سلسلة الطاقة.

باستخدام متسلسلة القوى من الممكن دمج المعادلات التفاضلية.

النظر في معادلة تفاضلية خطية من النموذج:

إذا تم توسيع جميع المعاملات والجانب الأيمن من هذه المعادلة إلى معاملات متقاربة في فترة معينة سلسلة الطاقةإذن هناك حل لهذه المعادلة في منطقة صغيرة من نقطة الصفر تحقق الشروط الأولية.

يمكن تمثيل هذا الحل بمتسلسلة القوى:

لإيجاد الحل، يبقى تحديد الثوابت المجهولة ج ط.

يمكن حل هذه المشكلة طريقة المقارنة بين المعاملات غير المؤكدة. نعوض بالتعبير الكتابي للدالة المطلوبة في المعادلة التفاضلية الأصلية، ونجري جميع العمليات اللازمة باستخدام متسلسلة القوى (التمايز، الجمع، الطرح، الضرب، إلخ)

ثم نساوي المعاملات بنفس الدرجات Xعلى الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة. ونتيجة لذلك، ومع مراعاة الشروط الأولية، نحصل على نظام من المعادلات نحدد منه المعاملات تباعا ج ط.

لاحظ أن هذه الطريقة تنطبق أيضًا على المعادلات التفاضلية غير الخطية.

مثال.أوجد حلاً للمعادلة ذات الشروط الأولية ص(0)=1، ص'(0)=0.

سنبحث عن حل للمعادلة في الصورة

نعوض بالتعبيرات الناتجة في المعادلة الأصلية:

ومن هنا نحصل على:

………………

نحصل عليها عن طريق استبدال الشروط الأوليةإلى تعبيرات للدالة المطلوبة ومشتقتها الأولى:

وأخيرا نحصل على:

هناك طريقة أخرى لحل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلة. تسمى طريقة التمايز المتسلسل.

دعونا ننظر إلى نفس المثال. سنبحث عن حل للمعادلة التفاضلية على شكل مفكوك للدالة المجهولة في متسلسلة ماكلورين.

إذا كانت الشروط الأولية المحددة ص(0)=1، ص'(0)=0نعوض في المعادلة التفاضلية الأصلية، نحصل على ذلك

بعد استبدال القيم التي تم الحصول عليها نحصل على:

سلسلة فورييه.

(جان بابتيست جوزيف فورييه (1768 – 1830) – عالم رياضيات فرنسي)

المتسلسلة المثلثية.

تعريف.المتسلسلة المثلثيةتسمى سلسلة من النموذج:

أو باختصار،

أرقام حقيقية أ ط، ب طتسمى معاملات السلسلة المثلثية.

إذا تقاربت سلسلة من النوع الموضح أعلاه، فإن مجموعها يكون دالة دورية ذات الفترة 2p، لأن وظائف الخطيئة nxوكوس nxأيضا وظائف دورية مع الفترة 2P.

دع المتسلسلة المثلثية تتقارب بشكل موحد على القطعة [-p; p]، وبالتالي على أي جزء بسبب الدورية، ومجموعه يساوي و (خ).

دعونا نحدد معاملات هذه السلسلة.

لحل هذه المشكلة نستخدم المعادلات التالية:

صحة هذه المساواة تأتي من تطبيقها على التكامل الصيغ المثلثية. راجع تكامل الدوال المثلثية لمزيد من المعلومات.

لأن وظيفة و (خ)مستمر على الفاصل الزمني [-p; ع]، ثم هناك جزء لا يتجزأ

يتم الحصول على هذه النتيجة نتيجة لحقيقة ذلك.

ومن هنا نحصل على:

وبالمثل، نضرب عبارة مفكوك الدالة في sin nxوالتكامل في النطاق من -p إلى p.

نحن نحصل:

التعبير عن المعامل 0هي حالة خاصة للتعبير عن المعاملات ن.

وهكذا، إذا كانت الوظيفة و (خ)- أي دالة دورية للدورة 2p، مستمرة على الفاصل الزمني [-p؛ p] أو وجود عدد محدود من نقاط الانقطاع من النوع الأول على هذه القطعة، ثم المعاملات

موجودة وتسمى معاملات فورييهللوظيفة و (خ).

تعريف.بالقرب من فورييهللوظيفة و (خ)تسمى المتسلسلة المثلثية التي معاملاتها هي معاملات فورييه. إذا كانت سلسلة فورييه من الدالة و (خ)ويتقارب إليها في جميع نقاط اتصالها، فنقول أن الدالة و (خ)يتوسع إلى سلسلة فورييه.

علامات كافية للتحلل في سلسلة فورييه.

نظرية. (نظرية ديريشليت) إذا كانت الدالة f(x) لها فترة 2p وعلى المقطع

[-p;p] مستمر أو يحتوي على عدد محدود من نقاط الانقطاع من النوع الأول والقطعة

[-p;p] يمكن تقسيمها إلى عدد محدود من المقاطع بحيث تكون الدالة f(x) داخل كل منها رتيبة، ثم تتقارب سلسلة فورييه للدالة f(x) لجميع قيم x، وعند نقاط استمرارية الدالة f(x) يكون مجموعها مساويًا لـ f(x)، وعند نقاط الاتصال يكون مجموعها مساويًا لـ ، أي. الوسط الحسابي للقيم الحدية على اليسار واليمين. في هذه الحالة، تتقارب سلسلة فورييه للدالة f(x) بشكل موحد على أي قطعة تنتمي إلى فترة الاستمرارية للدالة f(x).

تسمى الدالة f(x) التي تتوافر فيها شروط نظرية ديريشليت رتابة قطعةعلى المقطع [-p;p].

نظرية. إذا كانت الدالة f(x) لها دورة 2p، بالإضافة إلى ذلك، f(x) ومشتقتها f’(x) – وظائف مستمرةعلى الفاصل الزمني [-p;p] أو يكون له عدد محدود من نقاط الانقطاع من النوع الأول على هذا الفاصل الزمني، فإن متسلسلة فورييه للدالة f(x) تتقارب لجميع قيم x، وعند نقاط الاستمرارية مجموعها يساوي f(x)، وعند نقاط الانقطاع يساوي . في هذه الحالة، تتقارب سلسلة فورييه للدالة f(x) بشكل موحد على أي قطعة تنتمي إلى فترة الاستمرارية للدالة f(x).

تسمى الدالة التي تحقق شروط هذه النظرية قطعة - على نحو سلسعلى المقطع [-p;p].

توسيع سلسلة فورييه لوظيفة غير دورية.

إن مشكلة توسيع دالة غير دورية إلى متسلسلة فورييه، من حيث المبدأ، لا تختلف عن توسيع دالة دورية إلى متسلسلة فورييه.

لنفترض الوظيفة و (خ)يتم تقديمه على فترة زمنية وهو رتيب متعدد الحكمة في هذه الفترة. النظر في وظيفة رتيبة دورية تعسفية و 1 (خ)مع الفترة 2T ³ ïb-aï، بالتزامن مع الدالة f(x) في المقطع.

أ - 2T أ ب أ+2T أ + 4T س

وبالتالي فإن الوظيفة و (خ)تمت إضافة. الآن الوظيفة و 1 (خ)يتوسع إلى سلسلة فورييه. مجموع هذه السلسلة في جميع نقاط القطعة يتزامن مع الوظيفة و (خ)،أولئك. يمكننا أن نفترض أن الوظيفة و (خ)توسعت إلى سلسلة فورييه على هذا الجزء.

وبالتالي، إذا تم إعطاء الدالة f(x) على فترة تساوي 2p، فهي لا تختلف عن التوسع المتسلسل للدالة الدورية. إذا كانت القطعة التي تُعطى عليها الدالة أقل من 2p، فإن الدالة تمتد إلى الفاصل الزمني (b، a + 2p) بحيث يتم الحفاظ على شروط التوسع في سلسلة فورييه.

بشكل عام، في هذه الحالة، يمكن تنفيذ استمرار دالة معينة على مقطع (فاصل) بطول 2p بعدد لا نهائي من الطرق، وبالتالي فإن مجموع المتسلسلة الناتجة سيكون مختلفًا، لكنه سيتزامن مع المعطى الدالة f(x) على القطعة.

متسلسلة فورييه للدوال الزوجية والفردية.

دعونا نلاحظ الخصائص التالية للوظائف الزوجية والفردية:

2) حاصل ضرب دالتين فرديتين وزوجيتين هو دالة زوجية.

3) حاصل ضرب الدوال الزوجية والفردية هو دالة فردية.

يمكن إثبات صحة هذه الخصائص بسهولة بناءً على تعريف الدوال الزوجية والفردية.

إذا كانت f(x) دالة دورية زوجية ذات الدورة 2p، وتحقق شروط التمدد في متسلسلة فورييه، فيمكننا أن نكتب:

وهكذا، من أجل دالة زوجية، يتم كتابة متسلسلة فورييه:

وبالمثل، نحصل على توسيع سلسلة فورييه لدالة فردية:

مثال.قم بتوسيع دالة دورية إلى متسلسلة فورييه مع الفترة T = 2p على الفاصل الزمني [-p;p].

الدالة المعطاة فردية، لذلك نبحث عن معاملات فورييه في الصورة:

تعريف.سلسلة فورييه على نظام متعامد من الوظائف j 1 (x)، j 2 (x)، …،jn(x) تسمى سلسلة من الشكل:

يتم تحديد معاملاتها بواسطة الصيغة:

أين و (خ)= هو مجموع سلسلة متقاربة بشكل موحد على قطعة على طول نظام متعامد من الوظائف. و(خ) -أي دالة متصلة أو لها عدد محدود من نقاط الانقطاع من النوع الأول على القطعة.

في حالة نظام الوظائف المتعامد، يتم تحديد المعاملات:

عند استخدام نسخة الكمبيوتر " دورة الرياضيات العليامن الممكن تشغيل برنامج يقوم بتوسيع دالة عشوائية إلى سلسلة فورييه.

سلسلة تايلور. سلسلة ماكلورين

دع الدالة قابلة للتمييز لعدد لا نهائي من المرات في جوار نقطة ما، أي. لديه مشتقات من أي أمر. متسلسلة تايلور للدالة عند نقطة ما هي متسلسلة قوى

في حالة خاصة للمتسلسلة (1.8) تسمى متسلسلة ماكلورين:

السؤال الذي يطرح نفسه: في أي الحالات يتم تمييز متسلسلة تايلور لدالة لعدد لا نهائي من المرات في جوار نقطة تتزامن مع الدالة؟

قد تكون هناك حالات تتقارب فيها متسلسلة تايلور للدالة، ولكن مجموعها ليس متساويًا

دعونا نقدم شرطًا كافيًا لتقارب سلسلة تايلور للدالة مع هذه الوظيفة.

