Onlaynda chiziq bilan chegaralangan xususiyat maydonini toping. Egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan ma'lum bir integralga teng. Yechimning tugallanishi shunday ko'rinishi mumkin
Ushbu maqolada siz integral hisoblar yordamida chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topishni o'rganasiz. Biz birinchi marta o'rta maktabda ma'lum integrallarni o'rganish tugallanganda va amaliyotda olingan bilimlarni geometrik talqin qilishni boshlash vaqti kelganda, bunday muammoni shakllantirishga duch kelamiz.
Shunday qilib, integrallardan foydalangan holda figuraning maydonini topish muammosini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nima talab qilinadi:
- Chizmalarni to'g'ri chizish qobiliyati;
- Mashhur Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib aniq integralni yechish qobiliyati;
- Ko'proq foydali echimni "ko'rish" qobiliyati - ya'ni. u yoki bu holatda qanday qilib integratsiyani amalga oshirish qulayroq bo'lishini tushunish uchun? X o'qi (OX) yoki y o'qi (OY) bo'ylab?
- Xo'sh, to'g'ri hisoblarsiz qayerda?) Bu boshqa turdagi integrallarni qanday yechish va raqamli hisoblarni to'g'rilashni tushunishni o'z ichiga oladi.
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblash muammosini hal qilish algoritmi:
1. Biz chizma quramiz. Buni qafasdagi qog'oz varag'ida, katta hajmda qilish tavsiya etiladi. Biz ushbu funktsiya nomini har bir grafikning ustiga qalam bilan belgilaymiz. Grafiklarning imzosi faqat keyingi hisob-kitoblarning qulayligi uchun amalga oshiriladi. Istalgan raqamning grafigini olgandan so'ng, aksariyat hollarda qaysi integratsiya chegaralari ishlatilishi darhol aniq bo'ladi. Shunday qilib, biz muammoni grafik tarzda hal qilamiz. Biroq, chegaralarning qiymatlari kasr yoki irratsional bo'ladi. Shuning uchun siz qo'shimcha hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin, ikkinchi bosqichga o'ting.
2. Agar integratsiya chegaralari aniq belgilanmagan bo'lsa, biz grafiklarning bir-biri bilan kesishish nuqtalarini topamiz va bizning grafik yechimimiz analitik bilan mos keladimi yoki yo'qligini bilib olamiz.
3. Keyinchalik, chizilgan rasmni tahlil qilishingiz kerak. Funktsiyalar grafiklari qanday joylashganiga qarab, rasmning maydonini topish uchun turli xil yondashuvlar mavjud. Integrallar yordamida figuraning maydonini topishning turli misollarini ko'rib chiqing.
3.1. Muammoning eng klassik va eng oddiy versiyasi egri chiziqli trapezoidning maydonini topish kerak bo'lganda. Egri chiziqli trapezoid nima? Bu x o'qi bilan chegaralangan tekis raqam (y=0), To'g'riga x = a, x = b va dan oraliqda uzluksiz har qanday egri chiziq a oldin b. Shu bilan birga, bu ko'rsatkich salbiy emas va x o'qidan past bo'lmagan joyda joylashgan. Bunday holda, egri chiziqli trapezoidning maydoni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan aniq integralga son jihatdan teng:
1-misol y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Shaklni qaysi chiziqlar aniqlaydi? Bizda parabola bor y = x2 - 3x + 3, bu eksa ustida joylashgan OH, u salbiy emas, chunki bu parabolaning barcha nuqtalari ijobiydir. Keyinchalik, to'g'ri chiziqlar berilgan x = 1 va x = 3 o'qiga parallel bo'lgan OU, chap va o'ngdagi raqamning chegara chiziqlari. Xo'sh y = 0, u x o'qi bo'lib, bu raqamni pastdan cheklaydi. Olingan raqam, chapdagi rasmda ko'rinib turganidek, soyali. Bunday holda, siz darhol muammoni hal qilishni boshlashingiz mumkin. Bizning oldimizda egri chiziqli trapezoidning oddiy misoli bor, biz uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hal qilamiz.
3.2. Oldingi 3.1-bandda egri chiziqli trapezoid x o'qi ustida joylashganida vaziyat tahlil qilingan. Endi masalaning shartlari bir xil bo'lgan holatni ko'rib chiqing, faqat funktsiya x o'qi ostida joylashgan. Standart Nyuton-Leybnits formulasiga minus qo'shiladi. Bunday muammoni qanday hal qilish kerak, biz batafsilroq ko'rib chiqamiz.
