نظرية فيثاغورس وعكسها. مشروع درس الرياضيات "النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس". حل المسائل العملية باستخدام نظرية فيثاغورس

أهداف الدرس:

تعليم عام:

• اختبار المعرفة النظرية للطلاب (خصائص المثلث قائم الزاوية، نظرية فيثاغورس)، والقدرة على استخدامها في حل المشكلات؛
• بعد خلق موقف إشكالي، قم بقيادة الطلاب إلى "اكتشاف" نظرية فيثاغورس العكسية.

النامية:

• تنمية المهارات اللازمة لتطبيق المعرفة النظرية في الممارسة العملية؛
• تطوير القدرة على صياغة الاستنتاجات من الملاحظات؛
• تنمية الذاكرة والانتباه والملاحظة:
• تنمية دافعية التعلم من خلال الرضا العاطفي عن الاكتشافات، من خلال إدخال عناصر تاريخ تطور المفاهيم الرياضية.

التعليمية:

• لتنمية الاهتمام المستدام بالموضوع من خلال دراسة نشاط حياة فيثاغورس؛
• تعزيز المساعدة المتبادلة والتقييم الموضوعي لمعرفة زملاء الدراسة من خلال الاختبار المتبادل.

تنسيق الدرس: درس الفصل.

خطة الدرس:

• تنظيم الوقت.
• التحقق من الواجبات المنزلية. تحديث المعرفة.
• حل المسائل العملية باستخدام نظرية فيثاغورس.
• موضوع جديد.
• التوحيد الأساسي للمعرفة.
• العمل في المنزل.
• ملخص الدرس.
• العمل المستقل (باستخدام بطاقات فردية مع تخمين أقوال فيثاغورس).

خلال الفصول الدراسية.

تنظيم الوقت.

التحقق من الواجبات المنزلية. تحديث المعرفة.

مدرس:ما المهمة التي قمت بها في المنزل؟

طلاب:باستخدام ضلعين محددين من مثلث قائم الزاوية، أوجد الضلع الثالث وقدم الإجابات في شكل جدول. كرر خصائص المعين والمستطيل. كرر ما يسمى الشرط وما هو استنتاج النظرية. إعداد تقارير عن حياة وعمل فيثاغورس. إحضار حبل مربوط عليه 12 عقدة.

مدرس:تحقق من إجابات واجبك المنزلي باستخدام الجدول

(يتم تمييز البيانات باللون الأسود، والإجابات باللون الأحمر).

مدرس: تتم كتابة البيانات على السبورة. إذا كنت تتفق معهم، ضع "+" على الورق بجوار رقم السؤال المقابل، وإذا كنت لا توافق، ضع "-".

البيانات مكتوبة مسبقًا على السبورة.

1. الوتر أطول من الساق.
2. مجموع الزوايا الحادة للمثلث القائم هو 180 0.
3. مساحة المثلث القائم بأرجله أو الخامستحسب بواسطة الصيغة س=أب/2.
4. نظرية فيثاغورس صحيحة بالنسبة لجميع المثلثات المتساوية الساقين.
5. في المثلث القائم، الساق المقابلة للزاوية 0 30 تساوي نصف الوتر.
6. مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر.
7. مربع الساق يساوي الفرق بين مربعي الوتر والساق الثانية.
8. أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع الضلعين الآخرين.

يتم فحص العمل باستخدام التحقق المتبادل. تتم مناقشة التصريحات التي أثارت الجدل.

مفتاح الأسئلة النظرية.

يقوم الطلاب بتقييم بعضهم البعض باستخدام النظام التالي:

8 إجابات صحيحة "5"؛
6-7 الإجابات الصحيحة "4"؛
4-5 الإجابات الصحيحة "3"؛
أقل من 4 إجابات صحيحة "2".

مدرس:ماذا تحدثنا عنه في الدرس الأخير؟

طالب:نبذة عن فيثاغورس ونظريته.

مدرس:اذكر نظرية فيثاغورس. (يقرأ العديد من الطلاب الصياغة، وفي هذا الوقت يثبتها 2-3 طلاب على السبورة، و6 طلاب على المكاتب الأولى على قطع من الورق).

تتم كتابة الصيغ الرياضية على بطاقات على لوحة مغناطيسية. اختر تلك التي تعكس معنى نظرية فيثاغورس، أين أ و الخامس - الساقين، مع - الوتر.

1) ج2 = أ2 + ب2	2) ج = أ + ب	3) أ 2 = من 2 – في 2
4) مع 2 = أ 2 - في 2	5) في 2 = ج 2 - أ 2	6) أ 2 = ج 2 + ج 2

في حين أن الطلاب الذين يثبتون النظرية على السبورة وفي الميدان ليسوا جاهزين، فإن الكلمة تُعطى لأولئك الذين أعدوا تقارير عن حياة فيثاغورس وعمله.

تلاميذ المدارس الذين يعملون في الميدان يوزعون قطعًا من الورق ويستمعون إلى أدلة أولئك الذين عملوا على السبورة.

حل المسائل العملية باستخدام نظرية فيثاغورس.

مدرس:أقدم لك مشاكل عملية باستخدام النظرية قيد الدراسة. سنقوم أولا بزيارة الغابة، بعد العاصفة، ثم في منطقة الضواحي.

