Tetraedrda kesmalarni qurish. Tetraedr va uning kesimi Uch nuqtadan tetraedr kesimini qurish

Mavzu bo'yicha dars:

"Tetraedr va parallelepiped kesimlarini qurish"

Dars maqsadlari

1. Tetraedr va parallelepiped kesimlarini tekislik bilan yasashga doir masalalarni yechish asoslari bilan tanishing.

2. Bo'limlarni qurishga oid masalalar turlarini aniqlang.

3. Tetraedr va parallelepiped kesmalarini yasashga doir masalalar yechish malakalarini shakllantirish.

4. Fazoviy tasavvurni shakllantirish.

Darslar davomida.

I Tashkiliy vaqt.

II Uy vazifasini tekshirish.

Bolalar, biz oxirgi darsimizda qanday geometrik jismlar bilan tanishdik? (tetraedr, parallelepiped).

Tetraedr nima deyiladi?

Parallelepiped nima deyiladi?

Endi og'zaki uy vazifasini tekshiramiz.

Darslikning 31-betida 14,15-savollarni o‘qiymiz va javob beramiz.

14. Beshta tekis burchakli tetraedr bormi?

(Yo'q, chunki to'rtta hosil qiluvchi uchburchakda faqat to'rtta to'g'ri burchak bo'lishi mumkin, har birida ko'pi bilan bittadan).

15. Quyidagi parallelepiped bormi:

A) To'rtburchak faqat bitta yuzdir. (Yo'q, chunki parallelepipedning qarama-qarshi tomonlari teng).

b) Faqat ikkita qo'shni yuz rombdir. (Yo'q, faqat qarama-qarshi yuzlar olmos bo'lishi mumkin).

V) Barcha chekka burchaklar keskin. (Yo'q, parallelogramm o'tkir va o'tkir burchaklarga ega va har bir yuz parallelogrammdir).

G) Yuzning barcha burchaklari to'g'ri. (Ha, to'rtburchaklar parallelepipedda).

d) Yuzning barcha o'tkir burchaklari soni yuzning barcha o'tkir burchaklari soniga teng emas. (Yo'q, har bir yuzda o'tkir va o'tmas burchaklar teng miqdorda mavjud).

III Yangi mavzuni tushuntirish.

Endi yangi mavzuga o'tamiz. Dars mavzusini yozing. Bugungi darsning maqsadi:

1. Tetraedr va parallelepiped kesimlarini tekislik bilan yasashga doir masalalarni yechish asoslari bilan tanishing.

2. Bo'limlarni qurishga oid masalalar turlarini aniqlang.

3. Tetraedr va parallelepiped kesmalarini yasashga doir masalalar yechish malakalarini shakllantirish.

4. Fazoviy tasavvurni shakllantirish.

Demak, tetraedr va parallelepipedga oid ko`plab geometrik masalalarni yechish uchun ularning kesmalarini turli tekisliklarda chiza olish foydalidir.

Biz nimani nazarda tutamiz kesish tekisligi ? Darslikning 27-betida bu savolga javob topamiz.

Kesish tekisligi ikkala tomonida ma'lum ko'pburchak nuqtalari joylashgan har qanday tekislikni chaqiring.

Keyingi kontseptsiya Bo'lim. Va yana yordam uchun darslikka murojaat qilamiz. Endi bo'limning aniq ta'rifi qanday ko'rinishini ko'rib chiqing.

v Kesim bo'lgan ko'pburchakning tomonlari qayerda?

v Kesim bo'lgan ko'pburchakning uchlari qayerda joylashgan?

Endi savolga javob beraylik. Ko'pburchakning tekislik bilan kesmasini qurish nimani anglatadi. Shunday qilib, har bir yuzda biz kesish tekisligi yuzlarni kesib o'tadigan segmentlarni quramiz.

Kesmani to'g'ri qurish uchun siz turli teorema va xususiyatlarni qo'llashingiz kerak. Keling, savolga javob beraylik.

Ushbu iboralarning qaysi biri bo'limlarni qurishda foydali bo'lishi mumkin?

1. Agar ikkita tekislikning umumiy nuqtasi bo'lsa, ular shu nuqtani o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.

2. Agar kesishuvchi tekisliklardan birida yotuvchi to‘g‘ri chiziq boshqa tekislikni kesib o‘tsa, u holda tekisliklarning kesishish chizig‘ini kesib o‘tadi.

