Kauchuk bilaguzuklar

Vyeta teoremasi. Foydalanishga misollar. Matematikada Vieta teoremasi yordamida tenglamalarni qanday yechish mumkin.

Matematikada maxsus nayranglar mavjud bo'lib, ular yordamida ko'plab kvadrat tenglamalar juda tez va hech qanday kamsituvchisiz echiladi. Bundan tashqari, to'g'ri tayyorgarlik bilan ko'pchilik kvadrat tenglamalarni og'zaki, so'zma-so'z "bir qarashda" echishni boshlaydi.

Afsuski, maktab matematikasining zamonaviy kursida bunday texnologiyalar deyarli o'rganilmagan. Va siz bilishingiz kerak! Va bugun biz ushbu usullardan birini - Vyeta teoremasini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, yangi ta'rifni kiritamiz.

x 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi kvadrat tenglama qisqartirilgan deyiladi. E'tibor bering, x 2 da koeffitsient 1 ga teng. Koeffitsientlar bo'yicha boshqa cheklovlar yo'q.

x 2 + 7x + 12 = 0 - qisqartirilgan kvadrat tenglama;
x 2 - 5x + 6 = 0 ham kamayadi;
2x 2 - 6x + 8 = 0 - lekin bu umuman berilmagan, chunki x 2 da koeffitsient 2 ga teng.

Albatta, ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishidagi har qanday kvadrat tenglamani qisqartirish mumkin - barcha koeffitsientlarni a soniga bo'lish kifoya. Biz buni har doim qilishimiz mumkin, chunki kvadrat tenglamaning ta'rifidan a ≠ 0 ekanligi kelib chiqadi.

To'g'ri, bu o'zgarishlar har doim ham ildizlarni topish uchun foydali bo'lmaydi. Biroz pastroqda, biz buni faqat yakuniy kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar butun sonlar bo'lganda qilish kerakligiga ishonch hosil qilamiz. Hozircha bir nechta oddiy misollarni ko'rib chiqamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamani qisqartirilganga aylantiring:

3x2 - 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x - 11 = 0.

Har bir tenglamani x 2 o'zgaruvchining koeffitsientiga ajratamiz. Biz olamiz:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - hamma narsani 3 ga bo'lingan;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4 ga bo‘lingan;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - 1,5 ga bo'lingan, barcha koeffitsientlar butun songa aylandi;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - 2 ga bo'lingan. Bunday holda, kasr koeffitsientlari paydo bo'ldi.

Ko'rib turganingizdek, berilgan kvadrat tenglamalar, hatto dastlabki tenglamada kasrlar bo'lsa ham, butun son koeffitsientlari bo'lishi mumkin.

Endi biz asosiy teoremani tuzamiz, buning uchun aslida qisqartirilgan kvadrat tenglama tushunchasi kiritilgan:

Vyeta teoremasi. X 2 + bx + c \u003d 0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamani ko'rib chiqing. Aytaylik, bu tenglamaning haqiqiy ildizlari x 1 va x 2. Bunday holda, quyidagi bayonotlar haqiqatdir:

x1 + x2 = −b. Boshqacha qilib aytganda, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan x o'zgaruvchining koeffitsientiga teng;

x 1 x 2 = c. Kvadrat tenglamaning ildizlarining mahsuloti erkin koeffitsientga teng.

Misollar. Oddiylik uchun biz faqat qo'shimcha o'zgartirishlarni talab qilmaydigan berilgan kvadrat tenglamalarni ko'rib chiqamiz:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ildizlar: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 \u003d -15; ildizlar: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = 4; ildizlar: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Viet teoremasi bizga kvadrat tenglamaning ildizlari haqida qo'shimcha ma'lumot beradi. Bir qarashda, bu murakkab ko'rinishi mumkin, lekin minimal tayyorgarlik bilan ham, siz bir necha soniya ichida ildizlarni "ko'rishni" va ularni tom ma'noda taxmin qilishni o'rganasiz.

Vazifa. Kvadrat tenglamani yeching:

x2 - 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Keling, Vyeta teoremasiga ko'ra koeffitsientlarni yozishga harakat qilaylik va ildizlarni "taxmin qilaylik":

x 2 − 9x + 14 = 0 - qisqartirilgan kvadrat tenglama.
Vyeta teoremasi bo'yicha bizda: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Ildizlar 2 va 7 raqamlari ekanligini ko'rish oson;
x 2 - 12x + 27 = 0 ham kamayadi.
Vyeta teoremasi bo‘yicha: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Demak, ildizlar: 3 va 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - bu tenglama kamaytirilmagan. Ammo biz buni hozir tenglamaning ikkala tomonini a \u003d 3 koeffitsientiga bo'lish orqali tuzatamiz. Biz quyidagilarni olamiz: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Vieta teoremasi bo'yicha yechamiz: x 1 + x 2 = -11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ildizlar: −10 va −1;
−7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - yana x 2 da koeffitsient 1 ga teng emas, ya'ni. tenglama berilmagan. Biz hamma narsani a = -7 raqamiga ajratamiz. Biz olamiz: x 2 - 11x + 30 = 0.
Vyeta teoremasi bo'yicha: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Ushbu tenglamalardan ildizlarni taxmin qilish oson: 5 va 6.

Yuqoridagi mulohazalardan Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalar yechimini qanday soddalashtirishini ko‘rish mumkin. Hech qanday murakkab hisob-kitoblar, arifmetik ildizlar va kasrlar yo'q. Va hatto diskriminant (" Kvadrat tenglamalarni echish" darsiga qarang) bizga kerak emas edi.

Albatta, barcha mulohazalarimizda biz ikkita muhim farazdan kelib chiqdik, ular, umuman olganda, har doim ham haqiqiy muammolarda bajarilmaydi:

Kvadrat tenglama kamayadi, ya'ni. x 2 da koeffitsient 1 ga teng;
Tenglama ikki xil ildizga ega. Algebra nuqtai nazaridan, bu holda diskriminant D > 0 - aslida, biz dastlab bu tengsizlikni to'g'ri deb hisoblaymiz.

Biroq, tipik matematik masalalarda bu shartlar bajariladi. Agar hisob-kitoblar natijasi "yomon" kvadrat tenglama bo'lsa (x 2 koeffitsienti 1 dan farq qiladi), buni tuzatish oson - darsning boshida misollarni ko'rib chiqing. Men ildizlar haqida umuman jimman: bu qanday vazifa, unda javob yo'q? Albatta, ildizlar bo'ladi.

Shunday qilib, Vyeta teoremasi bo'yicha kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy sxemasi quyidagicha:

Kvadrat tenglamani berilgan tenglamaga qisqartiring, agar bu masala shartida hali bajarilmagan bo'lsa;
Agar yuqoridagi kvadrat tenglamadagi koeffitsientlar kasr bo'lib chiqsa, biz diskriminant orqali yechamiz. Hatto "qulay" raqamlar bilan ishlash uchun dastlabki tenglamaga qaytishingiz mumkin;
Butun sonli koeffitsientlar holatida tenglamani Vieta teoremasi yordamida yechamiz;
Agar bir necha soniya ichida ildizlarni taxmin qilishning iloji bo'lmasa, biz Vieta teoremasi bo'yicha ball olamiz va diskriminant orqali hal qilamiz.

Vazifa. Tenglamani yeching: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Demak, bizda kamaytirilmagan tenglama bor, chunki a koeffitsienti \u003d 5. Har bir narsani 5 ga bo'ling, biz olamiz: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Kvadrat tenglamaning barcha koeffitsientlari butun son - keling, uni Vyeta teoremasi yordamida hal qilishga harakat qilaylik. Bizda: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Bunday holda, ildizlarni taxmin qilish oson - bular 2 va 5. Diskriminant orqali hisoblashingiz shart emas.

Vazifa. Tenglamani yeching: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Biz qaraymiz: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - bu tenglama kamaytirilmaydi, biz ikkala tomonni a = −5 koeffitsientiga ajratamiz. Biz olamiz: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - kasr koeffitsientlari bo'lgan tenglama.

Dastlabki tenglamaga qaytib, diskriminant orqali hisoblash yaxshidir: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Vazifa. Tenglamani yeching: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Boshlash uchun biz hamma narsani a \u003d 2 koeffitsientiga ajratamiz. Biz x 2 + 5x - 300 \u003d 0 tenglamasini olamiz.

Bu Vyeta teoremasiga ko'ra qisqartirilgan tenglama: x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 \u003d -300. Bu holda kvadrat tenglamaning ildizlarini taxmin qilish qiyin - shaxsan men bu masalani hal qilganimda jiddiy ravishda "muzlab qoldim".

Biz diskriminant orqali ildizlarni izlashimiz kerak bo'ladi: D = 5 2 - 4 1 (-300) = 1225 = 35 2 . Agar siz diskriminantning ildizini eslamasangiz, shuni ta'kidlayman: 1225: 25 = 49. Shuning uchun, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Endi diskriminantning ildizi ma'lum, tenglamani yechish qiyin emas. Biz olamiz: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Maktab algebrasi kursida ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish usullarini o'rganayotganda, olingan ildizlarning xossalarini ko'rib chiqing. Ular endi Vyeta teoremalari deb nomlanadi. Uni ishlatish misollari ushbu maqolada keltirilgan.

Kvadrat tenglama

Ikkinchi tartibli tenglama quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan tenglikdir.

Bu erda a, b, c belgilari ko'rib chiqilayotgan tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan ba'zi raqamlardir. Tenglikni hal qilish uchun uni to'g'ri qiladigan x qiymatlarini topishingiz kerak.

E'tibor bering, x ko'tarilgan kuchning maksimal qiymati ikkita bo'lganligi sababli, umumiy holatda ildizlar soni ham ikkitadir.

Ushbu turdagi tenglikni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Ushbu maqolada biz ulardan birini ko'rib chiqamiz, bu Viet teoremasi deb ataladigan narsadan foydalanishni o'z ichiga oladi.

Vyeta teoremasining bayoni

16-asrning oxirida mashhur matematik Fransua Viet (frantsuz) turli kvadrat tenglamalar ildizlarining xususiyatlarini tahlil qilib, ularning ma'lum kombinatsiyalari o'ziga xos munosabatlarni qondirishini payqadi. Xususan, bu kombinatsiyalar ularning mahsuloti va yig'indisidir.

Viet teoremasi quyidagilarni o'rnatadi: kvadrat tenglamaning ildizlari yig'ilganda, qarama-qarshi belgi bilan olingan chiziqli va kvadrat koeffitsientlarning nisbatini beradi va ular ko'paytirilganda, ular bo'sh hadning kvadratik koeffitsientga nisbatiga olib keladi. .

Agar tenglamaning umumiy shakli maqolaning oldingi qismidagi fotosuratda ko'rsatilganidek yozilsa, matematik jihatdan bu teorema ikkita tenglik sifatida yozilishi mumkin:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Bu erda r 1, r 2 - ko'rib chiqilayotgan tenglama ildizlarining qiymati.

Bu ikki tenglikdan bir qancha turli xil matematik muammolarni hal qilishda foydalanish mumkin. Yechimli misollarda Vieta teoremasidan foydalanish maqolaning keyingi bo'limlarida keltirilgan.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida, ildiz formulalaridan tashqari, boshqa foydali munosabatlar ham mavjud. Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasining formulasini va isbotini keltiramiz. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng biz eng xarakterli misollarning echimlarini tahlil qilamiz. Va nihoyat, biz haqiqiy ildizlar orasidagi bog'lanishni aniqlaydigan Viet formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vyeta teoremasi, formulasi, isboti

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan a x 2 +b x+c=0 ko‘rinishdagi, bu yerda D=b 2 −4 a c , munosabatlar x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:

Teorema.

Agar a x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari a x 2 +b x+c=0, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.

Isbot.

Vyeta teoremasini quyidagi sxema bo‘yicha isbotlaymiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, so‘ngra hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. /a va c/a.

Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaylik, uni tuzing. Endi biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda bor. Olingan kasrning payida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz olamiz. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi uchun Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz:. Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi ko'paytmani quyidagicha yozish mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, ammo bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi. kvadratlar farqi formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va D=b 2 −4 a·c formulasi kvadrat tenglamaning diskriminantiga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrga D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yish mumkin, ni olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash hadlarni kamaytirgandan so'ng kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.

Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti qisqacha shaklga ega bo'ladi:
,
.

Shuni ta'kidlash kerakki, diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 uchun kvadrat tenglamaning ildizi , u holda va , D=0 bo'lgani uchun, ya'ni b 2 −4·a·c=0 , bundan b 2 =4·a·c , u holda .

Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (eng yuqori koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Mana Viet teoremasining tegishli formulasi:

Teorema.

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 + p x + q \u003d 0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga teng va ildizlarning mahsuloti bo'sh muddat, ya'ni x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Vyeta teoremasiga teskari teorema

Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 = - munosabatlari p , x 1 x 2=q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan tasdiq haqiqatdir. Biz uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.

Teorema.

Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 +p x+q=0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo‘ladi. .

Isbot.

Ularni ifodalashning x 2 +p x+q=0 tenglamasidagi p va q koeffitsientlarini x 1 va x 2 orqali almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.

