hunarmandchilik

Kvadrat va boshqa tenglamalar uchun Vyeta teoremasi. Viet teoremasi, teskari Vyet formulasi va dummilar uchun yechimga misollar.

Har qanday to'liq kvadrat tenglama ax2 + bx + c = 0 xayolga keltirish mumkin x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, agar har bir a'zoni avval a oldingi koeffitsientiga bo'lsak x2. Va agar biz yangi belgini kiritsak (b/a) = p va (c/a) = q, keyin biz tenglamaga ega bo'lamiz x 2 + px + q = 0, bu matematikada deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama.

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari p va q o'zaro bog'langan. Tasdiqlangan Vyeta teoremasi, 16-asr oxirida yashagan frantsuz matematigi Fransua Vyeta nomi bilan atalgan.

Teorema. Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 + px + q = 0 ikkinchi koeffitsientga teng p, qarama-qarshi belgi bilan olingan va ildizlarning mahsuloti - erkin muddatga q.

Ushbu nisbatlarni quyidagi shaklda yozamiz:

Mayli x 1 va x2 qisqartirilgan tenglamaning turli ildizlari x 2 + px + q = 0. Vyeta teoremasiga ko'ra x1 + x2 = -p va x 1 x 2 = q.

Buni isbotlash uchun tenglamaga x 1 va x 2 ildizlarning har birini almashtiramiz. Biz ikkita haqiqiy tenglikni olamiz:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Birinchi tenglikdan ikkinchisini ayiring. Biz olamiz:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Birinchi ikkita atamani kvadratlar farqi formulasiga ko'ra kengaytiramiz:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Shartga ko'ra, x 1 va x 2 ildizlari farq qiladi. Shuning uchun biz tenglikni (x 1 - x 2) ≠ 0 ga qisqartirishimiz va p ni ifodalashimiz mumkin.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Birinchi tenglik isbotlangan.

Ikkinchi tenglikni isbotlash uchun biz birinchi tenglamani almashtiramiz

p koeffitsienti o'rniga x 1 2 + px 1 + q \u003d 0, uning teng soni (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Tenglamaning chap tomonini o'zgartirib, biz quyidagilarni olamiz:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, bu isbotlanishi kerak edi.

Vyeta teoremasi yaxshi, chunki kvadrat tenglamaning ildizlarini bilmagan holda ham, ularning yig'indisini va mahsulotini hisoblashimiz mumkin .

Vyeta teoremasi berilgan kvadrat tenglamaning butun ildizlarini aniqlashga yordam beradi. Ammo ko'pgina talabalar uchun bu aniq harakatlar algoritmini bilmasliklari sababli qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, ayniqsa tenglamaning ildizlari turli belgilarga ega bo'lsa.

Shunday qilib, berilgan kvadrat tenglama x 2 + px + q \u003d 0 ko'rinishga ega, bu erda x 1 va x 2 uning ildizlari. Vyeta teoremasiga ko'ra x 1 + x 2 = -p va x 1 x 2 = q.

Biz quyidagi xulosa chiqarishimiz mumkin.

Agar tenglamada oxirgi haddan oldin minus belgisi bo'lsa, u holda x 1 va x 2 ildizlari turli xil belgilarga ega. Bundan tashqari, kichikroq ildizning belgisi tenglamadagi ikkinchi koeffitsientning belgisi bilan bir xil bo'ladi.

Har xil belgilarga ega bo'lgan raqamlarni qo'shganda, ularning modullari ayiriladi va moduldagi kattaroq sonning belgisi natija oldiga qo'yilganligiga asoslanib, siz quyidagicha harakat qilishingiz kerak:

q sonining bunday omillarini ularning farqi p soniga teng bo'lishi uchun aniqlang;
olingan sonlarning kichigi oldiga tenglamaning ikkinchi koeffitsienti belgisini qo'ying; ikkinchi ildiz teskari belgiga ega bo'ladi.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol.

x 2 - 2x - 15 = 0 tenglamani yeching.

Yechim.

Keling, yuqorida taklif qilingan qoidalar yordamida ushbu tenglamani echishga harakat qilaylik. Shunda bu tenglama ikki xil ildizga ega bo'lishini aniq aytishimiz mumkin, chunki D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Endi 15 sonining barcha omillaridan (1 va 15, 3 va 5) farqi 2 ga teng bo'lganlarni tanlaymiz. Bu 3 va 5 raqamlari bo'ladi. Kichikroq raqam oldiga minus belgisini qo'yamiz. , ya'ni. tenglamaning ikkinchi koeffitsientining belgisi. Shunday qilib, biz x 1 \u003d -3 va x 2 \u003d 5 tenglamaning ildizlarini olamiz.

