كيفية حل المعادلات مع أمثلة الدرجة الرابعة. معادلة الدرجة الرابعة. حل المعادلات التربيعية من الدرجة الرابعة
بعد وقت قصير من نشر كاردانو طريقة لحل المعادلات التكعيبية، وجد طلابه وأتباعه طرقًا لاختزال المعادلة العامة من الدرجة الرابعة إلى معادلة تكعيبية. دعونا نقدم أبسط طريقة، والتي تنتمي إلى L. فيراري.
عند تقديم الطريقة، سوف تحتاج إلى استخدام المصطلحات الأولية التالية.
ليما. لكي تكون ثلاثية الحدود التربيعية هي مربع ذات الحدين الخطية، من الضروري والكافي أن يكون مميزها مساوياً للصفر.
دليل. ضروري. يترك . ثم الكفاية. دع ثم
فكرة الطريقة المقدمة هي تقديم الجانب الأيسر من المعادلة على شكل فرق بين مربعين. ومن ثم يمكن تحليلها إلى عاملين من الدرجة الثانية، وحل المعادلة سيؤدي إلى حل معادلتين من الدرجة الثانية. لتحقيق الهدف، تخيل الجانب الأيسر على النحو التالي:
هنا y هو مجهول مساعد، والذي يجب تحديده بحيث يصبح التعبير بين قوسين مربعين هو مربع ذات الحدين الخطيين. وبحكم اللمة، فإن ذلك ضروري وكافي لتحقيق الشرط
هذا الشرط هو معادلة من الدرجة الثالثة بالنسبة إلى y. بعد فتح الأقواس، يتم تحويله إلى النموذج
ليكن أحد جذور هذه المعادلة. حينئذ يتم استيفاء الشرط فيصح
لبعض k و I. المعادلة الأصلية تأخذ الشكل
وبمساواة كل عامل بالصفر، سنوجد الجذور الأربعة للمعادلة الأصلية.
دعونا نبدي ملاحظة أخرى. فلتكن جذور العامل الأول، ولتكن جذور العامل الثاني. وبعد ذلك، بإضافة هذه المتساويات، نحصل على ذلك
وبذلك نكون قد حصلنا على تعبير لجذر المعادلة التكعيبية المساعدة بدلالة جذور المعادلة الأصلية من الدرجة الرابعة.
مثال. حل المعادلة. وفقا للطريقة الموضحة أعلاه، نقوم بتحويل الجانب الأيسر:
الآن دعونا نضع . بعد التشكيلات نحصل على المعادلة
ومن السهل أن نرى أن أحد جذور هذه المعادلة هو الرقم. وبالتعويض في الجانب الأيسر المحول من المعادلة الأصلية نحصل على:
وبمساواة العوامل بالصفر، نحصل على
أما بالنسبة للمعادلات الأعلى من الدرجة الرابعة، فقد كانت بعض فئات المعادلات ذات الشكل الخاص نسبيًا معروفة، على سبيل المثال الحلول الجبريةفي الجذور، أي في شكل نتائج العمليات الحسابية وإجراءات استخراج الجذر. ومع ذلك، فإن محاولات تقديم حلول للمعادلات العامة من الدرجة الخامسة وما فوقها لم تنجح حتى بداية القرن التاسع عشر. ولم يثبت روفيني وهابيل أن حلاً من هذا النوع للمعادلات العامة فوق الدرجة الرابعة مستحيل. أخيرًا، في عام 1830، تمكن عالم الرياضيات الفرنسي اللامع إي. جالوا من إيجاد الظروف الضرورية والكافية (التي يصعب التحقق منها) لقابلية الحل في الجذور خصيصًا لـ معادلة معينة. في الوقت نفسه، أنشأ جالوا واستخدم نظرية مجموعات التقليب، التي كانت جديدة في عصره.
في الحالة العامة، يتم حل معادلة الدرجة الرابعة باستخدام طرق حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى، على سبيل المثال طريقة فيراري أو استخدام مخطط هورنر. لكن بعض معادلات الدرجة الرابعة لها حل أبسط.
