Kvadrat tenglamalarni og'zaki yechish va Vyeta teoremasi. Kvadrat va boshqa tenglamalar uchun Vyeta teoremasi Vyeta teoremasining qo‘llanilishi
Ushbu ma'ruzada biz kvadrat tenglamaning ildizlari va uning koeffitsientlari o'rtasidagi qiziq bog'lanishlar bilan tanishamiz. Bu munosabatlarni birinchi marta fransuz matematigi Fransua Vyet (1540-1603) kashf etgan.
Masalan, Zx 2 - 8x - 6 \u003d 0 tenglamasi uchun uning ildizlarini topmasdan, Vieta teoremasidan foydalanib, darhol ildizlarning yig'indisi , ildizlarning mahsuloti esa ekanligini aytishingiz mumkin.
ya'ni - 2. Va x 2 - 6x + 8 \u003d 0 tenglamasi uchun biz xulosa qilamiz: ildizlarning yig'indisi 6, ildizlarning mahsuloti 8; Aytgancha, ildizlar nimaga teng ekanligini taxmin qilish qiyin emas: 4 va 2.
Vyeta teoremasining isboti. ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglamaning x 1 va x 2 ildizlari formulalar bo'yicha topiladi.
Bu erda D \u003d b 2 - 4ac tenglamaning diskriminantidir. Bu ildizlarni yotqizish
olamiz
Endi biz ildizlarning mahsulotini hisoblaymiz x 1 va x 2 Bizda bor
Ikkinchi munosabat isbotlangan:
Izoh.
Vyeta teoremasi kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lsa (ya'ni D \u003d 0 bo'lganda) ham amal qiladi, shunchaki bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblanadi, ularga yuqoridagi munosabatlar qo'llaniladi. .
Qisqartirilgan kvadrat tenglama x 2 + px + q \u003d 0 uchun isbotlangan munosabatlar juda oddiy ko'rinishga ega.Bu holda biz quyidagilarni olamiz:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
bular. berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng.
Vieta teoremasidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa munosabatlarni ham olish mumkin. Masalan, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 + px + q = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsin.
Biroq, Vyeta teoremasining asosiy maqsadi kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi muayyan munosabatlarni ifodalash emas. Bundan ham muhimi shundaki, Vyeta teoremasi yordamida kvadrat trinomial faktoring formulasi olinadi, bu holda biz kelajakda qilmaymiz.
Isbot. Bizda ... bor
1-misol. Kvadrat trinomial 3x 2 - 10x + 3ni ko'paytiring.
Yechim. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 tenglamasini yechib, Zx 2 - 10x + 3 kvadrat trinomining ildizlarini topamiz: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
2-teoremadan foydalanib, biz olamiz
Buning o'rniga Zx - 1 yozish mantiqan to'g'ri keladi. Keyin nihoyat Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) ni olamiz.
E'tibor bering, berilgan kvadrat trinomiyani guruhlash usuli yordamida 2-teoremadan foydalanmasdan koeffitsientlarga ajratish mumkin:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Ammo, ko'rib turganingizdek, bu usul bilan muvaffaqiyat biz muvaffaqiyatli guruhlashni topa olamizmi yoki yo'qligiga bog'liq, birinchi usul bilan esa muvaffaqiyat kafolatlanadi.
1-misol. Fraksiyani kamaytiring
Yechim. 2x 2 + 5x + 2 = 0 tenglamasidan x 1 = - 2 ni topamiz,
x2 - 4x - 12 = 0 tenglamasidan x 1 = 6, x 2 = -2 ni topamiz. Shunung uchun
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Endi berilgan kasrni kamaytiramiz:
3-misol. Ifodalarni faktorlarga ajrating:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Yechish a) y = x 2 yangi o‘zgaruvchini kiritamiz. Bu bizga berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadrat trinomial ko‘rinishda, ya’ni y 2 + by + 6 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi.