المشكلة 1. بعد العاصفة، انكسرت شجرة التنوب. ارتفاع الجزء المتبقي 4.2 م، والمسافة من القاعدة إلى القمة المتساقطة 5.6 م. أوجد ارتفاع شجرة التنوب قبل العاصفة.

المشكلة 2. ارتفاع المنزل 4.4 م وعرض العشب المحيط بالمنزل 1.4 م ما هو طول السلم حتى لا يتعارض مع العشب ويصل إلى سطح المنزل؟

موضوع جديد.

مدرس:(أصوات الموسيقى)أغمض عينيك، لبضع دقائق سوف نغرق في التاريخ. نحن معك في مصر القديمة. هنا في أحواض بناء السفن يقوم المصريون ببناء سفنهم الشهيرة. لكن المساحين يقيسون مساحات الأراضي التي جرفت حدودها بعد فيضان النيل. يبني البناة أهرامات ضخمة لا تزال تذهلنا بروعتها. وفي كل هذه الأنشطة، كان المصريون بحاجة إلى استخدام الزوايا القائمة. لقد عرفوا كيفية بنائها باستخدام حبل مكون من 12 عقدة مربوطة على مسافات متساوية من بعضها البعض. حاول، بالتفكير مثل المصريين القدماء، أن تبني مثلثات قائمة باستخدام حبالك. (لحل هذه المشكلة، يعمل الرجال في مجموعات مكونة من 4 أفراد. وبعد فترة، يعرض أحدهم بناء مثلث على لوح بالقرب من اللوحة).

جوانب المثلث الناتج هي 3 و 4 و 5. إذا قمت بربط عقدة أخرى بين هذه العقد، فستصبح جوانبها 6 و 8 و 10. إذا كان هناك اثنان لكل منهما – 9 و 12 و 15. كل هذه المثلثات الزاوية اليمنى لأن

5 2 = 3 2 + 4 2، 10 2 = 6 2 + 8 2، 15 2 = 9 2 + 12 2، إلخ.

ما هي الخاصية التي يجب أن يمتلكها المثلث حتى يكون قائم الزاوية؟ (يحاول الطلاب صياغة نظرية فيثاغورس العكسية بأنفسهم، وفي النهاية ينجح شخص ما).

وبماذا تختلف هذه النظرية عن نظرية فيثاغورس؟

طالب:لقد تغير الشرط والنتيجة.

مدرس:في المنزل، كررت ما تسمى هذه النظريات. إذن ماذا التقينا الآن؟

طالب: مع نظرية فيثاغورس العكسية.

مدرس: دعونا نكتب موضوع الدرس في دفتر ملاحظاتنا. افتح كتابك المدرسي إلى الصفحة 127، واقرأ هذه العبارة مرة أخرى، ثم دونها في دفترك وحلل البرهان.

(بعد بضع دقائق من العمل المستقل على الكتاب المدرسي، إذا رغبت في ذلك، يقدم أحد الأشخاص الموجودين على السبورة دليلاً على النظرية).

1. ما اسم المثلث الذي أضلاعه 3 و4 و5؟ لماذا؟
2. ما المثلثات تسمى فيثاغورس؟
3. ما المثلثات التي عملت بها في واجبك المنزلي؟ ماذا عن مشاكل شجرة الصنوبر والسلم؟

التوحيد الأساسي للمعرفة

.

تساعد هذه النظرية في حل المسائل التي تحتاج فيها إلى معرفة ما إذا كانت المثلثات قائمة الزاوية أم لا.

مهام:

1) اكتشف ما إذا كان المثلث قائم الزاوية إذا كانت أضلاعه متساوية:

أ) 12،37 و 35؛ ب) 21 و 29 و 24.

2) احسب ارتفاعات المثلث الذي أطوال أضلاعه 6، 8، 10 سم.

العمل في المنزل

.

الصفحة 127: نظرية فيثاغورس العكسية. رقم 498 (أ، ب، ج) رقم 497.

ملخص الدرس.

ما الجديد الذي تعلمته في الدرس؟

كيف تم استخدام نظرية فيثاغورس العكسية في مصر؟

ما هي المشاكل التي يتم استخدامها لحلها؟

ما المثلثات التي قابلتها؟

ما الذي تتذكره ويعجبك أكثر؟

العمل المستقل (يتم باستخدام البطاقات الفردية).

مدرس:في المنزل، كررت خصائص المعين والمستطيل. قم بإدراجها (هناك محادثة مع الفصل). تحدثنا في الدرس الأخير عن كيف كان فيثاغورس شخصية متعددة الاستخدامات. درس الطب والموسيقى وعلم الفلك، وكان أيضاً رياضياً وشارك في الألعاب الأولمبية. وكان فيثاغورس أيضًا فيلسوفًا. لا تزال العديد من أقواله المأثورة ذات صلة بنا اليوم. الآن سوف تقوم بعمل مستقل. يتم تقديم العديد من خيارات الإجابة لكل مهمة، بجوارها يتم كتابة أجزاء من أقوال فيثاغورس المأثورة. مهمتك هي حل جميع المهام، وإنشاء عبارة من الأجزاء المستلمة وكتابتها.

