يتم تحديد منطقة الشكل بخطوط عبر الإنترنت حدوديًا. لحساب مساحة الشكل المحدد بمنحنى محدد حدوديًا. كيف تحسب حجم جسم الثورة

دعونا ننظر في أمثلة لتطبيق الصيغة التي تم الحصول عليها ، والتي تسمح بحساب مناطق الأشكال المقيدة بخطوط محددة حدوديًا.

مثال.

احسب مساحة الشكل الذي يحده الخط ، بحيث تتخذ المعادلات البارامترية شكلها.

المحلول.

في مثالنا ، حدوديًا مجموعة الخطشكل بيضاوي بنصف محاور 2 و 3 وحدات. دعونا نبنيها.

أوجد مساحة ربع القطع الناقص الواقع في الربع الأول. هذه المنطقة تقع في الفترة ... نحسب مساحة الشكل بالكامل بضرب القيمة الناتجة في أربعة.

ما لدينا:

ل ك = 0 نحصل على الفترة ... في هذا الفاصل ، وظيفة تناقص رتابة (انظر القسم). نطبق صيغة حساب المساحة ونجد التكامل المحدد بواسطة صيغة نيوتن-لايبنيز:

وبالتالي ، فإن مساحة الشكل الأصلي هي .

تعليق.

يطرح سؤال منطقي: لماذا أخذنا ربع القطع الناقص وليس النصف؟ يمكن رؤية النصف العلوي (أو السفلي) من الشكل. إنه في الفاصل الزمني ... لهذه الحالة ، سوف نحصل على

أي ، بالنسبة لـ k = 0 نحصل على فترة. في هذا الفاصل ، وظيفة تناقص رتابة.

ثم تم العثور على مساحة نصف القطع الناقص على النحو

لكن لا يمكنك أخذ النصف الأيمن أو الأيسر من القطع الناقص.

التمثيل البارامترى للقطع الناقص المتمركز في الأصل وشبه المحاور a و b له الشكل. إذا تصرفنا بنفس الطريقة كما في المثال الذي تم تحليله ، فسنحصل صيغة لحساب مساحة القطع الناقص .

يتم إعطاء الدائرة المتمركزة في أصل إحداثيات نصف القطر R من خلال المعلمة t بواسطة نظام المعادلات. إذا استخدمنا الصيغة الناتجة لمساحة القطع الناقص ، فيمكننا الكتابة على الفور صيغة إيجاد مساحة الدائرةنصف قطر R :.

لنحل مثالاً آخر.

مثال.

احسب مساحة الشكل المحدد بمنحنى حدودي.

المحلول.

من الآن فصاعدًا ، يكون المنحنى عبارة عن أسترويد "ممدود". (لدى Astroid التمثيل البارامترى التالي).

دعونا نتناول بالتفصيل بناء المنحنى الذي يحد الشكل. سوف نبنيها نقطة تلو الأخرى. عادة ، هذا البناء كافٍ لحل معظم المشاكل. في الحالات الأكثر تعقيدًا ، ستكون هناك حاجة بلا شك إلى دراسة تفصيلية لوظيفة معينة بشكل حدودي باستخدام حساب التفاضل.

في مثالنا.

يتم تحديد هذه الوظائف لجميع القيم الحقيقية للمعامل t ، ومن خصائص الجيب وجيب التمام ، نعلم أنها دورية بفترة 2 pi. هكذا حساب قيم الدوال للبعض (فمثلا ) ، نحصل على مجموعة من النقاط .

للراحة ، دعنا ندخل القيم في الجدول:

نحتفل بالنقاط على الطائرة وبالتالي نربطها بخط.

لنحسب مساحة المنطقة الواقعة في ربع الإحداثي الأول. لهذه المنطقة .

في ك = 0 نحصل على الفترة حيث الوظيفة ينخفض ​​بشكل رتيب. نطبق الصيغة لإيجاد المساحة:

يمكن حساب التكاملات المحددة التي تم الحصول عليها باستخدام صيغة Newton-Leibniz ، ويمكن إيجاد المشتقات العكسية لصيغة Newton-Leibniz باستخدام الصيغة المتكررة للصيغة ، أين .