هناك عدة أنواع خاصة من معادلات الدرجة الرابعة، طرق حلها ستتعرف عليها أدناه:
- معادلة تربيعية $ax^4+bx^2+c=0$;
- المعادلات المتبادلة من الصيغة $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- معادلات من الشكل $ax^4+b=0$.
حل المعادلات التربيعية من الدرجة الرابعة
يتم تحويل المعادلات التربيعية $ax^4+bx^2+c=0$ إلى معادلات تربيعية عن طريق استبدال المتغير $x^2$ بمتغير جديد، على سبيل المثال، $y$. بعد الاستبدال، يتم حل المعادلة الناتجة الجديدة، ومن ثم يتم استبدال قيمة المتغير الموجود في المعادلة $x^2=y$. ستكون نتيجة الحل هي جذور المعادلة $x^2=y$.
مثال 1
حل المعادلة $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
دعونا نوسع الأقواس في كثيرة الحدود:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
في هذا النموذج، يصبح من الواضح أنه يمكننا اختيار التعبير $y=x^2-3x$ كمتغير جديد لنستبدله:
$y\cdot (y+2)=24$
الآن دعونا نحل معادلتين تربيعيتين $x^2-3x=-4$ و $x^2-3x=-6$.
جذور المعادلة الأولى هي $x_1(1,2)=4;-1$، والثانية ليس لها حلول.
حل المعادلات المتبادلة من الدرجة 4
هذه المعادلات من الصيغة $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ تكرر مع معاملاتها للمصطلحات ذات الترتيب الأدنى معاملات كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى. لحل هذه المعادلة، قم أولاً بتقسيمها على $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
ثم استبدل $(x+\frac(1)(x))$ بمتغير جديد، ثم $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$، بعد الاستبدال نحصل على الأتى معادلة من الدرجة الثانية:
$a(y^2-2)+by+c=0$
بعد ذلك، نبحث عن جذور المعادلتين $x+\frac(1)(x)=y_1$ و$x+\frac(1)(x)=y_2$.
يتم استخدام طريقة مشابهة لحل المعادلات المتبادلة بالصيغة $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
مثال 2
حل المعادلة:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
هذه المعادلة هي معادلة متبادلة من الشكل $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. لذلك، نقسم المعادلة بأكملها على $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
دعونا نستبدل التعبير $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
دعونا نحسب جذور هذه المعادلة، فهي تساوي $y_1=3$ و$y_2=-\frac(7)(3)$.
وبناء على ذلك، من الضروري الآن حل المعادلتين $x+\frac(2)(x)=3$ و $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. حل المعادلة الأولى هو $x_1=1, x_2=2$، المعادلة الثانية ليس لها جذور.
وبالتالي، فإن جذور المعادلة الأصلية هي $x_1=1، x_2=2$.
معادلات من الشكل $ax^4+b=0$
تم العثور على جذور المعادلة من هذا النوع باستخدام صيغ الضرب المختصرة.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
تحتاج أولاً إلى العثور على جذر واحد باستخدام طريقة التحديد. عادة ما يكون مقسومًا على المصطلح الحر. في هذه الحالة، قواسم الرقم 12 نكون ±1، ±2، ±3، ±4، ±6، ±12.لنبدأ باستبدالها واحدة تلو الأخرى:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ رقم 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ عدد -1 ليس جذرًا لكثيرة الحدود
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ رقم 2 هو جذر كثير الحدود
لقد وجدنا أحد جذور كثيرة الحدود. جذر كثير الحدود هو 2, مما يعني أن كثيرة الحدود الأصلية يجب أن تكون قابلة للقسمة س - 2. من أجل إجراء قسمة كثيرات الحدود، نستخدم مخطط هورنر:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