تعد مراجعة موضوعات المناهج الدراسية باستخدام دروس الفيديو طريقة ملائمة لدراسة المادة وإتقانها. يساعد الفيديو على تركيز انتباه الطلاب على المفاهيم النظرية الرئيسية وعدم تفويت التفاصيل المهمة. إذا لزم الأمر، يمكن للطلاب دائمًا الاستماع إلى درس الفيديو مرة أخرى أو الرجوع إلى بعض المواضيع.

سيساعد درس الفيديو هذا للصف الثامن الطلاب على تعلم موضوع جديد في الهندسة.

في الموضوع السابق قمنا بدراسة نظرية فيثاغورس وتحليل برهانها.

هناك أيضًا نظرية تُعرف باسم نظرية فيثاغورس المعكوسة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.

نظرية. يكون المثلث قائم الزاوية إذا حقق المساواة التالية: قيمة أحد أضلاع المثلث المربعة هي نفس مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

دليل. لنفترض أن لدينا مثلث ABC، حيث تكون المساواة AB 2 = CA 2 + CB 2. من الضروري إثبات أن الزاوية C هي 90 درجة. خذ بعين الاعتبار مثلثًا A 1 B 1 C 1 فيه زاوية C 1 تساوي 90 درجة، وضلع C 1 A 1 يساوي CA وضلع B 1 C 1 يساوي BC.

وبتطبيق نظرية فيثاغورس نكتب نسبة أضلاع المثلث أ 1 ج 1 ب 1: أ 1 ب 1 2 = ج 1 أ 1 2 + ج 1 ب 1 2. باستبدال التعبير بأضلاع متساوية، نحصل على A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

ومن شروط النظرية نعلم أن AB 2 = CA 2 + CB 2. ومن ثم يمكننا أن نكتب A 1 B 1 2 = AB 2، ومن هنا ينتج أن A 1 B 1 = AB.

وجدنا أنه في المثلثين ABC و A 1 B 1 C 1 ثلاثة أضلاع متساوية: A 1 C 1 = AC، B 1 C 1 = BC، A 1 B 1 = AB. إذن، هذين المثلثين متساويان. ويترتب على مساواة المثلثات أن الزاوية C تساوي الزاوية C 1 وبالتالي تساوي 90 درجة. لقد حددنا أن المثلث ABC قائم الزاوية، وقياس زاويته C يساوي 90 درجة. لقد أثبتنا هذه النظرية.

بعد ذلك، يعطي المؤلف مثالا. لنفترض أننا حصلنا على مثلث تعسفي. أحجام جوانبها معروفة: 5 و 4 و 3 وحدات. دعونا نتحقق من عبارة النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس: 5 2 = 3 2 + 4 2. العبارة صحيحة، مما يعني أن هذا المثلث قائم الزاوية.

في الأمثلة التالية، المثلثات تكون أيضًا مثلثات قائمة إذا كانت أضلاعها متساوية:

5، 12، 13 وحدة؛ المساواة 13 2 = 5 2 + 12 2 صحيحة؛

8، 15، 17 وحدة؛ المساواة 17 2 = 8 2 + 15 2 صحيحة؛

7، 24، 25 وحدة؛ المساواة 25 2 = 7 2 + 24 2 صحيحة.

مفهوم مثلث فيثاغورس معروف. هذا مثلث قائم الزاوية أضلاعه تساوي أعدادًا صحيحة. إذا تم الإشارة إلى أضلاع مثلث فيثاغورس بالرمزين a وc، والوتر بالرمز b، فيمكن كتابة قيم أضلاع هذا المثلث باستخدام الصيغ التالية:

ب = ك س (م 2 - ن 2)

ج = ك س (م 2 + ن 2)

حيث m، n، k هي أي أعداد طبيعية، وقيمة m أكبر من قيمة n.

حقيقة مثيرة للاهتمام: المثلث ذو الجوانب 5 و 4 و 3 يسمى أيضًا المثلث المصري؛ وكان هذا المثلث معروفًا في مصر القديمة.

في هذا الدرس الفيديوي تعلمنا نظرية العكس لنظرية فيثاغورس. لقد فحصنا الأدلة بالتفصيل. وتعلم الطلاب أيضًا المثلثات التي تسمى مثلثات فيثاغورس.

يمكن للطلاب التعرف بسهولة على موضوع "النظرية العكسية لفيثاغورس" بمفردهم بمساعدة درس الفيديو هذا.

وبحسب فان دير وايردن، فمن المحتمل جدًا أن تكون النسبة بشكل عام معروفة في بابل حوالي القرن الثامن عشر قبل الميلاد. ه.

حوالي 400 قبل الميلاد. قبل الميلاد، وفقا لبروكلس، أعطى أفلاطون طريقة للعثور على ثلاثة توائم فيثاغورس، والجمع بين الجبر والهندسة. حوالي 300 قبل الميلاد. ه. ظهر أقدم دليل بديهي لنظرية فيثاغورس في كتاب العناصر لإقليدس.

تركيبات

تحتوي الصيغة الأساسية على عمليات جبرية - في مثلث قائم الزاوية تكون أطوال أرجله متساوية أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b)، وطول الوتر هو ج (\displaystyle c)، تتحقق العلاقة التالية:

.

من الممكن أيضًا صياغة هندسية مكافئة، باللجوء إلى مفهوم مساحة الشكل: في المثلث القائم الزاوية، تكون مساحة المربع المبني على الوتر مساوية لمجموع مساحات المربعات المبنية على الوتر. الساقين. وقد تمت صياغة النظرية بهذا الشكل في كتاب العناصر لإقليدس.

