قصائد للأطفال

أوجد رسمًا بيانيًا للتسارع مقابل الزمن وأوجد السرعة. التمثيل البياني للحركة. الحركة في الثانية عشر

تمثيل رسومي للحركة الخطية الموحدة

يتم تمثيل الحركة الميكانيكية بيانيا. يتم التعبير عن اعتماد الكميات الفيزيائية باستخدام الوظائف. تعيين:

الخامس (ر) - تغير السرعة مع مرور الوقت

a(t) - التغير في التسارع مع مرور الوقت

خلف التسارع مقابل الزمن. وبما أن التسارع أثناء الحركة المنتظمة يكون صفرًا، فإن الاعتماد a(t) هو خط مستقيم يقع على محور الزمن.

اعتماد السرعة على الوقت. وبما أن الجسم يتحرك بشكل مستقيم وموحد (v = const)، أي. السرعة لا تتغير مع الزمن، فالرسم البياني مع اعتماد السرعة على الزمن v(t) هو خط مستقيم موازي لمحور الزمن.

إن إسقاط إزاحة الجسم يساوي عدديًا مساحة المستطيل AOBC تحت الرسم البياني، حيث أن حجم متجه الإزاحة يساوي حاصل ضرب ناقل السرعة والوقت الذي تمت فيه الإزاحة.

قاعدة تحديد المسار باستخدام الرسم البياني v(t):في حالة الحركة المنتظمة المستقيمة، حجم متجه الإزاحة يساوي المساحةمستطيل تحت الرسم البياني للسرعة.

الاعتماد على النزوح في الوقت المناسب.الرسم البياني s(t) - خط مائل :

يوضح الرسم البياني أن إسقاط السرعة يساوي:

وبعد النظر في هذه الصيغة، يمكننا القول أنه كلما كانت الزاوية أكبر، كلما تحرك الجسم بشكل أسرع ويقطع مسافة أكبر في وقت أقل.

قاعدة تحديد السرعة باستخدام الرسم البياني s(t): ظل زاوية ميل الرسم البياني لمحور الوقت يساوي سرعة الحركة.

حركة مستقيمة غير متساوية.

الحركة المنتظمة هي الحركة بسرعة ثابتة. إذا تغيرت سرعة الجسم يقال أنه يتحرك بشكل غير منتظم.

تسمى الحركة التي يقوم فيها الجسم بحركات غير متساوية في فترات زمنية متساوية غير متساوأو حركة متغيرة.

لتوصيف الحركة غير المستوية، تم تقديم مفهوم السرعة المتوسطة.

متوسط سرعة القيادةتساوي نسبة المسار الكامل الذي قطعته نقطة مادية إلى الفترة الزمنية التي تم خلالها قطع هذا المسار.

في الفيزياء، الاهتمام الأكبر ليس المتوسط، ولكن سرعة لحظية ، والذي يتم تعريفه على أنه الحد الذي يميل إليه متوسط السرعة خلال فترة زمنية متناهية الصغر Δ ر:

سرعة فوريةالحركة المتغيرة هي سرعة الجسم عند نقطة زمنية معينة أو عند نقطة معينة على المسار.

يتم توجيه السرعة اللحظية لجسم عند أي نقطة على مسار منحني بشكل عرضي إلى المسار عند تلك النقطة.

يظهر في الشكل الفرق بين السرعتين المتوسطة واللحظية.

تسمى حركة الجسم التي تتغير سرعته بالتساوي خلال فترات زمنية متساوية تسارع بشكل موحدأو حركة متناوبة موحدة.

التسريع -هذا هو ناقلات الكمية المادية، يصف معدل التغير في السرعة، ويساوي عدديًا نسبة التغير في السرعة إلى الفترة الزمنية التي حدث خلالها هذا التغيير.

إذا تغيرت السرعة بالتساوي طوال الحركة بأكملها، فيمكن حساب التسارع باستخدام الصيغة:

التسميات:

Vx - سرعة الجسم أثناء حركته المتسارعة بشكل منتظم في خط مستقيم

V x o - السرعة الأولية للجسم

أ - تسارع الجسم

ر - زمن حركة الجسم

يوضح التسارع مدى سرعة تغير سرعة الجسم. فإذا كان التسارع موجباً زادت سرعة الجسم وتسارعت الحركة. أما إذا كان التسارع سلبياً فهذا يعني أن السرعة تتناقص والحركة بطيئة.

وحدة التسارع في النظام الدولي للوحدات هي [m/s2].

يتم قياس التسارع مقياس التسارع

معادلة السرعةللحركة المتسارعة بشكل منتظم: v x = v xo + a x t

معادلة الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم(الحركة أثناء الحركة المتسارعة بشكل منتظم):

التسميات:

S x - إزاحة الجسم أثناء الحركة بتسارع منتظم في خط مستقيم

V x o - السرعة الأولية للجسم

Vx - سرعة الجسم أثناء حركته المتسارعة بشكل منتظم في خط مستقيم

أ - تسارع الجسم

ر - زمن حركة الجسم

المزيد من الصيغ لإيجاد الإزاحة أثناء الحركة الخطية المتسارعة بشكل منتظم، والتي يمكن استخدامها عند حل المسائل:

إذا كانت السرعات والتسارع الأولية والنهائية معروفة.

إذا كانت السرعات الأولية والنهائية للحركة معروفة وزمن الحركة بأكملها

تمثيل رسومي للحركة الخطية غير المستوية

يتم تمثيل الحركة الميكانيكية بيانيا. يتم التعبير عن اعتماد الكميات الفيزيائية باستخدام الوظائف. تعيين:

V(t) - التغير في السرعة مع مرور الوقت

S(t) - التغير في الإزاحة (المسار) مع مرور الوقت

§ 14. رسومات المسار والسرعة

تحديد المسار باستخدام الرسم البياني للسرعة

في الفيزياء والرياضيات، يتم استخدام ثلاث طرق لتقديم المعلومات حول العلاقة بين الكميات المختلفة: أ) في شكل صيغة، على سبيل المثال، s =v ∙ t؛ ب) على شكل جدول؛ ج) على شكل رسم بياني (رسم).

اعتماد السرعة على الزمن v(t) - تم رسم الرسم البياني للسرعة باستخدام محورين متعامدين بشكل متبادل. سوف نرسم الزمن على طول المحور الأفقي، والسرعة على طول المحور الرأسي (الشكل 14.1). من الضروري التفكير في المقياس مسبقًا حتى لا يكون الرسم كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا. ويشار في نهاية المحور إلى حرف وهو عبارة عن تسمية تساوي عددياً مساحة المستطيل المظلل abcd للقيمة المرسومة عليه. وحدة قياس هذه الكمية موضحة بجوار الحرف. على سبيل المثال، بالقرب من محور الوقت تشير إلى t، s، وبالقرب من محور السرعة v(t)، أشهر. تحديد مقياس وتطبيق الأقسام على كل محور.

أرز. 14.1. رسم بياني لسرعة جسم يتحرك بشكل منتظم بسرعة ٣ م/ث. المسار الذي يقطعه الجسم من الثانية الثانية إلى الثانية السادسة هو

تمثيل الحركة الموحدة بالجداول والرسوم البيانية

دعونا نفكر في الحركة المنتظمة لجسم بسرعة 3 م/ث، أي أن القيمة العددية للسرعة ستكون ثابتة طوال فترة الحركة. باختصار، يتم كتابتها على النحو التالي: v = const (ثابت، أي قيمة ثابتة). في مثالنا، يساوي ثلاثة: v = 3. أنت تعلم بالفعل أن المعلومات المتعلقة باعتماد كمية على أخرى يمكن تقديمها في شكل جدول (مصفوفة، كما يقولون في علوم الكمبيوتر):

يوضح الجدول أنه في جميع الأوقات المحددة تكون السرعة 3 م/ث. دع مقياس المحور الزمني يكون خليتين. = 1 ثانية، ومحور السرعة هو 2 خلية. = 1 م/ثانية. يظهر رسم بياني للسرعة مقابل الزمن (يُختصر برسم بياني للسرعة) في الشكل 14.1.

باستخدام الرسم البياني للسرعة، يمكنك العثور على المسار الذي يتحرك فيه الجسم خلال فترة زمنية معينة. للقيام بذلك، تحتاج إلى مقارنة حقيقتين: من ناحية، يمكن العثور على المسار عن طريق ضرب السرعة في الوقت، ومن ناحية أخرى، فإن حاصل ضرب السرعة في الوقت، كما يتبين من الشكل، هو مساحة المستطيل ذو الجانبين t و v.

على سبيل المثال، من الثانية إلى الثانية السادسة، تحرك الجسم لمدة أربع ثوان وسافر 3 م/ث ∙ 4 ث = 12 م. هذه هي مساحة المستطيل abcd، الذي يبلغ طوله 4 ث (القطعة الإعلانية على طول محور الوقت) والارتفاع 3 م/ث (القطعة أب على طول العمودي). ومع ذلك، فإن المنطقة غير عادية إلى حد ما، حيث لا يتم قياسها بالمتر المربع، ولكن بالجرام. لذلك، فإن المنطقة الموجودة تحت الرسم البياني للسرعة تساوي عدديا المسافة المقطوعة.