2-misol . Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Ushbu misolda bizda parabola mavjud y=x2+6x+2, bu eksa ostidan kelib chiqadi OH, To'g'riga x=-4, x=-1, y=0. Bu yerda y = 0 yuqoridan kerakli raqamni cheklaydi. To'g'ridan-to'g'ri x = -4 va x = -1 bu chegaralar bo'lib, ular ichida aniq integral hisoblanadi. Shaklning maydonini topish muammosini hal qilish printsipi 1-misolga deyarli to'liq mos keladi. Yagona farq shundaki, berilgan funktsiya ijobiy emas va hamma narsa intervalda ham uzluksizdir. [-4; -1] . Ijobiy emas nimani anglatadi? Rasmdan ko'rinib turibdiki, berilgan x ichida joylashgan raqam faqat "salbiy" koordinatalarga ega, masalani hal qilishda biz buni ko'rishimiz va eslashimiz kerak. Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, rasmning maydonini izlayapmiz, faqat boshida minus belgisi bilan.
Maqola tugallanmagan.
Biz qo'sh integralni hisoblashning haqiqiy jarayonini ko'rib chiqamiz va uning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz.
Ikki tomonlama integral son jihatdan tekis figuraning maydoniga teng (integratsiya mintaqasi). Bu ikki o'zgaruvchining funksiyasi birga teng bo'lganda qo'sh integralning eng oddiy ko'rinishi: .
Keling, birinchi navbatda muammoni umumiy nuqtai nazardan ko'rib chiqaylik. Endi bu qanchalik sodda ekanligiga hayron qolasiz! Keling, chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini hisoblaylik. Aniqlik uchun biz oraliqda deb faraz qilamiz. Bu raqamning maydoni son jihatdan teng:
Keling, rasmdagi maydonni tasvirlaymiz:
Keling, hududni aylanib o'tishning birinchi usulini tanlaylik:
Shunday qilib:
Va darhol muhim texnik hiyla: takrorlangan integrallarni alohida ko'rib chiqish mumkin. Avval ichki integral, keyin tashqi integral. Ushbu usul choynaklar mavzusida yangi boshlanuvchilar uchun juda tavsiya etiladi.
1) Integrallash "y" o'zgaruvchisi orqali amalga oshirilganda ichki integralni hisoblang:
Bu erda noaniq integral eng oddiy hisoblanadi, keyin esa oddiy Nyuton-Leybnits formulasi qo'llaniladi, yagona farq shundaki integratsiya chegaralari raqamlar emas, balki funktsiyalardir. Birinchidan, biz yuqori chegarani "y" (antiderivativ funktsiya), keyin pastki chegara bilan almashtirdik.
2) Birinchi xatboshida olingan natija tashqi integralga almashtirilishi kerak:
Butun yechim uchun yanada ixcham belgi quyidagicha ko'rinadi:
Olingan formula "oddiy" aniq integral yordamida tekis shaklning maydonini hisoblash uchun aniq ishchi formuladir! Darsga qarang Aniq integral yordamida maydonni hisoblash, u har qadamda!
Ya'ni, qo'sh integral yordamida maydonni hisoblash masalasi biroz boshqacha aniq integral yordamida maydonni topish masalasidan! Aslida, ular bitta va bir xil!
Shunga ko'ra, hech qanday qiyinchiliklar paydo bo'lmasligi kerak! Men juda ko'p misollarni ko'rib chiqmayman, chunki siz aslida bu muammoga bir necha bor duch kelgansiz.
9-misol
Yechim: Keling, rasmdagi maydonni tasvirlaymiz:
Keling, mintaqa bo'ylab sayohat qilishning quyidagi tartibini tanlaymiz:
Bu erda va quyida men hududni qanday bosib o'tishni ko'rib chiqmayman, chunki birinchi xatboshi juda batafsil edi.
Shunday qilib:
Yuqorida aytib o'tganimdek, yangi boshlanuvchilar uchun takrorlangan integrallarni alohida hisoblash yaxshiroqdir, men xuddi shu usulga amal qilaman:
1) Birinchidan, Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, biz ichki integral bilan ishlaymiz:
2) Birinchi bosqichda olingan natija tashqi integralga almashtiriladi:
2-nuqta aslida aniq integral yordamida tekis figuraning maydonini topishdir.