نظرية فيثاغورس العكسية- عبارة عن مستطيل أي مثلث ترتبط أطوال أضلاعه بالعلاقة أ 2 + ب 2 = ج 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). ونتيجة لذلك، لكل ثلاثية من الأرقام الإيجابية أ (\displaystyle أ), ب (\displaystyle b)و ج (\displaystyle c)، مثل ذلك أ 2 + ب 2 = ج 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))، يوجد مثلث قائم بأرجل أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b)والوتر ج (\displaystyle c).

دليل

هناك ما لا يقل عن 400 دليل على نظرية فيثاغورس مسجلة في الأدبيات العلمية، والتي يتم تفسيرها من خلال أهميتها الأساسية للهندسة والطبيعة الأولية للنتيجة. الاتجاهات الرئيسية للأدلة هي: الاستخدام الجبري للعلاقات بين عناصر المثلث (على سبيل المثال، طريقة التشابه الشائعة)، وطريقة المناطق، وهناك أيضًا العديد من البراهين الغريبة (على سبيل المثال، استخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات مماثلة

يهدف الدليل الكلاسيكي لإقليدس إلى إثبات تساوي المساحات بين المستطيلات المتكونة عن طريق تشريح المربع فوق الوتر بارتفاع الزاوية القائمة مع المربعات فوق الأرجل.

البناء المستخدم للإثبات هو كما يلي: للمثلث القائم الزاوية القائمة ج (\displaystyle C)، مربعات فوق الساقين ومربعة فوق الوتر أ ب ك (\displaystyle ABIK)يتم بناء الارتفاع الفصلوالشعاع الذي يستمر فيه س (\displaystyle s), تقسيم المربع فوق الوتر إلى مستطيلين و . يهدف الدليل إلى إثبات تساوي مساحات المستطيل أ ح ج ك (\displaystyle AHJK)مع مربع فوق الساق أ ج (\displaystyle AC); يتم تحديد تساوي مساحات المستطيل الثاني الذي يشكل المربع فوق الوتر، والمستطيل فوق الضلع الآخر بطريقة مماثلة.

تساوي مساحات المستطيل أ ح ج ك (\displaystyle AHJK)و أ ج إ د (\displaystyle ACED)يتم تأسيسه من خلال تطابق المثلثات △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK)و △ A B D (\displaystyle \triangle ABD)، مساحة كل منها تساوي نصف مساحة المربعين أ ح ج ك (\displaystyle AHJK)و أ ج إ د (\displaystyle ACED)وعليه فيما يتعلق بالخاصية التالية: مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل إذا كان للأشكال ضلع مشترك، وارتفاع المثلث إلى الضلع المشترك هو الضلع الآخر من المستطيل. تطابق المثلثات يأتي من تساوي الضلعين (أضلاع المربعات) والزاوية بينهما (المكونة من زاوية قائمة وزاوية عند أ (\displaystyle A).

وبذلك يثبت البرهان أن مساحة المربع فوق الوتر مكونة من مستطيلات أ ح ج ك (\displaystyle AHJK)و ب ح ج ط (\displaystyle بهجي)، يساوي مجموع مساحات المربعات فوق الساقين.

إثبات ليوناردو دافنشي

تشتمل طريقة المنطقة أيضًا على دليل وجده ليوناردو دافنشي. دعونا نعطي مثلثًا قائمًا △ ABC (\displaystyle \triangle ABC)مع الزاوية اليمنى ج (\displaystyle C)والمربعات أ ج إ د (\displaystyle ACED), ب ج ف ج (\displaystyle BCFG)و أ ب ح ي (\displaystyle ABHJ)(انظر الصورة). وفي هذا برهان على الجانب هـج (\displaystyle هـج)أما الأخير فيتكون منه مثلث متطابق في ضلعه الخارجي △ ABC (\displaystyle \triangle ABC)علاوة على ذلك، ينعكس بالنسبة إلى الوتر وبالنسبة إلى الارتفاع (أي، J I = B C (\displaystyle JI=BC)و ح أنا = أ ج (\displaystyle HI=AC)). مستقيم ج أنا (\displaystyle CI)يقسم المربع المبني على الوتر إلى قسمين متساويين، مثل المثلثات △ ABC (\displaystyle \triangle ABC)و △ J H I (\displaystyle \triangle JHI)متساوية في البناء يثبت البرهان تطابق الأشكال الرباعية C A J I (\displaystyle CAJI)و د أ ب ج (\displaystyle DABG)، حيث تبين أن مساحة كل منها تساوي، من ناحية، مجموع نصف مساحات المربعات الموجودة على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي، من ناحية أخرى، نصف مساحة مساحة المربع على الوتر بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. في المجمل، نصف مجموع مساحات المربعات فوق الساقين يساوي نصف مساحة المربع فوق الوتر، وهو ما يعادل الصيغة الهندسية لنظرية فيثاغورس.