الرسم البياني للمسار

يمكن تصوير الرسم البياني للمسار s(t) باستخدام الصيغة s = v ∙ t، أي في حالتنا، عندما تكون السرعة 3 م/ث: s = 3 ∙ t. دعونا نبني جدولا:

يتم رسم الوقت (t، s) مرة أخرى على طول المحور الأفقي، ويتم رسم المسار على طول المحور الرأسي. بالقرب من محور المسار نكتب: s، m (الشكل 14.2).

تحديد السرعة من الرسم البياني للمسار

دعونا الآن نصور في شكل واحد رسمين بيانيين يتوافقان مع الحركات بسرعات 3 م/ث (السطر 2) و6 م/ث (السطر 1) (الشكل 14.3). ويمكن ملاحظة أنه كلما زادت سرعة الجسم، كلما كان خط النقاط على الرسم البياني أكثر انحدارًا.

هناك أيضًا مشكلة معكوسة: بوجود رسم بياني للحركة، تحتاج إلى تحديد السرعة وكتابة معادلة المسار (الشكل 14.3). لنتأمل الخط المستقيم 2. من بداية الحركة حتى اللحظة الزمنية t = 2 s، قطع الجسم مسافة s = 6 m، وبالتالي فإن سرعته: v = 3. إن اختيار فترة زمنية مختلفة لن يغير شيئًا، على سبيل المثال، في اللحظة t = 4 s، يكون المسار الذي يقطعه الجسم من بداية الحركة هو s = 12 m، وتكون النسبة مرة أخرى 3 م/ث. ولكن هكذا ينبغي أن يكون الأمر، لأن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة. ولذلك، فإن أسهل طريقة هي اختيار فترة زمنية قدرها 1 ثانية، لأن المسار الذي يقطعه الجسم في ثانية واحدة يساوي عدديًا السرعة. المسار الذي يقطعه الجسم الأول (الرسم البياني 1) في ثانية واحدة هو 6 م، أي أن سرعة الجسم الأول هي 6 م/ث. ستكون الاعتمادات المقابلة للمسار على الوقت في هاتين الهيئتين:

ق 1 = 6 ∙ ر و ق 2 =3 ∙ ر.

أرز. 14.2. جدول المسار. أما النقاط المتبقية ما عدا النقاط الست المبينة في الجدول فقد تم تحديدها في مهمة أن تكون حركة المطر موحدة طوال الوقت

أرز. 14.3. الرسم البياني للمسار لسرعات مختلفة

دعونا نلخص ذلك

في الفيزياء، يتم استخدام ثلاث طرق لعرض المعلومات: الرسومية والتحليلية (باستخدام الصيغ) والجداول (المصفوفات). الطريقة الثالثة مناسبة أكثر للحل على الكمبيوتر.

المسار يساوي عدديًا المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني للسرعة.

كلما كان الرسم البياني s(t) أكثر انحدارًا، زادت السرعة.

المهام الإبداعية

14.1. ارسم تمثيلًا بيانيًا للسرعة والمسافة عندما تزيد سرعة الجسم أو تقل بشكل منتظم.

التمرين 14

1. كيف يتم تحديد المسار على الرسم البياني للسرعة؟

2. هل من الممكن كتابة صيغة لاعتماد المسار على الوقت مع وجود رسم بياني لـ s(t)؟

3. أم أن ميل الرسم البياني للمسار سيتغير إذا انخفض مقياس المحاور إلى النصف؟

4. لماذا يتم تصوير الرسم البياني لمسار الحركة المنتظمة كخط مستقيم؟

5. أي من الأجسام (الشكل 14.4) لديه أعلى سرعة؟

6. اذكر ثلاث طرق لتمثيل المعلومات عن حركة الجسم، و(في رأيك) مميزاتها وعيوبها.

7. كيف يمكنك تحديد المسار من الرسم البياني للسرعة؟

8. أ) كيف تختلف الرسوم البيانية للمسار بالنسبة للأجسام التي تتحرك بسرعات مختلفة؟ ب) ما هو القاسم المشترك بينهم؟

9. باستخدام الرسم البياني (الشكل 14.1)، أوجد المسار الذي يقطعه الجسم من بداية الثانية الأولى إلى نهاية الثانية الثالثة.

10. ما المسافة التي قطعها الجسم (الشكل 14.2) في: أ) ثانيتين؛ ب) أربع ثوان؟ ج) الإشارة إلى أين تبدأ الثانية الثالثة من الحركة وأين تنتهي.

11. ارسم الرسوم البيانية للسرعة والمسار بسرعة أ) 4 م/ث؛ ب) 2 م/ث.

12. اكتب صيغة اعتماد المسار في الوقت المناسب للحركات الموضحة في الشكل. 14.3.

13. أ) أوجد سرعات الأجسام باستخدام الرسوم البيانية (الشكل 14.4)؛ ب) اكتب المعادلات المقابلة للمسار والسرعة. ج) أنشئ تمثيلاً بيانيًا لسرعة هذه الأجسام.

14. أنشئ رسومًا بيانية للمسار والسرعة للأجسام التي تعطى حركتها بالمعادلتين: s 1 = 5 ∙ t و s 2 = 6 ∙ t. ما هي سرعات الأجسام؟

15. باستخدام الرسوم البيانية (الشكل 14.5)، حدد: أ) سرعة الجسم؛ ب) المسارات التي قطعوها في الثواني الخمس الأولى. ج) اكتب معادلة المسار وارسم الرسوم البيانية المقابلة للحركات الثلاث.

16. ارسم رسمًا بيانيًا لمسار حركة الجسم الأول بالنسبة للثاني (الشكل 14.3).

في هذا الدرس سوف ننظر خاصية مهمةحركة غير متساوية - تسارع. بالإضافة إلى ذلك، سننظر في الحركة غير المستوية مع تسارع ثابت. وتسمى هذه الحركة أيضًا بالتسارع المنتظم أو التباطؤ المنتظم. أخيرًا، سنتحدث عن كيفية تصوير اعتماد سرعة الجسم بيانيًا على الزمن أثناء الحركة المتسارعة بشكل منتظم.

العمل في المنزل

بعد حل مسائل هذا الدرس، ستتمكن من الاستعداد للأسئلة 1 من امتحان الدولة والأسئلة A1 وA2 من امتحان الدولة الموحدة.

1. المشاكل 48، 50، 52، 54 ش. مشاكل أ.ب. ريمكيفيتش، أد. 10.

2. اكتب اعتماد السرعة على الزمن وارسم رسوماً بيانية لاعتماد سرعة الجسم على الزمن للحالات الموضحة في الشكل. 1، الحالات ب) و د). ضع علامة على نقاط التحول على الرسوم البيانية، إن وجدت.

3. فكر في الأسئلة التالية وإجاباتها:

سؤال.هل تسارع الجاذبية هو تسارع حسب التعريف المذكور أعلاه؟

إجابة.بالطبع هو كذلك. تسارع الجاذبية هو تسارع الجسم الذي يسقط سقوطاً حراً من ارتفاع معين (يجب إهمال مقاومة الهواء).

سؤال.ماذا يحدث إذا كانت عجلة الجسم عمودية على سرعة الجسم؟

إجابة.سوف يتحرك الجسم بشكل موحد حول الدائرة.

سؤال.هل من الممكن حساب ظل الزاوية باستخدام المنقلة والآلة الحاسبة؟

إجابة.لا! لأن التسارع الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة سيكون بلا أبعاد، وبُعد التسارع كما بينا سابقاً يجب أن يكون البعد م/ث 2.

سؤال.ماذا يمكن أن يقال عن الحركة إذا كان الرسم البياني للسرعة مقابل الزمن غير مستقيم؟

إجابة.يمكننا القول إن عجلة هذا الجسم تتغير مع الزمن. ولن يتم تسريع مثل هذه الحركة بشكل موحد.

3. تأمل الشكل 4.6.
أ) عند أي نقطة على الرسم البياني تكون زاوية ميل المماس أكبر؟

سرعة فورية ومتوسطة

الأقل؟

2. السرعة المتوسطة

فاف = لتر / ر. (1)

5. ابحث عن:

ج) متوسط سرعة ساشا.

6. ابحث عن:

ب) متوسط سرعة ساشا.

تفسير اختبار الممارسةأولمبياد الإنترنت في الفيزياء 2008/2009

الصف 11. معادلات الحركة

السؤال رقم 1

باستخدام الرسم البياني الموضح في الشكل، حدد سرعة راكب الدراجة بعد ثلاث ثوانٍ من بدء الحركة.