3. Agar ikkita parallel tekislik uchdan biri bilan kesishsa, tekisliklarning kesishish chiziqlari parallel bo'ladi.

4. Sekant tekislik ko'pburchak yuzini siniq chiziq bo'ylab kesib o'tadi.

5. Tekislik bilan parallelepiped kesmasida u quyidagicha bo'lishi mumkin:

v chiziq segmenti

v uchburchak

v to'rtburchak

v beshburchak

v olti burchakli

v Heptagon

Endi samolyotni qanday aniqlashni eslaylik:

Bo'limlarni qurishda quyidagilarni bilish muhimdir:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" eni="564" balandligi="355 src=">

Endi darslikda biz bo'limlarni qurishning asosiy vazifalarini ko'rib chiqamiz. Shunday qilib, birinchi vazifani bajaring, bu erda sekant tekislikka tegishli uchta nuqtadan foydalanib, tetraedrning kesmasini qurish kerak, ulardan ikkitasi bir tekislikda, uchinchisi esa boshqa tekislikda yotgan.
.jpg" eni="588" balandligi="359 src=">

Muammoni hal qilish. Slaydlar yordamida yechimning to'g'riligini tekshirish.

V Darsning qisqacha mazmuni.

Vaziyatni tasavvur qiling:

Sizning sinfdoshingiz kasal bo'lib qoldi va "Ko'p yuzli bo'limlarni qurish" mavzusini o'rgangan darslarni o'tkazib yubordi. Bu mavzuni telefon orqali tushuntirishingiz kerak. Bosqichma-bosqich algoritmni shakllantirish.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" kengligi="600" balandligi="284 src=">

Endi men bir oz test o'tkazaman. Uch daqiqa ichida uchta vazifani bajarishingiz kerak. Tetraedr va parallelepipedning to'g'ri kesimlarini, shuningdek, to'g'ri chizilgan rasmni ko'rsatadigan chizmalar sonini tanlang va yozing.

VI Uy vazifasi . n.14, 16-savol, № 000,106. Tetraedr yoki parallelepiped kesmasini qurish bo'yicha bitta masalani o'ylab toping va yeching.

Bugun biz yana qanday qilib ko'rib chiqamiz tetraedrning tekislik bilan kesmasini qurish.
Keling, eng oddiy holatni (majburiy daraja) ko'rib chiqaylik, bunda kesma tekisligining 2 nuqtasi bir yuzga, uchinchi nuqta esa boshqa yuzga tegishli.

Sizga eslatib o'tamiz bo'limlarni qurish algoritmi bu turdagi (holat: 2 ball bir xil yuzga tegishli).

1. Biz kesma tekisligining 2 nuqtasini o'z ichiga olgan yuzni qidiramiz. Bir yuzda yotgan ikkita nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazing. Uning tetraedr qirralari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. To'g'ri chiziqning yuzga tugaydigan qismi bo'limning yon tomonidir.

2. Agar ko'pburchakni yopish mumkin bo'lsa, kesma qurilgan. Agar yopishning iloji bo'lmasa, biz qurilgan chiziqning kesishish nuqtasini va uchinchi nuqtani o'z ichiga olgan tekislikni topamiz.

1. E va F nuqtalar bir yuzda (BCD) yotishini, tekislikda (BCD) EF to‘g‘ri chiziq chizilganini ko‘ramiz.
2. EF to'g'ri chiziqning BD tetraedrning qirrasi bilan kesishish nuqtasi topilsin, bu H nuqta.
3. Endi siz EF to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasini va uchinchi G nuqtasini o'z ichiga olgan tekislikni topishingiz kerak, ya'ni. samolyot (ADC).
CD to'g'ri chiziq (ADC) va (BDC) tekisliklarda yotadi, ya'ni u EF to'g'ri chiziqni kesib o'tadi va K nuqta EF to'g'ri chiziq va tekislikning (ADC) kesishish nuqtasidir.
4. Keyin bir tekislikda yotgan yana ikkita nuqtani topamiz. Bu G va K nuqtalari, ikkalasi ham chap tomonning yuzi tekisligida yotadi. Biz GK chizig'ini chizamiz va bu chiziq tetraedrning qirralarini kesib o'tadigan nuqtalarni belgilaymiz. Bular M va L nuqtalari.
4. Bo'limni "yopish" qoladi, ya'ni bir xil yuzda yotgan nuqtalarni ulash. Bular M va H nuqtalari, shuningdek, L va F. Bu segmentlarning ikkalasi ham ko'rinmas, biz ularni nuqta chiziq bilan chizamiz.

Kesma to'rtburchak MHFL bo'lib chiqdi. Uning barcha uchlari tetraedrning chetlarida yotadi. Olingan bo'limni tanlaymiz.

Endi shakllantiramiz To'g'ri tuzilgan bo'limning "xususiyatlari":

1. Kesim bo'lgan ko'pburchakning barcha uchlari tetraedrning (parallelepiped, ko'pburchak) chetlarida yotadi.

2. Kesimning barcha tomonlari ko'pburchakning yuzlarida yotadi.
3. Ko‘pburchakning har bir yuzida kesmaning bittadan ko‘p bo‘lmagan (bitta yoki yo‘q!) tomoni bo‘lishi mumkin

Darsni rivojlantirish

10 “A” sinfda “Tetraedr va parallelepiped kesimlarini qurish” mavzusida

Darsning maqsadi:

tetraedr va parallelepipedning tekislik bilan kesmalarini yasashni o'rgatish;

tahlil qilish, taqqoslash, umumlashtirish va xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantirish;

talabalarning mustaqil faoliyat ko'nikmalarini va guruhda ishlash qobiliyatini rivojlantirish.