Javob:
Mana shunday ahmoq va sodda vazifa.
Mustaqil yechim uchun qiziqarli misol:
10-misol
Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang.
Dars oxirida yakuniy yechimga misol.
9-10-misollarda hududni aylanib o'tishning birinchi usulini qo'llash ancha foydalidir; qiziquvchan o'quvchilar, aytmoqchi, aylanib o'tish tartibini o'zgartirishi va maydonlarni ikkinchi usulda hisoblashi mumkin. Agar siz xato qilmasangiz, tabiiyki, bir xil maydon qiymatlari olinadi.
Ammo ba'zi hollarda hududni aylanib o'tishning ikkinchi usuli samaraliroq bo'ladi va yosh nerdning kursi yakunida biz ushbu mavzu bo'yicha yana bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz:
11-misol
Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang.
Yechim: biz tomonda yotgan shamolli ikkita parabolani intiqlik bilan kutmoqdamiz. Tabassum qilishning hojati yo'q, bir nechta integrallarda o'xshash narsalar tez-tez uchraydi.
Chizma chizishning eng oson yo'li qanday?
Parabolani ikkita funktsiya sifatida ifodalaymiz:
- yuqori filial va - pastki shox.
Xuddi shunday, biz parabolani yuqori va pastki shoxlar sifatida ifodalaymiz.
Shaklning maydoni quyidagi formula bo'yicha qo'sh integral yordamida hisoblanadi:
Agar biz hududni aylanib o'tishning birinchi usulini tanlasak nima bo'ladi? Birinchidan, bu maydonni ikki qismga bo'lish kerak bo'ladi. Ikkinchidan, biz bu qayg'uli rasmni kuzatamiz: . Albatta, integrallar o'ta murakkab darajaga ega emas, lekin ... eski matematik maqol bor: kim ildizlarga do'stona munosabatda bo'lsa, to'plam kerak emas.
Shuning uchun shartda berilgan tushunmovchilikdan biz teskari funktsiyalarni ifodalaymiz:
Ushbu misoldagi teskari funktsiyalarning afzalligi shundaki, ular darhol barcha parabolani barglar, shoxlar, shoxlar va ildizlarsiz o'rnatadilar.
Ikkinchi usulga ko'ra, hududni kesib o'tish quyidagicha bo'ladi:
Shunday qilib:
Ular aytganidek, farqni his eting.
1) Biz ichki integral bilan ishlaymiz:
Natijani tashqi integralga almashtiramiz:
"y" o'zgaruvchisi ustidan integratsiya uyatli bo'lmasligi kerak, agar "zyu" harfi bo'lsa - uning ustida integratsiya qilish juda yaxshi bo'lardi. Darsning ikkinchi xatboshini kim o'qigan bo'lsa-da Inqilob jismining hajmini qanday hisoblash mumkin, u endi "y" ga nisbatan integratsiya bilan eng kichik sharmandalikni boshdan kechirmaydi.
Shuningdek, birinchi bosqichga e'tibor bering: integral juft, integratsiya segmenti esa nolga yaqin simmetrikdir. Shuning uchun segmentni yarmiga, natijani esa ikki barobarga oshirish mumkin. Ushbu texnika darsda batafsil izohlanadi. Aniq integralni hisoblashning samarali usullari.
Nima qo'shish kerak .... Hammasi!
Javob:
Integratsiya texnikasini sinab ko'rish uchun siz hisoblashga harakat qilishingiz mumkin. Javob mutlaqo bir xil bo'lishi kerak.
12-misol
Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Shunisi qiziqki, agar siz hududni aylanib o'tishning birinchi usulidan foydalanmoqchi bo'lsangiz, unda raqam endi ikkiga emas, balki uch qismga bo'linadi! Va shunga ko'ra, biz uch juft takrorlangan integralni olamiz. Ba'zan shunday bo'ladi.
Master-klass o'z nihoyasiga yetdi va grossmeyster darajasiga o'tish vaqti keldi - Ikki tomonlama integralni qanday hisoblash mumkin? Yechim misollari. Ikkinchi maqolada bunchalik manik bo'lmaslikka harakat qilaman =)
Omad tilayman!