Y 2 + bilan + 6 \u003d 0 tenglamasini yechib, y 2 + 5y + 6 kvadrat trinomialning ildizlarini topamiz: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Endi biz 2-teoremadan foydalanamiz; olamiz
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Shuni esda tutish kerakki, y \u003d x 2, ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) y = yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Bu sizga berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadrat uch a’zo ko‘rinishida, ya’ni 2y 2 + y – 3 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Tenglamani yechgandan so‘ng
2y 2 + y - 3 \u003d 0, biz 2y 2 + y - 3 kvadrat trinomialning ildizlarini topamiz:
y 1 = 1, y 2 =. Bundan tashqari, 2-teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Shuni esda tutish kerakki, y \u003d, ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,
Bo'lim yana Veta teoremasi bilan bog'liq bo'lgan ba'zi mulohazalar bilan, aniqrog'i, qarama-qarshi fikr bilan yakunlanadi:
agar x 1, x 2 raqamlari x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q bo'lsa, bu raqamlar tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
Ushbu bayonotdan foydalanib, siz ko'p kvadrat tenglamalarni og'zaki, og'ir ildiz formulalaridan foydalanmasdan yechishingiz mumkin, shuningdek, berilgan ildizlar bilan kvadrat tenglamalar tuzishingiz mumkin. Keling, misollar keltiraylik.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. X 1 = 8, x 2 = 3 ekanligini taxmin qilish oson.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. X 1 = -5, x 2 = -6 ekanligini taxmin qilish oson.
Iltimos, diqqat qiling: agar tenglamaning erkin muddati musbat son bo'lsa, u holda ikkala ildiz ham ijobiy yoki salbiy; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.
3) x 2 + x - 12 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. X 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 ekanligini taxmin qilish oson.
Iltimos, diqqat qiling: agar tenglamaning erkin muddati manfiy son bo'lsa, unda ildizlar ishora jihatidan farq qiladi; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. X = 1 tenglamani qanoatlantirishini ko'rish oson, ya'ni. x 1 \u003d 1 - tenglamaning ildizi. X 1 x 2 \u003d - va x 1 \u003d 1 bo'lgani uchun biz x 2 \u003d - ni olamiz.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Agar 2830 = 283 ekanligiga e'tibor qaratsangiz. 10 va 293 \u003d 283 + 10, keyin x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 ekanligi ayon bo'ladi (endi bu kvadrat tenglamani standart formulalar yordamida yechish uchun qanday hisob-kitoblarni bajarish kerakligini tasavvur qiling).
6) X 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 raqamlari uning ildizi bo'lib xizmat qiladigan kvadrat tenglama tuzamiz.Odatda bunday hollarda ular x 2 + px + q \u003d 0 qisqartirilgan kvadrat tenglamani tashkil qiladi.
Bizda x 1 + x 2 \u003d -p, shuning uchun 8 - 4 \u003d -p, ya'ni p \u003d -4. Bundan tashqari, x 1 x 2 = q, ya'ni. 8"(-4) = q, bu erdan q = -32 ni olamiz. Shunday qilib, p \u003d -4, q \u003d -32, ya'ni kerakli kvadrat tenglama x 2 -4x-32 \u003d 0 ko'rinishga ega.
Har qanday to'liq kvadrat tenglama ax2 + bx + c = 0 xayolga keltirish mumkin x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, agar har bir a'zoni avval a oldingi koeffitsientiga bo'lsak x2. Va agar biz yangi belgini kiritsak (b/a) = p va (c/a) = q, keyin biz tenglamaga ega bo'lamiz x 2 + px + q = 0, bu matematikada deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama.
Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari p va q o'zaro bog'langan. Tasdiqlangan Vyeta teoremasi, 16-asr oxirida yashagan frantsuz matematigi Fransua Vyeta nomi bilan atalgan.
Teorema. Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 + px + q = 0 ikkinchi koeffitsientga teng p, qarama-qarshi belgi bilan olingan va ildizlarning mahsuloti - erkin muddatga q.
