Ertaklar

Grafik ostidagi maydon antiderivativ hisoblanadi. Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin. y=f(x) yoki x=g(y) chiziqlari bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblash misollari

Aniq integralning geometrik ma'nosini tahlil qilishga bag'ishlangan oldingi bo'limda biz egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblash uchun bir qator formulalarni oldik:

S (G) = ∫ a b f (x) d x uzluksiz va manfiy bo'lmagan funksiya uchun [ a oraliqda y = f (x) ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x uzluksiz va musbat bo'lmagan funksiya uchun y = f (x) [ a oraliqda; b].

Ushbu formulalar hal qilish uchun qo'llaniladi oddiy vazifalar. Aslida, biz ko'pincha murakkabroq raqamlar bilan ishlashga majbur bo'lamiz. Shu munosabat bilan biz ushbu bo'limni aniq shakldagi funktsiyalar bilan cheklangan raqamlar maydonini hisoblash algoritmlarini tahlil qilishga bag'ishlaymiz, ya'ni. y = f(x) yoki x = g(y) kabi.

Teorema

y = f 1 (x) va y = f 2 (x) funksiyalar [ a oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo lsin; b ] , va [ a dan har qanday x qiymat uchun f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b]. Keyin G rasmining maydonini hisoblash formulasi, chiziqlar bilan cheklangan x = a, x = b, y = f 1 (x) va y = f 2 (x) S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ko'rinishga ega bo'ladi.

Xuddi shunday formula y = c, y = d, x = g 1 (y) va x = g 2 (y) chiziqlari bilan chegaralangan figuraning maydoni uchun ham amal qiladi: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Isbot

Keling, formula to'g'ri bo'lgan uchta holatni ko'rib chiqaylik.

Birinchi holda, maydonning qo'shimchalilik xususiyatini hisobga olgan holda, asl G figurasi va G 1 egri chiziqli trapezoidning maydonlari yig'indisi G 2 rasmining maydoniga teng. Bu shuni anglatadiki

Demak, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Biz oxirgi o'tishni aniq integralning uchinchi xususiyatidan foydalanib bajarishimiz mumkin.

Ikkinchi holatda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

Grafik rasm quyidagicha ko'rinadi:

Agar ikkala funksiya ham nomusbat bo‘lsa, biz quyidagilarni olamiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafik rasm quyidagicha ko'rinadi:

y = f 1 (x) va y = f 2 (x) O x o'qini kesishganda umumiy holatni ko'rib chiqishga o'tamiz.

Kesishish nuqtalarini x i, i = 1, 2, deb belgilaymiz. . . , n - 1. Bu nuqtalar segmentni [a; b ] n qismga x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, bu yerda a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Demak,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Biz oxirgi o'tishni aniq integralning beshinchi xususiyatidan foydalanib amalga oshirishimiz mumkin.

Keling, grafikdagi umumiy holatni ko'rsatamiz.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formulasini isbotlangan deb hisoblash mumkin.

Endi y = f (x) va x = g (y) chiziqlari bilan chegaralangan raqamlar maydonini hisoblash misollarini tahlil qilishga o'tamiz.

Biz har qanday misolni ko'rib chiqishni grafik qurishdan boshlaymiz. Rasm bizga vakillik qilishga imkon beradi murakkab raqamlar oddiyroq raqamlar birlashmasi sifatida. Agar ular bo'yicha grafik va raqamlarni qurish siz uchun qiyin bo'lsa, siz funktsiyani o'rganayotganda asosiy elementar funktsiyalar, funktsiyalar grafiklarini geometrik o'zgartirish, shuningdek grafiklarni qurish bo'limini o'rganishingiz mumkin.

1-misol

y = - x 2 + 6 x - 5 parabola va y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini aniqlash kerak.

Yechim

Grafikdagi chiziqlarni Dekart koordinata tizimida chizamiz.

Segmentda [1; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolaning grafigi y = - 1 3 x - 1 2 to'g'ri chiziq ustida joylashgan. Shu munosabat bilan javobni olish uchun biz ilgari olingan formuladan, shuningdek, Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integralni hisoblash usulidan foydalanamiz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Javob: S(G) = 13

Keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.

2-misol

y = x + 2, y = x, x = 7 chiziqlari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.

Yechim

Bunday holda, bizda x o'qiga parallel joylashgan faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud. Bu x = 7. Bu bizdan integratsiyaning ikkinchi chegarasini o'zimiz topishimizni talab qiladi.

Grafik tuzamiz va uning ustiga masala bayonida berilgan chiziqlarni chizamiz.

