Cheklangan chiziqlar bilan raqamlar. Shaklning maydonini hisoblang, misollar. Aylanish jismining hajmi
Ushbu maqolada siz integral hisoblar yordamida chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topishni o'rganasiz. Biz birinchi marta o'rta maktabda aniq integrallarni o'rganishni tugatganimizda va boshlash vaqti kelganida bunday muammoni shakllantirishga duch kelamiz. geometrik talqin bilimlarni amaliyotda egalladi.
Shunday qilib, integrallardan foydalangan holda figuraning maydonini topish masalasini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nima talab qilinadi:
- Barkamol chizmalarni yaratish qobiliyati;
- Mashhur Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib aniq integralni yechish qobiliyati;
- Yechimning yanada foydali variantini "ko'rish" qobiliyati - ya'ni. u yoki bu holatda integratsiyani amalga oshirish qanday qulayroq bo'lishini tushunasizmi? X o'qi (OX) yoki y o'qi (OY) bo'ylab?
- To'g'ri hisoblarsiz qayerda bo'lardik?) Bu boshqa turdagi integrallarni qanday yechish va sonli hisoblarni to'g'rilashni tushunishni o'z ichiga oladi.
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblash muammosini hal qilish algoritmi:
1. Biz chizma qurmoqdamiz. Buni katakli qog'ozda, katta hajmda qilish tavsiya etiladi. Bu funksiya nomini har bir grafik ustida qalam bilan belgilaymiz. Grafiklarga imzo qo'yish faqat keyingi hisob-kitoblarning qulayligi uchun amalga oshiriladi. Istalgan raqamning grafigini olgandan so'ng, ko'p hollarda integratsiyaning qaysi chegaralari qo'llanilishi darhol aniq bo'ladi. Shunday qilib, biz muammoni grafik tarzda hal qilamiz. Biroq, chegaralarning qiymatlari kasr yoki irratsional bo'ladi. Shuning uchun siz qo'shimcha hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin, ikkinchi bosqichga o'ting.
2. Agar integratsiya chegaralari aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, biz grafiklarning bir-biri bilan kesishish nuqtalarini topamiz va bizning grafik yechimimiz analitik bilan mos keladimi yoki yo'qligini ko'ramiz.
3. Keyinchalik, chizilgan rasmni tahlil qilishingiz kerak. Funksiya grafiklari qanday joylashtirilganiga qarab, ular mavjud turli yondashuvlar figuraning maydonini topish uchun. Keling, ko'rib chiqaylik turli misollar integrallar yordamida figuraning maydonini topish.
3.1. Muammoning eng klassik va oddiy versiyasi - bu hududni topish kerak bo'lganda kavisli trapezoid. Egri trapezoid nima? Bu x o'qi bilan cheklangan tekis raqam (y = 0), Streyt x = a, x = b va dan oraliqda uzluksiz har qanday egri chiziq a oldin b. Bundan tashqari, bu ko'rsatkich salbiy emas va x o'qi ostida joylashgan emas. Bunday holda, egri chiziqli trapezoidning maydoni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan ma'lum bir integralga sonli tengdir:
1-misol y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Shakl qaysi chiziqlar bilan chegaralangan? Bizda parabola bor y = x2 – 3x + 3, bu eksa ustida joylashgan OH, u salbiy emas, chunki bu parabolaning barcha nuqtalari ijobiy qiymatlarga ega. Keyinchalik, to'g'ri chiziqlar berilgan x = 1 Va x = 3, ular o'qga parallel ravishda ishlaydi OU, chap va o'ngdagi rasmning chegara chiziqlari. Xo'sh y = 0, u ham x o'qi bo'lib, u raqamni pastdan cheklaydi. Olingan raqam, chapdagi rasmdan ko'rinib turganidek, soyali. Bunday holda, siz darhol muammoni hal qilishni boshlashingiz mumkin. Bizning oldimizda egri trapesiyaning oddiy misoli mavjud bo'lib, biz uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hal qilamiz.
3.2. Oldingi 3.1-bandda biz egri trapezoid x o'qi ustida joylashgan vaziyatni ko'rib chiqdik. Endi masalaning shartlari bir xil bo'lgan holatni ko'rib chiqing, faqat funktsiya x o'qi ostida joylashgan. Standart Nyuton-Leybnits formulasiga minus qo'shiladi. Bunday muammoni qanday hal qilishni quyida ko'rib chiqamiz.