حل.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للمسار مقابل الوقت. الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم، مما يعني أن الدراج يتحرك بشكل منتظم. دعونا نحدد من الرسم البياني المسافة التي قطعها راكب الدراجة خلال فترة زمنية محددة. على سبيل المثال، خلال 3 ثوان، قطع راكب دراجة مسافة 9 أمتار، وكانت سرعة راكب الدراجة هي V = L / t = 9/3 = 3 m/s.

السؤال رقم 2

بدأ المشاة وراكب الدراجة يتحركان تجاه بعضهما البعض في نفس الوقت. سرعتها تساوي V1 = و V2 = على التوالي. تحديد زمن الحركة حتى اللقاء إذا كانت المسافة الأولية بينهما L = .

حل.

دعونا نحدد سرعة راكب الدراجة في الإطار المرجعي للمشاة V12 = V1 + V2 = 6 + 30 = 36 كم/ساعة = 10 م/ث. إذن، يقترب أحد المشاة وراكب الدراجة من بعضهما البعض بسرعة 10 m/s، فإن زمن سفرهما حتى يلتقيا هو t = L / V12 = 700/10 = 70 s.

السؤال رقم 3

كانت السيارة تتحرك بسرعة ١٥ م/ث لمدة ٥ ث. إلى أي مدى سافر خلال هذا الوقت؟

حل.

تحركت السيارة بشكل منتظم، وبالتالي فإن المسافة المقطوعة هي L = Vt = 155 = 75 m.

السؤال رقم 4

تعود الكرة التي يتم رميها عموديًا إلى الأعلى إلى وضعها الأصلي. ويوضح الشكل رسمًا بيانيًا لسرعته مقابل الزمن. في أي وقت وصلت الكرة إلى أقصى ارتفاع لها؟

حل.

وفي اللحظة التي تصل فيها الكرة إلى أقصى ارتفاع لها، تكون سرعتها صفرًا. وفقًا للرسم البياني الموضح في الشكل، نحدد أن سرعة الكرة تساوي صفرًا عند الزمن t = 2 s.

السؤال رقم 5

أي من الكميات المذكورة أعلاه هي كميات متجهة؟

(ضع علامة على جميع الكميات المتجهة)

حل.

ومن بين هذه الكميات، تعتبر السرعة والتسارع والإزاحة كميات متجهة. المسار هو كمية عددية.

السؤال رقم 6

ركض الرياضي مسافة 400 متر على طول مسار الملعب وعاد إلى نقطة البداية. حدد المسار L الذي يقطعه الرياضي ووحدة حركته S.

حل.

المسافة التي يقطعها الرياضي هي L = 400 m ووحدة الإزاحة هي S = 0، حيث عاد الرياضي إلى النقطة التي بدأ منها الحركة.

السؤال رقم 7

تتغير سرعة الجسم المتحرك بشكل مستقيم وبتسارع منتظم عند انتقاله من النقطة 1 إلى النقطة 2 كما هو موضح في الشكل. ما اتجاه متجه التسارع في هذا الجزء من المسار؟

حل.

ويتبين من الشكل أن معامل سرعة الجسم يتناقص أثناء تحركه، مما يعني أن متجه التسارع موجه نحو الحركة، أي إلى اليسار.

السؤال رقم 8

باستخدام الرسم البياني لمعامل السرعة مقابل الزمن، أوجد تسارع جسم متحرك بشكل مستقيم عند الزمن t = 2 s.

حل.

باستخدام الرسم البياني، نحدد التغير في سرعة الجسم عند نقطة زمنية ثابتة. على سبيل المثال، في أول ثانيتين تغيرت سرعة الجسم بمقدار 6 م/ث (من V0 = 3 م/ث إلى Vt = 9 م/ث). التسارع أ = (Vt – V0) / t = 6/2 = 3 م/ث2.

السؤال رقم 9

عندما تتحرك سيارة بتسارع منتظم لمدة خمس ثوان، تزداد سرعتها من 10 إلى 15 م/ث. ما هي وحدة التسارع في السيارة؟

حل.

تسارع السيارة a = (Vt – V0) / t= (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 م/ث2.

السؤال رقم 10

بدأت السيارة من السكون بتسارع ثابت = 1 م/ث2 . ما المسافة التي تقطعها السيارة في الثواني العشرة الأولى من حركتها؟

حل.

تتحرك السيارة بتسارع منتظم دون سرعة ابتدائية - المسافة المقطوعة هي L = at2/2 = 1102/2 = 50 m.

السؤال رقم 11

طوف يطفو بشكل منتظم أسفل النهر بسرعة 3 km/h. تتحرك العارضة عبر الطوافة بسرعة 4 كم/ساعة. ما سرعة العارضة في الإطار المرجعي المرتبط بالشاطئ؟

حل.

سرعة العارضة في الإطار المرجعي المرتبط بالشاطئ

السؤال رقم 12

ترتفع المروحية عموديًا بسرعة ثابتة. ما هو مسار النقطة الموجودة في نهاية ريشة المروحية في الإطار المرجعي المرتبط بجسم المروحية؟

حل.

تخيل أنك في قمرة القيادة لطائرة هليكوبتر، أي أنك بلا حراك بالنسبة لجسم المروحية. في هذه الحالة، يمكنك أن ترى أن أي نقطة على دوار المروحية تمثل دائرة.

السؤال رقم 13

يتحرك الجسم على طول المحور X وفقًا للقانون الموضح في الشكل، حيث x هو الإحداثي بالأمتار، وt هو الوقت بالثواني. تحديد معامل تسارع الجسم.

حل.

معادلة اعتماد الإحداثيات على الوقت للحركة المستقيمة المتسارعة بشكل موحد منظر عامله الصيغة X(t) = X0 + V0xt + aht2/2، حيث X0 هو الإحداثي الأولي، وV0x وah هما إسقاطات السرعة الأولية والتسارع على المحور X.

وبمساواة الحدود التي تتضمن t2، نحصل على akht2/2 = -4.5t2. من أين يأتي إسقاط التسارع من ax = –9 m/s2، ووحدة التسارع a= 9 m/s2.

السؤال رقم 14

يوضح الشكل الرسوم البيانية لمعامل السرعة مقابل الزمن لأربعة أجسام. أي من هذه الأجسام (أو أي الأجسام) قطعت أطول مسافة؟

حل.

يوضح الشكل رسومًا بيانية لسرعة الأجسام المتحركة مقابل الزمن. كما هو معروف، فإن المسار الذي يقطعه الجسم هو المساحة الواقعة أسفل منحنى السرعة. يتضح من الشكل أن رقم المساحة القصوى يقع تحت الرسم البياني للجسم 4. وهذا يعني أنه خلال الفترة الزمنية من 0 إلى t0، قطع الجسم 4 أطول مسافة.

السؤال رقم 15

يتحرك الجسم في خط مستقيم . يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لسرعة الجسم مقابل الزمن. في أي فترة (فترات) زمنية يكون إسقاط التسارع سالبًا؟

حل.

دعونا نحلل الرسم البياني:

1. خلال الفترة الزمنية من 0 إلى 1 ثانية، تكون سرعة الجسم ثابتة، وبالتالي فإن الفأس = 0؛

2. خلال فترة زمنية من 1 ثانية إلى 2 ثانية، تنخفض سرعة الجسم، وبالتالي يكون إسقاط التسارع آه< 0;

3. في الفترة الزمنية من 2s إلى 3s يكون الجسم في حالة سكون، وبالتالي فإن ax = 0؛

4. في الفترة الزمنية من 3s إلى 4s، تزداد سرعة الجسم، وبالتالي يكون إسقاط محور التسارع > 0.

لذلك، يكون إسقاط التسارع سالبًا خلال الفترة الزمنية من 1s إلى 2s.

السؤال رقم 16

تتحرك سيارة بسرعة ابتدائية مقدارها 20 m/s، وتتسارع بتسارع ثابت a = 2 m/s2 لمدة 5 s. إلى أي مدى سافر خلال هذه الفترة؟

حل.

لحساب المسار، يمكنك استخدام الصيغة L = V0t + at2/2 = 205 + 252/2 = .

كيفية العثور على السرعة المتوسطة من الرسم البياني

1. السرعة اللحظية

في هذا القسم سننظر في الحركة غير المستوية. ومع ذلك، في هذه الحالة سنحتاج إلى ما نعرفه عن الحركة المنتظمة المستقيمة.

يوضح الشكل 4.1 مواقع سيارة متسارعة على طريق سريع مستقيم بفاصل زمني قدره 1 ثانية. يشير السهم إلى مرآة الرؤية الخلفية، والتي سننظر في موضعها بمزيد من التفصيل.

نلاحظ أنه على فترات زمنية متساوية، تتحرك السيارة في مسارات مختلفة، أي أنها تتحرك بشكل غير متساو.

دعونا الآن نقوم بتقليل الفواصل الزمنية المتعاقبة بمقدار 20 مرة - إلى 0.05 ثانية - ونراقب التغيير في موضع السيارة لمدة نصف ثانية (ليس من الصعب القيام بذلك، على سبيل المثال، باستخدام تسجيل الفيديو).

