محاضرة

الشكل المثلثي للعدد المركب

يخطط

1- التمثيل الجغرافي للأعداد المركبة.

2. التدوين المثلثي للأعداد المركبة.

3. تشغيل الإجراءات ارقام مركبةفي شكل مثلثي.

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة.

أ) يتم تمثيل الأعداد المركبة بنقاط المستوى وفقًا للقاعدة التالية: أ + ثنائية = م ( أ ; ب ) (رسم بياني 1).

الصورة 1

ب) يمكن تمثيل العدد المركب بواسطة متجه يبدأ عند النقطةا والنهاية عند هذه النقطة (الشكل 2).

الصورة 2

مثال 7. نقاط الرسم التي تمثل الأعداد المركبة:1; - أنا ; - 1 + أنا ; 2 – 3 أنا (تين. 3).

الشكل 3

تدوين مثلثي للأعداد المركبة.

عدد مركبض = أ + ثنائية يمكن ضبطها باستخدام متجه نصف القطر مع الإحداثيات( أ ; ب ) (الشكل 4).

الشكل 4

تعريف . طول المتجه يمثل عددًا معقدًاض ، يسمى معامل هذا الرقم ويشار إليه أوص .

لأي عدد معقدض وحدتهاص = | ض | بشكل فريد من خلال الصيغة .

تعريف . مقدار الزاوية بين الاتجاه الإيجابي للمحور الحقيقي والمتجه يمثل تمثيل رقم مركب يسمى وسيطة هذا العدد المركب ويتم الإشارة إليهأ rg ض أوφ .

حجة العدد المركبض = 0 غير محدد. حجة العدد المركبض≠ 0 هي كمية متعددة القيم ويتم تحديدها حتى الحد2πk (ك = 0 ؛ - 1 ؛ 1 ؛ - 2 ؛ 2 ؛ ...): أرج ض = حج ض + 2π ك ، أينحج ض - القيمة الرئيسية للوسيطة ، محاطة بالفاصل الزمني(-π; π] ، هذا هو-π < حج ض ≤ π (في بعض الأحيان يتم أخذ القيمة الرئيسية للوسيطة كقيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية .

هذه الصيغة لص =1 غالبًا ما يشار إليها باسم صيغة Moivre:

(كوس φ + أنا الخطيئة φ) ن = cos (nφ) + i sin (nφ) ، n  N .

مثال 11. احسب(1 + أنا ) 100 .

لنكتب عددًا مركبًا1 + أنا في شكل مثلثي.

أ = 1 ، ب = 1 .

كوس φ = ، الخطيئة φ = , φ = .

(1 + ط) 100 = [ (كوس + أنا أخطئ )] 100 = ( ) 100 (كوس 100 + أنا أخطئ 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) استخلاص الجذر التربيعي لعدد مركب.

عند استخراج الجذر التربيعي لعدد مركبأ + ثنائية لدينا حالتين:

إذاب > حول ، ومن بعد ;

أرقام معقدة حادي عشر

§ 256 الشكل المثلثي للأعداد المركبة

دع العدد المركب أ + ثنائي مباريات ناقلات OA> مع إحداثيات ( أ ، ب ) (انظر الشكل 332).

نشير إلى طول هذا المتجه بمقدار ص والزاوية التي يتشكل منها مع المحور X ، بجانب φ ... حسب تعريف الجيب وجيب التمام:

أ / ص = كوس φ , ب / ص = الخطيئة φ .

لذا أ = ص كوس φ , ب = ص الخطيئة φ ... لكن في هذه الحالة ، العدد المركب أ + ثنائي يمكن كتابتها على النحو التالي:

أ + ثنائي = ص كوس φ + الأشعة تحت الحمراء الخطيئة φ = ص (كوس φ + أنا الخطيئة φ ).

كما تعلم ، فإن مربع طول أي متجه يساوي مجموع مربعات إحداثياته. لذا ص 2 = أ 2 + ب 2 ، من أين ص = √ أ 2 + ب 2

لذا، أي عدد معقد أ + ثنائي يمكن تمثيلها كـ :

أ + ثنائي = ص (كوس φ + أنا الخطيئة φ ), (1)

أين ص = √ أ 2 + ب 2 ، والزاوية φ يتحدد من الشرط:

يسمى هذا الشكل من تدوين الأعداد المركبة حساب المثاثات.

