Seritë me numra kompleks. Seri me terma komplekse. Seritë komplekse të fuqisë

463. Cili është kuptimi gjeometrik i pabarazive: 1) Re z > 0; 2) Unë jam z< 0 ?

2. Seri me terma komplekse. Merrni parasysh sekuencën e numrave kompleksë z 1, z 2 , z 3, ..., ku z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Numër konstant c = a + bi thirrur limit sekuencat z 1, z 2 , z 3 , ..., nëse për ndonjë numër të vogël arbitrarisht δ>0 ekziston një numër i tillë N,çfarë është kuptimi z f me numra n > N kënaqin pabarazinë \z fq-Me\< δ . Në këtë rast ata shkruajnë .

Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekzistencën e një kufiri të një sekuence numrash kompleksë është si më poshtë: numri c=a+biështë kufiri i një sekuence numrash kompleksë x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … nese dhe vetem nese , .

(1)

anëtarët e të cilit janë numra kompleks quhet konvergjente, Nëse n-të shuma e pjesshme e serisë S n at p → ∞ priret në një kufi të caktuar përfundimtar. Përndryshe, quhet seria (1). divergjent.

Seria (1) konvergjon nëse dhe vetëm nëse seritë me terma realë konvergjojnë

(2) Hulumtoni konvergjencën e serisë Kjo seri, termat e së cilës formojnë një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, konvergon; prandaj, një seri e dhënë me terma komplekse konvergjon absolutisht. ^

474. Gjeni zonën e konvergjencës së serisë

19.4.1. Seritë e numrave me terma komplekse. Të gjitha përkufizimet bazë të konvergjencës, vetitë e serive konvergjente dhe shenjat e konvergjencës për seritë komplekse nuk janë të ndryshme nga rasti aktual.

19.4.1.1. Përkufizimet bazë. Le të na jepet një sekuencë e pafundme numrash kompleksë z 1 , z 2 , z 3 , …, z n , ….Pjesa reale e numrit z n do të shënojmë a n , imagjinare - b n

(ato. z n = a n + i b n , n = 1, 2, 3, …).

Seria e numrave- regjistrimi i formularit.

I pjesshëmshumatrresht: S 1 = z 1 , S 2 = z 1 + z 2 , S 3 = z 1 + z 2 + z 3 , S 4 = z 1 + z 2 + z 3 + z 4 , …,

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n , …

Përkufizimi. Nëse ka një kufi S sekuencat e shumave të pjesshme të një serie për
, i cili është një numër i duhur kompleks, atëherë thuhet se seria konvergon; numri S thirri shumën e serisë dhe shkruani S = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n + ... ose
.

Le të gjejmë pjesët reale dhe imagjinare të shumave të pjesshme:

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n = (a 1 + i b 1) + (a 2 + i b 2) + (a 3 + i b 3) + … + (a n + i b n ) = (a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n ) +

Ku janë simbolet Dhe tregohen pjesët reale dhe imagjinare të shumës së pjesshme. Një sekuencë numrash konvergjon nëse dhe vetëm nëse sekuencat e përbëra nga pjesët e saj reale dhe imagjinare konvergjojnë. Kështu, një seri me terma komplekse konvergjon nëse dhe vetëm nëse seria e formuar nga pjesët e saj reale dhe imagjinare konvergojnë. Një nga metodat për studimin e konvergjencës së serive me terma komplekse bazohet në këtë pohim.

Shembull. Shqyrtoni serinë për konvergjencë .

Le të shkruajmë disa kuptime të shprehjes : atëherë vlerat përsëriten periodikisht. Një seri pjesësh reale: ; seri pjesësh imagjinare; të dyja seritë konvergojnë (me kusht), kështu që seria origjinale konvergjon.

19.4.1.2. Konvergjenca absolute.

Përkufizimi. Rreshti thirrur absolutisht konvergjente, nëse seria konvergon
, i përbërë nga vlerat absolute të anëtarëve të tij.

Ashtu si për seritë reale numerike me terma arbitrare, është e lehtë të vërtetohet se nëse seria konvergjon
, atëherë seria konvergjon domosdoshmërisht (
, pra seria e formuar nga pjesët reale dhe imagjinare të serialit , pajtohem absolutisht). Nëse rreshti konvergon, dhe seria
divergon, pastaj seria quhet konvergjent me kusht.

Rreshti
- një seri me terma jo-negativë, prandaj, për të studiuar konvergjencën e saj, mund të përdorni të gjitha testet e njohura (nga teoremat e krahasimit deri te testi integral Cauchy).

Shembull. Shqyrtoni serinë për konvergjencë
.

Le të bëjmë një seri modulesh ():
. Kjo seri konvergon (testi Cauchy
), kështu që seria origjinale konvergon absolutisht.

19.4. 1 . 3 . Vetitë e serive konvergjente. Për seritë konvergjente me terma komplekse, të gjitha vetitë e serive me terma realë janë të vlefshme:

Një shenjë e nevojshme e konvergjencës së një serie. Termi i përgjithshëm i serisë konvergjente tenton në zero si
.

Nëse seria konvergjon , atëherë çdo mbetje e serisë konvergjon Në të kundërt, nëse ndonjë mbetje e serisë konvergjon, atëherë vetë seria konvergjon.

Nëse seria konvergon, atëherë shuma e mbetjes së saj pasn -termi tenton në zero si
.

Nëse të gjithë termat e një serie konvergjente shumëzohen me të njëjtin numërMe , atëherë konvergjenca e serisë do të ruhet dhe shuma do të shumëzohet meMe .

Seri konvergjente (A ) Dhe (NË ) mund të shtohet dhe të zbritet term pas termi; seria që rezulton gjithashtu do të konvergojë, dhe shuma e saj është e barabartë me
.

Nëse termat e një serie konvergjente grupohen në mënyrë arbitrare dhe një seri e re bëhet nga shumat e termave në secilën palë kllapa, atëherë kjo seri e re gjithashtu do të konvergojë dhe shuma e saj do të jetë e barabartë me shumën e seri origjinale.

Nëse një seri konvergjon absolutisht, atëherë pavarësisht se si janë rirregulluar termat e saj, konvergjenca ruhet dhe shuma nuk ndryshon.

Nëse rreshtat (A ) Dhe (NË ) konvergojnë absolutisht në shumat e tyre
Dhe
, atëherë produkti i tyre, me një renditje arbitrare termash, gjithashtu konvergjon absolutisht dhe shuma e tij është e barabartë me
.

Shiko simbolin W 1 + W 2 +…+ W n +…= (1), Ku W n = u n + i· v n (n = 1, 2, …) quhen numra kompleks (rende numrash komplekse). seri numrash komplekse.

Numrat W n (n = 1, 2, …) quhen anëtarët e një numri, anëtar W n thirrur anëtar i përbashkët i serisë.

Numrat e formularit S n = W 1 + W 2 +…+ W n (2) (n = 1, 2, …) , quhen shumat e pjesshme të një serie (1).

Kufiri i fundëm ose i pafund S sekuencat S n thirrur shuma e kësaj serie.

Nëse kufiri Sështë e fundme, atëherë thirret seria konvergjente, nëse kufiri është i pafund ose nuk ekziston fare, atëherë seria divergjent.

Nëse S shuma e serisë (1), më pas shkruani
.