Javob. x 1 = -3 va x 2 = 5.

2-misol.

x 2 + 5x - 6 = 0 tenglamani yeching.

Yechim.

Keling, bu tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini tekshiramiz. Buning uchun biz diskriminantni topamiz:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Tenglama ikki xil ildizga ega.

6 sonining mumkin bo'lgan omillari 2 va 3, 6 va 1. Farqi 6 va 1 juftligi uchun 5 ga teng. Bu misolda ikkinchi hadning koeffitsienti ortiqcha belgisiga ega, shuning uchun kichikroq raqamga ega bo'ladi. bir xil belgi. Ammo ikkinchi raqamdan oldin minus belgisi bo'ladi.

Javob: x 1 = -6 va x 2 = 1.

Vyeta teoremasini to‘liq kvadrat tenglama uchun ham yozish mumkin. Shunday qilib, agar kvadrat tenglama ax2 + bx + c = 0 ildizlari x 1 va x 2 bo'lsa, ular tenglikni qanoatlantiradi

x 1 + x 2 = -(b/a) va x 1 x 2 = (c/a). Biroq, bu teoremani to'liq kvadrat tenglamada qo'llash ancha muammoli, chunki agar ildizlar bo'lsa, ulardan kamida bittasi kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash juda qiyin. Lekin hali ham chiqish yo'li bor.

To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqaylik ax 2 + bx + c = 0. Uning chap va o'ng tomonlarini a koeffitsientiga ko'paytiring. Tenglama (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ko'rinishini oladi. Endi yangi o'zgaruvchini kiritamiz, masalan t = ax.

Bunday holda, hosil bo'lgan tenglama t 2 + bt + ac = 0 ko'rinishidagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga aylanadi, uning ildizlari t 1 va t 2 (agar mavjud bo'lsa) Viet teoremasi bilan aniqlanishi mumkin.

Bunday holda, dastlabki kvadrat tenglamaning ildizlari bo'ladi

x 1 = (t 1 / a) va x 2 = (t 2 / a).

3-misol.

15x 2 - 11x + 2 = 0 tenglamani yeching.

Yechim.

Yordamchi tenglama tuzamiz. Tenglamaning har bir hadini 15 ga ko'paytiramiz:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Biz o'zgartirishni t = 15x qilamiz. Bizda ... bor:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Vyeta teoremasiga ko'ra, bu tenglamaning ildizlari t 1 = 5 va t 2 = 6 bo'ladi.

Biz t = 15x almashtirishga qaytamiz:

5 = 15x yoki 6 = 15x. Shunday qilib, x 1 = 5/15 va x 2 = 6/15. Biz qisqartiramiz va yakuniy javobni olamiz: x 1 = 1/3 va x 2 = 2/5.

Javob. x 1 = 1/3 va x 2 = 2/5.

Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish uchun o‘quvchilar imkon qadar ko‘proq mashq qilishlari kerak. Aynan shu muvaffaqiyat siri.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Vyeta teoremasi (aniqrog‘i, Vyeta teoremasiga teskari teorema) kvadrat tenglamalarni yechish vaqtini qisqartirish imkonini beradi. Siz uni qanday ishlatishni bilishingiz kerak. Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechishni qanday o‘rganish mumkin? Bir oz o'ylab ko'rsangiz oson.

Endi biz faqat Vyeta teoremasi yordamida qisqartirilgan kvadrat tenglamani yechish haqida gapiramiz.Kimirlangan kvadrat tenglama a, ya'ni x² oldidagi koeffitsient bir ga teng bo'lgan tenglamadir. Berilmagan kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida ham yechish mumkin, ammo u erda ildizlardan kamida bittasi butun son emas. Ularni taxmin qilish qiyinroq.

Vyeta teoremasiga teskari teorema shunday deydi: agar x1 va x2 raqamlari shunday bo'lsa,

u holda x1 va x2 kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamani Vieta teoremasi yordamida yechishda faqat 4 ta variant mumkin. Agar siz fikrlash jarayonini eslasangiz, butun ildizlarni tezda topishni o'rganishingiz mumkin.