لكي لا يحدث فوضى، يوضح الشكل ٤.٢ موقعين فقط للسيارة بفاصل زمني قدره 0.5 ثانية. يتم تحديد مواقع السيارة المتعاقبة بفواصل زمنية قدرها 0.05 ثانية بواسطة موضع مرآة الرؤية الخلفية (الموضحة باللون الأحمر).

نلاحظ أنه عندما تكون الفترات الزمنية المتساوية المتعاقبة صغيرة بدرجة كافية، تكون المسافات التي تقطعها السيارة خلال هذه الفترات الزمنية هي نفسها تقريبًا. وهذا يعني أن حركة السيارة خلال هذه الفترات القصيرة من الزمن يمكن اعتبارها مستقيمة وموحدة بدقة جيدة.

لقد اتضح أن أي حركة (حتى لو كانت منحنية الخطوط) تتمتع بهذه الخاصية الرائعة: إذا نظرنا إليها خلال فترة زمنية قصيرة بما فيه الكفاية Δt، فهي تشبه إلى حد كبير الحركة المنتظمة المستقيمة! علاوة على ذلك، كلما قصرت الفترة الزمنية، كلما زاد التشابه.

تسمى سرعة الجسم خلال فترة زمنية قصيرة بما فيه الكفاية سرعته في لحظة زمنية معينة t إذا كانت هذه اللحظة الزمنية تقع في الفاصل الزمني Δt. واسمها الأكثر دقة هو السرعة اللحظية.

إن مدى قصر الفاصل الزمني Δt بحيث يمكن اعتبار حركة الجسم خلال هذه الفترة مستقيمة وموحدة، يعتمد على طبيعة حركة الجسم.

وفي حالة تسارع السيارة، يكون هذا جزءًا من الثانية. وعلى سبيل المثال، يمكن اعتبار حركة الأرض حول الشمس بدقة جيدة مستقيمة وموحدة حتى أثناء النهار، مع أن الأرض تطير أكثر من مليونين ونصف المليون كيلومتر في الفضاء خلال هذا الوقت!

1. باستخدام الشكل 4.2، حدد السرعة اللحظية للسيارة. خذ طول السيارة ليكون 5 م.

يتم عرض قيمة السرعة اللحظية للسيارة بواسطة عداد السرعة (الشكل 4.3).

كيفية العثور على السرعة اللحظية من رسم بياني للإحداثيات مقابل الوقت

يوضح الشكل 4.4 رسمًا بيانيًا للإحداثيات مقابل الزمن لسيارة تتحرك على طريق سريع مستقيم.

نرى أنها تتحرك بشكل غير متساو، لأن الرسم البياني لإحداثياتها مقابل الزمن هو منحنى، وليس قطعة خط مستقيم.

دعونا نوضح كيفية تحديد السرعة اللحظية للسيارة في أي وقت من خلال هذا الرسم البياني، على سبيل المثال، عند t = 3 s (نقطة على الرسم البياني).

للقيام بذلك، ضع في اعتبارك حركة السيارة خلال فترة زمنية قصيرة يمكن خلالها اعتبار حركتها خطية وموحدة.

يوضح الشكل 4.5 قسم الرسم البياني الذي يهمنا بزيادة قدرها عشرة أضعاف (انظر، على سبيل المثال، المقياس الزمني).

نرى أن هذا القسم من الرسم البياني لا يمكن تمييزه عمليا عن قطعة الخط المستقيم (القطعة الحمراء). في فترات زمنية متساوية متتالية مقدارها 0.1 s، قطعت السيارة مسافات متماثلة تقريبًا - 1 m لكل منهما.

2. ما السرعة اللحظية للسيارة عند اللحظة t = 3 s؟

بالعودة إلى المقياس السابق للرسم، سنرى أن الخط الأحمر المستقيم، الذي يتزامن معه جزء صغير من الرسم البياني عمليًا، يكون مماسًا للرسم البياني لاعتماد الإحداثيات على الوقت في لحظة زمنية معينة (الشكل 4.6).

لذلك، يمكن الحكم على السرعة اللحظية لجسم من خلال المعامل الزاوي للظل للرسم البياني للإحداثيات مقابل الزمن: كلما زاد المعامل الزاوي للظل، زادت سرعة الجسم. (ترتبط الطريقة الموصوفة لتحديد السرعة اللحظية باستخدام المماس للرسم البياني لاعتماد الإحداثيات على الوقت بمفهوم مشتق الدالة. ستدرس هذا المفهوم في دورة "الجبر وبدايات أياليس". ") وعند نقاط الرسم البياني التي تكون فيها زاوية ميل المماس صفرًا، يوجد مماس موازٍ لمحور الزمن t، وتكون السرعة اللحظية للجسم صفرًا.

3. تأمل الشكل 4.6.
ب) أوجد السرعة اللحظية القصوى والدنيا للسيارة خلال أول 6 ثواني من حركتها.

2. السرعة المتوسطة

تستخدم العديد من المسائل السرعة المتوسطة المرتبطة بالمسافة المقطوعة:

فاف = لتر / ر. (1)

السرعة المتوسطة المعرفة بهذه الطريقة هي كمية قياسية، لأن المسار عبارة عن كمية قياسية. (في بعض الأحيان، لتجنب الارتباك، يطلق عليه متوسط السرعة الأرضية.)

على سبيل المثال، إذا قطعت سيارة مسافة 120 كيلومترًا حول المدينة لمدة ثلاث ساعات (وفي الوقت نفسه يمكنها زيادة السرعة والفرملة والتوقف عند التقاطعات)، فإن متوسط سرعتها يبلغ 40 كيلومترًا في الساعة.

4. كم سينخفض متوسط سرعة السيارة المذكورة للتو إذا زاد إجمالي وقت القيادة بمقدار ساعة واحدة بسبب توقف حركة المرور؟

متوسط السرعة على قسمين من حركة المرور

في العديد من المسائل، يتم النظر في حركة الجسم في مجالين، في كل منهما يمكن اعتبار الحركة موحدة. وفي هذه الحالة وبحسب تعريف السرعة المتوسطة (1) يمكننا أن نكتب:

فاف = (ل1 + ل2)/(t1 + t2)، (2)

حيث l1 وt1 هما المسار والوقت للقسم الأول، وl2 وt2 للقسم الثاني. دعونا ننظر إلى الأمثلة.
غادر ساشا القرية على دراجة هوائية بسرعة 15 كم/ساعة وسافر لمدة ساعة. وبعد ذلك تعطلت الدراجة، ومشى ساشا لمدة ساعة أخرى بسرعة 5 كم/ساعة.

5. ابحث عن:
أ) المسار الذي سلكته ساشا خلال الحركة بأكملها؛
ب) الوقت الإجمالي لحركة ساشا.
ج) متوسط سرعة ساشا.

في الحالة قيد النظر، تبين أن متوسط السرعة يساوي المتوسط الحسابي للسرعات التي ركب بها ساشا وسار بها. هل هذا عادل دائما؟ النظر في المثال التالي.
دع ساشا يركب دراجة لمدة ساعة بسرعة 15 كم/ساعة، ثم يمشي نفس المسافة سيرًا على الأقدام بسرعة 5 كم/ساعة.

6. ابحث عن:
أ) المسار الذي سار فيه ساشا سيرا على الأقدام؛
ب) المسار الذي سلكته ساشا خلال الحركة بأكملها؛
ج) الوقت الإجمالي لحركة ساشا.
ب) متوسط سرعة ساشا.

وبالنظر إلى هذه الحالة، سترى أن متوسط السرعة هذه المرة لا يساوي المتوسط الحسابي لسرعتي القيادة والمشي. وإذا نظرت عن كثب، ستلاحظ أنه في الحالة الثانية يكون متوسط السرعة أقل من الأول. لماذا؟

7. قارن بين الفترات الزمنية التي قادت خلالها ساشا السيارة ومشىت في الحالتين الأولى والثانية.

دعونا نلخص المواقف التي تمت مناقشتها أعلاه.

دعونا نفكر أولاً في الحالة التي يتحرك فيها الجسم بسرعات مختلفة لفترات زمنية متساوية.

دع الجسم يتحرك بسرعة v1 خلال النصف الأول من مدة الحركة بأكملها، وفي النصف الثاني بسرعة v2. هل من الممكن إيجاد متوسط سرعة الحركة على كامل القسم إذا لم يكن الزمن الإجمالي للحركة ولا المسافة التي قطعها الجسم أثناء الحركة معروفة؟

يمكنك: للقيام بذلك، نقدم تدوينات لجميع الكميات التي نحتاجها، بغض النظر عما إذا كانت معروفة أو غير معروفة. هذه تقنية شائعة لحل العديد من المشكلات.

دعونا نشير إلى كامل وقت الحركة بـ t، والمسار بأكمله بـ l، والمسارات المغطاة خلال النصف الأول والثاني من وقت الحركة بـ l1 وl2، على التوالي.

8. أعرب بدلالة v1 وv2 وt:
أ) l1 و l2؛ ب) ل؛ ج) السرعة المتوسطة.