Uskunalar: proyektor, interfaol doska, tarqatma materiallar.

Dars turi: yangi materialni o'rganish darsi.

Darsda qo'llaniladigan metod va texnikalar: ko'rgazmali, amaliy, muammoli-qidiruv, guruh, tadqiqot faoliyati elementlari.

I . Tashkiliy vaqt.

O'qituvchi darsning mavzusi va maqsadini e'lon qiladi (slayd raqami 1 ).

II . Bilimlarni yangilash.

O'qituvchi: Uy vazifasini bajarayotganda to'g'ri chiziqlar va tekisliklarning uchrashish nuqtalarini, ko'pburchak yuzi tekisligida kesuvchi tekislik izini topish kerak edi. Buning uchun nima qilish kerakligi haqida fikr bildiring.

(Talabalar uy vazifasini sharhlaydilar (slaydlar № 2-3 ).

O'qituvchi: Yangi mavzuni o'rganishga o'tish uchun savollarga javob berish orqali nazariy materialni ko'rib chiqamiz:

Kesuvchi tekislik nima deyiladi (slayd raqami 4 )? (Talabalar ta'rif beradi.)

Ko'pburchakning bo'limi deb ataladigan narsa (slayd raqami 5 )? (Ta'rif tuzilgan.)

Ko'pburchak kesimini tekislik bilan qurish uchun nima qilish kerak?

Kesimni qurish kesish tekisligi va ko'pburchak yuzlari tekisliklarining kesishish chiziqlarini qurishga to'g'ri keladi.)

Kesuvchi tekislik ko'pburchakning barcha yuzlari tekisliklarini kesishishi kerakmi?

O'qituvchi: Keling, bir oz tadqiqot o'tkazamiz va savolga javob beramiz: "Tetraedr yoki parallelepiped kesimida tekislik bilan qanday figurani olish mumkin?"

(Talabalar guruhlarga bo'linib, berilgan savolga javob izlaydilar.)

(Bir necha daqiqadan so'ng ular o'z taxminlarini shakllantiradilar va namoyish boshlanadislaydlar 6-7 .)

O'qituvchi: Keling, ko'pburchak bo'limlarini qurishda eslash kerak bo'lgan qoidalarni takrorlaymiz (talabalar kerakli aksiomalarni, teoremalarni, xususiyatlarni eslaydilar va shakllantiradilar):

Ikki nuqta kesuvchi tekislikka va ko‘pburchakning qandaydir yuzi tekisligiga tegishli bo‘lsa, bu nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq yuz tekisligidagi kesuvchi tekislikning izi bo‘ladi.

Agar kesuvchi tekislik ma'lum bir tekislikda yotgan chiziqqa parallel bo'lsa va bu tekislikni kesib o'tsa, u holda bu tekisliklarning kesishish chizig'i shu chiziqqa parallel bo'ladi.

Ikki parallel tekislik kesuvchi tekislik bilan kesishganda, parallel chiziqlar olinadi.

Agar kesish tekisligi ma'lum bir tekislikka parallel bo'lsa, u holda bu ikki tekislik uchinchi tekislikni bir-biriga parallel to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi.

Agar kesish tekisligi va ikkita kesishuvchi yuzlarning tekisliklari umumiy nuqtaga ega bo'lsa, u holda bu yuzlarning umumiy chetini o'z ichiga olgan chiziqda yotadi.

O'qituvchi: Ushbu chizmalardagi xatolarni toping, bayonotingizni asoslang (slaydlar8-9 ).

O'qituvchi: Shunday qilib, bolalar, biz ko'pburchakning tekislik bilan kesmalarini, xususan, tetraedr va parallelepiped kesimlarini qurishni o'rganish uchun nazariy asos tayyorladik. Siz ko'pgina topshiriqlarni mustaqil ravishda, guruhlarda ishlashni bajarasiz, shuning uchun har biringizda ko'pburchakning bo'sh chizmalari bo'lgan ish varaqlari mavjud bo'lib, ular bo'yicha bo'limlar qurasiz. Agar kerak bo'lsa, siz o'qituvchi yoki guruhdagi kattalardan maslahat so'rashingiz mumkin.

Demak, e'tiboringizga havola qilamizbirinchi vazifa : ( Slayd raqami 10 ) berilgan nuqtalardan o‘tuvchi tekislik bilan tetraedr kesmasini tuzingM, N, K. (Kesma uchburchak bo'lib chiqadi, tekshiring -Slayd raqami 11 .)

O'qituvchi: Keling, ko'rib chiqaylikikkinchi vazifa : Tetraedr berilganDABC. Tetraedrning tekislik bilan kesmasini tuzingMNK, AgarMDC, NAD, KAB. ( Slayd № 12 )

(Sinf bilan muammoni hal qiling, qurilishni sharhlang.)

( Vazifa № 3 - guruhlarda mustaqil ishlash (slayd № 14 ). Imtihon -Slayd raqami 15 .)

Vazifa № 4 : Tetraedrning tekislik bilan kesmasini qurishMNK, QayerdaMVaN- qovurg'alarning o'rtasiABVaMiloddan avvalgi ( Slayd raqami 16 ). (Tekshiringslayd № 17 .)

O'qituvchi : Keling, darsning keyingi qismiga o'tamiz. Tekislik yordamida parallelepipedning kesmalarini qurish masalasini ko'rib chiqamiz. Biz shuni aniqladikki, parallelepiped tekislik bilan kesilsa, u uchburchak, to'rtburchak, beshburchak yoki olti burchakli bo'lishi mumkin. Bo'limlarni qurish qoidalari bir xil. Men keyingi muammoga o'tishni taklif qilaman, uni o'zingiz hal qilasiz.

(Namoyish qilinganslayd № 18 )

Muammo №5

Parallelepipedning kesmasini yasangABCDA 1 B 1 C 1 D 1 samolyotMNK, AgarMA.A. 1 , NBB 1 , KCC 1 . (TekshiringSlayd raqami 19 ).

Muammo № 6 : ( Slayd raqami 20 ) Parallelepipedning kesmasini tuzingABCDA 1 B 1 C 1 D 1 samolyotPTO, Agar P, T, Omos ravishda AA qirralariga tegishli 1, BB 1, SS 1.

(Yechim muhokama qilinadi, talabalar alohida varaqlarda bo'lim quradilar va qurilishning borishini qayd etadilar (Slayd raqami 21 ).)

TO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL- kerakli bo'lim.

7-topshiriq: (slayd № 22) Tekislik bilan parallelepipedning kesmasini yasangKMN, AgarKA 1 D 1 , N, MAB.

Yechim: (slayd raqami 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

PM;

NE II PK; KF II MN;

F.E.

MPKFENkerakli bo'lim.

Ijodiy vazifalar (variantlarga ko'ra kartalar):

Oddiy uchburchak piramidadaSABC C cho'qqisi orqali vaqovurg'aning o'rtasiSPiramidaning bir qismini parallel ravishda chizingS.B.. AB chekkasida nuqta olinadiFshuning uchun AF: FB=3:1. Nuqta orqaliFVaqovurg'aning o'rtasiSC dan to'g'ri chiziq chizilgan. Bu chiziq bo'ladimi?kesma tekisligiga parallel?

AB 1 BILAN -to'rtburchaklar parallelepiped ABC kesmasiDA 1 IN 1 BILAN 1 D 1. E nuqtalari orqali,F, K, mos ravishdaqovurg'alarning o'rtasiDD 1 , A 1 D 1 , D 1 C 1 ikkinchi bo'lim amalga oshirildi.E. uchburchaklar ekanligini isbotlangFK va AB 1 Co'xshash va o'rnatingbu uchburchaklarning qaysi burchaklari bir-biriga teng?

Dars xulosasi: Shunday qilib, biz tetraedr va parallelepiped kesmalarini qurish qoidalari bilan tanishdik, kesma turlarini ko'rib chiqdik va kesmalarni qurish uchun eng oddiy masalalarni yechdik. Keyingi darsda biz mavzuni o'rganishni davom ettiramiz va murakkabroq muammolarni ko'rib chiqamiz.

Keling, an'anaviy savollarimizga javob berib, darsni umumlashtiramiz (Slayd raqami 24 ):

"Menga dars yoqdi (yoqmadi), chunki..."

"Bugun sinfda men o'rgandim ..."

"Men .. moqchiman..."

(Dars uchun baho.)

Uy vazifasi: 14-band No 105, 106. (Slayd raqami 25 )

105-songa qo'shimcha topshiriq : Tekislik qaysi nisbatni topingMNKchetini ajratadiAB, AgarCN : ND = 2:1, B.M. = M.D.va davrK- mediananing o'rtasidaALuchburchakABC.

(Ijodiy vazifani bajaring.)

Slayd 2

O'qituvchilar uchun ma'lumot. Ushbu taqdimotni yaratishdan maqsad - chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini, tekislik va tetraedr kesmalarining kesishish chizig'ini qurish algoritmlarini aniq ko'rsatishdir. O'qituvchi ushbu mavzu bo'yicha dars o'tayotganda taqdimotdan foydalanishi yoki biron sababga ko'ra uni o'rganishni o'tkazib yuborgan o'quvchilarga mustaqil ta'lim uchun tavsiya etishi yoki muayyan savollarni takrorlashi mumkin. Talabalar taqdimotni o'rganish bilan birga qisqacha xulosani to'ldirishadi.