النظرية 1.4: إذا كانت الدالة في فترة ما لها مشتقات من أي ترتيب وجميعها محدودة في القيمة المطلقة بنفس العدد، أي. ثم تتقارب متسلسلة تايلور لهذه الدالة لأي فترة من هذه الفترة، أي. هناك مساواة

هناك حاجة إلى دراسات منفصلة لتحديد ما إذا كانت هذه المساواة تنطبق على نهايات فترة التقارب.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا تم توسيع الدالة إلى متسلسلة قوى، فإن هذه المتسلسلة هي متسلسلة تايلور (ماكلورين) لهذه الدالة، وهذا التوسع فريد من نوعه.

المعادلات التفاضلية

عادي المعادلة التفاضليةيسمى الترتيب n لوظيفة الوسيطة علاقة النموذج

أين هي وظيفة معينة من الحجج الخاصة بها.

في اسم هذه الفئة من المعادلات الرياضية، يؤكد مصطلح "التفاضلية" على أنها تشمل المشتقات (الدوال التي تشكلت نتيجة للتمايز)؛ يشير المصطلح "العادي" إلى أن الوظيفة المطلوبة تعتمد على وسيطة حقيقية واحدة فقط.

قد لا تحتوي المعادلة التفاضلية العادية بشكل صريح على وسيطة الدالة المطلوبة وأي من مشتقاتها، ولكن يجب تضمين المشتق الأعلى في معادلة الرتبة n.

على سبيل المثال،

أ) - معادلة من الدرجة الأولى؛

ب) - معادلة من الدرجة الثالثة.

عند كتابة المعادلات التفاضلية العادية، غالبًا ما يتم استخدام ترميز المشتقات من حيث التفاضلات:

ب) - معادلة من الدرجة الثانية؛

د) - معادلة من الدرجة الأولى تشكل المعادلة التالية بعد القسمة على الصورة المكافئة:

تسمى الدالة حلاً لمعادلة تفاضلية عادية إذا تحولت إلى هوية عند استبدالها بها.

إن العثور بطريقة أو بأخرى، مثل الاختيار، على دالة واحدة تحقق المعادلة لا يعني حلها. حل معادلة تفاضلية عادية يعني إيجاد جميع الدوال التي تشكل هوية عند استبدالها في المعادلة. بالنسبة للمعادلة (1.10) تتشكل عائلة من هذه الدوال باستخدام ثوابت اعتباطية ويسمى الحل العام لمعادلة تفاضلية عادية من الرتبة ن، ويتطابق عدد الثوابت مع ترتيب المعادلة: الحل العام قد لا يمكن حلها بشكل صريح فيما يتعلق بـ في هذه الحالة، يُسمى الحل عادةً بالتكامل العام للمعادلة (1.10).

وبتخصيص بعض القيم المقبولة لجميع الثوابت التعسفية في الحل العام أو في التكامل العام، نحصل على دالة معينة لم تعد تحتوي على ثوابت اعتباطية. تسمى هذه الدالة بالحل الجزئي أو التكامل الجزئي للمعادلة (1.10). للعثور على قيم الثوابت التعسفية، وبالتالي حل معين، يتم استخدام شروط إضافية مختلفة للمعادلة (1.10). على سبيل المثال، يمكن تحديد ما يسمى بالشروط الأولية على النحو التالي:

على الجانب الأيمن من الشروط الأولية (1.11) يتم إعطاء القيم العددية للدالة ومشتقاتها، و، الرقم الإجماليالشروط الأولية تساوي عدد الثوابت التعسفية المحددة.

تسمى مشكلة إيجاد حل معين للمعادلة (1.10) بناءً على الشروط الأولية بمشكلة كوشي.

تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلة

في الحالة العامة، من المستحيل إيجاد حل دقيق للمعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الأولى (ODE) عن طريق التكامل. علاوة على ذلك، هذا غير ممكن لنظام ODE. هذا الظرف أدى إلى الخلق عدد كبيرالطرق التقريبية لحل ODEs وأنظمتها. من بين الطرق التقريبية يمكن تمييز ثلاث مجموعات: التحليلية والرسومية والعددية. وبطبيعة الحال، فإن هذا التصنيف تعسفي إلى حد ما. على سبيل المثال، الطريقة الرسومية لخطوط أويلر المتقطعة تكمن وراء إحدى طرق حل المعادلة التفاضلية عدديًا.

يعد دمج المعادلات التفاضلية التفاضلية باستخدام متسلسلة القدرة طريقة تحليلية تقريبية، يتم تطبيقها عادةً على المعادلات الخطية من الدرجة الثانية على الأقل. من أجل البساطة، فإننا نقتصر على النظر في ODE خطي متجانس من الدرجة الثانية مع معاملات متغيرة

ملاحظة: يمكن تمثيل فئة واسعة إلى حد ما من الوظائف في النموذج

أين بعض الثوابت ويسمى هذا التعبير سلسلة الطاقة.

لنفترض أنه يمكن توسيع الوظائف إلى سلسلة متقاربة في الفاصل الزمني:

تنص النظرية التالية (مع حذف الدليل، نقدم صياغته فقط).

النظرية 1.5: إذا كانت الدوال لها الشكل (1.13)، فيمكن تمثيل أي حل لـ ODE (1.12) كسلسلة قوى متقاربة عند:

هذه النظرية لا تجعل من الممكن تمثيل الحل في شكل متسلسلة قوى فحسب، بل الأهم من ذلك أنها تبرر تقارب المتسلسلة (1.14). للتبسيط، نضع (1.13) و (1.14) ونبحث عن حل ODE (1.12) في النموذج

بالتعويض (1.15) في (1.12) نحصل على المساواة

ولتحقيق (1.16) يجب أن يكون معامل كل درجة مساوياً للصفر.

من هذا الشرط نحصل على نظام لا نهائي من الخطية المعادلات الجبرية

والتي يمكن من خلالها العثور على التوالي إذا تم تعيين القيم و (في حالة مشكلة كوشي لـ ODE (1.12)، يتم تضمينها في الشروط الأولية).

إذا كانت الوظائف عقلانية، أي.

حيث توجد كثيرات الحدود، ففي محيط النقاط التي قد لا يوجد عندها حل على شكل متسلسلة قوى، وإذا كان موجودًا، فقد يتباعد في كل مكان باستثناء النقطة، وهذا الظرف كان معروفًا لـ L. Euler، الذي اعتبر المعادلة من الدرجة الأولى

يتم تحقيق هذه المعادلة من خلال سلسلة القوى

ومع ذلك، ليس من الصعب أن نرى أن هذه السلسلة تتباعد عن أي منها

يسمى حل ODE في شكل سلسلة قوى متباعدة رسميًا.

وزارة التعليم والعلوم بجمهورية كازاخستان

جامعة شمال كازاخستان الحكومية

هم. م. كوزيبايفا

كلية تكنولوجيا المعلومات

قسم الرياضيات

الدورات الدراسية محمية

بتقييم "____________"

"___"___________ عام 2013

رأس قسم____________

أ. تادجيجيتوف

دورة العمل في الرياضيات

"تكامل المعادلات التفاضلية

استخدام متسلسلات القوى"

الرأس: فاليفا م.ب. ___________

بتروبافلوفسك 2013

التكيف

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane التفاضلات Tendemelermen baylanysty Theorylyk Suraktar karastyrylgan. الفروق في تكامل dauynyn mysaldary zhône manganaz qatarlardyn komegimen karastyrylgan.

حاشية. ملاحظة

في هذا العمل بالطبعيتم النظر في القضايا النظرية المتعلقة بالمعادلات المتسلسلة والتفاضلية. يتم النظر في أمثلة تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى.

تعتبر الأعمال المقدمة أسئلة نظرية تتعلق بالمتسلسلات والمعادلات التفاضلية. تعتبر أمثلة على تكامل المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام متسلسلة القوى.

مقدمة

مفاهيم أساسية متعلقة بالمتسلسلات والمعادلات التفاضلية

1 صفوف. مفاهيم أساسية. علامة التقارب اللازمة

2 سلسلة الطاقة خصائص سلسلة القوى

3 صف تايلور. سلسلة ماكلورين

4 المعادلات التفاضلية

5 تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلة

أمثلة على استخدام متسلسلات القوى في تكامل المعادلات التفاضلية

1 معادلة هوائية

2 معادلة بيسل

3 أمثلة التكامل

4 أمثلة على التكامل في Maple

خاتمة

مقدمة

مصطلح "المعادلة التفاضلية" يأتي من لايبنتز (1676، نشر 1684). تعود بداية البحث في المعادلات التفاضلية إلى زمن لايبنتز ونيوتن، حيث تمت دراسة المشاكل الأولى التي أدت إلى مثل هذه المعادلات في أعمالهما. قام لايبنيز ونيوتن والأخوان ج. وإي. بيرنولي بتطوير طرق لتكامل المعادلات التفاضلية العادية. كطريقة عالمية، تم استخدام توسعات تكاملات المعادلات التفاضلية في متسلسلة القوى.

في الوقت الحاضر، يتطلب الإدخال الواسع النطاق للطرق الحسابية في العلوم، المرتبط بظهور أدوات الحوسبة عالية الطاقة، إعادة تقييم أهمية مختلف فروع الرياضيات، وعلى وجه الخصوص، أقسام نظرية المعادلات التفاضلية العادية. في الوقت الحالي، زادت أهمية طرق البحث النوعي لحلول المعادلات التفاضلية، بالإضافة إلى طرق إيجاد الحلول التقريبية.

لا يتم التعبير عن حلول العديد من المعادلات التفاضلية في الدوال الأولية أو التربيعات. في هذه الحالات، يتم استخدام الطرق التقريبية لتكامل المعادلات التفاضلية. إحدى هذه الطرق هي تمثيل حل المعادلة على شكل متسلسلة قوى؛ سيكون مجموع العدد المحدود من حدود هذه السلسلة مساويًا تقريبًا للحل المطلوب. وهذا يحدد مدى أهمية موضوع البحث المختار.

الغرض من هذا العمل: إظهار استخدام طريقة متسلسلة القوى في تكامل المعادلات التفاضلية.

الهدف من الدراسة هو عملية تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام طريقة سلسلة القوى.

موضوع الدراسة هو أشكال وطرق ووسائل تكامل المعادلات التفاضلية بمتسلسلات القوى.