Ushbu nisbatlarni quyidagi shaklda yozamiz:
Mayli x 1 va x2 qisqartirilgan tenglamaning turli ildizlari x 2 + px + q = 0. Vyeta teoremasiga ko'ra x1 + x2 = -p va x 1 x 2 = q.
Buni isbotlash uchun tenglamaga x 1 va x 2 ildizlarning har birini almashtiramiz. Biz ikkita haqiqiy tenglikni olamiz:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Birinchi tenglikdan ikkinchisini ayiring. Biz olamiz: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Birinchi ikkita atamani kvadratlar farqi formulasiga ko'ra kengaytiramiz:
(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0
Shartga ko'ra, x 1 va x 2 ildizlari farq qiladi. Shuning uchun biz tenglikni (x 1 - x 2) ≠ 0 ga qisqartirishimiz va p ni ifodalashimiz mumkin.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Birinchi tenglik isbotlangan.
Ikkinchi tenglikni isbotlash uchun biz birinchi tenglamani almashtiramiz
p koeffitsienti o'rniga x 1 2 + px 1 + q \u003d 0, uning teng soni (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Tenglamaning chap tomonini o'zgartirib, biz quyidagilarni olamiz:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, bu isbotlanishi kerak edi.
Vyeta teoremasi yaxshi, chunki kvadrat tenglamaning ildizlarini bilmagan holda ham, biz ularning yig'indisini va mahsulotini hisoblashimiz mumkin .
Vyeta teoremasi berilgan kvadrat tenglamaning butun ildizlarini aniqlashga yordam beradi. Ammo ko'plab talabalar uchun bu aniq harakat algoritmini bilmasliklari sababli qiyinchiliklarga olib keladi, ayniqsa tenglamaning ildizlari bo'lsa. turli belgilar.
Shunday qilib, berilgan kvadrat tenglama x 2 + px + q \u003d 0 ko'rinishga ega, bu erda x 1 va x 2 uning ildizlari. Vyeta teoremasiga ko'ra x 1 + x 2 = -p va x 1 x 2 = q.
Biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin.
Agar tenglamada oxirgi haddan oldin minus belgisi bo'lsa, u holda x 1 va x 2 ildizlari turli xil belgilarga ega. Bundan tashqari, kichikroq ildizning belgisi tenglamadagi ikkinchi koeffitsientning belgisi bilan bir xil bo'ladi.
Turli xil belgilarga ega bo'lgan raqamlarni qo'shganda, ularning modullari ayiriladi va natijaning oldiga kattaroq sonning belgisi qo'yilishiga asoslanib, siz quyidagicha harakat qilishingiz kerak:
- q sonining bunday omillarini ularning farqi p soniga teng bo'lishi uchun aniqlang;
- olingan sonlarning kichigi oldiga tenglamaning ikkinchi koeffitsienti belgisini qo'ying; ikkinchi ildiz teskari belgiga ega bo'ladi.
Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol.
x 2 - 2x - 15 = 0 tenglamani yeching.
Yechim.
Keling, yuqorida taklif qilingan qoidalardan foydalanib, ushbu tenglamani echishga harakat qilaylik. Shunda bu tenglama ikki xil ildizga ega bo'lishini aniq aytishimiz mumkin, chunki D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Endi 15 sonining barcha omillaridan (1 va 15, 3 va 5) farqi 2 ga teng bo'lganlarni tanlaymiz. Bular 3 va 5 raqamlari bo'ladi. Kichikroq raqam oldiga minus belgisini qo'yamiz. , ya'ni. tenglamaning ikkinchi koeffitsientining belgisi. Shunday qilib, biz x 1 \u003d -3 va x 2 \u003d 5 tenglamaning ildizlarini olamiz.
Javob. x 1 = -3 va x 2 = 5.
2-misol.
x 2 + 5x - 6 = 0 tenglamani yeching.
Yechim.
Keling, bu tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini tekshiramiz. Buning uchun biz diskriminantni topamiz:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Tenglama ikki xil ildizga ega.