Grafikni ko'z oldimizda turgan holda, biz integrallashning pastki chegarasi y = x to'g'ri chiziq grafigi va y = x + 2 yarim parabolaning kesishish nuqtasining abssissasi bo'lishini osongina aniqlashimiz mumkin. Abtsissani topish uchun tengliklardan foydalanamiz:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ma’lum bo‘lishicha, kesishish nuqtasining abssissasi x = 2 ga teng.

Chizmadagi umumiy misolda y = x + 2, y = x chiziqlar (2; 2) nuqtada kesishishiga e'tiboringizni qaratamiz, shuning uchun bunday batafsil hisob-kitoblar keraksiz ko'rinishi mumkin. Biz bu erda bunday batafsil yechimni taqdim etdik, chunki murakkabroq holatlarda yechim unchalik aniq bo'lmasligi mumkin. Bu shuni anglatadiki, chiziqlar kesishish koordinatalarini har doim analitik tarzda hisoblash yaxshiroqdir.

[2] oraliqda; 7] y = x funksiya grafigi y = x + 2 funksiya grafigidan yuqorida joylashgan. Maydonni hisoblash uchun formulani qo'llaymiz:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Javob: S (G) = 59 6

3-misol

y = 1 x va y = - x 2 + 4 x - 2 funktsiyalari grafiklari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.

Yechim

Grafikdagi chiziqlarni chizamiz.

Keling, integratsiya chegaralarini aniqlaylik. Buning uchun 1 x va - x 2 + 4 x - 2 ifodalarni tenglashtirib, chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini aniqlaymiz. Agar x nol bo'lmasa, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tengligi uchinchi darajali tenglama - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 koeffitsientlari bilan ekvivalent bo'ladi. Bunday tenglamalarni yechish algoritmi haqidagi xotirangizni yangilash uchun “Kubik tenglamalarni yechish” bo‘limiga murojaat qilishimiz mumkin.

Bu tenglamaning ildizi x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifodasini x - 1 binomiga bo'lib, quyidagilarga erishamiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Qolgan ildizlarni x 2 - 3 x - 1 = 0 tenglamadan topishimiz mumkin:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Biz x ∈ 1 oralig'ini topdik; 3 + 13 2, unda G raqami ko'kning tepasida va qizil chiziq ostida joylashgan. Bu bizga rasmning maydonini aniqlashga yordam beradi:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Javob: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4-misol

y = x 3, y = - log 2 x + 1 egri chiziqlari va abscissa o'qi bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.

Yechim

Keling, grafikdagi barcha chiziqlarni chizamiz. y = - log 2 x + 1 funksiyaning grafigini y = log 2 x grafigidan olishimiz mumkin, agar uni x o'qiga nisbatan simmetrik joylashtirsak va uni bir birlik yuqoriga siljitsak. X o'qining tenglamasi y = 0 ga teng.

Chiziqlarning kesishish nuqtalarini belgilaymiz.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, y = x 3 va y = 0 funksiyalarning grafiklari (0; 0) nuqtada kesishadi. Buning sababi, x = 0 tenglamaning yagona haqiqiy ildizi x 3 = 0.

x = 2 tenglamaning yagona ildizi - log 2 x + 1 = 0, shuning uchun y = - log 2 x + 1 va y = 0 funktsiyalarining grafiklari (2; 0) nuqtada kesishadi.

x = 1 - tenglamaning yagona ildizi x 3 = - log 2 x + 1. Shu munosabat bilan y = x 3 va y = - log 2 x + 1 funksiyalarning grafiklari (1; 1) nuqtada kesishadi. Oxirgi bayonot aniq bo'lmasligi mumkin, lekin x 3 = - log 2 x + 1 tenglama bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin emas, chunki y = x 3 funktsiyasi qat'iy ravishda ortib bormoqda va y = - log 2 x + 1 funktsiyasi qat'iy kamayadi.

Keyingi yechim bir nechta variantni o'z ichiga oladi.

Variant №1

Biz G rasmini x o'qi ustida joylashgan ikkita egri chiziqli trapetsiya yig'indisi sifatida tasavvur qilishimiz mumkin, ularning birinchisi x ∈ 0 segmentida o'rta chiziq ostida joylashgan; 1, ikkinchisi esa x ∈ 1 segmentidagi qizil chiziq ostida; 2. Demak, maydon S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ga teng bo'ladi.