2-misol . Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Ushbu misolda bizda parabola mavjud y = x2 + 6x + 2, o'qdan kelib chiqadi OH, Streyt x = -4, x = -1, y = 0. Bu yerga y = 0 yuqoridan kerakli raqamni cheklaydi. To'g'ridan-to'g'ri x = -4 Va x = -1 bu chegaralar bo'lib, ular ichida aniq integral hisoblanadi. Shaklning maydonini topish masalasini hal qilish printsipi 1-misolga deyarli to'liq mos keladi. Yagona farq shundaki, berilgan funktsiya musbat emas, balki intervalda ham uzluksizdir. [-4; -1] . Ijobiy emas, nimani nazarda tutasiz? Rasmdan ko'rinib turibdiki, berilgan x lar ichida joylashgan raqam faqat "salbiy" koordinatalarga ega, masalani hal qilishda biz buni ko'rishimiz va eslashimiz kerak. Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, rasmning maydonini qidiramiz, faqat boshida minus belgisi bilan.
Maqola tugallanmagan.
Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda aniq integral son ekanligini aytdim. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.
Ya'ni, aniq integral (agar mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ma'lum bir raqamning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand tekislikdagi ma'lum bir egri chiziqni belgilaydi (agar kerak bo'lsa, uni har doim chizish mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
1-misol
Bu odatiy topshiriq bayonoti. Qarorda birinchi va eng muhim nuqta - chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma tuzilishi kerak TO'G'RI.
Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha to'g'ri chiziqlarni qurish yaxshiroqdir (agar ular mavjud bo'lsa) va faqat Keyin– parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funksiyalarning grafiklarini tuzish foydaliroq nuqtadan nuqta, nuqtadan-nuqta qurilish texnikasini mos yozuvlar materialida topish mumkin.
U erda siz bizning darsimiz uchun juda foydali materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish mumkin.
Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizmani chizamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):
Men egri trapezoidni soya qilmayman, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:
Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, Shunung uchun:
Javob:
Kim aniq integralni hisoblash va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynalayotgan bo'lsa, ma'ruzaga murojaat qiling. Aniq integral. Yechimlarga misollar.
Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz rasmdagi hujayralar sonini "ko'z bilan" hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 bo'ladi, bu haqiqatga o'xshaydi. To'liq aniqki, agar biz javob olsak, aytaylik: 20 kvadrat birliklar, keyin biror joyda xatoga yo'l qo'yilganligi aniq - 20 ta hujayra ko'rib chiqilayotgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
2-misol
Chiziqlar, , va o'qlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Bu misol uchun mustaqil qaror. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida?
3-misol
Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Keling, rasm chizamiz:
Agar egri trapezoid bo'lsa butunlay eksa ostida joylashgan, keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Ushbu holatda:
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping.
Yechim: Avval siz rasm chizishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolari chizmasini qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari ko'proq qiziqtiradi. Parabola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.
Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir.
Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Turli grafiklar uchun nuqta-nuqta qurish texnikasi yordamda batafsil muhokama qilinadi Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.
Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:
Yana takror aytamanki, nuqtaviy qurishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik" aniqlanadi.
Va endi ish formulasi: Agar segmentda uzluksiz funksiya mavjud bo'lsa dan katta yoki teng biroz uzluksiz funksiya, keyin mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Bu erda endi raqam qayerda joylashganligi haqida o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda va, taxminan, qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziq ustida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.
Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Istalgan raqam yuqoridagi parabola va pastdagi to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Javob:
Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (oddiy misol № 3 ga qarang) maxsus holat formulalar O'q tenglama bilan aniqlanganligi sababli va funktsiyaning grafigi o'qdan pastda joylashganligi sababli, u holda
Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol
5-misol
6-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping.
Aniq integral yordamida maydonni hisoblash bilan bog'liq masalalarni yechishda ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri bajarilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, lekin ehtiyotsizlik tufayli... noto'g'ri raqamning maydoni topildi, sizning kamtarin xizmatkoringiz bir necha marta mana shu tarzda buzildi. Mana haqiqiy hayotiy holat:
7-misol
, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Avval rasm chizamiz:
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga ega(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda e'tiborsizlik tufayli ko'pincha figuraning soyali maydonini topish kerak bo'ladi. yashil!
Ushbu misol ham foydalidir, chunki u ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblaydi. Haqiqatan ham:
1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqning grafigi mavjud;
2) Eksa ustidagi segmentda giperbolaning grafigi joylashgan.