بعد العثور على إجابات هذه الأسئلة، ستكتشف ما إذا كانت العبارة صحيحة في الحالة العامة: إذا تحرك جسم في قسمين بسرعات مختلفة لفترات زمنية متساوية، فإن سرعته المتوسطة على طول المسار بأكمله تساوي الوسط الحسابي للسرعات في القسمين.

دعونا الآن نفكر في الحالة التي يتحرك فيها الجسم بسرعات مختلفة في النصف الأول والثاني من المسار.

الآن دع الجسم يتحرك للنصف الأول من المسار بأكمله بسرعة v1، وللنصف الثاني بسرعة v2. دعنا نشير مرة أخرى إلى وقت الحركة بالكامل بـ t، والمسار بأكمله بـ l، والفترات الزمنية التي يتحرك خلالها الجسم في القسمين الأول والثاني سيتم الإشارة إليها بـ t1 و t2، على التوالي.

9. أعرب بدلالة v1 وv2 وl:
أ) t1 و t2؛ ب) ر؛ ج) السرعة المتوسطة.

من خلال الإجابة على هذه الأسئلة، ستكتشف ما إذا كانت العبارة صحيحة في الحالة العامة: إذا تحرك جسم على مقطعين متساويين في الطول بسرعات مختلفة، فإن سرعته المتوسطة على طول المسار بأكمله لا تساوي الوسط الحسابي لهما. سرعات.

10. أثبت أن السرعة المتوسطة لجسم يتحرك في مقطعين متساويين الطول بسرعات مختلفة أقل مما لو تحرك في مقطعين بالسرعات نفسها لفترات زمنية متساوية.
فكرة. في كل من الحالتين عبر عن السرعة المتوسطة بدلالة السرعات في القسمين الأول والثاني وقارن بين التعبيرات الناتجة.

11. في القسم الأول من المسار تحرك الجسم بسرعة v1، وفي القسم الثاني - بسرعة v2. ما هي نسبة أطوال هذه الأقسام إذا تبين أن متوسط سرعة الحركة يساوي الوسط الحسابي لـ v1 و v2؟

أسئلة ومهام إضافية

12. في ثلث الوقت بأكمله، سافر القطار بسرعة v1، والوقت المتبقي بسرعة v2.
أ) عبر عن المسافة التي يقطعها القطار بدلالة v1 و v2 وزمن الرحلة بأكمله t.
ب) عبر عن متوسط سرعة القطار بدلالة v1 وv2.
ج) أوجد القيمة العددية للسرعة المتوسطة عند v1 = 60 كم/ساعة، v2 = 90 كم/ساعة.

13. قطعت السيارة ثلاثة أرباع المسافة بأكملها بسرعة v1، والجزء المتبقي من الرحلة بسرعة v2.
أ) عبر عن الزمن الكامل لحركة السيارة بدلالة v1 وv2 وكامل المسافة المقطوعة l.
ب) عبر عن السرعة المتوسطة للسيارة بدلالة v1 وv2.
ج) أوجد القيمة العددية للسرعة المتوسطة عند v1 = 80 كم/ساعة، v2 = 100 كم/ساعة.

14. سارت السيارة لمدة ساعتين بسرعة 60 كم/ساعة. كم من الوقت يجب عليه بعد ذلك أن يقود بسرعة 80 كم/ساعة بحيث يصبح متوسط سرعته خلال الرحلة بأكملها 66.7 كم/ساعة؟

15. انقل إلى دفتر ملاحظاتك (بالخلايا) الرسم البياني لاعتماد إحداثيات السيارة في الوقت المحدد، كما هو موضح في الشكل 4.4. لنفترض أن السيارة تتحرك على طول المحور x.
أ) حدد بيانيا متوسط السرعة لمدة 6 ثوان.
ب) باستخدام خط المماس، حدد في أي لحظة زمنية تقريبًا كانت السرعة اللحظية للسيارة مساوية لمتوسط سرعتها خلال 6 ثوان.

16. يتحرك الجسم على طول المحور السيني. يتم التعبير عن اعتماد إحداثيات الجسم على الوقت بالصيغة x = 0.2 * t2.
أ) اختر مقياسًا مناسبًا وارسم x(t) لأول 6 ثوانٍ.
ب) باستخدام هذا الرسم البياني، أوجد اللحظة الزمنية التي كانت فيها السرعة اللحظية للجسم مساوية لمتوسط السرعة طوال فترة الحركة بأكملها.

§ 12. الرسوم البيانية للمسار مقابل الزمن.

إذا كان مسار حركة نقطة ما معروفًا، فإن اعتماد المسار الذي تجتازه النقطة على الفترة الزمنية المنقضية يوفر وصفًا كاملاً لهذه الحركة. لقد رأينا أنه بالنسبة للحركة المنتظمة، يمكن إعطاء مثل هذا الاعتماد في شكل الصيغة (9.2). يمكن أيضًا تحديد العلاقة بين النقاط الزمنية الفردية ونقاطها الزمنية في شكل جدول يحتوي على القيم المقابلة للفترة الزمنية والمسافة المقطوعة. لنفترض أن سرعة بعض الحركات المنتظمة هي 2 م/ث. الصيغة (9.2) في هذه الحالة لها الشكل . لنقم بعمل جدول لمسار ووقت هذه الحركة:

غالبًا ما يكون من السهل تصوير اعتماد كمية على أخرى ليس من خلال الصيغ أو الجداول، ولكن من خلال الرسوم البيانية التي توضح صورة التغيير بشكل أكثر وضوحًا المتغيراتويمكن أن تسهل العمليات الحسابية. دعونا نبني رسمًا بيانيًا للمسافة المقطوعة مقابل الزمن للحركة المعنية. للقيام بذلك، خذ خطين مستقيمين متعامدين بشكل متبادل - محاور الإحداثيات؛ وسوف نسمي أحدهما (المحور الإحداثي) بمحور الزمن، والآخر (المحور الإحداثي) بمحور المسار. دعونا نختار المقاييس لتصوير الفترات الزمنية والمسارات ونأخذ نقطة تقاطع المحاور كنقطة البداية وكنقطة البداية على المسار. دعونا نرسم على المحاور قيم الوقت والمسافة المقطوعة للحركة قيد النظر (الشكل 18). "لربط" قيم المسافة المقطوعة باللحظات الزمنية، نرسم خطوطًا متعامدة على المحاور من النقاط المقابلة على المحاور (على سبيل المثال، النقطتان 3 و 6 م). تتوافق نقطة تقاطع العمودين في نفس الوقت مع الكميتين: المسار والعزم، وبهذه الطريقة يتم تحقيق "الربط". يمكن تنفيذ نفس البناء لأي نقاط زمنية أخرى والمسارات المقابلة، والحصول على كل زوج من الوقت - قيم المسار نقطة واحدة على الرسم البياني. في التين.

أوجد من الرسم البياني متوسط سرعة الجسم خلال فترات زمنية

18 يتم إجراء مثل هذا البناء عن طريق استبدال صفي الجدول بصف واحد من النقاط. إذا تم تنفيذ مثل هذا البناء لجميع النقاط في الوقت المناسب، فبدلا من النقاط الفردية، سيتم الحصول على خط صلب (كما هو موضح في الشكل). يُسمى هذا الخط بالرسم البياني للمسار مقابل الزمن، أو باختصار، الرسم البياني للمسار.

أرز. 18. رسم بياني لمسار الحركة المنتظمة بسرعة 2 م/ث

أرز. 19. للتمرين 12.1

في حالتنا، تبين أن الرسم البياني للمسار هو خط مستقيم. يمكن إثبات أن الرسم البياني لمسار الحركة المنتظمة يكون دائمًا خطًا مستقيمًا؛ والعكس صحيح: إذا كان الرسم البياني للمسار مقابل الزمن خطًا مستقيمًا، فإن الحركة تكون موحدة.

وبتكرار البناء لسرعة مختلفة، نجد أن نقاط الرسم البياني للسرعات الأعلى تقع أعلى من نقاط الرسم البياني المقابلة للسرعات المنخفضة (الشكل 20). وبالتالي، كلما زادت سرعة الحركة المنتظمة، زاد انحدار الرسم البياني للمسار المستقيم، أي زادت الزاوية التي يصنعها مع محور الزمن.

أرز. 20. رسوم بيانية لمسار الحركات المنتظمة بسرعات 2 و 3 م/ث

أرز. 21. رسم بياني لنفس الحركة كما في الشكل. 18، مرسومة بمقياس مختلف

لا يعتمد ميل الرسم البياني، بطبيعة الحال، على القيمة العددية للسرعة فحسب، بل يعتمد أيضًا على اختيار مقياس الوقت والطول. على سبيل المثال، الرسم البياني الموضح في الشكل. 21 يعطي المسار مقابل الوقت لنفس الحركة كما في الرسم البياني في الشكل. 18، على الرغم من أن له ميل مختلف. من هنا يتضح أنه لا يمكن مقارنة الحركات حسب ميل الرسوم البيانية إلا إذا تم رسمها على نفس المقياس.