وفقًا للهدف يمكن صياغة الأهداف الرئيسية لهذا العمل:

مراجعة المفاهيم الأساسية المتعلقة بالمعادلات المتسلسلة والتفاضلية.

تحليل طريقة تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى.

تطبيق طريقة سلسلة القوى لحل المسائل المختلفة.

هيكل العمل: صفحة العنوان، نموذج تكليف العمل، الملخص، المحتوى، المقدمة، الجزء الرئيسي، الخاتمة، قائمة المراجع.

يتكون الجزء الرئيسي من العمل من فصلين. يتناول الفصل الأول مفاهيم المتسلسلة ومتسلسلة القوى ومتسلسلة تايلور والمعادلات التفاضلية. وفي الفصل الثاني تم تناول أمثلة تكامل المعادلات التفاضلية بمتسلسلات القوى.

لدراسة الجزء النظري من العمل، تم استخدام مواد من الأدبيات التربوية والدوريات المشار إليها في قائمة الأدبيات المستخدمة.

حجم العمل: 26 صفحة.

1. المفاهيم الأساسية المتعلقة بالمتسلسلات والمعادلات التفاضلية

1.1 الصفوف. مفاهيم أساسية. علامة التقارب اللازمة

في التطبيقات الرياضية، وكذلك في حل بعض المسائل في الاقتصاد والإحصاء وغيرها من المجالات، يتم أخذ المجاميع ذات عدد لا نهائي من المصطلحات في الاعتبار. وسنقدم هنا تعريفاً للمقصود بهذه المبالغ.

دع يتم إعطاء تسلسل عددي لا نهائي. سلسلة الأرقام أو ببساطة سلسلة هي تعبير (مجموع) للنموذج

,(1.1)

تسمى الأرقام أعضاء السلسلة - المشتركة أو الفصل الدراسي التاسعصف.

ولتعريف المتسلسلة (1.1) يكفي تحديد دالة الوسيطة الطبيعية لحساب الحد النوني من المتسلسلة برقمها

مثال 1.1. يترك . صف

(1.2)

تسمى المتسلسلة التوافقية .

من شروط المتسلسلة (1.1) نشكل تسلسل رقميمبالغ جزئية أين - مجموع الحدود الأولى من المتسلسلة، وهو ما يسمى بالمجموع الجزئي n، أي.

(1.3)

تسلسل رقمي مع زيادة غير محدودة في العدد يمكن:

) لها حد محدود؛

) ليس لها نهاية محدودة (الحد غير موجود أو يساوي ما لا نهاية).

تسمى المتسلسلة (1.1) متقاربة إذا كانت متتابعة مجاميعها الجزئية (1.3) لها نهاية منتهية، أي.

في هذه الحالة، يسمى الرقم مجموع السلسلة (1.1) ويتم كتابته

تسمى المتسلسلة (1.1) متباعدة إذا لم يكن لتسلسل مجاميعها الجزئية نهاية منتهية. لم يتم تعيين أي مبلغ للسلسلة المتباعدة.

وبالتالي فإن مسألة إيجاد مجموع متسلسلة متقاربة (1.1) تعادل حساب نهاية متتابعة مجاميعها الجزئية.

إثبات النظرية يأتي من حقيقة ذلك ، و إذا

S هو مجموع السلسلة (1.1)، إذن

الشرط (1.4) شرط ضروري ولكنه غير كاف لتقارب المتسلسلة. أي أنه إذا كان الحد المشترك للمتسلسلة يميل إلى الصفر، فهذا لا يعني أن المتسلسلة متقاربة. على سبيل المثال، بالنسبة للسلسلة التوافقية (1.2)

ومع ذلك، فإنه يتباعد.

النتيجة الطبيعية (علامة كافية على تباعد المتسلسلة): إذا كان الحد المشترك للمتسلسلة لا يميل إلى الصفر، فإن هذه المتسلسلة تتباعد.

مثال 1.2. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

لهذه السلسلة لذلك، تتباعد هذه السلسلة.

1.1

1.2 سلسلة الطاقة خصائص سلسلة القوى

تعتبر سلسلة الطاقة حالة خاصة من السلسلة الوظيفية.

سلسلة الطاقة هي سلسلة وظيفية من النموذج

فيما يلي أعداد حقيقية ثابتة تسمى معاملات متسلسلة القوى؛

بعض الأرقام الثابتة؛

متغير يأخذ القيم من مجموعة الأعداد الحقيقية.

عندما تأخذ متسلسلة القوى (1.5) الشكل

(1.6)

متسلسلة القوى (1.5) تسمى متسلسلة في قوى الفرق، السلسلة (1.6) هي متسلسلة في الأس، إذا أعطيت لمتغير أي قيمة فإن متسلسلة القوى (1.5) (أو (1.6)) تتحول إلى عددية سلسلة يمكن أن تتقارب أو تتباعد.

منطقة التقارب لسلسلة القوى هي مجموعة القيم التي تتقارب عندها سلسلة القوى.

النظرية 1.2 (نظرية آبل): إذا تقاربت متسلسلة القوى (1.6) فإنها تتقارب تقارباً مطلقاً لجميع القيم التي تحقق المتراجحة، إذا تباعدت المتسلسلة (1.6) عندها فإنها تتباعد لجميع القيم التي تحقق المتراجحة

تعطي نظرية هابيل فكرة واضحة عن بنية منطقة التقارب لسلسلة القوى.

النظرية 1.3: منطقة التقارب لمتسلسلة القوى (1.6) تتطابق مع إحدى الفترات التالية:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

أين يوجد عدد حقيقي غير سالب أو

يسمى الرقم نصف قطر التقارب، ويسمى الفاصل الزمني بفاصل تقارب سلسلة القوى (1.6).

إذا كانت فترة التقارب تمثل خط الأعداد بأكمله

إذا كان ثم الفاصل الزمني للتقارب يتدهور إلى هذه النقطة

ملاحظة: إذا كانت فترة التقارب لمتسلسلة القوى (1.2)، إذن - فترة التقارب لسلسلة القوى (1.5).

يترتب على النظرية 1.3 أنه لإيجاد منطقة تقارب متسلسلة القوى (1.6) عمليًا، يكفي إيجاد نصف قطر تقاربها وتوضيح مسألة تقارب هذه المتسلسلة في نهايات فترة التقارب، أي. في و

يمكن إيجاد نصف قطر تقارب متسلسلة القوى باستخدام إحدى الصيغ التالية:

صيغة دالمبيرت:

صيغة كوشي:

مثال 1.3. أوجد نصف قطر التقارب وفاصل التقارب ومنطقة التقارب لسلسلة القوى

دعونا نوجد نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة باستخدام الصيغة

في حالتنا هذه

وبالتالي، فإن فترة التقارب لهذه المتسلسلة لها الشكل

دعونا ندرس تقارب المتسلسلة عند نهايات فترة التقارب.

والتي تتباعد مثل السلسلة التوافقية.

عندما تتحول سلسلة القوى إلى سلسلة أرقام

.

هذه سلسلة متناوبة، حيث تنخفض قيمتها المطلقة و

لذلك، وفقًا لمعيار لايبنيز، تتقارب سلسلة الأعداد هذه.

وبالتالي، فإن الفترة هي منطقة التقارب لمتسلسلة قوى معينة.

متسلسلة القوى (1.6) هي دالة محددة في فترة التقارب، أي.

فيما يلي بعض خصائص الوظيفة:

الخاصية 1. تكون الدالة مستمرة على أي قطعة تنتمي إلى فترة التقارب

الخاصية 2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة ويمكن العثور على مشتقها عن طريق التمايز حدًا تلو الآخر للسلسلة (1.6) ، أي.

للجميع

الخاصية 3. يمكن الحصول على التكامل غير المحدد للدالة للجميع من خلال تكامل السلسلة (1.6) على حدة (1.6) ، أي.

للجميع

تجدر الإشارة إلى أنه مع اشتقاق وتكامل متسلسلة القوى حدًا تلو الآخر، فإن نصف قطر تقاربها لا يتغير، لكن تقاربها عند نهايات الفترة قد يتغير.

الخصائص المذكورة أعلاه صالحة أيضًا لسلسلة الطاقة (1.5).

مثال 1.4. النظر في سلسلة السلطة

منطقة التقارب لهذه المتسلسلة، كما هو موضح في المثال 1.3، هي الفترة

دعونا نفرق بين هذه السلسلة مصطلحًا تلو الآخر:

(1.7)

دعونا ندرس سلوك هذه المتسلسلة عند نهايات فترة التقارب.

تتباعد سلسلة الأرقام هذه بسبب عدم استيفاء معيار التقارب الضروري

الذي لا وجود له.

عندما تتحول سلسلة القوة (1.7) إلى سلسلة أرقام

والتي تتباعد أيضًا بسبب عدم استيفاء معيار التقارب الضروري.

وبالتالي، فإن منطقة التقارب لسلسلة القوى التي تم الحصول عليها عن طريق التمايز لكل حد على حدة لسلسلة القدرة الأصلية قد تغيرت وتتزامن مع الفاصل الزمني.

1.3 سلسلة تايلور سلسلة ماكلورين

دع الدالة قابلة للتمييز لعدد لا نهائي من المرات في جوار نقطة ما، أي. لديه مشتقات من أي أمر. متسلسلة تايلور للدالة عند نقطة ما هي متسلسلة قوى

(1.8)

في حالة خاصة للمتسلسلة (1.8) تسمى متسلسلة ماكلورين:

السؤال الذي يطرح نفسه: في أي الحالات يتم تمييز متسلسلة تايلور لدالة لعدد لا نهائي من المرات في جوار نقطة تتزامن مع الدالة؟

قد تكون هناك حالات تتقارب فيها متسلسلة تايلور للدالة، ولكن مجموعها ليس متساويًا

دعونا نقدم شرطًا كافيًا لتقارب سلسلة تايلور للدالة مع هذه الوظيفة.

النظرية 1.4: إذا كان في الفاصل الزمني تحتوي الدالة على مشتقات من أي ترتيب وجميعها محدودة القيمة المطلقة بنفس العدد، أي. ثم تتقارب متسلسلة تايلور لهذه الدالة في أي فترة من هذه الفترة أولئك. هناك مساواة

هناك حاجة إلى دراسات منفصلة لتحديد ما إذا كانت هذه المساواة تنطبق على نهايات فترة التقارب.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا تم توسيع الدالة إلى متسلسلة قوى، فإن هذه المتسلسلة هي متسلسلة تايلور (ماكلورين) لهذه الدالة، وهذا التوسع فريد من نوعه.

1.4 المعادلات التفاضلية

المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة n لدالة وسيطة هي علاقة بالشكل

أين هي وظيفة معينة من الحجج الخاصة بها.

