منصف
ومن ثم فإن ABN متساوي الساقين.

أ ب = بن = 3 د

ويجب تحريك الشبكة المنزلقة إلى المسافة المطلوبة في المدخل

آلية متوازي الأضلاع- آلية ذات أربعة أشرطة تشكل روابطها متوازي الأضلاع. يتم استخدامه لتنفيذ الحركة الانتقالية بواسطة الآليات المفصلية.

متوازي الأضلاع مع وصلة ثابتة- رابط واحد ثابت، والعكس يقوم بحركة متأرجحة، ويبقى موازيا للثابت. متوازيا أضلاع متصلان واحدًا تلو الآخر يمنحان الرابط النهائي درجتين من الحرية، ويتركانه موازيًا للوصلة الثابتة.

أمثلة: ماسحات الزجاج الأمامي للحافلات، والرافعات الشوكية، والحوامل الثلاثية، والشماعات، وتعليقات السيارات.

متوازي الأضلاع مع مفصل ثابت- يتم استخدام خاصية متوازي الأضلاع للحفاظ على نسبة ثابتة من المسافات بين ثلاث نقاط. مثال: رسم المنساخ - جهاز لقياس الرسومات.

المعين- جميع الوصلات متساوية الطول، ويؤدي اقتراب (انكماش) زوج من المفصلات المتقابلة إلى تباعد المفصلتين الأخريين. جميع الروابط تعمل بالضغط .

أمثلة - جاك السيارات على شكل الماس، منساخ الترام.

مقصأو آلية على شكل X، المعروف أيضًا باسم مقص نورمبرغ- نسخة المعين - وصلتان متصلتان في المنتصف بمفصلة. مزايا الآلية هي الاكتناز والبساطة، والعيب هو وجود زوجين منزلقين. تشكل اثنتان (أو أكثر) من هذه الآليات المتصلة في سلسلة ماسًا (أحجارًا) في المنتصف. يستخدم في المصاعد وألعاب الأطفال.

سابعا خاتمة

من كان يدرس الرياضيات منذ الصغر؟

فهو ينمي الانتباه، ويدرب عقله،

الإرادة الذاتية، تزرع المثابرة

والمثابرة في تحقيق الأهداف

أ. ماركوشيفيتش

أثناء العمل، أثبتت خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع.

لقد أصبحت مقتنعا أنه باستخدام هذه الخصائص، يمكنك حل المشكلات بشكل أسرع.

لقد أوضحت كيفية تطبيق هذه الخصائص باستخدام أمثلة لحل مشكلات محددة.

لقد تعلمت الكثير عن متوازي الأضلاع، وهو غير موجود في كتاب الهندسة المدرسي لدينا

لقد كنت مقتنعًا بأن معرفة الهندسة مهمة جدًا في الحياة من خلال أمثلة لتطبيق خصائص متوازي الأضلاع.

تم الانتهاء من الغرض من عملي البحثي.

وتتجلى أهمية المعرفة الرياضية من خلال إنشاء جائزة للشخص الذي ينشر كتابا عن شخص عاش حياته كلها دون مساعدة الرياضيات. ولم يحصل أي شخص على هذه الجائزة بعد.

ثامنا الأدب