Yechimlar va javoblar:
2-misol:Yechim:
Hududni chizish chizma bo'yicha:
Keling, mintaqa bo'ylab sayohat qilishning quyidagi tartibini tanlaymiz:
Shunday qilib:
Keling, teskari funktsiyalarga o'tamiz:
Shunday qilib:
Javob:
4-misol:Yechim:
Keling, to'g'ridan-to'g'ri funktsiyalarga o'tamiz:
Keling, chizmani bajaramiz:
Maydonni bosib o'tish tartibini o'zgartiramiz:
Javob:
Hududdan o'tish tartibi:
Shunday qilib:
1)
2)
Javob:
Aniq integralning geometrik ma'nosini tahlil qilishga bag'ishlangan oldingi bo'limda biz egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblash uchun bir qator formulalarni oldik:
S (G) = ∫ a b f (x) d x uzluksiz va manfiy bo'lmagan funksiya uchun y = f (x) segmentdagi [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x uzluksiz va nomusbat funksiya uchun y = f (x) segmentdagi [ a ; b] .
Bu formulalar nisbatan oddiy masalalarni yechishda qo'llaniladi. Darhaqiqat, biz ko'pincha murakkabroq shakllar bilan ishlashimiz kerak. Shu munosabat bilan biz ushbu bo'limni aniq shakldagi funktsiyalar bilan cheklangan raqamlar maydonini hisoblash algoritmlarini tahlil qilishga bag'ishlaymiz, ya'ni. y = f(x) yoki x = g(y) kabi.
Teoremay = f 1 (x) va y = f 2 (x) funksiyalar [ a segmentida aniqlangan va uzluksiz bo lsin; b ] , va [ a dan har qanday x qiymat uchun f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b] . Keyin x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) va y \u003d f 2 (x) chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblash formulasi S ga o'xshaydi. G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Xuddi shunday formula y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) va x \u003d g 2 (y) chiziqlari bilan chegaralangan raqam maydoni uchun ham amal qiladi: S: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Isbot
Formula amal qiladigan uchta holatni tahlil qilamiz.
Birinchi holda, maydonning qo'shimchalilik xususiyatini hisobga olgan holda, asl G figurasi va egri chiziqli trapezoid G 1 maydonlarining yig'indisi G 2 rasmining maydoniga teng. Bu shuni anglatadiki
Demak, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.
Biz oxirgi o'tishni aniq integralning uchinchi xususiyatidan foydalanib bajarishimiz mumkin.
Ikkinchi holatda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x
Grafik rasm quyidagicha ko'rinadi:
Agar ikkala funksiya ham nomusbat bo‘lsa, biz quyidagilarni olamiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafik rasm quyidagicha ko'rinadi:
y = f 1 (x) va y = f 2 (x) O x o'qlarini kesishganda umumiy holatni ko'rib chiqishga o'tamiz.
Kesishish nuqtalarini x i, i = 1, 2, deb belgilaymiz. . . , n - 1. Bu nuqtalar segmentni [ a ; b ] n qismga x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . . , n , bu yerda a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Binobarin,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Biz oxirgi o'tishni aniq integralning beshinchi xususiyatidan foydalanib amalga oshirishimiz mumkin.
Keling, grafikdagi umumiy holatni ko'rsatamiz.
S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formulasini isbotlangan deb hisoblash mumkin.
Va endi y \u003d f (x) va x \u003d g (y) chiziqlari bilan cheklangan raqamlar maydonini hisoblash misollarini tahlil qilishga o'taylik.
Har qanday misolni ko'rib chiqsak, biz grafikni qurishdan boshlaymiz. Rasm bizga murakkab shakllarni oddiyroq shakllarning kombinatsiyasi sifatida ko'rsatishga imkon beradi. Agar siz ularga grafik va raqamlarni chizishda qiynalayotgan bo'lsangiz, asosiy elementar funksiyalar, funksiyalar grafiklarini geometrik o'zgartirish, shuningdek, funktsiyani o'rganayotganda chizmalar bo'limini o'rganishingiz mumkin.
1-misol
y \u003d - x 2 + 6 x - 5 parabola va y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini aniqlash kerak. 1, x \u003d 4.
Yechim
Grafikdagi chiziqlarni Dekart koordinata tizimida chizamiz.