في اسم هذه الفئة من المعادلات الرياضية، يؤكد مصطلح "التفاضلية" على أنها تشمل المشتقات (الدوال التي تشكلت نتيجة للتمايز)؛ يشير المصطلح "العادي" إلى أن الوظيفة المطلوبة تعتمد على وسيطة حقيقية واحدة فقط.

قد لا تحتوي المعادلة التفاضلية العادية بشكل صريح على وسيطة الدالة المطلوبة وأي من مشتقاتها، ولكن يجب تضمين المشتق الأعلى في معادلة الرتبة n.

على سبيل المثال،

أ) - معادلة من الدرجة الأولى؛

ب) - معادلة من الدرجة الثالثة.

عند كتابة المعادلات التفاضلية العادية، غالبًا ما يتم استخدام ترميز المشتقات من حيث التفاضلات:

في) - معادلة من الدرجة الثانية؛

ز) - معادلة من الدرجة الأولى تكون بعد القسمة على الصورة المكافئة المعادلة التالية:

تسمى الدالة حلاً لمعادلة تفاضلية عادية إذا تحولت إلى هوية عند استبدالها بها.

إن العثور بطريقة أو بأخرى، مثل الاختيار، على دالة واحدة تحقق المعادلة لا يعني حلها. حل معادلة تفاضلية عادية يعني إيجاد جميع الدوال التي تشكل هوية عند استبدالها في المعادلة. بالنسبة للمعادلة (1.10) تتشكل عائلة من هذه الدوال باستخدام ثوابت اعتباطية ويسمى الحل العام لمعادلة تفاضلية عادية من الرتبة ن، ويتطابق عدد الثوابت مع ترتيب المعادلة: الحل العام قد لا يمكن حلها بشكل صريح فيما يتعلق بـ في هذه الحالة، يُسمى الحل عادةً بالتكامل العام للمعادلة (1.10).

وبتخصيص بعض القيم المقبولة لجميع الثوابت التعسفية في الحل العام أو في التكامل العام، نحصل على دالة معينة لم تعد تحتوي على ثوابت اعتباطية. تسمى هذه الدالة بالحل الجزئي أو التكامل الجزئي للمعادلة (1.10). للعثور على قيم الثوابت التعسفية، وبالتالي حل معين، يتم استخدام شروط إضافية مختلفة للمعادلة (1.10). على سبيل المثال، يمكن تحديد ما يسمى بالشروط الأولية على النحو التالي:

على الجانب الأيمن من الشروط الأولية (1.11) تم تحديد القيم العددية للدالة ومشتقاتها، والعدد الإجمالي للشروط الأولية يساوي عدد الثوابت التعسفية المحددة.

تسمى مشكلة إيجاد حل معين للمعادلة (1.10) بناءً على الشروط الأولية بمشكلة كوشي.

1.5 تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلة

في الحالة العامة، من المستحيل إيجاد حل دقيق للمعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الأولى (ODE) عن طريق التكامل. علاوة على ذلك، هذا غير ممكن لنظام ODE. أدى هذا الظرف إلى إنشاء عدد كبير من الطرق التقريبية لحل المعادلات التفاضلية التفاضلية وأنظمتها. من بين الطرق التقريبية يمكن تمييز ثلاث مجموعات: التحليلية والرسومية والعددية. وبطبيعة الحال، فإن هذا التصنيف تعسفي إلى حد ما. على سبيل المثال، الطريقة الرسومية لخطوط أويلر المتقطعة تكمن وراء إحدى طرق حل المعادلة التفاضلية عدديًا.

يعد دمج المعادلات التفاضلية التفاضلية باستخدام متسلسلة القدرة طريقة تحليلية تقريبية، يتم تطبيقها عادةً على المعادلات الخطية من الدرجة الثانية على الأقل. من أجل البساطة، فإننا نقتصر على النظر في ODE خطي متجانس من الدرجة الثانية مع معاملات متغيرة

(1.12)

ملاحظة: يمكن تمثيل فئة واسعة إلى حد ما من الوظائف في النموذج

أين بعض الثوابت ويسمى هذا التعبير سلسلة الطاقة.

لنفترض أنه يمكن توسيع الوظائف إلى سلسلة متقاربة في الفاصل الزمني:

تنص النظرية التالية (مع حذف الدليل، نقدم صياغته فقط).

النظرية 1.5: إذا كانت الدوال لها الشكل (1.13)، فيمكن تمثيل أي حل لـ ODE (1.12) كسلسلة قوى متقاربة عند:

(1.14)

هذه النظرية لا تجعل من الممكن تمثيل الحل في شكل متسلسلة قوى فحسب، بل الأهم من ذلك أنها تبرر تقارب المتسلسلة (1.14). للتبسيط، نضع (1.13) و (1.14) ونبحث عن حل ODE (1.12) في النموذج

(1.15)

بالتعويض (1.15) في (1.12) نحصل على المساواة

ولتحقيق (1.16) يجب أن يكون معامل كل درجة مساوياً للصفر.

ومن هذا الشرط نحصل على نظام لا نهائي من المعادلات الجبرية الخطية

والتي يمكن من خلالها العثور على التوالي إذا قام أحد بتعيين القيم و (في حالة مشكلة كوشي لـ ODE (1.12) يتم تضمينها في الشروط الأولية ).

إذا كانت الوظائف عقلانية، أي.

حيث توجد كثيرات الحدود، ففي محيط النقاط التي قد لا يوجد عندها حل على شكل متسلسلة قوى، وإذا كان موجودًا، فقد يتباعد في كل مكان باستثناء النقطة، وهذا الظرف كان معروفًا لـ L. Euler، الذي اعتبر المعادلة من الدرجة الأولى

يتم تحقيق هذه المعادلة من خلال سلسلة القوى

ومع ذلك، ليس من الصعب أن نرى أن هذه السلسلة تتباعد عن أي منها

يسمى حل ODE في شكل سلسلة قوى متباعدة رسميًا.

2. أمثلة على استخدام متسلسلات القوى عند تكامل المعادلات التفاضلية

معادلة هوائية

حل معادلة إيري

وسوف نبحث على شكل متسلسلة القوى (1.15). ثم تأخذ المساواة (1.16) الشكل

معامل ل يساوي لذلك، من كون المعامل يساوي صفر، نجد أن معامل ل يساوي من هنا

من هذه الصيغة نحصل عليها

وبالمثل نجد

الاحتمالات لا تزال غير مؤكدة. للعثور على النظام الأساسي للحلول، قمنا أولاً بتعيين ومن ثم العكس. في الحالة الأولى لدينا

وفي الثانية

استنادًا إلى النظرية 1.5، تكون هذه المتسلسلة متقاربة في كل مكان على خط الأعداد

تسمى الوظائف وظائف Airy. بالنسبة للقيم الكبيرة، يتم وصف السلوك المقارب لهذه الوظائف بواسطة الصيغ

وتظهر الرسوم البيانية لهذه الوظائف في الشكل 1.

الصورة 1

مع زيادة غير محدودة، تقترب أصفار أي حل لمعادلة إيري من بعضها البعض بلا حدود، وهو ما يتضح من التمثيل المقارب لهذه الحلول، ولكنه ليس واضحًا على الإطلاق من تمثيل دوال إيري في صورة قوة متقاربة مسلسل. ويترتب على ذلك أن طريقة إيجاد حل لمعادلة ODE باستخدام المتسلسلة، بشكل عام، قليلة الفائدة في الحل المشاكل التطبيقية، وتمثيل الحل في شكل سلسلة يجعل من الصعب تحليل الخصائص النوعية للحل الناتج.

2.1 معادلة بيسل

معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات متغيرة، لها الشكل

تسمى معادلة بيسل.

سوف نبحث عن حل للمعادلة (2.1) على شكل متسلسلة قوى معممة، أي. منتجات بدرجة ما في سلسلة السهوب:

(2.2)

باستبدال سلسلة القوى المعممة في المعادلة (2.1) ومساواة معاملات كل قوة على الجانب الأيسر من المعادلة بصفر، نحصل على النظام

لنفترض أنه من هذا النظام نجد Let ثم من المعادلة الثانية للنظام نجد ومن المعادلة التي تعطي القيم 3،5،7،...، نستنتج أنه بالنسبة للمعاملات ذات الأعداد الزوجية نحصل على التعبيرات

بتعويض المعاملات الموجودة في المتسلسلة (2.2)، نحصل على الحل

حيث يبقى المعامل تعسفيا.

يتم تحديد جميع المعاملات بالمثل فقط في الحالة التي لا تساوي عددًا صحيحًا. ومن ثم يمكن الحصول على الحل عن طريق استبدال القيمة في الحل السابق بما يلي:

تتلاقى متسلسلة القدرة الناتجة عند جميع قيم، والتي يمكن تحديدها بسهولة بناءً على اختبار دالمبيرت. الحلول مستقلة خطيا، لأن نسبتها ليست ثابتة.

الحل مضروبا في ثابت تسمى دالة بيسل (أو دالة أسطوانية) من الرتبة من النوع الأول ويرمز لها بالرمز

يتضمن الاختيار المقبول عمومًا للثابت دالة جاما، والتي يتم تحديدها بواسطة التكامل غير الصحيح:

لذلك، قرار مشتركالمعادلة (2.1) عندما لا تساوي عددًا صحيحًا، يكون لها الشكل حيث تكون ثوابت اعتباطية.

2.2 أمثلة التكامل

في الحالات التي تتطلب فيها المعادلة حل مسألة كوشي في ظل الشرط الأولي، يمكن البحث عن الحل باستخدام متسلسلة تايلور:

حيث تم العثور على مشتقات أخرى التمايز المتتابعالمعادلة الأصلية والاستبدال في نتيجة التمايز بدلاً من القيم وجميع المشتقات اللاحقة الأخرى الموجودة. وبالمثل، يمكن دمج المعادلات ذات الرتبة الأعلى باستخدام متسلسلة تايلور.

مثال 2.1. أكمل المعادلة تقريبًا باستخدام متسلسلة تايلور عن طريق أخذ الحدود الستة الأولى غير الصفرية للمفكوك.