إذن ، مساحة ربع الشكل هي ، فإن مساحة الشكل بالكامل تساوي.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يظهر ذلك مربع أسترويديقع على النحو ، ويتم حساب مساحة الشكل المحاطة بالخط بواسطة الصيغة.

عندما اكتشفنا المعنى الهندسي لتكامل محدد ، حصلنا على صيغة يمكننا من خلالها إيجاد مساحة شبه منحني منحني الخط يحده محور الإحداثيات ، وهي خطوط مستقيمة س = أ ، س = ب، بالإضافة إلى وظيفة مستمرة (غير سالبة أو غير موجبة) ص = و (س).في بعض الأحيان يكون من الأنسب تحديد الوظيفة التي تحد الشكل في شكل حدودي ، أي التعبير عن الاعتماد الوظيفي من خلال المعلمة t. في إطار هذه المادة ، سنوضح كيف يمكنك العثور على مساحة الشكل إذا كانت مقيدة بمنحنى محدد بارامترًا.

بعد شرح النظرية واشتقاق الصيغة ، سنقوم بتحليل العديد من الأمثلة النموذجية لإيجاد مساحة هذه الأرقام.

الصيغة الأساسية للحساب

افترض أن لدينا شبه منحني منحني الشكل حدوده هي الخطوط المستقيمة x = أ ، س = ب ، المحور O x ومنحنى محدد حدوديًا x = φ (t) y = ψ (t) ، والوظائف x = φ ( t) و y = ψ (t) متصلان على الفاصل الزمني α ؛ β ، α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

التعريف 1

لحساب مساحة شبه منحرف في ظل هذه الظروف ، تحتاج إلى استخدام الصيغة S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t.

لقد اشتقناه من صيغة مساحة شبه منحني منحني الخط S (G) = ∫ a b f (x) d x بطريقة الاستبدال x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

التعريف 2

مع الأخذ في الاعتبار الانخفاض الرتيب للوظيفة x = φ (t) على الفاصل β ؛ α ، β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

إذا كانت الدالة x = φ (t) ليست واحدة من العناصر الأساسية الأساسية ، فإننا نحتاج إذن إلى تذكر القواعد الأساسية لزيادة الدالة وتقليلها على فترة زمنية لتحديد ما إذا كانت ستزداد أم تتناقص.

في هذا القسم ، سنقوم بتحليل العديد من المهام لتطبيق الصيغة المشتقة أعلاه.

مثال 1

حالة: أوجد مساحة الشكل التي يشكلها الخط ، المعطاة من خلال المعادلات بالصيغة x = 2 cos t y = 3 sin t.

المحلول

لدينا خط محدد حدوديًا. بيانيا ، يمكن عرضها على شكل قطع ناقص مع نصفين 2 و 3. انظر الرسم التوضيحي:

دعونا نحاول إيجاد المساحة 1 4 من الشكل الناتج ، والتي تشغل الربع الأول. المنطقة في الفترة x ∈ a؛ ب = 0 ؛ 2. بعد ذلك ، اضرب القيمة الناتجة في 4 و ابحث عن المنطقةالرقم كله.

هذا هو تدفق حساباتنا:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + k، k ∈ Z، φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 k، ل Z

عندما يكون k يساوي 0 ، نحصل على الفترة β ؛ α = 0 ؛ π 2. ستنخفض الدالة x = φ (t) = 2 cos t بشكل رتيب (لمزيد من التفاصيل ، راجع مقالة الوظائف الأولية الأساسية وخصائصها). لذلك ، يمكنك تطبيق معادلة حساب المساحة وإيجاد تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

هذا يعني أن مساحة الشكل التي قدمها المنحنى الأصلي ستكون S (G) = 4 · 3 π 2 = 6.

الجواب: S (G) = 6 π

دعونا نوضح أنه عند حل المشكلة أعلاه ، لم يكن من الممكن أخذ ربع القطع الناقص فقط ، ولكن أيضًا نصفه - العلوي أو السفلي. يقع النصف الأول في الفترة x ∈ a ؛ ب = - 2 ؛ 2. في هذه الحالة ، سوف نحصل على:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k، k ∈ Z، φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k، k ∈ Z

وهكذا ، ل k يساوي 0 ، نحصل على β ؛ α = 0 ؛ π. الدالة x = φ (t) = 2 cos t في هذه الفترة ستنخفض بشكل رتيب.