الإثبات بالطريقة المتناهية الصغر

هناك العديد من البراهين باستخدام تقنية المعادلات التفاضلية. على وجه الخصوص، يُنسب إلى هاردي إثبات باستخدام زيادات متناهية الصغر من الأرجل أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b)والوتر ج (\displaystyle c)، والحفاظ على التشابه مع المستطيل الأصلي، أي ضمان تحقيق العلاقات التفاضلية التالية:

د أ د ج = ج أ (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), د ب د ج = ج ب (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

وباستخدام طريقة فصل المتغيرات يتم اشتقاق المعادلة التفاضلية منها ج د ج = أ د أ + ب د ب (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db)، الذي التكامل يعطي العلاقة ج 2 = أ 2 + ب 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const)) ). تطبيق الشروط الأولية أ = ب = ج = 0 (\displaystyle a=b=c=0)يعرف الثابت بأنه 0، مما يؤدي إلى بيان النظرية.

ويظهر الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية بسبب التناسب الخطي بين أضلاع المثلث والزيادات، بينما يرتبط المجموع بمساهمات مستقلة من زيادة الأضلاع المختلفة.

الاختلافات والتعميمات

أشكال هندسية متشابهة من ثلاث جهات

تم إعطاء تعميم هندسي مهم لنظرية فيثاغورس بواسطة إقليدس في العناصر، حيث انتقل من مساحات المربعات على الجوانب إلى مناطق الأشكال الهندسية المتشابهة التعسفية: مجموع مساحات هذه الأشكال المبنية على الأرجل سيكون مساويًا لـ مساحة الشكل المماثل المبني على الوتر.

الفكرة الرئيسية لهذا التعميم هي أن مساحة هذا الشكل الهندسي تتناسب مع مربع أي من أبعاده الخطية، وعلى وجه الخصوص، مع مربع طول أي ضلع. لذلك، لشخصيات مماثلة مع المناطق أ (\displaystyle A), ب (\displaystyle B)و ج (\displaystyle C)، مبني على أرجل ذات أطوال أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b)والوتر ج (\displaystyle c)وبناء على ذلك فإن العلاقة التالية:

أ أ 2 = ب ب 2 = ج ج 2 ⇒ أ + ب = أ 2 ج 2 C + ب 2 ج 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

منذ وفقا لنظرية فيثاغورس أ 2 + ب 2 = ج 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))، ثم انتهى.

بالإضافة إلى ذلك، إذا كان من الممكن إثبات دون اللجوء إلى نظرية فيثاغورس أن مساحات ثلاثة أشكال هندسية متشابهة على جوانب المثلث القائم تحقق العلاقة أ + ب = ج (\displaystyle A+B=C)، ثم باستخدام عكس برهان تعميم إقليدس، يمكن للمرء استخلاص برهان نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، إذا قمنا على الوتر ببناء مثلث قائم الزاوية متطابق مع المثلث الأولي ذو المساحة ج (\displaystyle C)وعلى الجانبين - مثلثان متشابهان قائما الزاوية بمساحة أ (\displaystyle A)و ب (\displaystyle B)، فتبين أن المثلثات الموجودة على الجوانب تتشكل نتيجة قسمة المثلث الأولي على ارتفاعه، أي أن مجموع المساحتين الأصغر للمثلثين يساوي مساحة الثلث، وبالتالي أ + ب = ج (\displaystyle A+B=C)وبتطبيق العلاقة على الأشكال المتشابهة، يتم اشتقاق نظرية فيثاغورس.

نظرية جيب التمام

نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام الأكثر عمومية، والتي تربط أطوال الجوانب في مثلث عشوائي:

أ 2 + ب 2 − 2 أ ب كوس ⁡ θ = ج 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

أين هي الزاوية بين الجانبين أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b). إذا كانت الزاوية 90 درجة، إذن cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0)، ويتم تبسيط الصيغة إلى نظرية فيثاغورس المعتادة.

المثلث الحر

هناك تعميم لنظرية فيثاغورس على المثلث الاعتباطي، الذي يعمل فقط على نسبة أطوال الجوانب، ويعتقد أنه تم تأسيسها لأول مرة من قبل عالم الفلك الصابئي ثابت بن قرة. فيه، بالنسبة لمثلث تعسفي ذو جوانب، يناسبه مثلث متساوي الساقين مع قاعدة على الجانب ج (\displaystyle c)، الرأس يوافق رأس المثلث الأصلي المقابل للضلع ج (\displaystyle c)والزوايا عند القاعدة تساوي الزاوية θ (\displaystyle \theta )، الجانب المعاكس ج (\displaystyle c). ونتيجة لذلك، يتم تشكيل مثلثين، على غرار الأصلي: الأول - مع الجانبين أ (\displaystyle أ)، الجانب الأبعد منه من المثلث متساوي الساقين المنقوش، و ص (\displaystyle r)- أجزاء جانبية ج (\displaystyle c); والثاني - بشكل متناظر عليه من الجانب ب (\displaystyle b)مع الجانب س (\displaystyle s)- الجزء المقابل من الجانب ج (\displaystyle c). وبالنتيجة تتحقق العلاقة التالية:

أ 2 + ب 2 = ج (ص + ق) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

تتحلل في نظرية فيثاغورس في θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). العلاقة هي نتيجة لتشابه المثلثات المشكلة:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

نظرية بابوس على المناطق

الهندسة غير الإقليدية

نظرية فيثاغورس مشتقة من بديهيات الهندسة الإقليدية ولا تصلح للهندسة غير الإقليدية - إن تحقيق نظرية فيثاغورس يعادل مسلمة التوازي الإقليدية.