6 sonining mumkin bo'lgan omillari 2 va 3, 6 va 1. Farqi 6 va 1 juftligi uchun 5 ga teng. Bu misolda ikkinchi hadning koeffitsienti ortiqcha belgisiga ega, shuning uchun kichikroq raqamga ega bo'ladi. bir xil belgi. Ammo ikkinchi raqamdan oldin minus belgisi bo'ladi.
Javob: x 1 = -6 va x 2 = 1.
Vyeta teoremasini to‘liq kvadrat tenglama uchun ham yozish mumkin. Shunday qilib, agar kvadrat tenglama ax2 + bx + c = 0 ildizlari x 1 va x 2 bo'lsa, ular tenglikni qanoatlantiradi
x 1 + x 2 = -(b/a) va x 1 x 2 = (c/a). Biroq, bu teoremani to'liq kvadrat tenglamada qo'llash ancha muammoli, chunki agar ildizlar bo'lsa, ulardan kamida bittasi kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash juda qiyin. Ammo hali ham chiqish yo'li bor.
To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqaylik ax 2 + bx + c = 0. Uning chap va o'ng tomonlarini a koeffitsientiga ko'paytiring. Tenglama (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ko'rinishini oladi. Endi yangi o'zgaruvchini kiritamiz, masalan, t = ax.
Bunday holda, hosil bo'lgan tenglama t 2 + bt + ac = 0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga aylanadi, uning ildizlari t 1 va t 2 (agar mavjud bo'lsa) Viet teoremasi bilan aniqlanishi mumkin.
Bunday holda, dastlabki kvadrat tenglamaning ildizlari bo'ladi
x 1 = (t 1 / a) va x 2 = (t 2 / a).
3-misol.
15x 2 - 11x + 2 = 0 tenglamani yeching.
Yechim.
Yordamchi tenglama tuzamiz. Tenglamaning har bir hadini 15 ga ko'paytiramiz:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
Biz o'zgartirishni t = 15x qilamiz. Bizda ... bor:
t 2 - 11t + 30 = 0.
Vyeta teoremasiga ko'ra, bu tenglamaning ildizlari t 1 = 5 va t 2 = 6 bo'ladi.
Biz t = 15x almashtirishga qaytamiz:
5 = 15x yoki 6 = 15x. Shunday qilib, x 1 = 5/15 va x 2 = 6/15. Biz qisqartiramiz va yakuniy javobni olamiz: x 1 = 1/3 va x 2 = 2/5.
Javob. x 1 = 1/3 va x 2 = 2/5.
Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish uchun talabalar imkon qadar mashq qilishlari kerak. Aynan shu muvaffaqiyat siri.
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.
Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida, ildiz formulalaridan tashqari, boshqa foydali munosabatlar mavjud Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasining formulasini va isbotini keltiramiz. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng biz eng xarakterli misollarning echimlarini tahlil qilamiz. Va nihoyat, biz haqiqiy ildizlar orasidagi bog'lanishni aniqlaydigan Viet formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.
Sahifani navigatsiya qilish.
Vyeta teoremasi, formulasi, isboti
Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan a x 2 +b x+c=0 ko‘rinishdagi, bu yerda D=b 2 −4 a c , munosabatlar x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:
Teorema.
Agar a x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari a x 2 +b x+c=0, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.
Isbot.
Vyeta teoremasini quyidagi sxema bo‘yicha isbotlaymiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, so‘ngra hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. /a va c/a.
Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaylik, uni tuzing. Endi biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda bor. Olingan kasrning payida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz olamiz. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi uchun Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz:. Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi ko'paytmani quyidagicha yozish mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, ammo bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi. kvadratlar farqi formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va D=b 2 −4 a·c formulasi kvadrat tenglamaning diskriminantiga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrga D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yish mumkin, ni olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash hadlarni kamaytirgandan so'ng kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.
Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti qisqacha shaklga ega bo'ladi:
,
.