عدد ص في الصيغة (1) يسمى وحدةوالزاوية φ - جدال، عدد مركب أ + ثنائي .

إذا كان العدد المركب أ + ثنائي لا يساوي الصفر ، فإن معامله موجب ؛ إذا أ + ثنائي = 0 إذن أ = ب = 0 وبعد ذلك ص = 0.

يتم تحديد معامل أي عدد مركب بشكل فريد.

إذا كان العدد المركب أ + ثنائي لا يساوي الصفر ، ثم يتم تحديد وسيطتها بواسطة الصيغ (2) بشكل لا لبس فيهدقيق بزاوية مضاعفة 2 π ... إذا أ + ثنائي = 0 إذن أ = ب = 0. في هذه الحالة ص = 0. من الصيغة (1) من السهل فهم ذلك كحجة φ في هذه الحالة ، يمكنك اختيار أي زاوية: بعد كل شيء ، لأي زاوية φ

0 (كوس φ + أنا الخطيئة φ ) = 0.

لذلك ، فإن الوسيطة الصفرية غير معرَّفة.

وحدة الرقم المركب ص تشير أحيانًا إلى | ض | وحجة الحجج ض ... لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة حول كيفية تمثيل الأعداد المركبة في الصورة المثلثية.

مثال. واحد. 1 + أنا .

ابحث عن الوحدة ص والحجة φ هذا العدد.

ص = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

لذلك خطيئة φ = 1/2، cos φ = 1 / √ 2 ، من أين φ = π / 4 + 2نπ .

في هذا الطريق،

1 + أنا = √ 2 ,

أين ص - أي عدد صحيح. عادةً ، من مجموعة لا نهائية من قيم وسيطة العدد المركب ، يتم اختيار واحد يقع بين 0 و 2 π ... في هذه الحالة ، هذه القيمة هي π / 4. لذا

1 + أنا = √ 2 (كوس π / 4 + أنا الخطيئة π / 4)

مثال 2.اكتب عددًا مركبًا في الصورة المثلثية √ 3 - أنا ... لدينا:

ص = √ 3 + 1 = 2 جيب التمام φ = √ 3/2 ، الخطيئة φ = - 1 / 2

لذلك ، حتى زاوية مضاعفة 2 π , φ = 11 / 6 π ؛ بالتالي،

√ 3 - أنا = 2 (كوس 11/6 π + أنا الخطيئة 11/6 π ).

مثال 3اكتب عددًا مركبًا في الصورة المثلثية أنا.

عدد مركب أنا مباريات ناقلات OA> تنتهي عند النقطة أ من المحور في مع إحداثيات 1 (شكل 333). طول هذا المتجه هو 1 ، والزاوية التي يصنعها مع الإحداثي هي π / 2. لذا

أنا = كوس π / 2 + أنا الخطيئة π / 2 .

مثال 4.اكتب العدد المركب 3 في الصورة المثلثية.

الرقم المركب 3 يتوافق مع المتجه OA > X الحد الأقصى 3 (الشكل 334).

طول هذا المتجه هو 3 ، والزاوية التي يصنعها مع الحد الأقصى هي 0. لذلك ،

3 = 3 (كوس 0 + أنا الخطيئة 0) ،

مثال 5.اكتب العدد المركب -5 في الصورة المثلثية.

العدد المركب -5 يتوافق مع المتجه OA> تنتهي عند نقطة المحور X مع الإحداثي السيني -5 (الشكل 335). طول هذا المتجه هو 5 ، والزاوية التي يتشكل منها مع الإحداثيات هي π ... لذا

5 = 5 (كوس π + أنا الخطيئة π ).

تمارين

2047. اكتب هذه الأعداد المركبة في شكل مثلث ، وحدد وحداتها وحججها:

1) 2 + 2√3 أنا , 4) 12أنا - 5; 7).3أنا ;

2) √3 + أنا ; 5) 25; 8) -2أنا ;

3) 6 - 6أنا ; 6) - 4; 9) 3أنا - 4.

2048. وضح على المستوى مجموعة النقاط التي تمثل الأعداد المركبة والمقاييس r والوسيطات φ التي تستوفي الشروط:

1) ص = 1, φ = π / 4 ; 4) ص < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) ص =2; 5) 2 < ص <3; 8) 0 < φ < я;

3) ص < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < ص < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. هل يمكن أن تكون وحدة العدد المركب أعدادًا في نفس الوقت؟ ص و - ص ?