من معادلة الشروط الأولية نجد بتفاضل هذه المعادلة نحصل على التوالي

الاعتقاد واستخدام المعاني نجد دائمًا أن الحل المطلوب له الشكل

مثال 2.2. أوجد الحدود الأربعة الأولى (غير الصفرية) للتوسع. و

باستبدال القيم الموجودة في السلسلة (2.3)، نحصل على الحل المطلوب بالدقة المحددة:

2.3 أمثلة على التكامل في Maple

للعثور على حلول تحليلية للمعادلات التفاضلية في Maple، استخدم الأمر dsolve(eq,var,options)، حيث eq هي المعادلة التفاضلية، وvar هي دوال غير معروفة، والخيارات هي معلمات. يمكن أن تشير المعلمات إلى طريقة لحل مشكلة ما، على سبيل المثال، يتم البحث عن حل تحليلي افتراضيًا: type=exact. عند إنشاء المعادلات التفاضلية، يتم استخدام الأمر diff للدلالة على المشتق، على سبيل المثال، تتم كتابة المعادلة التفاضلية بالصيغة: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

للعثور على حل تقريبي لمعادلة تفاضلية في شكل سلسلة قوى، في أمر dsolve، يجب عليك تحديد نوع المعلمة=سلسلة (أو ببساطة سلسلة) بعد المتغيرات. للإشارة إلى ترتيب التحلل، أي. يجب أن يسبق ترتيب الدرجة التي يتم بها التحلل تعريف الترتيب بالأمر Order:=n.

إذا تم البحث عن حل عام لمعادلة تفاضلية في شكل توسيع سلسلة القوى، فإن المعاملات عند قوى التوسع الموجود ستحتوي على قيم غير معروفة للدالة عند الصفر ومشتقاتها، وما إلى ذلك. سيكون للتعبير الناتج في خط الإخراج شكل مشابه لمفكوك الحل المطلوب في متسلسلة ماكلورين، لكن بمعاملات مختلفة للقوى. لعزل حل معين، يجب تحديد الشروط الأولية، وما إلى ذلك، ويجب أن يتطابق عدد هذه الشروط الأولية مع ترتيب المعادلة التفاضلية المقابلة.

التوسيع إلى سلسلة أس هو من نوع السلسلة، لذا لمزيد من العمل مع هذه السلسلة، يجب تحويلها إلى كثيرة الحدود باستخدام أمر تحويل (%، بولينوم)، ثم تحديد الجانب الأيمن من التعبير الناتج باستخدام rhs( ٪) يأمر.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),series);

ملاحظة: نوع الحل للمعادلة التفاضلية في شكل سلسلة هو سلسلة، لذلك لمزيد من استخدام مثل هذا الحل (الحسابات أو التخطيط)، يجب تحويله إلى متعدد الحدود باستخدام أمر التحويل.

درجة سلسلة المعادلات التفاضلية

> تحويل (٪، متعدد الحدود): y2:=rhs(٪):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, السُمك=2, اللون=أسود):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, linestyle=3, السُمك=2, اللون=أسود):

> مع (المؤامرات): عرض (p1، p2)؛

يوضح الشكل 2 أن أفضل تقريب للحل الدقيق من خلال سلسلة القوى يتم تحقيقه تقريبًا في الفاصل الزمني

الشكل 2

خاتمة

تم تحقيق الأهداف المحددة في الدورة التدريبية بالكامل، وتم حل المهام التالية:

يتم تعريف المفاهيم الأساسية المرتبطة بالمعادلات المتسلسلة والتفاضلية.

تم النظر في طريقة تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى.

تم حل المشاكل المتعلقة بهذا الموضوع.

في هذا المقرر الدراسي، تمت دراسة المواد وتنظيمها لاستخدامها من قبل الطلاب خلال دراسة ذاتيةطريقة تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى. النظر في مفاهيم المتسلسلة والمعادلات التفاضلية. تم إجراء الحسابات التقريبية باستخدام السلسلة.

يمكن استخدام العمل كوسيلة تعليمية لطلاب التخصصات التقنية والرياضية.

يمكن أن تكون نتائج العمل بمثابة أساس لمزيد من البحث.

قائمة المراجع المستخدمة

1 تريكومي ف. المعادلات التفاضلية. الترجمة من الإنجليزية. - م: البوكيني، 2003. - 352 ص.

Vlasova B. A.، Zarubin B. S.، Kuvyrkin G. N. الطرق التقريبية للفيزياء الرياضية: كتاب مدرسي للجامعات. - م: دار النشر MSTU im. إن إي بومان، 2001. - 700 ص.

Budak B. M. Fomin S. V. التكاملات والمتسلسلات المتعددة. - م: فيزماتليت، 2002. - 512 ص.

Demidovich B. P. مجموعة من المشاكل والتمارين في التحليل الرياضي. - م: دار النشر موسك. جامعة تشيرو، 2000. - 624 ق.

Krasnov M. L.، Kiselev A. I.، Makarenko G. I.، إلخ. جميع الرياضيات العليا: كتاب مدرسي. ت 3. - م: افتتاحية دار النشر URSS، 2005. - 240 ص.

Yablonsky A. I.، Kuznetsov A. V.، Shilkina E. I. وآخرون الرياضيات العليا: دورة عامة: كتاب مدرسي. - م: أعلى. المدرسة، 2000.- 351 ص.

Malakhov A. N.، Maksyukov N. I.، Nikishkin V. A. الرياضيات العليا. - م: EAOI، 2008. - 315 ص.

Markov L. N.، Razmyslovich G. P. الرياضيات العليا. الجزء 2. أساسيات التحليل الرياضي وعناصر المعادلات التفاضلية. - م: أمالفيا، 2003. - 352 ص.

Agafonov S. A.، German A. D.، Muratova T. V. المعادلات التفاضلية. - م: دار النشر MSTU im. ن. بومان، 2004. - 352 ص.

Coddington E. A.، Levinson N. نظرية المعادلات التفاضلية العادية. - م: أمالفيا، 2001. - 475 ص.

Fikhtengolts G. M. دورة حساب التفاضل والتكامل. ت 2. - م: فيسماتليت، 2001. - 810 ص.

كيفية العثور على حل معين لـ DE تقريبًا باستخدام السلسلة؟

مواصلة دراسة التطبيقات العملية لنظرية السلسلة، دعونا نفكر في مشكلة شائعة أخرى، اسمها الذي تراه في العنوان. ولكي لا تشعر وكأنك جزازة العشب طوال الدرس، دعونا نفهم على الفور جوهر المهمة. ثلاثة أسئلة وثلاث إجابات:

ماذا تحتاج لايجاده؟ حل خاص للمعادلة التفاضلية. هناك تلميح بين السطور يهمس أنه بحلول هذه اللحظة من المستحسن أن نفهم على الأقل ما هو عليه المعادلة التفاضليةوما هو الحل له.

كيف يكون هذا الحل مطلوبا؟ تقريبا - باستخدام سلسلة.

والسؤال المنطقي الثالث: لماذا تقريبا؟لقد قمت بالفعل بتغطية هذا السؤال في الفصل. طرق أويلر ورونجي-كوتا، لكن التكرار لن يضر. كوني مؤيدًا للتفاصيل، سأعود إلى الأبسط المعادلة التفاضلية. خلال المحاضرة الأولى عن الناشرات وجدنا الحل العام لها (مجموعة الأسيات) والحل الخاص الموافق للشرط الأولي. الرسم البياني للدالة هو الخط الأكثر شيوعًا الذي يسهل تصويره في الرسم.

لكن هذه حالة أولية. من الناحية العملية، هناك عدد كبير جدًا من المعادلات التفاضلية التي لا يمكن حلها تحليليًا تمامًا (على الأقل بالطرق المعروفة حاليًا). بمعنى آخر، بغض النظر عن كيفية تحريف مثل هذه المعادلة، فلن يكون من الممكن دمجها. والمصيد هو ذلك قد يوجد حل عام (عائلة من الخطوط على المستوى).. ومن ثم تأتي أساليب الرياضيات الحسابية للإنقاذ.

دعونا نلتقي بفرحتنا!

مهمة نموذجيةتتم صياغتها على النحو التالي:

… ، محققة الشرط الأولي، على شكل ثلاثة (أقل في كثير من الأحيان - أربعة أو خمسة)مصطلحات غير الصفر سلسلة تايلور.

يتم توسيع الحل المحدد المطلوب في هذه السلسلة وفقًا للصيغة المعروفة:

الشيء الوحيد هو أنه بدلاً من الحرف "ef" هنا يتم استخدام "igrek" (يحدث ذلك).

الفكرة والمعنى مألوفان أيضًا: بالنسبة لبعض الناشرين وفي ظل ظروف معينة (لن ندخل في النظرية) بنيت سوف تتقارب متسلسلة القوىإلى الحل المحدد المطلوب. وهذا يعني أنه كلما زاد عدد حدود السلسلة التي نأخذها في الاعتبار، كلما اقترب الرسم البياني لكثيرة الحدود المقابلة بشكل أكثر دقة من الرسم البياني للدالة.

وتجدر الإشارة إلى أن ما سبق ينطبق على أبسط الحالات. دعونا نجري دراسة بسيطة للأطفال على نفس القصرية:

مثال 1

أوجد حلاً جزئيًا تقريبيًا للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي في صورة الحدود الأربعة الأولى غير الصفرية لسلسلة تايلور.

حل: في ظروف هذه المشكلة تتحول صيغة تايلور العامة إلى حالة خاصة توسيع سلسلة ماكلورين:

بالنظر إلى الأمام قليلاً، سأقول أنه في المهام العملية، تكون هذه السلسلة الأكثر إحكاما أكثر شيوعًا.

أدخل كلا الصيغتين العمليتين في كتابك المرجعي.

دعونا نفهم المعاني. من الملائم ترقيم مراحل الحل:

0) في الخطوة صفر، نكتب القيمة التي تُعرف دائمًا من الشرط. في الدفتر، يُنصح بوضع دائرة حول النتائج النهائية للنقاط بحيث تكون واضحة للعيان ولا تضيع في الحل. لأسباب فنية، من الملائم بالنسبة لي أن أسلط الضوء عليها بالخط العريض. بجانب، لاحظ أن هذه القيمة ليست صفراً! بعد كل شيء، الشرط يتطلب العثور على أربعة غير صفريةأعضاء السلسلة.

1) دعونا نحسب . للقيام بذلك، استبدل القيمة المعروفة في الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية بدلاً من "y":

2) دعونا نحسب . أولا نجد المشتق الثاني:

نستبدل القيمة الموجودة في الفقرة السابقة في الجانب الأيمن:

لدينا بالفعل ثلاثة حدود غير صفرية للمفكوك، ونحتاج إلى حد آخر:

مثال 2

أوجد حلاً جزئيًا تقريبًا للمعادلة التفاضلية ، محققًا الشرط الأولي في شكل الحدود الثلاثة الأولى غير الصفرية لسلسلة تايلور.