[1] oraliqda; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolaning grafigi y = - 1 3 x - 1 2 to'g'ri chiziq ustida joylashgan. Shu munosabat bilan javob olish uchun biz ilgari olingan formuladan, shuningdek, Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integralni hisoblash usulidan foydalanamiz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Javob: S (G) = 13
Keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.
2-misol
y = x + 2, y = x, x = 7 chiziqlari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Bunday holda, bizda x o'qiga parallel faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud. Bu x = 7. Bu bizdan ikkinchi integratsiya chegarasini o'zimiz topishimizni talab qiladi.
Grafik tuzamiz va unga masala shartida berilgan chiziqlarni qo'yamiz.
Ko'z oldimizda grafik mavjud bo'lsa, biz integratsiyaning pastki chegarasi y \u003d x to'g'ri chiziq va yarim parabola y \u003d x + 2 bilan grafikning kesishish nuqtasining abtsissasi bo'lishini osongina aniqlashimiz mumkin. Abtsissani topish uchun biz tengliklardan foydalanamiz:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Ma’lum bo‘lishicha, kesishish nuqtasining abssissasi x = 2 ga teng.
Chizmadagi umumiy misolda y = x + 2, y = x chiziqlar (2 ; 2) nuqtada kesishishiga e'tiboringizni qaratamiz, shuning uchun bunday batafsil hisob-kitoblar ortiqcha bo'lib tuyulishi mumkin. Biz bu erda bunday batafsil yechimni taqdim etdik, chunki murakkabroq holatlarda yechim unchalik aniq bo'lmasligi mumkin. Bu shuni anglatadiki, har doim chiziqlar kesishish koordinatalarini analitik tarzda hisoblash yaxshiroqdir.
[2] oraliqda; 7 ] y = x funksiya grafigi y = x + 2 funksiya grafigidan yuqorida joylashgan. Hududni hisoblash uchun formuladan foydalaning:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Javob: S (G) = 59 6
3-misol
y \u003d 1 x va y \u003d - x 2 + 4 x - 2 funktsiyalari grafiklari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Grafikda chiziqlar chizamiz.
Keling, integratsiya chegaralarini aniqlaylik. Buning uchun 1 x va - x 2 + 4 x - 2 ifodalarini tenglashtirib, chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini aniqlaymiz. Agar x nolga teng bo'lmasa, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 tenglik uchinchi darajali tenglamaga ekvivalent bo'ladi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 butun son koeffitsientlari bilan . Bunday tenglamalarni yechish algoritmi xotirasini “Kubik tenglamalarni yechish” bo‘limiga murojaat qilib yangilashingiz mumkin.
Bu tenglamaning ildizi x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifodasini x - 1 binomiga bo'lib, quyidagilarga erishamiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Qolgan ildizlarni x 2 - 3 x - 1 = 0 tenglamadan topishimiz mumkin:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Biz x ∈ 1 intervalni topdik; 3 + 13 2 , bu erda G ko'k chiziq ustida va qizil chiziq ostida joylashgan. Bu bizga shakl maydonini aniqlashga yordam beradi:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Javob: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
4-misol
y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 va x o'qi egri chiziqlari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Keling, barcha chiziqlarni grafikaga qo'yaylik. y = - log 2 x + 1 funksiyaning grafigini y = log 2 x grafigidan olishimiz mumkin, agar uni x o'qiga nisbatan simmetrik joylashtirsak va uni bir birlik yuqoriga siljitsak. X o'qi tenglamasi y \u003d 0.
Chiziqlarning kesishish nuqtalarini belgilaymiz.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, y \u003d x 3 va y \u003d 0 funktsiyalarining grafiklari (0; 0) nuqtada kesishadi. Buning sababi, x \u003d 0 - x 3 \u003d 0 tenglamaning yagona haqiqiy ildizi.
x = 2 tenglamaning yagona ildizi - log 2 x + 1 = 0, shuning uchun y = - log 2 x + 1 va y = 0 funktsiyalarining grafiklari (2 ; 0) nuqtada kesishadi.
x = 1 - tenglamaning yagona ildizi x 3 = - log 2 x + 1. Shu munosabat bilan y \u003d x 3 va y \u003d - log 2 x + 1 funktsiyalarining grafiklari (1; 1) nuqtada kesishadi. Oxirgi bayonot aniq bo'lmasligi mumkin, ammo x 3 \u003d - log 2 x + 1 tenglamasi bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin emas, chunki y \u003d x 3 funktsiyasi qat'iy ortib bormoqda va y \u003d - log 2 x funktsiyasi + 1 keskin pasaymoqda.