2050. هل يمكن أن تكون سعة العدد المركب زوايا في نفس الوقت؟ φ و - φ ?

لتمثيل هذه الأعداد المعقدة في شكل مثلثي ، وتحديد وحداتها وحججها:

2051 *. 1 + كوس α + أنا الخطيئة α ... 2054 *. 2 (كوس 20 درجة - أنا الخطيئة 20 درجة).

2052 *. الخطيئة φ + أنا كوس φ ... 2055 *. 3 (- كوس 15 درجة - أنا الخطيئة 15).

لتحديد موضع نقطة على مستوى ما ، يمكنك استخدام الإحداثيات القطبية [ص ، (ع)، أين جيهي مسافة النقطة من نقطة الأصل ، و (ر- الزاوية التي يتكون منها نصف القطر - متجه هذه النقطة مع الاتجاه الإيجابي للمحور أوه.الاتجاه الإيجابي لتغيير الزاوية (ريعتبر اتجاه عكس عقارب الساعة. باستخدام العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية: x = r cos cf، y = r sin (p,

نحصل على الصيغة المثلثية لكتابة عدد مركب

ض - ص (خطيئة (ص + أنا خطيئة

أين جي

Xі + y2 (p هي سعة العدد المركب ، والتي يمكن إيجادها من

ل X . في

الصيغ كوس (ص -- ، الخطيئة ^ 9 = - أو بسبب حقيقة ذلك tg (ص --, (p-arctg

لاحظ أنه عند اختيار القيم تزوجمن المعادلة الأخيرة ، من الضروري مراعاة العلامات س وص.

مثال 47. اكتب عددًا مركبًا في الصورة المثلثية 2 = -1 + لتر / ع /.

المحلول. أوجد مقياس العدد المركب وسعته:

= yj 1 + 3 = 2 . حقنة تزوجتجد من العلاقات كوس (ص = -, الخطيئة (ع = -.ثم

احصل على كوس (ع = - ، سوب

ش / ض ز ~

• - -. من الواضح أن النقطة z = -1 + V3- / هي
• 2 ل 3

في الربع الثاني: (ر= 120 درجة

أستعاض

2 ص.... كوس - ح ؛ الخطيئة

في الصيغة (1) وجدت 27Г Л

تعليق. لا يتم تعريف وسيطة العدد المركب بشكل فريد ، ولكن حتى المصطلح الذي يعد من مضاعفات 2 ص.ثم من خلال ن ^ صدل

قيمة الوسيطة المضمنة داخل (ص 0 %2 ثم

أ) ^ ص = + 2 كيلو.

استخدام صيغة أويلر المعروفة أي ، نحصل على الرمز الأسي لعدد مركب.

لدينا r = r (co ^ (p + i ؟، n (p) = r ،

الإجراءات على الأعداد المركبة

• 1. مجموع عددين مركبين r = X] + ص س/ ش ص 2 - س 2 + ص 2 / حسب الصيغة r! +2 2 = (x، + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) 'g
• 2. تُعرَّف عملية طرح الأعداد المركبة بأنها معكوس الجمع. عدد مركب ص = ص - ص 2 ،إذا ض 2 + ض = ض س ،

هو الفرق بين الأعداد المركبة 2 و د 2.ثم r = (x، - × 2) + (ص ، - في 2) /.

• 3. حاصل ضرب عددين مركبين ص س= x و + y و -z و 2 2 = × 2+ U2يتم تحديد G بواسطة الصيغة
• *1*2 =(* + ش"0 (X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 ص 1 2 -1 + × ص 2 " * + يملك1 يملك2 " ^ =

= (xx 2 ~ YY 2) + (X Y2 + X 2Y) - "-

خاصه، سنة= (x + y-z) (x-y /) = x 2 + y 2.

يمكنك الحصول على صيغ الضرب للأعداد المركبة في الصيغ الأسية والمثلثية. لدينا:

• 1^ 2 - Г х е 1 = ) Г 2 е> = Г] Г 2 cOs ((P + cp 2) + isin
• 4. تعرف قسمة الأعداد المركبة بأنها العملية العكسية

الضرب ، أي عدد ز--يسمى حاصل القسمة! في r 2 ،

إذا ص س -1 2 ? 2 . ثم

X + Ті _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) × 2 + ІУ2 (2 + ^ ص 2) (2 ~ 1 ص 2)

س ، س 2 + / ص ، س 2 - іх х у 2 - і 2 ص س ص 2 (س س س 2 + ص س ص 2) + / (- س ، ص 2 + س 2 ص])

2 2 x 2 + U 2

1 ه

أنا (ص ز

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї ((R -cr 1) + І- (ر-,)] >2 >2
• 5. أفضل طريقة لرفع رقم مركب إلى قوة صحيحة موجبة إذا كان الرقم مكتوبًا في الصورة الأسية أو المثلثية.