بعد ذلك نحسب مساحة نصف القطع الناقص:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

من المهم ملاحظة أنه يمكن أخذ الجزء العلوي أو السفلي فقط ، ولا يمكن أخذ اليمين أو اليسار.

يمكنك إنشاء معادلة بارامترية للقطع الناقص المحدد المتمركز في الأصل. سيكون بالصيغة x = a cos t y = b sin t. بالتصرف بنفس الطريقة كما في المثال أعلاه ، نحصل على صيغة لحساب مساحة القطع الناقص S el و n مع a = ab.

يمكنك تحديد دائرة يقع مركزها في الأصل باستخدام المعادلة x = R cos t y = R sin t ، حيث t هي معلمة و R هي نصف قطر هذه الدائرة. إذا استخدمنا فورًا صيغة مساحة القطع الناقص ، فسنحصل على صيغة يمكننا بواسطتها حساب مساحة دائرة نصف قطرها R: S k r y r a = πR 2.

لنلق نظرة على مشكلة أخرى.

مثال 2

حالة: أوجد مساحة الشكل التي يحدها المنحنى المعطى حدوديًا x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

المحلول

دعنا نوضح على الفور أن هذا المنحنى يبدو وكأنه أسترويد ممدود. عادةً ما يتم التعبير عن الأسترويد باستخدام معادلة بالصيغة x = a cos 3 t y = a sin 3 t.

الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية بناء مثل هذا المنحنى. دعونا نبني على نقاط منفصلة. هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا ويمكن استخدامها لمعظم المهام. تتطلب الأمثلة الأكثر تعقيدًا حساب التفاضل والتكامل للكشف عن الوظيفة المحددة بشكل حدودي.

لدينا x = φ (t) = 3 cos 3 t ، y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

يتم تعريف هذه الوظائف لجميع القيم الصالحة لـ t. من المعروف عن الخطيئة وجيب التمام أنهما دوريان ودورهما 2 pi. حساب قيم الدوال x = φ (t) = 3 cos 3 t، y = ψ (t) = 2 sin 3 t لبعض t = t 0 ∈ 0؛ 2 π π 8 ، π 4 ، 3 π 8 ، π 2 ،. ... ... ، 15 π 8 ، نحصل على النقاط × 0 ؛ ص 0 = (φ (ر 0) ؛ ψ (ر 0)).

لنقم بإنشاء جدول إجماليات:

ر 0	0	π 8	π 4	3 8	π 2	5 8	3 4	7 8	π
س 0 = φ (ر 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
ص 0 = ψ (ر 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

ر 0	9 8	5 4	11 π 8	3 2	13 8	7 4	15 8	2 π
س 0 = φ (ر 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
ص 0 = ψ (ر 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

بعد ذلك ، حدد النقاط الضرورية على المستوى وقم بتوصيلها بخط واحد.

الآن علينا إيجاد مساحة ذلك الجزء من الشكل الموجود في ربع الإحداثي الأول. بالنسبة لها ، س ∈ أ ؛ ب = 0 ؛ 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + k، k ∈ Z، φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk، k ∈ Z

إذا كانت k تساوي 0 ، نحصل على الفترة β ؛ α = 0 ؛ π 2 ، والدالة x = φ (t) = 3 cos 3 t ستنخفض بشكل رتيب عليها. الآن نأخذ صيغة المساحة ونحسب:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

لقد حصلنا على تكاملات محددة يمكن حسابها باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز. يمكن إيجاد المشتقات العكسية لهذه الصيغة باستخدام صيغة التكرار J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) ، حيث J n (x) = ∫ الخطيئة nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = 5 6 3 π 16 = 15 96

لقد حسبنا مساحة ربع الشكل. إنها تساوي 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16-15 π 96 = 9 π 16.

إذا ضربنا هذه القيمة في 4 ، فسنحصل على مساحة الشكل بالكامل - 9 π 4.