باستخدام الرسوم البيانية المسار، يمكنك بسهولة حل مشاكل الحركة المختلفة. على سبيل المثال في الشكل. 18 خطًا متقطعًا توضح الإنشاءات اللازمة لحل المشكلات التالية لحركة معينة: أ) العثور على المسار الذي تم قطعه خلال 3.5 ثانية؛ ب) أوجد الزمن المستغرق لقطع مسافة 9 م. في الشكل، تم العثور على الإجابات بيانيًا (خطوط متقطعة): أ) 7 م؛ ب) 4.5 ثانية.

في الرسوم البيانية التي تصف الحركة المستقيمة المنتظمة، يمكن رسم إحداثيات النقطة المتحركة على طول المحور الإحداثي بدلاً من المسار. هذا الوصف يفتح إمكانيات كبيرة. على وجه الخصوص، فإنه يجعل من الممكن التمييز بين اتجاه الحركة بالنسبة للمحور. بالإضافة إلى ذلك، من خلال اعتبار أصل الزمن صفرًا، من الممكن إظهار حركة النقطة في لحظات زمنية سابقة، وهو ما يجب اعتباره سلبيًا.

أرز. 22. رسوم بيانية للحركات بنفس السرعة، ولكن في مواضع أولية مختلفة لنقطة الحركة

أرز. 23. الرسوم البيانية لعدة حركات بسرعات سلبية

على سبيل المثال، في الشكل. 22 الخط المستقيم I هو رسم بياني للحركة التي تحدث بسرعة موجبة تبلغ 4 م/ث (أي في اتجاه المحور)، وفي اللحظة الأولية كانت نقطة الحركة عند نقطة إحداثية م، وللمقارنة، نفس الشيء يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للحركة التي تحدث بنفس السرعة، ولكن في اللحظة الأولى تكون نقطة الحركة عند النقطة ذات الإحداثيات (الخط II). مستقيم. III يتوافق مع الحالة التي تكون فيها النقطة المتحركة عند نقطة إحداثية m. وأخيرًا، يصف الخط المستقيم IV الحركة في الحالة التي يكون فيها للنقطة المتحركة إحداثيات في الوقت الحالي c.

نرى أن منحدرات الرسوم البيانية الأربعة هي نفسها: يعتمد الميل فقط على سرعة النقطة المتحركة، وليس على موضعها الأولي. عند تغيير الموضع الأولي، يتم نقل الرسم البياني بأكمله بالتوازي مع نفسه على طول المحور لأعلى أو لأسفل على المسافة المناسبة.

تظهر الرسوم البيانية للحركات التي تحدث بسرعات سلبية (أي في الاتجاه المعاكس لاتجاه المحور) في الشكل. 23. إنها مستقيمة ومنحدرة إلى الأسفل. بالنسبة لمثل هذه الحركات، يتناقص إحداثي النقطة بمرور الوقت.

12.3. الرسم البياني للمسار لنقطة تتحرك بسرعة يقطع قطعة على المحور الإحداثي. كيف تعتمد المسافة من نقطة البداية على الوقت؟ اكتب صيغة هذه العلاقة.

12.4. النقطة التي تتحرك بسرعة تكون على مسافة من النقطة الأولية في الوقت الحالي.

كيف تعتمد المسافة على الوقت؟

12.5. النقطة، التي تتحرك بشكل موحد على طول المحور، لها إحداثيات m وm في لحظات زمنية s وs، على التوالي. ابحث بيانيًا عن اللحظة التي مرت فيها النقطة بأصل الإحداثيات وما كان عليه الإحداثي في اللحظة الأولى. أوجد إسقاط السرعة على المحور.

12.6. باستخدام الرسم البياني للمسار، أوجد متى وعلى أية مسافة من النقطة أ، ستتجاوز السيارة التي تغادر النقطة أ سيارة ثانية تغادر نفس النقطة بعد 20 دقيقة من الأولى، إذا كانت السيارة الأولى تتحرك بسرعة 40 كم/ساعة والثانية تتحرك بسرعة 40 كم/ساعة بسرعة 60 كم/ساعة.

12.7. باستخدام الرسم البياني، أوجد أين ومتى ستلتقي السيارات، وتتحرك في وقت واحد تجاه بعضها البعض بسرعة 40 و60 كم/ساعة من النقطتين A وB، الواقعتين على مسافة 100 كم من بعضهما البعض.

يمكن أيضًا إنشاء الرسوم البيانية للمسار للحالات التي يتحرك فيها الجسم بشكل منتظم لفترة زمنية معينة، ثم يتحرك بشكل منتظم ولكن بسرعة مختلفة لفترة زمنية أخرى، ثم تتغير سرعته مرة أخرى، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، في الشكل 1. 26 يوضح رسم بياني لحركة الجسم خلال الساعة الأولى بسرعة 20 كم/ساعة، وخلال الساعة الثانية بسرعة 40 كم/ساعة، وخلال الساعة الثالثة بسرعة 15 كم/ساعة.

يمارس:12.8. أنشئ رسمًا بيانيًا لمسار الحركة حيث كانت سرعة الجسم على فترات متعاقبة من الساعة 10، -5، 0، 2، -7 كم/ساعة. ما الإزاحة الكلية للجسم؟

1. العثور على مسار باستخدام رسم بياني للسرعة مقابل الوقت

دعونا نوضح كيف يمكنك العثور على المسار الذي يقطعه الجسم باستخدام رسم بياني للسرعة مقابل الزمن.

لنبدأ بأبسط حالة - الحركة المنتظمة. يوضح الشكل 6.1 رسمًا بيانيًا لـ v(t) – السرعة مقابل الوقت. وهو يمثل قطعة من خط مستقيم موازي لقاعدة الزمن، حيث أنه مع الحركة المنتظمة تكون السرعة ثابتة.

الشكل الموجود أسفل هذا الرسم البياني هو مستطيل (وهو مظلل في الشكل). مساحتها تساوي عدديًا حاصل ضرب السرعة v وزمن الحركة t. ومن ناحية أخرى، فإن حاصل الضرب vt يساوي المسار l الذي يقطعه الجسم. لذلك، مع حركة موحدة

المسار يساوي عدديًا مساحة الشكل المحاط بالرسم البياني للسرعة مقابل الزمن.

دعونا الآن نبين أن الحركة غير المستوية لها أيضًا هذه الخاصية الرائعة.

لنفترض، على سبيل المثال، أن الرسم البياني للسرعة مقابل الزمن يبدو مثل المنحنى الموضح في الشكل 6.2.

دعونا نقسم عقليًا وقت الحركة بأكمله إلى فترات زمنية صغيرة بحيث يمكن اعتبار حركة الجسم خلال كل منها موحدة تقريبًا (يظهر هذا التقسيم بخطوط متقطعة في الشكل 6.2).

ثم يكون المسار المسافر خلال كل فترة زمنية مساويًا عدديًا لمساحة الشكل الموجود أسفل الكتلة المقابلة من الرسم البياني. ولذلك فإن المسار بأكمله يساوي مساحة الأشكال الموجودة تحت الرسم البياني بأكمله. (التقنية التي استخدمناها هي أساس حساب التفاضل والتكامل، والذي ستدرس أساسياته في دورة “بدايات التحليل الرياضي”.)

2. المسار والإزاحة أثناء الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم

دعونا الآن نطبق الطريقة الموصوفة أعلاه لإيجاد المسار إلى الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم.

السرعة الابتدائية للجسم هي صفر

دعونا نوجه المحور x في اتجاه تسارع الجسم. ثم الفأس = أ، vx = v. لذلك،

يوضح الشكل 6.3 رسمًا بيانيًا لـ v(t).

1. باستخدام الشكل 6.3، أثبت أنه في حالة الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم دون السرعة الأولية، يتم التعبير عن المسار l بدلالة وحدة التسارع a وزمن الحركة t بالصيغة

الاستنتاج الرئيسي:

في حالة الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم دون السرعة الابتدائية، فإن المسافة التي يقطعها الجسم تتناسب مع مربع زمن الحركة.

بهذه الطريقة، تختلف الحركة المتسارعة بشكل منتظم عن الحركة المنتظمة.

يوضح الشكل 6.4 الرسوم البيانية للمسار مقابل الزمن لجسمين، أحدهما يتحرك بشكل منتظم، والآخر يتسارع بشكل منتظم دون سرعة ابتدائية.