Shuni ta'kidlash kerakki, diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 uchun kvadrat tenglamaning ildizi , u holda va , D=0 bo'lgani uchun, ya'ni b 2 −4·a·c=0 , bundan b 2 =4·a·c , u holda .
Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (eng yuqori koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Mana Viet teoremasining tegishli formulasi:
Teorema.
Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 + p x + q \u003d 0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga teng va ildizlarning mahsuloti erkin atama, ya'ni x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Vyeta teoremasiga teskari teorema
Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 = - munosabatlari p, x 1 x 2=q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan tasdiq haqiqatdir. Biz uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.
Teorema.
Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 +p x+q=0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo‘ladi. .
Isbot.
Ularni ifodalashning x 2 +p x+q=0 tenglamasidagi p va q koeffitsientlarini x 1 va x 2 orqali almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.
Olingan tenglamaga x o'rniga x 1 raqamini qo'yamiz, biz tenglikka egamiz x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun to'g'ri sonli tenglik 0=0, chunki x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu x 1 ekvivalent x 2 +p x+q=0 tenglamaning ildizi ekanligini bildiradi.
Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, shunda biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu to'g'ri tenglama, chunki x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, va demak, x 2 +p x+q=0 tenglamalar.
Bu teoremaning isbotini to'ldiradi, qarama-qarshi teorema Vyeta.
Vyeta teoremasidan foydalanishga misollar
Vyeta teoremasi va uning teskari teoremasining amaliy qo‘llanilishi haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu kichik bo'limda biz bir nechta eng tipik misollarning echimlarini tahlil qilamiz.
Biz Viet teoremasiga teskari teorema qo'llashdan boshlaymiz. Undan berilgan ikki raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qanoatlansa, Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema tufayli bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.
Misol.
1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2), yoki 3) son juftlaridan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz juftidir?
Yechim.
Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4 , b=−16 , c=9 ga teng. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.
Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi sonlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.
Birinchi holda, bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun keyingi tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin teorema bo'yicha, Veta teoremasining teskarisi, biz darhol raqamlarning birinchi juftligi berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari emas degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Ikkinchi shartni tekshiramiz: , natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Demak, ikkinchi sonlar juftligi kvadrat tenglamaning ildiz jufti emas.
Oxirgi holat qolmoqda. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
Javob:
Vyeta teoremasining teskari teoremasidan kvadrat tenglamaning ildizlarini tanlashda amalda foydalanish mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Shu bilan birga, agar ikkita sonning yig'indisi minus belgisi bilan olingan kvadrat tenglamaning ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu raqamlarning ko'paytmasi erkin hadga teng bo'lsa, u holda bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, bu bilan bir misol bilan shug'ullanamiz.
X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari ushbu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik x 1 + x 2 \u003d 5 va x 1 x 2 \u003d 6 bajarilishi kerak. Bunday raqamlarni tanlash qoladi. Bunday holda, buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2 3=6 . Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.
Teorema, Vieta teoremasining teskarisi, ildizlardan biri allaqachon ma'lum yoki aniq bo'lsa, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topishda qo'llash uchun ayniqsa qulaydir. Bunda ikkinchi ildiz har qanday munosabatdan topiladi.
Masalan, 512 x 2 −509 x−3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildiz x 2 ni, masalan, x 1 x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 , bundan x 2 =−3/512 . Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham aniqladik: 1 va -3/512.
Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy hollarda maqsadga muvofiq ekanligi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun kvadrat tenglamaning ildizlari formulalarini diskriminant orqali qo'llash mumkin.
Boshqa amaliy foydalanish teorema, Veta teoremasining teskarisi, berilgan x 1 va x 2 ildizlari uchun kvadrat tenglamalar tuzishdan iborat. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.
Misol.
Ildizlari −11 va 23 raqamlari boʻlgan kvadrat tenglamani yozing.