Le
, A
. Natyrisht σ n = u 1 + u 2 +…+ u n , τ n = v 1 + v 2 +…+ v n. Si e njohim barazinë
(S natyrisht) është e barabartë me dy barazi
Dhe
. Rrjedhimisht, konvergjenca e serisë (1) është ekuivalente me konvergjencën e dy serive reale: Dhe . Prandaj, vetitë themelore të serive konvergjente të numrave vlejnë për seritë komplekse konvergjente.

Për shembull, për seritë komplekse, kriteri Cauchy është i vlefshëm: seria (1) konvergjon nëse dhe vetëm nëse për ndonjë

që para të gjithëven > Ndhe ndonjëfq= 1, 2, ... pabarazia vlen.

Ky kriter nënkupton drejtpërdrejt kriterin e nevojshëm për konvergjencën e një serie: që seria (1) të konvergojë është e nevojshme dhe e mjaftueshme që termi i përbashkët i sajW n → 0 .

Karakteristikat e mëposhtme të serive konvergjente janë të vërteta: nëse rreshtat Dhe konvergojnë në shumat e tyreSDhed, pastaj rreshtat
Dhe
konvergojnë përkatësisht te shumatS ± ddhe λS .

Seritë absolutisht konvergjente të numrave kompleksë.

Seritë e numrave kompleks (1) thirri absolutisht konvergjente, nëse seria konvergon
(2).

Teorema.

Çdo seri absolutisht konvergjente (1) e numrave kompleks konvergon.

Dëshmi.

Natyrisht, mjafton të vërtetojmë se për serinë (1) plotësohen kushtet e kriterit Cauchy për konvergjencën e serisë. Le të marrim ndonjë
. Për shkak të konvergjencës absolute të serisë (1), seria (2) konvergjon. Prandaj, për të përzgjedhurit

, që për çdo n > N Dhe p=1,2,… pabarazia do të plotësohet
, Por

, dhe aq më tepër pabarazia do të plotësohet
në çdo n > N Dhe fq=1,2,… Për rrjedhojë, për serinë (1) plotësohen kushtet e kriterit Cauchy për konvergjencën e një serie komplekse. Prandaj seria (1) konvergon. Teorema është e vërtetë.

Teorema.

Në mënyrë për një seri numrash komplekse (1) ishte absolutisht konvergjente është e nevojshme dhe e mjaftueshme që seritë reale të konvergojnë absolutisht (3) dhe (4), kuW n = u n + i· v n (n = 1, 2,…).

Dëshmi,

mbështetet në pabarazitë e dukshme të mëposhtme

(5)

Domosdoshmëri. Lëreni serinë (1) të konvergojë absolutisht, le të tregojmë se seritë (3) dhe (4) konvergojnë absolutisht, d.m.th.
Dhe
(6). Nga konvergjenca absolute e serisë (1) rezulton se seria (2)
konvergon, atëherë, për shkak të anës së majtë të pabarazisë (5), seria (6) do të konvergojë, pra seritë (3) dhe (4) konvergojnë absolutisht.

Përshtatshmëria. Le të konvergojnë seritë (3) dhe (4) absolutisht, le të tregojmë se seria (1) gjithashtu konvergon absolutisht, d.m.th., se seria (2) konvergjon. Nga konvergjenca absolute e serive (3) dhe (4) del se seria (6) konvergjon, prandaj edhe seria konvergjon
. Rrjedhimisht, për shkak të anës së djathtë të pabarazisë (5), seria (2) konvergjon, d.m.th. seria (1) është absolutisht konvergjente.

Pra, konvergjenca absolute e serisë komplekse (1) është ekuivalente me konvergjencën absolute të serisë së numrave realë (3) dhe (4). Prandaj, të gjitha vetitë themelore të serive reale absolutisht konvergjente të numrave vlejnë për seritë komplekse absolutisht konvergjente. Në veçanti, për një seri komplekse absolutisht konvergjente, është e vlefshme teorema mbi ndërrimin e termave të saj, d.m.th. rirregullimi i termave në një seri absolutisht konvergjente nuk ndikon në shumën e serisë. Për të vendosur konvergjencën absolute të një serie komplekse, mund të përdoret çdo kriter për konvergjencën e një serie pozitive.

Shenja e Cauchy.

Le të ketë një kufi seria (1).
, atëherë nëseq < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, pastaj seria (1) ndryshon.

Shenja e D'Alembert.

Nëse për një seri (1) numrash kompleks ka një kufi
, atehere kurq < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q> 1, atëherë seria ndryshon.

Shembull.

Shqyrtoni serinë për konvergjencë absolute
, Këtu
.

Ne do të gjejmë
. Natyrisht
=
=
. Prandaj, seria është absolutisht konvergjente.

Seritë absolutisht konvergjente mund të shumëzohen. Produkti i një serie absolutisht konvergjente dhe një serie konvergjente konvergjon. Produkti i dy konvergjenteve mund të ndryshojë.

Madhësia: px

Filloni të shfaqni nga faqja:

Transkripti

1 8 Seritë komplekse të numrave Konsideroni një seri numrash me numra kompleks të formës k a, (46) ku (a k) është dhënë sekuenca e numrave me terma komplekse k Seria (46) quhet konvergjente nëse sekuenca (S) e shumave të saj të pjesshme S a k k konvergjon Në këtë rast, kufiri S i vargut (S) quhet shuma e serisë (46) The seria a k quhet mbetja e e serisë (46) Për një seri k konvergjente S S r dhe lm r, ato ε > N, N: r< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >, N, N: a< ε p k k Një kusht i domosdoshëm konvergjenca e serisë (46) është kërkesa lm a Në të vërtetë, nga konvergjenca e serisë (46) rrjedh, sipas kriterit Cauchy, se ε >, N >, që për p, rezulton se S S< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 Seritë funksionale dhe vetitë e tyre Konvergjenca uniforme Teorema e Weierstrass Le të përcaktohet një sekuencë e pafundme funksionesh me një vlerë të vetme ((Z)) në një fushë G të rrafshit kompleks Z. Një shprehje e formës U U (48) do të quhet një Seria funksionale (48) thuhet se është konvergjente në një domen G nëse seria e saj korresponduese e numrave konvergon në një rajon G, atëherë në këtë zonë është e mundur të përcaktohet një funksion me një vlerë. vlera e të cilit në secilën pikë të rajonit G është e barabartë me shumën e serisë së numrave përkatës (48) në rajonin G. Pastaj G, > k () U k()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, N(ε), N(ε): ε, N (ε,), N(ε,) : ekzekutohet menjehere ne zonen G k U k< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 a U, G, (49) atëherë seria (48) konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme N Në të vërtetë, meqenëse seria a konvergon, atëherë > Në bazë të (49), pabarazia ε, > k k N qëndron në G, e tillë që a< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) funksionet e vazhdueshme U konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në domenin G në një funksion, atëherë integrali i këtij funksioni mbi çdo kurbë të lëmuar pjesërisht që shtrihet tërësisht në domenin G mund të llogaritet me integrimin term pas termi të serisë (48), atëherë teorema 7 nëse termat d U d U të serisë U që konvergojnë në domenin G kanë derivate të vazhdueshme në këtë fushë dhe seria U konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në G, atëherë kjo seri U mund të diferencohet term pas termi në domenin G, dhe U U, ku U është shuma e serisë