I. Agar q musbat son bo‘lsa,

demak, x1 va x2 ildizlari bir xil belgili raqamlardir (chunki faqat bir xil belgilarga ega bo'lgan sonlarni ko'paytirishda musbat son olinadi).

I.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (mos ravishda, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (mos ravishda, p>0), keyin ikkala ildiz ham manfiy sonlar (ular bir xil belgining raqamlarini qo'shdilar, manfiy raqam oldilar).

II. Agar q manfiy son bo'lsa,

bu x1 va x2 ildizlari turli belgilarga ega ekanligini bildiradi (sonlarni ko'paytirishda faqat omillarning belgilari boshqacha bo'lsa, manfiy son olinadi). Bunday holda, x1 + x2 endi yig'indi emas, balki farqdir (axir, har xil belgilarga ega bo'lgan raqamlarni qo'shganda, biz katta moduldan kichikroqni ayiramiz). Demak, x1 + x2 x1 va x2 ildizlari qanchalik farq qilishini, ya'ni bir ildiz ikkinchisidan qancha ko'p ekanligini ko'rsatadi (modul).

II.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (ya'ni p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (p>0), u holda kattaroq (modulo) ildiz manfiy sondir.

Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi bo‘yicha yechish misollar yordamida ko‘rib chiqiladi.

Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yeching:

Bu yerda q=12>0, demak, x1 va x2 ildizlar bir xil ishorali sonlardir. Ularning yig'indisi -p=7>0, shuning uchun ikkala ildiz ham musbat sonlardir. Ko'paytmasi 12 bo'lgan butun sonlarni tanlaymiz. Bular 1 va 12, 2 va 6, 3 va 4. 3 va 4 juftlik uchun yig'indi 7 ga teng. Demak, 3 va 4 tenglamaning ildizlaridir.

Bu misolda q=16>0, ya'ni x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlar. Ularning yig'indisi -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Bu erda q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 bo'lsa, katta raqam ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, ildizlar 5 va -3 ga teng.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Deyarli har qanday kvadrat tenglama \ ko'rinishiga aylantirilishi mumkin \ Biroq, agar har bir atama dastlab \ koeffitsientiga bo'lingan bo'lsa, bu mumkin \ Bundan tashqari, yangi belgi kiritilishi mumkin:

\[(\frac (b)(a))= p\] va \[(\frac (c)(a)) = q\]

Buning yordamida biz matematikada qisqartirilgan kvadrat tenglama deb ataladigan \ tenglamaga ega bo'lamiz. Ushbu tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari \ o'zaro bog'liq bo'lib, bu Vyeta teoremasi bilan tasdiqlangan.

Vyeta teoremasi: Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi \ qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin haddir \.

Aniqlik uchun biz quyidagi shakldagi tenglamani echamiz:

Bu kvadrat tenglamani yozma qoidalar yordamida yechamiz. Dastlabki ma'lumotlarni tahlil qilgandan so'ng, tenglama ikki xil ildizga ega bo'ladi degan xulosaga kelishimiz mumkin, chunki:

Endi 15 sonining barcha omillaridan (1 va 15, 3 va 5) farqi 2 ga teng bo'lganlarni tanlaymiz.3 va 5 raqamlari bu shartga to'g'ri keladi.Kichikning oldiga minus belgisini qo'yamiz. raqam. Shunday qilib, tenglamaning ildizlarini olamiz \

Javob: \[ x_1= -3 va x_2 = 5\]

Onlaynda Viet teoremasi yordamida tenglamani qayerda yechish mumkin?

Tenglamani bizning https: // saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi sizga har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamani bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, bizning veb-saytimizda video ko'rsatmani ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda biron bir savol bo'lsa, ularni Vkontakte guruhimizdagi http://vk.com/pocketteacher orqali so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida, ildiz formulalaridan tashqari, boshqa foydali munosabatlar ham mavjud. Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasining formulasini va isbotini keltiramiz. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng biz eng xarakterli misollarning echimlarini tahlil qilamiz. Nihoyat, biz haqiqiy ildizlar orasidagi bog'lanishni aniqlaydigan Viet formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vyeta teoremasi, formulasi, isboti

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan a x 2 +b x+c=0 ko'rinishdagi D=b 2 −4 a c , munosabatlar x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:

Teorema.

Agar a x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari a x 2 +b x+c=0, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.

Isbot.