Keyingi bosqich bir nechta variantni o'z ichiga oladi.
Variant raqami 1
G figurasini abscissa o'qi ustida joylashgan ikkita egri chiziqli trapezoidlarning yig'indisi sifatida tasvirlashimiz mumkin, ularning birinchisi x ∈ 0 segmentida o'rta chiziq ostida joylashgan; 1, ikkinchisi esa x ∈ 1 segmentidagi qizil chiziq ostida; 2. Demak, maydon S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ga teng bo'ladi.
Variant raqami 2
G rasmini ikkita raqamning farqi sifatida ko'rsatish mumkin, ularning birinchisi x o'qi ustida va x ∈ 0 segmentida ko'k chiziq ostida joylashgan; 2, ikkinchisi esa x ∈ 1 segmentidagi qizil va ko'k chiziqlar orasida; 2. Bu bizga quyidagi maydonni topishga imkon beradi:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Bunday holda, maydonni topish uchun siz S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y shaklidagi formuladan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Aslida, shaklni bog'laydigan chiziqlar y argumentining funktsiyalari sifatida ifodalanishi mumkin.
y = x 3 va - log 2 x + 1 tenglamalarni x ga nisbatan yechamiz:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Biz kerakli maydonni olamiz:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Javob: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
5-misol
y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 chiziqlari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Diagrammada y = x funksiyasi bilan berilgan qizil chiziqli chiziq chizing. y = - 1 2 x + 4 chiziqni ko'k rangda chizing va y = 2 3 x - 3 chiziqni qora rangda belgilang.
Kesishish nuqtalariga e'tibor bering.
y = x va y = - 1 2 x + 4 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarini toping:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i tenglamaning yechimi x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tenglamaning yechimi ⇒ (4 ; 2) kesishish nuqtasi i y = x va y = - 1 2 x + 4
y = x va y = 2 3 x - 3 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasini toping:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Tekshiring: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 - tenglamaning yechimi ⇒ (9; 3) nuqta va kesishma y = x va y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 tenglamaning yechimi emas
y = - 1 2 x + 4 va y = 2 3 x - 3 chiziqlarning kesishish nuqtasini toping:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) kesishish nuqtasi y = - 1 2 x + 4 va y = 2 3 x - 3
1-usul raqami
Biz kerakli raqamning maydonini alohida raqamlar maydonlarining yig'indisi sifatida ifodalaymiz.
Keyin rasmning maydoni:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
2-usul raqami
Asl rasmning maydoni boshqa ikkita raqamning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.
Keyin biz x uchun chiziq tenglamasini echamiz va shundan keyingina biz raqamning maydonini hisoblash formulasini qo'llaymiz.
y = x ⇒ x = y 2 qizil chiziq y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qora chiziq y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Shunday qilib, hudud:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Ko'rib turganingizdek, qiymatlar mos keladi.
Javob: S (G) = 11 3
Natijalar
Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini topish uchun biz tekislikda chiziqlar chizishimiz, ularning kesishish nuqtalarini topishimiz va maydonni topish formulasini qo'llashimiz kerak. Ushbu bo'limda biz vazifalar uchun eng keng tarqalgan variantlarni ko'rib chiqdik.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
a)
Yechim.
Qarorning birinchi va eng muhim lahzasi - chizmaning qurilishi.
Keling, rasm chizamiz:
Tenglama y=0 x o'qini o'rnatadi;
- x=-2 va x=1 - to'g'ri, o'qga parallel OU;
- y \u003d x 2 +2 - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, uchi (0;2) nuqtada joylashgan parabola.
Izoh. Parabolani qurish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topish kifoya, ya'ni. qo'yish x=0 o'q bilan kesishgan joyni toping OU va mos kvadrat tenglamani yechish, o'q bilan kesishuvni toping Oh .
Parabolaning uchini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:
Chiziqlarni va nuqtalarni chizishingiz mumkin.
[-2;1] oraliqda funksiya grafigi y=x 2 +2 joylashgan eksa ustida ho'kiz , shunung uchun:
Javob: S \u003d 9 kvadrat birlik
Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javob haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, "ko'z bilan" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta teriladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Aniqki, agar bizda, aytaylik, javob bo'lsa: 20 kvadrat birlik, demak, biron bir joyda xatolikka yo'l qo'yilgan - 20 hujayra aniq ko'rsatilgan raqamga mos kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
Egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida Oh?
b) Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y=-e x , x=1 va koordinata o'qlari.