Yechim.
x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilang. Biz ushbu raqamlarning yig'indisini va mahsulotini hisoblaymiz: x 1 + x 2 \u003d 12 va x 1 x 2 \u003d -253. Demak, bu sonlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.
Javob:
x 2 −12 x−253=0 .
Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalar ildizlari belgilari bilan bog'liq vazifalarni hal qilishda juda tez-tez ishlatiladi. X 2 +p x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan Vyeta teoremasi qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:
- Agar q kesma musbat son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'ladi.
- Agar q erkin atamasi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, unda ularning belgilari har xil, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy bo’ladi.
Bu gaplar x 1 x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat, manfiy sonlar va turli belgilarga ega sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi. Ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqing.
Misol.
R ijobiy. Diskriminant formulaga asosan D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 ni, r 2 ifoda qiymatini topamiz. +8 har qanday haqiqiy r uchun ijobiy, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Shuning uchun dastlabki kvadrat tenglama r parametrining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun ikkita ildizga ega.
Keling, ildizlar qachon turli belgilarga ega ekanligini bilib olaylik. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning ko'paytmasi manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasi erkin hadga tengdir. Shuning uchun bizni r ning o'sha qiymatlari qiziqtiradi, ular uchun r-1 erkin atamasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun biz kerak chiziqli tengsizlikni yeching r−1<0 , откуда находим r<1 .
Javob:
da r<1 .
Vieta formulalari
Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo faqat kvadrat tenglamalar emas, balki kub tenglamalar, to'rtlik tenglamalar va umuman, haqiqiy ildiz va koeffitsientlarni bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vieta formulalari.
Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Vieta formulalarini yozamiz, shu bilan birga uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb faraz qilamiz (ular orasida bir xil bo'lishi mumkin): 
Vieta formulalarini oling polinomni faktorizatsiya teoremasi, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vieta formulalarini olamiz.
Xususan, n=2 uchun kvadrat tenglama uchun biz allaqachon tanish Vyeta formulalariga egamiz.
Kubik tenglama uchun Vieta formulalari shaklga ega 
Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladiganlar mavjud simmetrik polinomlar.
Adabiyotlar ro'yxati.
- Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri ilovadir VIETA formulalari, FRANCOIS VIETE sharafiga nomlangan.
U mashhur huquqshunos bo'lib, 16-asrda frantsuz qiroli bilan birga xizmat qilgan. Bo'sh vaqtlarida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.
Formulaning afzalliklari:
1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish, uning qiymatini ildizlarni topish formulasiga almashtirish kerak.
2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz, ildizlarning qiymatlarini olishingiz mumkin.
3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsientning minus belgisi bilan qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.
4 . Berilgan ildizlarga ko'ra kvadrat tenglama yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.
5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formulani qo'llash qulay.
Kamchiliklari:
1
. Formula universal emas.
Vyeta teoremasi 8-sinf
Formula
Agar x 1 va x 2 berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q \u003d 0 bo'lsa, u holda:
Misollar
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Teskari teorema
Formula
Agar x 1 , x 2 , p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:
U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.
Misol
Uning ildizlari bo‘yicha kvadrat tenglama tuzamiz:
X 1 \u003d 2 -? 3 va x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Istalgan tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Yuqori darajali polinomlar (tenglamalar) uchun Vieta formulasi
Kvadrat tenglamalar uchun Vieta tomonidan olingan formulalar yuqori darajali ko'phadlar uchun ham to'g'ri keladi.
Polinom bo'lsin
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
n ta aniq ildizga ega x 1 , x 2 …, x n .
Bunday holda, u shaklning faktorizatsiyasiga ega:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Keling, bu tenglikning ikkala qismini 0 ≠ 0 ga ajratamiz va birinchi qismdagi qavslarni kengaytiramiz. Biz tenglikni olamiz:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Ammo ikkita polinom bir xil darajada teng bo'ladi, agar bir xil darajadagi koeffitsientlar teng bo'lsa. Bundan kelib chiqadiki, tenglik
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Masalan, uchinchi darajali polinomlar uchun
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Bizning shaxsiyatimiz bor
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Kvadrat tenglamalarga kelsak, bu formula Vieta formulalari deb ataladi. Bu formulalarning chap qismlari berilgan tenglamaning x 1 , x 2 ..., x n ildizlaridan olingan simmetrik koʻphadlar, oʻng qismlari esa koʻphadning koeffitsienti bilan ifodalanadi.