Vyeta teoremasini quyidagi sxema bo‘yicha isbotlaymiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, so‘ngra hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. /a va c/a.

Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaylik, uni tuzing. Endi biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda bor. Olingan kasrning payida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz olamiz. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisiga Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz:. Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi ko'paytmani quyidagicha yozish mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, ammo bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi. kvadratlar farqi formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va D=b 2 −4 a·c formulasi kvadrat tenglamaning diskriminantiga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrga D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yish mumkin, ni olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash hadlarni kamaytirgandan so'ng, kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.

Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti qisqacha shaklga ega bo'ladi:
,
.

Shuni ta'kidlash kerakki, diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 uchun kvadrat tenglamaning ildizi , u holda va , D=0 bo'lgani uchun, ya'ni b 2 −4·a·c=0 , bundan b 2 =4·a·c , u holda .

Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (eng yuqori koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Mana Viet teoremasining tegishli formulasi:

Teorema.

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 + p x + q \u003d 0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga teng va ildizlarning mahsuloti bo'sh muddat, ya'ni x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Vyeta teoremasiga teskari teorema

Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 = - munosabatlari p , x 1 x 2=q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan tasdiq haqiqatdir. Biz uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.

Teorema.

Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 +p x+q=0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo‘ladi. .

Isbot.

Ularning ifodalanishining x 2 +p x+q=0 tenglamasidagi p va q koeffitsientlarini x 1 va x 2 orqali almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.

Olingan tenglamaga x o'rniga x 1 raqamini qo'yamiz, biz tenglikka egamiz x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun to'g'ri sonli tenglik 0=0, chunki x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu x 1 ekvivalent x 2 +p x+q=0 tenglamaning ildizi ekanligini bildiradi.

Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, shunda biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu to'g'ri tenglama, chunki x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, va demak, x 2 +p x+q=0 tenglamalar.

Bu Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani isbotlashni yakunlaydi.

Vyeta teoremasidan foydalanishga misollar

Vyeta teoremasi va uning teskari teoremasini amaliy qo'llash haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu kichik bo'limda biz bir nechta eng tipik misollarning echimlarini tahlil qilamiz.

Biz teoremani Veta teoremasiga qarama-qarshi qo'llashdan boshlaymiz. Berilgan ikki raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun undan foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qanoatlansa, Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema tufayli bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.

Misol.

1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2), yoki 3) son juftlaridan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz juftidir?

Yechim.

Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4 , b=−16 , c=9 ga teng. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.

Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi raqamlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.

Birinchi holda, bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun qo'shimcha tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin teorema bo'yicha, Veta teoremasining teskarisi, biz darhol xulosa qilishimiz mumkinki, birinchi juft raqamlar berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari jufti emas. .

Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Ikkinchi shartni tekshiramiz: , natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Demak, ikkinchi juft sonlar kvadrat tenglamaning ildizlari jufti emas.

Oxirgi holat qolmoqda. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Vyeta teoremasining teskari teoremasidan kvadrat tenglamaning ildizlarini tanlashda amalda foydalanish mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Shu bilan birga, agar ikkita sonning yig'indisi minus belgisi bilan olingan kvadrat tenglamaning ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu sonlarning ko'paytmasi erkin hadga teng bo'lsa, u holda bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, bu bilan bir misol bilan shug'ullanamiz.

X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari ushbu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik x 1 + x 2 \u003d 5 va x 1 x 2 \u003d 6 bajarilishi kerak. Bunday raqamlarni tanlash qoladi. Bunday holda, buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2 3=6 . Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema, ayniqsa, ildizlardan biri ma'lum yoki aniq bo'lsa, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topish uchun qulaydir. Bunda ikkinchi ildiz har qanday munosabatdan topiladi.

Masalan, 512 x 2 −509 x−3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildiz x 2 ni, masalan, x 1 x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 , bundan x 2 =−3/512 . Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham aniqladik: 1 va -3/512.

Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy hollarda maqsadga muvofiq ekanligi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun kvadrat tenglamaning ildizlari formulalarini diskriminant orqali qo'llash mumkin.

Teoremaning yana bir amaliy qo‘llanilishi, ya’ni Vyeta teoremasining teskarisi berilgan x 1 va x 2 ildizlar uchun kvadrat tenglamalar tuzishdir. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.

Misol.

Ildizlari −11 va 23 raqamlari boʻlgan kvadrat tenglamani yozing.