بالطريقة نفسها تمامًا ، يمكننا إثبات أن مساحة الاسترويد ، المعطاة بواسطة المعادلات x = acos 3 ty = a sin 3 t ، يمكن إيجادها بالصيغة S astroid s = 3 a 2 8 ، و مساحة الشكل ، التي يحدها الخط x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t ، تُحسب بالصيغة S = 3 πab 8.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

لنجد حجم الجسم الناتج عن دوران القوس الحلقي حول قاعدته. وجده روبرفال عن طريق كسر الجسم البيضاوي الناتج (الشكل 5.1) إلى طبقات رقيقة بلا حدود ، وكتب الأسطوانات في هذه الطبقات وإضافة أحجامها. كان الدليل طويلًا ومملًا وغير صارم تمامًا. لذلك ، لحسابها ، ننتقل إلى رياضيات أعلى. دعونا نحدد المعادلة الحلقية حدوديًا.

في حساب التفاضل والتكامل ، عند دراسة المجلدات ، يستخدم الملاحظة التالية:

إذا تم إعطاء المنحنى الذي يحيط شبه المنحني المنحني من خلال المعادلات البارامترية وكانت الوظائف في هذه المعادلات تفي بشروط النظرية الخاصة بتغيير المتغير في تكامل محدد ، فإن حجم جسم دوران شبه المنحرف حول محور الثور سوف تحسب بالصيغة:

دعونا نستخدم هذه الصيغة لإيجاد الحجم الذي نحتاجه.

نحسب سطح هذا الجسم بنفس الطريقة.

L = ((x، y): x = a (t - sin t)، y = a (1 - cost)، 0؟ T؟ 2р)

في حساب التفاضل والتكامل ، توجد الصيغة التالية لإيجاد مساحة سطح جسم ثورة حول المحور x بواسطة منحنى محدد حدوديًا على قطعة (t 0؟ T؟ T 1):

بتطبيق هذه الصيغة على معادلة السيكلويد الخاصة بنا ، نحصل على:

ضع في اعتبارك أيضًا سطحًا آخر ناتجًا عن دوران قوس دائري. للقيام بذلك ، قم ببناء صورة معكوسة للقوس الدائري بالنسبة لقاعدته ، وقم بتدوير الشكل البيضاوي الذي شكله الدويري وانعكاسه حول محور KT (الشكل 5.2)

أولاً ، دعونا نجد حجم الجسم المتكون من دوران القوس الحلقي حول محور KT. سيحسب حجمه بالصيغة (*):

وهكذا ، حسبنا حجم نصف جسم اللفت. ثم سيكون الحجم بأكمله متساويًا

الأقسام: الرياضيات

نوع الدرس: مشترك.

الغرض من الدرس:تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة باستخدام التكاملات.

مهام:

• لتعزيز القدرة على اختيار شبه المنحنيات المنحنية من عدد من الأشكال الهندسية وممارسة مهارة حساب مناطق شبه المنحنيات ؛
• التعرف على مفهوم الشكل الحجمي ؛
• تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة ؛
• المساهمة في تطوير التفكير المنطقي ، والكلام الرياضي المختص ، والدقة في بناء الرسومات ؛
• تعزيز الاهتمام بالموضوع ، للعمل مع المفاهيم والصور الرياضية ، وتعزيز الإرادة ، والاستقلالية ، والمثابرة في تحقيق النتيجة النهائية.

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية.

تحية المجموعة. إيصال أهداف الدرس للطلاب.

انعكاس. لحن هادئ.

- درس اليوم أود أن أبدأ بمثل. "كان هناك حكيم يعرف كل شيء. أراد شخص واحد إثبات أن الحكيم لا يعرف كل شيء. سأل وهو يمسك الفراشة في كفيه: "قل لي يا حكيم ، أي فراشة في يدي: ميتة أم حية؟" وهو نفسه يفكر: "الحي سيقول - سأقتلها ، والميت سيقول - سأطلق سراحها". فأجاب الحكيم يفكر: "كل شيء في يديك". (عرض.الانزلاق)

لذلك دعونا نعمل اليوم بشكل مثمر ، ونكتسب مخزونًا جديدًا من المعرفة ، ونطبق المهارات والقدرات المكتسبة في حياتنا المستقبلية وفي الأنشطة العملية. "كل شيء في يديك".

ثانيًا. تكرار مادة سبق دراستها.

- دعنا نتذكر النقاط الرئيسية للمادة التي تمت دراستها مسبقًا. للقيام بذلك ، سنكمل المهمة "تخلص من الكلمة الزائدة."(الانزلاق.)