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Javob:
8-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang,
Keling, tenglamalarni "maktab" shaklida taqdim etamiz va nuqta-nuqta chizamiz:
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": .
Lekin pastki chegara nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin bu nima? Balkim ? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan amalga oshirilishiga kafolat qayerda bo'lsa, shunday bo'lishi mumkin ... Yoki ildiz. Agar grafikni noto'g'ri tuzgan bo'lsak nima bo'ladi?
Bunday hollarda siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va integratsiya chegaralarini analitik tarzda aniqlab olishingiz kerak.
To'g'ri chiziq va parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz.
Buning uchun tenglamani yechamiz:
Demak, .
Keyingi yechim ahamiyatsiz, asosiysi almashtirish va belgilarda chalkashmaslikdir, bu erda hisob-kitoblar eng oddiy emas.
Tegishli formula bo'yicha segmentda:
Xo'sh, darsni yakunlash uchun keling, yana ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqaylik.
9-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang, ,
Yechish: Keling, ushbu figurani chizmada tasvirlaymiz.
Nuqtama-nuqta chizmasini yaratish uchun siz sinusoidning ko'rinishini bilishingiz kerak (va umuman bilish foydalidir) barcha elementar funksiyalarning grafiklari), shuningdek, ba'zi sinus qiymatlari, ularni topish mumkin trigonometrik jadval. Ba'zi hollarda (bu holatda bo'lgani kabi) sxematik chizmani qurish mumkin, unda integratsiyaning grafiklari va chegaralari tubdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.
Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi: "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Keling, qo'shimcha qaror qabul qilaylik:
Segmentda funktsiya grafigi eksa ustida joylashgan, shuning uchun:
(1) Sinuslar va kosinuslar qanday qilib toq kuchlarda integrallashayotganini darsda ko'rishingiz mumkin Trigonometrik funksiyalarning integrallari. Bu odatiy usul, biz bitta sinusni chimchilab olamiz.
(2) Biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani shaklda ishlatamiz
(3) O'zgaruvchini o'zgartiramiz, keyin:
Integratsiyaning yangi sohalari:
Kim almashtirishda juda yomon bo'lsa, saboq oling. Noaniq integralda almashtirish usuli. Aniq integralda almashtirish algoritmini to'liq tushunmaydiganlar uchun sahifaga tashrif buyuring Aniq integral. Yechimlarga misollar. 5-misol: Yechim: , shuning uchun:
Javob:
Eslatma: tangens kubining integrali qanday olinganiga e'tibor bering; bu erda asosiy trigonometrik o'ziga xoslikning natijasi qo'llaniladi.
Orqaga oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Kalit so‘zlar: integral, egri chiziqli trapezoid, zambaklar bilan chegaralangan raqamlar maydoni
Uskunalar: marker taxtasi, kompyuter, multimedia proyektori
Dars turi: dars-ma'ruza
Dars maqsadlari:
- tarbiyaviy: aqliy mehnat madaniyatini shakllantirish, har bir o'quvchi uchun muvaffaqiyat holatini yaratish va o'rganish uchun ijobiy motivatsiya yaratish; gapirish va boshqalarni tinglash qobiliyatini rivojlantirish.
- rivojlanmoqda: o`quvchida bilimlarni turli vaziyatlarda qo`llashda mustaqil fikrlashni shakllantirish, tahlil qilish va xulosa chiqarish qobiliyatini shakllantirish, mantiqni rivojlantirish, savollarni to`g`ri qo`yish va ularga javob topish qobiliyatini rivojlantirish. Hisoblash ko'nikmalarini shakllantirishni takomillashtirish, taklif etilgan topshiriqlarni bajarish jarayonida o'quvchilarning tafakkurini rivojlantirish, algoritmik madaniyatni rivojlantirish.
- tarbiyaviy: egri chiziqli trapetsiya, integral haqida tushunchalarni shakllantirish, tekis figuralarning maydonlarini hisoblash malakalarini egallash.
O'qitish usuli: tushuntiruvchi va illyustrativ.
Darslar davomida
Oldingi darslarda biz chegaralari siniq chiziqlar bo'lgan figuralarning maydonlarini hisoblashni o'rgandik. Matematikada egri chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning maydonlarini hisoblash imkonini beruvchi usullar mavjud. Bunday raqamlar egri chiziqli trapezoidlar deb ataladi va ularning maydoni antiderivativlar yordamida hisoblanadi.