في الهندسة غير الإقليدية، فإن العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية ستكون بالضرورة في شكل مختلف عن نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، في الهندسة الكروية، جميع الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية، والتي تحدد ثماني مساحة الوحدة، لها طول π / 2 (\displaystyle \pi /2)، وهو ما يتناقض مع نظرية فيثاغورس.

علاوة على ذلك، فإن نظرية فيثاغورس تكون صالحة في الهندسة الزائدية والإهليلجية إذا تم استبدال شرط أن يكون المثلث مستطيلًا بشرط أن مجموع زاويتين للمثلث يجب أن يكون مساويًا للثالثة.

الهندسة الكروية

لأي مثلث قائم الزاوية على كرة نصف قطرها ص (\displaystyle R)(على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية في المثلث قائمة) مع الجوانب أ، ب، ج (\displaystyle a,b,c)العلاقة بين الطرفين هي :

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (أ)(R))\يمين)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\يمين)).

يمكن اشتقاق هذه المساواة كحالة خاصة من نظرية جيب التمام الكروية، والتي تنطبق على جميع المثلثات الكروية:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ الخطيئة \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

أين ch (\displaystyle \operatorname (ch))- جيب التمام الزائدي. هذه الصيغة هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام الزائدي، وهي صالحة لجميع المثلثات:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (ش) أ\cdot \اسم المشغل (sh) ب\cdot \cos \gamma ),

أين γ (\displaystyle \gamma )- الزاوية التي رأسها مقابل للجانب ج (\displaystyle c).

استخدام متسلسلة تايلور لجيب التمام الزائدي ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) يمكن إثبات أنه إذا انخفض المثلث الزائدي (أي متى أ (\displaystyle أ), ب (\displaystyle b)و ج (\displaystyle c)تميل إلى الصفر)، فإن العلاقات الزائدية في المثلث القائم الزاوية تقترب من علاقة نظرية فيثاغورس الكلاسيكية.

طلب

المسافة في الأنظمة المستطيلة ثنائية الأبعاد

أهم تطبيق لنظرية فيثاغورس هو تحديد المسافة بين نقطتين في نظام إحداثيات مستطيل: المسافة س (\displaystyle s)بين النقاط ذات الإحداثيات (أ، ب) (\displaystyle (a,b))و (ج , د) (\displaystyle (c,d))يساوي:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

بالنسبة للأعداد المركبة، تعطي نظرية فيثاغورس صيغة طبيعية لإيجاد معامل العدد المركب - ل ض = س + ص أنا (\displaystyle z=x+yi)فهو يساوي الطول

أهداف الدرس:

التعليمية: صياغة وإثبات نظرية فيثاغورس وعكس نظرية فيثاغورس. إظهار أهميتها التاريخية والعملية.

التنموية: تنمية الانتباه والذاكرة والتفكير المنطقي لدى الطلاب والقدرة على التفكير والمقارنة واستخلاص النتائج.

التعليمية: تنمية الاهتمام والحب للموضوع والدقة والقدرة على الاستماع إلى الرفاق والمعلمين.

المعدات: صورة فيثاغورس، ملصقات بمهام الدمج، كتاب "الهندسة" للصفوف 7-9 (I.F. Sharygin).

خطة الدرس:

I. اللحظة التنظيمية – دقيقة واحدة.

ثانيا. التحقق من الواجبات المنزلية – 7 دقائق.

ثالثا. خطاب تمهيدي للمعلم، الخلفية التاريخية – 4-5 دقائق.

رابعا. صياغة وإثبات نظرية فيثاغورس – 7 دقائق.

V. صياغة وإثبات نظرية العكس لنظرية فيثاغورس – 5 دقائق.

توحيد المواد الجديدة:

أ) عن طريق الفم – 5-6 دقائق.
ب) مكتوب – 7-10 دقائق.

سابعا. الواجب المنزلي – 1 دقيقة.

ثامنا. تلخيص الدرس – 3 دقائق.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

ثانيا. التحقق من الواجبات المنزلية.

البند 7.1 رقم 3 (على السبورة حسب الرسم النهائي).

حالة: ارتفاع المثلث القائم يقسم الوتر إلى قطع بطول 1 و2. أوجد أرجل هذا المثلث.

قبل الميلاد = أ؛ كاليفورنيا = ب؛ بكالوريوس = ج؛ دينار بحريني = 1 ; دا = ب 1 ; القرص المضغوط = hC

سؤال إضافي: اكتب النسب في المثلث القائم.

القسم 7.1، رقم 5. اقطع المثلث القائم إلى ثلاثة مثلثات متشابهة.

يشرح.

ASN ~ ABC ~ SVN

(لفت انتباه الطلاب إلى صحة كتابة الرءوس المتناظرة للمثلثات المتشابهة)

ثالثا. كلمة تمهيدية للمعلم، الخلفية التاريخية.

الحقيقة ستبقى أبدية بمجرد أن يتعرف عليها الضعيف!

والآن أصبحت نظرية فيثاغورس صحيحة كما في عصره البعيد.