2.6 Kvadratlarga qaytariladigan tenglamalar (bikvadrat)
To'rtinchi darajali tenglamalar kvadrat tenglamalarga keltiriladi:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
biquadratic deb ataladi, bundan tashqari, a ≠ 0.
Ushbu tenglamaga x 2 \u003d y qo'yish kifoya, shuning uchun
ay² + by + c = 0
olingan kvadrat tenglamaning ildizlarini toping
y 1,2 = 
Darhol x 1, x 2, x 3, x 4 ildizlarini topish uchun y ni x bilan almashtiring va ni oling.
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Agar to'rtinchi darajali tenglamada x 1 bo'lsa, u ham x 2 \u003d -x 1 ildiziga ega,
Agar x 3 bo'lsa, u holda x 4 \u003d - x 3. Bunday tenglamaning ildizlari yig'indisi nolga teng.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Tenglamani bikvadrat tenglamalarning ildizlari formulasiga almashtiramiz:
x 1,2,3,4 = 
,
x 1 \u003d -x 2 va x 3 \u003d -x 4 ekanligini bilib, keyin:
x 3.4 = 
Javob: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =
2.7 Bikvadrat tenglamalarni o'rganish
Keling, bikvadrat tenglamani olaylik
ax 4 + bx 2 + c = 0,
Bu erda a, b, c haqiqiy sonlar va a > 0. Yordamchi noma'lum y = x² kiritib, biz ushbu tenglamaning ildizlarini tekshiramiz va natijalarni jadvalga kiritamiz (1-ilovaga qarang).
2.8 Kardano formulasi
Agar biz zamonaviy simvolizmdan foydalansak, Kardano formulasining kelib chiqishi quyidagicha ko'rinishi mumkin:
x = 
Ushbu formula uchinchi darajali umumiy tenglamaning ildizlarini aniqlaydi:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Ushbu formula juda og'ir va murakkab (u bir nechta murakkab radikallarni o'z ichiga oladi). Bu har doim ham amal qilmaydi, chunki. bajarish juda qiyin.
F ¢(xo) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
2-3 ta matndan eng qiziqarli joylarni sanab bering yoki tanlang. Shunday qilib, biz 9-sinf uchun algebra fanidan “Parametrli to’rtburchak tenglamalar va tengsizliklar” fani tanlov kursini ishlab chiqishda e’tiborga olinadigan tanlov kurslarini yaratish va o’tkazishning umumiy qoidalarini ko’rib chiqdik. II bob. “Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar” tanlov kursini o‘tkazish metodikasi 1.1. Umumiy...
Raqamli hisoblash usullaridan yechimlar. Tenglamaning ildizlarini aniqlash uchun Abel, Galois, Lie guruhlari va boshqalar nazariyalarini bilish shart emas va maxsus matematik terminologiyadan foydalanish: halqalar, maydonlar, ideallar, izomorfizmlar va boshqalar. n-darajali algebraik tenglamani yechish uchun faqat kvadrat tenglamalarni yechish va kompleks sondan ildizlarni ajratib olish qobiliyati kerak. Ildizlarni aniqlash mumkin ...
MathCAD tizimida fizik kattaliklarning o'lchov birliklari bilan? 11. Matn, grafik va matematik bloklarni batafsil tasvirlab bering. Dars raqami 2. Chiziqli algebra va MathCAD muhitida differensial tenglamalarni yechish masalalari Chiziqli algebra masalalarida matritsalar bilan har xil amallarni bajarish deyarli har doim zarur bo‘lib qoladi. Matritsa operator paneli Matematik panelda joylashgan. ...