2. انظر إلى الشكل 6.4 وأجب عن الأسئلة.
أ) ما هو لون الرسم البياني لجسم يتحرك بتسارع منتظم؟
ب) ما عجلة هذا الجسم؟
ج) ما هي سرعة الأجسام عند اللحظة التي قطعت فيها نفس المسار؟
د) في أي نقطة زمنية تكون سرعات الجسمين متساوية؟

3. بعد البدء، قطعت السيارة مسافة 20 m في أول 4 ثواني. اعتبر أن حركة السيارة مستقيمة ومتسارعة بشكل منتظم. بدون حساب تسارع السيارة، حدد المسافة التي ستقطعها السيارة:
أ) في 8 ثوان؟ ب) في 16 ثانية؟ ج) في 2 ثانية؟

دعونا الآن نجد اعتماد إسقاط الإزاحة sx على الوقت المحدد. في هذه الحالة، يكون إسقاط التسارع على المحور x موجبًا، لذا sx = l، ax = a. وبالتالي من الصيغة (2) يأتي ما يلي:

سكس = axt2/2. (3)

الصيغتان (2) و (3) متشابهتان جدًا، مما يؤدي أحيانًا إلى أخطاء في الحل مهام بسيطة. والحقيقة هي أن قيمة إسقاط الإزاحة يمكن أن تكون سلبية. سيحدث هذا إذا تم توجيه المحور x مقابل الإزاحة: ثم sx< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. يوضح الشكل 6.5 الرسوم البيانية لوقت السفر وإسقاطات الإزاحة لجسم معين. ما هو لون الرسم البياني لإسقاط الإزاحة؟

السرعة الأولية للجسم ليست صفراً

دعونا نتذكر أنه في هذه الحالة يتم التعبير عن اعتماد إسقاط السرعة على الوقت من خلال الصيغة

vx = v0x + الفأس، (4)

حيث v0x هو إسقاط السرعة الأولية على المحور x.

سننظر أيضًا في الحالة عندما يكون v0x > 0، ax > 0. في هذه الحالة، يمكننا مرة أخرى الاستفادة من حقيقة أن المسار يساوي عدديًا مساحة الشكل الموجود أسفل الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت. (فكر في مجموعات أخرى من العلامات لإسقاط السرعة الأولية والتسارع بنفسك: ستكون النتيجة هي نفس الصيغة العامة (5).

يوضح الشكل 6.6 رسمًا بيانيًا لـ vx(t) لـ v0x > 0، ax > 0.

5. باستخدام الشكل 6.6، أثبت أنه في حالة الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم مع سرعة أولية، فإن إسقاط الإزاحة

سكس = v0x + axt2/2.

تتيح لك هذه الصيغة العثور على اعتماد الإحداثيات x للجسم في الوقت المحدد. دعونا نتذكر (انظر الصيغة (6)، الفقرة 2) أن الإحداثيات x للجسم مرتبطة بإسقاط إزاحته sx بالعلاقة

حيث x0 هو الإحداثي الأولي للجسم. لذلك،

س = س0 + سكس، (6)

من الصيغ (5)، (6) نحصل على:

س = x0 + v0xt + axt2/2. (7)

6. يتم التعبير عن اعتماد الإحداثيات في الوقت المناسب لجسم معين يتحرك على طول المحور x بوحدات SI بواسطة الصيغة x = 6 – 5t + t2.
أ) ما الإحداثيات الأولية للجسم؟
ب) ما هو إسقاط السرعة الابتدائية على المحور السيني؟
ج) ما هو إسقاط التسارع على المحور السيني؟
د) ارسم رسمًا بيانيًا للإحداثي x مقابل الزمن.
هـ) ارسم رسمًا بيانيًا للسرعة المتوقعة مقابل الزمن.
و) في أي لحظة تكون سرعة الجسم تساوي الصفر؟
ز) هل سيعود الجسم إلى نقطة البداية؟ إذا كان الأمر كذلك، في أي نقطة (نقاط) من الزمن؟
ح) هل سيمر الجسم عبر نقطة الأصل؟ إذا كان الأمر كذلك، في أي نقطة (نقاط) من الزمن؟
ط) ارسم رسمًا بيانيًا لإسقاط الإزاحة مقابل الزمن.
ي) ارسم رسمًا بيانيًا للمسافة مقابل الزمن.

3. العلاقة بين المسار والسرعة

عند حل المسائل، غالبًا ما يتم استخدام العلاقات بين المسار والتسارع والسرعة (الابتدائي v0 أو النهائي v أو كليهما). دعونا نستنتج هذه العلاقات. لنبدأ بالحركة بدون سرعة أولية. من الصيغة (1) نحصل على وقت الحركة:

لنستبدل هذا التعبير في الصيغة (2) للمسار:

ل = at2/2 = أ/2(ت/أ)2 = v2/2أ. (9)

الاستنتاج الرئيسي:

في الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم دون السرعة الأولية، تتناسب المسافة التي يقطعها الجسم مع مربع السرعة النهائية.

7. بعد أن بدأت السيارة، زادت سرعة السيارة بمقدار 10 m/s لمسافة 40 m. اعتبر أن حركة السيارة خطية ومتسارعة بشكل منتظم. بدون حساب تسارع السيارة، حدد المسافة التي قطعتها السيارة من بداية الحركة عندما كانت سرعتها تساوي: أ) 20 م/ث؟ ب) 40 م/ث؟ ج) 5 م/ث؟

ويمكن أيضًا الحصول على العلاقة (9) من خلال تذكر أن المسار يساوي عدديًا مساحة الشكل الموجود تحت الرسم البياني للسرعة مقابل الزمن (الشكل 6.7).

سيساعدك هذا الاعتبار على التعامل بسهولة مع المهمة التالية.

8. باستخدام الشكل 6.8، أثبت أنه عند الكبح بتسارع ثابت، يقطع الجسم المسافة lт = v02/2a حتى التوقف التام، حيث v0 هي السرعة الأولية للجسم، a هو معامل التسارع.

في حالة فرملة مركبة (سيارة، قطار)، فإن المسافة المقطوعة حتى التوقف التام تسمى مسافة الفرملة. يرجى ملاحظة: مسافة الكبح عند السرعة الأولية v0 والمسافة المقطوعة أثناء التسارع من التوقف إلى السرعة v0 بنفس التسارع a هي نفسها.

9. أثناء الفرملة الطارئة على الأسفلت الجاف، يكون تسارع السيارة بقيمة مطلقة يساوي 5 م/ث2. ما هي مسافة الكبح للسيارة عند السرعة الأولية: أ) 60 كم/ساعة (السرعة القصوى المسموح بها في المدينة)؛ ب) 120 كم/ساعة؟ أوجد مسافة الكبح عند السرعات المشار إليها أثناء الظروف الجليدية، عندما تكون وحدة التسارع 2 م/ث2. قارن مسافات الكبح التي وجدتها بطول الفصل الدراسي.

10. باستخدام الشكل 6.9 والصيغة التي تعبر عن مساحة شبه المنحرف من خلال ارتفاعه ونصف مجموع القواعد، أثبت أنه بالنسبة للحركة المستقيمة المتسارعة بشكل منتظم:
أ) l = (v2 – v02)/2a إذا زادت سرعة الجسم؛
ب) l = (v02 – v2)/2a إذا انخفضت سرعة الجسم.

11. أثبت أن إسقاطات الإزاحة والسرعة الأولية والنهائية وكذلك التسارع مرتبطة بالعلاقة

سكس = (vx2 – v0x2)/2ax (10)

12. تسير سيارة مسافة 200 m بتسارع من 10 m/s إلى 30 m/s.
أ) ما مدى سرعة تحرك السيارة؟
ب) ما المدة التي استغرقتها السيارة لقطع المسافة المشار إليها؟
ج) ما السرعة المتوسطة للسيارة؟

أسئلة ومهام إضافية

13. يتم فصل السيارة الأخيرة عن قطار متحرك، وبعد ذلك يتحرك القطار بشكل منتظم، وتتحرك السيارة بتسارع مستمر حتى تتوقف تمامًا.
أ) ارسم على أحد الرسوم البيانية السرعة مقابل الزمن لقطار وعربة.
ب) كم مرة تكون المسافة التي قطعتها العربة إلى المحطة أقل من المسافة التي قطعها القطار في نفس الوقت؟

14. بعد مغادرة المحطة، سافر القطار بتسارع منتظم لبعض الوقت، ثم لمدة دقيقة واحدة بسرعة منتظمة 60 كم/ساعة، ثم مرة أخرى بتسارع منتظم حتى توقف في المحطة التالية. كانت وحدات التسارع أثناء التسارع والكبح مختلفة. قطع القطار المسافة بين المحطات في دقيقتين.
أ) ارسم رسمًا بيانيًا تخطيطيًا لإسقاط سرعة القطار كدالة للزمن.
ب) باستخدام هذا الرسم البياني، أوجد المسافة بين المحطات.
ج) ما المسافة التي سيقطعها القطار إذا تسارع في القسم الأول من المسار وتباطأ في القسم الثاني؟ وكم ستكون سرعته القصوى؟