(يذهب الطالب إلى بطاقة الهوية بمساعدة ممحاة ويزيل كلمة إضافية.)

- حق "التفاضليه". حاول تسمية الكلمات المتبقية بكلمة عامة واحدة. (حساب التكامل.)

- لنتذكر المراحل والمفاهيم الرئيسية المرتبطة بحساب التفاضل والتكامل ..

"الكتلة الرياضية".

ممارسه الرياضه. استعادة الفجوات. (يخرج الطالب ويكتب بالكلمات الضرورية بالقلم.)

- سنستمع إلى ملخص عن تطبيق التكاملات لاحقًا.

العمل في دفاتر الملاحظات.

- تم اشتقاق صيغة نيوتن-ليبنيز من قبل الفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنيز (1646-1716). وهذا ليس مفاجئًا ، لأن الرياضيات هي اللغة التي تتحدث بها الطبيعة نفسها.

- دعونا نفكر في كيفية استخدام هذه الصيغة في حل المهام العملية.

مثال 1: احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط

الحل: دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف على المستوى الإحداثي ... حدد منطقة الشكل التي سيتم العثور عليها.

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

- انتبه للشاشة. ماذا يظهر في الصورة الأولى؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شكلًا مسطحًا.)

- ماذا يظهر في الصورة الثانية؟ هل هذا الرقم مسطح؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شخصية ثلاثية الأبعاد.)

- في الفضاء وعلى الأرض وفي الحياة اليوميةلا نلتقي بالأشكال المسطحة فحسب ، بل بالأشكال ثلاثية الأبعاد أيضًا ، ولكن كيف نحسب حجم هذه الأجسام؟ على سبيل المثال ، حجم كوكب ، حدبة ، نيزك ، إلخ.

- يفكرون في الحجم عند بناء المنازل وسكب الماء من إناء إلى آخر. كان ينبغي أن تكون قواعد وتقنيات حساب الأحجام قد نشأت ، وهي مسألة أخرى مدى دقتها ومعقولتها.

رسالة الطالب. (فيرا تيورينا.)

كان عام 1612 مثمرًا للغاية بالنسبة لسكان مدينة لينز النمساوية ، حيث عاش عالم الفلك الشهير يوهانس كيبلر بعد ذلك ، خاصةً للعنب. كان الناس يحضرون براميل النبيذ ويريدون معرفة كيفية تحديد حجمها عمليًا. (الشريحة 2)

- وهكذا ، أرست الأعمال المدروسة لكبلر الأساس لسلسلة كاملة من الدراسات التي بلغت ذروتها في الربع الأخير من القرن السابع عشر. التسجيل في أعمال I.Notton و G.V. حساب التفاضل والتكامل لايبنيز. منذ ذلك الوقت احتلت رياضيات متغيرات العظمة مكانة رائدة في نظام المعرفة الرياضية.

- سنشارك اليوم في مثل هذه الأنشطة العملية ، لذلك ،

موضوع درسنا: "حساب حجوم أجساد الثورة باستخدام جزء لا يتجزأ". (الانزلاق)

- سوف تتعلم تعريف هيئة الثورة من خلال إكمال المهمة التالية.

"متاهة".

المتاهة (كلمة يونانية) تعني الذهاب إلى زنزانة. المتاهة - شبكة معقدة من المسارات والممرات والغرف التي تتواصل مع بعضها البعض.

لكن تعريف "تحطمت" هناك نصائح على شكل سهام.

ممارسه الرياضه. ابحث عن طريقة للخروج من الالتباس واكتب التعريف.

الانزلاق. "تعليمات الخريطة" حساب وحدات التخزين.

باستخدام تكامل محدد ، يمكنك حساب حجم الجسم ، على وجه الخصوص ، جسم الثورة.

الجسم الثوري هو جسم يتم الحصول عليه من خلال تدوير شبه منحني منحني حول قاعدته (الشكل 1 ، 2)

يتم حساب حجم جسم الثورة باستخدام إحدى الصيغ:

1. حول محور OX.

2. إذا كان دوران شبه المنحني المنحني حول محور نظام التشغيل.

يتلقى كل طالب بطاقة تعليمات. يؤكد المدرب على النقاط الرئيسية.

- يشرح المدرب الحل بأمثلة على السبورة.