حليبدأ بعبارة قياسية:

ولذلك في هذه المشكلة:

الآن نجد القيم بالتتابع - حتى يتم الحصول على ثلاثة غير صفريةنتيجة. إذا كنت محظوظا، فإنها ستكون مختلفة عن الصفر – هذه حالة مثالية مع الحد الأدنى من العمل.

دعنا نختصر نقاط الحل:

0) حسب الشرط. وهنا النجاح الأول.

1) دعونا نحسب . أولاً، دعونا نحل المعادلة الأصلية بالنسبة للمشتقة الأولى، أي نعبر عنها . دعنا نستبدل القيم المعروفة في الجانب الأيمن:

لقد حصلنا على عجلة القيادة وهذا ليس جيدًا لأننا مهتمون به غير صفريةالمعاني. ومع ذلك، صفر - نفس النتيجة، والتي لا ننسى أن نضع دائرة حولها أو نسلط الضوء عليها بطريقة أخرى.

2) ابحث عن المشتقة الثانية واستبدل القيم المعروفة في الجانب الأيمن:

والثاني هو "ليس صفراً".

3) أوجد مشتقة المشتقة الثانية:

بشكل عام، فإن المهمة تذكرنا إلى حد ما بحكاية اللفت، عندما يستدعي الجد والجدة والحفيدة المساعدة، حشرة، قطة، وما إلى ذلك. وفي الواقع، يتم التعبير عن كل مشتق لاحق من خلال "أسلافه".

دعنا نستبدل القيم المعروفة في الجانب الأيمن:

القيمة الثالثة غير الصفر. لقد أخرجوا اللفت.

استبدل الأرقام "الغامقة" بعناية وحذر في صيغتنا:

إجابة: التوسع التقريبي المطلوب للحل المعين:

في المثال المذكور، كان هناك صفر واحد فقط في المركز الثاني، وهذا ليس سيئًا للغاية. بشكل عام، يمكن أن تحدث الأصفار بالعدد الذي تريده وفي أي مكان. أكرر، من المهم جدًا إبرازها مع النتائج غير الصفرية، حتى لا يتم الخلط بينك وبين التبديلات في المرحلة النهائية.

ها هي ذا - الخبز في المقام الأول:

مثال 3

أوجد حلاً جزئيًا تقريبيًا للمعادلة التفاضلية المقابلة للشرط الأولي في شكل الحدود الثلاثة الأولى غير الصفرية لسلسلة تايلور.

مثال تقريبي لمهمة في نهاية الدرس. قد لا تكون نقاط الخوارزمية مرقمة (مع ترك، على سبيل المثال، أسطر فارغة بين الخطوات)، لكنني أوصي بأن يلتزم المبتدئون بقالب صارم.

تتطلب المهمة قيد النظر المزيد من الاهتمام - إذا ارتكبت خطأ في أي خطوة، فسيكون كل شيء آخر خاطئًا أيضًا! لذلك، يجب أن يعمل رأسك الصافي مثل الساعة. للأسف، هذا ليس كذلك التكاملاتأو الناشرون، والتي يمكن حلها بشكل موثوق حتى في حالة الإرهاق، لأنها تسمح بإجراء فحص فعال.

في الممارسة العملية هو أكثر شيوعا توسيع سلسلة ماكلورين:

مثال 4

حل: من حيث المبدأ، يمكنك الكتابة على الفور توسيع ماكلورين، لكن الأمر الأكثر أكاديمية هو البدء في إضفاء الطابع الرسمي على المشكلة مع الحالة العامة:

توسيع حل معين للمعادلة التفاضلية في ظل الشرط الأولي له الشكل:

ولذلك في هذه الحالة:

0) حسب الشرط.

حسنا، ماذا يمكنك أن تفعل... دعونا نأمل أن يكون هناك عدد أقل من الأصفار.

1) دعونا نحسب . المشتق الأول جاهز للاستخدام بالفعل. لنستبدل القيم:

2) لنجد المشتقة الثانية:

ولنستبدل فيه:

سارت الأمور على ما يرام!

3) ابحث عن . سأكتبها بتفصيل كبير:

لاحظ أن القواعد الجبرية المعتادة تنطبق على المشتقات: إحضار مصطلحات مماثلة في الخطوة الأخيرة وكتابة حاصل الضرب كقوة: (المرجع نفسه).

دعونا نستبدل كل ما تم الحصول عليه من خلال العمل المضني:

ولدت ثلاث قيم غير صفرية.

نعوض بالأرقام "الغامقة" في صيغة ماكلورين، وبالتالي نحصل على مفكوك تقريبي للحل المعين:

إجابة:

ل قرار مستقل:

مثال 5

قدم تقريبًا حلًا معينًا للمعادلة التفاضلية المقابلة للشرط الأولي المحدد كمجموع الحدود الثلاثة الأولى غير الصفرية لسلسلة القوى.

نموذج للتصميم في نهاية الدرس.

كما ترون، المشكلة مع توسع معين في سلسلة ماكلورينتبين أنها أكثر صعوبة من الحالة العامة. إن تعقيد المهمة قيد النظر، كما رأينا للتو، لا يكمن في التحليل نفسه بقدر ما يكمن في صعوبات التمايز. علاوة على ذلك، في بعض الأحيان يتعين عليك العثور على 5-6 مشتقات (أو حتى أكثر)، مما يزيد من خطر الخطأ. وفي نهاية الدرس، أقدم مهمتين أكثر تعقيدًا:

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية تقريبًا باستخدام مفكك حل معين في متسلسلة ماكلورين، مع الاكتفاء بالحدود الثلاثة الأولى غير الصفرية في السلسلة

حل: لدينا اختلاف من الدرجة الثانية، ولكن هذا لا يغير الأمر عمليا. وفقًا للشرط، يطلب منا فورًا استخدام سلسلة ماكلورين، والتي لن نفشل في استخدامها. دعونا نكتب التوسعة المألوفة، مع أخذ المزيد من المصطلحات في حالة:

تعمل الخوارزمية بنفس الطريقة تمامًا:

0) - حسب الشرط.

1) – حسب الحالة .

2) لنحل المعادلة الأصلية بالنسبة للمشتقة الثانية: .

و لنستبدل :

القيمة الأولى غير الصفر

انقر على المشتقات وإجراء البدائل:

لنستبدل و:

دعونا نستبدل:

القيمة الثانية غير الصفر.

5) – على طول الطريق نقدم مشتقات مماثلة.

دعونا نستبدل:

دعونا نستبدل:

أخيراً. ومع ذلك، يمكن أن يكون أسوأ.

وبالتالي، فإن التوسيع التقريبي للحل المحدد المطلوب هو:

0

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا

مؤسسة تعليمية

"موغيليفسكي جامعة الدولةسمي على اسم أ.أ. كوليشوفا"

قسم MAiVT

بناء حلول المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلة

عمل الدورة

أكملها: طالب في السنة الثالثة المجموعة ب

كلية الفيزياء والرياضيات

يوسكايفا الكسندرا ماراتوفنا

المستشار العلمي:

موروزوف نيكولاي بورفيريفيتش

موغيليف، 2010

مقدمة 1. المعادلات التفاضلية ذات الرتب العليا 1.1. مفهوم المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة n 2. تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلة 2.1. تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى. 2.2. تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى المعممة. 3. حالات خاصة لاستخدام متسلسلة القوى المعممة عند تكامل المعادلات التفاضلية. 3.1. معادلة بيسل. 3.2. معادلة هندسية مفرطة أو معادلة غاوسية. 4. تطبيق طريقة تكامل المعادلات التفاضلية العادية باستخدام المتسلسلة عملياً. خاتمة الأدب

مقدمة

في الحالة العامة، من المستحيل إيجاد حل دقيق لمعادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى عن طريق التكامل. علاوة على ذلك، فإن هذا غير ممكن بالنسبة لنظام المعادلات التفاضلية العادية. أدى هذا الظرف إلى إنشاء عدد كبير من الطرق التقريبية لحل المعادلات التفاضلية العادية وأنظمتها. من بين الطرق التقريبية يمكن تمييز ثلاث مجموعات: التحليلية والرسومية والعددية. وبطبيعة الحال، فإن هذا التصنيف تعسفي إلى حد ما. على سبيل المثال، الطريقة الرسومية لخطوط أويلر المتقطعة تكمن وراء إحدى طرق حل المعادلة التفاضلية عدديًا.

يعد تكامل المعادلات التفاضلية العادية باستخدام متسلسلة القوى طريقة تحليلية تقريبية، وعادة ما يتم تطبيقها على المعادلات الخطية من الدرجة الثانية على الأقل.

تم العثور على الأساليب التحليلية في المقرر الخاص بالمعادلات التفاضلية. بالنسبة للمعادلات من الدرجة الأولى (مع متغيرات قابلة للفصل، متجانسة، خطية، وما إلى ذلك)، وكذلك بالنسبة لبعض أنواع المعادلات ذات الدرجة الأعلى (على سبيل المثال، الخطية ذات المعاملات الثابتة)، فمن الممكن الحصول على حلول في شكل صيغ من خلال التحولات التحليلية.

الغرض من هذا العمل هو تحليل إحدى الطرق التحليلية التقريبية، مثل تكامل المعادلات التفاضلية العادية باستخدام المتسلسلة، وتطبيقها في حل المعادلات التفاضلية.

1. المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى

المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة n هي علاقة بالشكل

حيث F هي دالة معروفة لوسائطها، محددة في مجال معين؛

س - متغير مستقل؛

y هي دالة للمتغير x الذي سيتم تحديده؛

y'، y"، ...، y (n) - مشتقات الدالة y.

في هذه الحالة، من المفترض أن y (n) مدرج بالفعل في المعادلة التفاضلية. قد لا تشارك أي من الوسائط الأخرى للدالة F بشكل صريح في هذه العلاقة.

أي دالة تحقق معادلة تفاضلية معينة تسمى حلها أو تكاملها. حل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد جميع حلولها. إذا كان من الممكن بالنسبة للدالة المطلوبة y الحصول على صيغة تعطي جميع حلول معادلة تفاضلية معينة وفقط، فإننا نقول أننا وجدنا حلها العام، أو التكامل العام.

يحتوي الحل العام للمعادلة التفاضلية من الرتبة n على ثوابت عشوائية n c 1, c 2,..., c n ولها الشكل.

1.1. مفهوم المعادلة التفاضلية الخطيةن- الترتيب

تسمى المعادلة التفاضلية من الرتبة n خطية إذا كانت من الدرجة الأولى بالنسبة لمجموعة الكميات y, y', ..., y (n). وبالتالي، فإن المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n لها الشكل:

حيث توجد وظائف مستمرة معروفة لـ x.