4 Për rreshtat e funksioneve në analizë gjithëpërfshirëse ekziston një teoremë e Weierstrass, e cila na lejon të forcojmë ndjeshëm teoremën mbi mundësinë e diferencimit term pas termi të një serie funksionale, e njohur nga analiza reale Përpara se ta formulojmë dhe ta vërtetojmë atë, vërejmë se seria U, në mënyrë uniforme konvergjente drejtëza l, do të mbetet në mënyrë të njëtrajtshme konvergjente edhe pasi të shumëzohen të gjitha termat e saj me funksionin ϕ të kufizuar me l Në të vërtetë, le të plotësohet pabarazia ϕ () në drejtëzën l< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, >N:r< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 gjithashtu konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në shumën e tij () () () () (), pasi funksioni (5) është i kufizuar në, sepse për pikat e këtij rrethi ρ është rrezja e rrethit (mbani mend: - këtu është një konstante) Pastaj , sipas sa më sipër, seria (5) mund të integrohet term pas termi: () d () d () d d π π π π Për shkak të analiticitetit të funksioneve, ne mund të zbatojmë formulën Cauchy për to, mbi bazën prej të cilave marrim () d π, (5) dhe shuma e serisë në të djathtë në (5) është dhe, për rrjedhojë, marrim barazinë π () d Por funksioni, do të jetë shuma e një konvergjente uniforme seri funksionesh analitike dhe, rrjedhimisht, të vazhdueshme në G. Kjo do të thotë se integrali në të djathtë është një integral i tipit Cauchy dhe, për rrjedhojë, ai përfaqëson një funksion që është analitik nga brenda dhe, në veçanti, në pikën Tk - çdo pikë e rajoni G, atëherë vërtetohet pjesa e parë e teoremës Për të vërtetuar mundësinë e diferencimit term pas termi të kësaj serie, është e nevojshme të shumëzohet seria (5) me një funksion llogaritës të kufizuar prej saj dhe të përsëritet mund të vërtetohet se një seri funksionesh analitike mund të diferencohen një numër të pafundëm herë, ndërsa ne gjejmë se seria konvergon në mënyrë të njëtrajtshme dhe shuma e saj është e barabartë me (k) (k)

6 seritë e formës ku teorema e serisë së fuqisë Një rast shumë i rëndësishëm i serive funksionale të përgjithshme janë seritë e fuqisë (), (53) - disa numra komplekse dhe - një pikë fikse e rrafshit kompleks. Termat e serisë (53). janë funksione analitike në të gjithë rrafshin, prandaj, për të studiuar vetitë e kësaj serie, mund të zbatohen teoremat e përgjithshme të paragrafëve të mëparshëm e serisë së fuqisë (53), teorema e mëposhtme rezulton të jetë thelbësore teorema 9 (Abel) Nëse seria e fuqisë (53) konvergjon në një pikë, atëherë ajo konvergjon absolutisht në çdo pikë që plotëson kushtin dhe në një rreth.< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >, se M, q< В силу funksioni i kërkuar termat e tij priren në zero kur, pra () M M q M, Pastaj, ku q< (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной progresion gjeometrik me një emërues më të vogël se uniteti Nga teorema e Abelit mund të nxjerrim një numër pasojash, në një farë mase të ngjashme me ato nga teorema e Abelit në teorinë e serive të fuqisë në analizën reale, nëse seria e fuqisë (53) ndryshon në një pikë të caktuar. atëherë ai divergjent në të gjitha pikat që plotëson pabarazinë > Saktësisht kufiri i sipërm i distancave nga një pikë në një pikë në të cilën seria (53) konvergjon quhet rrezja e konvergjencës së serisë së fuqisë, dhe rajoni<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 Zgjidhni një pikë arbitrare brenda rrethit ρ ρ< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 Le të prezantojmë shënimin () d () ρ π () d () π ρ () dhe të rishkruajmë (59) në formën e një serie fuqie që konvergohet në një pikë të zgjedhur: (59) (6) () (6 ) Në formulën (6) lagjja ρ mund të zëvendësohet, nga teorema e Cauchy-së, nga çdo kontur i mbyllur që shtrihet në rajon< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11 ku do të kishte edhe një koeficient<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 Shembull<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14 atëherë pika () (), (64) quhet zero e funksionit If, atëherë zero quhet e thjeshtë e rendit të th, ose shumëfishim Nga formulat për koeficientët e serisë së Taylor-it shohim se nëse pika është një zero e rendit, atëherë ku () () Zgjerimi (64) mund të rishkruhet në formën, por () () () [ () ] () ϕ, ϕ () (), () ϕ, dhe rrethi i konvergjencës së kësaj serie është padyshim i njëjtë me atë të serisë (64) Është gjithashtu pohim i vërtetë i anasjelltë ku çdo funksion i formës është një numër i plotë, ϕ () dhe rendit zero Shembulli 5 Pikat ± () ϕ, ϕ është analitik në një pikë, ka në këtë pikë për një funksion të rendit më të lartë, tk () () e (4) ϕ 3 4 e janë zero, dhe (±) Shembulli 6 Gjeni rendin e zeros për funksionin 8 s Zgjero emëruesin në fuqi: 3 3! 8 5 5! ! 5! 3! 5 5! ϕ

15 5 ϕ, ku ϕ, dhe ϕ dhe pika e funksionit 3!, pra pika 5! ϕ është analitike dhe është një zero e rendit të 5-të për serinë origjinale Laurent dhe rajonin e saj të konvergjencës Zgjerimi i një funksioni analitik në një seri Laurent Merrni parasysh një seri të formës () ku është një pikë fikse e rrafshit kompleks, (65 ) janë disa numra komplekse Seria (65) quhet seri Laurent Le të vendosim rajonin e saj të konvergjencës Për ta bërë këtë, ne paraqesim (65) në formën () () (66) () Është e qartë se rajoni i. konvergjenca e serisë (66) është pjesa e përbashkët e rajoneve të konvergjencës së secilit prej termave në anën e djathtë të (66) Rajoni i konvergjencës së serisë () është një rreth me qendër në një pikë të caktuar. rrezja, dhe në veçanti, mund të jetë e barabartë me zero ose pafundësi Brenda rrethit të konvergjencës, kjo seri konvergjon në ndonjë funksion analitik të një ndryshoreje komplekse, ato (),< (67)

16 Për të përcaktuar rajonin e konvergjencës së një serie të një ndryshoreje, duke vendosur () () Pastaj kjo seri do të marrë formën e një zëvendësimi - një seri e zakonshme fuqie që konvergohet brenda rrethit të saj të konvergjencës në një funksion analitik ϕ () të një kompleksi ndryshore Le të jetë rrezja e konvergjencës së serisë së fuqisë rezultuese r Pastaj ϕ,< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), >r Nga kjo rrjedh se rajoni i konvergjencës së serisë është rajoni i jashtëm i rrethit r, marrim (69) () është Kështu, secila nga seritë e fuqisë në anën e djathtë të (66) konvergjon në rajonin e saj të konvergjencës në funksionin analitik përkatës Nëse r<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 Nëse r >, atëherë seritë (67) dhe (68) nuk kanë një rajon të përbashkët konvergjence, kështu që në këtë rast seria (65) nuk konvergon askund në asnjë funksion. Vini re se seria është një pjesë e rregullt e serisë (. 7), dhe Shembulli 7 Zgjero - pjesa kryesore e rreshtit (65) () a)< < ; б) >; V)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 Këtij zgjerimi i mungon një pjesë e rregullt< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