Variant № 2

G rasmini ikkita raqamning farqi sifatida ko'rsatish mumkin, ularning birinchisi x o'qi ustida va x ∈ 0 segmentida ko'k chiziq ostida joylashgan; 2, ikkinchisi esa x ∈ 1 segmentidagi qizil va ko'k chiziqlar orasidagi; 2. Bu bizga hududni quyidagicha topish imkonini beradi:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu holda maydonni topish uchun S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ko'rinishdagi formuladan foydalanish kerak bo'ladi. Darhaqiqat, raqamni bog'laydigan chiziqlar y argumentining funktsiyalari sifatida ifodalanishi mumkin.

y = x 3 va - log 2 x + 1 tenglamalarni x ga nisbatan yechamiz:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Biz kerakli maydonni olamiz:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Javob: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5-misol

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 chiziqlari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.

Yechim

Qizil chiziq bilan y = x funktsiyasi bilan aniqlangan chiziqni chizamiz. y = - 1 2 x + 4 chiziqni ko'k rangda, y = 2 3 x - 3 chizig'ini esa qora rangda chizamiz.

Keling, kesishgan nuqtalarni belgilaymiz.

y = x va y = - 1 2 x + 4 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarini topamiz:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Tekshiring: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 emas. x 2 = tenglamaning yechimi 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tenglamaning yechimi ⇒ (4; 2) kesishish nuqtasi i y = x va y = - 1 2 x + 4

y = x va y = 2 3 x - 3 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasi topilsin:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Tekshiring: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 - tenglamaning yechimi ⇒ (9 ; 3) nuqta a s y = x va y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Tenglamaning yechimi yo'q

y = - 1 2 x + 4 va y = 2 3 x - 3 chiziqlarning kesishish nuqtasi topilsin:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) kesishish nuqtasi y = - 1 2 x + 4 va y = 2 3 x - 3

№1 usul

Keling, kerakli raqamning maydonini alohida raqamlarning maydonlarining yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik.

Keyin rasmning maydoni:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

№ 2 usul

Asl rasmning maydoni ikkita boshqa raqamning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Keyin chiziqning x ga nisbatan tenglamasini echamiz va shundan keyingina rasmning maydonini hisoblash formulasini qo'llaymiz.

y = x ⇒ x = y 2 qizil chiziq y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qora chiziq y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Shunday qilib, hudud:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Ko'rib turganingizdek, qiymatlar bir xil.

Javob: S (G) = 11 3

Natijalar

Cheklangan figuraning maydonini topish uchun berilgan chiziqlar tekislikda chiziqlar qurishimiz, ularning kesishish nuqtalarini topishimiz va maydonni topish uchun formulani qo'llashimiz kerak. Ushbu bo'limda biz vazifalarning eng keng tarqalgan variantlarini ko'rib chiqdik.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Biz qo'sh integralni hisoblashning haqiqiy jarayonini ko'rib chiqamiz va uning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz.

Ikki tomonlama integral son jihatdan tekislik figurasining maydoniga (integratsiya mintaqasi) teng. Bu ikki o'zgaruvchining funksiyasi birga teng bo'lgan qo'sh integralning eng oddiy ko'rinishi: .

Birinchidan, muammoni umumiy shaklda ko'rib chiqaylik. Endi siz hamma narsa qanchalik sodda ekanligiga hayron qolasiz! Keling, chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini hisoblaylik. Aniqlik uchun biz segmentda deb faraz qilamiz. Bu raqamning maydoni son jihatdan teng:

Keling, rasmdagi maydonni tasvirlaymiz:

Keling, hududni kesib o'tishning birinchi usulini tanlaylik:

Shunday qilib:

Va darhol muhim texnik texnika: takrorlangan integrallarni alohida hisoblash mumkin. Avval ichki integral, keyin tashqi integral. Men ushbu usulni yangi boshlanuvchilarga tavsiya qilaman.

1) Ichki integralni hisoblaymiz va integrallash “y” o‘zgaruvchisi orqali amalga oshiriladi:

Bu erda noaniq integral eng oddiy hisoblanadi, keyin esa oddiy Nyuton-Leybnits formulasi qo'llaniladi, yagona farq shundaki integratsiya chegaralari raqamlar emas, balki funktsiyalardir. Birinchidan, biz yuqori chegarani "y" (antiderivativ funktsiya), keyin pastki chegara bilan almashtirdik.

2) Birinchi xatboshida olingan natija tashqi integralga almashtirilishi kerak:

Butun yechimning yanada ixcham tasviri quyidagicha ko'rinadi:

Olingan formula "oddiy" aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini hisoblash uchun aniq ishchi formuladir! Darsni tomosha qiling Aniq integral yordamida maydonni hisoblash, u har qadamda!