وليس من قبيل الصدفة أنني بدأت الدرس بكلمات الروائي الألماني شاميسو. درسنا اليوم هو عن نظرية فيثاغورس. دعونا نكتب موضوع الدرس.

أمامك صورة لفيثاغورس العظيم. ولد عام 576 قبل الميلاد. بعد أن عاش 80 عامًا، توفي عام 496 قبل الميلاد. يُعرف بأنه فيلسوف ومعلم يوناني قديم. كان ابن التاجر منسارخوس، الذي كان يصطحبه في كثير من الأحيان في رحلاته، وبفضل ذلك طور الصبي فضوله ورغبته في تعلم أشياء جديدة. فيثاغورس هو لقب أطلق عليه لفصاحته ("فيثاغورس" تعني "المقنع بالكلام"). هو نفسه لم يكتب أي شيء. تم تسجيل جميع أفكاره من قبل طلابه. ونتيجة للمحاضرة الأولى التي ألقاها، اكتسب فيثاغورس 2000 طالب، شكلوا مع زوجاتهم وأطفالهم مدرسة ضخمة وأنشأوا دولة تسمى "اليونان الكبرى"، والتي قامت على أساس قوانين وقواعد فيثاغورس المبجلة. كالوصايا الإلهية. وكان أول من أطلق على استدلاله حول معنى الحياة فلسفة (فلسفة). كان عرضة للغموض والسلوك التوضيحي. في أحد الأيام، اختبأ فيثاغورس تحت الأرض، وتعلم من والدته كل ما كان يحدث. وبعد ذلك، ذابل مثل الهيكل العظمي، أعلن في اجتماع عام أنه ذهب إلى الجحيم، وأظهر معرفة مذهلة بالأحداث الأرضية. لهذا، تعرف عليه السكان الذين تم لمسهم كإله. لم يبكي فيثاغورس أبدًا ولم يكن متاحًا بشكل عام للعواطف والإثارة. كان يعتقد أنه جاء من نسل أفضل من نسل الإنسان. إن حياة فيثاغورس بأكملها هي أسطورة وصلت إلى عصرنا وأخبرتنا عن الرجل الأكثر موهبة في العالم القديم.

رابعا. صياغة وإثبات نظرية فيثاغورس.

أنت تعرف صياغة نظرية فيثاغورس من مقرر الجبر الخاص بك. دعونا نتذكرها.

في المثلث القائم الزاوية، يساوي مربع الوتر مجموع مربعي الساقين.

ومع ذلك، كانت هذه النظرية معروفة قبل فيثاغورس بسنوات عديدة. قبل فيثاغورس بـ 1500 سنة، عرف المصريون القدماء أن المثلث الذي أضلاعه 3 و4 و5 هو مستطيل، واستخدموا هذه الخاصية في بناء الزوايا القائمة عند تخطيط قطع الأراضي وإنشاء المباني. في أقدم الأعمال الرياضية والفلكية الصينية التي وصلت إلينا، "Zhiu-bi"، والتي كتبت قبل 600 عام من فيثاغورس، من بين المقترحات الأخرى المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية، تم تضمين نظرية فيثاغورس. وحتى في وقت سابق، كانت هذه النظرية معروفة لدى الهندوس. وهكذا، فإن فيثاغورس لم يكتشف خاصية المثلث القائم الزاوية هذه، بل ربما كان أول من عممها وأثبتها، ونقلها من مجال الممارسة إلى مجال العلم.

منذ العصور القديمة، وجد علماء الرياضيات المزيد والمزيد من الأدلة على نظرية فيثاغورس. أكثر من مائة ونصف منهم معروفون. لنتذكر البرهان الجبري لنظرية فيثاغورس المعروف لنا من مقرر الجبر. ("الرياضيات. الجبر. الوظائف. تحليل البيانات" G.V. Dorofeev، M.، "Drofa"، 2000).

اطلب من الطلاب أن يتذكروا إثبات الرسم ويكتبوه على السبورة.

(أ + ب) 2 = 4 1/2 أ * ب + ج 2 ب أ

أ 2 + 2 أ * ب + ب 2 = 2 أ * ب + ج 2

أ 2 + ب 2 = ج 2 أ أ ب

الهندوس القدماء، الذين يعود إليهم هذا المنطق، لم يكتبوه عادة، بل أرفقوا الرسم بكلمة واحدة فقط: "انظر".

ولننظر في عرض حديث إلى أحد البراهين التي تخص فيثاغورس. في بداية الدرس، تذكرنا نظرية العلاقات في المثلث القائم الزاوية:

ح 2 = أ 1* ب 1 أ 2 = أ 1* ج ب 2 = ب 1* ج

دعنا نضيف الحدين الأخيرين من المساواة على حدة:

ب 2 + أ 2 = ب 1* ج + أ 1* ج = (ب 1 + أ 1) * ج 1 = ج * ج = ج 2 ; أ 2 + ب 2 = ج 2

وعلى الرغم من البساطة الواضحة لهذا الدليل، فهو أبعد ما يكون عن البساطة. بعد كل شيء، لهذا كان من الضروري رسم الارتفاع في مثلث قائم والنظر في مثلثات مماثلة. يرجى كتابة هذه الأدلة في دفتر الملاحظات الخاص بك.

V. صياغة وإثبات نظرية العكس مع نظرية فيثاغورس.

ما هي النظرية التي تسمى عكس هذه النظرية؟ (...إذا انقلب الشرط والنتيجة).