15. يتحرك الجسم بتسارع منتظم على طول المحور x. في اللحظة الأولى كان عند أصل الإحداثيات، وكان إسقاط سرعته يساوي 8 م/ث. وبعد ثانيتين، أصبح إحداثي الجسم 12 مترًا.
أ) ما هو إسقاط عجلة الجسم؟
ب) ارسم رسمًا بيانيًا لـ vx(t).
ج) اكتب صيغة تعبر عن الاعتماد x(t) بوحدات النظام الدولي (SI).
د) هل ستكون سرعة الجسم صفراً؟ إذا كانت الإجابة بنعم، في أي وقت؟
هـ) هل سيزور الجسم النقطة ذات الإحداثيات 12 m مرة ثانية؟ إذا كانت الإجابة بنعم، في أي وقت؟
و) هل سيعود الجسم إلى نقطة البداية؟ إذا كانت الإجابة بنعم، ففي أي وقت، وما هي المسافة المقطوعة؟

16. بعد الدفع، تتدحرج الكرة إلى مستوى مائل، وبعد ذلك تعود إلى نقطة البداية. كانت الكرة على مسافة b من نقطة البداية مرتين على فترات زمنية t1 وt2 بعد الدفع. تحركت الكرة لأعلى ولأسفل على طول المستوى المائل بنفس مقدار التسارع.
أ) قم بتوجيه المحور السيني لأعلى على طول المستوى المائل، وحدد نقطة الأصل عند الموضع الأولي للكرة واكتب صيغة تعبر عن الاعتماد x(t)، والتي تتضمن معامل السرعة الأولية للكرة v0 والمعامل من تسارع الكرة أ.
ب) باستخدام هذه الصيغة وحقيقة أن الكرة كانت على مسافة b من نقطة البداية في الأوقات t1 وt2، قم بإنشاء نظام من معادلتين مع مجهولين v0 وa.
ج) بعد حل نظام المعادلات هذا، عبر عن v0 وa بدلالة b وt1 وt2.
د) عبر عن كامل المسار الذي قطعته الكرة بدلالة b وt1 وt2.
هـ) أوجد القيم العددية لـ v0 وa وl لـ b = 30 cm، t1 = 1s، t2 = 2s.
و) رسم الرسوم البيانية لـ vx(t)، sx(t)، l(t).
ز) باستخدام الرسم البياني sx(t)، أوجد اللحظة التي يصل فيها معامل حركة الكرة إلى الحد الأقصى.

1. السرعة اللحظية

نلاحظ أنه على فترات زمنية متساوية، تتحرك السيارة في مسارات مختلفة، أي أنها تتحرك بشكل غير متساو.

1. باستخدام الشكل 4.2، حدد السرعة اللحظية للسيارة. خذ طول السيارة ليكون 5 م.

يتم عرض قيمة السرعة اللحظية للسيارة بواسطة عداد السرعة (الشكل 4.3).

كيفية العثور على السرعة اللحظية من رسم بياني للإحداثيات مقابل الوقت

يوضح الشكل 4.4 رسمًا بيانيًا للإحداثيات مقابل الزمن لسيارة تتحرك على طريق سريع مستقيم.

نرى أنها تتحرك بشكل غير متساو، لأن الرسم البياني لإحداثياتها مقابل الزمن هو منحنى، وليس قطعة خط مستقيم.

للقيام بذلك، ضع في اعتبارك حركة السيارة خلال فترة زمنية قصيرة يمكن خلالها اعتبار حركتها خطية وموحدة.

يوضح الشكل 4.5 قسم الرسم البياني الذي يهمنا بزيادة قدرها عشرة أضعاف (انظر، على سبيل المثال، المقياس الزمني).

2. ما السرعة اللحظية للسيارة عند اللحظة t = 3 s؟

3. تأمل الشكل 4.6.
أ) عند أي نقطة على الرسم البياني تكون زاوية ميل المماس أكبر؟ الأقل؟
ب) أوجد السرعة اللحظية القصوى والدنيا للسيارة خلال أول 6 ثواني من حركتها.

2. السرعة المتوسطة

تستخدم العديد من المسائل السرعة المتوسطة المرتبطة بالمسافة المقطوعة:

فاف = لتر / ر. (1)

متوسط السرعة على قسمين من حركة المرور

فاف = (ل1 + ل2)/(t1 + t2)، (2)

5. ابحث عن:
أ) المسار الذي سلكته ساشا خلال الحركة بأكملها؛
ب) الوقت الإجمالي لحركة ساشا.
ج) متوسط سرعة ساشا.

7. قارن بين الفترات الزمنية التي قادت خلالها ساشا السيارة ومشىت في الحالتين الأولى والثانية.

دعونا نلخص المواقف التي تمت مناقشتها أعلاه.

دعونا نفكر أولاً في الحالة التي يتحرك فيها الجسم بسرعات مختلفة لفترات زمنية متساوية.

8. أعرب بدلالة v1 وv2 وt:
أ) l1 و l2؛ ب) ل؛ ج) السرعة المتوسطة.

دعونا الآن نفكر في الحالة التي يتحرك فيها الجسم بسرعات مختلفة في النصف الأول والثاني من المسار.

9. أعرب بدلالة v1 وv2 وl:
أ) t1 و t2؛ ب) ر؛ ج) السرعة المتوسطة.

أسئلة ومهام إضافية

قطعت السيارة ثلاثة أرباع المسافة بأكملها بسرعة v1، والجزء المتبقي من الرحلة بسرعة v2.
أ) عبر عن الزمن الكامل لحركة السيارة بدلالة v1 وv2 وكامل المسافة المقطوعة l.
ب) عبر عن السرعة المتوسطة للسيارة بدلالة v1 وv2.
ج) أوجد القيمة العددية للسرعة المتوسطة عند v1 = 80 كم/ساعة، v2 = 100 كم/ساعة.

لإنشاء هذا الرسم البياني، يتم رسم وقت الحركة على محور الإحداثي السيني، ويتم رسم سرعة (إسقاط السرعة) للجسم على المحور الإحداثي. في الحركة المتسارعة بشكل منتظم، تتغير سرعة الجسم بمرور الوقت. إذا تحرك الجسم على طول المحور O، يتم التعبير عن اعتماد سرعته على الوقت من خلال الصيغ
v x = v 0x +a x t و v x =at (لـ v 0x = 0).

يتضح من هذه الصيغ أن اعتماد v x على t هو خطي، وبالتالي فإن الرسم البياني للسرعة هو خط مستقيم. إذا تحرك الجسم بسرعة ابتدائية معينة، فإن هذا الخط المستقيم يتقاطع مع المحور الإحداثي عند النقطة v 0x. إذا كانت السرعة الابتدائية للجسم صفرًا، فإن الرسم البياني للسرعة يمر عبر نقطة الأصل.

تظهر الرسوم البيانية لسرعة الحركة المستقيمة المتسارعة بشكل موحد في الشكل. 9. في هذا الشكل، يتوافق الرسمان البيانيان 1 و2 مع الحركة مع إسقاط إيجابي للتسارع على المحور O x (زيادة السرعة)، والرسم البياني 3 يتوافق مع الحركة مع إسقاط سلبي للتسارع (تناقص السرعة). يتوافق الرسم البياني 2 مع الحركة بدون سرعة أولية، ويتوافق الرسمان البيانيان 1 و3 مع الحركة بسرعة أولية v ox. تعتمد زاوية ميل الرسم البياني على محور الإحداثي على تسارع الجسم. كما يظهر في الشكل. 10 والصيغ (1.10)،

tg=(v x -v 0x)/t=a x .

باستخدام الرسوم البيانية للسرعة، يمكنك تحديد المسافة التي يقطعها الجسم خلال فترة زمنية t. للقيام بذلك، نحدد مساحة شبه المنحرف والمثلث المظلل في الشكل. أحد عشر.

على المقياس المختار، قاعدة واحدة من شبه المنحرف تساوي عدديًا معامل إسقاط السرعة الأولية v 0x للجسم، وقاعدتها الأخرى تساوي معامل إسقاط سرعته v x في الوقت t. ارتفاع شبه المنحرف يساوي عدديًا مدة الفاصل الزمني t. مساحة شبه منحرف

S=(الخامس 0x +الخامسx)/2t.

وباستخدام الصيغة (1.11)، بعد التحويلات نجد أن مساحة شبه المنحرف

S=v 0x t+عند 2 /2.

المسار المغطى بحركة مستقيمة متسارعة بشكل منتظم مع سرعة أولية يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المحددة برسم بياني للسرعة ومحاور الإحداثيات والإحداثيات المقابلة لقيمة سرعة الجسم في الوقت t.

على المقياس المختار، ارتفاع المثلث (الشكل 11، ب) يساوي عدديًا معامل إسقاط سرعة الجسم v x عند الزمن t، وقاعدة المثلث تساوي عدديًا مدة الفاصل الزمني ر. مساحة المثلث S=vxt/2.

باستخدام الصيغة 1.12، بعد التحويلات نجد أن مساحة المثلث

الجزء الأيمنالمساواة الأخيرة هي تعبير يحدد المسار الذي يسلكه الجسم. لذلك، المسار الذي يتم قطعه بحركة مستقيمة متسارعة بشكل منتظم دون سرعة أولية يساوي عدديًا مساحة المثلث المحددة برسم بياني للسرعة والمحور السيني والإحداثي المقابل لسرعة الجسم في الوقت t.