تسمى هذه المعادلة معادلة خطية غير متجانسة أو معادلة ذات طرف أيمن. إذا كان الطرف الأيمن من المعادلة يساوي الصفر، إذن معادلة خط مستقيمتسمى معادلة خطية تفاضلية متجانسة ولها الشكل

إذا كانت n تساوي 2، فسنحصل على معادلة خطية من الدرجة الثانية، والتي سيتم كتابتها على النحو التالي: تمامًا مثل المعادلة الخطية من الدرجة n، يمكن أن تكون المعادلة من الدرجة الثانية متجانسة () وغير متجانسة.

1. تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلة.

حلول المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى ذات المعاملات المتغيرة لا يتم التعبير عنها دائمًا بدلالة الدوال الأولية، ونادرًا ما يتم اختزال تكامل مثل هذه المعادلة إلى التربيعات.

2.1. تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى.

الطريقة الأكثر شيوعًا لتكامل هذه المعادلات هي تقديم الحل المطلوب في شكل سلسلة قوى. النظر في المعادلات من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة

ملاحظة1. يمكن تمثيل فئة واسعة إلى حد ما من الوظائف في النموذج

حيث، هي بعض الثوابت. ويسمى هذا التعبير سلسلة الطاقة. إذا كانت قيمها تساوي القيم المقابلة للدالة لأي x من الفاصل الزمني (x 0 - T؛ x 0 + T)، فإن هذه السلسلة تسمى متقاربة في هذا الفاصل.

لنفترض أن الدوال a(x)، b(x) هي دوال تحليلية للمعادلة (2.1) على الفترة (x 0 - T; x 0 + T)، T > 0، أي. يتم توسيعها إلى سلسلة الطاقة:

تنص النظرية التالية (مع حذف الدليل، نقدم صياغته فقط).

نظرية_1. إذا كانت الدوال a(x)، b(x) لها الشكل (2.2)، فيمكن تمثيل أي حل y(x) للمعادلة التفاضلية العادية (2.1) على أنه متقارب كـ |x - x 0 |< Т степенного ряда:

هذه النظرية لا تجعل من الممكن تمثيل الحل في شكل متسلسلة قوى فحسب، بل أيضًا، والأهم من ذلك، أنها تبرر تقارب المتسلسلات (2.3).

الخوارزمية لمثل هذا التمثيل هي كما يلي. من أجل التيسير، دعونا نضع x 0 = 0 في (2.2) و(2.3) ونبحث عن حل للمعادلة التفاضلية العادية (2.1) في الصورة

بالتعويض (2.4) في (2.1) نحصل على المساواة

ولتحقيق (2.5)، من الضروري أن يكون معامل كل قوة x مساوياً للصفر. ومن هذا الشرط نحصل على نظام لا نهائي من المعادلات الجبرية الخطية

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

من النظام اللانهائي الناتج من المعادلات الجبرية الخطية، يمكن للمرء أن يجد على التوالي، ...، إذا تم تعيين القيم و (في حالة مشكلة كوشي للمعادلة التفاضلية العادية (2.1)، يمكن تقديم الشروط الأولية =، =).

إذا كانت الوظائف a(x)، b(x) عقلانية، أي. ، ب ، حيث تكون كثيرات الحدود، ففي محيط النقاط التي أو، قد لا يوجد حل في شكل سلسلة قوى، وإذا كان موجودًا، فقد يتباعد في كل مكان باستثناء النقطة x = 0. هذا الظرف كانت معروفة لدى L. Euler، الذي اعتبر المعادلة من الدرجة الأولى

يتم تحقيق هذه المعادلة من خلال سلسلة القوى

ومع ذلك، ليس من الصعب أن نرى أن هذه السلسلة تتباعد عن أي منها. يسمى حل المعادلة التفاضلية العادية في شكل متسلسلة قوى متباينة رسميًا.

واحدة من الأمثلة الأكثر وضوحا ومفهومة لاستخدام طريقة التكامل هذه هي معادلات Airy أو

جميع الحلول لهذه المعادلة هي وظائف كاملة لـ x. ثم سنبحث عن حل لمعادلة إيري على شكل متسلسلة القوى (2.4). ثم تأخذ المساواة (2.5) الشكل

دعونا نجعل المعامل عند كل قوة x يساوي الصفر. لدينا

……………………………

معامل درجة الصفر لـ x يساوي 2y 2. وبالتالي فإن y 2 = 0. ومن مساواة المعامل إلى الصفر نجد = . المعامل يساوي . من هنا.

من هذه الصيغة نحصل عليها

الاحتمالات لا تزال غير مؤكدة. لإيجاد نظام الحلول الأساسي، قمنا أولاً بتعيين = 1، = 0، ثم العكس. في الحالة الأولى لدينا

وفي الثانية

بناءً على النظرية 1، تكون هذه المتسلسلة متقاربة في كل مكان على خط الأعداد.

الوظائف وتسمى وظائف Airy. بالنسبة للقيم الكبيرة لـ x، يتم وصف السلوك المقارب لهذه الوظائف من خلال الصيغ التالية و.

تظهر الرسوم البيانية لهذه الوظائف في الشكل. 2.1. نجد أنه مع زيادة غير محدودة في x فإن أصفار أي حل لمعادلة Airy تقترب من بعضها البعض إلى أجل غير مسمى، وهو ما يتضح أيضًا من التمثيل المقارب لهذه الحلول، ولكنه ليس واضحًا على الإطلاق من تمثيل دوال Airy في شكل سلسلة القوى المتقاربة ويترتب على ذلك أن طريقة البحث عن حل لمعادلة تفاضلية عادية باستخدام المتسلسلة، بشكل عام، قليلة الفائدة في حل المشكلات التطبيقية، كما أن تمثيل الحل في شكل متسلسلة يجعل من الصعب تحليل الخصائص النوعية للحل الناتج.

2.2. تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى المعممة.

لذا، إذا كانت الدوال a(x) وb(x) في المعادلة (2.1) عقلانية، فإن النقاط التي عندها أو تسمى النقاط الفردية للمعادلة (2.1).

لمعادلة من الدرجة الثانية

حيث تكون a(x) وb(x) دوال تحليلية في الفترة |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

في محيط النقطة المفردة x = x 0، قد لا توجد حلول على شكل متسلسلة قوى، في هذه الحالة يجب البحث عن حلول على شكل متسلسلة قوى معممة:

حيث سيتم تحديد π و...، ().

نظرية_2. لكي يكون للمعادلة (2.6) حل محدد واحد على الأقل في شكل متسلسلة قوى معممة (2.7) في جوار النقطة المفردة x = x 0، يكفي أن تكون لهذه المعادلة الصيغة

هذه متسلسلة قوى متقاربة، والمعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت، وإلا فإن النقطة x = x 0 ليست نقطة خاصة وهناك حلان مستقلان خطيًا، مجسمان عند النقطة x = x 0 . علاوة على ذلك، إذا كانت المتسلسلة (2.7") المتضمنة في معاملات المعادلة (2.7') متقاربة في المنطقة | س - س 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

خذ بعين الاعتبار المعادلة (2.6) لـ x > 0. باستبدال التعبير (2.7) لـ x 0 = 0 في هذه المعادلة، لدينا

بمساواة المعاملات عند القوى x بالصفر، نحصل على نظام متكرر من المعادلات:

……..........................……………………………………………. (2.8)

حيث أشار

وبما أن  يجب أن تحقق المعادلة

وهو ما يسمى المعادلة التعريفية. اسمحوا أن تكون جذور هذه المعادلة. إذا لم يكن الفرق عددًا صحيحًا، فبالنسبة لأي عدد صحيح k > 0، مما يعني أنه باستخدام الطريقة المشار إليها من الممكن إنشاء حلين مستقلين خطيًا للمعادلة (2.6):

إذا كان الفرق عددًا صحيحًا، فباستخدام الطريقة المذكورة أعلاه يمكنك إنشاء حل واحد في شكل سلسلة معممة. بمعرفة هذا الحل، باستخدام صيغة Liouville-Ostrogradsky، يمكنك العثور على الحل المستقل الخطي الثاني:

ويترتب على نفس الصيغة أنه يمكن البحث عن الحل في النموذج

(الرقم A قد يساوي الصفر).

1. حالات خاصة لاستخدام متسلسلة القوى المعممة عند تكامل المعادلات التفاضلية.

3.1. معادلة بيسل.

تعتبر معادلة بيسل من أهم المعادلات التفاضلية في الرياضيات وتطبيقاتها. إن حلول معادلة بيسل، التي تشكل نظام الدوال الأساسي، ليست دوالًا أولية. ولكن يتم توسيعها إلى سلسلة الطاقة، والتي يتم حساب معاملاتها بكل بساطة.

دعونا نفكر في معادلة بيسل بشكل عام:

يتم تقليل العديد من مشاكل الفيزياء الرياضية إلى هذه المعادلة.

وبما أن المعادلة لا تتغير عند استبدال x بـ -x، فيكفي مراعاة القيم غير السالبة لـ x. النقطة المفردة الوحيدة هي x=0. المعادلة التعريفية المقابلة لـ x=0 هي . إذا كانت 0، فإن المعادلة المحددة لها جذرين: و. دعونا نجد حل هذه المعادلة في صورة متسلسلة قوى معممة

ثم، استبدال y، y" و y" في المعادلة الأصلية، نحصل على

وبالتالي، لدينا تخفيض بمقدار

لكي تكون هذه المساواة متساوية، يجب أن تحقق المعاملات المعادلات

دعونا نجد الحل المقابل لجذر المعادلة المحددة lect = n. بالتعويض بـ lect = n في المعادلات الأخيرة، نرى أنه يمكننا أخذ أي رقم غير الصفر، العدد = 0، وبالنسبة لـ k = 2، 3، ... لدينا

ومن ثم، لجميع م = 0، 1، 2، ... .

وبذلك تم إيجاد جميع المعاملات مما يعني أن حل المعادلة (3.1) سيكتب على الصورة

دعونا نقدم الوظيفة

تسمى دالة جاما لأويلر. مع الأخذ في الاعتبار ماذا وماذا بالنسبة للأعداد الصحيحة، وكذلك اختيار ثابت تعسفي، سيتم كتابته في النموذج

تسمى دالة بيسل من النوع الأول من الرتبة n.