Egri chiziqli trapezoid ( slayd 1)
Egri trapezoid - bu funktsiya grafigi bilan chegaralangan figura, ( sh.m.), Streyt x = a Va x = b va x o'qi
Egri trapezoidlarning har xil turlari ( slayd 2)
Biz egri chiziqli trapezoidlarning har xil turlarini ko'rib chiqamiz va e'tiborga olamiz: to'g'ri chiziqlardan biri ma'lum bir nuqtaga degeneratsiyalangan, cheklovchi funktsiya rolini to'g'ri chiziq bajaradi.
Egri trapezoidning maydoni (slayd 3)
Intervalning chap uchini mahkamlang A, va to'g'ri X biz o'zgartiramiz, ya'ni egri chiziqli trapezoidning o'ng devorini siljitamiz va o'zgaruvchan raqamni olamiz. Funktsiya grafigi bilan chegaralangan o'zgaruvchan egri chiziqli trapezoidning maydoni antiderivativ hisoblanadi. F funktsiya uchun f
Va segmentda [ a; b] funktsiyasi tomonidan hosil qilingan egri chiziqli trapezoidning maydoni f, bu funktsiyaning anti hosilasining ortishiga teng:
1-mashq:
Funktsiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydonini toping: f(x) = x 2 va tekis y = 0, x = 1, x = 2.
Yechim: ( 3-slayd algoritmiga muvofiq)
Funksiya va chiziqlar grafigini chizamiz
Funksiyaning antiderivativlaridan birini topamiz f(x) = x 2 :
Slaydda o'z-o'zini sinab ko'rish
Integral
Funktsiya bilan aniqlangan egri chiziqli trapezoidni ko'rib chiqing f segmentida [ a; b]. Keling, ushbu segmentni bir necha qismlarga ajratamiz. Butun trapezoidning maydoni kichikroq kavisli trapezoidlarning maydonlari yig'indisiga bo'linadi. ( slayd 5). Har bir bunday trapezoidni taxminan to'rtburchaklar deb hisoblash mumkin. Ushbu to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi egri trapezoidning butun maydoni haqida taxminiy fikr beradi. Biz segmentni qanchalik kichikroq bo'lamiz [ a; b], biz maydonni qanchalik aniq hisoblaymiz.
Keling, bu dalillarni formulalar shaklida yozamiz.
Segmentni ajrating [ a; b] nuqta orqali n qismga ajrating x 0 =a, x1,...,xn = b. Uzunlik k- th bilan belgilang xk = xk – xk-1. Keling, yig'indi qilaylik
Geometrik jihatdan bu yig'indi rasmda soyalangan shaklning maydonini bildiradi ( sh.m.)
Shakl yig'indilari funksiya uchun integral yig'indilar deyiladi f. (sh.m.)
Integral summalar maydonning taxminiy qiymatini beradi. Aniq qiymat chegaraga o'tish orqali olinadi. Tasavvur qilaylik, biz segmentning bo'linishini aniqlaymiz [ a; b] shunday qilib, barcha kichik segmentlarning uzunligi nolga intiladi. Keyin tuzilgan shaklning maydoni egri trapezoidning maydoniga yaqinlashadi. Aytishimiz mumkinki, kavisli trapezoidning maydoni integral yig'indilarning chegarasiga teng, Sc.t. (sh.m.) yoki integral, ya'ni,
Ta'rif:
Funktsiyaning integrali f(x) dan a oldin b integral yig‘indilarning chegarasi deyiladi
= (sh.m.)
Nyuton-Leybnits formulasi.
Esda tutamizki, integral yig'indilarning chegarasi egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng, ya'ni biz yozishimiz mumkin:
Sc.t. = (sh.m.)
Boshqa tomondan, egri trapezoidning maydoni formuladan foydalanib hisoblanadi
S k.t. (sh.m.)
Ushbu formulalarni taqqoslab, biz quyidagilarni olamiz:
= (sh.m.)Bu tenglik Nyuton-Leybnits formulasi deb ataladi.
Hisoblash qulayligi uchun formula quyidagicha yoziladi:
= = (sh.m.)Vazifalar: (sh.m.)