19 Le të kryejmë integrimin term pas termi në (7), i cili është i mundur për shkak të konvergjencës uniforme të serisë në, marrim d π, (7) ku d π, (73) Meqenëse pabarazia nuk vlen , atëherë, ngjashëm me atë të mëparshmin, kemi Pastaj, si rezultat i integrimit term pas termi të kësaj serie në (7) do të kemi π π d d, (për d), (74) ku d π (75 ) Duke ndryshuar drejtimin e integrimit në (75), marrim

20 π () () d ()() d π, > (76) Për shkak të analiticitetit të integrandëve në (73) dhe (76) në një unazë rrethore< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 Shembulli 8 Zgjeroni serinë Laurent (ato në fuqi) Y në afërsinë e pikës ()() në Δ Në këtë rast, do të ndërtojmë dy unaza rrethore me qendër në pikën (Fig. 4): a) a rrethi "pa qendër"< < ; Рис 4 X б) внешность круга >Në secilën nga këto unaza është analitike, dhe në kufijtë ka pika të veçanta, le të zgjerojmë funksionin në fuqi në secilën prej këtyre rajoneve.< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) Këtu kemi 3, () () () () () është një seri konvergjente, pasi<

22 s Si rezultat ()() () () ato, 3, 3 Shembulli 9 Zgjero funksionin Δ në një seri Laurent në një fqinjësi të pikës Kemi:, s s s cos cos s s! cos 4 () () 3 4! 3! () 5! () (s cos)!! 5

Tema Seritë e numrave komplekse Konsideroni një seri numrash k ak me numra kompleks të formës Një seri quhet konvergjente nëse vargu S i shumave të saj të pjesshme S a k k konvergjon. Për më tepër, kufiri S i sekuencës

Tema Përkufizimi i serive komplekse funksionale. Nëse k, N, N U k G konvergjojnë menjëherë në domenin G, atëherë seria quhet uniforme Një shenjë e mjaftueshme e konvergjencës uniforme të një serie

LEKTURA N37. Seria e funksioneve analitike. Zgjerimi i një funksioni analitik në një seri fuqie. Seriali Taylor. Seria Laurent.. Zgjerimi i një funksioni analitik në një seri fuqie..... Seria Taylor.... 3. Zgjerimi i një funksioni analitik

Tema e modulit Sekuencat dhe seritë funksionale Vetitë e konvergjencës uniforme të sekuencave dhe serive Seritë e fuqisë Leksion Përkufizimet e sekuencave dhe serive funksionale Në mënyrë të njëtrajtshme

Leksioni 7 Seria Taylor dhe Laurent 7. Seria Taylor Në këtë pjesë do të shohim se konceptet e një serie fuqie dhe një funksioni analitik përcaktojnë të njëjtin objekt: çdo seri fuqie me një rreze pozitive konvergjence.

Analiza matematikore Seksioni: Teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse Tema: Seritë në rrafshin kompleks Ligjëruesi O.V 217 9. Seritë në rrafshin kompleks 1. Seritë numerike Le të jepet sekuenca

5 Seritë e fuqisë 5 Seritë e fuqisë: përkufizimi, rajoni i konvergjencës Seritë funksionale të formës (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) ku, a, a, K, a ,k janë disa numra që quhen numra të serive të fuqisë

Agjencia Federale e Arsimit Universiteti Shtetëror i Gjeodezisë dhe Hartografisë në Moskë (MIIGAiK) UDHËZIME METODIKE DHE DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR në lëndën MATEMATIKA E LARTË Numerike

Seritë funksionale Leksione 7-8 1 Zona e konvergjencës 1 Një seri e formës u () u () u () u (), 1 2 u () ku funksionet përcaktohen në një interval të caktuar quhet seri funksionale. . Grupi i të gjitha pikave

LEKTURA N38. Sjellja e një funksioni analitik në pafundësi. Pika të veçanta. Mbetjet e nje funksioni..lagje e nje pike ne pafundesi.....Zgjerim Laurent ne nje lagje te nje pike ne pafundesi.... 3.Sjellja

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE Kërkimet Kombëtare të Universitetit Shtetëror të Nizhny Novgorod me emrin NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva RREGULLAT E FUNKSIONET ANALITIKE

Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë EE "Universiteti Shtetëror Teknologjik Vitebsk" Tema. "Rreshtat" Departamenti i Matematikës Teorike dhe të Aplikuar. zhvilluar nga Assoc. E.B. Dunina. bazë

V.V. Zhuk, A.M. Seria Kamachkin 1 Power. Rrezja e konvergjencës dhe intervali i konvergjencës. Natyra e konvergjencës. Integrimi dhe diferencimi. 1.1 Rrezja e konvergjencës dhe intervali i konvergjencës. Gama funksionale

Seria e temës Laurent dhe rajoni i saj i konvergjencës. Konsideroni një seri të formës n C n n C n n n n C n n ku është një pikë fikse e rrafshit kompleks dhe janë disa numra kompleks. C n Kjo seri quhet seria Laurent.

LEKTURA N 7. Seritë e fuqisë dhe seritë Taylor.. Seritë e fuqisë..... Seritë Taylor.... 4. Zgjerimi i disa funksioneve elementare në seritë Taylor dhe Maclaurin.... 5 4. Aplikimi i serive të fuqisë... 7 .Fuqia

Analiza matematikore Seksioni: Seritë numerike dhe funksionale Tema: Seritë e fuqisë. Zgjerimi i një funksioni në një seri fuqie Lektorja Rozhkova S.V. 3 34. Seritë e fuqisë Një seri fuqie është një seri fuqish

4 Seritë e funksioneve analitike 4. Sekuenca funksionale Le të themi Ω C dhe f n: Ω C. Një sekuencë funksionesh (f n ) konvergjon në drejtim të pikës në një funksion f: Ω C nëse për çdo z Ω lim n f n(z) = f(z).

Seritë funksionale Seritë funksionale, shuma e saj dhe fusha e funksioneve o Le të jepet një sekuencë funksionesh k në fushën Δ të numrave realë ose kompleksë (k 1 Një seri funksionale quhet

Leksione të përgatitura nga Profesorja e Asociuar Musina MV Përkufizimi Shprehja e formës Seritë numerike dhe funksionale Seritë e numrave: konceptet bazë (), ku quhen seri numrash (ose thjesht seri) Numrat, anëtarët e serisë (varen

Seria e numrave Sekuenca e numrave Def Një sekuencë numerike është një funksion numerik i përcaktuar në bashkësinë e numrave natyrorë x - një anëtar i përgjithshëm i sekuencës x =, x =, x =, x =,

Kapitulli Seritë e fuqisë a a a Një seri e formës a a a a () quhet seri fuqie, ku, a, janë konstante të quajtura koeficientë të serisë Ndonjëherë një seri fuqie e një forme më të përgjithshme konsiderohet: a a(a) a(a) a (a) (), ku