خذ بعين الاعتبار مقتطفًا من الحكاية الخيالية المعروفة لألكسندر بوشكين "حكاية القيصر سلطان ، بطله المجيد والقوي ، الأمير جفيدون سالتانوفيتش ، والأميرة الجميلة ليبيد" (الشريحة 4):

…..
وجلب رسولا مخمورا
في نفس اليوم يكون الترتيب كالتالي:
"الملك يأمر البويار ،
لا تضيع الوقت
والملكة والنسل
رمي سرا في هاوية المياه ”.
لا يوجد شيء يمكن فعله: البويار ،
بعد الضغط على الملك
والملكة الشابة ،
جاءوا إلى غرفة نومها وسط حشد من الناس.
أعلنوا إرادة الملك -
لديها هي وابنها الكثير من الأشياء السيئة ،
اقرأ المرسوم بصوت عالٍ ،
والملكة في نفس الساعة
وضعوا ابني في برميل ،
مطحون ، قاد
وسمحوا لها بالدخول إلى أوكيان -
هذا ما أمر به القيصر سلطان.

ما هو حجم البرميل الذي يجب أن تتسع فيه الملكة وابنها؟

- النظر في المهام التالية

1. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شبه منحني منحني حول المحور الإحداثي ، محصورًا بالخطوط: س 2 + ص 2 = 64 ، ص = -5 ، ص = 5 ، س = 0.

الجواب: 1163 سم 3 .

أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف مكافئ حول محور الإحداثي ص = ، س = 4 ، ص = 0.

رابعا. تأمين مواد جديدة

مثال 2. احسب حجم الجسم المتكون من دوران البتلة حول محور الإحداثي ص = س 2 ، ص 2 = س.

دعونا نبني الرسوم البيانية للدالة. ص = س 2 ، ص 2 = س... برنامج ص 2 = سالتحويل إلى النموذج ذ= .

لدينا V = V 1 - V 2دعونا نحسب حجم كل دالة

- الآن ، دعونا نلقي نظرة على برج محطة إذاعية في موسكو في شابولوفكا ، تم بناؤه وفقًا لمشروع المهندس الروسي الرائع ، الأكاديمي الفخري ف.ج.شوخوف. وهو يتألف من أجزاء - hyperboloids للثورة. علاوة على ذلك ، كل منها مصنوع من قضبان معدنية مستقيمة تربط الدوائر المجاورة (الشكل 8 ، 9).

- تأمل المشكلة.

أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير أقواس القطع الزائد حول محوره التخيلي كما هو مبين في الشكل. 8 أين

الشبل. الوحدات

تعيينات المجموعة. يرسم الطلاب الكثير من المهام ، ويرسمون الرسومات على ورقة Whatman ، ويدافع أحد ممثلي المجموعة عن العمل.

المجموعة الأولى.

نجاح! نجاح! ضربة أخرى!
كرة تطير في البوابة - الكرة!
وهذه كرة بطيخ
أخضر ، مستدير ، لذيذ.
تبدو أفضل - يا لها من كرة!
إنها مصنوعة من نفس الدوائر.
قطع البطيخ إلى دوائر
وتذوقها.

أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير الدالة حول محور OX المحدود

خطأ! الإشارة المرجعية غير معرّفة.

- قل لي ، من فضلك ، أين نلتقي بهذا الرقم؟

بيت. مهمة لمجموعة واحدة. اسطوانة (الانزلاق) .

"اسطوانة - ما هذا؟" - سألت والدي.
ضحك الأب: القبعة العالية قبعة.
للحصول على فكرة صحيحة ،
لنفترض أن الأسطوانة عبارة عن علبة تعليب.
أنبوب بخار - اسطوانة ،
المدخنة على سطحنا أيضا

جميع الأنابيب تشبه الاسطوانة.
وأعطيت مثالاً كهذا -
المشكال الحبيب
لا يمكنك أن تغمض عينيك عنه
وهي أيضًا تشبه الأسطوانة.

- ممارسه الرياضه. الواجب المنزلي هو رسم الدالة وحساب الحجم.

المجموعة الثانية. مخروط (الانزلاق).