Ya'ni, qo'sh integral yordamida maydonni hisoblash masalasi unchalik farq qilmaydi aniq integral yordamida maydonni topish masalasidan! Aslida, bu xuddi shunday!

Shunga ko'ra, hech qanday qiyinchiliklar paydo bo'lmasligi kerak! Men juda ko'p misollarni ko'rib chiqmayman, chunki siz aslida bu vazifaga bir necha bor duch kelgansiz.

9-misol

Yechim: Keling, rasmdagi maydonni tasvirlaymiz:

Keling, hududni bosib o'tishning quyidagi tartibini tanlaymiz:

Bu erda va bundan keyin men hududni qanday bosib o'tish haqida to'xtalmayman, chunki birinchi xatboshida juda batafsil tushuntirishlar berilgan.

Shunday qilib:

Yuqorida aytib o'tganimdek, yangi boshlanuvchilar uchun takrorlangan integrallarni alohida hisoblash yaxshiroqdir va men xuddi shu usulga yopishib qolaman:

1) Birinchidan, Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, biz ichki integral bilan ishlaymiz:

2) Birinchi bosqichda olingan natija tashqi integralga almashtiriladi:

2-nuqta aslida aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini topishdir.

Javob:

Bu juda ahmoq va sodda vazifa.

uchun qiziqarli misol mustaqil qaror:

10-misol

Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang.

Dars oxirida yakuniy yechimning taxminiy misoli.

9-10-misollarda hududni kesib o'tishning birinchi usulini qo'llash ancha foydalidir; qiziquvchan o'quvchilar, aytmoqchi, ikkinchi usul yordamida harakatlanish tartibini o'zgartirishi va maydonlarni hisoblashi mumkin. Agar siz xato qilmasangiz, tabiiyki, siz bir xil maydon qiymatlarini olasiz.

Ammo ba'zi hollarda, hududni kesib o'tishning ikkinchi usuli samaraliroq va yosh nerd kursining oxirida ushbu mavzu bo'yicha yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

11-misol

Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang,

Yechim: Biz yon tomonlarida yotgan ikkita parabolani intiqlik bilan kutmoqdamiz. Tabassum qilishning hojati yo'q, shunga o'xshash narsalar bir nechta integrallarda tez-tez uchraydi.

Chizma chizishning eng oson yo'li qanday?

Keling, parabolani ikkita funktsiya ko'rinishida tasavvur qilaylik:
– yuqori novda va – pastki shox.

Xuddi shunday, yuqori va pastki shoxlar ko'rinishidagi parabolani tasavvur qiling.

Quyidagi formula bo'yicha qo'sh integral yordamida rasmning maydonini hisoblaymiz:

Agar biz hududni kesib o'tishning birinchi usulini tanlasak nima bo'ladi? Birinchidan, bu maydonni ikki qismga bo'lish kerak bo'ladi. Ikkinchidan, biz bu qayg'uli rasmni kuzatamiz: . Integrallar, albatta, o‘ta murakkab darajaga ega emas, lekin... eski matematik maqol bor: ildiziga yaqin bo‘lganlar sinovga muhtoj emas.

Shuning uchun shartda berilgan tushunmovchilikdan biz teskari funktsiyalarni ifodalaymiz:

Ushbu misoldagi teskari funksiyalarning afzalligi shundaki, ular bir vaqtning o'zida barcha parabolani barglar, shoxlar, shoxlar va ildizlarsiz aniqlaydi.

Ikkinchi usulga ko'ra, hududni kesib o'tish quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib:

Ular aytganidek, farqni his eting.

1) Biz ichki integral bilan ishlaymiz:

Natijani tashqi integralga almashtiramiz:

“y” o‘zgaruvchisi ustidan integratsiya chalkashmasligi kerak, agar “zy” harfi bo‘lsa, uning ustiga integrasiya qilish juda yaxshi bo‘lardi. Darsning ikkinchi xatboshini kim o'qigan bo'lsa-da Inqilob jismining hajmini qanday hisoblash mumkin, u endi "Y" usuli bo'yicha integratsiya bilan eng kichik noqulaylikni boshdan kechirmaydi.

Shuningdek, birinchi bosqichga e'tibor bering: integral juft va integratsiya oralig'i nolga nisbatan simmetrikdir. Shuning uchun segmentni yarmiga, natijani esa ikki barobarga oshirish mumkin. Ushbu texnika darsda batafsil izohlanadi. Samarali usullar aniq integralni hisoblash.