يتم عرض معاملات كثيرة الحدود الأصلية في السطر العلوي. يتم وضع الجذر الذي وجدناه في الخلية الأولى من الصف الثاني 2. ويحتوي السطر الثاني على معاملات كثيرة الحدود الناتجة عن القسمة. ويتم حسابهم كالتالي:
| في الخلية الثانية من الصف الثاني نكتب الرقم 2, ببساطة عن طريق نقلها من الخلية المقابلة في الصف الأول. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
الرقم الأخير هو باقي القسمة. إذا كانت تساوي 0، فقد حسبنا كل شيء بشكل صحيح.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (س - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
ولكن هذا ليس نهاية المطاف. يمكنك محاولة توسيع كثير الحدود بنفس الطريقة 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
مرة أخرى، نحن نبحث عن جذر بين مقسومات الحد الحر. مقسومات العدد -6 نكون ±1، ±2، ±3، ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ عدد 1 ليس جذرًا لكثيرة الحدود
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ رقم -1 ليس جذرًا لكثيرة الحدود
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ عدد 2 ليس جذرًا لكثيرة الحدود
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ عدد -2 هو جذر كثير الحدود
لنكتب الجذر الذي تم العثور عليه في مخطط هورنر الخاص بنا ونبدأ في ملء الخلايا الفارغة:
| في الخلية الثانية من الصف الثالث نكتب الرقم 2, ببساطة عن طريق نقلها من الخلية المقابلة في الصف الثاني. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
وهكذا، قمنا بتحليل كثيرة الحدود الأصلية:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
متعدد الحدود 2س 2 + 5س - 3ويمكن أيضا أن يتم تحليلها. للقيام بذلك، يمكنك حل المعادلة التربيعية من خلال المميز، أو يمكنك البحث عن الجذر بين قواسم الرقم -3. بطريقة أو بأخرى، سوف نتوصل إلى نتيجة مفادها أن جذر كثيرة الحدود هذه هو العدد -3
| في الخلية الثانية من الصف الرابع نكتب الرقم 2, ببساطة عن طريق نقلها من الخلية المقابلة للصف الثالث. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
وهكذا، قمنا بتحليل كثير الحدود الأصلي إلى عوامل خطية.
حل ديكارت-أويلر
وبعد إجراء الاستبدال نحصل على معادلة بالشكل التالي (تسمى "غير مكتملة"):
ذ 4 + صذ 2 + سذ + ص = 0 .الجذور ذ 1 , ذ 2 , ذ 3 , ذ 4 من هذه المعادلة تساوي أحد التعبيرات التالية:
حيث يتم اختيار مجموعات من الشخصيات بطريقة تحقق العلاقة التالية:
,
و ض 1 , ض 2 و ض 3 هي جذور المعادلة التكعيبية
الحل فيراري
المقال الرئيسي: طريقة فيراري
دعونا نمثل معادلة الدرجة الرابعة بالشكل:
أس 4 + بس 3 + جس 2 + دس + ه = 0,ويمكن إيجاد حلها من خلال التعبيرات التالية:
إذا β = 0، حل ش 4 + أ ش 2 + γ = 0وإجراء الاستبدال 
، فلنجد الجذور: . 
, (أي علامة جذر تربيعي ستفي بالغرض) , (ثلاثة جذور معقدة، واحدة منها ستفي بالغرض) 
اثنان ± s يجب أن يكون لهما نفس الإشارة، ± t - مستقلان. من أجل العثور على جميع الجذور، تحتاج إلى العثور على x للمجموعات الموقعة ± s ,± t = +,+ for +,− for −,+ for −,−. ستظهر الجذور المزدوجة مرتين، والجذور الثلاثية ثلاث مرات، والجذور الرباعية أربع مرات. يعتمد ترتيب الجذور على الجذر التكعيبي شالمحدد. أنظر أيضا
- أنواع معادلات الدرجة الرابعة التي يمكن حلها بسهولة: المعادلة التربيعية، المعادلة المتبادلة من الدرجة الرابعة
الأدب
- Korn G.، Korn T. (1974) دليل الرياضيات.