دعونا نحاول الآن صياغة نظرية العكس لنظرية فيثاغورس.

إذا كانت المساواة في مثلث أضلاعه أ، ب، ج 2 = أ 2 + ب 2، فإن هذا المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة مقابلة للضلع ج.

(إثبات نظرية العكس على الملصق)

ABC، قبل الميلاد = أ،

أ = ب، ب = ج.

أ 2 + ب 2 = ج 2

يثبت:

ABC - مستطيلة،

دليل:

خذ بعين الاعتبار المثلث القائم أ 1 ب 1 ج 1،

حيث C 1 = 90°، A 1 C 1 = أ، A 1 C 1 = ب.

ومن ثم، وفقًا لنظرية فيثاغورس، ب 1 أ 1 2 = أ 2 + ب 2 = ج 2.

أي أن B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC من ثلاث جهات ABC مستطيل

ج = 90 درجة، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

السادس. توحيد المادة المدروسة (شفهياً).

1. بناءً على ملصق يحتوي على رسومات جاهزة.

الشكل 1: ابحث عن AD إذا كانت ВD = 8، ВDA = 30°.

الشكل 2: ابحث عن القرص المضغوط إذا كانت BE = 5، BAE = 45°.

الشكل 3: ابحث عن BD إذا كان BC = 17، AD = 16.

2. يكون المثلث مستطيلاً إذا تم التعبير عن أضلاعه بالأرقام:

5 2 + 6 2 ؟ 7 2 (لا)	9 2 + 12 2 = 15 2 (نعم)	15 2 + 20 2 = 25 2 (نعم)

ما هي ثلاثة توائم الأرقام في الحالتين الأخيرتين تسمى؟ (فيثاغورس).

السادس. حل المشكلات (كتابياً).

رقم 9. جانب المثلث متساوي الأضلاع يساوي أ. أوجد ارتفاع هذا المثلث، ونصف قطر الدائرة المحيطة، ونصف قطر الدائرة المحيطة.

رقم 14. أثبت أن نصف قطر الدائرة المحددة في المثلث القائم يساوي الوسيط المرسوم على الوتر ويساوي نصف الوتر.

سابعا. العمل في المنزل.

الفقرة 7.1، الصفحات 175-177، افحص النظرية 7.4 (نظرية فيثاغورس المعممة)، رقم 1 (شفهي)، رقم 2، رقم 4.

ثامنا. ملخص الدرس.

ما الجديد الذي تعلمته في الفصل اليوم؟ …………

كان فيثاغورس فيلسوفًا في المقام الأول. الآن أريد أن أقرأ لك بعضًا من أقواله، التي لا تزال ذات صلة في عصرنا بالنسبة لي ولكم.

• لا تثيروا الغبار على طريق الحياة.
• افعل فقط ما لن يزعجك لاحقًا ولن يجبرك على التوبة.
• لا تفعل أبدًا ما لا تعرفه، بل تعلم كل ما تحتاج إلى معرفته، وبعد ذلك ستعيش حياة هادئة.
• لا تغمض عينيك عندما تريد النوم، دون أن تقوم بفرز كل تصرفاتك في اليوم الماضي.
• تعلم أن تعيش ببساطة وبدون ترف.

تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي:

في المثلث القائم الزاوية مجموع مربعي الساقين يساوي مربع الوتر:

أ 2 + ب 2 = ج 2,

• أو ب- الأرجل تشكل زاوية قائمة.
• مع- وتر المثلث.

صيغ نظرية فيثاغورس

• أ = \sqrt(ج^(2) - ب^(2))
• ب = \sqrt (ج^(2) - أ^(2))
• ج = \sqrt (أ^(2) + ب^(2))

إثبات نظرية فيثاغورس

يتم حساب مساحة المثلث الأيمن باستخدام الصيغة:

S = \frac(1)(2)ab

لحساب مساحة مثلث عشوائي، صيغة المساحة هي:

• ص- نصف محيط. ع=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• ص- نصف قطر الدائرة المنقوشة. للمستطيل r=\frac(1)(2)(a+b-c).

ثم نساوي الأطراف اليمنى لكلتا الصيغتين لمساحة المثلث:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 أب = (أ+ب+ج) (أ+ب-ج)

2 أب = \يسار((أ+ب)^(2) -ج^(2) \يمين)

2 أب = أ^(2)+2أ+ب^(2)-ج^(2)

0=أ^(2)+ب^(2)-ج^(2)

ج^(2) = أ^(2)+ب^(2)

نظرية فيثاغورس العكسية:

إذا كان مربع أحد ضلعي المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فإن المثلث قائم الزاوية. وهذا هو، لأي ثلاثية من الأرقام الإيجابية أ، بو ج، مثل ذلك

أ 2 + ب 2 = ج 2,

هناك مثلث قائم بأرجل أو بوالوتر ج.

نظرية فيثاغورس- إحدى النظريات الأساسية في الهندسة الإقليدية، والتي تحدد العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. وقد أثبت ذلك عالم الرياضيات والفيلسوف فيثاغورس.

معنى النظريةالنقطة المهمة هي أنه يمكن استخدامها لإثبات النظريات الأخرى وحل المشكلات.

مواد اضافية: