Kauchuk bilaguzuklar

Onlaynda chiziqlar orasidagi maydonni toping. y=f(x), x=g(y) chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini topish. Yassi egri chiziqning yoy uzunligi

Funktsiya manfiy bo'lmagan va intervalda uzluksiz bo'lsin. Keyin, ma'lum bir integralning geometrik ma'nosiga ko'ra, egri chiziqli trapezoidning maydoni yuqoridan ushbu funktsiya grafigi bilan, pastdan o'q bilan, chapdan va o'ngdan to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan va (2-rasmga qarang). ) formula bo'yicha hisoblanadi

9-misol Chiziq bilan chegaralangan figuraning maydonini toping va eksa.

Yechim. Funktsiya grafigi shoxlari pastga qaragan parabola. Keling, uni quramiz (3-rasm). Integratsiya chegaralarini aniqlash uchun chiziqning (parabola) o'q (to'g'ri chiziq) bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Buning uchun tenglamalar tizimini yechamiz

Biz olamiz: , qaerda, ; Binobarin, , .

Guruch. 3

Shaklning maydoni (5) formula bo'yicha topiladi:

Agar funktsiya musbat bo'lmagan va segmentda uzluksiz bo'lsa, u holda egri chiziqli trapezoidning maydoni pastdan ushbu funktsiya grafigi bilan, yuqoridan o'q bilan, chapdan va o'ngdan to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan va , bo'ladi. formula bo'yicha hisoblanadi

. (6)

Agar funktsiya segmentda uzluksiz bo'lsa va chekli nuqtalarda belgisini o'zgartirsa, u holda soyali shaklning maydoni (4-rasm) tegishli aniq integrallarning algebraik yig'indisiga teng bo'ladi:

Guruch. to'rtta

10-misol O'q bilan chegaralangan rasmning maydonini va funktsiya grafigini hisoblang.

Guruch. 5

Yechim. Keling, rasm chizamiz (5-rasm). Kerakli maydon maydonlarning yig'indisi va . Keling, ushbu sohalarning har birini topamiz. Birinchidan, tizimni yechish orqali integratsiya chegaralarini aniqlaymiz Biz olamiz,. Natijada:

;

Shunday qilib, soyali raqamning maydoni

(kv. birlik).

Guruch. 6

Nihoyat, egri chiziqli trapetsiya yuqoridan va pastdan segmentda uzluksiz funksiyalar grafiklari bilan chegaralansin va ,
va chap va o'ngda - tekis va (6-rasm). Keyin uning maydoni formula bo'yicha hisoblanadi

. (8)

11-misol. va chiziqlar bilan o'ralgan figuraning maydonini toping.

Yechim. Bu raqam rasmda ko'rsatilgan. 7. Uning maydonini (8) formuladan foydalanib hisoblaymiz. Tenglamalar sistemasini yechib, , ni topamiz; Binobarin, , . Segmentda bizda: . Demak, (8) formulada biz shunday qabul qilamiz x, va - kabi. Biz olamiz:

(kv. birlik).

Maydonlarni hisoblashning yanada murakkab muammolari raqamni kesishmaydigan qismlarga ajratish va butun figuraning maydonini ushbu qismlarning maydonlarining yig'indisi sifatida hisoblash orqali hal qilinadi.

Guruch. 7

12-misol., , chiziqlari bilan chegaralangan figuraning maydonini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (8-rasm). Bu raqamni pastdan o'q bilan, chapdan va o'ngdan - to'g'ri chiziqlar bilan va yuqoridan - funktsiyalar grafiklari bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoid deb hisoblash mumkin. Shakl yuqoridan ikki funktsiyaning grafiklari bilan chegaralanganligi sababli, uning maydonini hisoblash uchun biz bu to'g'ri rasmni ikki qismga ajratamiz (1 - chiziqlar kesishish nuqtasining abssissasi va). Ushbu qismlarning har birining maydoni (4) formula bo'yicha topiladi:

(kv. birlik); (kv. birlik). Natijada:

(kv. birlik).

Guruch. sakkiz

X= j( da)

Guruch. 9

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar egri chiziqli trapetsiya to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'lsa va , o'qi va egri chiziqda uzluksiz bo'lsa (9-rasm), u holda uning maydoni formula bo'yicha topiladi.

Inqilob tanasining hajmi

Segmentda uzluksiz funksiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya, o'q, to'g'ri chiziqlar va o'q atrofida aylansin (10-rasm). Keyin hosil bo'lgan inqilob tanasining hajmi formula bo'yicha hisoblanadi

. (9)

13-misol Giperbola, to'g'ri chiziqlar va o'qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning o'qi atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (11-rasm).

Muammoning shartidan kelib chiqadiki, . Formula (9) bo'yicha biz olamiz

Guruch. o'n

Guruch. o'n bir

O'q atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmi OU to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoid y = c va y = d, eksa OU va segmentdagi uzluksiz funksiya grafigi (12-rasm), formula bilan aniqlanadi

. (10)

X= j( da)

Guruch. 12

14-misol. O'q atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini hisoblang OU chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoid X 2 = 4da, y= 4, x = 0 (13-rasm).

Yechim. Masalaning shartiga muvofiq integratsiya chegaralarini topamiz: , . Formula (10) bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

Guruch. 13

Yassi egri chiziqning yoy uzunligi

, bu yerda , tenglama bilan berilgan egri chiziq tekislikda yotsin (14-rasm).

Guruch. o'n to'rt

Ta'rif. Yoyning uzunligi deganda, ko'p chiziqning bo'g'inlari soni cheksizlikka, eng katta bo'g'inning uzunligi esa nolga moyil bo'lganda, bu yoyga chizilgan ko'p chiziq uzunligiga moyillik chegarasi tushuniladi.

Agar funktsiya va uning hosilasi segmentda uzluksiz bo'lsa, u holda egri chiziqning yoy uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi.

. (11)

15-misol. Nuqtalar orasiga o'ralgan egri yoyi uzunligini hisoblang .

Yechim. Bizda mavjud muammoning holatidan . Formula (11) bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

4. Noto'g'ri integrallar
integratsiyaning cheksiz chegaralari bilan

Aniq integral tushunchasini kiritishda quyidagi ikkita shart qanoatlansa, deb faraz qilingan:

a) integratsiya chegaralari a va cheklangan;

b) integral segment bilan chegaralangan.

Agar ushbu shartlardan kamida bittasi bajarilmasa, integral deyiladi noto'g'ri.

Keling, avvalo cheksiz integrallash chegarasiga ega noto'g'ri integrallarni ko'rib chiqaylik.

Ta'rif. Funktsiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lsin, keyin va o'ng tomonda cheklanmagan (15-rasm).

Agar noto'g'ri integral yaqinlashsa, u holda bu soha cheklangan; agar noto'g'ri integral ajralib chiqsa, u holda bu soha cheksizdir.

Guruch. o'n besh

Integrasiyaning pastki chegarasi cheksiz bo‘lgan noto‘g‘ri integral ham xuddi shunday aniqlanadi:

. (13)

Bu integral, agar (13) tenglikning o'ng tomonidagi chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa, yaqinlashadi; aks holda integral divergent deyiladi.

Integrallashning ikkita cheksiz chegarasiga ega noto'g'ri integral quyidagicha aniqlanadi:

, (14)

bu yerda s intervalning istalgan nuqtasi. Har ikkala integral tenglikning o'ng tomoniga yaqinlashsagina integral yaqinlashadi (14).

;

G) = [maxrajdagi to'liq kvadratni tanlang: ] = [almashtirish:

] =

Demak, noto'g'ri integral yaqinlashadi va uning qiymati ga teng bo'ladi.

Integral topmoqchi bo'lgan funksiyani kiriting

Kalkulyator aniq integrallarning BATUSLI yechimini taqdim etadi.

Bu kalkulyator f(x) funksiyaning aniq integralini berilgan yuqori va quyi chegaralar bilan yechadi.

Misollar

Darajadan foydalanish bilan
(kvadrat va kub) va kasrlar

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadrat ildiz

Sqrt(x)/(x + 1)

kub ildizi

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Sinus va kosinusdan foydalanish

2*sin(x)*cos(x)

Arksin

X*arcsin(x)

Ark kosinus

x*arccos(x)

Logarifmni qo'llash

X*log(x, 10)

tabiiy logarifm

Ko'rgazma ishtirokchisi

Tg(x)*sin(x)

Kotangent

Ctg(x)*cos(x)

Irratsional kasrlar

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Ark tangensi

X*arsctg(x)

Giberbolik sinus va kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Giberbolik tangens va kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Giberbolik arksin va arkkosin

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Giberbolik arktangent va arkkotangent

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Ifodalar va funksiyalarni kiritish qoidalari

Ifodalar funktsiyalardan iborat bo'lishi mumkin (belgilar alifbo tartibida berilgan): mutlaq(x) Mutlaq qiymat x
(modul x yoki |x|) arccos(x) Funktsiya - yoy kosinus x arccosh(x) dan yoy kosinus giperbolik x arcsin(x) Arcsine dan x arcsinh(x) dan arksinus giperbolik x arctg(x) Funktsiya - dan yoy tangensi x arctgh(x) Yoy tangensi dan giperbolikdir x e e taxminan 2,7 ga teng bo'lgan raqam Exp(x) Funktsiya - dan ko'rsatkich x(bu e^x) log(x) yoki log(x) ning tabiiy logarifmi x
(Olish uchun log7(x), log(x)/log(7) kiritishingiz kerak (yoki, masalan, uchun log10(x)=log(x)/log(10)) pi Raqam "Pi" dir, bu taxminan 3,14 ga teng gunoh(x) Funktsiya - sinus x cos(x) Funktsiya - kosinus x sinh(x) Funktsiya - Giperbolik sinus x naqd pul (x) Funktsiya - giperbolik kosinus x sqrt(x) Funktsiya ning kvadrat ildizidir x sqr(x) yoki x^2 Funktsiya - Kvadrat x tg(x) Funktsiya - dan tangens x tgh(x) Funktsiya - ning giperbolik tangensi x cbrt(x) Funktsiya kub ildizidir x

Ifodalarda quyidagi amallardan foydalanishingiz mumkin: Haqiqiy raqamlar shaklga kiriting 7.5 , emas 7,5 2*x- ko'paytirish 3/x- bo'linish x^3- eksponentatsiya x + 7- qo'shimcha x - 6- ayirish
Boshqa xususiyatlar: qavat(x) Funktsiya - yaxlitlash x pastga (misol qavat(4,5)==4,0) shift(x) Funktsiya - yaxlitlash x yuqoriga (misol shift(4,5)==5,0) belgisi(x) Funktsiya - Belgi x erf(x) Xato funktsiyasi (yoki ehtimollik integrali) laplace(x) Laplas funktsiyasi

Shaklning maydonini hisoblash Bu, ehtimol, mintaqa nazariyasidagi eng qiyin muammolardan biridir. Maktab geometriyasida ular, masalan, uchburchak, romb, to'rtburchak, trapetsiya, aylana va boshqalar kabi asosiy geometrik shakllarning maydonlarini topishga o'rgatiladi. Biroq, ko'pincha murakkabroq raqamlarning maydonlarini hisoblash bilan shug'ullanish kerak. Ana shunday masalalarni yechishda integral hisobdan foydalanish juda qulay.

Ta'rif.

Egri chiziqli trapezoid y = f(x), y = 0, x = a va x = b chiziqlar bilan chegaralangan ba'zi G figurasi chaqiriladi va f(x) funksiya [a segmentida uzluksizdir; b] va undagi belgisini o'zgartirmaydi (1-rasm). Egri chiziqli trapezoidning maydoni S(G) bilan belgilanishi mumkin.

f(x) funksiya uchun aniq integrali ʃ a b f(x)dx [a segmentida uzluksiz va manfiy emas; b], va mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoni.

Ya'ni, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a va x \u003d b chiziqlari bilan chegaralangan G rasmining maydonini topish uchun hisoblash kerak. aniq integral ʃ a b f (x) dx.

Shunday qilib, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Agar y = f(x) funksiya [a; b], keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni formula bo'yicha topilishi mumkin S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

1-misol

y \u003d x 3 chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblang; y = 1; x = 2.

Yechim.

Berilgan chiziqlar ABC figurasini hosil qiladi, bu lyuk orqali ko'rsatilgan guruch. 2.

Kerakli maydon DACE egri chiziqli trapesiya va kvadrat DABE maydonlari orasidagi farqga teng.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) formulasidan foydalanib, integrasiya chegaralarini topamiz. Buning uchun biz ikkita tenglama tizimini yechamiz:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Shunday qilib, bizda x 1 \u003d 1 - pastki chegara va x \u003d 2 - yuqori chegara.

Demak, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kvadrat birlik).

Javob: 11/4 kv. birliklar

2-misol

y \u003d √x chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblang; y = 2; x = 9.

Yechim.

Berilgan chiziqlar yuqoridan funksiya grafigi bilan chegaralangan ABC figurasini hosil qiladi

y \u003d √x va pastdan funksiya grafigi y \u003d 2. Olingan rasm lyuk orqali ko'rsatilgan. guruch. 3.

Kerakli maydon S = ʃ a b (√x - 2) ga teng. Integrasiya chegaralarini topamiz: b = 9, a ni topish uchun ikkita tenglama sistemasini yechamiz:

(y = √x,
(y = 2.

Shunday qilib, bizda x = 4 = a pastki chegara hisoblanadi.

Demak, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kvadrat birlik).

Javob: S = 2 2/3 kv. birliklar

3-misol

y \u003d x 3 - 4x chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblang; y = 0; x ≥ 0.

Yechim.

X ≥ 0 uchun y \u003d x 3 - 4x funksiyasini chizamiz. Buning uchun y ' hosilasini topamiz:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 da x = ±2/√3 ≈ 1.1 kritik nuqtalardir.

Agar biz kritik nuqtalarni haqiqiy o‘qga chizib, hosilaning belgilarini qo‘ysak, funktsiya noldan 2/√3 gacha kamayib, 2/√3 dan ortiqcha cheksizlikka ortishiga erishamiz. U holda x = 2/√3 minimal nuqta, y funksiyaning minimal qiymati min = -16/(3√3) ≈ -3 ga teng.

Grafikning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini aniqlaymiz:

agar x \u003d 0 bo'lsa, u holda y \u003d 0, ya'ni A (0; 0) Oy o'qi bilan kesishish nuqtasidir;

agar y \u003d 0 bo'lsa, u holda x 3 - 4x \u003d 0 yoki x (x 2 - 4) \u003d 0 yoki x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, bu erdan x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (mos emas, chunki x ≥ 0).

A(0; 0) va B(2; 0) nuqtalar grafikning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqtalaridir.

Berilgan chiziqlar OAB figurasini hosil qiladi, u shlyuz orqali ko'rsatiladi guruch. to'rtta.

y \u003d x 3 - 4x funktsiyasi (0; 2) manfiy qiymatni qabul qilganligi sababli, u holda

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Bizda: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, u erdan S \u003d 4 kvadrat metr. birliklar

Javob: S = 4 kv. birliklar

4-misol

y \u003d 2x 2 - 2x + 1 parabola, x \u003d 0, y \u003d 0 to'g'ri chiziqlar va abscissa x 0 \u003d nuqtada ushbu parabolaga teginish bilan chegaralangan figuraning maydonini toping. 2.

Yechim.

Birinchidan, abscissa x₀ \u003d 2 nuqtasida y \u003d 2x 2 - 2x + 1 parabolasiga teginish tenglamasini tuzamiz.

y' = 4x - 2 hosilasi bo'lgani uchun x 0 = 2 uchun k = y'(2) = 6 ni olamiz.

Tegish nuqtasining ordinatasini toping: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Shuning uchun tangens tenglama quyidagi ko'rinishga ega: y - 5 \u003d 6 (x - 2) yoki y \u003d 6x - 7.

Keling, chiziqlar bilan chegaralangan figurani quraylik:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: A(0; 1) - Oy o'qi bilan; Ox o'qi bilan - kesishish nuqtalari yo'q, chunki 2x 2 - 2x + 1 = 0 tenglamaning yechimlari yo'q (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, ya'ni B parabola nuqtasining tepasi B koordinatalariga ega (1/2; 1/2).

Shunday qilib, maydoni aniqlanishi kerak bo'lgan raqam lyuk orqali ko'rsatiladi guruch. 5.

Bizda: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Shartdan D nuqtaning koordinatalarini toping:

6x - 7 = 0, ya'ni. x \u003d 7/6, keyin DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

DBC uchburchagining maydonini S ADBC = 1/2 · DC · BC formulasi yordamida topamiz. Shunday qilib,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 kv. birliklar

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kvadrat birlik).

Nihoyat, biz olamiz: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (kv. birlik).

Javob: S = 1 1/4 kv. birliklar

Biz misollarni ko'rib chiqdik berilgan chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning maydonlarini topish. Bunday masalalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz tekislikda chiziqlar va funktsiyalar grafiklarini qurishingiz, chiziqlarning kesishish nuqtalarini topishingiz, maydonni topish uchun formulani qo'llashingiz kerak, bu esa ma'lum integrallarni hisoblash qobiliyati va ko'nikmalarini nazarda tutadi.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Yechim.

Qarorning birinchi va eng muhim lahzasi - chizmaning qurilishi.

Keling, rasm chizamiz:

Tenglama y=0 x o'qini o'rnatadi;

- x=-2 va x=1 - to'g'ri, o'qga parallel OU;

- y \u003d x 2 +2 - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, uchi (0;2) nuqtada joylashgan parabola.

Izoh. Parabolani qurish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topish kifoya, ya'ni. qo'yish x=0 o'q bilan kesishgan joyni toping OU va mos kvadrat tenglamani yechish, o'q bilan kesishuvni toping Oh .

Parabolaning uchini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Chiziqlarni va nuqtalarni chizishingiz mumkin.

[-2;1] oraliqda funksiya grafigi y=x 2 +2 joylashgan eksa ustida ho'kiz , shunung uchun:

Javob: S \u003d 9 kvadrat birlik

Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javob haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, "ko'z bilan" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta teriladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Aniqki, agar bizda, aytaylik, javob bo'lsa: 20 kvadrat birlik, demak, biron bir joyda xatolik yuz berdi - 20 hujayra aniq ko'rsatilgan raqamga mos kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.

Egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida Oh?

b) Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y=-e x , x=1 va koordinata o'qlari.

Yechim.

Keling, rasm chizamiz.

Agar egri chiziqli trapezoid bo'lsa to'liq o'q ostida Oh , u holda uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

Javob: S=(e-1) kv. birlik" 1,72 kv. birlik

Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormang:

1) Agar sizdan hech qanday geometrik ma'noga ega bo'lmagan aniq integralni echishingiz so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.

2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun ko'rib chiqilgan formulada minus paydo bo'ladi.

Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekisliklarda joylashgan.

Bilan) Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Yechim.

Avval siz rasm chizishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolarida chizmani qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabola va chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz.Buni ikki usulda bajarish mumkin. Birinchi usul analitikdir.

Tenglamani yechamiz:

Shunday qilib, integratsiyaning pastki chegarasi a=0 , integratsiyaning yuqori chegarasi b=3 .

Berilgan chiziqlarni quramiz: 1. Parabola - (1;1) nuqtada cho'qqi; eksa kesishmasi Oh - ball(0;0) va (0;2). 2. To'g'ri chiziq - 2 va 4-koordinata burchaklarining bissektrisasi. Va endi Diqqat! Agar intervalda [ a;b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) uzluksiz funksiyadan katta yoki unga teng g(x), u holda mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: .

Shakl qayerda joylashganligi muhim emas - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, lekin qaysi diagramma YUQOR (boshqa diagrammaga nisbatan) va qaysi biri QUYIDA ekanligi muhim. Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.

Integratsiya chegaralari xuddi "o'z-o'zidan" aniqlanganda, nuqta-nuqta chiziqlarini qurish mumkin. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki tishli konstruktsiya integratsiya chegaralarini aniqlamasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi.

Kerakli raqam yuqoridan parabola va pastdan to'g'ri chiziq bilan cheklangan.

Segmentda tegishli formula bo'yicha:

Javob: S \u003d 4,5 kv. birlik

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang.

Yechim.

Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz. Buning uchun tenglamalar tizimini yechamiz:

Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarining abstsissalarini topish uchun tenglamani yechamiz:

Biz topamiz: x 1 = -2, x 2 = 4.

Demak, parabola va to'g'ri chiziq bo'lgan bu chiziqlar nuqtalarda kesishadi A(-2; 0), B(4; 6).

Ushbu chiziqlar yopiq raqamni hosil qiladi, uning maydoni yuqoridagi formuladan foydalanib hisoblanadi:

Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra biz quyidagilarni topamiz:

Ellips bilan chegaralangan maydonning maydonini toping.

Yechim.

I kvadrant uchun ellips tenglamasidan bizda mavjud. Bu erdan, formula bo'yicha, biz olamiz

Keling, almashtirishni qo'llaymiz x = a gunoh t, dx = a cos t dt. Integratsiyaning yangi chegaralari t = α va t = β 0 = tenglamalardan aniqlanadi a gunoh t, a = a gunoh t. Qo'yish mumkin α = 0 va β = π /2.

Biz kerakli maydonning to'rtdan birini topamiz

Bu yerdan S = pab.

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini topingy = - x 2 + x + 4 vay = - x + 1.

Yechim.

Chiziqlarning kesishish nuqtalarini toping y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, chiziqlar ordinatalarini tenglashtirish: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 yoki x 2 - 2x- 3 = 0. Ildizlarni toping x 1 = -1, x 2 = 3 va ularning mos keladigan ordinatalari y 1 = 2, y 2 = -2.

Shakl maydoni formulasidan foydalanib, biz olamiz

Parabola bilan o'ralgan maydonni topingy = x 2 + 1 va to'g'ridan-to'g'rix + y = 3.

Yechim.

Tenglamalar sistemasini yechish

kesishish nuqtalarining abstsissalarini toping x 1 = -2 va x 2 = 1.

Taxmin qilib y 2 = 3 - x va y 1 = x 2 + 1, biz olgan formulaga asoslanib

Bernulli lemniskatidagi maydonni hisoblangr 2 = a 2 cos 2 φ .

Yechim.

Qutbli koordinatalar tizimida figuraning maydoni egri yoyi bilan chegaralanadi r = f(φ ) va ikkita qutb radiusi φ 1 = ʅ va φ 2 = ʆ , integral bilan ifodalanadi

Egri chiziqning simmetriyasi tufayli birinchi navbatda kerakli maydonning to'rtdan bir qismini aniqlaymiz

Shunday qilib, umumiy maydon S = a 2 .

Astroidning yoy uzunligini hisoblangx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Yechim.

Biz astroid tenglamasini shaklda yozamiz

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Keling, qo'ying x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 gunoh t.

Bu yerdan biz astroidning parametrik tenglamalarini olamiz

x = a chunki 3 t, y = a gunoh 3 t, (*)

bu erda 0 ≤ t ≤ 2π .

Egri chiziqning (*) simmetriyasini hisobga olgan holda, yoy uzunligining to'rtdan birini topish kifoya. L parametr o'zgarishiga mos keladi t 0 dan π /2.

olamiz

dx = -3a chunki 2 t gunoh t dt, dy = 3a gunoh 2 t cos t dt.

Bu erdan topamiz

Olingan ifodani 0 dan oraliqda integrallash π /2, olamiz

Bu yerdan L = 6a.

Arximed spirali bilan chegaralangan maydonni topingr = aph va qutb burchaklariga mos keladigan ikkita radius vektoriφ 1 vaφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Yechim.

Egri chiziq bilan chegaralangan maydon r = f(φ ) formula bo'yicha hisoblanadi, bu erda α va β - qutb burchagining o'zgarish chegaralari.

Shunday qilib, biz olamiz

(*)

(*) dan qutb o'qi va Arximed spiralining birinchi burilishi bilan chegaralangan maydon ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Xuddi shunday, biz qutb o'qi va Arximed spiralining ikkinchi burilishi bilan chegaralangan maydonni topamiz ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Kerakli maydon bu maydonlarning farqiga teng

O'q atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini hisoblangho'kiz parabola bilan chegaralangan raqamy = x 2 vax = y 2 .

Yechim.

Keling, tenglamalar tizimini yechamiz

va oling x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, bu erdan egri chiziqlarning kesishish nuqtalari O(0; 0), B(o'n bitta). Rasmda ko'rinib turibdiki, inqilob tanasining kerakli hajmi o'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan ikki hajm o'rtasidagi farqga teng. ho'kiz egri chiziqli trapezoidlar OCBA va ODBA:

Eksa bilan chegaralangan maydonni hisoblangho'kiz va sinusoidy = gunohx segmentlar bo'yicha: a); b) .

Yechim.

a) segmentda sin funksiyasi x belgisini saqlaydi va shuning uchun formula bo'yicha , faraz qiladi y= gunoh x, topamiz

b) segmentida , sin funktsiyasi x belgisini o'zgartiradi. Muammoni to'g'ri hal qilish uchun segmentni ikkiga va [ga bo'lish kerak. π , 2π ], ularning har birida funksiya o‘z belgisini saqlab qoladi.

Belgilar qoidasiga ko'ra, segmentda [ π , 2π ] maydoni minus belgisi bilan olinadi.

Natijada, kerakli maydon teng bo'ladi

Ellipsning aylanishidan olingan sirt bilan chegaralangan jismning hajmini aniqlangkatta o'q atrofidaa .

Yechim.

Ellipsning koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik ekanligini hisobga olsak, o'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan hajmni topish kifoya. ho'kiz hudud OAB, ellips maydonining to'rtdan biriga teng va natijani ikki barobarga oshiring.

Inqilob jismining hajmini orqali belgilaymiz V x; keyin formulaga asoslanib, bizda , bu erda 0 va a- nuqtalarning abtsissalari B va A. Ellips tenglamasidan topamiz. Bu yerdan

Shunday qilib, kerakli hajm ga teng. (Elips kichik o'q atrofida aylanganda b, tananing hajmi )

Parabola bilan chegaralangan maydonni topingy 2 = 2 px vax 2 = 2 py .

Yechim.

Birinchidan, integrasiya intervalini aniqlash uchun parabolalarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini topamiz. Dastlabki tenglamalarni o'zgartirib, biz va . Ushbu qiymatlarni tenglashtirib, biz yoki olamiz x 4 - 8p 3 x = 0.

x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.