Nima qo'shish kerak .... Hammasi!

Javob:

Integratsiya texnikasini sinab ko'rish uchun siz hisoblashni sinab ko'rishingiz mumkin. Javob mutlaqo bir xil bo'lishi kerak.

12-misol

Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Shunisi qiziqki, agar siz hududni kesib o'tishning birinchi usulini qo'llashga harakat qilsangiz, raqam endi ikkiga emas, balki uch qismga bo'linishi kerak bo'ladi! Va shunga ko'ra, biz uch juft takrorlangan integral olamiz. Ba'zan shunday bo'ladi.

Master-klass o'z nihoyasiga yetdi va grossmeyster darajasiga o'tish vaqti keldi - Ikki tomonlama integralni qanday hisoblash mumkin? Yechimlarga misollar. Ikkinchi maqolada bunchalik manik bo'lmaslikka harakat qilaman =)

Omad tilayman!

Yechimlar va javoblar:

2-misol:Yechim: Keling, hududni tasvirlaylik chizma bo'yicha:

Keling, hududni bosib o'tishning quyidagi tartibini tanlaymiz:

Shunday qilib:
Keling, teskari funktsiyalarga o'tamiz:

Shunday qilib:
Javob:

4-misol:Yechim: Keling, to'g'ridan-to'g'ri funktsiyalarga o'tamiz:

Keling, rasm chizamiz:

Keling, hududni bosib o'tish tartibini o'zgartiraylik:

Javob:

Hudud bo'ylab yurish tartibi:

Shunday qilib:

1)
2)

Javob:

Integralning yechimga qo'llanilishi amaliy muammolar

Hududni hisoblash

Uzluksiz manfiy bo'lmagan f(x) funksiyaning aniq integrali son jihatdan teng y = f(x) egri chizig'i, O x o'qi va x = a va x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoni. Shunga ko'ra, maydon formulasi quyidagicha yoziladi:

Keling, tekislik figuralarining maydonlarini hisoblashning ba'zi misollarini ko'rib chiqaylik.

Vazifa No 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 chiziqlar bilan chegaralangan maydonni hisoblang.

Yechim. Keling, maydonini hisoblashimiz kerak bo'lgan figurani quraylik.

y = x 2 + 1 - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan va parabola O y o'qiga nisbatan bir birlik yuqoriga siljigan parabola (1-rasm).

1-rasm. y = x 2 + 1 funksiya grafigi

Vazifa No 2. 0 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda y = x 2 – 1, y = 0 chiziqlar bilan chegaralangan maydonni hisoblang.

Yechim. Bu funksiyaning grafigi yuqoriga yo'naltirilgan shoxlardan iborat parabola bo'lib, parabola O y o'qiga nisbatan bir birlik pastga siljiydi (2-rasm).

2-rasm. y = x 2 – 1 funksiya grafigi

Vazifa No 3. Chizma tuzing va chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang

y = 8 + 2x – x 2 va y = 2x – 4.

Yechim. Bu ikki chiziqning birinchisi parabola bo'lib, shoxlari pastga yo'naltirilgan, chunki x 2 koeffitsienti manfiy, ikkinchi chiziq esa ikkala koordinata o'qini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqdir.

Parabolani qurish uchun uning uchi koordinatalarini topamiz: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – cho‘qqining abtsissasi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 uning ordinatasi, N(1;9) tepasi.

Endi tenglamalar tizimini yechish orqali parabola va to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz:

Chap tomonlari teng bo'lgan tenglamaning o'ng tomonlarini tenglashtirish.

Biz 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 yoki x 2 – 12 = 0 ni olamiz, buning natijasida .

Demak, nuqtalar parabola va to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalaridir (1-rasm).

3-rasm y = 8 + 2x – x 2 va y = 2x – 4 funksiyalar grafiklari

y = 2x – 4 to'g'ri chiziq quramiz. U koordinata o'qlaridagi (0;-4), (2;0) nuqtalardan o'tadi.

Parabolani qurish uchun siz uning 0x o'qi bilan kesishgan nuqtalaridan, ya'ni 8 + 2x – x 2 = 0 yoki x 2 – 2x – 8 = 0 tenglamaning ildizlaridan ham foydalanishingiz mumkin. Vieta teoremasidan foydalanish oson. uning ildizlarini topish uchun: x 1 = 2, x 2 = 4.

3-rasmda ushbu chiziqlar bilan chegaralangan shakl (parabolik segment M 1 N M 2) ko'rsatilgan.