Yechim.
Keling, rasm chizamiz.
Agar egri chiziqli trapezoid bo'lsa to'liq o'q ostida Oh , u holda uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
Javob: S=(e-1) kv. birlik" 1,72 kv. birlik
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormang:
1) Agar sizdan hech qanday geometrik ma'noga ega bo'lmagan aniq integralni echishingiz so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun ko'rib chiqilgan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekisliklarda joylashgan.
Bilan) Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Yechim.
Avval siz rasm chizishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolarida chizmani qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari ko'proq qiziqtiradi. Parabola va chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz.Buni ikki usulda bajarish mumkin. Birinchi usul analitikdir.
Tenglamani yechamiz:
Shunday qilib, integratsiyaning pastki chegarasi a=0 , integratsiyaning yuqori chegarasi b=3 .
|
Berilgan chiziqlarni quramiz: 1. Parabola - (1;1) nuqtada cho'qqi; eksa kesishmasi Oh - ball(0;0) va (0;2). 2. To'g'ri chiziq - 2 va 4-koordinata burchaklarining bissektrisasi. Va endi Diqqat! Agar segmentda [ a;b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) uzluksiz funksiyadan katta yoki unga teng g(x), u holda mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: . Shakl qayerda joylashganligi muhim emas - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, lekin qaysi diagramma YUQOR (boshqa diagrammaga nisbatan) va qaysi biri QUYIDA ekanligi muhim. Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak. |
Integratsiya chegaralari go'yo "o'z-o'zidan" aniqlangan holda, nuqta-nuqta chiziqlarini qurish mumkin. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki tishli konstruktsiya integratsiya chegaralarini aniqlamasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi.
Kerakli raqam yuqoridan parabola va pastdan to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Segmentda tegishli formula bo'yicha:
Javob: S \u003d 4,5 kv. birlik
Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda aniq integral son ekanligini aytdim. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.
Ya'ni, aniq integral (agar u mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan qandaydir figuraning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand tekislikdagi ma'lum bir egri chiziqni belgilaydi (agar kerak bo'lsa, uni har doim chizish mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
1-misol
Bu odatiy vazifa bayonoti. Qarorning birinchi va eng muhim lahzasi - chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma qurilishi kerak TO'G'RI.
Loyihani yaratishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: birinchi barcha chiziqlarni (agar mavjud bo'lsa) qurish yaxshidir va faqat keyin- parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funktsiya grafiklarini qurish foydaliroq nuqtadan nuqta, nuqtali qurish texnikasi mos yozuvlar materialida mavjud.
U erda siz bizning darsimizga nisbatan juda foydali bo'lgan materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish.
Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizma tuzamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):
Men egri chiziqli trapezoidni yaratmayman, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:
Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, shunung uchun:
Javob:
Aniq integralni hisoblash va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynalayotganlar uchun ma'ruzaga murojaat qiling. Aniq integral. Yechim misollari.
Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javob haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz "ko'z bilan" rasmdagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 tasi teriladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Aniqki, agar bizda, aytaylik, javob bo'lsa: 20 kvadrat birlik, demak, biron bir joyda xatoga yo'l qo'yilgan - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
2-misol
, , va o'qi bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida?
3-misol
Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Keling, rasm chizamiz:
Agar egri chiziqli trapezoid bo'lsa to'liq o'q ostida, u holda uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
Ushbu holatda:
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan hech qanday geometrik ma'noga ega bo'lmagan aniq integralni echishingiz so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun ko'rib chiqilgan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun eng oddiy maktab muammolaridan biz yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini toping.
Yechim: Avval siz rasm chizishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolarida chizmani qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabola va chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.
Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir.
Integratsiya chegaralari xuddi "o'z-o'zidan" aniqlanganda, chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq. Turli diagrammalar uchun nuqta-nuqta qurish texnikasi yordamda batafsil muhokama qilinadi Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki tishli konstruktsiya integratsiya chegaralarini aniqlamasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.
Biz o'z vazifamizga qaytamiz: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:
Takror aytamanki, nuqtali qurilish bilan integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik ravishda" aniqlanadi.