Leksioni 8 Seritë dhe pikat njëjës. Seriali Laurent. Pika të izoluara njëjës. 6. Seritë dhe pikat njëjës 6.7. Teorema e serisë së Laurentit (P. Laurent): Nëse funksioni f() është analitik në unazën r< a < R r R то она может быть разложена

Agjencia Federale e Arsimit Institucioni Arsimor Shtetëror Federal i Arsimit të Lartë Profesional UNIVERSITETI FEDERAL I JUGUT R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodologjike

Tema 9 Seria e fuqisë Një seri fuqie është një seri funksionale e formës ku numrat... janë koeficientët e serisë, dhe pika e zgjerimit të serisë.,...,... R... quhet Seria e fuqisë qendrore Termi i përgjithshëm i serisë së fuqisë

4 Seritë e funksioneve 4 Përkufizimet themelore Le të jetë një sekuencë e pafundme funksionesh me një domen të përbashkët të përkufizimit X u), u (), K, u (),K (Përkufizim Shprehja u) + u () + K + u () +

Leksioni 3 Seritë Taylor dhe Maclaurin Zbatimi i serive të fuqisë Zgjerimi i funksioneve në seritë e fuqisë Taylor dhe Maclaurin Për aplikime, është e rëndësishme të jeni në gjendje të zgjeroni një funksion të caktuar në një seri fuqie, ato funksione

Leksioni 6 Zgjerimi i një funksioni në një seri fuqie Unike e zgjerimit të serive Taylor dhe Maclaurin Zgjerimi në një seri fuqie të disa funksioneve elementare Zbatimi i serive të fuqisë Në leksionet e mëparshme

Fakulteti Metalurgjik Departamenti i Matematikës së Lartë RANKS Udhëzime metodologjike Novokuznetsk 5 Agjencia Federale e Arsimit Institucion shtetëror arsimor i arsimit të lartë profesional

Seritë Laurent Një lloj më i përgjithshëm i serive të fuqisë janë seritë që përmbajnë fuqi pozitive dhe negative z z 0. Ashtu si seritë Taylor, ato luajnë një rol të rëndësishëm në teorinë e funksioneve analitike.

Seritë e numrave të serive Koncepte të përgjithshme Përkufizimi Nëse çdo numër natyror lidhet me një numër të caktuar sipas një ligji të caktuar, atëherë bashkësia e numrave të numëruar quhet sekuencë numrash,

S A Lavrenchenko wwwlwrecekoru Ligjërata Seri funksionale Koncepti i një serie funksionale Më parë, ne studionim seritë e numrave, domethënë anëtarët e serisë ishin numrat Tani po kalojmë në studimin e serive funksionale, d.m.th.

Seria e temës Laurent dhe rajoni i saj i konvergjencës. Një seri e formës ku C (z z) n = C (z z) n + n n n= n= z e rrafshit, një pikë fikse e kompleksit C n quhet seri Laurent. C n (z z) n= - disa komplekse

Ligjërata. Seri funksionale. Përkufizimi i një serie funksionale Një seri anëtarët e së cilës janë funksione të x quhet funksionale: u = u (x) + u + K+ u + K = Duke i dhënë x një vlerë të caktuar x, ne

TEORIA E SERIVE Teoria e serive është komponenti më i rëndësishëm i analizës matematikore dhe gjen zbatime teorike dhe të shumta praktike. Ka seri numerike dhe funksionale.

Përkufizimi i rrezes së konvergjencës. Një seri fuqie është një seri funksionale e formës c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () ku c 0, c, c 2,.. ., c, ... C quhen koeficientë fuqie

UNIVERSITETI TEKNIK SHTETËROR I AVIACIONIT CIVIL TË MOSKËS V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov DORACAK MATEMATIKË për studimin e disiplinës dhe detyrave të testit

82 4. Seksioni 4. Seritë funksionale dhe të fuqisë 4.2. Mësimi 3 4.2. Mësimi 3 4.2.. Zgjerimi i një funksioni në një seri Taylor PËRKUFIZIM 4.2.. Le të jetë funksioni y = f(x) pafundësisht i diferencueshëm në disa lagje

Ligjërata. Seritë e fuqisë. Analiza harmonike; seria dhe transformimi i Furierit. Vetia e ortogonalitetit.8. Seritë funksionale të përgjithshme 8.. Evazioni i funksioneve Një seri U + U + U quhet funksionale nëse ajo

Starkov V.N. Materiale për leksionin orientues Pyetja 9. Zgjerimi i funksioneve analitike në seri fuqie Përkufizim. Seritë funksionale të formës (((... (..., ku konstante komplekse (koeficientët e serisë

Sgups Departamenti i Matematikës së Lartë Udhëzime metodologjike për kryerjen e llogaritjeve standarde “Seria” Novosibirsk 006 Disa informacione teorike Seritë e numrave Let u ; u ; u ; ; u ; ka një numër të pafund

E profesion. Seriali Taylor. Përmbledhja e serisë së fuqisë Mat. analizë, aplik. matematikë, semestri i 3-të Gjeni zgjerimin e një funksioni në një seri fuqie në fuqi, njehsoni rrezen e konvergjencës së serisë së fuqisë: A f()

Seria e kapitullit Shënimi formal i shumës së termave të disa sekuencave numrash Seritë e numrave quhen seri numrash Shumat S quhen shuma të pjesshme të serisë Nëse ka një kufi lim S, S atëherë seria

Mësimi praktik 8 Mbetjet 8 Përkufizimi i mbetjes 8 Llogaritja e mbetjeve 8 Mbetja logaritmike 8 Përkufizimi i mbetjes Lëreni një pikë të veçuar njëjës të një funksioni në një njëjës të izoluar Mbetje analitike

~ ~ PKP Derivati ​​i një funksioni të një ndryshoreje komplekse PKP Cauchy-Riemann kushtëzon konceptin e rregullsisë PKP Imazhi dhe forma e një numri kompleks Lloji i PKP: ku një funksion real i dy ndryshoreve është real

UDHËZIME METODOLOGJIKE PËR DETYRA TË LLOGARITJES NË LËNDËN E MATEMATIKËS SË LARTË “EKUACIONET E ZAKONSHME DIFERENCIALE SERIA INTEGRALET DYFIKE” PJESA TEMA SERIA Përmbajtja Seritë Seritë e numrave Konvergjenca dhe divergimi

Agjencia Federale e Arsimit Arkhangelsk Universiteti Teknik Shtetëror i Fakultetit të Inxhinierisë së Ndërtimit RANKS Udhëzime për kryerjen e detyrave për punë të pavarur Arkhangelsk

ELEMENTET E TEORISË SË FUNKSIONET TË NJERIUT TË NDRYSHOREVE KOMPLEKSE Si rezultat i studimit të kësaj teme nxënësi duhet të mësojë: të gjejë format trigonometrike dhe eksponenciale të një numri kompleks sipas

Analiza matematikore Pjesa 3. Seritë numerike dhe funksionale. Integrale të shumëfishta. Teoria e fushës. tekst shkollor N.D.Vysk MATI-RGTU im. K.E. Tsiolkovsky Departamenti i Matematikës së Lartë ANALIZA MATEMATIKE

Leksioni 3. Zbritjet. Teorema kryesore rreth mbetjeve Mbetja e një funksioni f() në një pikë të izoluar njëjës a është një numër kompleks i barabartë me vlerën e integralit f() 2 të marrë në drejtim pozitiv i përgjatë rrethit

Mësimi i serive numerike dhe të fuqisë. Seria e numrave. Shuma e serisë. Shenjat e konvergjencës.. Njehsoni shumën e serisë. 6 Zgjidhja. Shuma e termave të një progresioni të pafund gjeometrik q është e barabartë me, ku q është emëruesi i progresionit.

S A Lavrenchenko wwwlawreceoru Leksioni Përfaqësimi i funksioneve nga seria Taylor Një kufi i dobishëm Në leksionin e fundit u zhvillua strategjia e mëposhtme: nga një kusht i mjaftueshëm për përfaqësimin e një serie funksionesh

M. V. Deikalova ANALIZË GJITHËPËRFSHIRËSE Pyetje për provim (grupi MX-21, 215) Pyetjet e kolokiumit të parë 1 1. Diferencimi i një funksioni të një ndryshoreje komplekse në një pikë. Kushtet e Cauchy-Riemann (D'Alembert-Euler).

Opsioni Detyrë Njehsoni vlerën e funksionit, jepni përgjigjen në formë algjebrike: a sh ; b l Zgjidhje a Të përdorim formulën për lidhjen ndërmjet sinusit trigonometrik dhe sinusit hiperbolik: ; sh -s Merr

Ligjërata Seritë e numrave Shenjat e konvergjencës Seritë e numrave Shenjat e konvergjencës Një shprehje e pafundme e një sekuence numrash + + + +, e përbërë nga termat e një të pafundme, quhet seri numrash Numrat,

4. Seritë funksionale, rajoni i konvergjencës Rajoni i konvergjencës së një serie funksionale () është grupi i vlerave të argumenteve për të cilat kjo seri konvergjon. Funksioni (2) quhet shuma e pjesshme e serisë;

Leksioni 3 Teorema e ekzistencës dhe unike e një zgjidhjeje të një ekuacioni skalar Paraqitja e problemit Rezultati kryesor Merrni parasysh problemin e Cauchy-së d f () d =, () = Funksioni f (,) përcaktohet në rajonin G të rrafshit (,

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE UNIVERSITETI SHTETËROR ARKITEKTONI DHE NDËRTIM I KAZANIT Departamenti i Matematikës së Lartë SERIA NUMERIKE DHE FUNKSIONALE Udhëzimet për

(funksioni i serisë së fuqisë së serisë funksionale domeni i konvergjencës rendi i gjetjes së intervalit të konvergjencës - shembull rrezja e intervalit të konvergjencës shembuj) Le të jepet një sekuencë e pafundme funksionesh, Funksionale

S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru Leksion Paraqitja e funksioneve sipas serive të fuqisë Hyrje Paraqitja e funksioneve sipas serive të fuqisë është e dobishme në zgjidhjen e problemeve të mëposhtme: - integrimi i funksioneve

E profesion. Seritë e fuqisë. Seriali Taylor Math. analizë, aplik. matematikë, semestri i 3-të Gjeni rrezen e konvergjencës së serisë së fuqisë duke përdorur kriterin e d'Alembert: (89 () n n (n!)) p (n +)! n= seria Taylor f(x)

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE BUXHET FEDERAL SHTETËROR INSTITUCIONI ARSIMOR I ARSIMIT TË LARTË PROFESIONAL “UNIVERSITETI SHTETËROR AEROSHAPËSIRËS SAMARA”

RANGAT. Seria e numrave. Përkufizime themelore Le të jepet një varg i pafundmë numrash Shprehja (shuma e pafundme) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i=. një seri numrash. Numrat

UNIVERSITETI SHTETËROR KAZAN Departamenti i Statistikave Matematikore SERIA NUMERIKE Manuali arsimor dhe metodologjik KAZAN 008 Botuar me vendim të seksionit të Këshillit Shkencor dhe Metodologjik të Universitetit Kazan

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse VA Volkov INTEGRAL FOURIER SERIES Publikim i tekstit elektronik arsimor Për studentët e specialiteteve 4865 Elektronikë dhe automatizimi i instalimeve fizike;

џ. Koncepti i një serie numrash. Le të jepet një varg numrash a, a 2,..., a,... Një seri numrash është shprehja a = a + a 2 +... + a +... (.) Numrat a, a 2,.. ., a,... quhen anëtarë të serisë, a

Zhvillimi metodologjik Zgjidhja e problemeve në TFKP Numrat kompleksë Veprimet në numrat kompleks Plani kompleks Një numër kompleks mund të paraqitet në eksponenciale algjebrike dhe trigonometrike

Siberian Mathematical Journal Korrik Gusht, 2005. Vëllimi 46, 4 UDC 517.53 KUSHTET PËR KONVERGJENCË TË THYESËVE TË NDËRPOSHTJES NË NYJËT E NDARJA NGA PIKAT E VETËMË TË FUNKSIONIT A. G. Lipchin Abtractin:

UNIVERSITETI TEKNIK PËR AUTOMOBILE DHE RRUGË SHTETËRORE (MADI) AA ZLENKO, SA IZOTOVA, LA MALYSHEVA RANKS METODOLOGJIKE UDHËZIME për punë të pavarur në matematikë MOSCOW AUTOMOBILE AND RRUGOR INSTRUCTIONS

Duke përdorur metoda standarde, por arritëm në një rrugë pa krye me një shembull tjetër.

Cila është vështirësia dhe ku mund të ketë një pengesë? Le të lëmë mënjanë litarin e sapunit, të analizojmë me qetësi arsyet dhe të njihemi me zgjidhjet praktike.

E para dhe më e rëndësishmja: në shumicën dërrmuese të rasteve, për të studiuar konvergjencën e një serie, është e nevojshme të përdoret një metodë e njohur, por termi i përgjithshëm i serisë është i mbushur me mbushje kaq të ndërlikuara sa nuk është aspak e qartë se çfarë të bëhet me të. . Dhe ju shkoni në rrathë: shenja e parë nuk funksionon, e dyta nuk funksionon, metoda e tretë, e katërt, e pestë nuk funksionon, pastaj skicat hidhen mënjanë dhe gjithçka fillon përsëri. Kjo është zakonisht për shkak të mungesës së përvojës ose boshllëqeve në fusha të tjera të analizës matematikore. Në veçanti, nëse kandidon kufijtë e sekuencës dhe çmontohet sipërfaqësisht kufijtë e funksionit, atëherë do të jetë e vështirë.

Me fjalë të tjera, një person thjesht nuk e sheh metodën e nevojshme të vendimit për shkak të mungesës së njohurive ose përvojës.

Ndonjëherë fajin e ka edhe “eklipsi”, kur, për shembull, nuk plotësohet kriteri i nevojshëm për konvergjencën e një serie, por për shkak të injorancës, pavëmendjes apo neglizhencës, kjo bie jashtë syve. Dhe rezulton si në atë histori ku një profesor matematike zgjidhi një problem fëmijësh duke përdorur sekuenca të përsëritura të egra dhe seri numrash =)

Në traditat më të mira, shembuj të gjallë menjëherë: rreshta dhe të afërmit e tyre - nuk pajtohen, pasi kjo është vërtetuar në teori kufijtë e sekuencës. Me shumë mundësi, në semestrin e parë do t'ju shkundin shpirtin për një provë prej 1-2-3 faqesh, por tani mjafton të tregohet dështimi i kushtit të nevojshëm për konvergjencën e një serie, duke cituar fakte të njohura. . I famshëm? Nëse studenti nuk e di se rrënja e n-të është një gjë jashtëzakonisht e fuqishme, atëherë, le të themi, seria do ta vendosë në një rrugë pa krye. Edhe pse zgjidhja është si dy herë dy: , d.m.th. për arsye të dukshme, të dyja seritë ndryshojnë. Një koment modest "këto kufij janë vërtetuar në teori" (ose edhe mungesa e tij fare) është mjaft i mjaftueshëm për provë, në fund të fundit, llogaritjet janë mjaft të rënda dhe ato definitivisht nuk i përkasin seksionit të serive të numrave.