Muammoning ikkinchi qismi bu raqamning maydonini topishdir. Uning maydonini formula bo'yicha aniq integral yordamida topish mumkin .

Ushbu shartga nisbatan biz integralni olamiz:

2 Aylanish jismining hajmini hisoblash

y = f(x) egri chizig'ining O x o'qi atrofida aylanishidan olingan jismning hajmi quyidagi formula bilan hisoblanadi:

O y o'qi atrofida aylanayotganda formula quyidagicha ko'rinadi:

Vazifa № 4. O x o'qi atrofida x = 0 x = 3 to'g'ri chiziqlar va y = egri chizig'i bilan chegaralangan egri trapetsiyaning aylanishidan olingan jismning hajmini aniqlang.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (4-rasm).

4-rasm. y = funksiyaning grafigi

Kerakli hajm

Vazifa № 5. O y o'qi atrofida y = x 2 egri chiziq va y = 0 va y = 4 to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri trapetsiyaning aylanishidan olingan jismning hajmini hisoblang.

Yechim. Bizda ... bor:

Ko'rib chiqish savollari

Ushbu maqolada siz integral hisoblar yordamida chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topishni o'rganasiz. Biz birinchi marta o'rta maktabda aniq integrallarni o'rganishni tugatganimizda va boshlash vaqti kelganida bunday muammoni shakllantirishga duch kelamiz. geometrik talqin bilimlarni amaliyotda egalladi.

Shunday qilib, integrallardan foydalangan holda figuraning maydonini topish masalasini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nima talab qilinadi:

Barkamol chizmalarni yaratish qobiliyati;
Mashhur Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib aniq integralni yechish qobiliyati;
Yechimning yanada foydali variantini "ko'rish" qobiliyati - ya'ni. u yoki bu holatda integratsiyani amalga oshirish qanday qulayroq bo'lishini tushunasizmi? X o'qi (OX) yoki y o'qi (OY) bo'ylab?
To'g'ri hisoblarsiz qayerda bo'lardik?) Bu boshqa turdagi integrallarni qanday yechish va sonli hisoblarni to'g'rilashni tushunishni o'z ichiga oladi.

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblash muammosini hal qilish algoritmi:

1. Biz chizma qurmoqdamiz. Buni katakli qog'ozda, katta hajmda qilish tavsiya etiladi. Bu funksiya nomini har bir grafik ustida qalam bilan belgilaymiz. Grafiklarga imzo qo'yish faqat keyingi hisob-kitoblarning qulayligi uchun amalga oshiriladi. Istalgan raqamning grafigini olgandan so'ng, ko'p hollarda integratsiyaning qaysi chegaralari qo'llanilishi darhol aniq bo'ladi. Shunday qilib, biz muammoni grafik tarzda hal qilamiz. Biroq, chegaralarning qiymatlari kasr yoki irratsional bo'ladi. Shuning uchun siz qo'shimcha hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin, ikkinchi bosqichga o'ting.

2. Agar integratsiya chegaralari aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, biz grafiklarning bir-biri bilan kesishish nuqtalarini topamiz va bizning grafik yechimimiz analitik bilan mos keladimi yoki yo'qligini ko'ramiz.

3. Keyinchalik, chizilgan rasmni tahlil qilishingiz kerak. Funksiya grafiklari qanday joylashtirilganiga qarab, ular mavjud turli yondashuvlar figuraning maydonini topish uchun. Keling, ko'rib chiqaylik turli misollar integrallar yordamida figuraning maydonini topish.

3.1. Muammoning eng klassik va eng oddiy versiyasi - bu kavisli trapezoidning maydonini topish kerak bo'lganda. Egri trapezoid nima? Bu x o'qi bilan cheklangan tekis raqam (y = 0), Streyt x = a, x = b va dan oraliqda uzluksiz har qanday egri chiziq a oldin b. Bundan tashqari, bu ko'rsatkich salbiy emas va x o'qi ostida joylashgan emas. Bunday holda, egri chiziqli trapezoidning maydoni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan ma'lum bir integralga sonli tengdir:

1-misol y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Shakl qaysi chiziqlar bilan chegaralangan? Bizda parabola bor y = x2 – 3x + 3, bu eksa ustida joylashgan OH, u salbiy emas, chunki bu parabolaning barcha nuqtalari ijobiy qiymatlarga ega. Keyinchalik, to'g'ri chiziqlar berilgan x = 1 Va x = 3, ular o'qga parallel ravishda ishlaydi OU, chap va o'ngdagi rasmning chegara chiziqlari. Xo'sh y = 0, u ham x o'qi bo'lib, u raqamni pastdan cheklaydi. Olingan raqam, chapdagi rasmdan ko'rinib turganidek, soyali. Bunday holda, siz darhol muammoni hal qilishni boshlashingiz mumkin. Bizning oldimizda egri trapesiyaning oddiy misoli mavjud bo'lib, biz uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hal qilamiz.