1. Nyuton-Leybnits formulasi yordamida integralni hisoblang: ( 5-slaydda tekshiring)
2. Chizma bo'yicha integrallarni tuzing ( 6-slaydda tekshiring)
3. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini toping: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slayd 7)
Tekislik figuralarining maydonlarini topish ( slayd 8)
Egri trapezoid bo'lmagan figuralar maydonini qanday topish mumkin?
Ikki funktsiya berilsin, ularning grafiklari slaydda ko'rib chiqiladi . (sh.m.) Soyali figuraning maydonini toping . (sh.m.). Ko'rib chiqilayotgan rasm egri trapezoidmi? Maydonning qo'shiluvchanlik xususiyatidan foydalanib, uning maydonini qanday topish mumkin? Ikki kavisli trapezoidni ko'rib chiqing va ulardan birining maydonidan ikkinchisining maydonini ayiring ( sh.m.)
Slaydda animatsiya yordamida hududni topish algoritmini tuzamiz:
- Grafik funktsiyalari
- Grafiklarning kesishish nuqtalarini x o'qiga proyeksiyalang
- Grafiklar kesishganda olingan raqamni soya qiling
- Kesishishi yoki birlashmasi berilgan rasm bo‘lgan egri chiziqli trapetsiyalarni toping.
- Ularning har birining maydonini hisoblang
- Maydonlarning farqini yoki yig‘indisini toping
Og'zaki topshiriq: Soyali figuraning maydonini qanday olish mumkin (animatsiya yordamida ayting, slayd 8 va 9)
Uy vazifasi: Eslatmalar bilan ishlang, № 353 (a), № 364 (a).
Adabiyotlar ro'yxati
- Algebra va tahlilning boshlanishi: kechki (smenada) maktabning 9-11-sinflari uchun darslik / ed. G.D. Glaser. - M: Ma'rifat, 1983 yil.
- Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: o'rta maktabning 10-11-sinflari uchun darslik / Bashmakov M.I. - M: Ma'rifat, 1991 yil.
- Bashmakov M.I. Matematika: boshlang'ich muassasalar uchun darslik. va chorshanba prof. ta'lim / M.I. Bashmakov. - M: Akademiya, 2010 yil.
- Kolmogorov A.N. Algebra va tahlilning boshlanishi: 10-11-sinflar uchun darslik. ta'lim muassasalari / A.N. Kolmogorov. - M: Ta'lim, 2010 yil.
- Ostrovskiy S.L. Dars uchun taqdimotni qanday qilish kerak? / S.L. Ostrovskiy. – M.: 2010 yil 1 sentyabr.
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang.
Yechim.
Kesishish nuqtalarini topish berilgan chiziqlar. Buning uchun tenglamalar tizimini yechamiz:
Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarining abtsissasini topish uchun tenglamani yechamiz:
Biz topamiz: x 1 = -2, x 2 = 4.
Demak, parabola va to'g'ri chiziq bo'lgan bu chiziqlar nuqtalarda kesishadi A(-2; 0), B(4; 6).
Ushbu chiziqlar yopiq shaklni hosil qiladi, uning maydoni yuqoridagi formuladan foydalanib hisoblanadi:
Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Ellips bilan chegaralangan hududning maydonini toping.
Yechim.
Bizda birinchi kvadrant uchun ellips tenglamasidan. Bu erdan formuladan foydalanib, biz olamiz
Keling, almashtirishni qo'llaymiz x = a gunoh t, dx = a cos t dt. Integratsiyaning yangi chegaralari t = α Va t = β 0 = tenglamalardan aniqlanadi a gunoh t, a = a gunoh t. Qo'yish mumkin α = 0 va β = π /2.
Kerakli maydonning to'rtdan birini toping
Bu yerdan S = pab.
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini topingy = - x 2 + x + 4 vay = - x + 1.
Yechim.
Chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, chiziqlar ordinatalarini tenglashtirish: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 yoki x 2 - 2x- 3 = 0. Ildizlarni topish x 1 = -1, x 2 = 3 va ularning mos keladigan ordinatalari y 1 = 2, y 2 = -2.
Shaklning maydoni uchun formuladan foydalanib, biz olamiz
Parabola bilan o'ralgan maydonni aniqlangy = x 2 + 1 va tekisx + y = 3.
Yechim.
Tenglamalar sistemasini yechish
kesishish nuqtalarining abtsissasini toping x 1 = -2 va x 2 = 1.