في الواقع ، إذا r = rt 1 ثم

= (إعادة) = ص ن ه ر = G "(co8 psr + іт гкр).

الصيغة ز " = rn (cosn (p + is n (p))تسمى صيغة Moivre.

6. استخراج الجذر P-تُعرَّف الأس لعدد المركب بأنها العملية العكسية للرفع إلى أس ن ، ن- 1،2،3 ، ... أي عدد مركب = ذ [زيسمى الجذر P-الدرجة العاشرة للعدد المركب

د إذا جي = ص س... ويترتب على هذا التعريف أن ز - ز "، أ ص س= لتر / ز. (p-psr x ،أ cf-cp / n، والتي تتبع صيغة Moivre المكتوبة للرقم = r / * + ilipn (ع).

كما هو مذكور أعلاه ، لم يتم تعريف وسيطة العدد المركب بشكل فريد ، ولكن حتى الحد من مضاعفات 2 F.لذا = (ع + 2pk، وسعة الرقم ص ، اعتمادًا على ل،دل (ص إلىو بوو

ديم احسب بالصيغة (ص إلى= - +. من الواضح أن هناك صكوم-

أرقام الصفيف من نوع plex ص- الأس الذي يساوي 2. هذه الأعداد لها واحد

ونفس الوحدة يساوي ص [ص ،وحجج هذه الأرقام يتم الحصول عليها عندما ل = 0, 1, ف - 1. وهكذا ، في الشكل المثلثي ، الجذر الدرجة الأولىمحسوبة بالصيغة:

(ص + 2 ك . . أربعاء + 2kp

, ل = 0, 1, 77-1,

. (ص + 2 كغ

وفي شكل نموذجي - وفقًا للصيغة l [z - y [ge n

مثال 48. نفذ العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية:

أ) (1- / ح / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / ل / 2) 3 (ث + /) = (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 لتر / 2 /؟ 3) (3 + /) =
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2l / 2 / DZ + /) = (- 5 - لتر / 2 / DZ + /) =

15-Zl / 2 / -5 / -l / 2/2 = -15 - Zl / 2 / -5 / + l / 2 = (-15 + l / 2) - (5 + Zl / 2) / ؛

مثال 49. اصنع العدد r = Uz - / للأس الخامس.

المحلول. نحصل على الصيغة المثلثية لكتابة العدد r.

Г =ل / 3 + 1 = 2 ، C08 (ع -- ، 5-7 (ر =

• (1-2 / X2 + /)
• (س-،)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

З / 2 12-51 + 3 15-5 /

• (3-ط) + /
• 9 + 1 ثانية_ ±.
• 5 2 1 "

من هنا س--، أ ص = 2

Moivre نحصل على: أنا -2

/ ^ _ 7Г ،. ؟ ز

• -وش-- ІБІП -

• --ب / -

= - (l / Z + z) = -2.

مثال 50. أوجد كل القيم

الحل ، ص = 2 ، و تزوجتجد من المعادلة فول الصويا (p = - ، zt -.

هذه النقطة 1 - / د / ض في الربع الرابع ، أي و =-. ثم

• 1 - 2
• ( ( UG L

نجد قيم الجذر من التعبير

V1 - / لتر / ث = لتر / 2

• - + 2 أ: / ز - ب 2 ك ك
• 3 . . 3

С08-1- і 81П-

في ل - 0 لدينا 2 0 = لتر / 2

يمكنك العثور على قيم جذر الرقم 2 من خلال تقديم الرقم في الشاشة

-* ل/ 3 + 2 cl

في ل= 1 لدينا قيمة جذر أخرى:

• 7 ز. 7G _
• - b27g - b2 ؛ ز
• 3. ... س

7 ز ... ... 7G لام-C05- + 181P- 6 6

• --Н -

شارك؟ - 7G + / 5SH - Z "

ل / 3__t_

شكل الهاتف. لأن ص = 2 ، أ تزوج= ، ثم r = 2e 3 ، و ذ [ز = ص / 2 هـ 2

الإجراءات على الأعداد المركبة المكتوبة في شكل جبري

الصيغة الجبرية للعدد المركب z =(أ,ب). يسمى تعبير جبري للصيغة

ض = أ + ثنائية.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 أناو ض 2 = أ 2 + ب 2 أنامكتوبة في شكل جبري تنفذ على النحو التالي.