Slayd 3

Talaba uchun ma'lumot. Ushbu taqdimotni yaratishdan maqsad kosmosda qurilish bilan bog'liq muammolarni hal qilish algoritmlarini aniq ko'rsatishdir. Qo'ng'iroqlar bo'yicha sharhlarni diqqat bilan va sekin o'rganishga harakat qiling va ularni chizilgan bilan solishtiring. Xulosadagi barcha bo'sh joylarni to'ldiring. Muammolarni o'zingiz hal qilayotganda, avval o'zingiz yechimni o'ylab ko'rishingiz kerak, so'ngra muallif tomonidan taklif qilinganiga qarang. O'qituvchiga savollar yozing va ularni sinfda so'rang.

Slayd 4

I. a to'g'ri a tekislikni kesib o'tadi. Kesishish nuqtasini qurish.

a b P m a Javob: I. a to‘g‘ri chiziq bilan a tekislikning kesishish nuqtasini qurish uchun: 1) a to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va m to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishuvchi a tekislik b tekislikni chizish (topish) 2) yasash kerak. a va m to'g'ri chiziqlar kesishuvining P nuqtasi. a to'g'ri chiziq orqali t to'g'ri chiziq bo'ylab a tekislikni kesuvchi b tekislikni o'tkazamiz a to'g'ri chiziqni a va b tekisliklarning kesishish chizig'i bilan kesib o'tamiz: t to'g'ri chiziq P nuqta a to'g'ri chiziqning umumiy nuqtasi va a tekisligi, chunki m to'g'ri chiziq a tekislikda yotadi. Algoritmni qisqacha xulosa qilib yozing.

Slayd 5

1) MN to'g'ri chiziq va BDC tekislikning kesishish nuqtasini tuzing.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Javob: ABC tekislik MN to'g'ri chiziqdan o'tib, BC to'g'ri chiziq bo'ylab BDC tekislikni kesib o'tadi. MN toʻgʻri chiziq BC toʻgʻri chiziqni P nuqtada kesib oʻtadi. BC toʻgʻri chiziq BDC tekislikda yotadi, yaʼni MN toʻgʻri chiziq BDC tekislikni P nuqtada kesib oʻtadi.

Slayd 6

2) MN to'g'ri chiziq bilan ABD tekislikning kesishish nuqtasini tuzing.

D B A C M N P Javob: Yechimni ko rish MN to g ri chiziq AVD tekislikni DB to g ri chiziq bo ylab kesib o tuvchi VDC tekislikka tegishli MN va DB to g ri chiziqlarni kesib o taylik. Keyinchalik

Slayd 7

II. AB to'g'ri chiziq a tekislikka parallel bo'lmasin. Agar C nuqta a tekislikka tegishli bo'lsa, a va ABC tekisliklarning kesishish chizig'ini tuzing

B C A a b P m AB to‘g‘ri chiziqning a tekislik bilan kesishish nuqtasini quramiz. Shart va konstruktsiyaga ko'ra C va P nuqtalar ABC va a tekisliklari uchun umumiydir. Shart va konstruktsiyaga ko'ra C va P nuqtalar ABC va a tekisliklari uchun umumiydir. Bu shuni anglatadiki, CP to'g'ri chiziq ABC va a tekisliklarning kesishishning kerakli to'g'ri chizig'idir. II.A tekislik bilan ABC (C a, (A, B) a, AB || a) tekislikning kesishish chizig‘ini qurish uchun quyidagilar kerak: AB to‘g‘ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini qurish. a - P nuqtasi; 2) P va C nuqta tekisliklarning umumiy nuqtalari (ABC) va a, ya'ni (ABC) a = CP Algoritmni qisqacha xulosa qilib yozing.

Slayd 8

3).MNP va ADB tekisliklarining kesishish to‘g‘ri chizig‘ini tuzing.

MNP tekisligi va ADB yuzining kesishuvini tuzing. M D B A C N P X Q R Javob: MR to'g'ri chiziqning ADB tekisligi bilan kesishgan nuqtasini (X nuqta) quramiz. MR toʻgʻri chiziq ADB tekisligini AD toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtuvchi ADC tekislikda yotadi. MR toʻgʻri chiziq ADB tekisligini AD toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtuvchi ADC tekislikda yotadi. X va N nuqtalar ADB va MNP tekisliklarining umumiy nuqtalaridir. Demak, ular XN to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Qurilish jarayonini qisqacha bayon qilib yozing.

Slayd 9

Tetraedrning bo'limi.

C D B A M N P a Kesuvchi tekislik ko'pburchak yuzlarini kesib o'tadigan segmentlardan tashkil topgan ko'pburchak ko'pburchak kesimi deyiladi. Bo'limni tashkil etuvchi segmentlarga yuzlardagi kesish tekisligining izlari deyiladi. ∆ MNP - bo'lim. Tekislik tetraedr bilan kesishsin, u holda u kesuvchi tekislik deyiladi.Teklik tetraedrning chetlarini M, N, P nuqtalarda, yuzlarini esa MN, MP, NP segmentlari bo'ylab kesib o'tadi... MNP uchburchak tetraedrning kesimini shu tekislik bilan chaqirdi... Uni qisqacha yozing.

Slayd 10

Tetraedrning kesma qismi ham to'rtburchak bo'lishi mumkin.

A C D B M N P Q a MNPQ – bo‘lim.

Slayd 11

Berilgan uchta M, N, P nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan tetraedr kesmasini qurish algoritmi.

MNPQ kerakli bo'limdir. D B A C M N P Q X 2 ta umumiy nuqtaga ega bo'lgan yuzlarda kesish tekisligining izlarini tuzing. 3) Tuzilgan nuqtalar orqali kesuvchi tekislik tanlangan ABC yuzining tekisligini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqni o'tkazing. 4) Ushbu chiziq ABC yuzining chetlarini kesib o'tadigan nuqtalarni belgilang va belgilang va qolgan izlarni bajaring. 2) Hali izi bo'lmagan yuzni tanlang. Tanlangan yuz tekisligi bilan allaqachon tuzilgan izlarni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini tuzing: ABC.

Slayd 12

Tetraedral tekislik MNP.2 usuli yordamida kesma tuzing.

D B A C M N P Q X MNPQ - kerakli bo'lim.

Slayd 13

№ 1. (Muammoni o'zingiz hal qiling). MNP tekisligidan foydalanib tetraedrning kesimini tuzing.

Q D A C M N P X B X Yechimni ko'rish Ikkinchi usul: Keyingi

Slayd 14

№ 2. (O'zingiz qaror qiling). Agar P yuz ADC ga tegishli bo'lsa, MNP tekisligidan foydalanib tetraedr kesimini tuzing.

Slayd 15

№ 3. CD qirrasiga parallel va F nuqtadan o'tuvchi, DBC tekisligida yotgan a tetraedral tekislik va M nuqtadan foydalanib kesma tuzing.

3)a (ADB)= MN, a (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Berilgan: a||DC, (M;F) a, F (BDC), M AD. DABC tetraedrining kesimini tuzing. a||DC, keyin (DBC) a=FP va FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) a||DC bo'lgani uchun, u holda (DAC) a=MQ va MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP va NP a, DC||a degan ma'noni anglatadi, shuning uchun MNPQ kerakli bo'limdir. Gapni davom ettiring: Agar berilgan a to‘g‘ri chiziq ma’lum a tekislikka parallel bo‘lsa, u holda bu a to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lmagan har qanday tekislik a tekislikni b to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesib o‘tadi…………………… ………………… A to‘g‘ri chiziqqa parallel. Davom eting... a||DC, keyin BDC tekisligi a ni DC ga parallel va F a||DC nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtadi, soʻngra ADC tekislik a ni DC ga parallel boʻlgan va toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtadi. nuqta M

Slayd 16

2)a||DVC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)a=MN MP||CD. P#4. BDC yuziga parallel va M nuqtadan o'tuvchi tetraedral tekislik a bo'lgan kesmani tuzing. B A C M N D Berilgan: a||DBC, M a, M AD. a a||DVC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD tekislik bo'yicha DABC tetraedrining kesmasini tuzing. (ADB)a=MN 3)a (ABC)=NP. ∆ MNP zarur bo'limdir, chunki………. Gapni davom ettiring: Agar ikkita parallel tekislik uchinchi tekislik bilan kesishsa, ularning kesishish chiziqlari…………………………………………. a tekislikning ikkita kesishuvchi MN va MP chiziqlari (DBC) ikkita kesishuvchi DB va DC chiziqlariga mos ravishda parallel bo'lib, a||(DBC) ni bildiradi. a||DVC, keyin AV va ADC tekisliklari a va (VDS) tekisliklarni MN va MR toʻgʻri chiziqlar boʻylab mos ravishda DB va DC ga parallel va M nuqtadan oʻtadi.

Slayd 17

Keyingi M R B A C N No 5. O‘zingiz hal qiling va yechimni yozing. Agar PN||AB va M tekislikka (ABC) tegishli bo'lsa, M nuqta va PN segmentidan o'tuvchi a tekislik bilan tetraedrning kesmasini tuzing. P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP a, a (ABC)=MQ MQ||NP. 2) MQ AC=R. a (ADC)=NR, a (BDC)=PQ. RNPQ - talab qilinadigan kesma. NP||(ABC) yechimni ko'ring, ya'ni MNP tekisligi ABC tekislikni NP ga parallel MQ to'g'ri chiziq bo'ylab M nuqtadan o'tuvchi kesishadi.

Slayd 18

Agar biror narsa aniq bo'lmasa, o'qituvchiga savollarni, shuningdek ushbu taqdimotni takomillashtirish bo'yicha tavsiyalaringizni shakllantirishni unutmang.

Slayd 19

Taqdimotni yaratishda darslik va o‘quv qo‘llanmalaridan foydalanilgan: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov va boshqalar.Geometriya 10-11. M. “Ma’rifat” 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakanskiy Geometriyadagi muammolar 7-11.M. "Ma'rifat" 2000 yil

Barcha slaydlarni ko'rish

, slaydlar 1-2)

masalalar yechishda stereometriya aksiomalarini qo‘llashni o‘rganish;

kesuvchi tekislikning kesishish nuqtalarining tetraedr qirralari bilan o'rnini topishni o'rganish;

ushbu bo'limlarni qurish usullarini o'zlashtirish

kognitiv faollikni, mantiqiy fikrlash qobiliyatini shakllantirish;

bilim va ko'nikmalarni egallashni o'z-o'zini nazorat qilish uchun sharoit yaratish.

Dars turi: Yangi bilimlarni shakllantirish.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment

II. Talabalarning bilimlarini yangilash

Frontal so'rov. (Stereometriya aksiomalari, parallel tekisliklarning xossalari)

O'qituvchining so'zi

Tetraedr bilan bog'liq ko'plab geometrik masalalarni yechish uchun ularni chiza olish foydalidirbo'limlar turli samolyotlar. (slayd 3). Qo'ng'iroq qilaylikkesish tekisligi tetraedr - ikkala tomonida berilgan tetraedrning nuqtalari joylashgan har qanday tekislik. Kesuvchi tekislik tetraedrning yuzlarini segmentlar bo'ylab kesib o'tadi. Tomonlari shu segmentlar bo'lgan ko'pburchak deyiladitetraedrning ko'ndalang kesimi . Tetraedrning to'rtta yuzi bo'lganligi sababli, uning kesimlari faqat uchburchaklar va to'rtburchaklar bo'lishi mumkin. Shuni ham yodda tutingki, kesmani qurish uchun kesish tekisligining tetraedr qirralari bilan kesishish nuqtalarini qurish kifoya qiladi, shundan so'ng bitta yuzda yotgan har ikki qurilgan nuqtani bog'laydigan segmentlarni chizish qoladi.

Ushbu darsda siz tetraedrning kesimlarini batafsil o'rganishingiz va bu kesmalarni qurish usullarini o'zlashtira olasiz. Siz ko'pburchak kesimlarini qurishning beshta qoidasini o'rganasiz, kesuvchi tekislikning tetraedr qirralari bilan kesishish nuqtalarining o'rnini topishni o'rganasiz.

Qo'llab-quvvatlovchi tushunchalarni yangilash

Birinchi qoida. Agar ikkita nuqta kesuvchi tekislikka ham, ko‘pburchakning qaysidir yuzining tekisligiga ham tegishli bo‘lsa, bu ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq kesuvchi tekislikning shu yuz tekisligi bilan kesishish chizig‘idir (aksiomaning natijasi tekisliklarning kesishishi).

Ikkinchi qoida . Agar kesish tekisligi ma'lum bir tekislikka parallel bo'lsa, u holda bu ikki tekislik parallel chiziqlar bo'ylab har qanday yuz bilan kesishadi (ikki parallel tekislikning uchdan bir qismi bilan kesishgan xususiyat).

Uchinchi qoida. Agar kesuvchi tekislik ma'lum bir tekislikda yotgan chiziqqa parallel bo'lsa (masalan, ba'zi yuzning tekisligi), u holda kesuvchi tekislikning bu tekislik (yuz) bilan kesishish chizig'i bu chiziqqa parallel bo'ladi (a ning xossasi). tekislikka parallel chiziq).

To'rtinchi qoida. Kesuvchi tekislik parallel yuzlarni parallel chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi (uchdan bir qismi bilan kesishgan parallel tekisliklarning xususiyati).

Beshinchi qoida . Ikki A va B nuqtalar kesish tekisligiga tegishli bo'lsin va A nuqtalari 1 va B 1 bu nuqtalarning bir yuzga parallel proyeksiyalari. Agar AB va A to'g'ri chiziqlar bo'lsa 1 B 1 parallel bo'lsa, kesuvchi tekislik bu yuzni A ga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tadi 1 B 1 . Agar AB va A to'g'ri chiziqlar bo'lsa 1 B 1 ma'lum bir nuqtada kesishsa, u holda bu nuqta ham kesish tekisligiga, ham shu yuzning tekisligiga tegishlidir (bu teoremaning birinchi qismi tekislikka parallel chiziqning xususiyatidan kelib chiqadi, ikkinchisi esa parallelning qo'shimcha xossalaridan kelib chiqadi. proyeksiya).

III. Yangi materialni o'rganish (bilim, ko'nikmalarni shakllantirish)

Tushuntirish bilan jamoaviy muammolarni hal qilish (slayd 4)

Vazifa 1. DABC tetraedrining K ê AD, M ê DS, E BC nuqtalaridan o‘tuvchi tekislik bilan kesmasini tuzing.