Ishonish y 2 = 3 - x Va y 1 = x 2 + 1, biz olgan formulaga asoslanib
Bernulli lemniskatidagi maydonni hisoblangr 2 = a 2 cos 2 φ .
Yechim.
Qutbli koordinatalar tizimida figuraning maydoni egri yoyi bilan chegaralanadi r = f(φ ) va ikkita qutb radiusi φ 1 = ʅ Va φ 2 = ʆ , integral bilan ifodalanadi
Egri chiziqning simmetriyasi tufayli biz birinchi navbatda kerakli maydonning to'rtdan bir qismini aniqlaymiz
Shuning uchun butun maydon tengdir S = a 2 .
Astroidning yoy uzunligini hisoblangx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Yechim.
Keling, astroid tenglamasini shaklda yozamiz
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Keling, qo'ying x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 gunoh t.
Bu yerdan biz astroidning parametrik tenglamalarini olamiz
x = a chunki 3 t, y = a gunoh 3 t, (*)
bu erda 0 ≤ t ≤ 2π .
Egri chiziqning simmetriyasi (*) tufayli yoy uzunligining to'rtdan birini topish kifoya. L, parametr o'zgarishiga mos keladi t 0 dan π /2.
olamiz
dx = -3a chunki 2 t gunoh t dt, dy = 3a gunoh 2 t cos t dt.
Bu erdan topamiz
Olingan ifodani 0 dan integrallash π /2, olamiz
Bu yerdan L = 6a.
Arximed spirali bilan o'ralgan maydonni topingr = aph va qutb burchaklariga mos keladigan ikkita radius vektoriφ 1 Vaφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Yechim.
Egri chiziq bilan o'ralgan maydon r = f(φ ) formula bo'yicha hisoblanadi, bu erda α Va β - qutb burchagi o'zgarishi chegaralari.
Shunday qilib, biz olamiz
(*)
(*) dan qutb o'qi va Arximed spiralining birinchi burilishi bilan chegaralangan maydon ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Xuddi shunday, biz qutb o'qi va Arximed spiralining ikkinchi burilishi bilan chegaralangan maydonni topamiz ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Kerakli maydon bu maydonlarning farqiga teng
O'q atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini hisoblangho'kiz parabolalar bilan chegaralangan raqamlary = x 2 Vax = y 2 .
Yechim.
Keling, tenglamalar tizimini yechamiz
va biz olamiz x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, bu erdan egri chiziqlarning kesishish nuqtalari O(0; 0), B(o'n bitta). Rasmda ko'rinib turibdiki, aylanish jismining kerakli hajmi o'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan ikki hajm orasidagi farqga teng. ho'kiz egri chiziqli trapezoidlar O.C.B.A. Va ODBA:
O'q bilan o'ralgan maydonni hisoblangho'kiz va sinusoidy = gunohx segmentlar bo'yicha: a) ; b) .
Yechim.
a) sin funktsiyasi segmentida x belgisini saqlaydi va shuning uchun formula bo'yicha, faraz qiladi y= gunoh x, topamiz
b) segmentda sin vazifasi x belgisini o'zgartiradi. Muammoni to'g'ri hal qilish uchun segmentni ikkiga va [ga bo'lish kerak. π , 2π ], ularning har birida funktsiya o'z belgisini saqlaydi.
Belgilar qoidasiga ko'ra, segmentda [ π , 2π ] maydon minus belgisi bilan olinadi.
Natijada, kerakli maydon teng bo'ladi
Ellipsning aylanishidan olingan sirt bilan chegaralangan jismning hajmini aniqlangkatta o'q atrofidaa .
Yechim.
Ellipsning koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik ekanligini hisobga olsak, o'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan hajmni topish kifoya. ho'kiz hudud OAB, ellips maydonining to'rtdan biriga teng va natijani ikki barobarga oshiring.
Revolyutsiya jismining hajmini quyidagicha belgilaymiz V x; keyin formula asosida biz bor , bu erda 0 va a- nuqtalarning abstsissalari B Va A. Ellips tenglamasidan topamiz. Bu yerdan
Shunday qilib, kerakli hajm ga teng. (Elips kichik o'q atrofida aylanganda b, tananing hajmi ga teng)
Parabola bilan chegaralangan maydonni topingy 2 = 2 px Vax 2 = 2 py .
Yechim.