1. مجموع (فرق) الأعداد المركبة

ض 1 ± ض 2 = (أ 1 ± أ 2) + (ب 1 ± ب 2)∙ ط,

أولئك. يتم إجراء الإضافة (الطرح) وفقًا لقاعدة إضافة كثيرات الحدود مع تقليل المصطلحات المماثلة.

2. ناتج الأعداد المركبة

ض 1 ∙ ض 2 = (أ 1 ∙ أ 2 - ب 1 ∙ ب 2) + (أ 1 ∙ ب 2 + أ 2 ∙ ب 1)∙ ط,

أولئك. يتم الضرب وفقًا للقاعدة المعتادة لضرب كثيرات الحدود ، مع مراعاة حقيقة ذلك أنا 2 = 1.

3 - تتم قسمة عددين مركبين وفق القاعدة التالية:

, (ض 2 ≠ 0),

أولئك. تتم عملية القسمة بضرب المقسوم والمقسوم عليه في مرافق المقسوم عليه.

يتم تعريف أس الأعداد المركبة على النحو التالي:

من السهل إظهار ذلك

أمثلة على.

1. أوجد مجموع الأعداد المركبة ض 1 = 2 – أناو ض 2 = – 4 + 3أنا.

ض 1 + ض 2 = (2 + (–1)∙ ط)+ (–4 + 3أنا) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) أنا = –2+2أنا.

2. أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة ض 1 = 2 – 3أناو ض 2 = –4 + 5أنا.

= (2 – 3أنا) ∙ (–4 + 5أنا) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3أنا)+ 2∙5أنا– 3أنا ∙ 5أنا = 7+22أنا.

3. البحث عن الخاص ضمن الانقسام ض 1 = 3 - 2 غ ض 2 = 3 – أنا.

ض = .

4. حل المعادلة: ، xو ذ Î ص.

(2س + ص) + (س + ص)أنا = 2 + 3أنا.

بسبب تساوي الأعداد المركبة لدينا:

أين س =–1 , ذ= 4.

5. احسب: أنا 2 ,أنا 3 ,أنا 4 ,أنا 5 ,أنا 6 ,أنا -1 ، أنا -2 .

6. احسب إذا.

.

7. احسب مقلوب العدد ض=3-أنا.

الأعداد المركبة في شكل مثلثي

طائرة معقدةتسمى طائرة ذات إحداثيات ديكارتية ( س ، ص) إذا كانت كل نقطة بها إحداثيات ( أ ، ب) يتم تعيين رقم مركب ض = أ + ثنائية... في هذه الحالة ، يتم استدعاء محور الإحداثي المحور الحقيقي، والمحور الإحداثي وهمي... ثم كل عدد مركب أ + ثنائييصور هندسيًا على مستوى على أنه نقطة أ (أ ، ب) أو ناقل.

لذلك ، موضع النقطة أ(وبالتالي ، العدد المركب ض) من خلال طول المتجه | | = صوزاوية يشكلتها ناقلات | | مع اتجاه إيجابي للمحور الحقيقي. طول المتجه يسمى معامل العدد المركبويشار إليها بواسطة | ض | = صوالزاوية ياتصل حجة العدد المركبوالمشار إليها ي = arg z.

من الواضح أن | ض| ³ 0 و | ض | = 0 Û ض = 0.

من التين. 2 يوضح ذلك.

يتم تحديد سعة العدد المركب بشكل غامض ، ولكن بدقة 2 ص ، كÎ ض.

من التين. 2 يُرى أيضًا أنه إذا ض = أ + ثنائيةو j = arg z ،ومن بعد

كوس ي =، خطيئة ي =، tg ي =.

إذا ذلصو ض> 0 ، إذن arg ض = 0 +2ص;

إذا ض Îصو ض< 0 ، إذن arg z = p + 2ص;

إذا ض = 0,أرج ضغير محدد.

يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة في المقطع 0 جنيهات استرلينية 2 جنيه إسترليني ص

أو -p£ arg z £ p.