Va endi ish formulasi: Agar segmentda uzluksiz funksiya bo'lsa dan katta yoki teng ba'zi uzluksiz funktsiya bo'lsa, unda mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
Bu erda endi raqam qayerda joylashganligi haqida o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, va, taxminan, Qaysi diagramma YUQORIDA ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.
Yechimni yakunlash quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Kerakli raqam yuqoridan parabola va pastdan to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Javob:
Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-sonli oddiy misolga qarang) formulaning alohida holatidir. O'q tenglama bilan berilganligi sababli va funktsiya grafigi o'qdan pastda joylashganligi sababli
Va endi mustaqil qaror qabul qilish uchun bir nechta misol
5-misol
6-misol
Chiziqlar bilan o'ralgan figuraning maydonini toping.
Muayyan integral yordamida maydonni hisoblash masalalarini hal qilish jarayonida ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri tuzilgan, hisob-kitoblar to'g'ri edi, lekin e'tiborsizlik tufayli ... noto'g'ri figuraning maydoni topildi, sizning itoatkor xizmatkoringiz bir necha marta buzg'unchilik qildi. Mana haqiqiy hayotiy holat:
7-misol
, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Avval chizamiz:
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga bo'yalgan.(ehtiyotkorlik bilan vaziyatga qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli, ko'pincha yashil rangga bo'yalgan raqamning maydonini topish kerak bo'ladi!
Ushbu misol, shuningdek, foydalidir, chunki unda raqamning maydoni ikkita aniq integral yordamida hisoblanadi. Haqiqatan ham:
1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqli grafik mavjud;
2) Eksa ustidagi segmentda giperbola grafigi joylashgan.
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Javob:
8-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang,
Keling, tenglamalarni "maktab" ko'rinishida taqdim etamiz va nuqta-nuqta chizamiz:
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": .
Ammo pastki chegara nima? Bu butun son emasligi aniq, lekin nima? Balkim ? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan qilinganligiga kafolat qayerda, bu aniq bo'lishi mumkin. Yoki ildiz. Agar biz grafikni umuman to'g'ri ololmasak-chi?
Bunday hollarda qo'shimcha vaqt sarflash va integratsiya chegaralarini analitik jihatdan aniqlashtirish kerak.
Chiziq va parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz.
Buning uchun tenglamani yechamiz:
Binobarin, .
Keyingi yechim ahamiyatsiz, asosiysi almashtirish va belgilarda chalkashmaslikdir, bu erda hisob-kitoblar eng oson emas.
Segmentda tegishli formula bo'yicha:
Xo'sh, dars yakunida biz ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqamiz.
9-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang, ,
Yechish: Ushbu rasmni chizmaga chizing.
Chizmani nuqta-nuqta qurish uchun sinusoidning ko'rinishini bilish kerak (va umuman bilish foydalidir) barcha elementar funksiyalarning grafiklari), shuningdek, ba'zi sinus qiymatlari, ularni topish mumkin trigonometrik jadval. Ba'zi hollarda (bu holatda bo'lgani kabi) sxematik chizmani qurishga ruxsat beriladi, unda grafiklar va integratsiya chegaralari printsipial jihatdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.
Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi: - "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Biz qo'shimcha qaror qabul qilamiz:
Segmentda funktsiya grafigi eksa ustida joylashgan, shuning uchun:
(1) Sinuslar va kosinuslar qanday qilib toq darajalarda integrallashganini darsda ko'rish mumkin Trigonometrik funksiyalarning integrallari. Bu odatiy usul, biz bitta sinusni chimchilaymiz.
(2) Biz shaklda asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanamiz
(3) o'zgaruvchini o'zgartiramiz, keyin:
Integratsiyaning yangi qayta taqsimlanishi:
O'zgartirishlar bilan kim haqiqatan ham yomon ish bo'lsa, darsga o'ting Noaniq integralda almashtirish usuli. Aniq integralda almashtirish algoritmi haqida juda aniq bo'lmaganlar uchun sahifaga tashrif buyuring Aniq integral. Yechim misollari. 5-misol: Yechim: shunday:
Javob:
Eslatma: kubdagi tangensning integrali qanday olinganiga e'tibor bering, bu erda asosiy trigonometrik o'ziga xoslikning natijasi qo'llaniladi.