Birinchidan, integratsiya segmentini aniqlash uchun parabolalarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini topamiz. Dastlabki tenglamalarni o'zgartirib, biz va . Ushbu qiymatlarni tenglashtirib, biz yoki olamiz x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Tenglamalarning ildizlarini toping:
Nuqta ekanligini hisobga olsak A parabolalarning kesishishi birinchi chorakda, so'ngra integratsiya chegaralari x= 0 va x = 2p.
Formuladan foydalanib kerakli maydonni topamiz
Misol 1 . Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 va x = 2
Shakl quramiz (rasmga qarang) Ikkita A(4;0) va B(0;2) nuqtalardan foydalanib x + 2y – 4 = 0 to'g'ri chiziq quramiz. y ni x orqali ifodalab, y = -0,5x + 2 ni olamiz. (1) formuladan foydalanib, bu erda f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2 ni topamiz.
S = = [-0,25=11,25 kv. birliklar
2-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 va y = 0.
Yechim. Keling, rasmni tuzamiz.
x – 2y + 4 = 0 to'g'ri chiziq quramiz: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
x + y – 5 = 0 to'g'ri chiziq quramiz: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Tenglamalar tizimini yechish orqali chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Kerakli maydonni hisoblash uchun AMC uchburchagini ikkita AMN va NMC uchburchaklariga ajratamiz, chunki x A dan N ga o'tganda maydon to'g'ri chiziq bilan, x N dan C ga o'tganda esa to'g'ri chiziq bilan chegaralanadi.
AMN uchburchagi uchun bizda: ; y = 0,5x + 2, ya'ni f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
NMC uchburchak uchun bizda: y = - x + 5, ya'ni f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Har bir uchburchakning maydonini hisoblab, natijalarni qo'shib, biz topamiz:
kv. birliklar
kv. birliklar
9 + 4, 5 = 13,5 kv. birliklar Tekshiring: = 0,5AC = 0,5 kv. birliklar
3-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblang: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
Bunday holda, siz y = x parabola bilan chegaralangan egri trapezoidning maydonini hisoblashingiz kerak. 2 , x = 2 va x = 3 to'g'ri chiziqlar va Ox o'qi (rasmga qarang) (1) formuladan foydalanib, egri chiziqli trapezoidning maydonini topamiz
= = 6 kv. birliklar
4-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = - x 2 + 4 va y = 0
Keling, rasmni tuzamiz. Kerakli maydon y = - x parabola orasiga o'ralgan 2 + 4 va Ox o'qi.
Parabolaning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz. y = 0 deb faraz qilsak, biz x = topamiz, chunki bu raqam Oy o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun, biz Oy o'qining o'ng tomonida joylashgan figuraning maydonini hisoblaymiz va olingan natijani ikki barobarga oshiramiz: = +4x]sq. birliklar 2 = 2 kv. birliklar
5-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Bu erda siz parabolaning yuqori novdasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblashingiz kerak. 2 = x, Ox o'qi va to'g'ri chiziqlar x = 1 va x = 4 (rasmga qarang)
Formula (1) ga ko'ra, f(x) = a = 1 va b = 4 bo'lsa, bizda = (= kv. birliklar mavjud.
6-misol . Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Kerakli maydon sinusoidning yarim to'lqini va Ox o'qi bilan cheklangan (rasmga qarang).
Bizda - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. birliklar
7-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: y = - 6x, y = 0 va x = 4.
Shakl Ox o'qi ostida joylashgan (rasmga qarang).
Shuning uchun uning maydonini (3) formuladan foydalanib topamiz.
= =
8-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = va x = 2. Nuqtalardan y = egri chizig'ini tuzing (rasmga qarang). Shunday qilib, (4) formuladan foydalanib, rasmning maydonini topamiz.
9-misol .
X 2 + y 2 = r 2 .
Bu erda siz x doira bilan o'ralgan maydonni hisoblashingiz kerak 2 + y 2 = r 2 , ya'ni radiusi r bo'lgan aylananing maydoni, markazi boshlang'ichda. 0 dan integrasiya chegaralarini olib, bu sohaning to‘rtinchi qismini topamiz
oldin; bizda ... bor: 1 = = [
Demak, 1 =
10-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang: y= x 2 va y = 2x
Bu raqam y = x parabola bilan chegaralangan 2 va to'g'ri chiziq y = 2x (rasmga qarang) Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimini yechamiz: x 2 – 2x = 0 x = 0 va x = 2
Hududni topish uchun (5) formuladan foydalanib, biz olamiz
= }