أمثلة:

1. أوجد معامل الأعداد المركبة ض 1 = 4 – 3أناو ض 2 = –2–2أنا.

2. نحدد على المستوى المعقد المساحات المحددة بالشروط:

1) | ض | = 5; 2) | ض| 6 جنيهات استرلينية 3) | ض – (2+أنا) | 3 جنيهات استرلينية 4) 6 جنيه استرليني | ض – أنا| 7 جنيهات إسترلينية.

الحلول والإجابات:

1) | ض| = 5 Û Û معادلة دائرة نصف قطرها 5 ومركزها عند نقطة الأصل.

2) دائرة نصف قطرها 6 متمركزة في نقطة الأصل.

3) دائرة نصف قطرها 3 متمركزة على نقطة ض 0 = 2 + أنا.

4) حلقة تحدها دوائر نصف قطرها 6 و 7 متمركزة عند نقطة ض 0 = أنا.

3. البحث عن وحدة وسعة الأرقام: 1)؛ 2).

1) ; أ = 1, ب = Þ ,

Þ ي 1 = .

2) ض 2 = –2 – 2أنا; أ =–2, ب =-2 Þ ,

.

ملاحظة: استخدم المستوى المركب عند تعريف الوسيطة الرئيسية.

في هذا الطريق: ض 1 = .

2) , ص 2 = 1 ، ي 2 = ، .

3) , ص 3 = 1 ، ي 3 = ، .

4) , ص 4 = 1 ، ي 4 = ، .

2.3 الشكل المثلثي للأعداد المركبة

دع المتجه يتم تحديده على المستوى المعقد برقم.

دعونا نشير بواسطة φ الزاوية بين المحور الموجب لمحور الثور والمتجه (تعتبر الزاوية φ موجبة إذا تم حسابها عكس اتجاه عقارب الساعة ، والسالبة بخلاف ذلك).

نشير إلى طول المتجه بواسطة r. ثم . نشير أيضا

كتابة عدد مركب غير صفري z بالصورة

يسمى الشكل المثلثي للعدد المركب z. العدد r يسمى مقياس العدد المركب z ، والرقم يسمى سعة هذا العدد المركب ويُرمز إليه بـ Arg z.

تدوين مثلثي للعدد المركب - (معادلة أويلر) - التدوين الأسي للعدد المركب:

يحتوي العدد المركب z على العديد من الوسيطات اللانهائية: إذا كانت φ0 هي أي وسيطة للرقم z ، فيمكن العثور على جميع الأرقام الأخرى بواسطة الصيغة

بالنسبة إلى العدد المركب ، لم يتم تعريف الوسيطة والصيغة المثلثية.

وبالتالي ، فإن وسيطة العدد المركب غير الصفري هي أي حل لنظام المعادلات:

(3)

تسمى القيمة φ لسعة العدد المركب z التي ترضي المتباينات الرئيسية ويُرمز إليها بـ arg z.

Arg z و arg z مرتبطان بـ

, (4)

الصيغة (5) هي نتيجة للنظام (3) ، وبالتالي فإن جميع حجج العدد المركب تفي بالمساواة (5) ، ولكن ليست كل الحلول φ للمعادلة (5) هي من حجج الرقم z.

يمكن العثور على القيمة الرئيسية لوسيطة العدد المركب غير الصفري بواسطة الصيغ:

صيغ الضرب والقسمة للأعداد المركبة في الشكل المثلثي هي كما يلي:

. (7)

عند رفع رقم مركب إلى قوة طبيعية ، يتم استخدام صيغة Moivre:

عند استخراج جذر من رقم مركب ، يتم استخدام الصيغة:

, (9)

حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، ... ، ن -1.

مشكلة 54. احسب أين.

دعنا نمثل حل هذا التعبير في التدوين الأسي لعدد مركب :.

اذا ثم.

ثم ، ... لذلك إذن و ، أين .

إجابه: ، في .

مشكلة 55. اكتب الأعداد المركبة في الصورة المثلثية:

أ) ؛ ب)؛ الخامس) ؛ ز) ؛ ه) ؛ ه) ؛ ز).

بما أن الشكل المثلثي للعدد المركب هو إذن:

أ) في عدد مركب:.

,

لذا

ب) ، أين ،

ز) ، أين ،

ه) .

ز) ، أ ، ومن بعد .

لذا

إجابه: ; 4; ; ; ; ; .

مشكلة 56. أوجد الصيغة المثلثية للعدد المركب

.