Keling, chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqaylik. K va M nuqtalari bir tekislikka tegishli ekan, biz kesish tekisligining ADS yuzi bilan kesishishini topamiz - bu KM segmenti. M va E nuqtalari ham bir xil tekislikda yotadi, ya'ni kesish tekisligining kesishishi va VDS yuzi ME segmentidir. Bir xil ADS tekisligida yotgan KM va AC to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz. Endi X nuqta ABC yuzida yotadi, keyin uni E nuqtaga ulash mumkin. Biz XE to'g'ri chiziqni chizamiz, u AB bilan P nuqtada kesishadi. PE segmenti kesish tekisligining ABC yuzi bilan kesishishidir va segment KP - kesish tekisligining ABC yuzi bilan kesishishi. Shuning uchun, to'rtburchak KMER bizning kerakli bo'limdir. Yechimni daftaringizga yozib oling:

Yechim.

KM = a ∩ ADS

ME = a ∩ VDS

X = KM ∩ AC

P = XE ∩ AB

PE = a ∩ ABC

KR = a ∩ ADV

KMER - zarur bo'lim

Vazifa 2. (5-slayd)

DABC tetraedrining K = ABC, M = VDS, N = AD nuqtalaridan o'tuvchi tekislik bilan kesmasini tuzing.

Keling, ba'zi ikkita nuqtaning proyeksiyalarini ko'rib chiqaylik. Tetraedrda nuqtalarning proyeksiyalari tepadan tayanch tekisligiga topiladi, ya'ni. M→M 1 , N→A. NM va AM chiziqlarning kesishishini topish 1 nuqta X. Bu nuqta kesuvchi tekislikka tegishli, chunki u NM to‘g‘ri chiziqda, ABC tekisligiga tegishli, chunki u AM to‘g‘ri chiziqda yotadi. 1 . Bu shuni anglatadiki, endi ABC tekisligida bizda ulanish mumkin bo'lgan ikkita nuqta bor, biz KX to'g'ri chiziqni olamiz. To'g'ri chiziq BC tomonini L nuqtada va AB tomonini H nuqtada kesib o'tadi. ABC yuzida biz kesishish chizig'ini topamiz, u H va K nuqtalaridan o'tadi - bu NL. ABP yuzida kesishuv chizig'i NN, VDS yuzida L va M nuqtalar orqali kesishish chizig'ini o'tkazamiz - bu LQ, ADS yuzida esa NQ segmentini olamiz. To'rtburchak HNQL kerakli bo'limdir.

Yechim

M → M 1 N → A

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ BC

H = KX ∩ AB

NL = a ∩ AVS, K ê NL

NN = a ∩ AVD,

LQ = a ∩ VDS, M ê LQ

NQ = a ∩ ADS

HNQL - zarur bo'lim

IV. Bilimlarni mustahkamlash

Muammoni keyingi tekshirish bilan hal qilish

Vazifa 3. (6-slayd)

K ê BC, M ê ADV, N ê VDS nuqtalaridan o‘tuvchi tekislik bilan DAWS tetraedrining kesimini tuzing.

Yechim

1. M → M 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 M 1

R = KX ∩ AB

RL = a ∩ AVD, M ê RL

KR = a ∩ VDS, N ê KR

LP = a ∩ ADS

RLPK - zarur bo'lim

V. Mustaqil ish (variantlarga ko'ra)

(7-slayd)

Vazifa 4. M = AB, N = AC, K = AD nuqtalaridan o'tadigan tekislik bilan DABC tetraedri kesmasini tuzing.

Yechim

KM = a ∩ AVD,

MN = a ∩ AVS,

KN = a ∩ ADS

KMN - zarur bo'lim

Vazifa 5. M = AB, K = DS, N = DV nuqtalaridan o'tuvchi tekislik bilan DABC tetraedri kesmasini tuzing.

Yechim

MN = a ∩ AVD

NK = a ∩ VDS

X = NK ∩ BC

P = AC ∩ MX

RK = a ∩ ADS

MNKP - zarur bo'lim

Vazifa 6. M = ABC, K = VD, N = DS nuqtalaridan o'tuvchi tekislik bilan DABC tetraedri kesmasini tuzing.

Yechim

KN = a ∩ MUZ

X = KN ∩ VS

T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC

RT = a ∩ ABC, M ê RT

PN = a ∩ ADS

TP N K - zarur bo'lim

VI. Dars xulosasi.

(slayd 8)

Shunday qilib, bugun biz tetraedr kesimlari bo'yicha eng oddiy masalalarni qurishni o'rgandik. Eslatib o‘taman, ko‘pburchak kesimi ko‘pburchakning ma’lum bir tekislik bilan kesishishi natijasida olingan ko‘pburchakdir. Samolyotning o'zi kesish tekisligi deb ataladi. Kesim qurish deganda, kesish tekisligining qaysi qirralari kesishishini, hosil bo'lgan kesimning turini va bu qirralar bilan kesish tekisligining kesishish nuqtalarining aniq holatini aniqlash tushuniladi. Ya’ni darsda belgilangan maqsadlarga erishildi.

VII. Uy vazifasi.

(9-slayd)

Amaliy ish “Tetraedrning bo'limlarini qurish” elektron yoki qog'oz ko'rinishida. (Har biriga individual topshiriq berildi