Dhe pasi të keni studiuar shembujt e mëposhtëm, do të habiteni vetëm nga shkurtësia dhe transparenca e shumë zgjidhjeve:

Shembulli 1

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Zgjidhje: para së gjithash, ne kontrollojmë ekzekutimin kriteri i nevojshëm për konvergjencë. Ky nuk është një formalitet, por një shans i shkëlqyer për t'u marrë me shembullin me "gjakderdhje të vogël".

“Kontrollimi i vendit të krimit” sugjeron një seri divergjente (rasti i një serie harmonike të përgjithësuar), por sërish lind pyetja, si të merret parasysh logaritmi në numërues?

Shembuj të përafërt të detyrave në fund të mësimit.

Nuk është e pazakontë kur duhet të kryeni një arsyetim me dy hapa (ose edhe me tre hapa):

Shembulli 6

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Zgjidhje: Së pari, le të merremi me kujdes me koprracia e numëruesit. Sekuenca – e kufizuar: . Pastaj:

Le të krahasojmë seritë tona me seritë. Për shkak të pabarazisë së dyfishtë të sapopërfituar, për të gjithë "en" do të jetë e vërtetë:

Tani krahasoni serinë me një seri harmonike divergjente.

Emëruesi i thyesës më pak Pra, emëruesi i thyesës vetë fraksioni – më shumë thyesat (shkruani termat e parë nëse nuk është e qartë). Kështu, për çdo "en":

Kjo do të thotë se, bazuar në krahasim, seria divergon së bashku me serinë harmonike.

Nëse ndryshojmë pak emëruesin: , atëherë pjesa e parë e arsyetimit do të jetë e ngjashme: . Por për të vërtetuar divergjencën e një serie, mund të zbatojmë vetëm kriterin kufizues për krahasim, pasi pabarazia është e rreme.

Situata me seritë konvergjente është "pasqyruar", domethënë, për shembull, për një seri mund të përdorni të dy kriteret e krahasimit (pabarazia është e vërtetë), por për një seri vetëm kriteri kufizues (pabarazia është e rreme).

Ne vazhdojmë safarin tonë të natyrës së egër, ku një tufë antilopash të këndshme dhe të harlisura duket në horizont:

Shembulli 7

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Zgjidhje: plotësohet kriteri i nevojshëm për konvergjencë dhe ne përsëri i bëjmë vetes pyetjen klasike: çfarë të bëjmë? Para nesh është diçka që të kujton një seri konvergjente, megjithatë, këtu nuk ka një rregull të qartë - shoqata të tilla shpesh janë mashtruese.

Shpesh, por jo këtë herë. Duke përdorur kriter kufizues për krahasim Le të krahasojmë serinë tonë me një seri konvergjente. Gjatë llogaritjes së limitit që përdorim kufi i mrekullueshëm , ku si pafundësisht i vogël qëndron:

konvergon së bashku me pranë .

Në vend të përdorimit të teknikës standarde artificiale të shumëzimit dhe pjesëtimit me "tre", fillimisht ishte e mundur të bëhej një krahasim me një seri konvergjente.
Por këtu këshillohet të bëni një rezervë që faktori konstant i termit të përgjithshëm nuk ndikon në konvergjencën e serisë. Dhe zgjidhja për shembullin e mëposhtëm është projektuar pikërisht në këtë stil:

Shembulli 8

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Shembull në fund të mësimit.

Shembulli 9

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Zgjidhje: në shembujt e mëparshëm kemi përdorur kufirin e sinusit, por tani kjo veti është jashtë loje. Emëruesi i thyesës më të lartë rendi i rritjes, se numëruesi, pra, kur argumenti i sinusit dhe i gjithë termit të përbashkët pafundësisht i vogël. Kushti i nevojshëm për konvergjencë, siç e kuptoni, është plotësuar, gjë që nuk na lejon t'i shmangemi punës.

Le të bëjmë zbulimin: në përputhje me ekuivalencë e jashtëzakonshme , hidhni mendërisht sinusin dhe merrni serialin. Epo, kështu dhe kështu ...

Le të marrim një vendim:

Le të krahasojmë seritë në studim me një seri divergjente. Ne përdorim kriterin e krahasimit kufizues:

Le të zëvendësojmë infiniteminalen me një ekuivalente: at .

Përftohet një numër i fundëm i ndryshëm nga zero, që do të thotë se seria në studim divergon së bashku me serinë harmonike.

Shembulli 10

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Për të planifikuar veprime të mëtejshme në shembuj të tillë, hedhja mendore e sinusit, arksinës, tangjentës dhe arktangjentës ndihmon shumë. Por mbani mend, kjo mundësi ekziston vetëm nëse pafundësisht i vogël argument, jo shumë kohë më parë kam hasur në një serial provokues:

Shembulli 11

Hulumtoni konvergjencën e serisë
.

Zgjidhje: Nuk ka përdorim të përdorimit të kufizimit të arktangjentit këtu dhe ekuivalenca nuk funksionon gjithashtu. Zgjidhja është çuditërisht e thjeshtë:


Seri në studim divergon, meqenëse kriteri i nevojshëm për konvergjencën e serisë nuk plotësohet.

Arsyeja e dytë“Problemi me detyrën” është se anëtari i përbashkët është mjaft i sofistikuar, gjë që shkakton vështirësi të natyrës teknike. Përafërsisht, nëse seritë e diskutuara më sipër i përkasin kategorisë "kush e di", atëherë këto bien në kategorinë "kush e di". Në fakt, kjo është ajo që quhet kompleksitet në kuptimin e "zakonshëm". Jo të gjithë mund të zgjidhin saktë disa faktorë, shkallë, rrënjë dhe banorë të tjerë të savanës. Problemet më të mëdha janë, natyrisht, faktorët:

Shembulli 12

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Si të ngrihet faktoriali në fuqi? Lehtësisht. Sipas rregullit të operacioneve me fuqi, është e nevojshme të ngrihet çdo faktor i produktit në një fuqi:

Dhe, sigurisht, vëmendja dhe vëmendja përsëri, vetë shenja e d'Alembert funksionon tradicionalisht:

Kështu, seria në studim konvergon.

Ju kujtoj një teknikë racionale për eliminimin e pasigurisë: kur është e qartë rendi i rritjes numëruesi dhe emëruesi - nuk ka nevojë të vuani dhe të hapni kllapat.

Shembulli 13

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Bisha është shumë e rrallë, por ndodh, dhe do të ishte e padrejtë ta injoronim atë me një lente kamerash.