يترك ، .

ثم ، , .

منذ و ،، ثم و

لذلك ، لذلك

إجابه: ، أين .

مشكلة 57. باستخدام الصيغة المثلثية للعدد المركب ، قم بتنفيذ الإجراءات المشار إليها :.

دعونا نمثل الأعداد و في شكل مثلثي.

1) أين ومن بعد

أوجد قيمة الوسيطة الرئيسية:

عوّض بالقيم وحصلنا على التعبير

2) أين إذا

ثم

3) أوجد حاصل القسمة

عند ضبط k = 0 ، 1 ، 2 ، نحصل على ثلاث قيم مختلفة للجذر المطلوب:

اذا ثم

اذا ثم

اذا ثم .

إجابه: :

:

: .

مشكلة 58. دعونا ،،، تكون مختلفة الأعداد المركبة و ... اثبت ذلك

رقم هو رقم موجب حقيقي ؛

ب) تحدث المساواة:

أ) نمثل هذه الأعداد المركبة في شكل مثلثي:

لأن .

دعونا نتظاهر بذلك. ثم

.

التعبير الأخير هو رقم موجب ، لأن علامات الجيب هي أرقام من الفترة.

منذ الرقم حقيقي وإيجابي. في الواقع ، إذا كان a و b عددًا مركبًا وكانا حقيقيين وأكبر من الصفر ، إذن.

علاوة على ذلك،

لذلك ، تم إثبات المساواة المطلوبة.

مسألة 59. اكتب الرقم في الصورة الجبرية .

دعونا نمثل عددًا في الصورة المثلثية ، ثم نحسب صورته الجبرية. لدينا ... ل نحصل على النظام:

هذا يعني المساواة: .

تطبيق صيغة Moivre:،

نحن نحصل

أوجد الشكل المثلثي للرقم المعطى.

نكتب الآن هذا الرقم في شكل جبري:

.

إجابه: .

مشكلة 60. اوجد المجموع ،،

ضع في اعتبارك المبلغ

بتطبيق صيغة Moivre نجد

هذا المجموع هو مجموع n حدًا للتقدم الهندسي مع المقام والعضو الأول .

بتطبيق صيغة مجموع شروط هذا التقدم ، لدينا

نجد فصل الجزء التخيلي في التعبير الأخير

بفصل الجزء الحقيقي ، نحصل أيضًا على الصيغة التالية: ،.

مشكلة 61. أوجد المبلغ:

أ) ؛ ب).

وفقًا لصيغة نيوتن للارتقاء إلى قوة ، لدينا

باستخدام صيغة Moivre نجد:

معادلة الأجزاء الحقيقية والخيالية من التعبيرات التي تم الحصول عليها ، لدينا:

و .

يمكن كتابة هذه الصيغ في شكل مضغوط على النحو التالي:

,

، أين هو الجزء الصحيح من الرقم أ.

مشكلة 62. البحث عن كل شخص لمن.

بقدر ما ، ثم تطبيق الصيغة

, لاستخراج الجذور نحصل عليها ,

لذلك، , ,

, .

تقع النقاط المقابلة للأرقام عند رؤوس مربع منقوش في دائرة نصف قطرها 2 متمركزة عند النقطة (0 ؛ 0) (الشكل 30).

إجابه: , ,

, .

مشكلة 63. حل المعادلة , .

حسب الشرط لذلك ، هذه المعادلة ليس لها جذر ، وبالتالي فهي مكافئة لمعادلة.

لكي يكون الرقم z هو جذر هذه المعادلة ، من الضروري أن يكون الرقم هو الجذر الدرجة التاسعةمن رقم 1.

ومن ثم ، نستنتج أن المعادلة الأصلية لها جذور محددة من المساواة

,

في هذا الطريق،

,

بمعنى آخر. ,

إجابه: .

مشكلة 64. حل المعادلة في مجموعة الأعداد المركبة.

نظرًا لأن الرقم ليس جذرًا لهذه المعادلة ، فإن هذه المعادلة تعادل المعادلة

هذا هو المعادلة.

يتم الحصول على جميع جذور هذه المعادلة من الصيغة (انظر المشكلة 62):

; ; ; ; .

مشكلة 65. ارسم على المستوى المركب مجموعة النقاط التي تحقق المتباينات: ... (الطريقة الثانية لحل المشكلة 45)

يترك .