Olingan tenglamaga x o'rniga x 1 raqamini qo'yamiz, biz tenglikka egamiz x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun to'g'ri sonli tenglik 0=0, chunki x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu x 1 ekvivalent x 2 +p x+q=0 tenglamaning ildizi ekanligini bildiradi.

Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, shunda biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu to'g'ri tenglama, chunki x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, va demak, x 2 +p x+q=0 tenglamalar.

Bu Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani isbotlashni tugatadi.

Vyeta teoremasidan foydalanishga misollar

Vyeta teoremasi va uning teskari teoremasining amaliy qo‘llanilishi haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu kichik bo'limda biz bir nechta eng tipik misollarning echimlarini tahlil qilamiz.

Biz Viet teoremasiga teskari teorema qo'llashdan boshlaymiz. Undan berilgan ikki raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qanoatlansa, Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema tufayli bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.

Misol.

1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2), yoki 3) son juftlaridan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz juftidir?

Yechim.

Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4 , b=−16 , c=9 ga teng. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.

Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi sonlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.

Birinchi holda, bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun keyingi tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin teorema bo'yicha, Veta teoremasining teskarisi, biz darhol xulosa qilishimiz mumkinki, birinchi juft raqamlar berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari jufti emas. .

Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Ikkinchi shartni tekshiramiz: , natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Demak, ikkinchi sonlar juftligi kvadrat tenglamaning ildiz jufti emas.

Oxirgi holat qolmoqda. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Vyeta teoremasining teskari teoremasidan kvadrat tenglamaning ildizlarini tanlashda amalda foydalanish mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Shu bilan birga, agar ikkita sonning yig'indisi minus belgisi bilan olingan kvadrat tenglamaning ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu sonlarning ko'paytmasi erkin hadga teng bo'lsa, u holda bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, bu bilan bir misol bilan shug'ullanamiz.

X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari ushbu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik x 1 + x 2 \u003d 5 va x 1 x 2 \u003d 6 bajarilishi kerak. Bunday raqamlarni tanlash qoladi. Bunday holda, buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2 3=6 . Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema, ayniqsa, ildizlardan biri ma'lum yoki aniq bo'lsa, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topish uchun qulaydir. Bunda ikkinchi ildiz har qanday munosabatdan topiladi.

Masalan, 512 x 2 −509 x−3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildiz x 2 ni, masalan, x 1 x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 , bundan x 2 =−3/512 . Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham aniqladik: 1 va -3/512.

Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy hollarda maqsadga muvofiq ekanligi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun kvadrat tenglamaning ildizlari formulalarini diskriminant orqali qo'llash mumkin.

Teoremaning yana bir amaliy qo‘llanilishi, ya’ni Vyeta teoremasining teskarisi berilgan x 1 va x 2 ildizlar uchun kvadrat tenglamalar tuzishdir. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.

Misol.

Ildizlari −11 va 23 raqamlari boʻlgan kvadrat tenglamani yozing.

Yechim.

x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilang. Biz ushbu raqamlarning yig'indisini va mahsulotini hisoblaymiz: x 1 + x 2 \u003d 12 va x 1 x 2 \u003d -253. Demak, bu sonlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.

Javob:

x 2 −12 x−253=0 .

Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalar ildizlari belgilari bilan bog'liq vazifalarni hal qilishda juda tez-tez ishlatiladi. X 2 +p x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan Vyeta teoremasi qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:

Agar q erkin atamasi musbat son bo‘lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo‘lsa, u holda ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo‘ladi.
Agar q erkin atamasi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, ularning belgilari boshqacha bo’ladi, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy.

Bu gaplar x 1 x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat, manfiy sonlar va turli belgilarga ega sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi. Ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqing.

Misol.

R ijobiy. Diskriminant formulaga asosan D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 ni, r 2 ifoda qiymatini topamiz. +8 har qanday haqiqiy r uchun ijobiy, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Shuning uchun dastlabki kvadrat tenglama r parametrining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun ikkita ildizga ega.

Keling, ildizlar qachon turli belgilarga ega ekanligini bilib olaylik. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning ko'paytmasi manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasi erkin hadga tengdir. Shuning uchun bizni r ning o'sha qiymatlari qiziqtiradi, ular uchun r-1 erkin atamasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun biz kerak chiziqli tengsizlikni yeching r−1<0 , откуда находим r<1 .

Javob:

da r<1 .

Vieta formulalari

Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo faqat kvadrat tenglamalar emas, balki kub tenglamalar, to'rtlik tenglamalar va umuman, haqiqiy ildiz va koeffitsientlarni bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vieta formulalari.

Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Vieta formulalarini yozamiz, shu bilan birga uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb faraz qilamiz (ular orasida bir xil bo'lishi mumkin):

Vieta formulalarini oling polinomni faktorizatsiya teoremasi, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vieta formulalarini olamiz.

Xususan, n=2 uchun kvadrat tenglama uchun biz allaqachon tanish Vyeta formulalariga egamiz.

Kubik tenglama uchun Vieta formulalari shaklga ega

Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladiganlar mavjud simmetrik polinomlar.

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Kvadrat tenglamalar uchun Vyeta teoremasini shakllantirish va isbotlash. Teskari Vyeta teoremasi. Kub tenglamalar va ixtiyoriy tartibli tenglamalar uchun Vyeta teoremasi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamalar

Vyeta teoremasi

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
(1) .
Keyin ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan koeffitsientga teng bo'ladi. Ildizlarning hosilasi erkin muddatga teng:
;
.

Bir nechta ildizlar haqida eslatma

Agar (1) tenglamaning diskriminanti nolga teng bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega. Ammo, noqulay formulalarga yo'l qo'ymaslik uchun, odatda, bu holda (1) tenglama ikkita ko'p yoki teng ildizga ega ekanligi qabul qilinadi:
.

Bir dalil

(1) tenglamaning ildizlarini topamiz. Buning uchun kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qo'llang:
;
;
.

Ildizlarning yig'indisini toping:
.

Mahsulotni topish uchun formulani qo'llaymiz:
.
Keyin

.

Teorema isbotlangan.

Ikki dalil

Agar va raqamlari (1) kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, u holda
.
Biz qavslarni ochamiz.

.
Shunday qilib, (1) tenglama quyidagi shaklni oladi:
.
(1) bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Teorema isbotlangan.

Teskari Vyeta teoremasi

Ixtiyoriy raqamlar bo'lsin. U holda va kvadrat tenglamaning ildizlari
,
qayerda
(2) ;
(3) .

Vietaning qarama-qarshi teoremasini isbotlash

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(1) .
(1) tenglamaning ildizlari bo'lsa va bo'lsa, va bo'lishini isbotlashimiz kerak.

(1) ga (2) va (3) ni almashtiring:
.
Tenglamaning chap tomonining shartlarini guruhlaymiz:
;
;
(4) .

(4) o'rniga:
;
.

(4) o'rniga:
;
.
Tenglama bajarildi. Ya'ni, raqam (1) tenglamaning ildizidir.

Teorema isbotlangan.

To'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi

Endi to'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(5) ,
qaerda va ba'zi raqamlar. Va .

(5) tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
.
Ya'ni yuqoridagi tenglamani oldik
,
qayerda; .

U holda to'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

To'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
.
Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsuloti quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
.

Kub tenglama uchun Vyeta teoremasi

Xuddi shunday, biz kub tenglamaning ildizlari o'rtasida bog'lanishlarni o'rnatishimiz mumkin. Kub tenglamasini ko'rib chiqing
(6) ,
bu yerda , , , ba'zi raqamlar. Va .
Bu tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
(7) ,
qayerda , ,.
, , tenglama (7) (va (6)) tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin

.

(7) tenglama bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
;
.

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi

Xuddi shu tarzda n-darajali tenglama uchun , , ... , , ildizlari orasidagi bog‘lanishlarni topish mumkin.
.

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi shaklga ega:
;
;
;

.

Ushbu formulalarni olish uchun tenglamani quyidagi shaklda yozamiz:
.
Keyin , , , ... da koeffitsientlarni tenglashtiramiz va erkin hadni solishtiramiz.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.
SM. Nikolskiy, M.K. Potapov va boshqalar, Algebra: ta'lim muassasalarining 8-sinfi uchun darslik, Moskva, Ta'lim, 2006 yil.

Shuningdek qarang:

Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri ilovadir VIETA formulalari, FRANCOIS VIETE sharafiga nomlangan.

U mashhur huquqshunos bo'lib, 16-asrda frantsuz qiroli bilan birga xizmat qilgan. Bo'sh vaqtlarida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish, uning qiymatini ildizlarni topish formulasiga almashtirish kerak.

2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz, ildizlarning qiymatlarini olishingiz mumkin.

3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlarning yig'indisi minus belgisi bilan ikkinchi koeffitsientning qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Berilgan ildizlarga ko'ra kvadrat tenglama yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.

5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formulani qo'llash qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formula universal emas.