3.2. Oldingi 3.1-bandda biz egri trapezoid x o'qi ustida joylashgan vaziyatni ko'rib chiqdik. Endi masalaning shartlari bir xil bo'lgan holatni ko'rib chiqing, faqat funktsiya x o'qi ostida joylashgan. Standart Nyuton-Leybnits formulasiga minus qo'shiladi. Bunday muammoni qanday hal qilishni quyida ko'rib chiqamiz.

2-misol . Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Ushbu misolda bizda parabola mavjud y = x2 + 6x + 2, o'qdan kelib chiqadi OH, Streyt x = -4, x = -1, y = 0. Bu yerga y = 0 yuqoridan kerakli raqamni cheklaydi. To'g'ridan-to'g'ri x = -4 Va x = -1 bu chegaralar bo'lib, ular ichida aniq integral hisoblanadi. Shaklning maydonini topish masalasini hal qilish printsipi 1-misolga deyarli to'liq mos keladi. Yagona farq shundaki, berilgan funktsiya musbat emas, balki intervalda ham uzluksizdir. [-4; -1] . Ijobiy emas, nimani nazarda tutasiz? Rasmdan ko'rinib turibdiki, berilgan x lar ichida joylashgan raqam faqat "salbiy" koordinatalarga ega, masalani hal qilishda biz buni ko'rishimiz va eslashimiz kerak. Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, rasmning maydonini qidiramiz, faqat boshida minus belgisi bilan.

Maqola tugallanmagan.

Keling, integral hisoblarning qo'llanilishini ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini hisoblash. Nihoyat, hamma ma'no izlaydi oliy matematika- uni topishlari mumkin. Siz hech qachon bilmaysiz. Haqiqiy hayotda siz elementar funktsiyalardan foydalangan holda dacha uchastkasini taxmin qilishingiz va aniq integral yordamida uning maydonini topishingiz kerak bo'ladi.

Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizga kerak:

1) Noaniq integralni hech bo'lmaganda o'rta darajada tushuning. Shunday qilib, qo'g'irchoqlar birinchi navbatda darsni o'qishlari kerak Yo'q.

2) Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llay olish va aniq integralni hisoblay olish. Sahifada ma'lum integrallar bilan iliq do'stona munosabatlar o'rnatishingiz mumkin Aniq integral. Yechimlarga misollar. "Maddonni aniq integral yordamida hisoblash" vazifasi har doim chizmani qurishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ham tegishli masala bo'ladi. Hech bo'lmaganda, siz to'g'ri chiziq, parabola va giperbolani qurishingiz kerak.

Egri trapezoiddan boshlaylik. Egri trapezoid - bu qandaydir funksiya grafigi bilan chegaralangan tekis figura y = f(x), o'q OX va chiziqlar x = a; x = b.

Egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan aniq integralga teng

Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda Aniq integral. Yechimlarga misollar aniq integral son ekanligini aytdik. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi. Ya'ni, aniq integral (agar mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ma'lum bir raqamning maydoniga mos keladi. Aniq integralni ko'rib chiqing

Integratsiya

tekislikdagi egri chiziqni aniqlaydi (agar kerak bo'lsa, uni chizish mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.

1-misol

, , , .

Bu odatiy topshiriq bayonoti. Qarorda eng muhim nuqta - chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma tuzilishi kerak TO'G'RI.

Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha to'g'ri chiziqlarni qurish yaxshiroqdir (agar ular mavjud bo'lsa) va faqat Keyin– parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Nuqtama-nuqta qurilish texnikasini mos yozuvlar materialida topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. U erda siz bizning darsimiz uchun juda foydali materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish mumkin.

Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.

Keling, chizmani bajaramiz (tenglamaga e'tibor bering y= 0 o'qni belgilaydi OX):

Biz egri trapezoidni soya qilmaymiz, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:

Segmentda [-2; 1] funktsiya grafigi y = x 2 + 2 joylashgan eksa ustidaOX, Shunung uchun:

Javob: .

Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi

ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechimlarga misollar. Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz rasmdagi hujayralar sonini "ko'z bilan" hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 bo'ladi, bu haqiqatga o'xshaydi. To'liq aniqki, agar biz javob olsak, aytaylik: 20 kvadrat birliklar, keyin biror joyda xatoga yo'l qo'yilganligi aniq - 20 ta hujayra ko'rib chiqilayotgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.