الأعداد المركبة التي لها نفس المعادلات تتوافق مع نقاط المستوى الواقعة على دائرة متمركزة في الأصل ، وبالتالي ، المتباينة تلبية جميع نقاط الحلقة المفتوحة التي تحدها دوائر مركز مشترك في الأصل ونصف القطر و (الشكل 31). دع نقطة ما من المستوى المركب تتوافق مع الرقم w0. عدد ، لها مقياس أصغر من المقياس w0 مرة واحدة ، وسعة أكبر من السعة w0. هندسيًا ، يمكن الحصول على النقطة المقابلة لـ w1 باستخدام تماثل مع مركز في الأصل ومعامل ، وكذلك الدوران حول الأصل بزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة. نتيجة لتطبيق هذين التحولين على نقاط الحلقة (الشكل 31) ، يتحول الأخير إلى حلقة تحدها دوائر لها نفس المركز ونصف القطر 1 و 2 (الشكل 32).

تحويل نفذت باستخدام الترجمة المتوازية إلى متجه. بتحريك الحلقة المتمركزة في نقطة ما إلى المتجه المشار إليه ، نحصل على حلقة من نفس الحجم تتمحور حول نقطة (الشكل 22).

الطريقة المقترحة ، باستخدام فكرة التحولات الهندسية للمستوى ، ربما تكون أقل ملاءمة في الوصف ، لكنها أنيقة وفعالة للغاية.

مشكلة 66. معرفة ما إذا كان .

دعونا إذن و. تأخذ المساواة الأصلية الشكل ... من شرط المساواة بين عددين مركبين نحصل عليه ، ومن أين. في هذا الطريق، .

لنكتب الرقم z في الصورة المثلثية:

، أين ، . وفقًا لصيغة Moivre ، نجد.

الجواب: - 64.

مشكلة 67. بالنسبة لعدد مركب ، أوجد جميع الأعداد المركبة مثل ، و .

دعنا نمثل الرقم في الشكل المثلثي:

... لذلك،. للعدد الذي نحصل عليه ، يمكن أن يكون مساويًا لأي منهما.

في الحالة الأولى ، في الثانية

.

إجابه: ، .

مشكلة 68. أوجد مجموع الأعداد على هذا النحو. أدخل أحد هذه الأرقام.

لاحظ أنه من صياغة المشكلة بالفعل ، يمكن للمرء أن يفهم أنه يمكن إيجاد مجموع جذور المعادلة دون حساب الجذور نفسها. في الواقع مجموع جذور المعادلة هو المعامل المأخوذ بالعلامة المعاكسة (نظرية فييتا المعممة) ، أي

الطلاب ، وثائق المدرسة ، استخلاص استنتاجات حول درجة استيعاب هذا المفهوم. تلخيص دراسة سمات التفكير الرياضي وعملية تكوين مفهوم العدد المركب. وصف الطرق. التشخيص: المرحلة الأولى. تم إجراء المحادثة مع مدرس رياضيات يقوم بتدريس الجبر والهندسة في الصف العاشر. جرت المحادثة بعد فترة من البداية ...

الرنين "(!)) ، والذي يشمل أيضًا التقييم السلوك الخاص... 4. تقييم نقدي لفهمك للموقف (شك). 5. وأخيراً استخدام توصيات علم النفس القانوني (مع مراعاة الجوانب النفسية للأعمال المهنية التي يؤديها المحامي - الاستعداد المهني والنفسي). دعونا ننظر الآن في التحليل النفسي للحقائق القانونية. ...

رياضيات الاستبدال المثلثي واختبار فاعلية طرق التدريس المطورة. مراحل العمل: 1. تطوير مقرر اختياري حول موضوع: "استخدام البدائل المثلثية في حل المسائل الجبرية" مع طلاب الفصول ذات الدراسة المتعمقة للرياضيات. 2. إجراء الدورة الاختيارية المطورة. 3. إجراء مراقبة تشخيصية ...

تهدف المهام المعرفية فقط إلى استكمال الوسائل التعليمية الحالية ويجب أن تكون في تركيبة مناسبة مع جميع الوسائل والعناصر التقليدية للعملية التعليمية. إن الاختلاف بين المشكلات التربوية في تدريس العلوم الإنسانية من المشكلات الدقيقة ، ومن المشكلات الرياضية هو فقط في حقيقة عدم وجود صيغ ، أو خوارزميات صارمة ، وما إلى ذلك في المشكلات التاريخية ، مما يعقد حلها. ...