روابط
- قرار فيراري
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
انظر ما هي "معادلة الدرجة الرابعة" في القواميس الأخرى:
معادلة الدرجة الرابعة- - [إل جي سومينكو. قاموس إنجليزي روسي في مجال تكنولوجيا المعلومات. م: مؤسسة الدولة TsNIIS، 2003.] المواضيع تكنولوجيا المعلوماتبشكل عام معادلة EN من الدرجة الرابعة ... دليل المترجم الفني
رسم بياني لكثير الحدود من الدرجة الرابعة بأربعة جذور وثلاث نقاط حرجة. معادلة من الدرجة الرابعة في الرياضيات هي معادلة جبرية من الشكل: الدرجة الرابعة للمعادلات الجبرية هي الأعلى فيها ... ... ويكيبيديا
تسمى المعادلة من الشكل: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 متبادلة إذا كانت معاملاتها في المواضع المتماثلة متساوية، أي إذا كان an − k = ak، بالنسبة إلى k = 0، 1، ...، ن. المحتويات 1 معادلة من الدرجة الرابعة ... ويكيبيديا
حيث يكون الحد المجهول للقوة الرابعة. قاموس كامل للكلمات الأجنبية التي دخلت حيز الاستخدام في اللغة الروسية. بوبوف م.، 1907. معادلة ثنائية من خطوط العرض. مكرر، مرتين، ورباعي، مربع. المعادلة التي فيها الدرجة الأكبر...... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية
جنبا إلى جنب مع الحساب هناك علم الأرقام، ومن خلال الأرقام، علم الكميات بشكل عام. دون دراسة خواص أي كميات محددة محددة، فإن هذين العلمين يبحثان في خواص الكميات المجردة في حد ذاتها، بغض النظر عن... ... القاموس الموسوعي F. بروكهاوس وآي. إيفرون
مجموعة من المعارف التطبيقية التي تتيح لمهندسي الطيران الدراسة في مجال الديناميكا الهوائية ومشاكل القوة وبناء المحركات وديناميكيات طيران الطائرات (أي النظرية) لإنشاء طائرة جديدة أو تحسين... ... موسوعة كولير
أقدم نشاط رياضي كان العد. كان الحساب ضروريًا لتتبع الماشية وممارسة التجارة. قامت بعض القبائل البدائية بإحصاء عدد الأشياء من خلال مطابقتها مع أجزاء مختلفة من الجسم، وبشكل أساسي... ... موسوعة كولير
تاريخ التكنولوجيا حسب الفترة والمنطقة: ثورة العصر الحجري الحديث التكنولوجيا القديمة في مصر العلوم والتكنولوجيا في الهند القديمة العلوم والتكنولوجيا الصين القديمةالتقنيات اليونان القديمةالتقنيات روما القديمةتقنيات العالم الإسلامي... ... ويكيبيديا
المعادلة هي علاقة رياضية تعبر عن تساوي تعبيرين جبريين. فإذا صحت المساواة لأي قيم مقبولة من المجهولات المتضمنة فيها، فإنها تسمى هوية؛ مثلا نسبة الشكل... ... موسوعة كولير
تنص نظرية أبيل روفيني على ذلك المعادلة العامةالقوى في ليست قابلة للحل في المتطرفين. المحتويات 1 التفاصيل... ويكيبيديا
إن استخدام المعادلات منتشر على نطاق واسع في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية وبناء الهياكل وحتى الألعاب الرياضية. استخدم الإنسان المعادلات في العصور القديمة، ومنذ ذلك الحين زاد استخدامها. يمكن تنفيذ حلول هذا النوع من المعادلات وفقًا للمخطط العام لحل المعادلات ذات الدرجات الأعلى. هذه الأنواع من المعادلات لها حلول جذرية بفضل طريقة فيراري، والتي تسمح للمرء بتقليل الحلول إلى معادلة تكعيبية. ومع ذلك، في معظم الحالات، من خلال تحليل كثيرة الحدود، يمكنك العثور بسرعة على حل للمعادلة.
لنفترض أن لدينا معادلة ذات الحدين من الدرجة الرابعة:
دعونا نحول كثير الحدود إلى عوامل:
نحدد جذور ثلاثية الحدود الأولى:
نحدد جذور ثلاثي الحدود الثاني:
ونتيجة لذلك، فإن المعادلة الأصلية لها أربعة جذور معقدة:
أين يمكنني حل معادلات الدرجة الرابعة عبر الإنترنت؟
يمكنكم حل المعادلة على موقعنا https://site. سيسمح لك الحل المجاني عبر الإنترنت بحل المعادلات عبر الإنترنت بأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو ببساطة إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا الإلكتروني، وإذا كان لديك أي أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي الخاصة بنا http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا، نحن سعداء دائمًا بمساعدتك.