2-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang xy = 4, x = 2, x= 4 va eksa OX.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostidaOX?

3-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y = e-x, x= 1 va koordinata o'qlari.

Yechim: Keling, rasm chizamiz:

Agar egri trapezoid bo'lsa butunlay eksa ostida joylashgan OX , keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Ushbu holatda:

Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:

1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.

2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.

Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.

4-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y = 2x – x 2 , y = -x.

Yechim: Avval siz rasm chizishingiz kerak. Hudud masalalari chizmasini qurishda bizni eng ko'p chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz y = 2x – x 2 va tekis y = -x. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:

Bu integratsiyaning pastki chegarasi degan ma'noni anglatadi a= 0, integratsiyaning yuqori chegarasi b= 3. Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ko'pincha foydaliroq va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:

Yana takror aytamizki, nuqtali qurishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik" aniqlanadi.

Va endi ish formulasi:

Agar segmentda [ a; b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) dan katta yoki teng biroz uzluksiz funksiya g(x), keyin mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Bu erda siz endi raqam qaerda joylashganligi haqida o'ylashingiz shart emas - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, lekin qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.

Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun 2 dan. x – x 2 ayirish kerak - x.

Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Istalgan raqam parabola bilan cheklangan y = 2x – x 2 tepada va tekis y = -x quyida.

2-segmentda x – x 2 ≥ -x. Tegishli formula bo'yicha:

Javob: .

Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-misolga qarang) maxsus holat formulalar

Chunki eksa OX tenglama bilan berilgan y= 0, va funksiya grafigi g(x) eksa ostida joylashgan OX, Bu

Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol

5-misol

6-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping

Aniq integral yordamida maydonni hisoblash bilan bog'liq masalalarni yechishda ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri bajarilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, lekin ehtiyotsizlik tufayli... Noto'g'ri raqamning maydoni topildi.

7-misol

Avval rasm chizamiz:

Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga ega(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli ular ko'pincha figuraning soyali maydonini topish kerak deb qaror qilishadi. yashil!

Ushbu misol ham foydalidir, chunki u ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblaydi. Haqiqatan ham:

1) segmentda [-1; 1] eksa ustida OX grafik tekis joylashgan y = x+1;

2) eksa ustidagi segmentda OX giperbolaning grafigi joylashgan y = (2/x).

Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:

Javob:

8-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Keling, tenglamalarni "maktab" shaklida taqdim qilaylik

va nuqtama-nuqta chizmasini tuzing:

Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": b = 1.

Lekin pastki chegara nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin bu nima?

Balkim, a=(-1/3)? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan qilinganligiga kafolat qayerda, bu aniq bo'lishi mumkin a=(-1/4). Agar grafikni noto'g'ri tuzgan bo'lsak nima bo'ladi?

Bunday hollarda siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va integratsiya chegaralarini analitik tarzda aniqlab olishingiz kerak.

Grafiklarning kesishish nuqtalarini topamiz

Buning uchun tenglamani yechamiz:

Demak, a=(-1/3).

Keyingi yechim esa ahamiyatsiz. Asosiysi, almashtirish va belgilarda adashmaslik. Bu erda hisob-kitoblar eng oddiy emas. Segmentda

, ,

tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Darsni yakunlash uchun keling, yana ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqaylik.

9-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Yechish: Keling, ushbu figurani chizmada tasvirlaymiz.

Nuqtama-nuqta chizmasini qurish uchun siz sinusoidning ko'rinishini bilishingiz kerak. Umuman olganda, barcha elementar funktsiyalarning grafiklarini, shuningdek, ba'zi sinus qiymatlarini bilish foydalidir. Ularni qiymatlar jadvalida topish mumkin trigonometrik funktsiyalar. Ba'zi hollarda (masalan, bu holda) sxematik chizmani qurish mumkin, unda integratsiyaning grafiklari va chegaralari tubdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.

Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi:

– “x” noldan “pi” ga o'zgaradi. Keling, qo'shimcha qaror qabul qilaylik:

Segmentda funksiya grafigi y= gunoh 3 x eksa ustida joylashgan OX, Shunung uchun:

(1) Sinuslar va kosinuslar qanday qilib toq kuchlarda integrallashayotganini darsda ko'rishingiz mumkin Trigonometrik funksiyalarning integrallari. Biz bitta sinusni siqib chiqaramiz.

(2) Biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani shaklda ishlatamiz