قالت أمي: والآن
قصتي ستكون حول المخروط.
المنجم بقبعة عالية
عد النجوم على مدار السنة.
مخروط - قبعة منجم.
هذا ما هو عليه. فهمت؟ هذا هو.
وقفت أمي على الطاولة ،
سكبت الزيت في زجاجات.
- أين القمع؟ لا يوجد قمع.
نظرة. لا تقف جانبا.
- أمي ، لن أتزحزح ،
أخبرنا المزيد عن المخروط.
- يكون القمع على شكل مخروط علبة سقي.
تعال ، ابحث عنها لي في أسرع وقت ممكن.
لم أجد قمعًا ،
لكن أمي صنعت حقيبة
لويت الورق المقوى حول إصبعي
وقم بتأمينها بمهارة باستخدام مشبك ورق.
الزيت يتدفق ، أمي سعيدة
خرج المخروط بالضبط ما نحتاجه.

ممارسه الرياضه. احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه عن طريق الدوران حول محور الإحداثي

بيت. مهمة للمجموعة الثانية. هرم(الانزلاق).

لقد شاهدت الصورة. في هذه الصورة
يوجد هرم في الصحراء الرملية.
كل شيء في الهرم غير عادي
هناك نوع من الغموض والغموض فيه.
برج سباسكايا في الميدان الأحمر
مألوفة لدى كل من الأطفال والبالغين جيدًا.
تنظر إلى البرج - يبدو عاديًا ،
ماذا يوجد فوقها؟ هرم!

ممارسه الرياضه.الواجب المنزلي لرسم الدالة وحساب حجم الهرم

- قمنا بحساب أحجام الهيئات المختلفة بناءً على الصيغة الأساسية لأحجام الأجسام باستخدام التكامل.

هذا تأكيد آخر على أن التكامل المحدد له أساس ما لدراسة الرياضيات.

- حسنًا ، لنأخذ قسطًا من الراحة الآن.

ابحث عن زوج.

يتم تشغيل لحن دومينو رياضي.

"الطريق الذي كنت أبحث عنه بنفسي لن يُنسى أبدًا ..."

بحث. تطبيق لا يتجزأ في الاقتصاد والتكنولوجيا.

اختبارات للمتعلمين الأقوياء ورياضيات كرة القدم.

محاكاة رياضية.

2. يتم استدعاء مجموعة جميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة

أ) تكامل غير محدد.

ب) الوظيفة ،

ج) التمايز.

7. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحني منحني حول محور الإحداثيات ، تحده خطوط:

D / Z. احسب أحجام أجسام الثورة.

انعكاس.

استقبال انعكاس في الشكل متزامن(خمس آيات).

السطر الأول - اسم الموضوع (اسم واحد).

السطر الثاني - وصف الموضوع في كلمتين ، صفتين.

السطر الثالث - وصف الإجراء في إطار هذا الموضوع في ثلاث كلمات.

السطر الرابع - عبارة من أربع كلمات ، توضح العلاقة بالموضوع (الجملة الكاملة).

السطر الخامس هو مرادف يكرر جوهر الموضوع.

1. الصوت.
2. لا يتجزأ ، دالة تكاملية محددة.
3. نحن نبني ، ندير ، نحسب.
4. تم الحصول على الجسم عن طريق تدوير شبه منحني منحني (حول قاعدته).
5. جسد الثورة (جسم هندسي صلب).

استنتاج (الانزلاق).

• التكامل المحدد هو بعض الأسس لدراسة الرياضيات ، والتي تقدم مساهمة لا غنى عنها في حل مشاكل المحتوى العملي.
• يوضح موضوع "متكامل" بوضوح العلاقة بين الرياضيات والفيزياء وعلم الأحياء والاقتصاد والتكنولوجيا.
• تطوير العلم الحديث لا يمكن تصوره دون استخدام جزء لا يتجزأ. وفي هذا الصدد لا بد من البدء بدراستها في إطار التعليم الثانوي المتخصص!

وضع العلامات. (مع التعليق.)

إن العظيم عمر الخيام عالم رياضيات وشاعر وفيلسوف. يدعو ليكون سيد مصيرك. نستمع إلى مقتطف من عمله:

ستقول أن هذه الحياة لحظة واحدة.
قدِّرها ، واستلهم منها.
عندما تنفقه ، سوف يمر.
لا تنسى: هي خلقك.