Yechim.

x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilang. Biz ushbu raqamlarning yig'indisini va mahsulotini hisoblaymiz: x 1 + x 2 \u003d 12 va x 1 x 2 \u003d -253. Demak, bu sonlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.

Javob:

x 2 −12 x−253=0 .

Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalar ildizlari belgilari bilan bog'liq vazifalarni hal qilishda juda tez-tez ishlatiladi. X 2 +p x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan Vyeta teoremasi qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:

Agar q kesma musbat son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, u holda ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'ladi.
Erkin q hadi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, ularning belgilari har xil, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy bo’ladi.

Bu gaplar x 1 x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat, manfiy sonlar va turli belgilarga ega sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi. Ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqing.

Misol.

R ijobiy. Diskriminant formulaga asosan D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 ni, r 2 ifoda qiymatini topamiz. +8 har qanday haqiqiy r uchun ijobiy, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Shuning uchun dastlabki kvadrat tenglama r parametrining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun ikkita ildizga ega.

Keling, ildizlar qachon turli belgilarga ega ekanligini bilib olaylik. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning ko'paytmasi manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasi erkin hadga tengdir. Shuning uchun bizni r ning o'sha qiymatlari qiziqtiradi, ular uchun r-1 erkin atamasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun biz kerak chiziqli tengsizlikni yeching r−1<0 , откуда находим r<1 .

Javob:

da r<1 .

Vieta formulalari

Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo faqat kvadrat tenglamalar emas, balki kub tenglamalar, to'rtlik tenglamalar va umuman, haqiqiy ildiz va koeffitsientlarni bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vieta formulalari.

Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Vieta formulalarini yozamiz, shu bilan birga uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb hisoblaymiz (ular orasida bir xil bo'lishi mumkin):

Vieta formulalarini oling polinomni faktorizatsiya qilish teoremasi, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, mos keladigan koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vieta formulalarini olamiz.

Xususan, n=2 uchun biz kvadrat tenglama uchun allaqachon tanish Viet formulalariga egamiz.

Kubik tenglama uchun Vieta formulalari shaklga ega

Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladiganlar mavjud simmetrik polinomlar.

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Maktab algebrasi kursida ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish usullarini o'rganayotganda, olingan ildizlarning xossalarini ko'rib chiqing. Ular endi Vyeta teoremalari deb nomlanadi. Uni ishlatish misollari ushbu maqolada keltirilgan.

Kvadrat tenglama

Ikkinchi tartibli tenglama quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan tenglikdir.

Bu erda a, b, c belgilari ko'rib chiqilayotgan tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan ba'zi raqamlardir. Tenglikni hal qilish uchun uni to'g'ri qiladigan x qiymatlarini topishingiz kerak.

E'tibor bering, x ko'tarilgan quvvatning maksimal qiymati ikkita bo'lganligi sababli, umumiy holatda ildizlar soni ham ikkitadir.

Ushbu turdagi tenglikni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Ushbu maqolada biz ulardan birini ko'rib chiqamiz, bu Viet teoremasi deb ataladigan narsadan foydalanishni o'z ichiga oladi.

Vyeta teoremasining bayoni

16-asrning oxirida mashhur matematik Fransua Vyet (frantsuz) turli kvadrat tenglamalar ildizlarining xususiyatlarini tahlil qilib, ularning ma'lum kombinatsiyalari o'ziga xos munosabatlarni qondirishini payqadi. Xususan, bu kombinatsiyalar ularning mahsuloti va yig'indisidir.

Viet teoremasi quyidagilarni o'rnatadi: kvadrat tenglamaning ildizlari yig'ilganda, qarama-qarshi belgi bilan olingan chiziqli va kvadrat koeffitsientlarning nisbatini beradi va ular ko'paytirilganda, ular bo'sh hadning kvadratik koeffitsientga nisbatiga olib keladi. .

Agar tenglamaning umumiy shakli maqolaning oldingi qismidagi fotosuratda ko'rsatilganidek yozilsa, matematik jihatdan bu teorema ikkita tenglik sifatida yozilishi mumkin:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Bu erda r 1, r 2 - ko'rib chiqilayotgan tenglama ildizlarining qiymati.

Bu ikki tenglikdan bir qancha turli xil matematik muammolarni hal qilishda foydalanish mumkin. Yechimli misollarda Vieta teoremasidan foydalanish maqolaning keyingi bo'limlarida keltirilgan.