الحل المحدد الثاني لمعادلة بيسل، مستقل خطيا، يبحث عنه في النموذج

المعادلات لتحديد في لها النموذج

لنفترض أننا وجدنا

وفقًا للاتفاقية، n ليس عددًا صحيحًا، لذلك يتم التعبير عن جميع المعاملات ذات الأرقام الزوجية بشكل فريد من خلال:

هكذا،

على افتراض أننا نمثل y 2 (x) في النموذج

تسمى دالة بيسل من النوع الأول بمؤشر سالب.

وبالتالي، إذا لم يكن n عددًا صحيحًا، فإن جميع الحلول لمعادلة Bessel الأصلية هي مجموعات خطية من دالة Bessel و: .

3.2. معادلة هندسية مفرطة أو معادلة غاوسية.

المعادلة الهندسية الفائقة (أو المعادلة الغوسية) هي معادلة من الشكل

حيث α، β، γ أعداد حقيقية.

النقاط هي نقاط فريدة من المعادلة. وكلاهما منتظم، لأنه في جوار هذه النقاط تكون معاملات معادلة غاوس مكتوبة في الصورة العادية

يمكن تمثيلها كسلسلة قوى معممة.

دعونا نتأكد من هذا لنقطة واحدة. وبالفعل لاحظت ذلك

يمكن كتابة المعادلة (3.2) بالشكل

هذه المعادلة هي حالة خاصة من المعادلة

وهنا، فإن النقطة x=0 هي نقطة فردية منتظمة لمعادلة غاوس.

دعونا نبني نظامًا أساسيًا من الحلول لمعادلة غاوس بالقرب من النقطة المفردة x=0.

المعادلة المحددة المقابلة للنقطة x=0 لها الشكل

جذورها، واختلافها ليس عددا صحيحا.

لذلك، بالقرب من النقطة المفردة x=0، من الممكن إنشاء نظام أساسي من الحلول على شكل متسلسلة قوى معممة

أولها يتوافق مع الجذر الصفري للمعادلة المحددة وهو عبارة عن سلسلة قوى عادية، بحيث يكون الحل مجسمًا في جوار النقطة المفردة x=0. من الواضح أن الحل الثاني غير مجسم عند النقطة x=0. دعونا أولاً نبني حلاً محددًا يتوافق مع الجذر الصفري للمعادلة المحددة.

لذلك، سوف نبحث عن حل معين للمعادلة (3.2) في الصورة

بالتعويض (3.3) في (3.2) نحصل على

وبمساواة الحد الحر بالصفر، نحصل على.

فليكن، ثم نحصل عليه.

وبمساواة المعامل بالصفر نجد:

ولذلك، فإن الحل المحدد المطلوب له الشكل:

تسمى السلسلة الموجودة على اليمين متسلسلة هندسية زائدة، حيث أنه عندما تتحول α=1، β=γ إلى متوالية هندسية

وفقًا لـ Theorem_2، تتقارب المتسلسلة (3.4) كـ |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

الحل الثاني الخاص له الشكل:

بدلًا من إيجاد طريقة المعاملات غير المحددة، سنستبدل الدالة المطلوبة في معادلة غاوس باستخدام الصيغة

نحصل على معادلة غاوس

حيث يتم لعب دور المعلمات α و β و γ بواسطة و.

لذلك، من خلال بناء حل جزئي لهذه المعادلة يتوافق مع الجذر الصفري للمعادلة المحددة واستبداله في (3.6)، نحصل على الحل الجزئي الثاني لمعادلة غاوس هذه في الشكل:

الحل العام لمعادلة غاوس (3.2) سيكون:

باستخدام نظام الحلول الأساسي المبني لمعادلة غاوس في جوار النقطة المفردة x=0، يمكن للمرء بسهولة بناء نظام أساسي من الحلول لهذه المعادلة في جوار النقطة المفردة x=1، وهي أيضًا نقطة منتظمة نقطة مفردة.

ولهذا الغرض، سوف نقوم بنقل النقطة المفردة x = 1 التي تهمنا إلى النقطة t = 0 ومعها النقطة المفردة x = 0 إلى النقطة t = 1 باستخدام الاستبدال الخطي للمتغير المستقل x = 1 - ر.

وبإجراء هذا الاستبدال في معادلة غاوس نحصل على

هذه هي المعادلة الغوسية ذات المعلمات. لديها في حي |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

وبالعودة إلى المتغير x، أي تحديد t = 1 - x، نحصل على نظام أساسي من الحلول لمعادلة غاوس الأصلية في محيط النقطة | س - 1|< 1 особой точки х = 1

الحل العام لمعادلة غاوس (3.2) في المنطقة سيكون

1. تطبيق طريقة تكامل المعادلات التفاضلية العادية باستخدام المتسلسلة عملياً.

مثال 1. (رقم 691) احسب المعاملات القليلة الأولى من السلسلة (حتى المعامل عند x 4 ضمناً) بالشروط الأولية

من الشروط الأولية يتبع ذلك الآن لنجد المعاملات المتبقية:

مثال_2. (رقم 696) احسب المعاملات القليلة الأولى من السلسلة (حتى المعامل عند x 4 ضمناً) بالشروط الأولية

الحل: سوف نبحث عن حل للمعادلة في الصورة

نعوض بالتعبيرات الناتجة في المعادلة الأصلية:

بتمثيل الطرف الأيمن على شكل متسلسلة قوى ومساواة معاملات نفس قوى x في طرفي المعادلة نحصل على:

وبما أنه من الضروري حسب الشرط حساب معاملات السلسلة حتى المعامل عند x 4 ضمناً، فإنه يكفي حساب المعاملات.

من الشروط الأولية يتبع ذلك و 2. الآن دعونا نوجد المعاملات المتبقية:

وبالتالي، سيتم كتابة حل المعادلة في النموذج

مثال_3. (رقم 700) أوجد الحلول المستقلة خطياً على شكل متسلسلة قوى للمعادلة. إذا أمكن، عبر عن مجموع السلسلة الناتجة باستخدام الدوال الأولية.

حل. سنبحث عن حل للمعادلة على شكل متسلسلة

باشتقاق هذه المتسلسلة مرتين والتعويض بها في هذه المعادلة، نحصل على ذلك

دعونا نكتب الحدود القليلة الأولى من السلسلة في المعادلة الناتجة:

بمساواة المعاملات بقوى متساوية من x إلى صفر، نحصل على نظام معادلات لتحديد:

………………………………….

ومن هذه المعادلات نجد

لنفترض أن المعاملات فقط ستكون مختلفة عن الصفر. لقد حصلنا على ذلك

تم بناء حل واحد للمعادلة

نحصل على الحل الثاني، المستقل خطيًا عن الحل الموجود، من خلال الافتراض. عندها ستكون المعاملات فقط مختلفة عن الصفر:

تمثل السلسلة وتتقارب لأي قيمة لـ x وهي وظائف تحليلية. وبالتالي فإن جميع حلول المعادلة الأصلية هي دوال تحليلية لجميع قيم x. يتم التعبير عن جميع الحلول بالصيغة، حيث C 1، C 2 هي ثوابت عشوائية:

وبما أن مجموع السلسلة الناتجة يمكن التعبير عنه بسهولة باستخدام الدوال الأولية، فسيتم كتابته على النحو التالي:

مثال_4. (رقم 711) حل المعادلة 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

حل. النقطة x = 0 هي نقطة فردية منتظمة لهذه المعادلة. نقوم بتأليف المعادلة المحددة: جذورها هي 1 = 1/2 و 1 = - 1. نبحث عن حل المعادلة الأصلية المقابلة للجذر 1 = 1 في الصورة

بالتعويض في المعادلة الأصلية، لدينا

من هنا، نحصل على التخفيض

معادلة المعاملات بنفس قوى x، لدينا معادلات لتحديد:

تحديد y 0 = 1 نجد

هكذا،

نحن نبحث عن حل المعادلة الأصلية المقابلة للجذر lect = lect 2 في الصورة

باستبدال هذا التعبير في المعادلة الأصلية ومساواة المعاملات بنفس قوى x نحصل على أو بوضع y 0 = 1 نجد

نكتب الحل العام للمعادلة الأصلية بالشكل حيث و هي ثوابت اعتباطية.

خاتمة

غالبًا ما يكون حل المعادلات التي تحتوي على دوال مجهولة ومشتقاتها لقوى أعلى من الأولى أو بطريقة أكثر تعقيدًا أمرًا صعبًا للغاية.

وفي السنوات الأخيرة، جذبت مثل هذه المعادلات التفاضلية اهتماما متزايدا. نظرًا لأن حلول المعادلات غالبًا ما تكون معقدة جدًا ويصعب تمثيلها باستخدام صيغ بسيطة، فإن جزءًا كبيرًا من النظرية الحديثة مخصص للتحليل النوعي لسلوكها، أي. تطوير الأساليب التي تجعل من الممكن، دون حل المعادلة، أن نقول شيئًا مهمًا عن طبيعة الحلول ككل: على سبيل المثال، أن جميعها محدودة، أو لها طبيعة دورية، أو تعتمد بطريقة معينة على المعاملات.

تم خلال الدورة تحليل طريقة تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلات القوى المعممة.

الأدب:

1. ماتفييف إن.في. طرق تكامل المعادلات التفاضلية العادية. إد. الرابع ، مراجعة. وإضافية مينسك "الأعلى. المدرسة "، 1974. - 768 ص. مع المرض.
2. أجافونوف إس إيه، الألمانية إيه دي، موراتوفا تي في. المعادلات التفاضلية: كتاب مدرسي. للجامعات / إد. قبل الميلاد زاروبينا، أ.ب. كريشينكو. - الطبعة الثالثة، الصورة النمطية. -م: دار النشر MSTU im. ن. بومان، 2004. - 352 ص.
3. Bugrov Ya.S.، Nikolsky S. M. الرياضيات العليا. T.3: المعادلات التفاضلية. تكاملات متعددة. الصفوف. وظائف المتغير المعقد: كتاب مدرسي. للجامعات: في 3 مجلدات / Ya.S. Bugrov، S. M. Nikolsky؛ إد. V. A. Sadovnichy. - الطبعة السادسة، الصورة النمطية. — م: الحبارى، 2004. —— 512 ص: مريض.
4. Samoleinko A. M.، Krivosheya S. A.، Perestyuk N. A. المعادلات التفاضلية: أمثلة ومشاكل. كتاب مدرسي مخصص. - الطبعة الثانية، المنقحة. - م: أعلى. المدرسة، 1989. - 383 ص: مريض.
5. فيليبوف إيه إف مجموعة من المشاكل في المعادلات التفاضلية. كتاب مدرسي دليل للجامعات. - م: فيزماتيزد، 1961. - 100 ص: مريض.

تحميل: ليس لديك حق الوصول لتنزيل الملفات من خادمنا.