Çfarë është faktorial me pikëçuditëse të dyfishtë? Faktoriali "përfundon" prodhimin e numrave çift pozitiv:

Në mënyrë të ngjashme, faktoriali "përfundon" produktin e numrave tek pozitivë:

Analizoni cili është ndryshimi nga dhe

Shembulli 14

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Dhe në këtë detyrë, përpiquni të mos ngatërroheni me gradë, ekuivalenca të shquara Dhe kufij të mrekullueshëm.

Shembuj zgjidhjesh dhe përgjigjesh në fund të orës së mësimit.

Por studenti ushqehet jo vetëm nga tigrat - leopardët dinakë gjithashtu gjurmojnë gjahun e tyre:

Shembulli 15

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Zgjidhje: kriteri i nevojshëm për konvergjencë, kriteri kufizues dhe testet D’Alembert dhe Cauchy zhduken pothuajse menjëherë. Por më e keqja është se shenja e pabarazive që na ka ndihmuar vazhdimisht është e pafuqishme. Në të vërtetë, krahasimi me një seri divergjente është i pamundur, pasi pabarazia e pasaktë - shumëzuesi i logaritmit rrit vetëm emëruesin, duke ulur vetë thyesën në raport me një thyesë. Dhe një pyetje tjetër globale: pse ne fillimisht kemi besim se seria jonë duhet domosdoshmërisht të ndryshojnë dhe duhet të krahasohen me disa seri divergjente? Po sikur të shkonte fare mirë?

Tipar integral? Integral jo i duhur ngjall një humor të zi. Tani sikur të kishim një rresht … atëherë po. Ndalo! Kështu lindin idetë. Ne formulojmë një zgjidhje në dy hapa:

1) Së pari ne shqyrtojmë konvergjencën e serisë . Ne përdorim veçori integrale:

Integrand të vazhdueshme në

Kështu, seria divergjent së bashku me integralin e papërshtatshëm përkatës.

2) Le të krahasojmë seritë tona me seritë divergjente . Ne përdorim kriterin e krahasimit kufizues:

Përftohet një numër i fundëm i ndryshëm nga zero, që do të thotë se seria në studim divergon së bashku me tjetrin .

Dhe nuk ka asgjë të pazakontë ose krijuese në një vendim të tillë - kështu duhet të vendoset!

Unë propozoj të hartoni vetë procedurën e mëposhtme me dy hapa:

Shembulli 16

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Një student me përvojë në shumicën e rasteve menjëherë sheh nëse një seri konvergjon apo divergjent, por ndodh që një grabitqar maskohet me zgjuarsi në shkurre:

Shembulli 17

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Zgjidhje: në pamje të parë nuk është aspak e qartë se si sillet ky serial. Dhe nëse ka mjegull para nesh, atëherë është logjike të fillojmë me një kontroll të përafërt të kushtit të nevojshëm për konvergjencën e serialit. Për të eliminuar pasigurinë, ne përdorim një të pathyeshëm Metoda e shumëzimit dhe pjesëtimit me shprehjen e saj të konjuguar:

Shenja e nevojshme e konvergjencës nuk funksionoi, por nxori në dritë shokun tonë të Tambovit. Si rezultat i transformimeve të kryera, u përftua një seri ekuivalente , e cila nga ana e saj i ngjan fort një serie konvergjente.

Ne shkruajmë zgjidhjen përfundimtare:

Le ta krahasojmë këtë seri me një seri konvergjente. Ne përdorim kriterin e krahasimit kufizues:

Shumëzoni dhe pjesëtoni me shprehjen e konjuguar:

Përftohet një numër i fundëm i ndryshëm nga zero, që do të thotë se seria në studim konvergon së bashku me pranë .

Disa mund të kenë pyetur veten, nga erdhën ujqërit në safarin tonë afrikan? nuk e di. Me siguri e kanë sjellë. Lëkura e mëposhtme trofe është e juaja për të marrë:

Shembulli 18

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Shembull zgjidhje në fund të orës së mësimit

Dhe së fundi, një mendim tjetër që shumë studentë e kanë të dëshpëruar: A nuk duhet të përdorim një test më të rrallë për konvergjencën e serive?? Testi i Raabe, testi i Abelit, testi i Gausit, testi i Dirichlet dhe kafshë të tjera të panjohura. Ideja funksionon, por në shembuj realë ajo zbatohet shumë rrallë. Personalisht, në të gjitha vitet e praktikës vetëm jam drejtuar Shenja e Raabe, kur asgjë nga arsenali standard nuk ndihmoi vërtet. Unë do të riprodhoj plotësisht rrjedhën e kërkimit tim ekstrem:

Shembulli 19

Hulumtoni konvergjencën e serisë

Zgjidhje: Pa asnjë dyshim një shenjë e d'Alembert. Gjatë llogaritjeve, unë përdor në mënyrë aktive vetitë e gradave, si dhe kufiri i dytë i mrekullueshëm:

Kaq shumë për ju. Shenja e D'Alembert nuk dha një përgjigje, megjithëse asgjë nuk parashikonte një përfundim të tillë.

Pasi gërmova librin e referencës, gjeta një kufi pak të njohur të provuar në teori dhe aplikova testin më të fortë radikal Cauchy:

Këtu janë dy për ju. Dhe, më e rëndësishmja, është plotësisht e paqartë nëse seriali konvergon apo divergjent (një situatë jashtëzakonisht e rrallë për mua). Shenjë e nevojshme krahasimi? Pa shumë shpresë - edhe nëse e kuptoj në mënyrë të pakonceptueshme rendin e rritjes së numëruesit dhe emëruesit, kjo nuk garanton ende një shpërblim.

Është një problem i plotë, por gjëja më e keqe është se rradha duhet të zgjidhet. Duhet të. Në fund të fundit, kjo do të jetë hera e parë që do të heq dorë. Dhe pastaj m'u kujtua se dukej se kishte disa shenja të tjera më të forta. Përpara meje nuk ishte më një ujk, një leopard apo një tigër. Ishte një elefant i madh që tundte trungun e tij të madh. Më duhej të merrja një granatëhedhës:

Shenja e Raabe

Konsideroni një seri numrash pozitive.
Nëse ka një kufi , Se:
a) Kur rresht divergon. Për më tepër, vlera që rezulton mund të jetë zero ose negative
b) Kur rresht konvergon. Në veçanti, seria konvergon në .
c) Kur Shenja e Raabe nuk jep përgjigje.

Ne hartojmë një kufi dhe thjeshtojmë me kujdes dhe me kujdes thyesën:


Po, fotografia është, për ta thënë më butë, e pakëndshme, por nuk jam më i befasuar me ndihmën e tij Rregullat e L'Hopital, dhe mendimi i parë, siç doli më vonë, doli të ishte i saktë. Por në fillim e ktheva kufirin për rreth një orë duke përdorur metoda "të zakonshme", por pasiguria nuk donte të eliminohej. Dhe ecja në rreth, siç sugjeron përvoja, është një shenjë tipike se është zgjedhur zgjidhja e gabuar.

Më duhej t'i drejtohesha mençurisë popullore ruse: "Nëse gjithçka tjetër dështon, lexoni udhëzimet." Dhe kur hapa vëllimin e dytë të Fichtenholtz-it, për gëzimin tim të madh zbulova një studim të një serie identike. Dhe pastaj zgjidhja ndoqi shembullin.